（基础数学专业论文）单叶函数的系数问题.pdf

摘要 9 8 7 1 6 卜文研究了巴西列维奇函数子类b 门，卢，y ) 和口，心，) 的f e k el e s z e g j 问 题、由s a l a g e a n 算子定义的负系数星象函数类及由算子d 1 定义的个新的解析 函数类毋，a ，彳，口) 的相关性质 第一章研究巴西列维奇函数的f e k e t e s z e 曲问题：1 1 节讨论了 b ，卢，y ) 中函数f ( z ) 的f e k e t e s z e 酌问题，得到了k a 口2 2 i ( o e s1 ) 的准 确估计，其结果推广了一些作者的相关结果：1 2 节讨论了且( a ，卢) 中函数的 f e k e t e s z e g j 问题，得到了k 一肛n ：3 l 的准确估计，一些已知的结果是本文的特 例，当y = 0 时，定理改进了 1 中所得的结果，舍弃了 1 中a 芦的条件 第二章研究一类由s a l a g e a n 算子定义的负系数星象函数类，a ，p ，a ) 的 系数估计、偏差定理等，得到的结果是精确的，s r i v a s t a v ae ta 1 和 c h a t t e r j e a 研究过函数类l ( n ) 和c 。0 ) ，a l t i n t a s 研究过函数类p 0 ，a ，a ) ， m u b a m e tk a m a l i 和s e z g i na k b u l u t 研究过函数类c ，a ，口) ，s i l v e r m a n 研究 过函数类r + ) 和c ) ，e k r e mk a d i o g l u 研究过函数类l ) 是本文的特例 第三章引入一新的解析函数类b 。似，o ，爿，b ) ，应用微分从属的方法讨论了 它的从属关系，包含关系及不等式性质，得到的结果推广了以前的一些作者的 相关工作 关键词：单叶函数：y 级星形函数：b a z ii e v ih 函数：f e k e t e s z e 酣不等式： 微分从属：s a l a g e a n 算子 a b s t r a c t l nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t et h ef e k e t e s z e 9 6p r o b l e mf o rt w os u b c l a s s e so f b a z j l e v i c f u n c “o n sa n di h es u b c l a s so fs t a r k ef u n c t j o n sw i i hn e g a t j v ec o e f f i c j e l n s w h i c hi sd e f i n e db yt h es a l a g e a no p e r a t o r ，a tt h es a m et i m e ，u s i n gt h e d 。 o p c t a t o r w ej n l r o d u c e dan e ws u b c l a s s 毋( 肛，o ，爿，口) ，l h er e l a t e dp m p e r t i e sa r ed j s c u s s e d 1 nc h a p t e f1 ，w es t u d yt h ef e k e t e s z e 9 6p r o b l e mf o rt w os u b c l a s s e so fu n i v a l e n t f u n c t j o n s 1 ns u b c h a p t e r1 1w ei n v e s t i g a t et h ef e k e t e - s z e 9 6p r o b l e mf o ft h es u b c l a s s b ( 口，卢，y ) t h es h a r pr e s u l t sa r eo b t a i n e d ，w h j c hg e n e r a l j z et h er e l a t j v er e s u l c so f s o m ea u t h o r s ，i ns u b c h a