（基础数学专业论文）关于smarandache函数混合均值和无穷级数的计算问题.pdf

中文摘要 数论作为研究整数性质的数学分支，在数学中具有独特的地位数论函数 均值估计是数论研究的重要课题之一，也是研究各种数论问题不可缺少的工具， 许多著名的数论难题都与数论函数的均值密切相关 在( o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n ：s ) ) 一书中，美籍罗马尼亚著名的数论专 家f s m a r a n d a c h e 教授提出t 1 0 5 个尚未解决的问题，其中许多问题都与数论有 关对这些问题进行研究并给予一定程度上的解决，具有重要的理论意义 本人基于对一些s m a r a n d a c h e 函数的兴趣，应用初等数论和解析数论的知 识对一些特殊函数的性质进行了研究，得到了与这些函数相关的数论函数均值 估计具体来说，本文的主要成果包括以下几个方面： 1 研究了伪s m a r a n d a c h e i 累i 数z ( 佗) 的性质，并利用初等和解析的方法获得 了混合函数罂婴的渐近公式： 么l 凡j 三盟z o o5 志+ 奏差+ 。( 赢) ， 其中p ( 凡) 为礼的最小素因数，a ( i = 2 ，3 ，后) 为可计算的常数 2 通过研究s m a r a n d a e h e 最小公倍数函数s l ( n ) 和一个新的算术函数 豆( n ) 的性质，用初等和解析的方法得到关于孬( 礼) s 三( n ) 的混合均值： 嘶)跚啦k蕊dix3+。(禹)，n l z ( n ) 。 乐茂华【8 】证明了：如果n 是一个偶完美数，则他满足方程s ( n ) = z ( n ) 此外，娄源冰【9 1 还研究了关于函数z ( n ) 对数的均值问题，得出如下结论： 定理2 1 ：对任意大于1 的实数z ，我们有 i nz ( n ) = x l n z + d ( 。) n z 为了完成上述定理的证明，我们需要以下引理 7 第二章包含伪s m a r a n d a c h e 函数的均值问题 引理2 1 ：对任意大于l 的实数z ，我 f i e f p z 9l n r p = l n x + o ( 1 ) ， 其中表示对所有不超过z 的素粝求和 p z 证明：参照文献【3 】 引理2 2 ： 晌zi = 绺+ 秘+ 。( 蛔( 一言z c l o g l o g x ) 寻) ) ， n a 其中c 为大于零的常数，a 为【1 ，z 】中所有完全平方数n 的集合 证明：参照文献 1 0 】 2 1 2 定理的证明 下面我4 f j 和j 用上述引理完成定理2 1 的证明 事实上，对任意大于1 的正整数n ，都有凡i 掣，m z ( 佗) 的定义，可 知z ) 2 n 一1 ，由欧拉求和公式可得 有 i n z ( n ) 1 n ( 2 n 一1 ) x l n 蚪d ( z ) n z n 现在设a 为所有【1 ，z 】中的完全平方数n 组成的集合，即都in ，则矿in ，则 l n z ( n ) = l n z ( n ) + i n z ( n ) n zn z n t l a n c a 由引理2 2 ) 及i nz ( n ) l n ( 2 n ) 可得 ( 2 1 ) 若nga ，则n = 1 或至少存在一个素郯，p ln 且p 2tn ，再由引理2 1 - 7 得 h l z ( 仡) = i nz ( 印) 之l n ( p - 1 ) n 譬 n p zp zn ； n g a ( n ，p ) = 1 ( n ，p ) 二1 8 zh石 zh 黧 西北大学硕士学位论文 2 蓼一嘉+ 0 ( 1 ) ) l n ) = z 薹警一z 薹害+ 。