（流体机械及工程专业论文）分层液膜沿非均匀受热斜面流动传热特性分析.pdf

。，誓一。-，盘巍嘲月穗0， 声明尸明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文分层液膜沿非均匀受热斜面流动传热 特性分析，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作 和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：燮1 31 筮3 e l 期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文：同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播 学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：! 堕：31 亟j e l 期：型耸三13 导师签名： 日 期： 、“l-， 词x ，“、耗r； 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 本文用n s 方程及合理的边界条件对沿非均匀加热斜面下降的分层液膜的流动 和传热问题进行了描述，建立了数学模型。并进一步推导出液膜中小扰动满足的控 制方程和边界条件。然后用摄动法进行了求解，数值模拟了不同因素对液膜稳定性 的影响。另一方面研究了沿斜面流动的分层液膜内波，进行了无量纲简化，用摄动 法对无量纲方程和边界条件进行了求解，导出了非线性内波的演化方程。对导出的 非线性内波方程进行了求解，得到了一定形式的行波解。作为特例，对常密度液膜 沿非均匀加热斜面和饱和液氮液膜沿斜面的流动传热稳定性进行了研究分析。 关键词：分层液膜，摄动法，稳定性分析 a b s t r a c t t h ef l o wa n dh e a tt r a n s f e ri ns t r a t i f i e dl i q u i df i l mf a l l i n gd o w na ni n c l i n e d n o n - - u n i f o r mh e a t e dp l a t ea r ed e s c r i b e db yt h en - - se q u a t i o n sa n dt h er e a s o n a b l e b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l sa r ee s t a b l i s h e d t h e nt h e g o v e r n i n ge q u a t i o n s a n dt h e i rb o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h es m a l l p e r t u r b a t i o na r ed e r i v e d a n dt h ee q u a t i o n sa r es o l v e db yt h ep e r t u r b a t i o nm e t h o d ， a n dt h ee f f e c t so fd i f f e r e n tf a c t o r so nt h es t a b i l i t yo ft h ef i l ma r ed i s c u s s e du s i n g n u m e r i c a ls i m u l a t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，t h ei n t e r n a lw a v ei ns t r a t i f i e dl i q u i df i l m d o w na ni n c l i n e dp l a t ea r ed e d u c e da n dn o n d i m e n s i o n i z e d ，t h ed i m e n s i o n l e s s e v o l u t i o ne q u a t i o na n di t sb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r es o l v e db yu s i n gp e r t u r b a t i o n m e t h o da n dan o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nf o rt h ei n t e r n a lw a v ei sy i e l d e d s o l v i n g t h en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ，as