p t e r1 2 ，t h ef e k e t e s z e 酚p i o b l e mf o rt h es u b d a s s b ，卢) a r e s t u d j e d w eo b t a j ni h es h a f pe s t j m a t e s0 f i 口3 一弘2 2 w h i c hi m p r o v e t h er e s u l t so f 【1 i nc h a p t e r2 u s i n gt h es a l a g e a no p e r a t o r ，w ei n t r o d u c et h es u b c l a s s ( 卅，a ，p ，a ) w i t hn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ，s o m er e s u l i ss u c ha sc o e f f j c i e n t se s t i m a t e s ， d i s t o r t i o nt h c o i e m sf o rt h i sc l a s sa r eg i v e nh e r e ，w h i c hg e n e r a l j z es o m er e s u l t s o b t a i n e d b y t i n t a s ，m u h a m m e tk a m a l j s r j v a s t a v ae ta l ，c h a t t e l j e aa n ds oo n 1 n c h a p t e r3 w ei n t r o d u c ean e ws u b c l a s s 只( 肛，n ，爿，曰) ，t h es u b o r d i n a t j o n r e l a t i o n sa n dt h ei n q u a l i t yp r o p e f t i e sa r ed i s c u s s e db yu s i n gd i f f e r e n t i a ls u b o r d j n a t i o n m e t h o d t h er e s u l t so b t a j n e dg e n e r a l j z er e s u l t so fs o m ep r e v i o u sa u t h o r s k e yw o r d s ：a n a l y t i cf u n c t i o n ； u n i v a l e n tf u n c t i o n ；s t a “i k ef u n c t i o n ：c o v e x f u n c t j o n ； s t a r l j k ef u n c i i o n so fo r d e ry ；b a z i l c v j cf u n c t i o n ； f e k e t e - s z c 9 6 i n q u a l i t y ； s u b o r d i n a t i o n ； h a d a m a r dc o n v o l u l i o n ； s a l a g e a no p e r a t o r 江西师范大学硕+ 研究生学位论文单叶函数的系数问题 引言 设复变函数，( z ) 2z + 薹z “在单位圆盘：i z i o ，z 印测说荆为近于凸酏骥族肌也可以这样定义啼 在实驯小詈慨“触 篙 悯近于凸函数均荆函 数 为q 定义f 设函数m ( z ) = a “在甲位圆u ：hc 1 内解析且l ( z ) ic 1 记其族 ”= 1 望堕堑翌奎堂堡主婴塞竺堂生堡壅望堕堂堂堂堕登! ! 