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第二章矩阵,矩阵是数学中的一个重要内容，它在线性代数与数学的许多分支中有重要的应用，是解决许多问题的重要工具。本章的目的是介绍矩阵概念及其与运算，并讨论一些基本性质。,1,.,2.1矩阵的概念,例1某工厂生产甲、乙、丙三种产品，今年四个季度的产量分别如下表所示：,表中的aij表示第i季度第j种产品的产量，这里i=1,2,3,4;j=1,2,3。这张产品的产量表可用以下符号表示：,2,例2含有n个未知量m个方程构成的线性方程组的系数也可以排列成一个矩形阵列(2.4),3,例3生产m种产品需用n种材料，如果以aij表示生产第i种产品(i=1,2,m)耗用第j种材料(j=1,2,n)的定额，则消耗定额可用一个矩形表表示，如表2.1所示。这个由m行n列构成的消耗定额表，也可以排成矩形阵列(2.4),它描述了生产过程中产品的产出与投入材料的数量关系，这个矩形阵列称为矩阵。,4,表2.1,5,定义1由mxn个数aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成m行n列的数表叫做m行n列矩阵，简趁称mxn矩阵。这mxn个数叫做矩阵A的元素，aij叫做矩阵A的第i行第j列的元素。,6,元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。上述的矩阵A也简记为A=(aij)mxn或A=(aij)mxn矩阵A也记为Amxn,7,两个矩阵的行数相等，列数也相等时，称它们是同型矩阵；若A=(aij)mxn与B=(bij)mxn是同型矩阵，并且它们对应元素相等，即那么就称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B,同型矩阵与矩阵相等:,8,当行数m与列数n相等时,A称为n阶方阵；单位矩阵n阶方阵叫作n阶单位矩阵，简记为E或En特点：从左上角到右下角的直线（叫左对角线)上的元素都是1，其他元素都是0,方阵和几类特殊的方阵,9,对角矩阵n阶方阵叫作对角矩阵特点：不在主对角线上的元素都是0,10,数量矩阵n阶方阵叫作数量矩阵特点：主对角线上的元素都相等，其他元素都是0,11,上三角矩阵n阶方阵叫作上三角矩阵特点：位于主对角线下方的元素都是0,12,下三角形矩阵n阶方阵叫作下三角形矩阵特点：位于主对角线上方的元素都是0,13,对称矩阵设A为n阶方阵，如果那么A称为对称矩阵。特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。,反对称矩阵设A为n阶方阵，如果那么A称为反对称矩阵。,14,只有一行的矩阵叫做行矩阵；只有一列的矩阵称为列矩阵。,零矩阵:元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作0,注意:不同型的零矩阵是不同的。,其他常用的矩阵,负矩阵:元素全部变为相反数称为原矩阵的负矩阵。,15,一、矩阵的加法定义2两个m行n列矩阵A=(aij)mxn，B=(bij)mxn对应位置相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。,第二节矩阵的运算,16,矩阵加法的运算律：（1）（2）由此规定矩阵的减法为,17,二、数与矩阵相乘定义3以数乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数与矩阵A的积，记作A或A，如果A=(aij)mxn，那么数乘矩阵的运算规律：（1）（2）（3）（4）,18,注意：矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。,19,例2.3设求A-B,2A-B,解：,20,例2.4设且A+2X=B,求X,解：,A+2X=B,得X=1/2(B-A),21,三、矩阵的乘法：定义4设A=(aij)是一个mxs矩阵，B=(bij)是一个sxn矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个mxn矩阵C=(cij)，其中并把此乘积记作C=AB称为A左乘B或B右乘A,22,注意(1)只有当第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数时，两个矩阵才能相乘(2)乘积的第i行第j列的元素等于左矩阵的第i行元素与右矩阵第j列的对应元素的乘积之和。,23,例求矩阵与的乘积AB与BA；,解:,注意：,24,例2.6设,则:,注意：,25,例2.7设,则:,注意：,26,矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，ABBA这表现在三个方面，首先，乘法规则要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，否则没有意义，即使当AB有意义时，BA不一定有意义；其次，即使AB与BA都有意义，它们的阶数不一定相等；最后，当相乘的矩阵都是n阶方阵，这时AB与BA都有意义，而且都是n阶方阵，由上例知也不一定相等。