o l u t i o nr e l a t e dt op r o g r e s s i v ew a v ei so b t a i n e d a ss p e c i a lc a s e s ，t h es t a b i l i t yo f f l o wa n dh e a tt r a n s f e ri nt h ec o n s t a n td e n s i t yf i l m f a l l i n gd o w na ni n c l i n e dn o n u n i f o r mh e a t e dp l a t ea n dt h es t a b i l i t yo ff l o wa n dh e a t t r a n s f e ri nt h es a t u r a t e dn i t r o g e nl i q u i df i l mf a l l i n ga l o n gt h es l o p ea r er e s e a r c h e d f a nx i a o c h a o ( t h e r m a lp o w e re n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db yp r o f c h e n gy o u - l i a n g k e y w o r d s ：s t r a t i f i e dl i q u i df i l m ，p e r t u r b a t i o nm e t h o d ，s t a b i l i t ya n a l y s i s k l i j ，麓jr e 瓦而 仍 n d l g 芷 h “，v u o p 仇 p o p p 7 a j | 纯力 叩 f z ，o r ，y ，6 主要符号表 壁面倾斜角度； 环境气体温度； 板表面温度； b r u n t - v 蕴i s 射茜频率； 液膜垂直平均厚度； 波速流函数沿j ，向的无量纲幅值 无量纲温度函数； 波数因子； b e r n o u l l i 量： 液体表面张力； 液膜的流速： 无量纲速度； 无量纲液膜平均的密度 流线铅垂位移的修正： 无量纲密度： 无量纲扰动密度； 平滑流的无量纲压力； 扰动流的无量纲压力； 波长； 无量纲波数； 液膜自由面方程： 扰动流的无量纲温度； 自由面离开平衡位置的位移； 液膜一阶演化方程的非齐次项； 分层液膜非线性内波一阶演化方程的系数。 ： 流函数； ： 波动幅值； ： 液膜温度； ： 无量纲流函数； ： 无量纲e u l e r 坐标； ： 色散量度： ：x = 锨： ： 一阶振幅； ： 各阶波速修正； ： 线性长波波速： ： 非齐次项； ：模态函数 ：与矽( y ) 线性无关的解； ： 平滑流的速度； ： 平滑流的温度； ： 垂向的特征尺度； ： 角频率； ： 波速； ：无量纲压力函数； ： 横向的特征尺度； 秒手r砂。少占石们q如订。办c蚴， j 叫 华北电力人学硕+ 学位论文目录 目录 中文摘要 英文摘要 主要符号表 第一章绪论1 1 1 研究背景及意义1 1 2 研究现状2 1 3 研究目的和内容5 第二章常密度液膜沿非均匀加热斜面流动传热稳定性6 2 1 引言6 2 2 液膜流动的控制方程及其求解7 2 2 1 控制方程7 2 2 2 控制方程的求解9 2 3 线性稳定性分析1 2 2 4 数值模拟及稳定性影响因素分析1 3 2 4 1 忍数对稳定性的影响1 3 2 4 2b i n 数对稳定性的影响1 4 2 4 3 角度对稳定性的影响1 5 2 5 本章小结1 5 第三章密度分层液膜沿线性加热斜面流动传热稳定性16 3 1 引言1 6 3 2 液膜流动的控制方程及其化简求解1 6 3 3 液膜流动控制方程的求解2 0 3 4 数值模拟及稳定性影响因素分析2 1 3 4 1 胎数的影响2 l 3 4 2m a r a n g o n i 数的影响2 2 3 4 3 眙数的影响2 2 3 4 4 角度的影响2 3 3 4 5 乃数的影响2 3 3 4 6 分层效应的影响2 4 3 5 本章小结2 4 第四章基于边界层理论的分层液膜非线性内波2 5 4 1 引言2 5 4 2 分层液膜中非线性波模型2 7 1 华北电力人学硕+ 学位论文目录 4 3 非线性内波控制方程2 9 4 4 非线性内波方程特例求解3 2 4 5 本章小结3 4 第五章液氮液膜沿斜面流动传热稳定性3 5 5 1 引言3 5 5 2 液膜流动的控制方程及其求解3 6 5 2 1 非线性表面张力和蒸汽压力与波动的关系3 6 5 2 2 控制方程3 7 5 2 3 控制方程求解及分析4 0 5 3 数值模拟及稳定性影响因素分析4 2 5 3 1 角度对流动稳定性的影响4 3 5 3 2 胎对流动稳定性的影响4 3 5 3 3 波数对流动稳定性的影响4 4 5 3 4 温差对流动稳定性的影响4 4 5 3 5 物性对流动稳定性的影响4 5 5 4 本章小结4 5 第六章结论与展望4 7 参考文献4 9 致谢5 5 附录5 6 在学期间发表的学术论文和参加科研情况5 7 2 华北电力人学硕七学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 固体衬底上液膜流动广泛存在于自然界中，它作为一种高效传热传质技术，在 很多领域有着广泛的应用，比如，在工程热物理( 如液膜传热和蒸发冷却) 、材料制 备( 如用化学沉积制备液膜) 、化学工程( 如泡沫和乳胶) 、热能工程、能源、空调制 冷、航空航天、电子、核工业、机械加工、石油化工等工业领域。