c 功 = x l n x + d ( z ) ( 2 2 ) 综合式( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，则有 i n z ( n ) = x i n = + o ( x ) n s z 2 2 包含伪s m a r a n d a c h e 函数的均值计算 上节我们对伪s m a r a n d a c h e i 函数及其性质有了一定的了解和认识，本节我 们就来看另一个涉及伪s m a r a n d a c h e i 函数的均值计算 定理2 2 ：设k 2 为任意给定的正整数，则对任意大于1 的实数z ，有 其中p m ) 为礼的最小素因数，a i ( i = 2 ，3 ，后) 为可计算的常数 2 2 1 几个引理 为了完成定理2 3 的证明，我们需要以下引理 引理2 3 ：a b e l 等式对任一数论函数口( n ) ，令a ( z ) = o ) ，当o z l 时， 住z a ( x ) = o ；假设，在区间b ，z 】有连续导数，其中o y x ，则有 口( 凡) ，( n ) = a ( z ) ，( z ) 一a ( y ) ，( 3 ，) 一a ( o f 讹) 出 y n z y 证明：参照文献 3 】 引理2 4 ：素数定理 巾) = 而c i x + d ( 赢) ， 其中q ( i = 2 ，3 ，七) 为常数，且c 1 = 1 证明：参照文献 2 】 9 赤 d 簧 七础 三m 世荆 哑 第二章包含伪s m a r a n d a c h e 函数的均值问题 引理2 5 ：对任意的正整数n ，z ( n ) 而 证明：参照文献 7 1 2 2 2 定理的证明 现在我们用上述引理完成定理的证明首先我们引入一个数论函数q ( n ) ， 当n = 硝1 硝2 瑶s 为扎的标准分解式时，有q ( n ) = 口1 + q 2 + + 口。我 们将 1 ，z 】中的整数分为四个子集合a ，b ，c 和d ：a 表示使n ( n ) = 0 的那 些佗的集合，此时几= 1 ；b 表示使q ( n ) = 1 的那些扎的集合，此时几只能为素 郯；c 表示使n ( n ) = 2 的那些凡的集合，此时扎= 矿或仃= p l p 2 ，其中p 为素 数，p i ( i = 1 ，2 ) 为素数且p 1 2 时，则有z ( 2 ) = 3 ，z 0 , ) = p 一1 ，利用引 理2 3 a b e l 等式和素数定理可得： 三器= p 万2 虿2 + p 万 急z ( 佗) p ) 3 p ) 2 寿+ 。5 h 薹击+ 。c 1 ， =三+里inxinx知( 赢) ， = 。 1 n 抖1z 其中啦( i = 2 ，3 ，k ) 为可计算的常数 现在我们在d 中估计误差项若礼d ，易知p ( n ) 死， 知z ( 佗) 何，故 r s d 盥z ( n ) 堇杀2n x r t a = 。( z g ) 由引理2 5 可 ( 2 6 ) 西北大学硕士学位论文 下面我们估计c 中的误差项对任意的整数n c ，则有佗= 矿或凡= p 1 p 2 若死= 矿，由性质2 3 有 妁e 。两p2 雨2 + 互南吼 ( 2 7 ) 若n = p l 印，豸t z ( p 。p 2 ) = 七，由z ( 几) 的定义可知p ，p 2l 丛瓮 尘； 若1 优ik ，则 p 篆z 渊p 未n 篆暑面p l 舡l n ；协8 ) z o a r n ) = a ，p l p 2i k 若p 1 优ik + 1 ，我们同样得到上述结果； 都1ik + 1 ，1 9 2ik ，设= t p l 一1 ，其中t n ，则 l a a 1 眈_ z 骊p ( p a p ：) p ，f , - i r t _ z 卫t p l - 1 + v 互l n l n x 硝( i = 1 ，2 ，s ) 的正整数 由s l ) 的定义，若n = 硝1 p 呈2 p 孑。为凡的标准分解式，则可以得到下面这 个简单的性质： 性质3 1s l ( n ) = m a x p 1 ，p 呈2 ，赡5 ，特别地s 三) = p 口 此外文献 1 8 】还研究了包含s l ( n ) 与尸( n ) 的均方差问题，给出了一个有趣的 渐近公式： 1 2 西北大学硕士学位论文 定理3 1 ：对任意大于1 的实数z ，我们有 三m 叫枷2 督2 ( 三) 芝+ 。