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高斯烟羽扩散模型再研究 关于核电站泄漏放射性气体扩散的预估模型 摘要 由于核泄漏导致放射性气体扩散对经济和人身造成巨大损失的报道在国内外屡见不鲜，本文中日本福岛核泄漏事件更加使我们认识到对放射性气体扩散进行合理性的预估从而为以后类似于此的突发性事件作积极有效的补救措施的重要性。 对于问题一我们运用了点源烟羽扩散模型，用抛物型二阶偏微分方程解出理想状态下的不同时刻、不同地点的浓度表达式：C(x,y,z,t)?Qe(4?kt)32?x2?y2?z24kt。此模型是建立在以泄漏点为圆心的一个无界球形区域内的。为了使模型更符合实际情况，能够被应用于现实生活中，我们在泄漏源有效高度的确定和考虑地面反射与吸收作用下对此模型进行了修正，最终得到问题一浓度的确定公式 (14)C(x,y,z,t)的表达式。 对于问题二，我们采用高位连续点源烟羽扩散模式，其扩散服从正态分布，并根据概率论的相关知识通过数学公式推导，得到理想状态下的高斯模型，由泄漏源有效高度，地面反射等因素的影响对其进行修正，又由于重力干沉积，雨洗湿沉积以及核衰变等因素对源强的影响，对高斯烟羽模型再次进行修正，最终得到泄漏源周边浓度变化情况即公式(32)，在风速为km/s的条件下浓度为C(x,y,z,H)。 对于问题三，我们在第二问建立的模型的基础上，引入时间变量tr和t，和 扩散速度变量s，在风速和扩散速度的共同影响下，可分别求出上风向和下风向浓度预估模型即公式(40)和(41)。 对于问题四，本文参阅大量气象、地理、新闻资料，选择我国东海岸典型地域-山东半岛和美国西海岸典型地域-加利福尼亚州作为研究对象，综合考虑对应海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，并通过计算机模拟，预测出放射性核物质将经过6天到达我国东海岸，且131I浓度预测值为：0.105mBq?m?3,，经过6.8天到达美国西海岸，且氙-133浓度的预测值几乎为零，与实际情况比较吻合。 关键词点源烟羽扩散模式偏微分方程P-G曲线高斯修正模型仿真 一、问题重述 现有一座核电站遭遇自然灾害发生泄漏，一种浓度为p0的放射性气体以速 度mkg/s排出，在无风情况下以速度sm/s匀速向大气四周扩散。 问题一：建立一个数学预测模型来描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度。 问题二：给出当风速为km/s时核电站周边放射性物质浓度的变化情况。问题三：当风速为km/s时，建立一个放射性气体的预测模型计算出上风和下风L公里处的浓度。 问题四：利用所建立的模型来计算出福岛核电站的泄漏对我国东海岸，及美国西海岸的影响。 二、问题分析 对于问题一，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散,的速度为sm/s，建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。对于此问题我们采用放射气体扩散是点源连续扩散模型，首先是在理想的状态下，将环境视作了一个没有边界的空间，建立高斯模型，利用“质量守恒定律”和二阶偏微分方程来描述烟雾浓度的变化规律，求得核电站不同距离、不同时段放射性物质浓度的预估模型。 为了更接近实际，我们对高斯模型进行了改进，考虑泄漏源的有效高度，以及地面和海水对放射性气体的反射，使模型更加接近实际情况。 