（基础数学专业论文）随机利率下某些期权的定价公式.pdf

t ! ：0 ：i r 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文：随机利率下某些期权的定价公式，是在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者f 签名? ：杏芡多z 矶| o 年i 窍6e l 指导教师确认( 签名) ：刍l 丽j i i 覆 砌o 年历日 、 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适用本授权书) 论文作者，( 签名) ：杏莫铭 阳| o 年6 罚6e l 指导教师。：韧劢夏 p f o 年6a ( ) e l 2 摘要 本文在随机利率下，借助于测度变换得到了标准欧式看涨期权的定价公式然 后，借助i t o i j l 理，等价鞅理论和g i r s a n o v 定理，在利率服从o r n s t e i n - u h l e n b e c k 模型 时，得到了线性区间期权的定价公式，其中线性区间期权的定价公式为： 定理a 设期权的到期日为丁，当股票的执行价格满足k k 1 ，z 2 】时，规 定r 时刻的期权价格为a + 6 s ，则当利率满足d r = ( 以一a t r t ) 出+ a ，( t ) d z t 时，线性 区间期权在时刻t 的定价公式为： c ( t ，s ) = 6 s n ( d x ( t ，丁) + 盯( ，t ) ) - b s t ( d 2 ( t ，t ) + 盯( t ，丁) ) + 口b ( ，t ) n ( d l ( t ，t ) - ；口( ，丁) ) 一a b ( t ，r ) j 、，( d 2 ( ，t ) 一；盯( t ，丁) ) ， 其中，c r 2 ( ，s ) = f 砰( u ) 五2 ( ”，s ) d v + 2f 仃( u ) 胁( u ) 五( 钉，s ) d v + f 盯2 ( t ，) 咖， a ( u ) = e 印( 一v ua 。幽) ，五( 乱，u ) = ，：= ，a ( u ，s ) d s ，v s t ，以( ，t ) = i n s t - i n x i b ( t , t ) ( i = 1 ，2 ) 文章的最后又用同样的方法：在利率服从相同的利率模型时，获得了标准欧式 帽子看涨期权，标准欧式两点式看涨期权和标准欧式缺口看涨期权的定价公式，从 而推广了以前文章的结论 关键词：i t o 引理，等价鞅理论，g i r s a n o v 定理，随机利率，期权定价 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，u n d e rt h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，w eg o tt h ep r i c i n gf o r m u l ao f s t a n d a r de u r o p e a nc a l lo p t i o nb ym e a n so fm e a s u r et r a n s f o r m a t i o n t h e nu s i n g i t o sl e m m a ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ea n dg i r s a n o vt h e o r e m ，w h e ni n t e r e s t r a t e sw e r es u b j e c tt oo r n s t e i n u h l e n b e c km o d e l w eh a do b t a i n e dal i n e a rs e g m e n t o p t i o n s p r i c i n gf o r m u l a ，i nw h i c ht h el i n e a rs e g m e n to p t i o n s p r i c i n gf o r m u l aw a s ： t h e o r e ma s e t t i n gt h eo p t i o ne x p i r yd a t et ，w h e nt h es t o c ke x e r c i s ep r i c ek c o u l ds a t i s