（机械制造及其自动化专业论文）随机智能梁振动控制及优化配置研究.pdf

摘要 随机参数压电智能梁结构振动主动控制是目前结构设计与控制研究领域中的 重要课题。本文针对随机参数压电智能梁结构开展了结构动力分析、传感器作动 器优化配置和结构振动主动控制研究。在考虑结构材料的物理参数( 质量密度和弹 性模量) 、尺寸参数( 宽度和厚度) 为随机变量的情况下，对结构进行了基于概率的 动力特性分析；在考虑结构材料的物理参数、外加荷载和闭环控制力均为随机变 量的情况下，对结构进行了动力响应分析。以速度负反馈作为闭环控制律，基于 最大耗散能准则，建立了以传感器作动器的位置和控制系统增益为设计变量，具 有动力响应( 应力响应和位移响应) 可靠性约束的压电智能梁结构传感器作动器优 化配置的数学模型。最后，通过数值算例验证了文中建立的动力特性分析模型、 动力响应分析模型和传感器作动器优化配置模型的正确性及可行性；通过计算机 仿真，表明了对结构振动主动控制的有效性。 关键词：振动控制随机变量优化配置压电传感器作动器 a b s t r a c t a c t i v ev i b r a t i o nc o n t r o lf o rp i e z o e l e c t r i ci n t e l l i g e n tb e a ms t r u c t u r ew i t l lr a n d o m p a r a m e t e r si sa ni m p o r t a n tt a s ki nt h ef i e l do f e n g i n e e r i n gs t r u c t u r a lr e s e a r c h ，s t u d ya n d c o n t r o lt o d a y i nt h i sp a p e r ，t h er e s e a r c ho f s t r u c t u r a ld y n a m i ca n a l y s i s ，t h eo p t i m i z a t i o n o fa c t u a t o r s e n s o rc o l l o c a t i o na n dt h ea c t i v ev i b r a t i o nc o n t r o lf o rp i e z o e l e c t r i cs t r u c t u r e a r es t u d i e d c o n s i d e r i n gt h er a n d o m n e s so fp h y s i c sp a r a m e t e r s ( m a s sd e n s i t ya n d e l a s t i cm o d u l e ) a n dg e o m e t r i cp a r a m e t e r s ( w i d t ha n dt h i c k n e s s ) , t h ep r o b l e mo ft h e s t r u c t u r a ld y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i sb a s e d0 1 1p r o b a b i l i t yi ss t u d i e d t h ep r o b l e m s o fd y n a m i cr e s p o n s ea n a l y s i so fc l o s e dl o o pc o n t r o ls y s t e mb a s e do nr e l i a b i l i t yf o rt h e i n t e l l i g e n tb e a ms t r u c t u r e sw i t l lr a n d o mp a r a m e t e r sw e r es t u d i e d ，i nw h i c ht h e r a n d o m n e s so fp h y s i c sp a r a m e t e r so fs t r u c t u r a lm a t e r i a la n da p p l i e dl o a d sa n dc o n t r o l f o r c e sa r ec o n s i d e r e d f i r s t l y ，f o rt h ei n t e l l i g e n ts t r u c t u r e 。