（统计学专业论文）非线性模型下的M估计.pdf

t h em e s t i m a t o ro ft h ee r r o r i nn o n l i n e a rm o d e l s m a j o r ：s t a t i s t i c s d i r e c t i o no f s t u d y ：l i m i tt h e o r ya n ds t a t i s t i c a la p p l i c a t i o n g r a d u a t es t u d e n t ：c h e nx i n s u p e r v i s o r ：p r o f w uy a n c h u n d e p a r t m e n to f m a t h m a t i c s & p h y s i c sg u i l i nu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g y s e p t e m b e r ，2 0 0 9t oa p r i l ，2 010 4叭74呲7mj恤，叭1刚y 研究生学位论文独创性声明和版权使用授权书 独创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得其它教育机构的学位或证书而使用 过的材料。对论文的完成提供过帮助的有关人员已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者( 签字) ： 壬查鑫 签字日期：冲扛孕么恤 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解( 学校) 有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的印刷本和电子版本，允许论文被查阅和借 阅。本人授权( 学校) 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权中国 科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过 网络向社会公众提供信息服务。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签宁l j 期：肿5月c i _ i f 导师签字： 修孑鞴 签7 - l i 期：毒o d 年6 月9 日 r， 桂林理丁大学硕十学f 证论文 考虑以下非线性模型 摘要 只= 厂b ，口) + q ，f = 1 , 2 ，z 其中0 为一p 维未知参数，葺为q 维已知向量，厂为已知函数，e f 为不可观测的随机误差， y i 为观察值设 为参数空间， cr p ，玉x ，i = l ，2 ，x 为r 9 的有界闭子集，f 为 一x o 上的连续函数 令驴为r 上的非负连续函数，定义9 的m 估计量为见o ，使得 q 娩) = m i n 娩( ，) ，虿 ， n一 其中，q ) = 伊包- f ( x ，”， 为。的闭包 在非线性模型中，误差q 为这些情况的研究还比较少，只做到了误差e ，为独立同分布时非线 性模型m 估计的强相合性的研究，见参考文献【l 】，误差e ，为独立不同分布时见参考3 礅 2 1 ，岛为 口混合序列非线性模型m 估计下的强相合性见参考文献 3 】，误差为n a 时非线性模型m 估计的 强相合性见参考文献【4 】，而当误差为p 一，万混合等相依情况未见报道，同时由于文献【2 】的研究比 较早，有很大的改进空间，这就为本文提供了创新的机会 本硕士论文主要进行了以下几个方面的研究： 第1 章是对e i 为独立但分布未知的情况下的进一步研究，是对邵军老师文章 2 】中的结论的进 一步改进，并给予了证明第2 章首先介绍了岛为p 一混合序列时的几个重要的性质和相关引理， 通过对文献 4 】的研究，得到关于p 一混合序列在非线性模型下m 估计的强相合性的新结论并给予 了严格的证明第3 章是q 为万混合序列时，本人在文献 3 】的启发下，创造合适的条件，得出关 于误差为万混合序列时非线性模型m 估计的相关结论并给予了严格的证明 关键词：非线性模掣；独立不同分布序列；一混合序列；声混合序列；m 估计；强相合性 a b s t r a c t c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rm o d e l y i = 厂 ，秒) + q ，f = 1 ，2 ，刀， w h e r e 护i sa l lu n k n o w np a r a m e t e ro fp d i m e n s i o n x ii sak n o w nv e c t o ro f q d i m e n s i o n f i sak n o w nf u n c t i o n ，e li san o n o b s e r v a t i o no ft h er a n d o me r r o r ，y i i st h eo b s e r v a t i o n s 。 