f yk 【x l ，x 2 】u n d e rt h ec o n d i t i o na tt i m et ，t h eo p t i o np r i c ep r o v i d e d f o ra + 6 t h e nw h e nt h ei n t e r e s tr a t e sm e tt h ed r t = ( o t a t r t ) d t + a r ( t ) d z t ， l i n e a ri n t e r v a lo p t i o np r i c i n gf o r m u l aa tt i m etw a sa sf o l l o w s ： c ( ，& ) = b s t n ( d t ( t ，丁) + 盯( t ，t ) ) 一b s t n ( d 2 ( t ，t ) + 口( t ，丁) ) + o 启( ，丁) ( d 1 ( t ，t ) 一 ；矿( ，丁) ) 一a b ( t ，t ) n ( d 2 ( t ，t ) 一 ( ，丁) ) ， w h e r e ， 盯2 ( t ，s ) = rd ( o ) a 2 ( t j ，s ) d v + 2f 仃( u ) j d 听( u ) a ( 口，s ) d v + f6 r 2 ( v ) d v ，a ( u ，u ) = e x p ( 一c 吼a ( u ，u ) = ca ( u ，s ) d s ，v s tjd i ( t ，t ) = 丛啬斧盟( 江l ，2 ) a n df i n a l l yb yt h es a m ew a y , w eo b t a i n e dt h es t a n d a r de u r o p e a n s t y l eh a tc a l l o p t i o n s ，t h es t a n d a r de u r o p e a nt w o - s t y l ec a l lo p t i o n sa n ds t a n d a r de u r o p e a ng a p c a l lo p t i o n s ，f r o mt h i sa r t i c l ei nt h ei n t e r e s tr a t es u b j e c tt ot h es a m ei n t e r e s tr a t e m o d e l ，a n dg e n e r a l i z et h ec o n c l u s i o n so fp r e v i o u sa r t i c l e s k e y w o r d s ：i t o sl e m m a ，m a r t i n g a l et h e o r y , g i r s a n o vt h e o r e m ，s t o c h a s t i ci n t e r e s t r a t e s ，o p t i o np r i c i n g 1 1 1 目录 摘要i a b s t r a c t i i i 目录v 第一章绪论1 1 1当前期权定价理论的发展背景 1 1 2期权定价理论的发展 1 1 3b l a c k - s c h o l e s 公式的推广4 1 4 本论文的主要内容和创新点 5 第二章预备知识7 2 1 股票期权的定义，分类和价格7 2 2 维纳过程和伊藤引理9 2 3b l a c k - s c h o l e s 微分方程1 1 2 4 等价鞅测度1 2 2 5b l a c k - s c h o l e s 公式的一种解法1 3 第三章随机利率下线性区间期权和几种奇异期权的定价公式1 9 3 1 一些假设和定义1 9 3 2 随机利率下线性区间期权的定价公式2 0 3 3 几种奇异期权在随机利率下的定价公式2 4 参考文献2 9 致谢3 3 v 第一章绪论 1 1当前期权定价理论的发展背景 自从f b l a c k ，m s c h o l e s 和r m e r t o n 在1 9 7 3 1 】年发表了著名的有关标准欧式 期权定价公式文章之后，金融衍生产品的交易量和产品种类都有了突飞猛进的增 长尤其是在过去的2 0 年内，衍生产品在国际金融市场上起着无比重要的作用在 交易所和场外市场上，交易的品种也日益复杂，而且衍生产品对创造性地解决众多 的金融问题，如风险管理、企业融资、为政府金融监管部门提供规范和监管金融市 