近年来，利用液 膜流的特性来解决了高技术领域中遇到的高热流密度下的强化换热问题，因此越来 越引起人们的关注，可见对液膜流动的研究有着重大的现实意义n _ 1 。 液膜流动是一种非常简单的低速形式流动，它蕴涵着极其丰富的动力学行为， 其中的交界面稳定性、自由表面波甚至内波、三维时空图像等非线性现象一直是流 体力学工作者所研究的热点。同时从液膜流动的实验中可以观察到从层流到湍流的 过渡现象，因而对液膜流动的理论研究有助于我们对湍流形成机理的认识。可见对 液膜流动的研究有重大的理论意义隋嵋。 液膜的传热出现在很多场合，如蒸汽透平叶片、航空发动机和微电子芯片等元 件的冷却。在一些传热设备的设计上，比如电厂中换热器、蒸发器、冷凝器和热管 也有重要作用。因此，研究液膜流动传热稳定性将有助于改善热应力的预测和传热 效率。除了这些直接应用之外，液膜问题在分析沸腾中汽泡的聚合和i 临界热流密度 现象的产生，凝结中的珠状和像珠状现象等都有十分重要的意义。可见对液膜流动 的研究有重大的指导意义呻删。 几十年来，有关学者在液膜领域开展了大量的理论和实验研究工作，分别研究 了其流动形态随流动参数的变化情况，传递特性与流动参数的关系等等。斜面液膜 流动特性相当复杂，液膜随流动条件的不同，可以从层流演化为小波幅的波状流， 大波幅的波状流，最终进入混沌流动状态，这一复杂的流动特征，导致其内部的传 递特性远不同于层流情况。当液体的种类不同时，液膜的流动状态稳定性以及传热 传质特性就要发生变化，尤其当液膜的一些物性比如当温度变化引起液膜密度发生 变化时，其流动特性也要发生复杂的变化。液膜的流体动力学控制方程包含着丰富 的流动特征。事实上，从流体动力学方程研究液膜的稳定性具有极其重要的意义。 在理论方面，液膜稳定性的研究分为线性和非线性两种方法，线性方法研究液膜内 的扰动在初始发生时随各种因素的变化趋势，从而了解流动的稳定状况，它不涉及 扰动的整个演变过程，因而简单方便；非线性方法研究扰动在发生之后的演变过程， 所以控制方程的求解较难，由于计算机技术的飞速发展，非线性方法得到了越来越 华北电力人学硕十学位论文 多的应用，所以很多学者利用各种方法对非线性方程进行求解，并得到了一些特定 条件下的成果哺。8 1 。 综上，对于液膜流动和传热有关的非线性方程的求解，深入了解液体液膜的水 动力特性和传热传质规律，研究其破断过程、机理和控制条件，就成为近年来日益 引人瞩目、富有挑战性的研究课题，并且具有重要的现实意义、理论意义和指导意 义。 1 2 研究现状 对液膜沿平板下落的研究可以追溯到半个世纪前k a p i t z a 父子的实验，该实验 初步观察到了不稳定的表面波，同时还观测到孤立波现象，并揭示了像这样一个简 单的低速开式流动，却蕴涵着极其丰富的动力学行为。正是基于此，吸引了许多的 流体力学学者对其进行理论和实验研究，直到今天对液膜演化的研究仍是一个相当 活跃的领域。b e n j a m i n ( 1 9 5 7 ) “4 1 和y i h ( 1 9 6 3 ) n 钉最早对沿平板下落的恒温液膜 进行了线性稳定性分析，b e n j a m i n 采用幂级数展开法求解o s 方程，y i h 采用摄动 法获得了降膜稳定性认识，并首次提出临界雷诺数的概念，指出自由垂直降膜始终 处于不稳定的状态。基于边界层理论，研究者对等温降膜采用不同的计算方法求解 了o s 方程，证实了重力引起的表面波的波长远远大于液膜厚度，同时得到了长波 近似条件下的临界雷诺数。d c b r u i n ( 1 9 7 4 ) n 们，f l o r y a n ( 1 9 8 7 ) “刀和w o o d s ，l i n ( 1 9 9 6 ) n 引的稳定性分析揭示了液膜流动存在较短波长的剪切不稳定，并且该不稳 定的增长率与表面波增长率的量级相当。a l e k s e e n k o 等( 1 9 8 5 ) n 们提出许多改进模 型，如长波方程、s h k a d o y 模型和k a p i t z a 边界层模型。师晋生、施明恒( 1 9 9 8 ) 乜们 利用液膜自由表面的温度随波动变化的关系，从理论上分析了饱和液膜在竖壁上受 热流动因温度不均而存在表面张力波动的流动不稳定性，讨论了波数，雷诺数，壁 面和液膜温差对稳定性的影响。