（基础数学专业论文）pde方法在信用衍生工具评估和监管问题中的研究.pdf

摘要 信用风险( c r e d i tr i s k ) 是银行贷款或投资债券中发生的一种风险，亦称借款者违约 风险。在过去的数年中，利用新的金融工具即信用衍生工具( c r e d i td e r i v a t i v e s ) 进行管 理可以减少投资者的信用风险。本文系统地介绍了p d e 方法在不同借款违约问题评估 ( 定价) 和监管( 对冲) 方面的研究这些有助于银行或企业对于经济资本作出最有效的处 理或选择。刚开始，我只是对于基本的经济资本构造一个最基础的模型，而后我会通过 对一些特殊借款违约问题模型的详细说明来加深对文章主要模型的认识。基于计算的考 虑，在有关模型参数选择方面，我刚开始都是选3 个。在文章的最后，我会试图加以扩 展。 本论文的具体内容如下： ( 1 ) 利用种鞅测度，我们研究一般模型的无套利性质。 ( 2 ) 详细解释评估借款违约问题的p d e 方法并在基本相关变量严格正定的前提假设 下给出随机事件监管策略。 ( 3 ) 介绍如何调整p d e 方法和调整相关策略以适应当某个基本资产变量是零补偿的 可违约证券的情况，即在借款违约后定价为零的情况。 ( 4 ) 最后，对某些重要的结论做一些简单的推广。 关键词：信用风险。信用衍生工具借贷违约。鞅测度，伊藤公式 a b s t r a c t c r e d i tr i s ki sm o s ts i m p l yd e f i n e da st h e p o t e n t i a l t h a tab a n kb o r r o w e ro rc o u n t e r p a r t w i l lf a i lt om e e ti t so b l i g a t i o n si na c c o r d a n c ew i t ha g r e e dt e r m s i nt h el a s ts e v e r a l d e c a d e so rs o , t h en e wf 妇l c ei m p l e m e n t ( c r e d i td e r i v a t i v e s ) c a nb eu s e dt or e d u c e t h ec u s t o m s c z e c l i tr i s k t h i sp a p e ri sm a i n l yt oe x a m i n et h ep d e a p p r o a c ht ot h e v a l u a t i o na n dh e d g i n go fad e h u l t a b l ec l a i mi nv a r i o u ss e t t i n g s ；t h i sa l l o w sb a n k st o m a k et h em o s te f f e c t u a ld e c i s i o no rc h o i c eo ft h et r a d e da s s e t s is t a r tw i t hag e n e r a l m o d e lf o rt h ed y n a m i c so ft h et r a d e dp r i m a r ya s s e b s u b s e q u e n t l y , is p e c i f ys o m e p a r t i c u l a rm o d e l sa n did e a lw i t hp a r t i c u l a rd e f a u l t a b l ec l a i m si no r d e rt od e e pt h e c o m p r e h e n s i o n f o rt h es a k eo fn o t a t i o n a ls i m p l i d t y , id e a lt h r o u g h o u tw i t ham o d e l w i t ho n l yt h r e ep r i m a r yt r a d e da s s e t s a g e n e r a l i z a t i o nt ot h ec a s eo fkp r i m a r ya s s e t s i sr a t h e rs t r a i g h t f o r w a r di nt h ee n do fe n do ft h e p a p e r t h e p a p e r i so r g a n i z e d 越f o l l o w s ： ( 1 ) e x a m i n e s t h e n o - a r b i t r a g e p r o p e r t y o f a m o d e l i n t e r m s o f a m a r t i n g a l e m e a s