( 熹) n z 、7 其中( ( s ) 为m e m 籼z e t a - i 幂i 数，尸( 礼) 为礼的最大素因子 3 1 2 定理的证明 下面我们给出定理3 1 的证明事实上结合函数s l ( n ) 的定义和性质3 1 ，我 们将所有【1 ，z 】中的整数分为四个子集合a ，b ，c 和d ： a ：p ( n ) 何且n = r a p ( n ) ，m p ( 礼) ； b ：n 吾1 p ( n ) 、佤，且礼= m p 2 ( 扎) ，m 礼； c ：n 吾1 p l p ) 佤，_ r n = m p l p ( n ) ，其中p 1 为素数； d ：p ( 几) 几言 很显然，当n a 时，由性质3 1 可知s l ( n ) = p ) 因此 ( s 三( n ) 一尸) ) 2 = ( p ) 一p ( 死) ) 2 = 0 一 ( 3 1 ) n 6 a n e a 相似地，当n c 时，我们也有s l ( n ) = p ) 此时 ( s 三( 扎) 一p ( 礼) ) 2 = ( p ( n ) 一p ( n ) ) 2 = 0 ( 3 2 ) n e c n 6 c 现在我们在集合b 中估计主项应用引理2 3 a b e l 等式和素数定理我们有 ( 乩( 凡) 一p ( 几) ) 2 = ( s l ( m p 2 ) 一p ( 唧2 ) ) 2 n6bl口2o m p = p 2 - p ) 2 m 9 m p 5 居 ，防丌( 周4 景办c y ) d y + 0 ( m s + 杀) i 5 三( 去+ 。( 纛) ) 1 3 第三章包含s m a r a n d a c h el c m 函数的混合均值 = 熹+ 。( 封 似3 ， 其中( ( s ) 是m e m 锄z e t a - 函数 最后，我们估计d 中的误差项对于任意的礼d ，设s l ( n ) = p a 如 果q = 1 ，贝l j s l ( n ) = p = p ( n ) ，因此s l ( n ) 一p ( 扎) = 0 现在，我们假设q 2 此时注意到尸) 死j 1 ，有 ( s l m ) 一p ) ) 2 ( s 三2 ) + p 2 ) ) 2 n e d n e d 产+ 竹p 2 口1 + z i 5- 一t t 1 ”矿z n z p d z r n 孟 a 2 护 z a 2 p z z p a + z ；z 2 ( 3 4 ) p o z a 2 p 1 时， r n = p 芋1 硝2 鹭为几的标准分解式时，豆( 礼) = o q p l + o e 2 p 2 + + q s p a 由定义可知这个函数是可加函数，即对任意的正整数m 和凡，有豆( m + 几) = 豆( m ) + 豆( n ) 豆( n ) 不是可乘函数，因为豆( 3 ) 孬( 4 ) = 3 4 = 1 2 ，孬( 3x4 ) = 7 3 2 2 定理的证明 现在我们利用初等及解析的方法直接给出定理的证明事实上，在和 式孬( 扎) s l ( n ) 中，我们将所有【l ，z 1 中的整数分为四个子集合a ，b ，c 和d ，其 n x 中集合a 包含区间 1 ，z 】中所有那些满足存在素数p 使鄢l 他_ r p 何的正 整数n ；而集合b 包含区间【1 ，z 】中所有满足佗= m p l p 2 的那些正整数佗，其 中n p 1 仡何，p i ( i = 1 ，2 ) 为素数；而集合c 包含区t - j 1 ，z 】中所有满 足n = m 矿的那些正整数n ，其中死； p 面，p 为素数；而集合d 包含区 间 1 ，z 1 中所有不属于a ，且和c 的那些正整数n 根据上述分类，我们有 瓦( n ) s l ( n ) = 瓦( 佗) s l ( n ) + 砭( 礼) s l ( 礼) n xn q an b + 孬( 佗) s l ( 佗) + 豆( 几) s l ( 礼) n cn 6 d 现在我们讨论集合a 的情况如下： 豆( n ) s l ( n ) = ( m ) + p ) p n e a m - p z m p = 矿+ ( m ) p ) f n - p z m p z m pm p 1 5 第三章包含s m a r a n d a c h el c m 函数的混合均值 p 2 + o ( x 2 ) 仇西r e p - - 景 委卜( 袅) 嘉- 丌( m ) m 2 - 2 砟凇 州确 弘1 3 ，盖+ 妻- 鬟 - t - - + 。( 1 n k + 1 z 其中( ( s ) 为尉e m 锄z e t a - 酗 ，b i ( i = 2 ，3 ，老) 为可计算的常数 ( 3 5 ) 同样的，当亿b 时，我i f w s l ( ) = p 2 ，豆) = 豆( m ) + p 1 + 耽，此时有 孬( 仃) s l ( 佗) = ( 叫+ p l + p 2 ) p 2 n e b 旌+ d m p l p 2 z m p z p 2 m p l p 2 _ x m p l p 2 m 9 m 锄艨p 1 锄赤 m 鱼jm 铴据 爰l n + 。