对于问题二，在外界环境有风，风速为km/s的情况下,求出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。假设放射性气体在x轴的扩散呈正态分布，利用概率和统计的知识，通过数学推导求出高架连续点源烟羽扩散模式的高斯修正模型中的放射性气体物质浓度的变化函数，考虑扩散过程中地面和海水的反射、泄漏源有效高度、干沉积、雨洗湿沉积和放射性物质的衰变，使高斯模型进一步修正。 对于问题三，当风速为km/s时，利用求得的模型，分别求出上风和下风L公里处，t时间时，放射性物质浓度的预测模型。采用第二问的结论，求出放射性气体在tr时间内的初始浓度，再加入时间t的变量，得出上风向和下风向的不同位置，不同高度，不同时间的放射性气体的浓度函数。 对于问题四，参考互联网上的相关资料。查出当天的天气变化，风速，地理环境，以及福岛核电站爆炸时的相关参考资料。取中国东海岸距离日本最近的山东半岛为例，美国西海岸以加利福尼亚州为例，进行研究。综合考虑对应 海域平均风速及风向、地理距离、海水对放射性物质扩散的部分反射系数等因素，预测出放射性核物质对中国东海岸和美国西海岸的影响。 三、问题假设 1.放射性气体初始泄漏时可看作在空中某一点向四周等强度的瞬时释放，在于风向垂直的三维坐标的两个方向上y轴和z轴的分布呈正态分布。 2.初始时刻放射性气体云团的内部、温度呈均匀分布。 3.扩散过程中不考虑云团内部温度的变化，忽略热传递、热对流及热辐射。 4.泄漏气体是理想气体，遵守理想气体状态方程。 5.整个扩散过程中风速的大小、方向保持不变。 6.地面对放射性气体不完全反射。 7.放射性气体的传播服从扩散定律，即单位时间通过单位法向面积的流量与它的浓度梯度成正比。 四、符号的定义和说明 (一)符号定义 C(x,y,z,t)：时刻t无穷空间中任一点(x,y,z)的烟雾浓度 q：单位时间通过单位法向面积的流量 ?：空间域 V：?的体积 S：包围?的曲面 n：S的外法线向量 ?：扩散系数 Q1：在t,t?t内通过空间域?的流量 Q2：空间域?内放射性气体的增量 Q：核泄漏释放的放射性气体总量 ?(x,y,z)：单位强度的点源函数 (二)名词解释 1.烟羽：从工厂烟囱中连续排放出来的烟体，外形呈羽毛状，因而得名。烟羽可被看作是由无数个时间间隔为无限短暂的、依次排放的烟团所组成；烟团各部分的运动速率不同。 2.热力抬升：排放物初始温度高于大气环境温度所造成的烟云升高。若不计烟气与空气成分而造成的密度差异，温度差便决定了作用于烟云的净浮力。实测资料表明，烟云抬升主要是热力因素的作用。 3.地面反射作用下的浓度处理：由于地面的存在，烟羽的扩散是有界的，可以把地面看作一面镜子，对泄漏气体起反射作用，并采用像源法进行处理，任一 点的浓度可以看作两部分的贡献之和。一部分是不存在地面时所造成的泄漏物浓度，一部分是由地面反射作用增加的浓度。 4.干沉积：在扩散过程中同时有重力沉降的位移迭加到羽流中心线上，中心线就会向下倾斜，所有粒子相当于在下倾的中心线上扩散。 5.雨洗作用：降雨对烟羽中的颗粒物及气溶胶具有清洗作用，可溶性气体与蒸汽亦可溶于雨水中，降雨过程造成的这类湿沉积是导致放射性气溶胶和气体向地面沉积的另一重要机制。 五、模型的建立和求解 第一部分准备工作 1.3月12日22时，世界气象组织和国际原子能机构北京区域环境紧急响应中心(设在中国气象局国家气象中心)综合分析最新气象资料和放射性污染物扩散模式运行结果权威发布：由于我国位于日本国的西部，日本核泄露发生地区近日风向盛行由西向东，其核泄漏放射性污染物未来3天对我国没有影响。 