sa c t u a t o r s e n s o r ，v e l o c i t y f e e d b a c kc o n t r o ll a wi sd i s s i p a t i o ne n e r g yd u et oc o n t r o la c t i o na n dt h eo p t i m a l m a t h e m a t i c a lm o d e lw i t ht h er e l i a b i l i t yc o n s t r a i n t so i ld y n a m i cs t r e s sa n dd i s p l a c e m e n t w a sb u i l t s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n tt oi l l u s t r a t et h ec o r r e c t n e s sa n d p r a c t i c a b i l i t yo fm o d e lo fd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i s ，d y n a m i cr e s p o n s ea n a l y s i s a n do p t i m i z a t i o no fa c t i v ea c t u a t o r s e n s o r sl o c a t i o nb u i l ti nt h i sp a p e r 1 1 1 ev a l i d i t yo f a c t i v ev i b r a t i o nc o n t r o lf o r p i e z o e l e c t r i c s t r u c t u r ew i t hr a n d o mp a r a m e t e r si s d e m o n s t r a t e db ym e a n so ft h ec o m p u t e rs i m u l a t i o n a n ds o m es i g n i f i c a n tc o n c l u s i o n s a n dr e s u l t sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：v i b r a t i o nc o n t r o l r a n d o mv a r i a b l e s o p t i m a lc o l l o c a t i o n p i e z o e l e c t r i ca c t l i a t o r s e n s o r 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切的法律责任。 本人签名： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。学校有权保 留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。同时本人保证，毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的文章一律署名单位为西安电子科技大学。 ( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名：妞照，虚 导师签名：垦当巡i - 同期迎星：! ：出 同期a ! 凸：兰兰 第一章绪论 第一章绪论 i i 智能结构的提出与发展 由于空间结构系统的形状及其所承担的任务愈来愈复杂，航天空间结构中的 挠性部件也变得越来越多，例如太阳能帆板、大型抛物面天线、高灵敏度射电望 远镜的反射面、空间机械臂等。这些结构需要在相当长的运行时间内保证很高的 运行精度，而这些大型空间结构常常采用轻质材料来制作，而这些材料通常具有 较小的阻尼，从而加大了空间结构的柔性与形状的易变性，在太空运行中一旦受 到某种激励的作用，这些刚度低、内阻小的大型空间柔性结构就会产生很大幅度 的变形或大幅度长时间的振动。这不仅会直接影响航天结构的运行精度，如妨碍 太阳能帆板跟踪太阳、卫星天线和望远镜的指向精度以及空间机械臂定位精度， 还将使结构过早破坏。因此，为了提高空间结构的工作性能和精度，必须对结构 进行“在轨”控制。 传统的结构是一种被动结构一经设计、制造完成之后，其性能是不易改变的， 不能适应不断发展的空间结构的要求。传统的主动控制技术虽然可以在一定程度 上改善结构的适应能力和工作性能，但需要在原结构上附加一些质量很大而且数 量较多的传感和作动元件，这往往造成结构系统的重量很大，再加上主动控制系 统往往过于庞大和复杂且可靠性低，因此使得传统主动控制技术在空间结构控制 的实际应用中受到一定限制。随着航天结构的发展需要，空间结构的高精度、高 性能是结构设计的最终目标，空间结构的可拆装、可展开和几何物理性能可自调 性是结构应具有的重要特性。如何有效地实施空问结构的在轨调节、在轨试验、 在轨监测、在轨控制，提高其工作性能和精度，对这一问题的研究大大促进了结 构设计方法的改进，激发了现代结构设计思想的产生。 近十几年以来，随着材料、控制、微电子和计算机科学与技术的迅速发展， 特别是新型传感器和作动器的研究取得突破性进展，在结构控制设计中，不断采 用新型传感材料和作动器材料集成于结构中，替代了传统的传感器和作动器在结 构控制中所起的作用，逐步形成了传感元件、作动元件、控制器与主体结构集成 的一体化结构形式，促进结构设计中新技术的发展，产生了智能结构( 或称自适应 结构) 这种崭新的现代结构概念。 