s u p p o s eoi sap a r a m e t e rs p a c e ，ocr 尸， 薯x ，i = 1 ，2 ，x i sab o u n d e dc l o s e d s u b s e tf o r r q ，fi sac o n t i n u o u sf u n c t i o no nt h ex xos p a c e o r d e r 伊a s an o n - n e g a t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o no nt h er ，d e f i n e d 见a st h em e s t i m a t o r o f0w h i c h b e l o n g st oos p a c e ，m a k i n g q 蛾) = m i n 娩o l ，万 ， a m o n gt h e m ，f o rt h ec l o s u r e q ( ，) =汐，一f ( x i ，) ) ，虿i st h ec l 。s u r e 。fo i = 1 i nt h en o n l i n e a rm o d e l ，t h ee l t o r qo ft h e s es t u d i e si ss t i l lr e l a t i v e l ys m a l l ，o n l yd i dt h e d i s t r i b u t i o no ft h ee r r o r 岛a sa ni n d e p e f i d e n tn o n l i n e a rm o d e lw i t hs t r o n g c o n s i s t e n c yo f m 。e s t i m a t e dt h a tt h es t u d yr e f e r st ot h et e s ti n 1 】，t h ed i s t r i b u t i o no fe r r o r 岛i s s e p a r a t e da n d d i s t i n c tw h e ny o us e er e f e r e n c e 【2 】，t h ee r r o r 岛f o rm i x e ds e q u e n c eo fn o n 1 i n e a rm o d e l m 。e s t i m a t e du n d e rt h es w o n gc o n s i s t e n c yo fe s t i m a t e s ，r e f e r st o 【3 】，w h e nt h ee r r o r qi s n a m i x i n gs e q u e n c e s ，s 仃o n gc o n s i s t e n c yo fm e s t i m a t e sr e f e r st o 4 】，w h e nt h ee r r o ri s p 一，声 m i x i n gs e q u e n c e s ，h y b r i da n do t h e rd e p e n d e n c yc o n d i t i o n sh a v en o tb e e nr e p o r t e d ，a n db e c a u s e l i t e r a t u r e 【2 】w a se a r l i e rs t u d i e d ，t h e r ei sc o n s i d e r a b l er o o mf o ri m p r o v e m e n t w h i c ht h ea r t i c l e p r o v i d e sa ni n n o v a t i v eo p p o r t u n i t y t h em a s t e r st h e s i sc o n d u c t e dt h ef o l l o w i n ga s p e c t so ft h e s t u d y ： c h a p t e r1 i sa ni n d e p e n d e n tb u tt h ed i s t r i b u t i o ni su n k