( z 。 | ( 赤) 熹i n k + 1 ) ， 薯! 嘉嘶咖户邢，t 司圳霸 其中q ( i = l ，2 ，k ) 为可计算的常数 ( 3 6 ) 现在我们在集e v e 估计误差项，用上述相同的方法，当佗c 时， 有s l ( n ) = p 2 ，豆) = 孬( m ) + 2 p ，则 豆( 礼) s l ( n ) = ( m ) + 2 p ) p 2 n e c m _ 矿5 z m p = 2 p a + ( m ) p 2 ) = 2 唧2 s z m p m f _ x m p p 3 + d ( z ；) 仇9 r e p 居 o ( x 2 ) 1 6 ( 3 7 ) 扒，0 ) d 耽 件 州 旌 甜 西北大学硕士学位论文 最后，我们讨论集合d 中的情况x tf f ：, 意的n d ，如果s l ( n ) = p ， 则p 何；如果s l ( 礼) = p 2 ，则p 扎；或者s ( n ) = p a ，a 3 ；无论哪一种情 况，都有 - 0 ( n ) s l ( n ) ( 西( 仇) + p ) p + ( 豆( m ) 十2 p ) p n e d m p z r 丌矿z p m p 仃l + ( ( m ) + 叩) p a 鑫 ( 3 8 ) t ，l p 口 n ) ，b = 几：1 仃z ，竹ga ) 其中p ( n ) 表 示佗的最大素因子此时 ( s 够( 扎) 一尸( n ) ) 2 = ( s 够( 佗) 一尸) ) 2 + ( s 彤( 佗) 一p m ) ) 2 ( 4 1 ) n z n z几o n 6 an e b 1 8 西北大学硕士学位论文 很显然，当n a 时，设几= r a p ( n ) ，则有p ( m ) 2 且扎a ，若2f 佗，s d f w ) = p ( n ) ；若2in ，s 4 ( 凡) = 2 p ( n ) 由此我们有： ( s 够( 几) 一p ( 佗) ) 2 = ( s d f ( 2 n ) - p ( 2 n ) ) 2 n z n e a + 2 n z 2 n e a ( s d y ( 2 一1 ) 一p ( 2 n - 1 ) ) 2 2 n 一1 z 2 n - l e a ( s d f ( 2 n ) 一p ( 2 凡) ) 2 = ( 2 p ( 2 n ) 一p ( 2 佗) ) 2 n 差 2 n 6 a 1 n 考 2 n 6 a p 2 ( 2 n ) = 矿= p 2 ， 1 2 n 利用引理2 3 a b e l 等式和素数定理可得： p 2 = 2 n p 蠡 n 孚2 n 呸云 ( 磊) _ ( 2 州2 旷2e 州枘 2 4 n 3 i n z + 其中我们用到了估计2 n 正，b i ( i = 同时注意到萎矛1 = e ( 3 ) 且圣 on oo n = 1n = j 是我们有 几 z n 6 a i = 2 b i x 3 。w i z n 3i l t + 。(1z。凡3 l n 七十1z ( 4 2 ) ( 4 3 ) 2 ，3 ，七) 为可计算的常 堕对所有的l ：2 ，3 ，七是收敛的，于 礼。 ( s d ( n ) _ 跏) ) 2 = 糍+ 其o e c i ( i = 2 ，3 ，后) 为可计算的常数 鬟+ 。( 熹) ， 仕4 ， 现在我们估计集合b 中的情况对任意的正整数几b ，mm 数s d f ( 扎) 的定 义，则有s d ，( 扎) v - 元i n nr p ( n ) 元所以 ( s 缈( 佗) 一p ( 礼) ) 2 n l n 2 n x l n 2 z n z n 6 b 综合( 4 4 ) 和( 4 5 ) 式，我们有 n z ( 4 5 ) ( s 可( n ) 一p ( n ) ) 2 = ( s 够( n ) 一p ( n ) ) 2 + ( s 彭( 佗) 一p ( 佗) ) 2 n z n e a 1 9 n z n 6 b 生娜护 渤 疃 第四章一类s m a r a n d a c h e 函数无穷级数的敛散性 = 糍+ 妻望+ 。