塑生 第一章：某两类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 令h 表示形如，( z ) ：z + 口，z + 口2 2 2 + q z 3 十 ( 1 ) 且在u ： z ：1 ：i 1 ) 内解析的厂( z ) 的全体所组成的函数族，s 表示h 中单叶函数的 全体所成的函数族，s ，c 和k 分别表示通常的星像函数族，凸像函数族和近于 凸函数族，它们都是s 的子族 张扯s + ，且有r e 碧圳哟 1 ) 则称f ( z ) 为阍星型函数记为 s ( y ) 2 定义l ：设，( z ) s ，若存在g ( z ) s ( y ) 满足条件 n e 等( 器n c 删胚删，托u ) ， ( 2 ) 则称，( z ) b ( a ，y ) ，其中幂函数取主值( 下同) - 当2 ，时b ( 口，卢，y ) 为 3 意义下的类局( 口，0 ，卢) 定义2 ：令口0 ，o 蔓y 1 ，o 卢l ，z u ，若存在函数g ( z ) s 满足： 型f 型 “一1 ，( z ) l g ( z ) j 厂( z ) l g ( z ) 、 口 ( 3 ) 则称厂( z ) b ， ，卢) 特别地，当b = l ，y = o 时， 风位，1 ) 是b a z i l e v i 6 函数： 当口：1 ，y ：o 时， 玩( 1 ，) 是b 型近于凸函数族足口4 1 ：当口= 卢= l ，y 5 0 时， 鼠( 1 ，1 ) ：k ：当y ：o 时， 玩( 口，卢) = b 幢，) 为 5 意义下的函数族：当 口：y ：o ，= l 时，b 。( o ，1 ) = s + w k o e 口f ( 参见文献 4 ) 考虑了近于凸函数族k 的f e k e t e s z e 的问题 对于s 的子族，k 一口：2 1 的准确估计是很多数学工作者感兴趣的问题 1 1 一类单叶函数的f e k e t e s z e 9 6 问题 定理1 ：设- 厂( z ) = z + 薹吼z ”口( 口，屈，) ( 口o ，o 蔓 0 易见r 。1 1 + 岛抖j o _ 龋阌l 知：f 尚蚰( 娩1 ) ，玑徘2 ( 1 训( ) 悔一吉番卜三器，叫肚加纠到h 卜狮2 因此，卜h 以，训一扣，懒b ，训一扣2 ? _ 一 d 小# 删女m 江两师范人学硕+ 研究生学位论文单叶函数的系数问题 引理3 【6 | 设国( z ) = 口。z ”q ，则k ，l 1 ，且k ：l l p 。i 2 下面证明定理：设，( z ) = z + 吼z ”曰( 口，p ，) ，则( 2 ) 可写成 月= 2 可( z ) 【厂( z ) 】“。( 1 一m ( z ) ) = g ( z ) r ( 1 + ( 1 2 ) 甜( z ) ) ， ( 7 ) 这早g ( z ) = z + 巩z ”s + ( y ) ，国( z ) = 口。：”q n = 2h = i 将，( z ) ，g ( z ) ，( z ) 的幂级数展开式代入( 7 ) 并比较两边z 和z 2 的系数得 ( d + 1 ) 口2 = 口6 2 + 2 口l ( 1 一) ) ， ( a + 2 ) 口，= 一昙( 口一1 ) ( 口+ 2 ) 4 ：2 + 口口：( 口+ 1 ) + 口6 ， + 三口( 口一1 ) 6 2 2 + 船6 ：( 1 2 卢) + 2 ( 1 一) 口： 从而删( 口，啦曲删降+ z ( 掣 2 嘲 + 昙口( 口一1 ) 6 2 2 + 2 ( 1 一) ( 口a 6 ：+ d 。2 + 口：) ( 8 ) 由于g ( z ) s ( ，) ，则有p ( z ) 2 1 + 儿z ”q 使z g ( z ) = g ( z ) p ( z ) 成立，将 其幂级数展丌并比较两边z 。和z ，的系数得：b 产阢b 产三( p p ，2 ) 将左式代入 ( 8 ) 式整理得： c a + z ，g ，一五a ：2 ) = 詈c p ：一；a2 ，+ 鲁p ，2 + 三1 1 1 二；：铲 + z a ：c t 一，+ z 口。2 c t 一， + c 一，! 之云专爷孚旦 + z 口口。p c - 一， 旦2 1 ；i ；等事业 令。：曼! 二翌蜂型，则上式为 f 睇+ 1 1 2 ( 9 ) 1 _ 一一 j 兰翌型亟堕茎堂堡墼堂堡堡苎 望生笪塑堕墨鏊塑墅 一 v 月、m l h j ( a + 2 ) g ，一耐) = 詈( 扣) + 知2 ( 1 + 2 簖) + 2 吲l 卅 + 2 口，2 ( 1 一) 防+ ( 1 一) x 】+ 2 船。p ( 1 一) x 一( 石) ( 1 0 ) 设五乏，根据引理2 和引理3 ) i 詈 2 ( 1 训一扣f 】+ 扣j 2 ( 1 州+ 2 ( 1 帼( 1 一蚶) 】 + 2 ( 1 一) + ( 1 一) 工 f 口。