u r e ( 2 ) d e v o t e st ot h es t u d yo ft h ep d ea p p r o a c ht ov a l u a t i o no fd e f a u l t a b l ec l a i m sa n d g i v e st h eh e d g i n gs t r a t e g i e so fac o n t i n g e n tc l a h nu n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tp r i c e so f p r i m a r ya s s e t sa i es t r i c t l yp o s i t i v e ( 3 ) s h o w sh o wt oa d a p tt h ev a l u a t i o np d ea n dr e p l i c a t e ss t r a t e g i e si fo n eo ft h e p r i m a r ya s s e t si sad e f a u l t a b l es e c u r i t yw i t hz e r or e c o v e r y , s ot h a ti t sp r i c ev a n i s h e s a f t e rd e f a u l t ( 4 ) e x a m i n e sb r i e f l yt h ep o s s i b l ee x t e n s i o n st ot h ec a s eo ft h ed e f a u l tt i m e s k e yw o r d s ：c r e d i tr i s k , c r e d i td e r i v a t i v e , d e f a u l t , m a r t i n g a l em e a s u r e , i t t sf o r - m u l a 第1 章鞅测度 在这一章中，我先利用经典的经济资本方程创建本论文最基本的方程。为了计算简 便，我只取三个变量和两个干扰项：布朗运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 和随机借贷违约时间 ( r a n d o md e f a u l tt i l d e ) 我的目的是建立满足一般市场复杂性的偏微分方程。最终利用 这个方程对几个特殊的经济资本实例做出解释。 1 1 借贷违约时间 r 是概率空间( q ，g ，q ) 中的一个恒正的随机变量，表示借贷违约时问( d e f a u l t t i m e ) ，其中q 是一个统计概率测度。为了简便，假设q r 0 ) = l ，q t 7 s t 0 同 时表示由跳跃过程皿= 1 什c n 生成的口域流。 假设参考域流( r e f e r e n c ef i l t r a t i o n ) f 是满足v t 0 ，丁1 五9 ，p 域五是平凡的口 域流。令g = fv ，则v t r + 满足吼= 五v 咒l = j ( 五，h t ) 的域流g 即称为全域流 ( f u l lf i l t r a t i o n ) ，它包含了所有的借贷违约事件。在以上条件下可以假设f 鞅即是g 一鞅 ( 假设啪，具体证明过程详见【2 】。 定义r = q r t 陋 ，g t 1 f tq 7 - 阮) 我们可以称g t 是f 对应的剩余过 程( s u r v i v a l p r o c e s s ) 。容易看出f 是有界的，非负的f 半鞅。另外娩珥，最 0 ，w 表示一维布朗运动，m 由式子( 1 1 ) 确定用来表示借款违约过程h 的补 充鞅。值得注意的是在假设h 条件下，布朗运动w 不仅和其自身域流f w 有关，还和 扩大了的域流g 有关。 这篇论文着重考虑以，o i ，心，7 0 且是常数的情况( 或者至少是被确定的情况) 。为 了保证y ，i = 1 2 ，3 是非负的，我们假设q 一1 ，i = 1 ，2 ，3 。需要注意的是，等式 心= 0 表示第i 个资本变量是无风险违约的；峰0 意味着第i 个资本变量通常被划分 为可违约证券：r , 4 = 一l 代表了资本k 会在借贷违约后完全消失( t o t a l d e f a u l t ) 。值得 强调的是下文的大多数结果都可以在假设a 成立的前提下扩展到具有马尔可夫相关系数 随机过程上或模型上。同时可以注意到( y 1 ，y 2 ，y 3 ，) 在r sx o ，1 ) 取值，并在统计概 率q 下具有马尔可夫性质。另一方面一般情况下( y 1 ，p ，y 3 ) 并不具有马尔可夫性质。 假设a ：方程( 1 2 ) 中的系数“，以，愧以及强度7 可以由r + r 3 o ，1 ) 上的一些 函数给定。即可以表示成雎= w ( t ，k ! ，准，堆：风一) ，吼= # d t ，k ，记，y 。8 一，凰一) ，惋= 一。