并且，师晋生( 2 0 0 8 ) 口妇对竖直放置的横向波纹形壁 面上的定型层流自由降落液膜的运动与蒸发传热进行了分析，讨论了壁面波纹对液 膜运动的影响，分析表明。在一定的壁面波幅和波数条件下，横向波纹对这种流动 的传热有增强作用。王维德( 2 0 0 4 ) 心幻对传质计算模型中有关表面张力的影响，实 验研究情况及表面张力影响传质过程的机理作了初步讨论分析。程友良等口3 一“2 5 1 研究了非线性表面张力对液膜传热的稳定性影响，对不同饱和液膜流动传热稳定性 以及倾斜加热板液膜流动稳定性进行了分析。王松岭、叶学民等托“2 l2 8 1 探讨了在界 面非平衡热效应下，蒸发、等温、冷凝状态下液膜在时间域和空间域内通用的稳定 性方程，从理论上分析了切应力作用下雷诺数、波数、表面张力、倾角和物性等参 数对稳定性的影响规律。 对表面波的研究，b c n n e y ( 1 9 6 6 ) 心9 i ，l i n ( 1 9 6 9 ，1 9 7 4 ) 咖一，g i c v i k ( 1 9 7 0 ) 2 1 和 2 华北电力人学硕十学位论文 n a k a y a ( 1 9 7 5 ) 口钉推导了在小雷诺数下的长波近似方程，并对它们进行了弱非线性分 析。p u m i r 、m a n n e v i l l e 和p o m e a u ( 1 9 8 3 ) 口引对b e n n e y 长波近似方程进行了数值计算， b e n n e y 长波近似方程和弱非线性理论成功地解释了液膜演化的许多问题。 b a n k o f f ( 1 9 7 0 ) d 5 1 ，m a r s e h a l l 和l e e ( 1 9 7 3 ) 3 e 9s p i n d l e r ( 1 9 8 2 ) 口力在蒸发( 或冷凝) 状 态下求解了0 _ s 方程，对蒸发或冷凝液膜表面波稳定性进行了分析。w a n gl i n l i n 等 ( 1 9 9 6 ) b 8 1 研究了涡流和表面波之间的非线性不稳定作用。秦伟，刘建华等( 1 9 9 7 ) 口帕对瞬时局部液膜厚度进行了测量，数据表明：液膜的自由表面波具有强非线性， 其波形不仅随雷诺数和时间而变化，而且还受纵向距离的显著影响。汤艳芬，张才 国等( 1 9 9 7 ) h 町对水面小振幅波进行了分析，建立了水波的基本方程，求出了深水 域小振幅波的行波解。袁生杰( 2 0 0 1 ) 1 利用理想不可压缩流体的连续性方程和动 量方程，推导了表面波的基本方程，并应用线性近似理论求出了在小振幅波的情况 下的解析解。 对沿均匀加热下落的液膜的研究，l i n ( 1 9 7 5 ) h 2 1 和s r e e n i v a s a n ( 1 9 7 8 ) h 3 1 较早地对 其进行了线性稳定性分析，并发现均匀加热下落液膜不仅存在表面波不稳定，还存 在由m a r a n g o n i 效应引起的热毛细不稳定。后来，k e l l y 等( 1 9 8 2 ，1 9 8 6 ) h “删又考察了 均匀加热下落液膜在小倾角下的稳定性特性，g o u s s i s 和k e l l y ( 1 9 9 0 - 1 9 9 1 ) h 6 一刀则对 表面波不稳定与热毛细不稳定之间的相互作用进行了细致的研究，证实了存在两种 模态形式的热毛细不稳定，并画出了在时间非稳态下的中性曲线。对于均匀加热下 落液膜的非线性特性，j o o 等人( 1 9 9 1 ) h 引推导了考虑液膜表面蒸发的长波近似方程， 他们发现当倾角增大时，均匀流动的效应( 惯性) 变得更加显著，而热毛细力将会放 大这种效应引起的扰动。2 0 0 3 年，k a l l i a d a s i s 等“町人推导了均匀加热下落液膜的积 分边界层方程，他们对其进行线性稳定分析后，得到了与g o u s s i s 和k e l l y ( 1 9 9 1 ) 相一 致的液膜稳定性结果。此外，他们还通过积分边界层方程构造出了一个孤立波形式 的解，预见了均匀加热液膜中孤立波的存在。钱焕群，胡志华等( 2 0 0 3 ) 呦1 建立了 自由下降液膜流动的完备的数学模型，采用边界层理论对模型进行分析简化，得到 液膜流动的二阶边界层模型，证实了二阶边界层模型具有更好的预测效果，其形式 便于作进一步的非线性分析。胡军、胡国辉等在2 0 0 3 年对沿线性加热平板流动的 降膜不稳定性进行了分析，研究了韦伯数和m a r a n g o n i 数对增长率，边界曲线，临界 雷诺数等的影响，得到了与m i l a d i n o v a ( 2 0 0 2 ) 的观点非常一致的长波近似下的显 式色散关系。进而他们又在2 0 0 5 年哺2 对沿均匀加热平板流动的降膜进行了直接的数 值模拟。张峰，耿皎等( 2 0 0 5 ) 睛引建立了固体平壁上受热降膜分布模型，该模型较 准确地预测了受热液膜下落初始过程中的液膜分布。