对于智能结构的定义有很多种【1 捌，但有其共性，普遍认为：智能结构，就是 在基体中入传感器和作动器，并具有对传感器感应结果有控制作用的控制装置， 从而能感知外界环境的变化及自身的实际状态，并能通过自身的感知，做出判断 随机智能梁振动控制及优化配置研究 发出指令，执行和完成动作，实现动态或在线状态下的自检测、自诊断、自监控、 自修复及自适应等多种功能。它的出现为振动、噪声及形状的“在轨”控制提供了新 的途径和方法。 1 9 9 4 年美国首次提出将压电陶瓷嵌入复合材料制成了智能构件。然而，关于 智能结构的初步研究起始于2 0 世纪7 0 年代。进入9 0 年代以来，智能结构的研究已 经有了长足的发展卜，其在国防和民用领域潜在的应用价值己引起人们的极大关 注。智能结构从一开始提出就受到工业发达国家的高度重视，美国航空航天局 ( n a s a ) 制定的c o n t r o l s t r u c t u r e si n t e r a c t i o n ( c s l ) 计划和p r e c i s i o ns e g m e n t e d r e f l e c t o r ( p s r ) p r o g r a m 都涉及到智能结构方面的研究。国际上一些著名的研究机构 如美国的j p l 实验室、日本宇航研究院( i s a s ) 、德国航空航天研究院( d l r ) 、德国 航空航天公司等，以及美国麻省理工学院( m i t ) 、弗吉尼亚州立大学等为代表的一 大批高等院校，投入了大量人力、物力开展该课题的研究。目前，用于振动工程 中对智能结构研究的基本问题主要集中在：传感器和作动器的材料特性和工艺制 作；智能结构动力学建模；传感器作动器在智能结构中的优化配鹭；振动控制等 方向上。 我国在智能结构及其系统的研究尚属起步阶段。国家自然科学基金委员会与 航空航天部门己经设立了多项与智能结构相关的科研项目，一些高等院校与研究 所己经进行了这方面的研究工作，并取得了一些成果 1 7 - 3 0 】。目前，国内外对智能 结构及其应用的研究虽然取得了一些研究成果，但远非成熟。因此，对该领域的 研究仍在不断地探索和发展之中。 1 2 智能结构的材料 1 7 t 前，大量的智能结构【”】己被研制出来，其中部分己被应用于实际，较为典 型的智能结构有：含有压电主动单元的自适应桁架、含有磁致伸缩的智能结构、 嵌入电流变流体或形状记忆合金材料而形成的复合材料结构、在表面覆盖压电材 料而形成的复合结构和置入光纤的复合结构。易见，智能结构的出现与应用和材 料技术的发展密不可分的，相应于上述智能结构所使用的材料分别为：压电材料、 磁致伸缩材料、电流变液体、形状记忆合金和光纤材料等。 1 2 1 压电元件 压电元件既作为智能结构中的传感元件，又能作为作动元件。它具有压电效 应，即当压电出材料受到机械变形时，有产生电势的能力；对它施加电压时，有 改变压电元件尺寸的能力。 第一章绪论 对压电元件施加机械变形时，将会引起内部正负电荷中心发生相对移动而产 生电的极化，从而导致元件两个表面上出现符号相反的束缚电荷，而且电荷密度 与外力成比例，这种现象称为正压电效应。正压电效应反映了压电材料具有将机 械能转变为电能的能力。检测出压电元件上的电荷变化，即可得知元件或元件埋 入处结构的变形量，因此利用正压电效应可以将压电材料制成传感元件。 如果在压电元件两表面上施加电压，由于电场的作用，造成压电元件内部正 负电荷中心产生相对位移，导致压电元件的变形，这种现象称为逆压电效应。逆 压电效应反映了压电材料具有将电能转变成机械能的能力。利用逆压电效应，可 以将压电材料制成作动元件，将压电元件埋入结构中，可以使结构变形或改变应 力状态。 压电效应是p i e r r ec u r i e 和j a c o u o qc u r i e 于1 8 8 0 年发现的，当时仅限于压电单晶 材料。至本世纪4 0 年代中期，美国、苏联和日本等各自独立地发现了钛酸钡( b a t i 0 3 ) 陶瓷的压电效应，发展了极化处理法，通过在高温下施加强电场而使随机取向的 晶粒出现高度同向形成压电陶瓷。压电陶瓷与压电单晶相比具有很多优点，如它 的制备容易，可制成任意形状和极化方向的产品；耐热、防湿且通过改变化学成 分，可得到适用于各种目的的材料。5 0 年代中期，在研究氧八面体结构特征和离 子置换改性的基础上，英国的b j a f e 发现了钛酸铅( p z t ) 固溶体，它的机电耦合系 数、压电常数、机械品质因素、居里温度和稳定性等与钛酸钡陶瓷相比都有较大 的改善。因此它一出现，就在压电应用领域逐步取代了钛酸钡陶瓷，并促进了新 型压电材料和器件的发展。1 9 7 0 年，g h h e a r t l i n g 等研制出钛酸铅( p u t ) 透明压电 陶瓷，使压电陶瓷的应用扩展到电光领域，目前利用材料复合技术己研制出多种 压电复合材料，它们的压电性能比单相压电陶瓷提高许多倍，并且出现很多新的 功能，扩大了压电材料的应用范围。 