( k ! k ! k 兰，。一) ，1 = 7 ( ，k ! ，堙，k ! 1 t t 一) 。特别当系数是币则的时候，方程 组( 1 ，2 ) 具有唯的解。 1 2 1 赔偿方案 事前就已经决定好借款者违约后的赔偿措施也可以由上面方程反映，一般我 们用r 来控制它例如在违约r 时，被确定的违约赔偿盈( 0 ) 是由下面的等式 心( ，k ! ，瑶，堆) = 6 - 1 ( 让) 一1 确定的则方程( 1 2 ) 变成 d 巧= 堙似d + # t d w t + ( f 1 ( 堆) 一1 ) d 脱) 如果赔偿和违约前的资本成比例并且是一定要在借款违约当时支付，即有，c = & - i ，则等式( 1 2 ) 变成 d 砭= 堙( 肚出+ m d w t + ( 民一1 ) d m t ) 浙江大学硕士学位论文3 如果资本在违约后不再进行交易，即可以说整个交易过程在7 时是停止，则方程 ( 1 2 ) 的系数在r 之后也为零。 1 3 变量单位化 假设k l 一1 ，则v t m ，瑁 0 。因此基于这个假设上我们可以把第一瓷本变量 作为单位化的标准值。根据1 2 节中的经济解释，我们可以知道不变系数k l - 1 等价 于第一资本在交易中具有确定的违约后赔偿。 通常来说，我们不喜欢分析具有风险中立的资本变量或是无风险投资，例如储蓄资 本。事实上，我们经常假设在所有命题中都不存在无风险的情况。为了更好的实施变量 单位化，我们选用一个等价的鞅测度q 1 ，在这个鞅测度下所有的资本变量在用y 1 单位 化处理后仍然是鞅。换句话说，y i ( y 1 ) “i = 1 ，2 ，3 ，在新的鞅测度q 1 下仍然是鞅。 通过伊藤公式对方程( 1 2 ) 进行变换我们可以得到满足( y 1 ) - 1 偏微分方程， d ( 毒) = 去”p 1 扣；+ 矗( 击一怕) ) d 2 叫- d w t 一惫d m d ( 1 3 ) 然后利用部分积分公式可以得到 d 耀= 耀 似- # 1 - c r l ( a i 咱) 一矗( 峰咱) 最+ 慨) 帆+ 篙d m ) 1 4 等价的鞅测度 这节的土要目的是寻找概率空日j ( 旺纤q ) 上的概率测度的等价测度q 1 。如上 一节所说，在该测度下y i , 1 ，f = 2 ，3 仍然足鞅。根据1 1 0 ，中k u s u o k a 关于等价鞅测 度的相关介绍，我们可以知道任何等价于概率测度q 的测度都可以通过确定相应的 r a d o n - n i k o d q m 密度r 来定义，而该密度要满足方程 d 仇= 讯一( e d w , + 6 d 磊) ，伽= 1 ，( 1 4 ) 其中日和( 是岱可料过程( 特别是i o ，刀，6 一1 ) 。因为鞅m 在时刻下是停止的。 我们可以假设昏可科过程( 也是停止于时刻7 同时我们可以定义w 和嘲， f t 眦= w t f 儿砒， 疵= 坛一z 。矗缸如= 趣一f o 矗( 1 + 矗) 乩= 最一j ( 妣 4 第1 章鞅测度 其中已= 矗( 1 + 是g 一鞅。而相应的资本变量一，i = 2 ，3 ，是q 鞅当且仅当在他 们能量式( 即所满足的偏微分方程) 中的漂移项( 即d i 的系数) 为零。用公式表达即是： v t 【0 ，刀，i = 2 ，3 ， 堙协一斑+ ( 以一咧巩一以) 恻m 刊离 - o 同时，如果资本变量y 掣0 则有 纩地+ 帆一州巩咄) + 锹t 一心) 譬= o ，i 吒3 ( 1 6 ) 注意，当，c l = o 1 = o ，加= r 时，资本y 1 的能量式变成d r , 1 = r 1 出，其中r 是短 期利率。在这种情况下，y 1 表示的是储蓄资本，鞅测度q 1 是风险中立概率。 以下是关于不同的资本变量的具体讨论： 1 4 1 保持恒正的基本经济资本变量 以上的讨论都是建立在基本假设k l 一l 即v t ，m 1 0 上。在这- , b 节中由于我 主要是要讨论保持恒正的资本变量的情况。所以我们要增加另外的假设条件，即是 心 0 ， 0 ，i = 2 ，3 。根据套汇定价理论，在以上假设下可以得到以下结论：1 ) 市 场模型朋是完备的且无套利的。2 ) 方程( 1 5 ) 存在唯一的解( 0 ，( ) ，并且( 一1 。因为 y ，1 0 ，我们需要找到一组( 日，( ) 满足： 巩( ”以) + 6 6 篇2 胁柏怕( 旷以) + 6 ( ”愧) 志，i = 2 j 3 ( 1 刀 由于6 = ? 1 t ，! ， ，上一个方程可以等价f 撕一仍) + 弛鬻 撕一毋) + 矗6 篙 巩( 以一旬) 巩( 以一明) 。卢2 咱怕( 口1 一眈) + 矗( k l 一忱) 羔，t “( 1 8 ) 2 p a - p z + a z ( 巩一。) + 6 ( 托一坳r 拿哥，st ( 1 ，9 ) = 堙一t z + g i ( ( 7 1 一沈) ，t r ， ( 1 1 0 ) = m s p l + f f l ( o l 一以) ，t r ( 1 1 1 ) 方程( 1 s ) - ( 1 9 ) ( 或方程( i 1 0 ) - o 1 1 ) ) 分别被称为违约前( 或违约后) 无套利限制条件。