他们还( 2 0 0 5 ) 嫡钔研究了垂直板 上受热降膜的流动特性，得到液膜表面温度分布、液膜宽度、液膜厚度、局部液膜 厚度随时间等参数变化的关系式，得到了在降膜加热流动过程中，m a r a n g o n i 效应使 3 华北电力人学硕十学位论文 液膜产生较大的收缩，膜厚增加，表面波动加强的结论，并在2 0 0 6 年总结了近年来 关：f m a r a n g o n i 效应的研究工作。 对多相液膜流动的研究，k a o ( 1 9 6 5 - 1 9 6 8 ) 抽吼5 7 5 町最早对沿平板下落的两层液膜 进行了线性稳定性分析，后来w e i n s t e i n 和k u r z ( 1 9 9 1 ) 删对三层下落液膜进行了长波 不稳定性的研究，以及l o e w e n h e r z ( 1 9 8 9 ) 们和c h e n ( 1 9 9 3 ) 订研究了小雷诺数下液膜 流动的表面不稳定和液膜表面波的三维积分边界层方程，通过对二维方程的计算可 以得到定常基本流，然后对其进行三维线性稳定性分析，在临界m a r a n g o n i 数上得到 了与k a b o v 实验相一致的结果。尤学一( 2 0 0 5 ) 呦1 等在液一液交界面存在互溶液膜的 基础上讨论了平板p o i s e u i l l e 分层流动的线性稳定性问题，研究了液膜位置、液膜厚 度和液膜内黏性系数分布等因素对流动失稳临界雷诺数的影响，得到结论：改变液 膜位置和膜厚可以用于流动稳定性控制来实现流动减阻。李欣( 2 0 0 6 ) 朝对液膜中 小振幅波进行了分析，推导出描述小振幅内波的控制方程及其边界条件并讨论了本 征值参数，进而从e u l e r 方程出发，经过各种变换和简化，推导出带粘性项的与壁面 倾斜角度有关的无量纲l o n g 方程。然后再经过近似计算，最后得到浅水假定下液膜 流动中较一般的非线性内波控制方程及其边界条件。田英( 2 0 0 7 ) 随钉对液膜流动传 热特性及影响因素进行了分析，得到参数r p 、w e 、n 和平板角度以及分层效应s 的 变化对液膜流动稳定性的影响。 对饱和液膜的研究，根据流动的液膜的状态可以分为过冷液膜和饱和液膜。对 过冷液膜的研究已经很成熟，这是因为过冷液膜蒸发可以忽略，质量损失可以不计， 根据这些假设建立的模型和得到的特性关联式基本符合实际。然而，对于饱和状态 的液膜，在受热蒸发过程中汽液界面问存在着相互的作用，因此传热传质特性与冷 凝液膜有所不同。c h u n 和s e b a n ( 1 9 7 1 ) 娜1 在壁面均匀热流的情况下，并在界面上 的全部热流都应用于蒸发的假设下，给出了层流和湍流状态下的实验关联式，考虑 了波动的影响。k u t a t e l a d z e 和g o g o n i n ( 1 9 7 9 ) 阳引，h i r s h b u r g 和f l o r s e h u e t z ( 1 9 8 2 ) 刀给出了层流状态下的冷凝蒸发液膜传热系数经验式。f u j i t a ( 1 9 7 8 ) f e s - e g ，s h m e r l e r ( 1 9 8 8 ) u 0 。川给出了湍流状态下的过冷蒸发液膜传热系数经验式。j a y a n t i 和h e w i t t ( 1 9 9 7 ) 2 1 研究了波状液膜的传热和流动。叶学民和阎维平( 1 9 9 9 ) h 3 对层流和湍 流状态下的波动液膜进行了数值模拟，分析研究了波动液膜具有高传热特性的内在 机理。李欣( 2 0 0 6 ) 棚采用温度的非线性函数表达液膜表面张力，探讨了壁面温度 不变边界条件下，三种液态低沸点气体氮、氧、氢的液态薄膜在壁面温度变化时产 生的非线性表面张力对饱和液膜传热稳定性的影响。综上，大多数的研究表明：对 于波动饱和液膜的传热，考虑到表面波的存在，从而使得对流换热的影响加大，平 均传热系数也相对的增加。 4 华北电力人学硕+ 学位论文 1 3 研究目的和内容 从前面的介绍我们可以看出，当前对液膜沿加热平板流动的研究大多是在密度 均匀即密度为常数的假设下进行的，对分层液膜特性的分析大都是液膜沿非加热平 板流动的情况，关于液膜非线性内波的研究也比较少，饱和液膜沿斜面流动传热稳 定性报道的也不多。因此鉴于以上研究现状及存在问题，本论文主要开展以下研究 工作： 1 从n - s 方程和合理的边界条件出发，对沿非均匀加热壁面下降常密度时液膜的 流动和传热问题进行描述，建立数学模型，由此，进一步推导出液膜中小扰 动满足的控制方程，然后求解，最后进行数值分析。 2 对加热壁面下降的分层( 密度变化时) 液膜的流动和传热问题进行描述，建 立数学模型，进行化简求解，并针对一定的密度分布进行具体的稳定性分析。 3 建立沿倾斜平板流动的分层液膜内波的合理模型，并合理假设，得到控制方 程及其边界条件，然后由边界层理论进行无量纲化，用摄动法对无量纲方程 进行求解，导出非线性内波的演化方程，最后进行求解分析。 4 作为特例，我们对饱和液氮液膜沿斜面流动传热稳定性进行研究分析，综述 了几种重要因素对液膜传热稳定性造成的影响。 