1 9 6 9 年，日本的h k a w a 报导了聚偏二乙烯( p v d f ) 聚合物具有压电性，且具有 柔软、可弯曲、重量轻、机械强度高、耐冲击，频响( 1 1 h z 5 0 0 m h z ) 压电常数高及 可以裁剪成任意形状等优点，因此p v d f 深受重视并发展迅速。 描述压电元件的正逆向压电效应是通过压电本构方程来实现的，其表达式可 用张量形式表示为： 0 篇c 0 ( l + d 西e ，( i ，u j ，x = 1 ，2 345 ，6 ) ( 1 - 1 ) d i = 屯吒+ e ，( i ，u , j , x = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 )r 1 们 1 - ， 式( 1 1 ) 意味着压电材料的应变是由于它承受应力和电场两部分影响的叠加，其中 第一项吒是表示电场强度e 为零( 或常数) 时应力对应变的影响；第二项d 。e ，是 电场强度对应变的影响。式中代表电场强度e 为零( 或常数) 时的弹性柔顺常数， 随机智能梁振动控制及优化配置研究 通常称为短路弹性柔顺常数，单位是m 2 n 式( 1 2 ) 中的第一项丸吒是应力造成的电位移；第二项易是在应力为零的 情况下，电场强度影响造成的电位移。式中s 表示应力，为零( 或常数) 时的介电常 数，单位是f m 压电材料既能作为传感元件，又能作为驱动元件，并且能够组织成复合材料， 因此在智能结构中有着广阔的应用前景。在航空领域压电材料得n t 良好的应用， 如将压电材料和飞机机翼表面材料耦合起来，通过改变翼型和前后缘角度，实现 飞机的气动弹性操纵。在结构材料中加入压电驱动元件，可以对结构的振动和噪 声进行主动控制。利用压电元件作为传感元件，可以测量材料破坏时的发声信号， 从而得知裂纹的位置、冲击载荷的大小和位置；还可以利用压电元件作为振源， 用压电传感器测量原始缺陷的类型，以及连接螺钉的松动情况。利用压电元件制 成压电作动筒，可用在航天结构的桁架之中。此外，压电复合材料是目前智能结 构的主要发展方向。 1 2 2 形状记忆合金 这类材料包括形状记忆合金( ! t i n l i i ， c u z n a i ，c u a i n i ，f e m n s t ，ni a i 等) 以及形状聚合物( 如聚氨基甲酸乙酯等) 。它们在特定温度下会分别发生热弹性马氏 体相变或玻璃化转变，其性能( 如电阻、弹性模量) 发生显著变化( 如聚氨基甲酸乙 酯在玻璃化温度下的弹性模量可变化5 0 0 倍) 。经过处理材料能记忆其在相变前后的 形状。它可以加工成片材、丝线或薄膜，特别是能产生大的应力或应变，但是因 为加热周期较长，故只能应用于低频振动的控制。形状记忆材料可用于智能结构。 如在复合材料中嵌入形状记忆材料纤维，用以控制声发射、振动与挠曲，相对压 电材料来说，形状记忆材料响应慢将对瞬时电流要求较高耗能较高。 1 2 3 磁致伸缩材料 这类材料在外加磁场的作用下，其尺寸、体积等会发生改变，如纯镍、n i f e ， n i c o ，等。最常用的是t e r f e n 0 1 d ，这是一种t b f e d y 的合金，其应变是镍合金的 5 0 倍，是压电陶瓷的l o 倍，其弹性模量为2 5 3 5 x 1 0 9 n ，m 2 ，具有较好的抗冲击性， 能提供较大的控制力，并且在低压电流产生的磁场中有很好的线性度和对电场变 化的响应能力。 目前，磁致伸缩材料作动器的位移约几十微米，一般均采用t e r f e n o l 棒材，另 外还有永久磁铁、励磁线圈、压紧弹簧等环节。这种作动器一般用于高精度微幅 隔振和自适应结构中。 第一章绪论 1 2 4 电流变流体 5 电流变流体由不导电流体和细小的悬浮状可极化的粒子组成。在通电状况下， 在极短的时间内粒子极化液体成为固体，原来随机分布的粒子呈有规律的柱状排 列。当电场撤销后，材料又恢复液态。在玉米油中加入玉米淀粉，在矿物油中加 入硅胶，在变压器油中加入纤维素，在硅油中加入沸石都可形成电流变流体。液 体通电后，悬浮粒子极化可形成很强的静电引力链，这种链即使断开，它们仍能 重新结合起来。电流变流体可以流入某些重要结构中，使结构受到冲击时能够自 动加固，能减振和防断裂。 1 2 5 光导纤维传感元件 光导纤维是最先应用于智能结构的传感元件，它具有一系列优点。如：对电 磁干扰不敏感；可沿着单线多路复用；光纤纤细，对基体材料的影响很小；无闪 光放电现象；频率响应高；能进行数据传输；光纤熔点高，而且不腐蚀，可以在 高低温和有害环境下工作。 光纤是有纤芯、包层、涂覆层、护套等构成同心圆形双层或多层结构。按光 导纤维在传感器中所起的作用，可将光纤传感器分为两大类：( 1 ) 功能型光纤传感 器。光纤直接用做敏感元件，即感受信息有传递信息；( 2 ) 非功能型传感器。光纤 仅起传输作用。 最近几年随着生物生命科学的发展，生物材料已应用于智能结构中，它的使 用使真正“智能”的机构得以实现。