为 了简单明确地解决这些方程。做一些简单定义：o = d e t a ，6 = d e t b ，c = d e t c ，其中 a ，b ，c 被定义炜， ：”叻 【0 1 一幻 ，ij 忱 协 一 一 l 1 托 k 浙江大学硕士学位论文 5 b ：以一观 【一一以 。：” = 【k t 一一。 下面的引理只要用简单的代数知识就可以得到。 引理1 。1 ( 0 ，( ) 满足下列方程组 巩o = 盯l d + c ， 6 6 a = t c l f t a 一( 1 + k 1 ) 6 为了保证引理1 1 中第二个方程的不仅在违约前有效。还要在违约后有效( 特别当 6 = 0 时) 。我们需要加j 二个条件b = 0 ， ( o 1 一仃2 ) ( 芦l 一弘3 ) 一( 口1 一幻) ( p l 一t 2 ) = 0 如果( 1 1 2 ) 满足，引理( 1 1 ) 中的方程组被改进为： o t a = o i a + c ， 6 6 a = k l f t a ( 1 1 2 ) 肉此我们可以得到一个更简练朐结果。 命题1 1 假设y 1 ，y 2 ，y 3 满足能量式( 1 2 ) ，且r 一1 ，i = 1 ，2 ，3 则下列结果成茳 ( 1 ) 如果a o ，b = or 则存j 年唯一鞅测度q 1 ，并且具有如下形式的r a d o n - n i k o d 弘n 密度的 器锄( 眯帆 ( 1 1 3 ) 其中 0 = o 1 + 兰，( = k i 一l ， ( 1 1 4 ) 口 并且v t 【0 ，卅，成立 卯彬) = e x p ( o w , 一；萨味 ( 1 1 5 ) 1lllllj 脚脚 一 一 ， l p p 1j 舰 心 一 一 p p 6第1 章鞅测度 白( ( m ) = ( 1 + 1 ，s i ( ) e x p ( 一( 7 ( ta7 ) ) ( 1 1 6 ) 市场模型m = ( y l , y 2 , y 3 ；西) 是无套利且完备的，而( y 1 ，妒，y 3 ，日) 在测度q 1 具有马 尔可夫性质。 ( 2 ) 如果o = 0 ，b = 0 ，则存在一组解使得c = 0 ，鞅测度q 1 也不是唯一的，另外在 这种情况下，朋= ( y 1 ，y 2 ，y 3 ；圣) 是无套利但不完备的 ( 3 ) 如果b 0 ，则鞅测度q l 是不存在的并且m = ( y 1 ，y 2 ，y 3 ；垂) 也不是无套利 的 证明：除了最后一个，结论( 1 ) 中的所有结论都是明显的，详见 1 0 1 。而( y 1 ，p ，y 3 ，h ) 在q 1 下具有马尔可夫性质可以通过结合y 蛆， = 2 ，3 ，在q 1 中的能量式1 1 7 ) 和违约密 强度在q 1 中是确定的的事实( = - r ( 1 + ( ) = - r ( 1 + k 1 ) ) 推导出。 d = 蟛( 0 啊) d 毗+ 篇d 庇) ( 1 1 7 ) 有趣的是，不同的鞅测度具有相同的强度当且仅当y 1 是连续的。至于结论( 2 ) 和结 论( 3 ) 作为特殊情况也是很容易被验证的。口 从现在起所有的工作都是基于命题( 1 1 ) 结论( 1 ) 中的假设成立的前提下进行。很 明显由等式( 1 1 5 ) 和( 1 r 6 ) 确定的e ( o w ) 和e ( ( m ) 是下面偏微分方程组的唯一解 l 出t ( o w ) = 嵋( o w ) d w , ， c l e t ( ( m ) = c - ，一( ( m ) d m - ie o ( o w ) = 都( ( m ) = 1 机= 珑一+ ：) 州柄枞 例子1 1假设经济资本y 1 是无风险的，p y 1 是无违约风险的，y 3 是零赔偿的完 全违约的，则y 1 ，妒，y 3 满足以下偏微分方程 d y l d y 2 d y s = r k l d t ， = 坪( 脚出+ v 2 d w t ) ， = 瑶+ 3 d r + a 3 d w t + k s d m t ) ( 1 1 8 ) 塑兰查兰堡主兰堡篁奎 ! 由已知条件知口1 = s l = o ，芦l = r ，兜o ，规= o ，铂o ，翘 0 ，所以有 口= 如，铅0 ，c = 9 3 ( r 一舰) ， 并且b ：0 当且仅当叻( r p 3 ) = a 3 ( r 一地) 。同时根据命题( 1 1 ) 易知 d ；! 丝，( ：0 ， ( 1 1 9 ) 则可知在新的鞅测度q 1 下，能量式可以改进为 d y l = r 砼d t ， d y 2 = 砰( r d t + 以砒) ， d y 3 = 记( r d t + 如d 毗+ ，蛆d m ；) 值得注意的是在这种情况下风险中立强度和统计概率测度的强度7 是相等的。 1 4 2 具有零赔偿的完全违约资本 在这一节中，我们骰设心 一1 ，i = 1 ，2 ，协= 一1 。以上假设等价于资本y 3 是完全 违约的即在违约后“f ) ，y a 完全消失。