（应用数学专业论文）一类三维微分系统非极端解的存在性.pdf

摘要 本文主要研究的是一类三维非线性微分系统 睡溉篡 其中九 0 ( i = 1 ，2 ，3 ) ，a i ( t ) 00 = 1 ，2 ，3 ) 且函数a i ( t ) 在区间【0 ，o o ) 上连续给出系 统满足条件 ，o o ( h ) 上。i ( 。) 出= 。，i = 1 ，2 。 时非极端解存在的充要条件 关键词：三维微分系统；非极端解；存在性；s c h a u d e r - t y c h o n o f f 不动点定理 i i a b s t r a c t 瞄v4=oa(t)薰lu313sgnu s , i sc o n s i d e r e du n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a t 九( i = 1 ，2 ，3 ) a r ep o s i t i v ec o n s t a n t sa n d 啦( t ) ( i = 1 ，2 ，3 ) a r ep o s i t i v ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so n 【0 o 。) i ft h es y s t e ms a t i s f i e s 。 ( h ) o n i ( t ) d t = o o ，i = 1 ，2 t h e n ，t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ee s t a b l i s h e df o rt h ee x i s t e n c eo fn o n e x t r e m es o l u t i o no f ( s ) ，w h i c he x i s t so i li n f i n i t ei n t e r v a l sw i t ht h ef o r mi t ，o 。) ，t 0 k e yw o r d s ：t h et h r e e - d i m e n s i o n a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ；n o n e x t r e m es o l u t i o n e x i s t e n c eb e h a v i o r ；t h es c h a u d e r t y c h o n o f ff i x e dp o i n tt h e o r e m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学位论文作者签名： 豸垒 日期： 湖。划 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名；圣盘尘指导教师签名麟 日 期：丑鲥日期；舭! 沙 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址； 电话： 邮编： 1 i n t r o d u c t i o n f 啦= a l ( t ) i 乱2 1 1 - s g i l 坳， ( s ) t 净a 2c t ) l u 3 1 b s g nu 3 ， 【；= 一口3 ( t ) i l i b s g n u l ， w h e r e 九a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s ，a n d 啦( t ) a r ec o n t i n u o u sf u n c t i o n so n 0 ，o 。) a n da i ( t ) 0 f o rt 0 ，i = 1 ，2 ，3 ar e a l - v a l u e dc o n t i n u o u sf u n c t i o nx ( t ) d e f i n e do na ni n f i n i t ei n t e r v a lw i t ht h ef o r m i t ，o o ) i ss a i dt ob eo s c i l l a t o r yi f t h e r ei sas e q u e n c e 托 罄ls u c ht h a t 也寸o oa si - a n dz ( 屯) = 0 ( i = 1 ，2 ，) s u c haf u n c t i o nx ( t ) i ss a i dt ob en o n o s c i l l a t o r yi ft h e r ei s 丑ts u c ht h a tx ( t ) 0f o rt 死o rx ( t ) 0 ， u l ( t ) u a ( t ) 0 u l ( t ) u 2 ( t ) 0 ( 2 1 ) ( 2 , 2 ) n o ww ei n v e s t i g a t et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ra st + o 。o f n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n s u = ( 叭，u 2 ，u 3 ) o f ( s ) b yl e m m a2 1 ，an o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu = ( “l ，让2 ，让3 ) o f ( s ) s a t i s f i e se i t h e r ( 2 1 ) o r ( 2 2 ) f i r s tw ec o n s i d e rt h ec a s ew h e r eus a t i s f i e s ( 2 1 ) w em a y a s s u m et h a t 珏1 ( t ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v e t h e n 珏l ( t ) 0 ，u z ( t ) 0 ，u 3 ( t ) 0 f o r t t ( 2 3 ) t l e r e ，i sc n o s e ns u m c l e n t l yl a r g e i n t e g r a t i n gl 忑，w eg e t f 仳1 ( t ) = u - ( 丁) + f 。- ( s ) 【蹦s ) p d s ， u 。= 叫丁) + f 。( s ) 卜d s ， iu 。( r ) = 吲t ) 一f t 7 a 3 ( s ) 【u ，( s ) 】s ，r t l e t7 - - + o 。w eg e t f m ) = u ( t ) + f - ( s ) 【以s 矿t d s 钍：。( t ) + r n z 【钍。