( 熹) ，= i n x i l k + = 一十 一_ t i ，_ = ：一1 2 4 l i l z 一 。l 1z 7 其中色( i = 2 ，3 ，南) 为可计算的常数这就完成了定理4 1 的证明 4 1 2 伪s m a r a n d a e h e 无平方因子函数 驯咖b 一瓤罴， 4 1 3s m a r a n d a c h e 平方补函数 对任意的正整数死，s m a r a n d 础e 平方补函数s s c ( n ) 定义为最小的正整数m ， 使得m n 为完全平方数，臣p s s c ( n ) = m i n m ：仇佗= t 2 , t 册，其中肋所有正 整数的集合例如，s s c ( 1 ) = 1 ，s s c ( 2 ) = 2 ，s s c ( 3 ) = 3 ，s s c ( 4 ) = 1 ，s s c ( 5 ) = 5 ， s s c ( 6 ) = 6 ，s s c ( 7 ) = 7 ，s s c ( 8 ) = 2 ，s s c ( 9 ) = 1 ，s s c ( i o ) = 1 0 ，在文献 5 】中， 2 0 西北大学硕士学位论文 f s m a r a n d a c h e 教授要求我们研究函数s s c ( 几) 的性质，根据这个要求许多学者 进行了研究，也得到了一些有趣的结果例如f e l i c er u s s o 【3 4 】研究了这个数论函 数，得到如下一些性质： 性质1s s c ( p ) = p ，当p 为素数时； 性质2s s c ( n 2 ) = 1 ，对任意的正整数佗； s ：c 扩) ： 鼽凯为奇甄 l1 ， 当凡为偶数 性质4 函数& c ( n ) 为可乘函数，a o 当( m ，n ) = 1 时，有s s c ( n m ) = s s c ( n ) s s c ( n ) ； 性质5 函数s s c ( 佗) 不可加，这是因为s s c ( 3 + 4 ) = s s c ( 7 ) = 7 ，但s s c ( 3 ) + s s c ( 4 ) ： 3 + l = 4 。 同时他还提出了2 1 个未解决的问题，乐茂华阳一3 7 】已经解决了其中的两个 问题对于文中的第1 5 个问题，在下面的内容中我们将进行解决 4 2 一类s m a r a n d a c h e 函数级数的敛散性 现在我们研究有关上述三个s m 盯a n d a c h e 函数的无穷级数的敛散性，即考 虑 o o 0 0 s - x n + l - - x nr z n + l - - x nr x n + l - - x n 鲁s d y ( x n ) 刍z w ( x n ) 刍s s ：( ；万 的敛散性，其中 z n ) 为严格递增的自然数序列，对此我们有如下结果： 定理4 2 ：若 z n ) 为严格递增的自然数序列，则无穷级数 等孑n=l 一、一。， 是发散的，其中o ( n ) 定义为一类s m a l r a n d a c h e 函数：s 彤( 几) ，z w ( n ) ，s s c ( n ) 为了完成定理的证明，我们需要下述引理： 2 1 第四章一类s m a r a n d a c h e 函数无穷级数的敛散性 引理4 1 ：对任意的正整数几，有a ( n ) 凡 证明：设s d y ( n ) = m ，由s d ， ) 的定义可知nlm ! ! ，又因为对任意的正整数佗，都 有礼jn ! ! ，故m 礼， p s d f ( n ) 几；用同样的方法可得z 加( 凡) n ，s s c ( n ) n ， 故a ( n ) n 引理4 2 ：拉格朗日中值定理设函数y = ，( z ) 在【0 ，6 】连续，在( 口，6 ) 可导，则存 在( a ，6 ) ，使得 朐= 掣掣 证明：参照文献 3 8 】 4 2 2 定理的证明 下面就利用初等方法和引理完成定理的证明 在陋n ，x n + 1 】_ r 上定义函数，有，( z ) = i n x ，i e if ( x ) = l i l z 满足拉格朗日 中值定理的条件因此，存在实数岛( z n ，z n + 1 ) 都有 l n z n + 1 一l n x n = z n + l - - t n c n 由于z n c n x n + 1 ，则有 1l1 一 x n + l c nz n 其中佗n ，z n 1 由引理4 1 可知，对任意的佗n ，n ) 死，也就是 因此 。 