因为y 3 在7 - 之后为零所以等式组( 1 6 ) 的 第一个等式在v t i o ，即都成立 纩m + ( 0 2 - - 0 1 ) 旷+ 淞叫1 ) 篙= o ； 而第二个等式 # 3 - t l + ( 旷川( 吼咱) + 矗( 旷k 1 ) 蒜= = 【j 仅仅在( f t ) ( t e 6 = 7 ) 时具有意义。因此( 目，o 满足下列方程组： i 2 一p l + ( 口j 一0 1 ) ( 巩一0 1 ) = 0 ，t f ， ( 1 2 0 ) p 2 - - z 1 + h - - 0 1 ) ( 巩叫1 ) 州忱叫1 ) 需刮，坯r ，( 1 2 1 ) 旷时0 - - 0 1 ) ( 以叫1 ) 州叫，) 需2o , t g ( 1 忽) 这些可以推导处下面的引理。 引理1 2 当茎r 时，( 口，( ) 满足下列方程组 巩口= 盯l 口+ c t ( t 叮口= 向一y d 一( 1 + i e l ) 6 8 第1 章轶测度 当t r 时， 一p 1 + ( 0 2 一盯1 ) ( 巩一0 1 ) = 0 假设口0 ，以0 2 ，7 6 d ，则唯一的解( 口，( ) 可以表示为 巩= h 纠( 叶：) + 1 ( ”幽0 1 - 0 2 ) ，( t 铂一坐 r 业a 一1 ， ( 1 2 3 ) 同时唯一的鞅q 1 由以下的公式给出 罢吲球坶 而且市场模型朋= ( y 1 ，p ，y 3 ；圣) 是无套利，完备的且在q 1 下具有马尔可夫性质的。 例子1 2 假定资本y 1 是无风险的，y 2 y 1 是无违约风险的，y 3 零赔偿的完全 违约资本。即等价于以= 两= 0 ，脚= r ，o 2 0 ，晚= 0 ，= 一l ，因此口= 一o 2 0 。 同时假设 1 = 7 - 心一弘叫2 ) 通过简单的计算，可以得到 日= 与笋，( = 一面b = ；汹一r 一爱一r ) ) 一， ( 1 2 4 ) 同时在q 1 下。 d k l = r 口d t d v 2 = 2 ( r d t + 口2 d l 订) ， d f = y = ( r d t + 口3 d l i j d 五 ) 在这里我们并不假定b = 0 ，因为若如此就和例子1 1 一样了。 1 4 3 处于违约时的资本交易即停时资本交易 在某些情况下，处于违约时的赔偿是很特殊的在这样的条件下，对于违约问题的 定价将依赖于资本投资违约前的情况而同样自然的寻找其复制策略也将依赖于其违约 前的情况( 包括违约时的情况) 。因此，我们把所有的注意力集中在停时模型上就是一 件很自然的事情。在这一节中我们要找到方程( 1 8 ) i ( 1 9 ) ( 即( 1 2 1 ) - 0 2 2 ) ) 的解( p ，( ) ， 等价于讨论方程组 0 , a = 0 1 0 , + c 模型中资本的所有活动都将在违约时刻r 时停止 浙江大学硕士学位论文 9 6 = 翻 口一( 1 + 圪l 弦 我们不再假设条件( 1 1 2 ) 成立。很容易得知如果口0 ，上述方程组的唯一解是 一= 口- + ：，( = 托，一竖一= ；詈堂 一， ( 1 2 5 ) 由后一个不等式可以推出1 6 o 。并且在鞅测度q 1 下关于不同的眈，一3 我们也可以得 到相同的解的表达式( 只有当我们希望讨论对违约资本投资或不违约资本投资时才需 要用到条件( 1 1 2 ) ) 。另外。根据方程( 1 2 ) ，在违约后的投资资本变换完全是靠随机因素 ( 布朗运动w ) 来带动，所以当投资活动是连续直到时刻t 时，为了排除套利机会，条件 ( 1 1 2 ) 是必须的。而这些情况当经济活动完全停止时是不必要的或是没有意义的，所以 有效h o r i z o n d a t e 变成r a t 。 第2 章恒正的经济资本变量 在这一章中，我们主要研究在三个基本变量不会消失前提下如何利用p d e 分析市 场模型。很自然的我们需要假设被研究的市场模型都是完备且无套利的，从而排除过多 的不可测因素和利用之前的结论。所以直到本章结束我们的研究对象都是满足命题( 1 1 ) 中结论( 1 ) 的假设条件。 2 1 定价 我们首先研究的是在到期日t 具有最后赔偿y = g ( 珞，增，埽，月 ) 的一般或有权益 ( c o n t i n g e n tc l a i m ) 的定价和对冲问题。然后通过以下的讨论，可以发现相同的方法可以 很容易地被应用于一般完全违约的情况，当然包括零赔偿的情况。 假定口0 ，6 = 0 ，我们之后的讨论是建立存以q 1 作为鞅测度，y 1 作为标准化单 位变量的前提下。通过前而的介绍可知 器砷( 嘲吲， 其中( 口，( ) 由( 1 1 4 ) 确定。如果任意变量y ( 睇) “是q 1 可积的则y 的套利定价可以表示 为，v 【o ，卅， 仉( ，) = k 1 e q - ( ( 嵋) 一1 y i 级) = 睇e q - ( ( 诈) 一1 g ( 略，曙，磅，h ，- ) i y t i , 坪，印，t ) 后一个等式是由( y 1 ，y 2y 3 ) 在q 1 中的马尔可夫性质得到的。