( s ) 卜d s 【s ( t ) = “s ( c o ) + f r o a s ( s ) 【牡- ( s ) 阳s ，t t 4 ( 2 4 ) ( 2 5 ) w h e r et 工3 ( 0 0 户熙u 3 ( t ) o f o rat 2u ，w ed e 扛n et h ef u n c t i o i l sa d t , 巩l _ 1 ，2 ，3 b y f a 3 ( t , t ) _ 1 ， 似归) = f 咖) d s ， ( 2 6 ) 【州妒) = f 口- ( s ) 池( 3 丁矿1 帆 t i ft = 0 ，t h e nw ep u ta ( t ) = a ( t ，o ) ，i = 1 ，2 ，3 s i m i l a r l y , w ed e f i n et h ef u n c t i o n s 晟( t ，t ) ，i = 1 ，2 ，3 ，b y f b 2 ( 归) = 1 ， 刚归) = f 。小) d s ( 2 7 ) 【b 3 ( t ，t ) = z ”幻( s ) 嵋t ( s ，丁) j b 出，t 2 t i ft = 0 ，t h e nw ep u tb ：( ) = 最( t ，o ) ，i = 1 ，2 ，3 w eh a v e 恕等= a n d 规等= - 1 ，z 3 ) a n d 舰筹= o 。( ，z ，3 ) p r o p o s i t i o n2 1 ( i ) l e tu = ( u l ，u 2 ，u 3 ) b ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no f ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 3 ) t h e nw eh a v e 舰器e x i s t s a n d i s 删渤嘶= 3 ) ( 2 8 ) 魄器= o ( _ 1 2 3 ) ( 2 9 ) ( i i ) l e tu = ( u l ，u 2 ，u 3 ) b ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no y ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 3 ) t h e n ，t l e f u n c t i o nb 3 ( t ) i sa l w a y sw e l l d e f i n e d w eh a v e 舰器= 。o ( 2 i 3 ) 舰器e x i s t s a n di sp o s i t i v e ( 2 3 ) 5 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 可u = ( u l ，u 2 ，u 3 ) h a st h ea d d i t i o n a lp r o p e r t yt h a t 墨恐e x i s t sa n d i sp o s i t i v e ， ( 2 1 2 ) t h e n ，d ra n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nv = ( v l ，7 3 3 ) o f ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 3 ) ， l i r a 豁 e x i s t sa n di s f i n i t e ( i = 1 ，2 ，3 ) ， b yp r o p o s i t i o n2 , 1w es e et h a ti f u = ( u 1 ，u 2 ，u 3 ) i san o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no f ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 3 ) ，t h e n 卢i b i ( t ) u t ( t ) a i a i ( t ) ( i = 1 ，2 ，3 ) f o ra l ll a r g et ，w h e r eo la n d 屈0 = 1 ，2 ，3 ) a r e p o s i t i v ec o n s t a n t s c o n s e q u e n t l y ，i nt h e s e to fa l ln o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so f ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 3 ) ，as o l u t i o n u = ( “l ，u 2 ，“3 ) o f ( s ) w h i c hs a t i s f i e st h ea s y m p t o t i cc o n d i t i o n ( 2 8 ) r e s p ( 2 1 1 ) 】i s r e g a r d e da sa “m a x i m a l ， 【r e s p “m i n i m a l ”】s o l u t i o n d e f i n i t i o n2 1 l e tu = 1 ，u 2 ，u 3 ) b enn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no f ( s ) w es a yt h o f ui s 口s o l u t i o nd ，t h et y p e ( i ) 矿i ts a t i s f i e s ( 2 8 ) ，a n dt h a tu i s 口s o l u t i o no st h et y p e ( i i ) 矿i ts a t i s f i e s ( 2 1 1 ) n e x tw ec o n s i d e rt h ec a s ew h e r ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu = u l ，扎2 ，u 3 ) o f ( s ) s a t i s f i e s ( 2 2 ) w em a ya s s u m et h a tu l ( t ) i se v e n t u a l l yp o s i t i v e ： u l ( t ) 0 ，乱2 ( ) 0 f o r t t ， f 2 1 3 ) w h e r eti st a k e ns u f f i c i e n t l yl a r g e i nt h i sc a s e ，t h ef i r s te q u a t i o na n d t h es e c o n de q u a t i o n o f ( s ) c a nb er e w r i t t e ni nt h ef o r m so f f “，( o = 乱- ( o o ) + 0 1 ( s ) m s 胪幽， l ：h u z ( 酬+ z 。