n o w ni n c a s e sw h e r ec a nb ef u r t h e r r e s e a r c h e d ，i saf u r t h e ri m p r o v e m e n to ft h ec o n c l u s i o n sa n dg i v eap r o o ff o rt h ea r t i c l eo ft h e t e a c h e rs h a o 【2 】c h a p t e r 2 ，f i r s t ，i n t r o d u c i n gt h em i x e ds e q u e n c eo ft h es e v e r a li m p o r t a n t i l p r o p e r t i e s a n dr e l a t e dl e m m a s ，t h r o u g ht h es t u d yo ft h el i t e r a t u r e 4 】，ig e t san e wc o n c l u s i o n a b o u tp m i x i n gs e q u e n c eo nt h es t r o n gc o n s i s t e n c yo fm e s t i m a t e di nt h en o n l i n e a rm o d e la n d g i v eas t r i c tp r o o f c h a p t e r3 ，w h e nt h ee i t o r 白i sm i x e ds e q u e n c e ，u n d e rt h ei n s p i r a t i o no ft h e l i t e r a t u r e 【3 】，ic r e a t e st h er i g h tc o n d i t i o n st og e tt h er e l e v a n tc o n c l u s i o nw h e nt h ee r r o rqi s m i x e ds e q u e n c ea n dg i v e sas t r i c tp r o o f k e yw o r d s ：n o n 。l i n e a rm o d e l ；s e p a r a t ea n dd i s t i n c td i s t r i b u t i o no fs e q u e n c e ；p m i x e d s e q u e n c e ；j 子r n i x e ds e cu e n c e ；m i x e ds e q u e n c e ；m - e s t i m a t e d ；s t r o n gc o n s i s t e n c yj 桂林理工大学硕士学化论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i 目录i i i 弓l 言l 第1 章e t 为独立但分布未知的情况下的非线性模型的m 估计3 1 1 引言及其预备知识3 1 2 引理及其证明o 4 1 3 主要结果及其证明9 第2 章误差为p 一混合序列非线性模型下的m 估计1 1 2 1 引言及其预备知识l l 2 2 引理及其证明l3 2 3 主要结果及其证明1 7 第3 章误差为声混合序列非线性模型的m 估计1 9 3 1 引言及其预备知识1 9 3 2 引理及其证明2 1 3 3 主要结果及其证明2 7 结论3 0 致谢3l 参考义献3 2 附录l 3 5 附蜀乏2 3 6 个人简历3 7 i v 梓林理丁大学硕十学位论文 引言 随着科学技术和近代统计学的飞速发展，不能简单化为线性回归的非线性模 型越来越多的在统计学家面前出现在现实世界中，严格的线性模型是不多见的， 它们多多少少都带有某种程度的近似性而非线性模型是线性模型的自然推广， 也是必然发展趋势农业、经济等各部门都提出许多非线性模型回归以及其他非 线性统计的问题 六十年代初期，就开始了非线性模型的研究，但是直到1 9 8 0 年，加拿大统 计学家b a t e s 和w a t t s 引入曲率度量以后，才得到比较快速的发展当然在经济迅 速发展的今天，人们也运用非线性模型回归分析法在经济应用中建立起非线性回 归模型，并用此模型来预测股票、房地产等价格的走势 在模型结构确定无误的时候，我们已经学过许多好的参数估计方法，比如极 大似然方法，最d x - - 乘法估计等然而在实际中，这种对参数结构的假定有时很 难做到准确无误h u b e 在他的名著 5 】中指出，理论上解决一个统计问题，传统的 方法是在一个理想化的模型的基础上进行最优化，并且根据连续性原理：如果一 