定义c ：【0 ” 豫! 0 ，i 一豫是个满足v t 【o ，刀7 r t ( ) = f ( ， ；1 7 印h t ) 的函数。当h = 0 1 时 g ( 丁，y l ，抛，钝，h ) = c ( y 1 ，耽，y s ，1 ) ：v ( y l ，抛，妁) r 3 特别v t 【o ，卅，定义q 1 上的过程岛， & = ( k 1 ) c ( t ，k 1 ，曙，垮，凰) ，y t 【0 ，t i 如上所述，我们希望用这些性质推导出c 所满足的方程。最后，我们应用伊蘑公式推广 到0 上。为了简便，记a c = 气c ，g = 乱i 气c ，还有( 如果( 6 = o ) 下面等式右面部 分将不依赖于i ) o1 c 一口 以+ 三 = 口 浙江大学硕士学位论文 1 1 命题z 1 资本变量y ，i = 1 ，2 ，3 ，满足d 玲= 准( 他d t + 以矾+ 峰删；) ，啊 - i 假定口o ，b = 0 ，则存在函数g ： o ，卅r 晕0 ，1 一r ，使得具有最后赔偿 y = g ( 玲，埽，埽，协) 的一般或有权益的套利定价可以表示为 仉( y ) = c ( t ，y l 砰，坪，凰) = 1 一 c ( t ，k 1 ，坪，圩，0 ) + 1 断 c ( ，y t i 坪，印，1 ) 假设当h = 0 ，h = 1 ，时，辅助函数e ( ，h ) ：【0 ，卅r 晕一r 属于c 1 ，2 ( 【0 ，7 1xr 晕，r ) 。 则方程c ( ，0 ) 和c ( - ，1 ) 是下面方程组的解 33 a e ( ，o ) + ( 口一7 心) 扯a g ( ，o ) + 石1 以。玑鲫劬c ( ，o ) - a c ( ，o ) k 1 。i d = l + 7 【e ( t ，们( 1 + k 1 ) ，抛( 1 + ，c 2 ) ，船( 1 + ，c 3 ) ，1 ) 一c ( t ，y l ，抛，蜘，o ) 】= 0 3 3 a e ( - ，1 ) + 口挑a c ( 1 ) + ；以乃鼽协a b c ( ，1 ) 一o c ( ，1 ) = 0 仁l 一d = l c ( z 玑，| 1 2 ，y s ，0 ) = g ( 9 1 ，y 2 ，y 3 ，0 ) ，c ( t ，y l ，! f 2 ，蜘，1 ) = g ( m ，y 2 ，蜘，1 ) 证明：命题的第一个结论可以从( y ，y 2 y 3 ，) 具有的马尔可夫性质直接推出。令 c ( ，k ! ，堆，y z ) = c ( t ，堙( 1 + k 1 ) ，堆( 1 + 忱) ，记( 1 + k 3 ) ，1 ) 一c ( t ，e 。1 堙，啦，0 ) 为了简便书写，记q = c ( t ，k ! ，准，堙，吼) 并且在出现a g 画g a c ，e t c 时省略 变量( t ，e 。1 一，瑶，y 。3 一) ，应用伊藤公式可得 3 33 d o , = o t c d t + 反g 嘶+ i 1 以町准准c d + ( z x c 一心堙a e ) d 凰 i = 1 幻= li = 1 3 ， 3 3 = a g 出+ 岛c d w + ；西q k 二垠a j ( j d f + ( a c 一k ! a c ) ( d m + 矗d ) t = j 一j 。ll = 1 3 3 = a c d t + 啦a c ( 雎出+ 以州) + 石1 巩乃距坦c 出 i = 1 一 j = i 3 + ( c ) d 帆+ ( a c - ，c 罐a e ) 矗出 i = 1 3 ， 33 = 偷g + “堆们+ i 以。砭啦c + ( a c - 愧堙a c ) 甜出 = = l i j = l ：1 3 + ( 以堙a c ) m 仉+ a c d m t = 1 然后再利用分步积分公式得到关于0 的方程，注意到d i m 。= d 凰= d 肘；+ 6 d t 鸸= d 一帅+ 砰+ 6 ( 击- - i + m ) 】出咱矾一最m + ( 址广他g + 壹m 堪a g + ；壹巩q y , , y , l a , j c + ( c - 。惋堙夙回勖出 + ( 址) 一1 以啦a c 硼+ ( 堙) - i a c d m t 吨i 一- i 盯。壹以y , t a , c d t 一( 让) 。r 州m + 6 捌 = d 一 啪十砰+ 6 ( 南一1 + k 1 ) 出 + 蕊一h 北- a ，s d t - r 磊t 1 砒一# 鼍d ) + ( 瑶广m g + 壹雎堙a c + ；塞蚋堪堙岛g + ( g 一善能堪即) t 瑚 + ( 记) 一t 以堙a 咖+ ( 让) 1 善以堙9 a c 出 t = l ( 让) ( d 盹+ ( 记) 。“1 a c d t 州! 