嘶) 【让。产妣 ( 2 1 4 ) 【u 。( ) = u a ( o o ) + z o o 。a o ) 沁。( s ) 】1 s 幽， t2t ， 6 w h e r e ( o o ) = 舰t ( t ) ，i = l ，2 ，3 s i n c e u 2 ( t ) 0 ，t h a tm e a i si t 2 ( o o ) i 0 打it h ec a s ew h e r e ( h ) h o l d s t h e nt h ef u n c t i o n sg ( t ) ( i = 2 ，3 ) a r ew e l l - d e f i n e da n d ( 2 1 9 ) e x i s t sa n di sp o s i t i v e ( i = 1 ，3 ) ， ( 2 2 0 ) e x i s t sa n di sn e g a t i v e f u r t h e r m o r e ，矿an o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu = ( u 1 ，u 2 ，u 3 ) o f ( s ) s a t i s f i e s ( 2 1 3 ) a n d ( 2 2 0 ) ， t h e n , y o ra n yn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nv = ( v l ，v 2 ，v 3 ) o y ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 1 3 ) a n dv 2 ( o e ) = v 3 ( o e ) = 0 ，t h el i m i t 觊黜 e x i s t sa n di s f i n i t e ( i = 1 ，2 ，3 ) ( i i ) l e tu = ( m ，u 2 ，让3 ) b e n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 1 3 ) t h e n t h ef u n c t i o n sd i ( ) ( i = 2 ，3 ) n r ea l w a y sw e l l d e f i n e d i fu = ( u l ，u 2 ，趾3 ) s a t i s f i e s 忱e n d d i t i o n a lc o n d i t i o n 札1 ( o 。) = 0 伽t h ec a s ew h e r e ( h ) h o l d s ，( 2 2 1 ) t h e n w eh a v e f 舰器 1。lim。u2。(。t) e x i s t sa n di sp o s i t i v e ( i = 1 ，3 ) e x i s t sa n di sn e g a t i v e ( 2 2 2 ) 巧an o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nu = ( u l ，让2 ，乱3 ) o i ( s ) s a t i s f i e s ( 2 1 3 ) a n d ( 2 2 2 ) ，t h e n , l o r a n yn o n o s c i u a t o r ys o l u t i o nv = ( v l ，v 2 ，v 3 ) o ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 1 3 ) a n d 钉l ( t ) o ( t 1 ( t ) ) ， 舰粼 e x i s t sa n di s f i n i t e ( i = 1 ，2 ，3 ) 8 训一蜊一 n n rr l “ l 二 ，lli-j1ll d e f i n i t i o n2 2 l e tu = 1 ，1 1 2 ， 1 1 , 3 ) b ean o n o s d u a t o r ys o t t t i o no i ( s ) w es a yt h a t ui sas o l u t i o no y 址et y p e ( i i i ) 矿i ts a t i s f i e s ( 2 2 0 ) ，a n dt h a tui sas o l u t i o no y 矾et y p e ( i v ) 玎i ts a t i s f i e s ( 2 2 2 ) t h e o r e m2 1 s u p p o s e ( h ) h o l d s an e c e s s a r ya n ds u 历c i e n tc o n d i t i o n o r ( s ) t o h a v ean o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n 巧t h et y p e ( i ) i st h a t f 0 0 0a s ( t ) a - 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a r z e l at h e o r e m ，w e c o n c t u d et h a tf ( u 1i sar e l a t i v e l yc o m p a c ts u b s e to fc i t ，o 。) 3 t h e nw ec a na p p l yt h e s c h a u d e r - t y c h o n o f ff i x e dp o i n tt h e o r e m a n dc o n c l u d et h a tf h a saf i x e dp o i n tui nu i t i se a s i l yv e r i f i e dt h a tt h i su = u ( t ) = ( “1 ( t ) ，“2 ( t ) ，u 3 ( t ) ) i sas o l u t i o no f ( s ) a n ds a t i s f i e s ( 2 8 ) t h u s ，ui sa s o l u t i o no f ( s ) o ft h et y p e ( i ) t h i ss k e t c h e st h ep r o o fo ft h es u f f i c i e n c y p a r to ft h et h e o r e m 。