,27,矩阵乘法的运算规律：（1）（2）（3）对于单位矩阵E，易知,（其中为数）,28,定义n阶方阵的幂：Ak=AAA(k个A相乘)显然只有方阵的幂才有意义，由于矩阵乘法一般满足结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律：(1)(2)(3),29,例试证：证明:当n=1时，等式自然成立设n=k时，等式成立，即要证n=k+1成立，此时有于是等式得证,30,例2.8设有线性变换,求从z1,z2,z3到y1,y2的线性变换。,解：以上两式可以写成：,即Y=AX和X=BZ,31,解：以上两式可以写成：,即Y=AX和X=BZ,则Y=（AB）Z,故,32,例2.9设求解:,33,事实上,34,含有n个未知量m个方程构成的线性方程组的系数也可以排列成一个矩形阵列则AX=b,35,定义7把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫作A的转置矩阵，记作AT,四、矩阵的转置,例如的转置矩阵为,矩阵转置的运算规律,36,只证明性质(4)设A=(aij)mxs,B=(bij)sxn,记AB=C=(cij)mxn,BTAT=D=(dij)nxm,于是由矩阵的乘法规则，有因此所以即D=CT，亦即,而BT的第i行为，AT的第j列为,37,例：设，求,解法1,解法2,因为,所以,38,对称矩阵设A为n阶方阵，如果AT=A，即那么A称为对称矩阵。特点：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。,39,例2.10设A、B为n阶方阵，且A为对称矩阵，试证，BTAB也是对称阵。证：因AT=A，则那么BTAB称为对称矩阵。,40,例2.11设A为n阶反对称矩阵，且B为n阶对称矩阵，试证，AB+BA也是反对称矩阵。证：因AT=-A，BT=B则那么AB+BA为反对称矩阵。,41,定义2.8由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫作方阵A的行列式，记作A或detA注意：方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是n2个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。,五、方阵的行列式,42,方阵行列式的运算规律：(1)(2)(3)其中A,B为n阶方阵，为数由(3)可知，对于n阶方阵A,B一般来说ABBA，但总有,43,由行列式A的各个元素的代数余子式Aij所构成的方阵称为方阵A的伴随阵,44,试证:,证明:设,记,则,其中,故,类似有,45,例2.13设计算|A|2和|A|,46,例2.13设计算|A|2和|A|,47,解一元线性方程axb，当a0时,存在一个数a-1，使x=a-1b为方程的解；那么在解矩阵方程Ax=b时，是否存在一个矩阵，使这个矩阵乘b等于x，这就是我们要讨论的逆矩阵问题,定义7:对于n阶方阵A,如果存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则称矩阵A是可逆的,并称矩阵B为A的逆矩阵.,第三节逆矩阵,48,如果方阵A是可逆的,那么A的逆矩阵是唯一的.,这时因为:设B和C是A的逆矩阵,则有,所以,A的逆矩阵是唯一的,B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C.,A的逆阵记作A-1，即若AB=BA=E，则BA-1.,49,证明若A可逆,则有A-1,使得AA-1=E.,定理1若方阵A可逆，则|A|0,其中A*为矩阵A的伴随矩阵.,故|A|A-1|=|E|=1,所以|A|0.,按逆矩阵的定义得,定理2若|A|0，则方阵A可逆，且,证明由伴随矩阵的性质:AA*=A*A=|A|E,由于|A|0,故有,50,当|A|=0时,称A为奇异矩阵,否则称为非奇异矩阵.由上述两个定理可知,A是可逆矩阵的充分必要条件是|A|0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵.,证明因|A|B|=|E|=1,故|A|0.,推论若AB=E(或BA=E),则B=A-1.,因而,A-1存在,于是,B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.证毕,51,逆矩阵的运算性质,(1)若矩阵A可逆,则A-1亦可逆,且(A-1)-1=A.,(2)若矩阵A可逆,且0,则A亦可逆,且,(3)若A,B为同阶可逆方阵,则AB亦可逆,且(AB)-1=B-1A-1.,(4)若矩阵A可逆,则AT亦可逆,且(AT)-1=(A-1)T.,52,AA=A+,(A)=A.,当|A|0时，还可定义A0E，A-k(A-1)k，其中k为正整数。这样当|A|0，,为整数时有,53,第四节分块矩阵,对于行数和列数较高的矩阵A,运算时常采用分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每一个小矩阵称为矩阵A的子块,以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵.,54,例如:,令,55,分块矩阵的运算规则,(1)加法：设A与B是同型矩阵,采用相同的分块法,有,其中Aij与Bij是同型的(i=1,2,s;j=1,2,r),则,56,(2)数乘设,则,为数,57,(3)乘