广盯，壹巩y , t a , c d t 一( 让) - l 最咧砒删1 + 0 出) ：d _ 时仃 删击一1 柏+ d 十印一羔弦 + ( 让尸 a c c + 壹雎让反e + ；壹以乃喀啦锄c + ( e 一善惋眨a 回甜出 + ( v 1 ) 一】产毋托，0 0 t c d + ( 坨) 一1 ( 6 c 出 邓：! ) t o - 1 妻巩y ；_ o , c a 川址) “最6 ( 1 + ( ) 们出 +am a r t i n g a l eu n d e rq 1 因为0 在q - 是鞅，所以上面方程的有限部分为零，啤 。：c t 一( 让) 一h + 盯：+ 6 而1 一l 柏) - o , 0 - 器) + ( 址) - l a c + 喜以让岛c + ；毫以乃砭咄g “g 一丢r 堪a 6 + ( 址) 一- 壹巩y l o & c + ( 址) 一z c & a c 一眩) 一1 羔氐q + ( ) c 堙砚 。目 k r堙 一 浙江大学硕士学位论文 经化简 o = g - - p 1 + 砰咱日一矗，c l 一6 ( 1 十( ) 最 333 + a c + 地址a c + ；以町堆吆c + ( a c 一愧让a 回矗 信l 。i d = l i = l + 善以堆帆e + ( 6 e 一盯- 若以堙反c 一碑+ ( ) c 击， 考虑到( 1 1 4 ) ， 最后得到 讹+ 蠢一印+ 一f ( 1 + ( ) 最= 吧 胁+ o - , ( o o 1 ) 一q 6 = 口一心6 a c + 似一心6 ) 准a c + ；以乃u 坦c q c ：一十矗c = o 口i。i ，f t 注意到6 = 7 1 1 t c ，a 总之，具有最终赔偿g ( 埽，井，印，风) 的或有权益y 当h = 0 和 h = 1 时可以被表示成c ( t ，k 1 ，埒，堆，皿) 即 c ( t ，y 1 ，抛，y s ，h ) = g ( 玑，y 2 ，蜘： ) v ( y 1 ，抛，讹) r 晕 同时很容易的得到c ( 0 ) ，c ( ，1 ) 满足命题i i 的方程。 口 例一f z lb l a c ka n ds c h o l e sp d e 侄j 例f ( 1 1 ) 十h 同的设定。f ( a 0 b = 0 ) ，假 定或有权益y = g ( 曙) 满足y ( 碍) _ 1 在q 1 下足可积的，其中g ：r r 是一个连续的 函数。根据定义，定价函数c 依赖于t 并且在不失一般性的情况下，可以假定此函数完 全不依赖与变量玑和船，即仉( y ) = c ( t ，坪) 因此p 1 = r ，k l = 忱= 0 ，经过简单计算 可以知道命题2 1 中的两个偏微分方程简化成一个方程： 1 岛e + ( 舰一观口) ! 2 a 2 g + i 1 0 22 a 2 2 g 一( 助一a 2 0 ) c = 0 而0 = 一( 一r ) 盯2 ，经简化可得 a t c + r y 2 0 2 c + ； l t 22 a 2 2 c r c = 0 最后我们得到了经典的b l a c k a n d s c h o l e s p d e 1 4第2 章恒正的经济资本变量 2 2 复制策略 我们的下一个目标是要推导出一般权益的复制策略的表达式。定义= ( 1 ，护，矿) 是一个经费自给的策略，如果1 ，矿，扩，是g 一鞅。并且它的财富过程 满足 k ( ) = 程玲+ 群坪+ 钟玲 弼( = 旌d 蛩+ 拜d 坪+ 群d 譬 如果硌( 纠= y 我们就说西复制了或有权益( c o n t i n g e n tc l a i m ) y - 如果毋是一个资产y 的复制策略我们有v t 【0 ，t l ， 丌t ( y ) = 钳玲+ 毋；p + 钟玲 下而的结果显示了为了在理想的状态下找到复制策略我们必须利用基本投资资本的定 价公式和借款违约事件的跳跃函数g 。 a c ( t ，y t l - ，记，啦) = c ( t ，让( 1 + k 1 ) ，记( 1 + ，c 2 ) ，记( 1 + ) ，1 ) 一c ( t ，硭，堆，记，o ) 为了简便书写，在出现a t c ，a c ，a a e t c 时省略变量( t ，k ! ，堙，准) 。特别值得注意 的是，关于函数e ( ，0 ) 和g ( ，1 ) 的讨论取决于有价证券的复制策略是在违约前作用的还 是在违约后作用的。 命题2 2 在与命题2 1 相同的假设条件下，记或仃权益g ( w ，坪埠，) 的复制策略足 9 = 扩护) ，其中，= 2 ，3 ，是出f 面的式j ，给“5 哆= 壶( ( 栩 j = _ 程= 礤1 ( ( k 。 j = _ 一k 1 ) ( m 堆a c 一口e ) 一( 田一盯1 ) ( c k 1 c ) ) ， ( 2 1 ) t = l 3 一k 1 ) ( 以瑶反c 一盯l c ) 一( 砚一吼) ( c k l c ) ) ( 2 1 2 ) 另外，毋1 满足 3 旌= ( p ) _ 1 鼢一毹巧) i f f i 2 证明： 利用能量式( 详见( 1 _ 1 7 ) ) d 话1 = 耀( ( 以一吼) 砒+ 篙砒) 浙江大学硕士学位论文 1 5 记 d = ( 如咱) 篙一( 乃一m 心j - 干叫, - 1 1 = 志 我们可以得到( 简记( 圩，1 ) 一- = k 1 2 ) 最后，我们得到 = 刍( 篙x 1 二2 舻2 一k ， 2 帕- - 1 1 2 1 , d 槐 = 一寺【如一以) 馏d 堙”一( 砚一九) x 1 一, 3 u r 。