场等都起到了无可替代的作用 随着衍生产品在应用中的发展，衍生产品在其理论研究方面也有了迅速的发 展c o xr o s s 和r u b i n s t e i n 2 l 将f b l a c k ，m s c h o l e s 和r m e r t o n 方法引进了风险中 性定价方式这种方法奠定了对复杂的衍生产品定价以及数学在金融中应用的基 础最近几年以来，人们发展了越来越多的复杂的数学模型【3 - - l l 】，以便提高其真实 性，并且更有效地提高风险管理的可靠性 金融工程是数学在实际中应用的一个典型范例在国际上，许多数学家都以不 同的观点将自己的研究成果成功的应用在这一领域中 1 2 - - 1 9 1 最近几年，在国内的 数学界也有许多人在进行金融工程，风险管理以及金融数学等方面的研究工作，并 且取得了很有价值的成果几乎各大院校，像中国科学院应用研究所，清华大学，北 京大学，复旦大学，南开大学，浙江大学，山东大学，武汉大学，中山大学等都有入 在积极地进行这些方面的研究 1 2期权定价理论的发展 1 b a c h e l i e r 2 0 l 公式 1 9 0 0 年法国数学家b a c h e l i e r l 发表了投机理论的论文，这是第一篇系统的 用数学的知识介绍金融市场和有关期权定价理论的论文，而这篇论文也是b l a c k - s c h o l e s 公式产生的根源在这篇论文中他假设股票价格服从布朗运动，且股票收益 为正态分布，得到了无红利支付的股票的标准欧式看涨期权的定价公式： c ( s o , o ) = 洲丽s o - k ) k n ( s 州o - k m 佩( 等) ， 1 其中，岛表示零时刻股票的价格，表示敲定价，t 表示期权到期的时间，c ( s t ，亡) 表 示t 时刻标准欧式看涨期权的价格，口表示收益的标准差，( ) 表示标准正态分布函 数，佗( ) 表示标准正态分布概率密度函数 这个公式允许负的证券和期权价格，且忽略了资金的时间价值 2 s p r e n k l e 2 1 j 公式 s p r e n k l e ( 1 9 6 1 ) 假设股票价格服从对数正态分布，且股票价格的平均值和方差 都固定，标准欧式看涨期权定价公式： c ( s o ，0 ) = e x p ( p t ) 岛n ( d 1 ) 一( 1 一a ) k n ( d 2 ) ， 其中， d l = 1 ( a x t ) 1 n s 石o + ( p + 喜c r 2 ) t 】， c 1 2 = d l v r v t p 表示股票价格的平均增长率，a 表示风险厌恶程度 显然若用此公式计算期权价格必须估计股票价格的平均增长率和风险厌恶程 度，但是这两者并不易估计，因此降低了此公式的实际应用价值 3 b o n e s s 2 2 公式 b o n e s s ( 1 9 6 4 ) 假设股票的收益率为一个固定的对数分布，标准欧式看涨期权的 定价公式： c ( s o ，0 ) = s o n ( d 1 ) 一ke x p ( - p t ) n ( d 2 ) ， p 表示股票的预期收益率 此公式与b l a c k - s c h o l e s 公式很类似，但是不同的在于b l a c k - s c h o l e s 公式中p 是 用无风险利率代替的 4 s a m u e l s o n 2 3 公式： 1 9 6 5 年，s a m u e l s o n 发现期权和股票的收益率受到风险特征的影响，他根据不 同的风险特征得到了标准欧式看涨期权的定价公式： c ( s o ，0 ) = s oe x p - - ( p 一口) 卅n ( d 1 ) 一ke x p ( 一a t ) n ( d 2 ) ， 显然由模型3 和模型4 易知，模型3 其实是模型4 的一个特例，即模型4 中令口= p l l p 得模型3 仔细分析以上四个模型易知，这四个模型都考虑到了投资者对股票收益和风 险的偏好，这使得这以上四种模型的实际应用价值不大 2 的发展有很大作用的b l a c k - s c h o l e s 模型其实就是在以 1 l 得到了有关期权定价的数学模型，i 而b l a c k - s c h o l e s 定 价公式引起了全世界实物界，经济理论界的很大关注，从此股票交易的实际活动有 了理论的支持，并且人的行为也可以定量的描述b l a c k - s c h o l e s 公式无论是在数学 界还是金融界都得到了极大的认可 为了得至o b l a