三高a ， n i 礼j 塑x 生n a 予，( z nj 2 2 ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) 把式( 4 7 ) 和( 4 8 ) 代入式( 4 6 ) 得 也就是 n z n + 。一h z n = 警 警s 苎兰孝毛云；j ；兰堡 ( 4 9 ) 。，一1 n z 。 吖x n + l - - z n (410inx ) n + 1 一l i l z 扎 薹c h 撕- 乩彳州乩n ( 4 1 1 ) 因为妞z m + 1 ：o o ，( z ) = 1 i l z 为单调递增函数，则有 l i r a 兰n + l ，- - 、x n = 0 0 ，、= w 因此无穷级数 墨x n + l - - a 一，r t 弋一 刍o n ) f i = 1 7 是发散的 这样就完成了定理的证明 对于s m a r a n ( 1 a c h e 双阶乘函数s 珂( 佗) ，还有如下一个无穷级数的定理 定理4 3 ：级数百上收敛于数s ，且s e - 2 , 1 ) n = 2 i i s d ，( 七) k = l 推论：面j 二= 0 i is d f ( k ) 要茬动上述定理我们需要以下引理： 引理4 3 ：当5 时，p 1 仇p k 建+ 1 ， 其中p 1 ，p 2 ，m ，p 七+ 1 表示自然数中的第1 ，2 ，七，+ 1 个素数 证明：参考文献【3 9 】 下面我们就利用引理来完成定理的证明 蚓取1 可v s d ( 礼) 鲰即赤去 第四章一类s m a r a n d a c h e 函数无穷级数的敛散性 一方面， oo 。三sdfo)sdf赫(2)三寺名s 彤( n ) ：叁佗! 贻蒯e = 薹o o 舻1 而薹刍一2 那么我们就有 百二一e 一2 f l = 2i i s d i ( k ) 另一方面，当p 为素数时，有s d f ( p ) = p ，也就有s d f ( k ) i i p ， k = l p n 从而有 1 ， 1 而寻季 也就是我们有 因而 ll s d f ( 1 ) s d f ( 2 ) 2 11 s d f ( 2 ) s d f ( 3 ) 2 - 3 11 s d f ( 2 ) s d f ( 3 ) s 4 ( 4 ) s d f ( 5 ) 蕊， 葡丽丽币厂丽 p l p 2 p t r ( n ) o 1 育二一= 一2 s d f ( k ) k = l s d ( 1 ) s d f ( 2 ) 1 + s d f ( 2 ) s d f ( 3 ) s d f ( m ) + 15 37 5 互+ 两+ 虿丽+ 一 西北大学硕士学位论文 +幽! 二堡+ p i p 2 p ，r ( m ) 根据引理4 3 ，当七5 时，郁1 p 2 p k 蘸+ 1 ，我们得到 因而( 4 1 2 ) 式可变为 丝堡 堡：l ， 。o 1 。一_ - _ _ - - _ - _ _ _ - _ 一、一 p i p 2 p kp i p 2 m 蜣+ 1 。 o 1 1 1 1 211 兰而 互+ 亏+ 两+ 而+ 矿一+ 磊- 一， 注意到萼= 1 + 壶+ 壶+ 嘉+ ，则 所以 l1 覆+ + r + 张+ l p 0 1 0 1111 11 r 互+ j + 两+ z r - 一， n 、9 冀1 。 t l = 2i is d ( k ) 。1 u 11 1 孬+ i + + 面+ 百? r 2 - ( 1 + 刍+ + 壶) ， 而2 + 百l r 2 一( 1 + 刍+ + 壶) 1 这样就完成了定理的证明 由定理我们可以直接得出推论 2 5 ( 4 1 2 ) 总结与展望 总结与展望 本文首先研究了有关s m a u f a n d a c h e 函数的混合均值问题，并用初等及 解析的方法给出了相关的渐近公式；其次又对一类具有某种共同性质 的s m a r a n d a e h e 函数进行了研究，进而对构建的关于这类函数的无穷级数作出 分析，得到这类函数无穷级数是发散的然而数论的学习是永无止境的，文中的 第二、三、四章内容只是本人学习中的一些收获，数论作为- - f - 最古老的数学 分支，还有许多问题有待我们去解决，对于本文需要进一步研究的问题还有许 多，例如： 1 伪s m a r 趾d a c h e 函数z ) 的均值问题，即求z ) ； n s z 2 混合函数端的均值我们已经解决 那么粥的均值又是什么? 