可是，生物体本身的复杂性，使得人们很难实现 对它的精确控制，加之在航天应用和工业应用中环境恶劣，所以怎样使生物材料 能保持其原有功能，也是有待解决的问题。 1 3 压电智能梁结构参数具有随机性时振动主动控制问题的研究 压电智能梁结构振动主动控在结构设计与控制中具有重要意义，因而它成为 当今国内外结构设计与控制领域中的研究热点。由于随机参数压电智能梁结构振 动主动控制较确定性参数智能结构振动主动控制问题复杂得多，故迄今为止所见 到的智能结构振动主动控制模型大多都属于确定性模型，即将结构的全部参数均 视为确定性量。事实上，在许多情况下，结构本身和作用荷载的随机性是客观存 在的。例如，一类大宗的或批量生产的结构，其物理参数取值往往带有分散性， 其结构几何尺寸的加工和在装配中都不可避免地会产生偏差；其所受地震、风荷 等作用荷载的幅值和频率也往往具有不确定性等等。显然，确定性的模型将无法 6 随机智能梁振动控制及优化配置研究 反映出结构参数的随机性对结构振动主动控制的影响。因此，进行随机参数情况 下的智能结构振动主动控制问题的研究是一个不可回避的问题。对于具有随机参 数的智能结构振动主动控制问题，确定性参数智能结构振动主动控制的方法已无 能为力，必须借助于基于概率( 即可靠性) 的振动主动控制模型和方法。所以，随机 参数压电智能梁结构振动主动控制是目前需要研究的重要课题。 确定性参数智能结构振动主动控制的研究在国内外已有了一些成果，但远未 成熟，而对不确定性参数智能结构振动主动控制的研究更少了，所以开展对随机 参数压电智能梁结构振动主动控制问题的研究具有重要的理论意义、学术价值和 工程应用价值。 1 4 本文的主要内容 本文的目的是从工程实际需要出发，对随机参数压电智能梁结构的振动主动 控制问题进行研究，以期获得对工程压电智能梁结构振动主动控制有意义的结论。 文中主要进行了基于概率的压电智能梁结构动力特性分析研究、动力响应分析研 究；建立了基于最大耗散能准则且具有动力响应可靠性约束的压电智能梁结构的 传感器作动器优化配置的数学模型。本文完成的主要工作包括以下几个部分： ( 1 ) 基于h a m i l t o n 原理，同时考虑压电智能梁结构的机电耦合效应建立了压电 智能梁结构有限元动力学方程。 ( 2 ) 在考虑压电智能梁结构及其传感器作动器的物理参数和尺寸参数具有随 机性的前提下，推导出了结构动力特性的数字特征与结构物理参数数字特征之间 的关系表达式，得出了对工程压电智能梁结构振动主动控制中动力特性分析有实 际意义的结论。 ( 3 ) 在分别考虑压电智能梁结构传感器作动器的物理参数、尺寸参数、作用 荷载及控制力分别或同时考虑其随机性的前提下，本文利用振动理论中的模态迭 加法，推导出了结构动力响应( 位移响应和应力响应) 的数字特征与压电智能梁结构 物理参数及作用荷载和控制力的数字特征之间的关系表达式，得出了对工程压电 智能梁结构振动主动控制动力响应分析有实际意义的结论。 ( 4 ) 用速度负反馈控制律，基于最大耗散能准则，建立了以传感器作动器配 置位置和控制系统增益为设计变量，具有动力响应( 应力响应和位移响应) 可靠性约 束的压电智能梁结构传感器作动器优化配置的数学模型。分别应用分布函数法和 可靠性安全系数法对模型中可靠性约束进行了等价显示化处理，使原可靠性约束 的优化问题可应用常规约束的优化方法来求解。 ( 5 ) 针对文中推导的动力特性和动力响应数字特征的求解公式，以智能梁结构 为例，编制了基于概率的结构动力分析程序，分别对结构动力特性及动力响应进 第一章绪论 7 行了分析，数值算例验证了本文提出的基于概率的动力分析模型及求解方法的正 确性与可行性。 ( 6 ) 针对文中建立的基于可靠性的压电智能梁结构的传感器作动器优化配置 的数学模型，编制了具有动力响应( 应力响应与位移响应) 可靠性约束的传感器作 动器配置位置优化设计程序，以智能梁为例对传感器作动器的位置进行了优化设 计并在此基础上进行了振动主动控制分析及仿真，证明了所建立的随机参数压电 智能梁结构振动主动控制模型的正确性与可行性，获得了一些对工程压电智能梁 结构振动主动控制有实际意义的结论。 第二章智能梁结构动力学方程 第二章智能梁结构动力学方程 2 1 有限元分析 2 1 1 智能梁结构有限元动力模型的建立 现在考虑图2 1 所示的长为，宽为b 的矩形截面压电智能梁结构，它由基梁 上下各粘贴一层单轴压电薄膜b 型p v d f 而成。上层是压电传感层，下层是压电 致动层。设传感层和致动层的弹性模量同为e p 质量密度为岛、厚度为t ；基梁的 弹性模量为e 。，质量密度为成、厚度为h 。并只在压电材料致动层的厚度方向上 施加电场。 图2 - 1 压电智能梁结构 ( 1 ) 本构方程 压电材料区的本构方程可表示为： 盯 = b 】h 一1 e ( 2 - 1 ) d = 【e 】 s ) “酬e ( 2 - 2 ) 其中： d 、 盯 、 占) 、 e 分别为电位移、应力、应变及电场强度向量：【d 小【e 】、【纠 分别为压电材料区的弹性常数阵、压电常数阵和介电常数阵。 