（等离子体物理专业论文）气流流场对电弧螺旋不稳定性影响的分析与数值研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 近年来，随着航天技术的发展和新型材料的出现，人们对热等离子体的研究 不断加深，而电弧问题是热等离子体的核心问题，因此，人们对电弧的研究也不 断深入。 了解电弧的稳定性程度和温度场特性，是应用电弧的基础，本文结合实际电 弧工作环境，考虑了存在外部气流流场的情况下电弧稳定的特点，在理论上给出 了气流的作用模型方程，并对相应的方程进行了数值求解。 本文采用与时间有关的线性微扰理论，分别讨论了旋转气流、纵向气流的作 用，以及它们共同的作用下电弧螺旋不稳定性的特征。导出了相应方程和满足的 边界条件，给出了l 临界m a e c k e r s 数和不稳定性增长率等定量结果。并讨论了相 应物理参数对电弧不稳定性的影响。研究结果表明，纵向气流和旋转气流对电弧 的稳定性确实起作用，尤其是纵向气流，起着重要的作用，而旋转气流对电弧的 稳定区域的增加效果显著。本文理论的结果与实际情况相符合，具有一定的理论 意义和实用价值。 关键词：电弧，气流，不稳定性 。查篷墨兰垄堂翌主兰堡笙墨 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs p a c et e c h n o l o g ya n dt h en e w - m a t e r i a l t h es t u d yo f t h et h e r m a lp l a s m ai si n c r e a s e d y e tt h ea r ci st h ek e y q u e s t i o no ft h et h e r m a lp l a s m a t h e r e f o r e ，m o r es t u d i e sa r ea d d e dt ot h ea r ci nr e c e n ty e a r s t h ec h a r a c t e r i s t i co fs t a b i l i t y - a n dt h et e m p e r a t u r ei st h eb a s eo ft h ea r c a p p l i c a t i o n , s ot h i sp a p e rt a k e si n t oa c c o u n tt h ee x t e r i o ra i r f l o wo nt h ea r cw o r k c o n d i t i o n ，g e tt h em o d e le q u a t i o n so fa i r f l o wo nt h ea r ci nt h e o r y ，a n ds o l v et h e e q u a t i o n sa n dg i v et h en u m e r i cs i m u l a t i o n t h el i n e a rt i m ep e r t u r b a t i o nt h e o r yi su s e di nt h i sp a p e r ，t h ee f f e c t so f r o t a r yf l o w ， a x i a lf l o wa n db o t ho ft h e mt ot h ea r cs t a b i l i t ya r ed i s c u s s e dr e s p e c t i v e l y t h e c o r r e s p o n d i n ge q u a t i o n sa n dt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ed e d u c e d t h em a r g i n a l m a e c k e r sn u m b e ra n dt h eg r o w t hr a t eo ft h eh e l i c a li n s t a b i l i t ya r eg i v e n ，a n dt h e e f f e c t so fo t h e rp h y s i c sp a r a m e t e ra r ed i s c u s s e dt o o c o m p u t a t i o n a lr e s u l t ss h o wt h a t t h ea x i a lg a sf l o wa n dt h er o t a r yf l o e s p e c i a l l yt h ea x i a lg a sf l o wp l a y st h em a i nr o l e 0 nt h ea r es t a b i l i t yt h er o t a r yf l o wc a l ll a r g e rt h er e g i o no ft h ea r cs t a b i l i t y ，t h e t h e o r yr e s u ki sr e s p o n dt ot h ef a c t ，h a v et h ep r a c t i c a l l yv a l u e k e yw o r d s ：a r c ，a i r f l o w ，i n s t a b i l i t y 大连理工大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 电弧概述 18 0 8 年d a v y 和r j t t er 历史上第一次在两个水平碳电极之间点燃了电弧并进 行观察。