种方法在该模型下是最优的，那么它应在该模型附近几乎也是最优的遗憾的是， 一些经典的最优方法并不是都具备这样一种连续性的，具备这种连续性的方法我 们称它是稳健的在稳健统计中一类常用的估计是m 估计，这种估计是h u b e r 在 1 9 6 4 年提出来的 在实际应用中，很多情况下误差不是独立的，因此把独立误差序列进行推广 是很有意义的在线性模型m 估计的强相合性方面的研究，至今已经取得了比 较完美的成果，如，由文献 6 】中n q d 的定义，我们不难看出，两两n q d ( p q d ) 是包含两两独立列在内的非常广泛的相依随机变量序列，而且比较容易验证，因 而引起了人们广泛地关注，并获得了不少成果如e s a r y , p r o s c h a n & w a l k u p ( 1 9 6 7 ) 【引， m a t u l a ( 1 9 9 2 ) 引，n e w m a n n ( 1 9 8 4 ) 引，b i r k e l ( 1 9 8 8 ) 1 | ，只做到了部分线性模型中m 估计的强相合性，但由于两两n q d 和两两p q d 过于广泛，因而研究也非常困难( 关 于n q d 的研究见参考文献 1 2 】) ，于是统计学家j o a g d e v & p r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) 1 提出 桂林理t 大学硕十学化论义 了范围较小的n a 概念，讨论了关于n a 列的一些性质文献【1 4 】中的定理3 3 1 在 误差序列为n a 序列时，在其他条件和文献 2 】相同的情况下得到了m 估计的强 相合性，实质上改进和推广了文献 1 5 】的结论。文献 1 6 】讨论了误差序列为万混 合序列时m 估计的强相合性，文献 1 7 】讨论了误差序列为p 混合，混合和混 合序列时m 估计的强相合性，但文献 1 6 】和 1 7 】对抄+ ( q ) l 仍然要求高于2 6 阶矩存在文献 1 8 】大大降低了文献【1 4 - 1 9 对的矩陟+ 心a ) f 的要求，仅要求稍高 于( 1 + l g ) 阶矩存在，获得了m 估计的强相合性同时，文献 1 8 是对p 混合 序列的混合系数要求也低于文献 5 】中的p o ) 0 ，由条件( 1 1 ) 得 攀糍她 ，x 1 训一e 盹而* l 删 ( q ，薯，) ( 1 一厶) i + s u p i e ( ，g ( e i ，玉，) ( 1 一。) ) r e tn 。7 ( q ，r ) ( 1 一。) 一e ( ( q ，薯，) ( 1 一。) ) + e ( ( q ，薯，r ) ( 1 一厶) ) i + s u p 吉l e ( 沙( q ，) ( 一。) ) l 翟抄( ，厂) ( 1 一厶。) 一e ( ( q 而厂) ( 1 一训 + 粤争( 沙( ，) ( 1 一屯) ) i 吉l 喜k 。，) ( 一，记) 一k g j ) ( 1 一，七冽+ 吾喜e k ，) ( 一，七) 】 c ，4 ， 由条件( 1 2 ) ，存在c 0 使得 4 妒 y l一行，一疗 印w 印寸 跚k 姒 ! ! 一 = 由大数定律得 所以 故有 吉喜e 龇) ( ，一厶) 0 ， 当l e , l - c ，五x ，肌一圳 屯时 妙g ，) 一y ( 巳，_ ，吃) | ( 1 5 ) 这里我们以l | i i 表示欧式范数，由于f 为有界闭集，存在r l , 眨，厶1 1 ， r c 0 秒一圳 。 1 证明 矿为尺上的非负连续函数，定义汐的m 估计量为皖o ，使得 q ，i ，) = m i n 娩( ，) ，西 ， 其中，q ( ，) ：n 伊以一厂k ，) ) ，否为。的闭包 即 令 其中 由引理1 2 1 我们得到 吐! 鳃刑s u 。刊pq ) 一q p ) 一e 娩d ) 一q 叫= o = ， ，嚣。) i q ( 厂) 一q ( 臼) 一e q ( r ) 一q ( p ) i o a s e 娩( ，) q p ) 】= ! 兰i = 1 五( q ，薯，) ， 五h ，墨，r ) = e o ( c r “，+ 万k ，厂) 一伊( t “，) ) 】0 所以，下面我们证明 h m i n f 剧i n k f 。，吉喜五b 而，) 。 ( 1 9 ) 假设( 1 9 ) 不成立，则存在子列，k = 1 , 2 ，使得下式成立 ! 劝剧i n 。耵f ，去善五( 呒，r ) = 。 ( t ，。， 由条件( 1 1 ) ( 1 2 ) 及缈的连续性我们可以得到彳b ，工，厂) 为d ，x ，的连续函数，由于 g ，c ) 为闭集，则由( 1 1 0 ) 可以得出，存在p ，c ) ，使得 7 l i m l 仇百妻旯0 i ，) = 。 