c k - s c h o l e s 公式，先满足以下假设( 规定在以下的文章中，除了在 研究随机利率的问题时，这些假设都是成立的) ： 股票价格服从以下过程： d & = s t # d t + s t a d z t ， 其中“，仃均是常数 p 允许卖空证券，并且允许使用所得收入： p 没有交易费用，也没有税收，且所有证券都可以任意的分割； p 不存在无风险套利机会： p 证券的交易是连续的： q 短期无风险利率r 是一个常数，且所有的期限都用同一个常数r 由此得到的标准欧式看涨期权的定价公式： c ( s o ，0 ) = e x p ( - r t ) e m a x ( s r ko ) 】， 买中e 代表风险中性世界中的期望值，7 和c | 匝满足微分万程： r c = o a c t ，s a c 9 否c + 丢仃2 。2 万a 夺2 c ， 此微分方程的解是： c ( s o ，0 ) = s o n ( d z ) 一ke x p ( 一r t ) n ( d 4 ) ， 其中d 3 = ! n - 皇+ ，( r 行+ a 2 2 ) t ，出= d 3 一仃厅 表示敲定价，t 表示到期时问，盯表示波动率 3 1 3 b l a c k - s c h o l e s 公式的推广 由上面的模型5 易知，b l a c k - s c h o l e s 公式已经忽略了股票的平均收益和投资的 风险偏好，这样不仅很容易定价期权，而且很大程度上也推动了期权市场的发展 随后就有很多有关b l a c k - s c h o l e s 公式的推广形式 c ( s t ，t ) 表示t 时刻的期权价格，k 表示股票的敲定价，g 表示红利率，& 表示t 时 刻的股票价格 ( 1 ) 支付红利的欧式看涨期权b l a c k - s c h o l e s 定价模型： c ( s o ，0 ) = s oe x p ( - q t ) n ( d s ) 一k e x p ( - r t ) n ( d 6 ) ， 其e e d s 二蝗兰铲，d 6 = d s 一仃厅 ( 2 ) 远期看涨期权价格： c ( 岛，0 ) = f oe x p ( - q t ) n ( d 7 ) 一ke x p ( - r t ) n ( d 8 ) ， 其中r 表示时问t 到期的远期合约零时刻的价格，d 7 = 堕学，d s = d 7 一仃行 ( 3 ) 货币期权欧式看涨期权价格： c ( s o ，0 ) = s oe x p ( - r l t ) n ( d 旧) 一e x p ( 一r 丁) ( d l o ) ， 其中r ，表示外币无风险利率，也= i n - 翌+ ( r 。- 行r l + 矿2 2 ) t ，d l 。= d 7 一盯行 ( 4 ) b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式其他形式的推广： f 耙= 裳+ ；鬈； ic | t r = 彤( 曲，丁) ( 边界条件) 根据边界条件的不同可以得到复合期权，选择人期权，两点式期权，回望期权， 资产交换期权，帽子期权，缺口期权等期权的定价公式 ( 5 ) 与路径有关的奇异期权定价公式f 2 4 l 障碍期权的定价公式； 下跌一敲入看涨期权：当h k ( h 是障碍水平) c 越= s o n ( x 1 ) e q t k e r t n ( x l 一盯 亍) 一s o e 一矿( 驯岛) 2 i n ( 一y ) 一n ( y 1 ) 1 + k e - r r ( 驯岛) 2 a 一2 i n ( 一y + 盯 亍) 一( 一y l + 仃、亍) 】， 其中z = 絮铲+ a 仃行，y l = 絮铲+ 射厅 上升一敲出看涨期权： c = c c t i ( 6 ) 多种标的资产的b 1 a c k s c h o l e s 期权定价公式1 2 4 j 其中以= i n 最( i = l ，2 n ) ，同理，根据边界条件的不同可以得到以上多种期权在多 维情况下的定价公式 1 4 本论文的主要内容和创新点 现在很多学者以b l a c k s c h o l e s 公式为基础，或者改变其中的假设条件，或者应 用于一些新型的期权，得到了很多有很大使用价值的期权定价公式 文献【1 5 1 研究了在分数布朗运动模型下，并且假设无风险利率和红利率均是时 间非随机函数的情况下标准欧式期权定价问题；文献【1 6 1 给出了存在汇率风险欧式 期权的定价问题：文献 1 7 