对于e u l e r - b e m o u l l i 梁结构可以忽略剪变形，又因为压电材料仅在厚度方向上 极化，且在x y 平面上表现为各向同性，则( 2 1 ) 式可简化成【3 2 】 o x = e 。k 。一e 3 1 e ：( 2 - 3 ) 其中：e 。为压电材料的弹性模量：k ，为弯曲变形；e ，。为压电常数；e ：为在z 方 向上的电场强度。 由于只在致动层的厚度方向上施加电场强度e ，所以只考虑极化方向的电位 1 0 随机智能梁振动控制及优化配置研究 移见，则式子( 2 2 ) n 7 写为： d z = e 3 x + 3 3 e z( 2 4 ) 由弹性力学，在主体结构区( 基梁) 部分的本构方程为： 盯 = 【见】 s ( 2 - 5 ) 式中： 盯 、 s ) 分别为主结构区的应力和应变：【d 。】是主体结构材料的弹性常数阵。 由于本文只考虑梁的弯曲应变之影响，故式( 2 5 ) 可简化为： c r x = e 。k 。 ( 2 - 6 ) 其中e 。为主结构材料的弹性模量。 ( 2 ) 有限元离散化 考虑平面梁单元，如图2 - 2 所示。 图2 - 2 平面梁单元 现将梁离散分为1 1 个单元，对于仅受纯弯曲的梁，其轴向位移为相对小量， 故可不计，故只考虑梁的挠度和转角，则任意e 单元的位移向量 u 。 可表示为： 可将上式改写成 段 = r o l 岛吐岛 7 - t 。 = 一- t 2 鸬- * 4 7 ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) 将单元中的任一点位移缈以单元节点位移变量的插值函数形式表为： 4 = 【n 】 ， 【n 。n ：n ，n 。】 ，乇 = n ；一 ( 2 - 9 ) i ；l 其中n 。、n ：、n ，、n 。为相应的位移形函数，它们的表达式如下： 耻一x 2 + 争 n ：= 一x + 丢工2 一专x 3 n 3 - 3 三x 2 - - 吾 耻 ( 2 - l o a ) ( 2 - 1 0 b ) f 2 - 1 0 c ) ( 2 一l o d ) 第二章智能梁结构动力学方程 从而，梁单元的弯曲变形可以表示为： 屯一窘一吐w 其中微分算子 其中 三毒 将( 2 - 9 ) 式代入( 2 1 1 ) 式中，则得到： t = 一吐 ) 心 7 = 一z 色) 心厂 尻 = l n = 【岛q6 2 乞】 屯= 也= 詈一号x 46 q 2 i 一虿x 26 岛2 i 一虿x 电场矢量 e ) 是指电势 v 负方向的梯度，即有 e = 一v v ( 2 1 1 ) 佗- 1 2 ) f 2 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 曲 佗一1 5 b ) ( 2 - 1 5 c ) f 2 1 6 ) 当只在压电致动层厚度方向上施加电势v 。，则只存在压电致动层厚度方向上 的电场强度e ，它可表示为： 丘= 孚( 2 - 1 7 ) ( 3 ) 有限兀方程的建立 利用如下h a m i l t o n 原理可建立智能梁单元的运动微分方程 j j ( z 一以+ 呒妙= ( 2 1 8 1 式中：正、址、形分别为智能单元的动能、势能及外力所做的功。单元的动能正为： 疋2 圭l 岛 y + 圭d 矿( 2 - 1 9 ) 式中：成、纬分别为弹性材料和压电材料的质量密度；积分下限圪、匕分别为主 结构区、压电材料区；矿为单元的总体积。 由于压电效应对梁的固有频率的影响可以忽略刚，故在单元的势能玑中不需 要考虑压电效应，则单元的势能配中不需要考虑压电效应，则单元的势能址为： 以= 三l 7 j ) d 矿+ j 1 s 7 d d v ( 2 - 2 0 ) 1 2 随机智能梁振动控制及优化配置研究 外力所做的功睨在这里被考虑为梁上集中力所做之功，即为： 呒= 2 p ) ( 2 2 1 ) 将式( 2 1 9 ) 、( 2 - 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 代入式( 2 1 8 ) ，考虑到结构的阻尼，可得智能梁单 元的运动微分方程为： ( ，”。】+ 厅o ) 玩) + 【q 】 西。) + ( k 】+ 【露。】) = 只) + 只) ( 2 2 2 ) 其中 朋。】_ 成拍l 饥】 n d x ( 2 2 3 a ) 聊一】22 p p b t m 】【虬】出( 2 - 2 3 b ) 【k 】- 乜li 色) 。 色) 出( 2 2 3 c ) 【屯。】= 易l 鼠 1 鼠 出( 2 - 2 3 d ) l = 百b h 3 ( 2 - 2 3 e ) = b ( 8 t 3 + 币6 h 2 t 一+ 1 2 h t 2 ) ( 2 - 2 3 f ) f = p ( 2 - 2 3 9 ) 只 = k 】圪 ( 2 2 3 h ) 【k 】_ 鸲- l 限】d x ( 2 - 2 3 i ) 将梁单元的运动微分方程( 2 2 2 ) 经整理后可表为： 【m 】 暖 + 【c 】 n 。 + 【尼】 = e + f ( 2 2 4 ) 其中 【历】= 【】+ = ( p 。h b + 2 易舾) i 【虬】1 【玑】出= 6 ( 成矗+ 2 岛f ) 】 ( 2 2 5 a ) 【j 】- 【k 卜 吒， = ( 瓯l + 易) i e 】1 【境】出= 6 ( 毛，卅+ 髟，p ) 【k 】( 2 2 5 b ) 】- i 【饥r d x ( 2 - 2 5 c ) 【屯】- i 色 。 鼠 出( 2 - 2 5 d ) 经过单元组装后，整个智能梁结构的动力学有限元方程可表示为： 吖】 螽 【e 】 k ) “ = 只 辱 ( 2 2 6 ) 第二章智能粱结构动力学方程 1 3 其中： “) 、 打) 和f 行】分别是结构的位移向量、速度列向量和加速度列向量： 层 为外来的总质量和总刚度矩阵，它们的表达式分别为： 【m = b ( p m h + 2 p p t ) m o 】 ( 2 2 7 a ) 【k 】= ( 瓦l + e a ) k o 】 ( 2 2 7 b ) 其中：【m 。】和【k 】分别由各单元的【】和心】阵组合而成。 2 2 压电智能梁的振动主动控制 2 2 1 传感方程 由于施加在传感层上的电场强度为零且电荷只在厚度方向上聚集，则由式( 2 3 ) 可得传感层上的电位移为： 见= e 3 l 吒( 2 2 8 ) 由于在压电传感层表面上形成的总的电荷是压电传感层空间上所有点电荷之 和，故将点位移在梁单元的长度上的积分，可得地i 个智能梁单元的传感方程为： 吼= 丢6 1 2 ( 气皿+ i 见( 钔出 = 圭6 巳。 i 吒( ) 出+ l 也( 毛) 出 ( 2 - 2 9 ) 其中：2 0 = h 2 + t ，互= h 2 为梁截面上的几何尺寸，见图2 - 3 将式( 2 - 1 3 ) 代入上式，则有： 吼= 一吉坞。f ( 气+ 毛) 慨 威= - r ，b e 3 f 陋k ( 2 - 3 0 ) 其中= 去( + 毛) 为传感层中面的z 坐标。 图2 - 3 压电梁示意图 传感方程( 2 3 0 ) 1 2 映了压电传感层的输出电荷与梁上表面应变的关系，即给出 了梁上表面平均应变的电荷值。将方程( 2 - 3 0 ) 对时间求一阶导数，则第i 个智能梁 单元压电传感层表面的电流可表示为： 1 4 随机智能梁振动控制及优化配置研究 i ( t ) = d q 。( t ) i d t = 一b e 3 。f 哦协= 一岛。f e 】出 吃) ( 2 - 3 1 ) 这样可以将节点速度以压电层表面的电流为输出信号，通过控制系统放大处 理后，再反馈到第i 个单元致动层上的电压为： 巧( f ) = g ( f ) = 峨】舨 ( 2 - 3 2 ) g v 】2 t 鸲l 【e 协 ( 2 - 3 3 ) 其中g 为第i 单元反馈增益系数，式( 2 3 2 ) 实际上是将反馈电压以节点速度的形式 表示。 2 2 2 致动方程 由式( 2 3 ) ，压电致动层上由逆压电效应而形成的应力为： 吒= 一e 3 1 e( 2 - 3 4 ) 它所对应的弯矩为： m = 2 c r x b ( h 2 + 0 2 一r 2 】_ 弓ie 3 l e ：b ( h 2 + ，) 2 _ t 2 一e 3 l b r y ( 2 - 3 5 ) 其中：= = 1 ( + z 。) 为致动层中面的z 坐标；v = e ，为压电致动层厚度方向上所 施加的反馈电压。 这样，由反馈电压产生的力矩m 就成为控制梁的变形和挠度的反馈控制弯矩， 也就是说，反馈控制力 辱 指的作用在各个单元上的反馈控制弯矩。 2 2 3 阻尼主动控制 本文在控制上采用的是速度负反馈控制律。根据以上分析，将式( 2 3 2 ) 代入到 式子( 2 2 3 h ) 中，可得。 e = k 】【g ，】 吃) = _ 巳】 吃 ( 2 3 6 ) 其中 c a = g , b 2 e 3 1 1 r , i b 。 。出l 鼠i & ( 2 3 7 ) 再将式( 2 - 3 6 ) 代入式( 2 3 4 ) q h ，则得： 【肼】 玩 + ( 【巳】+ 【乞】) 打。 + 纠 虬 = 只 ( 2 - 3 8 ) 由式( 2 3 8 ) 可以看出，若采用速度负反馈控制律控制，则系统动力学方程中的 阻尼项将由两项组成：一项是智能梁结构本身的阻尼，而另一项是由反馈控制力 第二章智能梁结构动力学方程 所引起的等效阻尼这样，通过闭环反馈控制，将使地智能梁结构总的阻尼增大了， 从而提高了其抑制自激振动的能力。由此亦不难看出，通过改变反馈增益系数， 可实现改变结构总的阻尼，从而可迅速衰减结构的瞬态响应，达到振动主动控制 及抑制的目的。 2 3 压电智能梁结构动力学方程及其求解方法 前己构建压电智能梁结构的动力学有限元方程为： l 膨】 西 + 【c t 】 厅 + 【k 】 “) = b ) + 日 ( 2 3 9 ) 从数学的角度来看，这是一组彼此耦合的二阶常微分方程，原则上可利用求 解常微分方程组的各种数值方法求解。但对于结构有限元动力学方程，由于方程 的矩阵阶数很高，利用这些常用的数值算法必须花费很高的代是不经济的，一股 不予采用。