f2 + 2 口( 1 一p ) 陋，j | p ，j 口( 1 一，) + 2 ( 1 一) + 2 口2 ( 1 一，) 2 x 一2 ( 1 一) 2 ( 1 一石) l 口l 2 + 4 口( 1 一) ( 1 一，) 卅口- j ； ( p ) ， p = k l i 【o ，1 设o 也，舯毛= 坐器靠等擀 。且矗c ，= 。c - 一，c 口c - 一y ，+ c t 一，x 一五i i _ 二号；：；i _ 丽 。 所以 ( p ) ( 1 ) ，于是有当0 五s 如时 ( 口+ 2 ) 口，一五日；j ( 1 ) = 口( 1 一y ) + 2 ( 1 一) + 4 口( 1 一) ( 1 一y ) x + 2 货2 工( 1 一，) 2 2 ( 1 一) 2 ( 1 一x ) 咄( 1 训+ 2 ( 1 卅】 1 砌( 1 训 - 2 ( 州- l + 2 ) ( 1 一等 2 吼卜到坠坐_ 州捌，( - 一箬 2 l 1| 口+ 2 、 7 l 口+ 1j 等号当p ，= p2 = 2 ( 卜，) ，( z ) ：z 时成立此时：篓掣：1 + 型垃， g 【z j j z 措) 坶、# l 酶 江西师范大学硕士研究生学位论文 单叶函数的系数问题 e 式两边对z 求积分得：魄g ( z ) = 蝇南，于是g ( z ) - 南 当口o 时，出三l ，( z ) r y = k ( z ) 】a 墅学，易得对应的极值函数为 口 。 j z 北，2 阻呙等警如卜时，对应的极值函数为 “z ) 2 南因此“) 式得证 设九“s 高，此时 o s 工 ! 二壁 一一s 1 a ( 1 一y ) + ( 1 一卢) 矗( p ) 一4 ( 1 一卢) 【a ( 1 一y ) z 一( 1 一卢) ( 1 一z ) p 】2 4 ( 1 一卢2 ) ( 1 一x ) p 一揣 由。s xs i i r 赫s 1 易得l x z 。和。s 蹦s 1 因此，h ( p ) 在 p = 风i 揣时取最大值从而有 卜刮s 掣= 生差幽+ 警眷等 l 型望+ 型q ：进罢! 二丝鱼型 口+ 2 ( a + 2 ) 2 ( 口一1 + 2 a ) 等号当p t = p ：兰2 ( 1 一y ) 及口，= p 。，口z = 1 一西时成立，此时g ( z ) = 南 若取珊( z ) ；要型! 立，则当口一。时，对应的极值函数为 l + p o z 地h h 高南等出r ，孙呲对应的极值函数 为士、( z ) - 南因此，( 5 ) 式得证，并且是最佳可能的 设高s 矧，删一点引一如 f i | 1l | l 函数的系数问题 由丁c “，( g z ) = z + 2 e z2 + 3 p 2 z3 + f j i 属于b ( “，卢，y ) ，所以不失殷 性，我们可假定巳一 n ；z o ，下面估计r e ( n ，一 “：) 1 7 1 。p ，= 2 ( 1 一y ) ，e 州( 0 ，。1 ) “f = 肛12 ”( ( 1 ，蔓1 ) 耳1 jf 1 ) j l 均y 苗t t 。乓t ej 州 | j 。； l 2 利引理3 得： ( a + 2 ) r e ( 口3 一 口；) s a ( 1 一y ) 【1 一( 1 一y ) r 2 】+ 2 ( 1 一y ) 2 ( 1 + 2 似) c o s 2 日 + 2 ( 1 卢) ( 1 一p 2 ) + 2 ( 1 一声) p 2c o s 2 妒【卢+ ( 1 一卢) x 】) + 4 口( 1 一卢) ( 1 一y p f l r c o s ( 目十妒) ；妒 ) 嘞。) 一( 1 - 小2 ( 1 卅+ g 鼽因为卜筹i 1 且 g “脚一厅2 ( ，+ 嘉c o s z 口卜垌一筹) c o s 2 妒p 一兰竺! ! 二壁! 垒二! ! 生! 1 2 1 ( 皇翌! a + 1 卜r 2 ( ，+ 嘉c o 渤) 叫w ，一等) c o s 2 叫 ” + 三竺竺竺望 卜卜筹卜妒 。竺! 竺篓竺i上j 三l 二兰上 ，一( 卢一鬻) c o s z 妒 所以上式右端第二项so ，因此：g “，卢) 一 ! 垡二丛! 坐! 生! 