1 研究的是标的资产价格服从混合分数布朗运动模型下 的标准欧式看涨期权的定价问题；文献f 1 8 】考虑有交易费和随机分红的标准欧式 期权的定价问题，o 文献 2 5 1 研究了利率是时间t 的确定性函数情况下的复合期权定 价问题；文献【1 4 】则进一步研究了利率为随机情形下的某些奇异期权定价问题；文 献 1 9 i 开究了一种新型的期权线性区间期权的定价问题 定理1 1 【1 9 1 ：设期权的到期日为丁，当股票的执行价格k 满足k b l ，x 2 】时，规 定t 时刻的期权价格为a + b s r ，则当利率是常数时，线性区间期权在t 时刻的定价公 式： c ( s ，t ) = 6 & d ( x 1 ) 一d ( x 2 ) 】+ 口e 一7 ( t - t ) d ( z 1 ) 一d ( z 2 ) 】， 其中d ( z t ) = 【i n 鲁一( r 一；盯2 ) ( t t ) 】( 盯、霸) ( t = 1 ，2 ) 然后本文把随机利率下期权定价问题拓展到线性区间期权进行研究，主要使 用了i t 0 9 i 理，等价鞅测度，g i r s a n o v 定理等分析方法来得到了线性区问期权和其他 二些期权的定价公式 5 毗 司 x纛剀 一 即吨 小岛 + 丝巩 i | i l 玎 他乩 当利率满足d r t = ( 巩一a t r t ) 出+ d t ) a z t 时，本文得到了以下期权在t 时刻的定 价公式 定理a 设期权的到期日为t ，当股票的执行价格k 满足【x l ，茹2 】时，则线性 区间期权在时刻的定价公式： c ( ，s ) = b s t n ( d , ( t ；丁) + ；口( ，t ) ) - b s t n ( d 2 ( t ，r ) + ；盯( t ，丁) ) + n b ( ，t ) n ( d l ( t ，t ) - ；o ( t ，丁) ) 一a b ( t ，t ) n ( d 2 ( t ，丁) 一；盯( ，丁) ) ， 其中，a 2 ( t ，s ) = 正su 八2u ，o - 2 ( u ，s ) d v + 2 仃( v ) p o d v ) a ( v ，s ) d v + 片0 2 ( v ) d v ， 。u ，u ) = e x p ( - e 。d s ) ，a ( u ， ) = ：in ( u ，s ) d s ，y s t ，d i ( t ，t ) = 业铲( 江 l ，2 ) ( 规定在以下的文章中研究有关随机利率的问题时，n ( 牡，u ) ，a ( 让，t ，) ，盯( 亡，丁) 的定 义与此相同) 注1 当n 是常数，a = 一k ，b = l 时，上面的结果就是b l a c k - s c h o l e s 公式1 1 j 注2 当利率是常数时，上面的结果是定理1 1 的推广 注3 当a = 一k ，b = 1 ，z l = k ，z 2 = + o 。时，是随机利率下奇异期权的定价公 式f 1 4 】文章中引理2 的推广 定理b 设期权的到期日为丁，当股票的执行价格为k ，标准欧式帽子看涨期权 在时刻的定价公式为： c m ( s t ，；k ，+ m ) & ( d k ( ，丁) + 盯( ，t ) ) 一k b ( t ，t ) n ( d k ( t ，t ) 一；盯( ，t ) ) 一 s n ( d k + m ( t ，r ) + 仃( ，丁) ) + ( k + m ) b ( t ，t ) n ( d k + m ( t ，t ) 一；o ( t ，丁) ) ， 其中，a 2 ( t ，s ) = f 砰( u ) 护( 秒，s ) d v + 2f ：o ( v ) p 盯d v ) a ( v ，s ) d v a ( u ，钞) = e 印( 一r d s ) ，a ( u ， ) = ca ( u ，s ) d s ，v s t ，d k + m ( t ，t ) = + l ；0 - 2 ( v ) d v 。 