3 1 ) 蹈= ( 让) 一1 ( 3 以y , t a c - a , c ) w 4 + ( 啦) 1 a c i - , - , c d 啦 = ( 皑) - l ( 毒以堪a c 一以r n ，。1 、r , 1 4 + - k m 。ly 。i 一, 2 d 砰”一等等啦d 曰1 ) 删) - l 等希( ( 以咱) 让2 肝1 呻：叫阱3 研1 ) = ( k 圹1 沁咱) ( 3 巩堆执g 一( 孟咄) ( c f 咱c t ) ) k 翔蜉1 叫丁1 如咱) ( 砉以y , t & c - a , c h 观咱) ( a c - , c , c 眦? 舯1 这个结果很明显的证明了等式( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，至于( 2 萄很明显了。 口 假设y i 足储蓄资本，则肋= r ，巩= k 1 = 0 。同时在假设a = 0 2 k 3 一毋2 0 成立 的情况卜，表达式f 2 1 ) ，( 2 2 ) 可以被简化为 牡壶妾以y ；_ & c - c a c ) ， 钟= 壶c 以y , t & c - a ：a c ， ( 2 4 ) ( 2 5 ) 2 3 特例：y 1 是无风险的，y 2 是无违约风险的，y 3 是 完全违约的 在这一章中，我们主要研究一个特殊的情况：k t = e n 是无风险的，y 2 y 1 是无 违约风险的( 口2 0 ，k = o ) ，同时还假设c 3 0 ，哟 0 。如同在例子1 1 中提到的，我 们可以假设在不失一般性的情况下c 不依赖于变量1 1 下面的结果结合了命题( 2 1 ) 和 ( 2 2 ) 并把它们应用在实例当中。注意我们讨论的前提包括a = 砚0 1 6第2 章恒正的经济资本变量 命题2 3y 1 ，俨，y 3 满足等式( 1 1 8 ) 并且观0 。假设a 2 ( r 一脚) = a s ( r 一 助) ，哟o ，c 3 一1 ，则或有权益y = g ( 埽，埽，蜥) 的价值可以被表示为饥( ，) = c ( t ，玲，印，凰) ，并且价格函数c ( ，o ) ，c ( ，1 ) 满足下列方程组 o , c ( t ，抛，y 3 ，0 ) + 毗如c ( t ，抛，船，0 ) + y s ( r 一物7 ) a 3 c ( t ，班，枷，0 ) 一r c ( t ，抛，y 3 ，0 ) ， 3 + ；以乃鼽协g ( ，耽，y 3 ，o ) + 7 ( g ( ，抛，蜘( 1 + 物) ，1 ) 一c ( t ，耽，蜘，o ) ) = 0 。j - - 2 a c ( ，抛，诒，1 ) + r m 岛c ( t ，班，始，1 ) + r 1 编c ( t ，耽，船，1 ) 一r c ( t ，y 2 ，拍，1 ) ， 3 + ；以叮玑a i j c ( t ，耽，y 3 ，1 ) = 0 c ( l 钝，蜘，0 ) = g ( 耽，拈，0 ) ，c ( t ，暑1 2 ，珈，1 ) ；g ( 妇，拈，1 ) 至于复制策略= ( 1 ，矿，扩) 则有下面的表达式 砰=去雹哪帆吃堆聃州叫己记( 伯) 1 ) 一c ( t k 2 圮o ) ) ) ， 砰= 丧( c ( t 堆，坨( 1 + 一a ) ，1 ) 一c ( ，记，堆，。) ) 2 3 1 生存权益的复制策略 生存权益是指形如y = 1 f ，r ，x 的或有权益，其中x 是，一可测的随机变量，代 表已承诺的赔偿。假定该赔偿具有形式x = g ( 曙埽) ，其中h 代表了第i 个资本奄鑫 在t 时刻的违约前价值。很明疆，违约后的价格函数c ( 1 ) = 0 ，因此我们现存感兴趣 的是违约前的价格函数c ( ，0 ) 。 推i 仑2 1 在与命题2 3 相同的假设下，生存权益y = 1 ，t g ( 埽，印) 的违约前价 格函数，c ( ，0 ) 是下面方程的解 3 o = a t c ( - ，o ) + r 抛a 2 c ( ，o ) + 驰p 一确们岛c ( ，o ) + 石1 巩乃雏珊g ( ，o ) 一( r + 7 ) c ( ，o ) 一i j ：2 还应满足边界条件c ( e 耽，y 3 ，0 ) = g ，伽) 。而复制策略的分量有如下表达式 衍= 去( 9 3 妻以堙辄0 ) - 矾0 ) ) ，钟一裂 第3 章p d e 方法：针对零赔偿的情况 在这一章中，我们假设y 1 ，y 2 是恒正的，哟= 一1 即y 3 是具有零赔偿的完全违约 资产( 当 t 7 ) 时，y 3 消失) 。另外我们假设a o ，盯1 眈，但我们不再假设b = 0 记 啦：胁+ 以! ，屈：地一以丝_ = 丝 口 a l 一盯2 命题3 1 p ，i = 1 ，2 ，3 满足 d y e = y l ( 地出+ 以d 眦+