2.3月13日本上空为西风，未来仍以偏西风为主，放射性污染物主要向日本东部的北太平洋区域扩散。专家表示，中国位于日本国的西面，中间又有日本海、朝鲜半岛、黄海、东海相隔，因此，在以向北太平洋扩散为主的日本核污染物扩散区域距离中国较远，未来3天内对中国没有影响。 3.日本于xx年3月15日下午，世界气象组织和国际原子能机构北京区域环境紧急响应中心分析认为：日本中北部区域在中低层大气中的风向由西南风转为西北风；高空大气主要以偏西风气流为主，近期由于降水发生，有利于核物质沉降，影响范围缩小。未来三天（16日至18日），日本核电站核泄漏产生的放射性污染物主要影响区域为日本中部、北部及其以东的北太平洋区域。 4.美国环保署和能源部18日联合发表声明说，美国西海岸已发现可能日本的放射性物质，不过剂量“极小”，仅是岩石、砖块和太阳等天然辐射源辐射量的十万分之一。声明说，能源部设在加利福尼亚州萨克拉门托的监测站18日监测到碘、碲以及铯元素的放射性同位素，不过“量极小，对人体健康没有影响”。此外，能源部设在华盛顿州太平洋西北国家实验室的监测器16日、17日监测到“微量”的氙-133，对人体健康也没有影响。 5.半岛网3月16日消息日本处于青岛的东北方向，根据中央气象台分析，未来三天日本中北部区域中低空风向由西南风转，西北风，高空以偏西风气流为主，预计主要影响区域为日本本州岛的福岛核电站附近地区，以及日本以东的北太平洋区域。根据最新气象资料分析，未来一周青岛市1000米以上高空盛行偏西风，近地面16日至19日南风4到5级，19日夜间到23日持续受冷空气影响，北风5到6级阵风7级，海上6到7级阵风8级。 第二部分问题一的模型 (一)放射性气体浓度的变化规律 图1模型的理想化图形 将核泄漏时刻记作t?0，爆炸点选为坐标原点，时刻t无穷空间中任一点(x,y,z)的气体浓度记为C(x,y,z,t)。根据假设7，单位时间通过单位法向面积的流量为: q?gradC(1) 其中?是扩散系数，grad表示梯度，负号表示由浓度高向浓度低的地方扩散。 考察空间域?，?的体积为V，包围?的曲面为S，S的外法线向量为n，则在t,t?t内通过?的流量为： Q1?t?t t?qnd?dt(2)S 而?内放射性气体的增量为： Q2?C(x,y,z,t?t)?C(x,y,z,t)dV(3) V 由质量守恒定律可知： Q1?Q2(4) 然后根据曲面积分的奥式公式可以得到： ?qnd?divqdV(5) SV 其中div是散度记号。由(1)-(5)式再利用积分中值定理不难求得下式： ?C?2C?2C?2C?div(gradC)?(2?2?2),t?0,?x,y,z?(6)?t?x?y?z 这是无界区域的抛物型偏微分方程。根据假设1，初始条件为作用在坐标原点的点源函数，能够将其记作： C(x,y,z,0)? Q?(x,y,z)(7) 题目：基于FICK定律和高斯烟羽模型的放射性气体扩散研究 摘要 日本核污染扩散问题不仅对该国公众健康造成巨大危害，还对其对外政治关系、全球环境，乃至世界经济格局产生了深远的影响；因此，建立有效的模型模拟放射性气体的扩散，并预测放射性气体在不同地区的浓度变化情况可为决策者提供及时准确的信息，从而尽可能的减少核泄漏带来的损失。 对于问题一，我们对放射性气体的扩散过程进行合理的简化和抽象，在不考虑气体受到的重力、浮力和风速的影响时，气体呈放射状向四周扩散。我们首先考虑质量守恒定律，再由Fick定律求出扩散系数D，进而得出扩散的粒子流量与其浓度梯度的正比关系，得出描述扩散情况的偏微分方程。