定理c 设期权的到期日为t ，当股票的执行价格为k ，标准欧式两点式看涨期 权在时刻t 的定价公式： 1 ( & ，t ) = b ( t ，t y n ( d k ( t ，t ) 一言盯( 芒，丁) ) ， 其中，a 2 ( t ，s ) = f 晖2 ( v ) a x v ，s ) d v + 2f 盯( ) p 西( t ，) a ( ，s ) d v + f0 2 ( v ) d v ，a ( u ，u ) = e x p ( 一ca s d s ) ，磊( u ，u ) = a ( u ，s ) d s ，y s t ，d k ( t ，t ) = i n s t - i n i ( i k 两) b ( t , t ) 定理d 设期权的到期日为t ，当股票的执行价格为k ，标准欧式缺口看涨期权 在时刻f 的定价公式为： c c ( s ，t ) = s t n ( d k ( ，t ) + 丢盯( ，丁) ) 一( 2 k g ) 口( ，t ) n ( d k ( ，t ) 一互1 盯( ，丁) ) ， 其中，a 2 ( t ，s ) = f 露( ” e 印( 一co 。d s ) ，a ( u ，u ) = 6 u ，s ) d v + 2fp a ，( 口) a ( 秒，s ) d v + f 口2 ( v ) d v ，a ( u ， ) = 。( u ，s ) d s ，v s2t ，d k ( t ，t ) = 业筹衄 烈c 、， llliiiiiilliiiiiiiiiiliiiil 第二章预备知识 2 1股票期权的定义，分类和价格 2 1 1 股票期权的定义 期权指的是拥有者在到期日或到期日以前以交易双方敲定的价格购买或售出 一定数量的某种商品的权力因此期权只是一种选择的权力，并不是义务股票期 权第一次是在芝加哥交易所( c h i c a g ob o a r do p t i o ne x c h a n g e ) p ( c b o e ) 内开始交 易的从此之后期权市场发展速度很快现在，我们可以看到在世界各地的交易所 都有期权的交易期权的标的资产可以是货币，股票，期货和股票指数等【2 4 】 期权在本质上不同于远期合约和期货产品，期权拥有者拥有某项权利，但是却 不一定执行这项权利因为期权没有相应的义务，期权仅仅是一项权力，而不是义 务；另外一点区别，即远期和期货合约开始生效时，交易者不用付费( 需缴纳保证金 的除外) ，但是对于期权来说，拥有者要想获得一份期权，在开始时刻必须付一定的 费用，也就是我们所说的期权价格 由此易知，期权只是一项权力，并没有相应的义务因此要想获得这项权力就 必须付出一定的费用，也就是期权价格从拥有期权的这方面看，它是为了拥有这 项权力而要付出的费用所以，这也可以称为期权价格；从降低市场风险和提高市 场盈利这一方来看，拥有一个多头头寸期权也可以看成是为将来设立了一个财产 保值和增值保险，因此期权价格又可以称为期权保险费 2 1 2 股票期权的分类和价格 ( 一) 根据期权交易者的买卖性质划分，期权可分为看跌期权和看涨期权 看跌期权：期权拥有者有权利在期权到期日之前以敲定价出售一定数量的资 产 看涨期权：期权拥有者有权利在期权到期日之前以敲定价购买一定数量的资 产 ( 二) 根据期权执行日期的角度划分，期权可分为美式期权和欧式期权 美式期权：期权在有效期之内的任一时刻都可以被执行 欧式期权：期权只能在敲定日才可被执行 ( 三) 根据期权的标的资产的不同可分为：金融期权和商品期权 ( 四) 新型期权 7 除了以上介绍的传统的期权，还可以根据交易者的需要定义一些新的期权，本 文只列出将要进行研究的几个新型期权： 1 线性区间期权【1 9 1 ：期权的到期日是t ，在t 时刻股票价格在限定的区 间p l ，z 2 】内( 即z l s t x 2 ) ，则t 时刻期权合约的价格是a + b s t ( 其中o ，6 都 是已知的常数) ，否则若s t z 2 ，那么t 时刻期权合约的价格是零 由线性区间期权定义可以看出，线性区间期权类似于普通的欧式期权，不同之 处在于期权执行的边界条件 在风险中性世界中，股票价格服从以下过程： d s t = 鼠r d t + s t a d z ， 其中r 是无风险利率且是一个常数，盯是波动率，也是一个常数 那么t 时刻线性区间期权的定价公式为： c ( & ，亡) = b s t n ( a f = 2 ) 一n ( a f = 。) 】+ a e r p 一【( 也。) 一( 也。) 