3 方程s d ，r ( 礼) + s 够r - 1 ( n ) + + s d ，( 死) = n 的正整数解问题 以上这些将是作者继续研究的对象彻底解决或者做出实质性的进展都将 是我们最终的目标! 西北大学硕士学位论文 参考文献 【1 1 潘承洞，潘承彪初等数论【m 】北京：北京大学出版社，1 9 9 2 【2 】2 潘承洞，潘承彪素数定理的初等证明【m 】上海：上海科学技术出版社， 【3 】a p o s t o lt m i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 6 【4 】潘承洞广潘承彪解析数论基础 m 】北京：科学出版社，1 9 9 9 【5 】s m a r a n d a c h ef l o r e n t i n o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m 】c h i c a g o ：x i q u a n p u b l i s h i n gh o u s e ，1 9 9 3 【6 】6 g o r s k id a v i d t h ep s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o n s j s m a r a n d a e h en o - t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 2 ，v 1 3 ( 1 - 2 - 3 ) ：1 4 0 - 1 4 9 【7 】p i n c hr i c h a r d s o m ep r o p e r t i e so ft h ep s e u d o - s m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 5 ，v 1 ( 2 ) ：1 6 7 - 1 7 2 【8 】l em a o h u a t h ef u n c t i o ne q u a t i o ns ( n ) = z ( 礼) j 】s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 5 ， v l ( 2 ) ：1 0 9 - 1 1 0 9 】l o uy u a n b i n g o nt h ep s e u d os m a r a n d a c h ef u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a 2 0 0 7 ，v 3 ( 4 ) ：4 8 - 5 0 1 0 】i v i 6a l e k s a n d a r t h er i e m a n nz e t a - f u n c t i o nt h e o r y m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 5 ：4 0 7 - 4 1 3 【1 1 】m u r t h ya m a r n a t h s o m en o t i o n so nl e a s tc o m m o nm u l t i p l e s j s m a r a n - d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 1 ，v 1 2 ( 1 2 3 ) ：3 0 7 - 3 0 8 1 2 】l em a o h u a a ne q u a t i o nc o n c e r n i n gt h es m a r a n d a e h el c mf u n c t i o n j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，v 1 4 ：1 8 6 - 1 8 8 2 7 参考文献 