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文档简介
1,第一章推理与证明3反证法,2,综合法特点:,由因导果,由已知,结论,分析法特点:,执果索因,即:,由结果,找条件,倒推,3,思考?,A、B、C三个人,A说B撒谎,B说C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎,为什么?,假设C没有撒谎,则C真;,由A假,知B真.,那么假设“C没有撒谎”不成立;,则C必定是在撒谎.,那么A假且B假;,这与B假矛盾.,推出矛盾.,推翻假设.,原命题成立.,分析:,由假设,4,反证法:,假设原命题不成立,,经过正确的推理,得出矛盾,,因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法,反证法的基本步骤:,四步,得出矛盾的方法:(1)与已知条件矛盾;(2)与已有公理、定理、定义矛盾;(3)自相矛盾。,5,应用反证法的情形:,(1)直接证明比较困难;,(2)直接证明需分成很多类,而对立命题分类较少;,(3)结论有“至少”,“至多”,“有无穷多个”之类字样,(4)结论为“唯一”之类的命题;,6,例1、已知a是整数,2能整除,,求证:,2能整除a.,证明:假设命题的结论不成立,即“2不能整除a”。因为a是整数,故a是奇数,a可表示为2m+1(m为整数),则,,即,是奇数。所以,2不能整除,。这与,”相矛盾。于是,“2不能整除a”,已知“2能整除,这个假设错误,故2能整除a.,7,例2、在同一平面内,两条直线a,b都和直线c垂直。求证:a与b平行。,证明:假设命题的结论不成立,即“直线a与b相交”。设直线a,b的交点为M,a,c的交点为P,b,c的交点为Q,如图所示,则,。,这样,的内角和,这与定理“三角形的内角和等于,”相矛盾,这说明假设是错误的。所以直线a与b不相交,即a与b平行。,8,解题反思:证明以上题时,你是怎么想到反证法的?反设时应注意什么?,反证法中归谬是核心步骤,本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类?,9,例3、已知a0,,证明:关于x的方程ax=b有且只有一个根。,10,例4、求证:是无理数。,解题反思:本题中得到的逻辑矛盾归属哪一类?,例5:已知直线和平面,如果且,求证:.,a,b,下面用反证法证明直线与平面没有公共点.假设直线与平面有公共点P,则,即点P是直线a与b的公共点,这与矛盾,所以.,因为,而所以与是两个不同的平面.,综合法,反证法,感受反证法:,练习1.求证:在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,这与已知条件ABAC相矛盾,假设错误。,求证:BC,已知:在ABC中,ABAC。,证明:假设B=C。,所以AB=AC(等角对等边),所以BC。,练习2.已知:如图ABC中,D、E两点分别在AB和AC上求证:CD、BE不能互相平分,(平行四边形对边平行),证明:假设CD、BE互相平分,连结DE,故四边形BCED是平行四边形,BDCE,这与BD、CE交于点A矛盾,假设错误,CD、BE不能互相平分,14,归纳总结:,1.哪些命题适宜用反证法加以证明?,笼统地说,正面证明繁琐或困难时宜用反证法;具体地讲,当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词,此外,“存在性”、“唯一性”问题.,15,2.归谬是“反证法”的核心步骤,归谬得到的逻辑矛盾,常见的类型有哪些?,归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾,或与已知条件、临时假设矛盾,以及自相矛盾等各种情形.,3.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的,下面是一些常见的结论的否定形式.,不
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