5 华北电力人学硕十学位论文 第二章常密度液膜沿非均匀加热斜面流动传热稳定性 2 1 引言 在研究密度分层液膜沿线性加热斜面流动传热稳定性之前，作为特殊情况，本 章首先研究常密度液膜沿非均匀加热斜面流动传热稳定性。 液膜流动是工业中较为常见的一种两相流，如存在于锅炉水冷壁、凝汽器和核 电站的冷却系统n 钉。液膜在自由下降过程中，受小扰动因素的影响，将引起流动结 构和状态的改变，导致表面出现波动。如果引发流动不稳定的小扰动趋于减小，则 流动是稳定的；反之，则处于不稳定状态；如果扰动始终不变，则流动处于中性稳 定状态7 5 叶引。 在对液膜流动稳定性的研究中，目前的理论研究方法分为线性和非线性两种， 且流态都局限于小雷诺数的层流区。在对液膜的流动研究中，线性理论得到广泛应 用，它最早开始于b e n j a m i n n 钔和y i h n 5 7 7 1 对等温降膜的线性稳定性分析，并且y i h 首 次提出了临界雷诺数的概念。 所谓线性理论，即通过研究初始扰动的变化趋势而获得对流动稳定性的认识。 假定在扰动发生的初始时刻扰动很小，故由扰动引起的各项变化可认为是线性的。 这种方法不涉及扰动发生以后的具体演变过程，因此对流态稳定性判别的依据比较 简单。非线性理论是研究在起始时刻以后流动的具体演变直至液膜破断的过程。 对加热液膜流动稳定性的研究，印度a r g h y as a m a n t a 在2 0 0 8 年研究了非惯性 液膜沿均匀加热斜面下滑的稳定性，他用正则模法分析研究了下降液膜的线性稳定 性h 引，同年又研究了液膜沿垂直的非均匀加热斜面流动稳定性n 引，文中假定壁面温 度是线性变化的，并利用长波摄动法得到非线性演化方程，然后使用多尺度的方法 进行了非线性稳定分析，从而研究了行波解的演化方程。结果表明，随着p e c l e t 数 的增加超临界不稳定区域将会增加，而亚临界稳定区域将会减少。 在工业应用中经常会遇到衬底加热的情形，平板加热对流动稳定性产生的影响 是我们极想了解的。当一层水平薄膜底部被加热时，有两个主要的因素将会影响流 体的稳定性，即浮力和表面张力。当薄膜厚度很薄时，由表面张力引起的热毛细机 制将占主导地位，经典的贝纳德对流实验事实上就是由热毛细机制引起的。因此， 我们将前人的研究推广到底部加热的情况。 在这一章我们主要做以下工作：首先从原始的n a v i e r - - s t o c k s 方程( n s 方程) 推导出相应的小扰动方程，通过长波摄动法进行数值计算，得到一系列稳定参数在 内的临界雷诺数关系式。通过这一关系式，我们分析出普朗特数、斜面角度和马哥 兰尼数等对流动稳定性的影响。总之，我们这一章将在常密度条件的假设下进行分 6 ， 华此电力人学硕十学位论文 析研究，为后面章节密度分层的液膜研究打下扎实的基础。 2 2 液膜流动的控制方程及其求解 2 2 1 控制方程 考虑液膜在重力作用下沿底部加热的倾斜平板下落，假设周围的环境为无粘和 静止的气体。我们建立笛卡尔直角坐标系，如图2 - 1 ，平板与水平夹角为声，液膜垂 直平均厚度为h ，环境气体温度为瓦，我们假设自由面温度瓦= 瓦，平板上的温度分 布为。 图2 - 1 液膜沿加热平板下降 我们假设壁面温度是沿着斜面线性变化的，即瓦= 艺+ i 丁，其中，a t = 乙- r , ， l 表示壁面的最大温度，疋为环境温度。 在该坐标系下薄膜流动的控制方程为： 坐+ 坐：0 茂万 c 筹+ 万芸+ 矿雾，一古罢t - g s i n + y c 雾+ 雾，万枷瓦面) 一万言。w 丽+ 矿 c 雾+ 订罢+ 矿争一吉雾g 渤+ y c 窘+ 争( 万瓦万) 一万专g 娜w 【丽+ 矿 fa t a t 一0 t1，a 2 ra 2 t 、 昨i 万棚瓦面j = h 丽+ 矿 壁面无滑移条件： 当歹= o 时，u - v - - - - o ，于= 瓦 温度边界条件： 、，、，、，、，、， l 2 3 4 5 一 一 一 一 一 2 2 2 2 z ，l，l，、， 华北电力人学硕十学位论文 二二二二= 二= _ 一一一 筋v 于+ 口仁一乃) = 0( 2 6 ) 其中，法向矢量元= ( - 瓦，1 ) ，七为导热系数，口是传热系数。 运动边界条件： 警+ 历芸坼。 当歹= i g ，于) 时，动力边界条件： k ( 1 一砖) 一k 一岛厩一伍厩+ 瓦厩：0 p o + k 碚一2 弓瓦+ 岛+ 霹) - 1 一无( 1 + 硭广膻：0 其中亿是环境周围气体压强，于是表面张力，且表面张力与温度的关为： 变形率张量为： 应力张量为： 其中， 下面是无量纲关系式： y = _ y ， h o ”学， ( 2 - 7 ) ( 2 - s ) ( 2 - 9 ) 仃仁) = c r o 一7 扩一瓦) ，厂= 一万8 0 ( 2 - 1 0 ) 勺= 丢( 挈+ 挈) 勺= j 瓦+ 磊) f q2 一i 6 t 七2 p e 4 岛= 器曷 v ，= 一 口“o f ：型坠， h o 丁：( t - t a ) c r ， a t h o 8 j i ：生， h o 。