随后，用傅里叶变换求解得到扩散方程的解，并在MATLAB中绘制此微分方程的图形，发现预测图形与东京市测得的实际数据的图形基本吻合，即离泄漏源越远浓度越低。 对于问题二，要探究风速对放射性物质浓度分布的影响。风速的处理是此问题的核心，因此我们采用大气污染的经典高斯扩散模型。通过查阅相关资料，我们发现连续点源的平均气体流，其浓度分布符合正态分布规律，因此污染物浓度在y、z轴上的分布为正态分布。取烟云轴线为x方向（平均风向），得出无界情况下下风向空间某一点的浓度函数C(x,y,z,H)。同时考虑到泄漏点的高度，对模型进行了修正，得出的浓度分布情况与实际情况相似。 对于问题三，由问题二得到的浓度分布函数C(x,y,z,H)，可以分上风和下风两种情况，根据当时的实际情况，假设自然风速大于泄露的自身扩散速度，则可将第二问中的风速替换成k与s的线性组合即可，即下风向的速度为k?s，上风向的速度为k?s。将平均风速分别代入浓度函数，得出了上风向和下风向L处浓度分布函数。结果显示两个地点气体浓度变化情况与第二问得出的结果一致。 对于问题四，本文参考了大量地理、气象、专题报道等资料。假设风向不随时间变化而变化，即我国东海岸一直处于上风，美国一直处于下风，并且取大气稳定度均在D时的扩散参数。中国取东海岸的上海为例，取纵向位移y?800km，美国取核电站到西海岸的直线距离为8000km，带入第三问的模型可以得出我国东海岸山东半岛辐射浓度的预测值，由于题中的各个参数无法准确设置，所以我们将预测的浓度与东京的值相比得到一个相对值，得出了3月23日上海相对浓度为5?10?2%，美国西海岸的相对浓度为1.3%。预测结果要比实际结果大，但是与实际值相比可以接受，所以这个结果是合理的。 关键词：气体扩散，Fick定律，高斯烟羽模型，扩散系数，浓度函数 一、问题重述 xx年3月11日,日本近海发生9.0级地震并引发了大海啸，沿海的核电站受到破坏，开始释放出大量具有放射性的物质。由于放射性气体泄露事故的发生和发展都具有很大的不确定性，且不随人们的意志为转移，因此事故后果通常都比较严重，会造成人员伤亡并给生态环境带来毁灭性的后果。放射性气体与常规的大气污染物发生污染事故相比具有很多不同之处，正确地分析放射性气体的大气扩散过程，研究其扩散后造成的伤害时期和区域对实际的抢险救灾有很强的指导作用。 题目以日本福岛核泄漏为背景，假设有一座核电站遇自然灾害发生泄漏，给出的已知条件有：放射性气体的浓度为p0，扩散速度为mkgs，在无风的情况下，匀速在大气中向四周扩散,速度为sms。 1）请你建立一个描述核电站周边不同距离地区、不同时段放射性物质浓度的预测模型。 2）当风速为km/s时，给出核电站周边放射性物质浓度的变化情况。 3）当风速为km/s时，分别给出上风和下风L公里处，放射性物质浓度的预测模型。 4）将你建立的模型应用于福岛核电站的泄漏，计算出福岛核电站的泄漏对日本本土、我国东海岸、及美国西海岸的影响。 二、问题分析 2.1问题的重要性分析（社会背景） 3月11日发生在日本的特大地震成为全世界关注的焦点，大地震发生后，福岛第一核电站机组相继发生爆炸，使人们产生了对“核爆炸”的恐惧。对此，各国为预防日本核泄漏对环境和人类的影响采取积极措施：韩国100所学校因担心“辐射鱼”临时停课；印度全面禁止进口日本食品；巴西、俄罗斯、新加坡等国相继对部分日本食品采取了进口限制措施。由此可见，日本核已对各国的经济社会和人民生活均受到了不同程度的影响，为了尽量减轻核危机造成的不便和损失，及时准确的预测核辐射对不同地区的污染程度已成亟待解决的问题。 