【1 3 】l vz h o n g t i a n o nt h ef s m a r a n d a c h el c m f u n c t i o na n di t sm e a nv a l u e j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 7 ，v 3 ( 1 ) ：2 2 - 2 5 1 4 】易嫒，亢小玉s m a r a n d a c h e l ；- 题研究 m 1 u s a ：h i g ha m e r i c a np r e s s ，2 0 0 6 1 5 】徐哲峰s m a r a n d a c h e 幂函数的均值【j 】数学学报( 中文版) ，2 0 0 6 ，4 9 ( 1 ) ： 7 7 - 8 0 【1 6 】潘承洞，潘承彪哥德巴赫猜想【m 】北京：科学出版社，1 9 8 1 【1 7 r i b e n b o i mp t h eb o o ko f p r i m en u m b e rr e c o r d s m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 9 【1 8 c h e nj i a n b i n v a l u ed i s t r i b u t i o no ft h ef s m a r a n d a c h el c mf u n c t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 7 ，v 3 ( 2 ) ：1 5 - 1 8 【1 9 】r i c h a r dk g 。u n s o l v e dp r o b l e m si nn u m b e rt h e o r y m n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 4 ( 2 0 】l em a o h u a t w of o r m u l a sf o rs m a r a n d a c h el c mr a t i os e q u e n c e s j s m a r a n d a c h en o t i o n sj o u r n a l ，2 0 0 4 ，v 1 4 ：1 8 3 - 1 8 5 【21 】s 出n d o rj 6 z s e f o nc e r t a i ni n e q u a l i t i e si n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h ef u n c - t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 6 ，v 2 ( 3 ) ：7 8 - 8 0 2 2 】k a s h i h a r ak e n i c h i r o c o m m e n t sa n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n d p r o b l e m s m u s a ：e r h u su n i v e r s i t yp r e s s ，1 9 9 6 【2 3 】徐哲峰s m a r a n d a c h e 函数的值分布性质 j 】数学学报( 中文版) ，2 0 0 6 ， 4 9 ( 5 ) ：1 0 0 9 - 1 0 1 2 【2 4 】张文鹏初等数论【m 】西安：陕西师范大学出版社，2 0 0 7 【2 5 】张文鹏关于s m a r a n d a h e 函数的两个问题 j 】西北大学学报( 自然科学版) ， 2 0 0 8 ，3 8 ( 2 ) ：1 7 3 1 7 6 2 8 西北大学硕士学位论文 【2 6 】z h um i n h u i o nt h em e a nv a l u eo fs m a r a n d a c h ed o u b l e - f a c t o r i a lf u n c - t i o n j s c i e n t i am a g n a ，2 0 0 5 ，v 1 ( 1 ) ：1 9 7 - 2 0 1 2