一2 a h o口= ， 五 o r 仃= 一 o r o ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) p 2 丽p - - p a ( o ) p g s m l 一坚 = x i 一 = ” 一一 华北电力人学硕士学位论文 二二r 二_ 二= 二= 二二一 其中， y 为运动粘性系数，为动力粘性系数，丘为热扩散系数，为液膜平均 厚度，c r o 为自由表面张力。 对( 2 1 ) 一( 2 - 9 ) 进行无量纲化，有： 罢+ 多= 。 口m 罢+ “罢+ v 争= 乏噻+ 2 + c 窘+ 争， c 2 啪， 抓叹扣塞+ y 争之考一t 纠口3 窘+ 浯 口n ( 警+ “罢+ v 等) = 口2 丽0 2 t + 矿0 2 t c 2 一7 ， “=1，=0，t=z ( 2 1 8 ) 在自由表面y = h 处，有 乃一口2 以= 0 ( 2 1 9 ) h l + u h j = v ( 2 - 2 0 ) ( 略+ 口2 匕) ( 1 一口2 砖) 一4 口2 咋t = - 2 a m a ( t + h x t y ) ( 1 + a 2 霹) 1 2 ( 2 2 1 ) p + 南防一g y + 口2 v x ) 一以咖，) 】2 瓮辚产 2 2 ， 其中，雷诺数rp 2 了u o h o ，普朗特数为p r = 丢，心= r e p r 是p e c l e t 数，w 曲e r 数为 陆南，m a r 强9 0 i l i 数为尬= 2 2 2 控制方程的求解 必r h o p g a s i nf l i 下面我们利用长波摄动法，用幂级数口展开，来求解上面得到的无量纲非线性 方程组和边界条件的近似解。 我们设 “2 u o + 伽i + ，2 + a v l + ， p 2 p o + 印i + ，t = t o + a t , + ( 2 - 2 3 ) 9 华北电力人学硕+ 学位论文 将( 2 - 2 3 ) 代入无量纲方程，得零次幂方程： u + j ，= 0 ，“o + 2 = 0 ，p o j ，= 一c o t ，五枷= 0 零次方程的解为： y = 0 ，“o = y o = 0 ，瓦= 石 y = h ，u o v = - 2 9 m a ( t o j + j i l j 瓦y ) ，p 。= 川2 耽k ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 7 0 y = 一b i t o ，h ，+ “o h x = 1 o ( 2 2 6 ) 铲2 旷胁等沪y 2 v 。一”2 2 肘刀型世型筹器掣业业y = 川2 w e h , 晖 l = 一了+ x 把零次方程的解代入运动边界条件，运动边界条件变为： ( 2 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) 酽一半铲耽 协3 。， + 2 m n h b i x h , , ( 1 + b i b ) + 2 h ：，( 1 - b i x h , + s i h 一) ：o ( 1 + b i h ) 其中，b i o t 数为b i = a h o k ，m n = a m a 是修正马哥兰尼数。 很显然，我们发现零次方程的解是比较复杂的，因此为了简便起见，我们假设 自由表面绝热，即b i = 0 ，也就是忽略汽一液界面的换热情况，这当然是适合于一些 界面换热相对很弱的液膜流动的。那么，就不适用于换热很剧烈的情况了，这种时 候怎么解决，我们先暂时不进行讨论。下面继续对零次解简化，得到以下形式： “o j + v o j | = 0 ，u o + 2 = 0 ，p o j ，= 一c o t p ，7 0 = 0 y 2 0 ，u o = v 0 2 0 ，r o2 工 y = h ，“吵= - 2 a m a ( t o ，+ j l ，7 0 j ，) ，p 。= - - 0 r 2 w e h 。， 7 0 j ，= 0 h f + “o h x = v 0 1 0 ( 2 - 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) ( 2 3 4 ) 华北电力人学硕士学位论文 零次方程的解为： = 2 吃- y 2 - 2 a y m a ，v 0 = 一j i l ，y 2 ， p o = 一口2 w e h 搬，t o = x 把零次方程的解代入运动边界条件，运动边界条件变为： 忽+ 2 h 2 h x - 2 m n h h j = 0 至此我们得到了零次方程解的关系式，下面我们继续考虑一阶的情况。 利用长波摄动法，得到口的一次幂方程及边界条件如下： 甜l j + v lj | = 0 u 1 y y = 2 p 。j + r e ( u 。，+ “。工+ v o “。