令( f ) = 撑 薯x t ，isn k ) ，则 由条件( 1 7 ) 知 故由( 1 11 ) 得 去善五h 一，) i 善m 糍。荟，) 哑掣阻t = lt 吼m n p i n 觎a h 碱) ， ! 酬瞬斟地 ! 鳃 。凛s 五( q ，碱) = 。待，2 ，脚 ( 1 1 1 ) 又因为q k ，民】， 一为有界闭集，故存在哆五，h ，吒】使得下式成立 五t ，q ，) = o ，t = 1 ，r n 但是，我们由函数五的定义及条件( 1 8 ) 知，只有j g ，) = o ，旯( r ，缈，) o 故得 艿 ，) = o ，f = 1 ，m 这与条件( 1 6 ) 矛盾，即( 1 9 ) 式成立 所以 ，魏 。，娩( ，) 一q ，例 i n 即f ，e q ( r ) 一qp ) 】一，( s u 即pj q ，p ) 一qp ) 一e 娩( 厂) q ，p ) 】 即 l 一 2，勇f三五(q，一，-)一0(ccj “n n 乞、。”。 0 ， 由此引理1 2 2 得证# p h l i m + i n fi 肌n f ，娩，p ) 一q ，( 护) 】 。 1 引理1 2 3 【2 】 设o 为r p 有界集，f ：e ex 西上连续，条件( 1 1 ) ( 1 2 ) 对 少b ，x ，r ) = 缈( q + 艿b ，垓r = o 成立又假设条件( 1 6 ) 、( 1 7 ) 、( 1 8 ) 成立，则对 任一个固定的雅，晓存在并且 尸q 理谚：臼j ：1 k a 。 ” 7 证明对任意的，z ，q ) 为否上连续函数故晓存在给定s o ，令 g ) = p 否：f l ，一0 1 1 - s ， 由引理1 2 2 得 p ( 1 i m i n f 酬i n f 。，娩( ，) 一q p ) 】 o ) = ， 因为q 。蛾) = m i n 娩p ) ，厂西 ，所以 q 蛾) q p ) ， 故 尸 熙s u p 障一p | 占 尸 | | 龟一秒| i s 对无穷多个，z 成立 d l 锄f 蕊，娩o ) 一q p ) 】o = 0 即 p i ! i m s u p i 痧一秒i 占 = o 由s 的任意性我们可以得到 尸 ! 姥反= 秒 ：1 1 3 主要结果及其证明 定理1 3 1 设条件( 1 6 ) ，( 1 7 ) ，( 1 8 ) 成立，条件( 1 1 ) ( 1 2 ) 对 缈 ，x ，) = 缈( e + 万b ，厂”及r = p ，c ) 成立，o f c 。l i r as u p e o 。 0 ) - ) ，即幻! 受s u p e q ( 秒) ， 由条件 ，i l i mi n f 缈( p + 万( x ，) ) = 知，对固定的c 0 ，存在m 。 0 ，当 xe x o ，l p f c ，i i r - e l l m 。时，妒g + 万g ，) ) 6 ， 令吒= 存( 五x o ，fs ，z ) ，于是 l i m i n f挣( 誓托，f ，z )：l i m i n f 蔓：后， ”- 。 n _ 。 靠 因为七是常数，所以当咒专时，屯- - o o ，注意到当p 一酬朋。时， q ( ，) = 蔓三 以k 耳e x , j i c l o 、- - 、 、l， r ，j 占+ 弓 ，f- 缈 。渊 尸 ! 受寺。毛窒七一p 忙j c ) 】= 。 = ， 由大数定律得 尸琏鳃【q i p ) 一e b p ) = o j = 1 ， 寺。毛剽c ) 之p 吣i c 民】， 6!imsupeeq(t，)-。00 n一 故有 尸b 刀充分大时，qo ) q p 刈厂一秒0 m c 】：1 令b = 歹n 卜一9 0 m 。) ，则 尸 当，z 充分大时，m i n q ( 厂) ：，歹 = m i n q ( r ) ：r q ) _ - ， 由于q 是有界闭集，所以 尸b 忍充分大时晓存在j = 1 ， 同时有 尸b 刀充分大时反qj ：1 ：i 幸林理1 = 大学硕十学位论文 第2 章误差为p 一混合序列非线性模型下的m 估计 2 1 引言及其预备知识 定义2 1 1f 2 0 1 称随机变量x l ，丘，l ，以，z 2 是负相关( n a ) ( n e g a t i v e l y a s s o c i a t e d ) 的，若对 1 ，2 ，l ，玎) 的任意两个非空不交子集4 ，4 ，均有 c o v f ( x , ；f 4 ) ，g ( t ；a 2 ) ) 0 ， 其中z 与厶是任何两个使得协方差存在的且对每个变元均非降( 或对每个变元 均非升) 的函数称随机变量序列协， 是n a 的序列，若对于每个刀g 2 ) ， 变量x i ，x 2 ，x n 都是n a 的 定义2 1 2 t 2 1 】称序列 x n ；，l 1 ) 是p 一混合的，若 p 一( s ) = s u p p 一( s ，丁) ；有限子集s ，tcn ，d i s t ( s ，t ) s ) 专0o 专) ， 其中 p c s ，r ，= 。