（基础数学专业论文）banach空间中迭代序列的收敛性.pdf

西南大学高校教师硕士论文 摘要 _ | 鼍暑l i _ l l _ 皇e 鼍_ i i _ _ i l _ i i i _ 一ii l 置鼍薯 b a n a c h 空间中迭代序列的收敛性 基础数学专业硕士研究生李娜 指导教师邓磊教授 摘要 在具有弱序列连续性质的对偶映射的实自反b a n a c h 空间中，主要研究了如下两 个迭代序列： f 儿= f 1 u + ( 1 - 屈) 【x s + l = a , u + ( 1 一吒) 7 ) o l 咒；尼+ ( 1 一屈) 7 x 【+ l = a u + ( 1 一) 乃乞 其中缸) ，识) c 【o ，l 】在缸) ，溉 满足一定的条件下，得出了关于这两个序 列的强收敛定理该定理改进和提高了近期学者的一些结论 关键词s 实自反b a n a c h 空间；不动点理论；s u n n y 非扩张映射；强收敛 西南大学高校教师硕士论文a b s t r a c t 毫詈詈_ _ 置_ 墨置鼍皇_ _ _ _ i _ _ 鼍_ l 一1 一一m i l l _ 寡! 皇 c o n v e r g e n c eo f i t e r a t i v ei nb a n a c hs p a c e s m a j o r ： a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：a p p l i e df u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rl e id e n g n a m e ：n a l i a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t et h e c o n v e r g e n c eo ft h et w oi t e r a t i o np r o c e s s e sa s f o l l o w s ： w h e r e 缸。) ，溉) c o ，l 】w h e n 缸。) ，驴。) s a t i s f ys o m ec o n d i t i o n s ，w es h o w s e v e r a ls t r o n g c o n v e r g e n c et h e o r e m sf o rn o n - e x p a n s i v em a p p i n gi nar e a lr e f l e x i v e b a n a c hs p a c ew i t haw e a ks e q u e n t i a l l yc o n t i n u o u sd u a l i t ym a p p i n g o u r r e s u l t sg e n e r a l i z e a n di m p r o v es o m ep r e v i o u sr e s u l t s k e yw o r d s ：r e a lr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e ；f i x e dp o i n t st h e o r e m ； s u n n yn o n e x p a n s i v em a p p i n g ；s t r o n gc o n v e r g e n c e 而矶 m 矶 ” “ 展q 耻q = = f i 端臻 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文 中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加了特别标注。对本研究及学位 论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文憾枷产 签字吼2 糊帅 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权西南大学研究生院可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 签字日期：2 0 1 0 年乍月哆日签字日期：2 0 1 0 年月 日 西南大学高校教师硕士论文 1 引言 1 引言 不动点理论和非线性算子理论是非线性泛函分析的重要组成部分，它与近代数 学的许多分支有着紧密的联系，特别是在建立各类微分方程，积分方程以及算子方 程解的存在唯一的迭代逼近问题中起着重要作用 2 0 世纪初，著名的b a n a c h 压缩映象原理和b r o u w e r t l 3 不动点定理问世以来，特 别是最近的二三十年来，由于实际应用需要的推动和数学工作者的不断努力，这门 学科的理论及应用已经取得了重要的进展，与之相关的非线性算子理论的研究也备 受关注，新的成果不断涌现 由于非线性问题的研究已成为当代各学科的主流，而非线性问题从根本上可归 结为非线性算子所引导的算子方程，因此，有关非线性算子迭代过程及其收敛性问 题的研究近年来十分活跃我们所熟悉的m a n n 2 1 迭代，i s h i k a w a 3 1 迭代和h a l p c r n l 4 1 迭 代等为众多数学工作者着力研究，在较弱的条件下证明这几类迭代过程的逼近，或 是对迭代过程进行修正等，得到的研究成果非常丰富 本篇论文主要对h a l p e m 迭代过程进行修正后的研究，得出了几个关于给定迭代 序列的强收敛定理。 