j ，) v o y y2 2 p l j ， 五= p e 怃，+ u o t o ，+ 乙) y = 0 ，“l = h = 0 ，互= 0 ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) ( 2 - 3 7 ) ( 2 - 3 8 ) ( 2 - 3 9 ) ( 2 - 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) y = h ，u l y = 2 彻亿，+ i l 工互，) ，p i = m n t o h 嚣+ v o 一h ， 。j ， 互y = 0 ，t + “o h x = v o ( 2 4 2 ) 对此方程组进行求解，得到以下结果： 铲阮，吐翼船曲+ 2 m n p e h h ，( 5 n 2 胁 ) y 4 3 ， + 迹竽( 8 h 3 - 4 h h 。y 2 + ) 怕“ h = 一砌一y 2 ( 一詈) 一妙2 h 。h x - 叫； 3 k + 5 2 圮一2 胁 2 k 一懒办砖) y 2 一r c 詈( - j i i 2 k 一2 砖+ 胁砌嚣+ 胁砖) + 丢g k + 圮一m n h 。) + 了2 y 2 h 3g k + 4 砖) 一孚帆蚴叫- h , 。y 2e o t f l ( 3 一 2 2 邮 p l = 一h x o + h ) + x m n h 。+ 2 m n h ， ( 2 - 4 4 ) ( 2 4 5 ) 华北电力人学硕十学位论文 互= y l _ 警( 4 h y 2 _ y 3 _ 4 y 2 砌一6 j i l 3 + 1 2 m n h 2 ) ( 2 4 6 ) 至此我们求得一阶的解，然后将此解和零次解代入运动边界条件( 2 2 0 ) ，有 h ，+ 彳o 弦工+ 口陋o 玩+ c o ：协麒l + d b 2 ) - o ( 2 4 7 ) 其中， 彳o ) = 2 h 2 2 m n h 酬= 2 4 ( 扣胁) + 警。一砷詈釉t c o ) = s h 3 ( 2 - 4 8 ) 这里s = 口2 w e 是修正表面张力参数。当= 9 0 。时，此结果与文献 7 9 的结果是 一致的。 2 3 线性稳定性分析 在自由界面处，我们假设一个有小扰动h = l + r ( x ，t ) ，来研究线性稳定方程 ( 2 4 7 ) ，其中刁仗f ) 是液膜j l d 的小偏差。现在将h 代入演化方程( 2 4 7 ) 中，并 且线性化，则演化方程变成： 其中， r ，+ 彳。，7 鼻+ 口酶，7 玎+ c l 叩一) + d 仁2 ) - - o ( 2 4 9 ) a i = a ( h = 1 ) ，b i = b ( h = 1 ) ，c i = c ( h = 1 ) ( 2 5 0 ) 由微分方程知识，可以知道，方程( 2 - 4 9 ) 的解的形式为： r ( x , t ) = f e i ( 卜d ) + r p “卜a ) ( 2 - 51 ) 其中“”代表复数共轭，r 是复数波振幅，复数波速c 为： c = c ，+ 呜，q = a l ，q = a ( b i q ) ( 2 - 5 2 ) 其中c 和c ：f 是线性波速和线性扰动增长率。当c 。 o 时，j j i k f ) 的扰动解为稳定的， 即流动是稳定的；反之，当c ， o 时，h ( x ，f ) 的扰动解为不稳定的，即流动是不稳定 的，当q = 0 时，则是中性稳定的。我们令c ，= 0 ，即b 。= c i ，解得， 1 2 华北电力人学硕士学位论文 2 m n p e ( 5 一胁) + 百8 r e ( 1 一胁) 一3c o t = 詈口2 耽( 2 - 5 3 ) 继续求解，得到临界雷诺数： ：5 a 2 w e - 1 _ 5 m n 石p o 时，平板的温度线性增加，反 之则是线性减少的。并且由m n 数的定义可知对于大多数流体来说，表面张力随温 度的变化率丫= 一c o ( r a t 是大于零的数。图2 - 3 说明当m n 数越小时，流动是不稳定 的，而当m n 数为负值时会有比较强的不稳定的效果；但是与波数相对应的极大时 间增长率几乎没有变化。在左端的曲线已经在稳定范围内，在超过长波近似值限度 1 4 华北电力人学硕十学位论文 内的区域的截断波数随m n 数增长会有轻的微增长。 2 4 3 角度对稳定性的影响 当p e = o 1 、f l = 4 5 0 时，实线表示f l = 3 0 0 ，虚线表示f l = 4 5 0 ，点线表示f l = 6 0 0 。 r 图2 4 角度对稳定性的影响 在p e ，m n 一定时，随着夕角的增大，液膜稳定区域减小不稳定区域增大。固 体壁面的倾角对液膜的稳定性有非常重要的影响。在相同波数下，随着倾角的增加， 扰动的影响逐渐增强，稳定性逐渐丧失，并且倾角对稳定性的影响不受雷诺数制约。 当倾角为9 0 。时，扰动最为剧烈，液膜失稳程度最为严重。 2 5 本章小结 本章