vsup：天恚喜芝笋若等毫；=；翥妄凳耥；厂，g)， 是单调不减函数类 显然， 以；聆1 ) 是n a 的当且仅当对j 1 ，有p 一( s ) = 0 性质2 1 1 t 2 1 1p 一混合序列子集上的序列仍然是p 一混合的，其混合系数不大 于原来的混合系数 性质2 1 2 t 2 1 】设 以, 1 1 1 ) 为p 一混合序列，( x ) 为定义在不相交子集上单调 递增的函数，则 厂( 以) ；，2 1 ) 也为p 一混合序列，混合系数不大于原来的混合系 数 p 一混合的概念是张立新【2 1 1 1 9 9 9 年引入的由于p 一混合变量包含通常见到的 n a 和p 半混合变量，从而对它进行讨论有着更为广泛的意义张立新 2 1 - 2 3 】依次讨 论了弱收敛定理( 1 9 9 9 ) ，随机场的中心极限定理( 2 0 0 0 ) ，完全收敛。t 生( 2 0 0 0 ) ；蔡 棒林理丁大学硕七学位论文 光辉( 2 4 】讨论了它的完全收敛性( 2 0 0 3 ) ；张立新【2 l 】以及周慧f 2 5 】讨论了r o s e n t h a l 型 矩不等式( 1 9 9 9 ，2 0 0 6 ) ；王建峰【2 6 1 得到了它的最大值r o s e n t h a l 型矩不等式( 2 0 0 6 ) 本文在前人的基础上进一步讨论了p 一混合序列非线性模型下m 估计的强相合 性，获得了与独立情形基本一样的结论 2 2 引理及其证明 引理2 2 1 2 l 】设忸。，拧n 4 是p 一混合序列，e x 。= o ，e i x 。l p ：置则存在仅与p 有关的常数c 。 0 ，使得 i _ fp i = 1 e l 最l ps 巳 芝e l t l p + ( 主e 1 4 1 2 ) 詈 ： l ，= l 产l j 推论1 设讧。，以d ) 是p 一混合序列，e x = o ，e i x i ， 2 ，v 甩1 记 舅：圭五则存在仅与p 有关的常数。 o ，对任意有限集sc d 有 e i s 。卜咿争窆矧- 卜 = l 证明 由引理2 2 1 及j e n s e n 不等式很容易证明( 2 1 ) 式成立 ( 2 1 ) 引理2 2 2设o 为有界集，x 为r d 上的有界闭子集为否上的连续函 数，y 为w xx x 面) 上的连续且为r 上的有界变差函数，k 为具有概率密度函数 的p 一序列，如果存在r 上的有界变差函数h 满足条件 则有 s u p 一陟( 嵋工，) i ( w ) w r ， x e x r e 8 s u p e h ( e , ) f + 占 o 为常数， ， h c u ，矗g ) 口c ，口 d 为常数 ：罂去l 喜 y ( q ，r ) 印( q ，誓，厂) l 一。， a s ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 证明令缶= 吵 ，) 一e y ，而，r ) ，i = 1 ，2 ，以，贝l je 4 , = o 下面先证 毒i 一0 ，a s ( 2 5 ) 由于在r 上为有界变差函数，因此存在有界变差函数妙，和： 5 f ，= y 。一沙2 ，且它们有界而 其中 l 玎 l ，l 1 = ，2 三 ，z ( 岛，薯，) 一e 妙( q ，玉，厂) ( q ，薯，) ( 锚，) 一印- ( ，) 却：( ，) 一坝( 捌i m ( 乌，薯，) 一e ( e i ，薯，) 扣l 丢( 俐+ 俐) ， 霹= l ， i = i 2 = z j ， 扛l + 三 以 使得 ( e i , x i ，r ) 一e 少：。，一，r ) | 影= g ，b ) = 缈。e i ，一，) 一e 缈，一，) ； = g ： ) = y ： ，t ，r ) 一e ，一，r ) ， f = 1 ，2 ，刀 显然，e r = e z i = 0 ，由和的有界性可知吲p 从而 n = l 故由b o r e l l c a n t e l l i 引理知 尸黔h 钏 尸( 俐詈) + 尸( 俐詈) 生( 翻坐2 7 一一 ( 新。以 e 刚p ( e n 2 ) p 一- 亡 z 乙 j = l ( 圳郇以- i 嘉圳 軎叫荆弓h 训 c ，刀一朋， 尸( 丢- 卜喜疗刊2 k 而【_ k ，k 】x 否为有界闭集，故缈在【- k ，k 】x 万上一致连续因此，对任意 的s o ，存在彳p ) o ，使得当蚓k ，x t x ，胁- r ：l l 五时， i y ，i ) 一如，蕾，眨) i s ( 2 7 ) 又因为万为有界闭集，故存在，r 2 ，万( 并且可以要求它们依欧氏范数单增) ， 使得万c 噩 l ，一。