假定集合e 是一个b a n a c h 空间，c 是e 的一个非空闭凸子集映射r ：c 蝴称为 非扩张映射，如果a 一驯l 肛一) ，0 对任意的五y c 用f ( d 表示丁的不动点集易知， ，( 乃是非空的。如果e 是一致光滑的，则c 是有界的 h a l p e m 迭代序列如下定义： + l = a u + ( 卜) 巩，n o 其中缸。 c 【o ，l 】 w i t t m a n n i s l 证明了由h a l p e m 迭代所确定的序列 强收敛到只d 中的一个元 素，缸。) 满足以下3 个条件： c i ：l i r a 口= 0 ； c 2 ： c 3 ： = ； n = l k 一吒一。 0 0 l i 西南大学高校教师硕士论文 1 引言 s u 和l i l i 和s u z u k i l 7 1 给出了类似于h a l p e r n 迭代过程，其定义如下l + l = g n u + ( 1 一) 丁( p u + ( 1 一展) ) ，u e c 其中扛。) ，以) c 【o ，l 】 现在为了方便研究，将此迭代过程写成： 只。f l , u - i - ( 1 一尼) 吒 ( 1 1 ) l 毛+ i = a , u + ( 1 一) 矾 作者证明了由( i i ) 给出的序列 ) 强收敛到，( n 中的一个元素，假定缸，) 满 足条件c l ，6 2 ，c 3 以及护。) 满足： c 4 ：尼 e ，c 是e 的一非空子集，则称户是e 上的压缩映射如果尸是非扩 张的，则称p 是e 上的非扩张压缩映射如果存在一个从只乃到c 的非扩张压缩映射 p ，有p ( p x + t ( x p x ) ) = p x 成立，对每一个工c 和t o r p x + t ( x p x ) c ，则称，( 乃为e 的一个s u n n y 非扩张压缩 引理2 1 。棚设仁 满足条件c l 和c 2 令毛：= s u p 砭。扛， ( 刀o ) ，则 l i m 生存在当且仅当l i m 笠：1 i - 。o s -”墨 引理2 2 嗍设e 是一b a n a c h 空间且，是一正规对偶映射，则 x + ) 8 2s 】c 9 2 + 2 ，vx , y e e 引理2 3 i i 卅设c 是光滑的b a n a c h 空间e 的一个非空凸子集，且七c c ， - ，：e e 是e 的正规对偶映射且p ：c - - k 是一个压缩映射，则p 既是s u n n y 映射也是 非扩张映射当且仅当： 0 ，vx c ，y d 引理2 4 1 设实序列缸。) c o ，l 】满足舰吒= o 和艺吒= ，缸 ，饥) 是两个非负 序列，如果存在一个正整数使得以+ 。( 1 一口。) 以+ 口盯+ “。，对所有的力2 成立， 其中! 觋s u p so 和善 o o ，则有舰以= o 3 西南大学高校教师硕士论文 3 主要结果 3 主要结果 定理3 1 设e 是一个实自反的b a n a c h 空问，e 中的映射j ：e _ e 是具有弱序 列连续性质的对偶映射，映射t ：c - - e 是一非扩张映射，c 是e 的一个闭凸子集，且 以n 如果扛。) ，溉) c 【o ，l 】满足条件c l ，c 2 , c 4 以及下列条件之一： ( i ) 硒避= 0 ( 其中s 。是引理2 1 中给出的) ； 一 ( i i ) l i l l l 堡存在； 一文 ( i ) ( 一吒) a o ； m - i ( 聊s n - a = d ( 邑) + 瓦，其中皖 o o 则由( 1 1 ) 定义的序列 ) 强收敛到只乃中的元素 ，这里p 是从c 到只力上的 一个s u n n y 非扩张映射 证明由于& ：= s u p 瞳扛f ，易知序列 ) 是递减的，并且有 罂& = o ，墨= ，m 则i 一s 。qi = ( s 一) n = l h = l 对于给出的“c n = o = x oe c ，定义下列迭代过程。 假定z 只d ，则 乙“= “+ ( 1 一q ) i z n + l 一列 - - $ aj l u - z l l + ( 1 - s ) | i 乙一z l i m a x i l u - - z 乙一z i i m a x l l u z l l l lz o z l i ) 于是 磊 是有界的，则 吃 也是有界的这样，就有 4 ( 3 1 1 ) 西南大学高校教师硕士论文 3 主要结果 i i 乙+ i 一i i = s 。