2.2有关方面在这个问题上做过的研究 张子波、李自立等人曾研究了一种适合计算天然气扩散的模型，考虑了初始喷射和浮力对扩散的影响，用流体计算软件FLUENT计算一个约700m*200m*300m的扩散区域的浓度场，8核的计算机计算完毕用时24h。因此，用此类方法计算天然气泄露后扩散的浓度场时，达不到“实时”计算的效果，很容易厌恶应急指挥决策的时机，增大产生爆炸事故的机率4。而我们建立的模型不仅具有实时性，更具有前瞻性，能较为准确的预测放射性气体在不同时间，不同地区的浓度。 有学者采用有限元方法数值模拟气体的泄露扩散过程，但此方法只能针对特 1定装置，缺乏通用性。我们组运用的高斯烟羽模型能推广到一般，用于描述不 同背景下的气体扩散问题。 2.3问题分析 对于问题一，首先，确定此问题实际上是一个点源连续泄露的扩散问题，需要建立一个简单直观的模型对核电站周边不同地区、不同时段放射性气体浓度进行描述与预测。在无风的情况下，放射性气体以恒定的速率，在大气中匀速向各个方向呈放射状扩散。考虑到模型的一般性和简洁性，我们忽略了放射性气体在空气中受到的重力和浮力、核电站的高度、地面物体的高度以及地形的变化等因素，把放射性气体的影响范围假想成一个从球心不断向外各个方向均匀扩大的半球体，建立扩散模型，根据Fick定律和傅里叶变换求出放射性气体的浓度方程。 对于问题二，题目引入了风速变量对放射性气体浓度的影响，选取高斯连续点源扩散模型进行分析，这也是在考虑风速时，气体扩散模型中最为经典的模型之一。在不考虑垂直风速，假设空间放射性气体的浓度服从高斯分布的前提下，运用高斯模型可以合理的计算出核电站周边地区的放射性气体浓度。 对于问题三，本文直接用第二问的模型来预测上风和下风公里处，放射性物的浓度。 对于问题四，我们将第二问的模型应用于福岛核电站的泄漏，通过参考世界地图的距离，计算出福岛核电站的泄漏对日本本土、我国东海岸、及美国西海岸的影响。 三、基本假设 （1）连续泄露时放射性气体泄露的速率恒定； （2）放射性气体在平整、无障碍的地面上空扩散； （3）气体在空气中不发生化学反应，地面及地标地物对放射性气体无吸收； （4）风向水平，风速和风向恒定。 （5）污染源的源强是连续且均匀的，初始时刻放射性气体内部的浓度、温度呈 均匀分布。 （6）风速大于无风情况下放射性气体扩散的速度。 四、符号说明 4.1模型一符号说明 t u x s P C(x,t) q(x,t) ?M从释放污染物开始的时间（天）放射性气体边缘经过的距离（公里）放射性气体和核电站之间的距离在时间t放射性气体的范围核电站附近上空放射性气体的浓度时刻t在位置x污染物的相对浓度粒子流量在时间区间?t内物质的净减少量 C Q ? y放射性气体浓度源强水平方向扩散参数 ?Z H垂直方向扩散参数平均风速泄漏源抬升的高度 气云出口速度 出口直径 环境风速sdk 五、模型的建立与求解 5.1问题一 5.1.1模型的建立 首先，我们使用扩散模型模拟放射性气体泄露后在空气中的扩散过程，用偏微分方程来描述不同时刻不同位置放射性气体的浓度。然后，考虑到模型的一般性和简洁性，我们忽略了放射性气体在空气中受到的重力和浮力、核电站的高度、地物的高程以及地形的变化，把放射性气体的影响范围简化为一个从球心不断向外各个方向均匀扩大的半球体（如图1所示）。最后，根据Fick定律列出扩散方程，再用傅里叶变换求解放射性气体浓度的表达式。 图1放射性气体模拟扩散图 扩散是由于微小的随机游动使粒子产生的散布现象。时刻t在位置x污染物的相对浓度C(x,t)由扩散方程的偏微分方差来描述。这里所说的相对浓度是指已经规范化的浓度函数，所以粒子的总质量?C(x,t)dx?1。这将有利于强调它