一 旷一等卜叫 这里m ( ) ：【( a + 1 ) + ( a 一1 ) c o s 2 口】 ( o + 1 ) 一( 芦( 口+ ”一( 1 一卢) ) c o s 2 妒 一a ( 1 一卢) 【1 + c o s 2 ( 8 + 妒) 】 由于m ( 卢) 是卢的一次函数且 ，( 0 ) = ( d + 1 ) + ( 口一1 ) c o s 2 臼 ( a + 1 + c o s 2 垆) 一a 【1 + c o s 2 ( 疗+ 妒) 】 以2 ( 1 + c o s 2 目) + n ( 1 + c 0 9 2 妒+ s i n2 h s j n2 妒) + ( 1 一c o s 2 p ) ( 1 + c o s2 旷) 江阿师范大学硕士研究生学位论文单叶函数的系数问题 2 口2c o s 2 口+ as j n 2 口s i n 2 妒+ 4 s j n 2 口c o s 2 妒 2 ( a c o s 日s i n 妒+ s i n 日c o s 曲2 o m ( 1 ) = ( a + 1 ) 【口( 1 + c o s 2 口) + ( 1 一c o s 2 口) 】( 1 一c o s 2 妒) o 故当0 卢c 1 时m ( 声) 2 0 ，从而g 。，卢) e o 因此妒( x ，) e 戗( 1 一y ) + 2 ( 1 一卢) 于 是对0s f 1 有妒( 舡1 ) = f 伊0 ，) + ( 1 一f ) 妒( 0 ) s f 【a ( 1 一y ) + 2 ( 1 一卢) 】 + ( 1 一f ) 口( 1 一r ) + 2 ( 1 一卢) 一a ( 1 一y ) 2 ，2 ( 1 一c o s 2 日) 一2 ( 1 一) ( 1 一卢c o s 2 妒) p 2 】 a ( 1 一y ) + 2 ( 1 一卢) 当x ，c x e 0 时有0 ! 生t 1 ，由上式得：妒( x ) ：妒兰x ，) s a ( 1 一y ) + 2 ( 1 一卢) z ，工1 因此k 一加；is 罨等笋+ 等等号当p ，= a 。= o ，口。= ，时成立，此时 取 g ( z ) = 南，则有当“一。时，对应的极值函数为 他心 l “ 生 三笋咖 二，当a i 。时，对应的极值函数 为： ，( z ) 三南。于是6 式得证，且结果是准确的，定理证毕 1 2 某类解析函数的f e k e t e s z e 9 6 不等式 定理2 ：设，( z ) 2 z + 篆 “口r ( 口，p ) ，( 口o ，o sy 1 ，o o ( z u ) ，则 i 仇i 观( 七酬”三衍i 扛扣2 引理3 设0 卢s 1 ， 0 ) = 1 + c l z + c 2 2 2 + 在u 内解析且满足： 警， ) 贝o ：i c ，is 2 ( 1 一y ) 卢 ，i c ：一丢c j s2 ( - 一y ) 卢一互i ! j ；i i 证：根据( 1 1 ) 式和从属的定义得，存在u 内满足p ( z ) 忙h 的解析函数 m ( z ) = a ，z + a z z 2 + 使 ( z ) ；兰! 二：群，于是： 1 0 江西师范大学硕士研究生学位论文单叶函数的系数问题 矗0 ) 【1 一卢m 乜) 】z 1 + ( 1 2 y ) 声m ( z ) 哥hl z ，拨( l ) l z ，网幂敬毅展升瓦代八上瓦，开比铰但寺瓦两边明同次带糸数得： c 1 = 2 ( 1 一y ) 卢q ，c 2 ；卢口l c l + 2 ( 1 一y ) 卢0 2 因此根据引理l 得：吲一1 2 ( 1 一y ) 卢o ，is2 ( 1 一y ) 卢： f c ：一丢c ；l 一2 ( 1 一r ) 卢i a ：i s2 ( 1 一r ) 卢( 1 一l 口。1 2 ) = 2 ( 1 一r ) 卢一互矗兰导万 引理4 若函数，( z ) 曰， ，卢) 当且仅当存在一个函数占0 ) s 满足： 荆；鬻( 嚣) “一等兹掣 ， 其中珊( z ) = 口，z + 口：z 2 + 在单位圆盘u 内解析且b 0 _ c 1 证明：必要性：设，( z ) b ，卢) ，由( 1 ) 式知：i i 躺l p - 令i 躺= 卢甜( z ) ，易知( z ) 在单位圆盘u 内解析且( 。) ；。