在结构分析中，对于动力学方程( 2 3 9 ) 常用的求解方法有两种：直接积 分法和模态迭加法。 直接积分法亦称为逐步积分法。它的基本思想是将时间城离散化，即将时间 范围t 离散为1 1 个微小时间间隔，从初始状态开始逐步求出每一时间间隔f 上的 结构的位移、速度和加速度。该方法的优点是：它是一种完全的数值方法，既适 用于线性问题又适用于非线性问题。其缺点是：必须给出结构系统的阻尼矩阵， 这在实际应用中通常是非常困难的。 模态迭加法又称为振型迭加法。其求解的关键是在对运动方程积分之前，先 利用结构的固有报型将方程解耦。转化为另一坐标系( 称为主坐标或主模态) 下的一 组互不耦合的方程组，然后在这一新坐标系下对方程组进行求解，最后再通过坐 标变换，求出结构在原物理坐标系下的动力响应。在某些情况下，模态迭加法可 以得到比直接积分法更高的计算效率。因此，本文采用了模态迭加法。 2 4 本章小结 本章将针对压电e u l e r - b e r n o u l l i 梁结构展开有限元分析，通过引用电自由度来 利用压电材料的压电耦合特性，结合h a m i l t o n 原理推导出结构的质量矩阵和刚度 矩阵，采用常增益速度负反馈控制率，以节点速度的形式表示反馈电压，进而得 出反馈控制弯矩，并由此得出压电智能梁结构振动主动控制的动力学有限元方程。 第三章基于概率智能粱结构的动力特性分析 1 7 第三章基于概率的智能梁结构的动力特性分析 由于结构在产生过程中不可避免地受到多种随机因素的影响，因而其物理参 数和几何参数的取值将会呈现出一定的分散性，即随机性。而结构物理参数和几 何参数的随机性必将导致结构刚度矩阵和质量矩阵的随机性。对于智能梁结构， 在考虑其结构物理参数和几何参数的随机性之后，如何建立结构的刚度矩阵和质 量矩阵，以及如何进行结构动力特性和动力响应分析，这些均是随机智能梁结构 振动主动控制中必须首先予以解决的问题。 3 1 随机智能梁结构的质量矩阵 由前一章式( 2 2 7 a ) 推得的结构总质量矩阵为： 【m 】- 6 ( 成| | i + 2 p p t ) m o 】 ( 3 一1 ) 可见，影响结构总质量矩阵的物理参数和尺寸参数分别有：主体结构材料质 量密度“、压电材料质量密度岛、梁截面宽度b 、主体结构的厚度h 和压电层的 厚度t 。为此，下面我们将分别推导当梁结构的物理参数( 成，以) 和尺寸数( b ，h ， f ) 各自为随机变量，或同时为随机变量的三种情况下结构的总质量矩阵。 3 1 1 物理参数为随机变量与尺寸参数为确定性量 由于正态分布( n o r m a ld i s t r i b u t i o n ) 是工程中乃至自然界中最普遍存在的一种 随机变量的分布类型，本文参照实际工程中常用的处理方法，假设材料物理参数 中的质量密度p 和弹性模量e 均服从正态分布。而对于实际中随机变量分布为非 正态分布的情况，我们总可以通过当量正态化方法，将其等效为正态变量【5 5 】 设：成、成服从正态分布，即有： 成 ( ，) ，2 芒，易 ，巩2 薏 其中：，d ，v 。；，o p p ，。分别为主结构材料和压电材料的质量密度之均值、 均方差和变异系数。 若以和d 取值的分散程度相同，即两者的变异系数相同，从而= = ， 1 8 随机智能粱振动控制及优化配置研究 则可取以= 岛岛( 向为比例常数) 。 令t = a ( a 为比例常数) ，则式子( 3 1 ) 可表示为： 【m 】= p , b h o + 2 岛a ) 吖0 】 ( 3 2 ) 令：成= 一，其中p r n ( 1 ，) 为质量密度成的随机因子：= 为质量密度 成中的确定向量，则式子( 3 2 ) 又进一步表示为： 【m 】= n6 l 啊成6 8 h 4 ( 1 + 2 墨a ) 眠 = ( 1 + 2 向z ) 一 眠】4 ( 3 - 3 ) 其中：【帆】= b h m 。】 由此表达式可见，在结构物理参数为随机变量的情况下，结构质量矩阵的随 机性将取决于质量密度的随机因子n 。 3 1 2 物理参数为确定性量与尺寸参数为随机变量 设：结构尺寸参数b ，h ，t 均为随机变量，且服从正态分布，即有： 6 ( 儿，) ，= _ ! 生 地 h n ( a h ，) ，= 丑 地 f ( 肛，q ) ，b = 旦 h 其中：，d k ，y 。；，d 石，y ，；，d 知，1 分别为主结构的宽度和厚度以及压电层 的厚度的均值、均方差和变异系数。 分析方法同上，假设h 和t 的变异系数相同，即吩= ，则可取t = 2 h ( 五为比 例常数) ，再令成= 岛成( 向为比例常数) ，则式子( 3 1 ) 可表示为： m 】_ p b h ( 1 + 2 k 1 a ) m 。】 ( 3 4 ) 令：h = 啊矿，b = 6 1 6 4 ，其中啊( 1 ，咋) ，b j n ( 1 ，屹) 分别为各相应参数的随机因 子：h 4 = 胁，b = 心，分别为各相应参数的确定性量，则式子( 3 4 ) 可表为： ，】= 6 l 啊z 6 4 h 4 ( 1 +