0 五 其中f 1 1 i 表示欧氏范数依照文献 1 7 】的证明方法，根据( 2 5 ) 和( 2 7 ) 式得 m 翟准 北训一印( 懈卅铂e i k j + m w a 。毗x 。i | ( | j s u 删p ，：，一n 眵，) 一妙h * e 刊一少栅啦is k 】 一0 + 2 占 由g 的任意性得厶一0 再由条件( 2 3 ) 有 e h ( e i ) k 】鳓g ，) ，陆g ，) 旅】 k d + i 沙圳p i k 】 去势帅卟k m 厅阶i 枷 1 6 一焦丛型工盔堂堡堂笪迨塞 兰去喜渺( q ) ，( k i k ) 一励( q ) 硼q i k ) i ) + 吾喜 肠( q ) 叩q i k e 眵0 甜，) 】，则对任一固定的刀，皖存在且 反_ 口，a s 证明对任意的以，q ( 厂) 为万上连续函数故玩存在又由条件( 2 2 ) ，( 2 - 3 ) ， ( 2 4 ) 得引理2 2 2 成立，即 粤揍 比而巾却( f 砒a s 因为 ，t ，) = 缈b 十万k ，r ) ) ， 1 7 从而 注意到 及 乃= ( 薯，口) + 岛，i = 1 ，2 ，n 吐嬲俐s u 。即p q ) 一q p ) 一e 娩p ) 一q p ) 】= o = 口j 酬i n 即f ) 娩) 一q 例 i n 即f ，e q , ( r ) 一q p ) 】一，恶q o ) 一q p ) 一e 匕( 厂) 一q p ) 】， e 娩) 一q p ) 】= 昙喜五h ，毛，- ) ， 其中五h ，) = e 眵b 材，+ 艿“，) 一妒( 吒“，) ) 】o 因此只需证明 l i m i n fi n f ! i i - ) 0 0 r e n ( s ，c ) ，l兄b ，r ) 0 i = 1 假设上式不成立，则存在子列，k = l ，2 ， 1 n k ! 受，舅；，、二名b ，薯，) = 0 。r e ( “) n 女智”1 7 ( 2 8 ) 由条件( 2 2 ) ( 2 3 ) 及缈的连续性推出兄p ，x ，) 为仃，石，之连续函数，由于g ，c ) 为 闭集，则( 2 8 ) 得出存在g ，c ) ，使得 l i m i 百 岁- 五h ，) = 。 令，( f ) = 群( 薯置，i n k ) ，贝0 去喜地别去善篇葺。澎h 力 f - l x ：x 恋) ， i 盯i i s 叮，口 、 。”7 j ( 2 9 ) n 厂 k ， 一 执 缈 。问 = 、i，pq 。h_ 吼一珂 m m n k 一 一 登一些! ：丕堂堡堂笪迨塞 由条件( 1 7 ) 知 l i r a 陪销地 女，+ 0 。 i j e 眵g “。) 】，知 6 g ，) = o ，五( ，0 9 ，厂) 0 故得 万h ，r o ) - - o ，t = l ，m 这与条件( 1 6 ) 矛盾所以 p l 1 i m i n f 砒i n f d 娩p ) 一q p ) 】 o = 1 又因为 q 皖) q p ) 所以 尸 牌s u p 陋一o l g 尸 j j 统一目f | s 对无穷多个，z 成立 ) l l i m i n f 圳i n f ) 娩p ) 一qp ) 】o = 0 即 ， p ! 鳃s 印i 晓一9 m o ， 由s 的任意性我们可以得到 尸 熄反= 口 = 1 结诊讦毕群 1 9 桂林理下大学硕士学位论义 第3 章误差为万混合序列非线性模型的m 估计 3 1 引言及其预备知识 设n 为自然数集，口n 是概率空问( q ，a ，p ) 上的随机变量序列， c = 仃( 置，i eso n ) ，f k l - 兰c r ( x i ；f 露) 露。兰伊，f 七+ 总) 为仃域，记( a ) 为 所有a 可测且p 阶矩有限的随机变量全体，_ 会壹墨，o x 虬兰仁阻i p 严，l 。g 表 示以2 为底的对数，在a 中给定o r 域，r ，令 p ( f ，r ) = s u p k o r 4 x ，y ) l ；x ：( ，) 】，： ) ， r oc o r r ( x ，y ) = 号舞v a r v a y 为相关系数， 对七。，令 q 五l p ( f ，尺) = s u p c o r r ( x ，】，) | ；x 三：( r i y l 2 ( 尺) ， 声g ) = s u p 忆，b l 有限子集s ，t c n , _ 且d i s t ( s ，丁) n ) ， 其中，d i s t ( s ，丁) 表示集合s ：7 的距离显然 0 万( ，l + 1 ) 芦o ) 1 ，芦( o ) = 1 定义3 1 1 对随