】， 其中文；= i n 毒一( ，+ 0 , 2 ) ( t t ) ( a v t - t ) ( i = 1 ，2 ) ，屯= 【l n 爰一( r - a 2 ) ( t - t ) l ( , r 归一t ) q = l ，2 ) 2 标准两值期权【1 3 j ：以期权买卖性质的不同，标准两值期权可以分为：标准两 值看涨期权和标准两值看跌期权 标准两值看涨期权以到期日期权收益的不同又可分为两类： 一类是在到期日t ，如果标的资产价格高于敲定价，那么期权的价格是指定的 常数q ( 在本文下面的章节中令q = 1 ) ，否则期权的价格为零在风险中性世界中这 类标准两值看涨期权在零时刻的价格为： c ( s o ，0 ) = q e 一仃( d 2 ) ， 其中，d 2 = i n 囊+ 盯( v 锕- - a f t 2 ) t 另一类是在敲定日t ，如果标的资产价格高于敲定价，那么期权的价格是标的 资产的价格，否则期权价格为零在风险中性世界中，这类标准两值看涨期权在零 时刻的价格： c ( s o ，0 ) = s o e e r n ( d 1 ) ， 其中，d 1 = i n 莹l + 。( r 旷+ a 2 2 ) t 3 。缺口期权【1 3 】：以买卖的性质不同，缺口期权可分为：缺口看涨期权和缺口看 跌期权 8 缺口看涨期权：在敲定b t ，若股票价格曲高于敲定价k ，且曲也高于另一个 正常数g 时，那么期权时刻丁的价格为岛一g ，否则，期权价格是零故缺口看涨期 权在丁时刻的价格： 幻( z 曲) = m n z ( 踯一g ) i s r k ，o ) 缺口看跌期权：在敲定日t ，股票价格昂低于敲定价k ，且岛也低于另一个正 常数g 时，期权在时刻丁的价格为g 一曲，否则，期权价格是零故缺口看跌期权 在丁时刻的价格： p g ( 互昂) = m 茁 ，i ， 囊 l 岛一k 岛 k ； m a x 曲一ko = io ，岛k 、 ， l 曲一k m 爵 k + m ； m a x 昂一一 厶o = lo ，踯+ m f l 眠曲 k + f k ； 所以，m a x s t k ，o ) 一m a x s t k m ，o 2 曲一k ，k 岛 k + m ； io ，踯 k l 舅】，v t t 并由以上结论可知： c 6 ( s ，t ) = b ( t ，t ) q t ( a b 玩) ， 2 7 其中凡= q i s 警 k ，当利率满足( 3 5 ) 时，由( 3 8 ) 知在测度q t 下有： 踯= & e 印( r ( r ( s ) 一三c r 2 ( s ) 一缈( s ) 田( s ) 五( s ，t ) ) d s 一，t 盯( s ) d 咖1 ( s ) ) ， 所以，昂 k 告号 监型塑迦盐蛊第挚型坐盥丛业sd k ( t ，t ) 一里2 ( ，丁)寸(，丁)-： 工，v 。 上， 所以， c 6 ( & ，t ) = u ( t ，t ) n ( d g ( t ，t ) 一言口( ，丁) ) 3 缺1 3 期权：缺口期权是用一个正常数c ( c 不是标的资产的价格) 与敲定价进行 比较下面以标准欧式看涨缺口期权为例来说明这类期权的性质，我们知道到期 日丁时刻的期权价格为： c 亿品) = m 觚 踯一ko ) ， 而对于欧式缺口看涨期权到期日的价格为： 幻( z 并) = m a x ( s r g ) i s t g ，o ) 由以上定义可以看出缺口期权和标准欧式期权基本上是类似的 ” 引理3 5 1 13 l 设期权的到期日为l 期权的执行价格为k ，则当利率是常数时， 标准欧式缺口看涨期权在时刻的定价公式为： c g ( 舌，& ) = c ( s t ，t ，k ) 一( k g ) q ( ，& ，k ) 其中c b ( t ，& ，k ) 表示敲定价为k 的标准欧式缺1 2 看涨期权于时刻的价格 定理3 4 当利率满足( 3 5 ) 时，则当其他条件不变时，标准欧式缺口看涨期权在 时刻t 的定价公式为： c g ( ，& ) = s t n ( d k ( t ，t ) + 互1 矿( t ，t ) ) 一( 2 k g ) b ( ，t ) n ( d ( t ，t ) 一三盯( 舌，丁) ) 由引理3 3 和引理3 5 易得 参考文献 【1 】b l a c kf ，s c h o l e sm ，t h ev a l u a t i o no fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ，j o u r - h a lo fp o l i t i a le c o n o m y ，1 9 7 3 ，8 ：6 3 7 - 6 5 9 【2 】c o xj c ，r o s ss a ，r u b i n s t e i nm ，o p t i o np r i c i n g ：as i m p l i f i e da p p r o a c h ， j o u r n a lo ff i n a n c i a le c o n o n m i c s