，p 。) l 1 ， 因此( 1 2 ) 式成立 充分性：如果存在函数g ( z ) s + 使( 1 2 ) 式成立，那么 4 ；揣j = 卢f ( z ) i c 卢。u ) - 这就意味着，( z ) 占，( 口，卢) 现在证明定理：设，( z ) b ，( a ，卢) ，则由引理4 知，存在g ( z ) s + 满足 篱f 卷卜等名掣州洲z u ) ，其m 加弘舶单位圆 ，( z ) ig ( z ) j1 一膨( z ) 一、 ” 一惫”。 盘u 内解析且p ( z ) | a ，则称为a 级凸函数类c 。 ) 对于 ，( z ) 爿( n ) ，引 入 s a l a g e a n 算子 ( 见 文 1 1 ) ：d 。，( 。) ：，( z ) ，d ，( z ) ：p ，o ) ：z ，。( z ) ，d ”，( z ) = d ( d “，( z ) ) ，n 易知d ，( z ) ：z 一罗女n k z 若os c 1 ，oea ，ps 1 ，a 2 + ( 1 一) 2 o ，称 + i ，( z ) l ( m ，a ，p ，a ) 当且仅当，( z ) 爿伽) ，目， r e f 号主三筹吾；苫嬲 ，a ，c z u 卜l ( 1 一肛) d ”，( z ) + 衄”1 ，( z ) i 注意：l ( 0 ，o ，o ，a ) 一l ( h ) ，l ( 0 ，1 ，1 ，乜) = c 。q ) ，l ( o ， ， ，a ) jp ，a ，a ) ， l ( 1 ， ，a ，a ) = c ( n ，a ，口) 特别地，当n = 1 时正( 0 ，o ，o ，a ) = 瓦( 1 ) = r + 他) ， 正( 1 ，o ，0 ，口) = t ( o ，1 ，1 ，a ) = c 。( 1 ) = c ( ) ，i ( n ，0 ，0 ，口) 嚣l ( a ) 。其 = | ，s r i v a s t a v a e t a 1 和c h a tl e r j c a 研究过函数类l ( n ) 和c 。( h ) ，a 1 t i n t a s 研究过函数类 尸( n ，a ，a ) ，m u h a l l 】1 e t k a m a l i 和s e z g i na k b u l u t 研究过函数类c ( n ，a ，口) ， s i l v e r m a n 研究过函数类丁4 ) 和c ( a ) ，e k r e mk a d i o g l u 研究过函数类l ) 本章主要研究函数类l ，a ，乜) 的性质，所得的结果为些己知结果的推 广 定理1 设，( z ) 爿0 ) ，那术厂( 2 ) l ( z ，a ，口) 当且仅肖 y 七【( a 一口) 七( 七一1 ) + ( 矗一+ 1 ) 一“) k 女l “t 1 ) 女鼎1 i 一 些堕塑堕查堂堡主婴壅尘堂堡垒苎 一竺生型墅堕型! ! ! l 旦 因此 证明充分性，若( 1 ) 式成立，则 。挈( 卜1 ) ( 舰叫啪矧卜i1 _ 磊幼 女l l ( 1 一丑) d 厂( z ) + z d l 铊厂( z ) 1 l 一 ( 1 一) d ”厂( z ) + 印“1 ，( z ) ( 砒一+ 1 ) ( i 一1 ) t ”吼 d 即，( z ) 瓦( m ，五，口) 必要性，若，( z ) l ( 胧，丘，a ) ，则由定义有 即 r e 篙糟糕一) 川 ( 舭一+ 1 ) ( 膏一1 ) 扩吼z r e 地址i 一 z 一( 缸一+ 1 ) ”吼z 让z 取实值并趋于l 一，则 ( 肚一+ 1 ) ( 女一1 ) 豇“吼 女1 一一 卜( 弘一+ 1 ) 女吼 l 1 一d 1 一口 蔓1 一口 即( 1 ) 式成立! 注： ：，m ：l 时，该结果为文 1 3 中的定理l ：n = l ，五= = o 时，该结果 为文 1 2 中的定理2 ：旯= = 0 ，埘= ”= 1 时该结果为文 1 6 定理1 推论2 鲨堕堕垫查鲎堡塑窒生堂垡堡茎兰堕鱼整堕墨兰! ! ! 里 定理2 如果_ 厂( = ) l ( 卅，旯，口) ，那术，( z ) r ，+ ( ) ，其中 = 。时，= 1 一i ；j 志。一口 帕1 时邓刘一忑而面i 鬲石丽( n + 1 ) ”k ”十1 ) 旯+ l 一口，+ 【l 一口j 2 。