i i 一乃。i i 0 ( 玎_ ) 首先。需要证明 忱+ 。一z 。0 _ 0 ( 刀_ ) 事实上。 乙+ i 一乙0 = i i ( 一1 ) “+ ( 1 一吒) ( 乃。一t z , 一t ) 一( j 。一一i ) z 乙10 ( 一s ，。) 0 | “0 + 0 7 k 。0 ) + ( 1 一霸) i i 乙- z , 一。0 由于 您) 是有界的，结合( 3 1 1 ) 式可得到 ( j 川一j ) ( + 忱州i i ) n l i 让q = o ，以= ( 一一刈川i + 0 砟。| 1 ) 由引理2 4 得，i l 乙+ 。一乙l i _ o ( n - - o o ) 因此。 0 乙一死。0 恢- - z 川l l + h z 川一瑟。0 0 ( n - - o o ) ( 3 1 2 ) 其次，需要证明 l i m s u p p u 一 ，j ( p u - - z 川) 0 事实上，取 ) 是 z 。) 的一个子序列，则有 i l i r a 。 = ! i ，m 。s u p 由于e 是一个自反的b a n a c h 空间且 气) 是一个有界序列，所以存在 气 的一个 子序列访j ， ) 弱收敛到彩，当f 趋向于无穷根据( 3 1 2 ) 式和b r o w d e r s 眦1 半闭 原则，可得出国以乃然而，是一个具有弱序列连续性质的映射，于是，可得到 l i r a s u p 2 1 i m 。 = 由于尸是一个从c 到只d 的s u n n y 非扩张映射，于是根据引理2 3 得， 0 即得 l i m s u p 0 ( 3 1 3 ) 同时，由引理2 2 ，可知 5 西南大学高校教师硕士论文 3 主要结果 0 乙+ l - p u | 1 2 = i i ( ”- p u ) + ( 1 - s , ) ( t z 一砌) 0 2 o 使得 0 乙+ i 一k + ii l ( 1 一吒) f i 乙一j | + ( 一) 三+ 芦：三 条件( d 假设1 i n l 盥：0 ”墨 使q ：s 一- a , l ，= 尼三则 0 i 一k l0s ( 1 一s n ) 0z 一一0 + 毛吒+ 6 西南大学高校教师硕士论文3 主要结果 其中! 一i m o , = o ， 。 条件( i d 假设l i r a 红存在根据引理2 1 ，条件( i i ) 与条件( 1 ) 等价 ”s _ 条件( i i i ) 假设a o ( 毛一) ，使o r , = o ，“。= - ( s m 口。强则 h 一毛+ ，l l ( 1 一吒) l f 乙一i i + 吒+ 其中! i r a o , - o ，蛋 条件( ) 假设一q = d ( ) + 瓯且瓯 o o 则 z 一“一+ 1 ls ( 1 一) 乙一i i + d ( 巳) 三+ 瓯三+ 见工 使q ；盟，；酗+ 耻，则 吒 l l 一毛“0 ( 1 一) 0 乙一毛i i + 吒吒+ “。 其中嫩吒= o ，蚝 月 。一 在以上的四个条件中，根据引理2 4 得 l i m i iz - - x nl l = 0 月- 则由( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 式可得 ( 3 1 5 ) i jx 。一p u | i = 0 一乙+ 乙一p u l l i i 工。一z 。l l + l lz 。- p ui l 一0 ( 再一) 这样由( 1 1 ) 定义的序列b 。) 强收敛到 e 以乃定理证完 定理3 2 设e ，r 和c 满足定理3 1 的条件如果扛。) ，纽 c 【o ，l 】满足条件 a ，c 2 , c 4 以及下列条件之一： ( i ) 毋= 0 ( 其中是引理2 1 中给出的) ； 卜柚& ( ) 硒笠存在； ” ( i i i ) ( 一吒) ； = l 7 西南大学高校教师硕士论文 3 王要结果 a i_ - _ _ - _ 皇_ 詈量薯 ( i v ) 一= d ( ) + 瓯，其中皖 o o p l 则由h a l p e r n 迭代定义的序列 ) 强收敛到只乃中的元素 ，这里j p 是从c 到 尺乃上的一个s u n n y 非扩张映射 证明由( 1 1 ) 定义的序列中，让尾= 0 ，即证 定理3 3 设昱，r 和c 满足定理3 1 的条件如果仁) ，护。) 亡【o ，l 】满足条件 c i ，c 2 , c 4 以及下列条件之一： ( i ) h m 避：0 ( 其中s n 是引理2 1 中给出的) ； o i ) l i l i l 笠存在； 一毛 ( i i i ) 瓴一q ) ； n = l ( i v ) 一= d ( & ) + 瓯，其中正 o o 时，忙一 0 寸0 ，l i r x 。一x 。6 _ 0 ，所以0 y 一p u0 _ 0 ，因此 。 是有界的 充分性设乙+ 。= “+ ( 1 一毛) 亿，由定理3 1 的证明可得到序列 z 。) 