t h ep r o o f o ft h e o r e m2 1i sc o m p l e t e d t h e o r e m2 2 s u p p o s e ( h ) h o l d s e z i s t e n c eo fan o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o no f ( s ) an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n o tt h e w i t ht h et y p e ( i i i ) i st h a t 上。s ( f ) m ) 。o ， ( 2 | 2 8 ) j ( 。：( t ) i c 3 ( t ) 阳 o o ，帆d ( 2 2 9 ) 上。( t ) 愀) 】凡d t 0 s u c ht h a t f 。- ( t ) 愀) 】1 1 d t t t h em a p p i n gfi sw e l ld e f i n e do nu a p p l y i n gt h es c h a u d e r - t y c h o n o f f f i x e dp o i n tt h e o r e m ， w ef i n dt h a tt h e r ee x i s t su us u c ht h a tu = f ( u ) t h i sui sas o l u t i o no f ( s ) w i t ht h e t y p e ( i i i ) ，t h ep r o o fi sc o m p l e t e d n o ww ef i r s tg i v et h en e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n o f ( s ) w h i c hs a t i s f i e s ( 2 1 ) f r o mp r o p o s i t i o n2 1 i tf o l l o w st h a ti f ( s ) h a san o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o nu = ( u 1 ，u 2 ，t t 3 ) s a t i s f y i n g ( 2 1 ) ，t h e nb 3 ( t ) i sw e l l d e f i n e d ，t h a ti s ， z 。酬( 小( s ) 幽) h 认o o t h e r e f o r e ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s p r o p o s i t i o n2 3 可( s ) h a san o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nus a t i s f y i n g ( 2 1 ) ，t h e n f 咄t ) ( r 州s ) d s ) h 出 1a n d ( s ) h a sd n o n a s e i u a t o r ys o l u t i o nus a t i s f y i n g ( 2 1 ) ，t h e n z 。( t ) ( z 。0 3 ( s ) d s ) 1 出 0 s u c h t h a t u 2 ( t ) 】1 1 k 【u 3 ( t ) 1f o rt t t h e n ，u s i n g ( 2 3 4 ) ，w ec a nc a l c u l a t ea sf o l l o w s ： 让；( t ) = a l ( ) l 赶2 ( 圳“ k a l ( t ) ( j ( 0 。s ( s ) 【喇阳) 1 2 k a t ( ) ( z 。酬幽) 3 m 胪，2 丁 d i v i d i n gt h ea b o v ei n e q u a l i t yb y 【“1 ( t ) p 3a n di n t e g r a t i n gf r o mtt ot ，w eg e t k f 州s ) ( ，”嘶) 办) 1 如 x j i ；! ：i ( 【札( t ) 】1 1 1 3 一【扎( t ) 】1 1 1 3 ) ，t t t h u s ，w eh a v e f 州s ) ( ，。0 a 3 出) 3 姒o 。 t h e n c h o o s i n ga = a 2i np r o p o s i t i o n2 4 ，w eh a v et h ef o l l o w i n gc o r o l l a r y c o r o l l a r y2 1 可a 2 a 3 1a n d ( s ) h a s 口n o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o nns a t i s f y i n g ( 2 1 ) ， z 。喇( z ”酬幽) k 出 0g ：1 ，2 ，3 ) t h 8f o l l o w i n g 嘲u i tm e a n st h a ti fa 1 a 2 a 3 i ，t h e nt h e i n t e g r a lc 。n d i t i 。n ( 2 2 3 1 ) i np r o p m s i t i o n2 3c a nb ew e a k e n e d ，。1 、p r 。p 。8 i t i 。n2 5 巧a l 屯a 3 l 。扎d ( s ) 毳口祀。扎。s c 靠k t 。删s 。玩i 。仃us n 稚叼 ( 2 1 ) ，t h e n z 。嘶) ( 小( s ) ( 小( r ) h 矿出 o 。 ( 。崩) p r 。f l e u = ( u l ，乱2 ，u 3 ) b ean 。n 。s c i l l a t 。r ys 。l u t i o n 。f ( s ) s a t i s f y i n g ( 2 1 ) w e m y 驰p p 瓣。h a ( 2 3 ) h 。2 d 8 n e n ，( 2 3 4 ) i ss a t i s 丘e d ，n 。t i n g t h 她= 咱( 懒。 0 ( t t ) a n du s i n g ( 2 3 4 ) ，w eh a v e 喇芝r 。小) ( r 嘶) 旷：d r ) k d s f 删( f 以啪) h 帅。( f ) 卜如，t t ， a n d s 咱( 小( f 以岫) 知d s ) b 卜a f o r 2 丁d i v 2 d i n gt h el a s ti n e q u a l i t yb y 心3 ( t ) 】a l 2 a 3a n d i n t e g r a t i n gf r 。mtt 。t ，、佗 s e e t h a t 二铂( s ) ( f 口i ( r ) ( f 以。必) k d r ) 如如 r = j 1 了i 污( 阻a ( t i - 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