l n 十l 结果是精确的，极值函数为 弛印一万而万嘉焉面厕2 ” 证明只须证明 ( t p ) d * s 卜卢 如果 业 ! ：虹二丛! 二1 2 1 业二些业咧 l 一口 l 一口 成立，则由( 1 ) 式知( 2 ) 成立而( 3 ) 等价于 肌1 时， 1 一偿 m = o 时 口1 一 州m l 删) + ( 1 训箸 1 一a = l 一。丁 州m + l 一口) + ( 1 一口) 女 j 4 0 = v ( 七) 心一热圳女) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 因为( ) f ，+ 1 ) ：， + 1 ，故( 4 ) 或( 5 ) 式是成立的，从而( 3 ) 式成立 ，( z ) l + ( ) 精确性由极值函数可以看出- 注m ：1 ，a ：时，该结果即为文 1 3 的定理4 ：卅= ”= l ，a 2 2 0 时 该结果即为文 1 6 中定理7 江西师范人学硕士研究生学位论文 单叶函数的系数问题 该结果即为s 订v e r m a n 1 t h e o r e m 7 定理3 如果厂( z ) l 仰，a ，一，d ) ，那末 r 一而碉而面若紊雨丽鬲习r “s l 他) f ( ，l + 1 ) ”( 竹( 胛+ 1 ) ( a 一弘) + ( n 卢+ 1 ) ( ，l + 1 一口) ) 。 一| j 、川 s ，+ 7 三二竺，r 一1 o + 1 ) “恤o + 1 ) 一一) + 0 弘+ 1 ) o + 1 一o ) ) 结果是精确的，极值函数为 又 他) 屹一而砜石丽去南而厕1 证明设，0 ) l ，a ，卢，a ) ，由定理1 知 o + 1 ) “m q + 1 ) 一肛) + + 1 ) o + 1 一a ) 】n t s t 1 七“【( a 一冲 一1 ) + 一肛+ 1 ) 一a ) k 。s 1 一a 苎再l “ r 一，1 。荟。吼卜。磊? t r 。s ，蚓r + 。荟。n t r 出( 7 ) ，( 8 ) 即可得( 6 ) 式 考虑到函数 ” ”1 。 ，( z ) 2 z i 二_ = _ 面i i 6 ：i _ ：j i i - ! ：j ：_ i i ：j _ 丽z “+ ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) 二 在z = ，与z = r e i 时取得j ，0 ) i 的上界与下界，知结果是精确的 注m = 1 ，a = 弘时，该结果即为文 1 3 的定理2 ： n 一1 ，a = = o 时，该 结果即为文 1 2 的定理3 定理4 如果，( z ) l 仰，a ，口) ，小1 ，那末 1 ：翌丽萌茹而砑，箩布i 1 0 + 1 ) ”一1 “0 + 1 ) 0 一肛) + 0 + 1 ) 0 + 1 一口) ) 5 l 。“ rq 、 “+ 而可巧两硕i 万币万面而7 “ ，( z ) 2z i 二_ = = _ 弓i 可i i _ ：1 j i _ ! ：i j ；1 二五_ = _ 厕z “+ 证明 ，( z ) l ，a ，肛，口) ，坍1 ，由定理l 有 川q 师范人蛳i 赴川究生j j 他沦卫 单 1 ；函数的系数问题 ：+ 1 ”。”n 十1 一“+ n 卢十1 o z + 1 一“) j 。萎? 。t ( 1 。) 。娶”肛) q 一1 ) + ( 缸一口+ 1 ) ( t 一删1 一 1 一r 。蒌p ts 1 一善p t r “1s i ，。( z ) | s 1 + 。妇。，“1s 1 + r 加。 ( 1 1 ) 十j l l 由( 1 0 ) ，( 1 1 ) 即可得( 9 ) 式精确性由极值函数即知 注脚= 1 ， = 肛时，该结果即为文 1 3 的定理3 ： n = 1 ， ：肛；o 时，该 结果即为文 1 2 的定理5 定理5 ，( ：) l ，a ，肛，口) ，当且仅当厂0 ) i _ i _ f 以表示成如下形式 这里 他) = 叩t ( z ) zo ，玑= 1 ， o ) = z ( z ) 。z i i l i f 二i ：i 云i _ 二j ；j ：i _ = = _ 丽z i ，七z n + 1 证明设他) 2 荟仉删则：他) 巩删+ 。酗删 2 叩。 c z ，+ 。秦。叩t z 一 1 一a 两z 1 一。