强收敛到 p u f ( 乃 即就是 l i m0 气一 | i = 0 ( 3 3 1 ) _ 下面，证明l i ml i 乙一l i = o 成立 r 西南大学高校教师硕士论文3 主要结果 对于给出”c ，假定z f c t ) ，则 0 工。一z l l 口。i 扛一z 0 + ( 1 一口。) v y 。一z 8 口。i l u z 0 + ( 1 一口。) l l 少。一= 0 m 由于 ) 。) 是有界的，可设膨= m a x l l u - 4 ，i l y 。- 4 ，由此可得 是有界的， 则 及。) 和协) 也是有界的根据 吒+ ，) 和 z 州 的定义，于是有 乙+ l 一k + i = 0 ( 一) “+ ( 1 一毛) 乃乙一( 1 一q ) 乃，耳0 = ( 以一) 甜+ ( 1 一凡) ( z 乙一乃0 ) 一( 一) 乃 ( 一) ( j i “0 + i i 乃l d + ( 1 - $ n ) 0 乙一圪0 s ( s n - a x l l u l i + 巩l i ) + ( 1 一矗) l l 乙一l i + ( 1 一) 0 一只n ( 1 - s , ) l l 乙一毛i i + ( 毛一q ) ( 1 l “+ 0t y n ) + ( 1 一) ( 1 一展) | i7 3 一屯0 ( 1 - s ) i i 乙- - a n l l + ( s 。- - a 。) ( 1 l “l l + l l r y 1 1 ) + ( 1 一成) l i t x 一工。i l ( 1 一) 0 乙一+ ( 一) ( 0 u i l + r y 0 ) + l i7 x 一i i + 屈巩一0 - o 使得 i i 乙+ l 一+ li | ( 1 一瓯) 0 乙一l | + 仅一) + 危 条件( i ) 假设l i n l 盥；0 & 使吒= s 一- o r n ，吒= a n 则 0 i 一“0 ( 1 一& ) 0 乙一0 + 墨吒+ “。 其中! 鲤吒2 0 ，善 o o 条件( i i ) 假设l i m 生存在根据引理2 1 ，条件( i i ) 与条件( i ) 等价 。一 。墨。 条件( i i i ) 假设童心一q ) 使吒= o ，= ( 一) 则 x - 1 0 乙+ i 一玉件l0 ( 1 - s ) l l z , 一k + 毛吒+ 其中1 i m t x , = o ， i 一 条件( i v ) 假设毛一q = d ( ) + 瓯且主色 o o 则 9 西南大学高校教师硕士论文 3 主要结果 暑詈詈昌置置詈詈鼍置基置置量鼍鼍墨置_ 一1 墨置詈兰量量 1 1 2 州一工一+ il i ( | - - f 1 ) 乙一“+ d ( s 。) + 瓯+ 尼 使吒；丛：监，：4 + 属，则 0 z 肿l k i ( 1 一) 0 乙一+ 矗吒+ l 其中墼吒= o ， o o 在以上的四个条件中，根据引理2 4 得 ! i m i l 乙一l | = 0 ( 3 3 2 ) - - - - h o d 则由( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 式可得 l | x 一尹“l l = i l 一乙+ 磊一舟i f i l 一z 。| l + i fz 。一p “i i 一0( 刀一) 这样由( 1 2 ) 定义的序列 毛) 强收敛到p u f f ( t ) 定理证完 1 0 西南大学高校教师项士论文结语 结语 本篇论文的主要工作是对已有的迭代格式进行研究，改进了文献 5 1 4 q b 的收敛 条件或推广了相应的结果虽然对已有迭代格式进行修正后得到了一个强收敛的充 分必要条件，但是，由于时间和精力有限，本文未能对下述问题进行深入的研究： 将本文所涉及的迭代格式修正为： j 儿= 尾+ ( 1 一屈) r 打 【毛+ l = “+ ( 1 一) p 只 或者是 毛譬嚣z 器虼， 从而进一步研究其收敛性 西南大学高校教师硕士论文 参考丈献 量皇盲置量一i i i 置置置薯鼍置_ 皇置舞量皇 参考文献 【l 】张石生不动点理论及应用重庆出版社，1 9 8 4 【2 】m a n nw r ，m e a nv a l u em e t h o d s i ni t e r a t i o n j p r o e a m m a t h s o c 1 9 5 3 ，4 ： 5 0 6 5 1 0 3 】i s h i k a w ab ，f i x e dp i o n t sb yan e wi t e r a t i o nm e t h o d j p r o e ，a m m a t h s o c ， 1 9 7 4 ，4 4 ：1 4 7 - 15 0 【4 】h a l p e r nb ，f i x e dp o i n t so fn o n e x p a n s i v em a p s j 】b u l la m m a t h s o c ，19 6 7 ， 7 3 ：9 5 7 9 6 1 【5 】w i t t m a n n 凡a p p r o x i m a t i o no ff i x e dp o i n t so fn o n e x p a n s i v em a p p i n g s j a r c h m a t h 。1 9 9 2 ，5 8 ：4 8 6 4 9 1 【6 】6 s uy ，l is ，s t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m so nt w oi t e r a t i v em e t h o d sf o r n o n e x p a n s i v em a p p i n g s 川c o m p u ta p p lm a t h ，2 0 0 6 ，181 ：3 3 2 - 3 4 1 【7 】s u z u k it ，as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rh a l p e r n t y p es t r o n g c o n v e r g e n c et o 血e dp i o n tc o n v e r g e n c et o f i x e dp i o n t so fn o n e x p a n s i v e m a p p i n g s j p r o c a m m a t h s o e 2 0 0 7 ，1 3 5 ：9 9 1 0 6 【8 】 l i uyc ，l i zx ，s t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e m si nr e a lr e f l e x i v eb a n a c hs p a c e f o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g s 闭c o m p u ta p p lm a t h ，2 0 0 7 ，1 9 3 ：4 3 8 4 4 5 【9 】c h a n gss ，s o m ep r o b l e m sa n dr e s u l t si nt h es t u d yo fn o n l i n e a ra n a l y s i s 明 n o n l i n e a ra n a l - t h e o r ，1 9 9 7 ，3 0 ( 7 ) ：4 1 9 7 - 4 2 0 8 10 】x uhk ，s t r o n gc o n v e r g e n c eo fa ni t e r a t i v em e t h o df o rn o n e x p a n s i v em a p p i n g s a n da c c r e t i v eo p e r a t o r s 明a n a ljm a t ha p p l ，2 0 0 6 ，31 4 ：6 3l 卅3 【1 l 】c h a n gss ，c h e nyj l e ebs ，i t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o n so ff i x e dp o i n t sa n d s o l u t i o n sf o rs t r o n g l ya c c r e t i v ea n ds t r o n g l yp s e u d o - c o n t r a c t i v em a p p i n g si n b a n a c hs p a c e s 叨a n a ljm a t ha p p t ，1 9 9 8 ，2 2 4 ：1 4 9 - 1 6 5 【1 2 】c h a n gss ，j o s e p hl e e ，c h a nci lo nr e i c h ss t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e mf o r a s y m p t o t i c a l l yn o n e x p a n s i v em a p p i n g s i nb a n a c h s p a c e j 2 0 0 7 ，6 6 ： 2 3 6 4 2 3 7 4 【1 3 】黄家琳一类带边界条件算子迭代列的构造及收敛性【j 】西南师范大学学 报( 自然科学版) 。1 9 9 9 ，2 4 ( 4 ) ：4 0 2 - 4 0 5 【1 4 】王广兰， 邓磊广义混合隐拟变分不等式解的算法叨西南师范大学学报 1 2 西南大学高校教师硕士论文 参考文献 ( 自然科学版) ，2 0 0 6 ，3 1 ( 0 4 ) ：ll 1 4 【15 】s ux i a o 1 i ，d e n gl e i g e n e r a l l i z e dv e c t o rf - i m p l i c i tc o m p l e m e n t a r i t y - l i k e p r o b l