弘可再而杀南i 而可 由于，( z ) 系数满足( 1 ) ，故，( z ) l ，a ，“) 反之，0 ) l ， ，p ，“) ，设 叩。：生二( = 羔二二些皇垡二= ! ；j 二! ! 生二_ ! 删。，七：n + 1 ；叩。：1 l a * 1 ，7 女o ， h ，印女= 1且有，( z ) = z 一口。z = 叩。 ( z ) ，证毕 t 苎患lf 舅 坚堕堕整叁堂堕主婴塞生堂垡堡壅 望生堕塑盟墨鏊! ! 望 第三章关于一类解析函数的性质 设n 是一正整数，h 。表示形如，( 2 ) = z + d t 且在单位圆盘 u ： z ；hc 1 ) 内解析的函数，( z ) 的全体所成的函数类，s 表示h 。中所有单叶函 数所成的子类 设，( z ) 和f ( z ) 都在u 内解析，如果存在u 内的解析函数w ( z ) ，使得 w ( z ) s i z i 和，( z ) ；f ( w ( z ) ) ，那么我们称函数，( z ) 从属于f ( z ) ，记作， o ， o ，a 一1 一1 e 口s 1 ，一1 s 爿s 1 ，彳b ，则称，( z ) 只( 肛，a ，爿，丑) 当 且仅当他脚。栅刊( 掣一晰。，) ( 掣卜篝 其中的幂函数取主值，以下我们遵从这个约定 引理俨1 设f ( z ) ：1 + 矿+ 吃+ 。z “+ 在【，内解析且 ( z ) 为u 内解析凸函 数，且矗= 1 若 ! 旦型些! ：! 塑j ：唑堑：! 兰竺堕兰 望! 尘堕墼l 堕墨墼! ! j | ! 丝 f 0 ) + 兰。f ，( z ) 扛)( 4 ) 其中c 一。且r e c z 。，则f ( z ) 昙z 一：r ： ( r ) 出 a ( r ) ，且詈z 一；r ；一 ( f ) 出 ( ，) ”一警备川一、以”! 甜 引靴“9 | 弘1 s 马蚰z 刊：s 删删篝 篙 引理3 设，( z ) ，g ( z ) h 。，( z ) 为凸函数且，( z ) _ f ( z ) ，9 0 ) f ( z ) ， 0 三 s 1 ，贝u ，( 2 ) + ( 1 一a ) g ( 2 ) _ f ( z ) 证明 因为f ( z ) 为凸函数且，( z ) _ ，( z ) ，占( z ) _ ，( z ) ，根据从属关系的定 义知： ，( u ) c ，( u ) ，g ( u ) c f ( u ) 且，( o ) = g ( 0 ) = f ( o ) ， 所以任给z 【，有w 1 = ，0 ) f p ) ，w 2 = g ( z ) f ) 且由凸集的性质可得： a 厂( z ) + ( 1 一旯) g ( z ) = w 1 + ( 1 一a ) f ( u ) 因此由z u 的任意性有 ，( z ) + ( 1 一a ) g ( z ) f ( z ) 引理4 唧1 设，( 力。z + 荟z 在u 内解析，占( z ) = z + 薹玩z 在u 内解析 且凸，如果厂0 ) 0 ，0 ，a ，一1 ，若，( z ) 口。( ，a ，爿，b ) ，则 硼设p = f 华 “ ( 5 ) ( 6 ) 贝忉( z ) = 1 + 坚丛尘与攀n 川z “+ 1 + 在u 内解析，对( 6 ) 式两边求导 m 加他，) ( 掣r 爿掣厂 篙 钆 等 旦掣学 些塑堕蔓! ! ! 塑二 研塞生学位论文单叶函数的系数问题 凼此有： 比，+ 触加”p ) ( 学一叫) ，f 掣r a i z j 、7 izi 因为，。) 只 ，a ，爿，占) ，所以p 。) + 詈印k ) 暑老显然 。) = 若老在u 内解析且凸，矗( o ) ；1 且竺) - 0 因此有引理1 知： ( 掣卜 0 ，2 1 o ， 一1 sb 1s 曰2 0 ，一1s 爿 b 1 ，0 ) 丑 ( 肛，口，爿，口) ，则 r e ( 掣) 。，剥等 1 u 州学) “c 缸等导1 妣u 不等式是精确的，极值函数为，( z ) ；l ( 1 ，a + 1 )z 哪等声么厂 ( 9 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) 证明 因为，( z ) 日似，a ，彳，口) ，则由定理1 知( 5 ) 式成立，又因为 一1 s 4 o ，一1 丑 彳e 1 ，0 ) 口。( 肛，口，爿，口) ，则