由于自然对流的作用，热气体向上运动，使碳电极的电弧向上弯曲而形成 为拱型，因此，便把它命名为“e l e c t r i ca r c ”意思是“电的拱形物”，这就是电 弧名字的由来 1 翻。 1 8 2 1 年d a v y 描述了磁场对电弧的作用，到十九世纪中叶，f o u c a u i t 和f jz e a u 对金属电弧，真空电弧进行了系统的光测量。十九世纪末，人们用探针测量的方法， 确定了电弧电压是由阴极电位降，弧柱电压和阳极电位降三部分组成的。1 8 9 2 年 成功地运行了水银电极真空电弧。19 0 9 年s c h o n b e rr 最先以旋转气流稳定电弧。 1 9 2 1 年b e c k 首仓q 了大电流碳弧，从而开创了电弧技术应用的可能性( 3 - 5 l ，到t - - 十 年代，出现了高压水银灯，并发表了电弧弧柱理论，为弧柱物理和电弧技术的发展 奠定了理论基础。 1 2电弧等离子体的特点及应用 电弧等离子体具有温度高、能量集中和反应气氛可控等特点，所以它在很多领 域里都获得了愈来愈广泛的应用【6 - 7 】。 在机械工业中，电弧等离子体可用于对一些具有高导热系数或高熔点的金属及 其合金进行的高速、高质量的切割以及用于难熔金属的焊接等方面。 在材料工业中，电弧等离子体应用在高熔点、高硬度金属及其氧化物、氮化物、 碳化物等粉末进行的喷涂、沉积等表面处理过程：还可用于细粉球化、生产超细粉 等。 1 大连理工大学硕士学位论文 在化学工业中，电弧等离子体也大量用在一些气相高温化学合成、同位素分离 等过程中。 七十年代出现的世界性能源危机给予电弧等离子体技术的发展以新的推动 力，使其在能源技术方面找到了新的应用领域。在能源工业中，在工程加热、冶炼、 高能电弧点火、动力转换等方面 2 2 】，电弧等离子体技术都有比较广泛的应用。 近年来，在飞行器重返大气层的相关研究领域，也广泛应用了电弧技术，主 要应用电弧的高温、可控、能量集中等特点，对飞行器的表面进行烧蚀实验，以确 定飞行器重返大气层时所受的压力、烧蚀等状况。进而为飞行器表面进行相应的处 理、固化提供依据。 1 3 电弧等离子体的螺旋不稳定性 电弧等离子体的应用中存在着些威胁平衡位形的不稳定性。由于在实际应 用中，大多数的电弧等离子体为圆柱形弧，并且利用磁场来控制电弧，因此，产 生不稳定性的能量来源于磁场的螺旋不稳定性，它已经成为一种重要的不稳定 性。 导致从圆柱形弧向螺旋形弧转变的力是洛伦兹力。弧柱内圆柱状分布的电流 的一个扰动所引起的洛伦兹力的变化不能被该弧柱内的气体压力所平衡，这样， 横向于电弧产生一个质量流，这个质量流增加了电弧的弯曲，反过来电弧的弯曲 又使该洛伦兹力增加：这个由自磁场产生的洛伦兹力能够被外加的轴向磁场放 大。因此，洛伦兹力是螺旋不稳定性问题中的不稳定因素。 电弧的弯曲能够被热作用所抵消。这些热作用包括输入的电能、对流热、传 导热，以及辐射、反应热等。这些热作用和器壁的冷却作用的共同结果，使电弧 移动与质量流之间产生了一个滑移。该滑移是螺旋不稳定性问题中的稳定因素。 1 4 电弧螺旋不稳定性的研究现状和意义 2 =垄兰堡兰苎堂塑主兰竺堡查 研究电弧的螺旋不稳定性对高压断路器的开断能力、高压光源中电弧放电的 功率输入以及聚变反应堆中防止等离子体被污染等问题具有重要的意义 8 j 。例如 在等离子体炬的应用中，我们要求抑制螺旋不稳定性的增长，以保证切割的质量； 又如当电弧发生器用作光源或标准光源时，要求电弧运行十分稳定。而电弧螺旋 不稳定性将带来弧参数的波动，这是我们所不期望的。但在某些情况下，却又要 利用这种不稳定性，如等离子体炉及等离子体弧加热，要求将螺旋不稳定性控剑 在一定的参数范围内，保证燃烧、加热的均匀性。因此，确定电弧螺旋不稳定性 的增长率无论是在技术上还是在理论研究上都很令人感兴趣。在理论研究上进行 的尝试主要有：y u e n 6 】首次采用了线性微扰理论和硬棒状电弧柱模型对轴向磁场 中p o i s e u i l l e 电弧的不稳定性进行了研究；m e n t e l 9 1 阐述了与时间无关的长柱状电 弧的线性微扰理论；e r n s t 等( 1o 】由管壁直径和气体压力关系计算了使电弧产生不稳 定性的临界电流幅度；g a e d e 1 1 1 阐述了自由磁场产生的电弧旋转机制；r a g a l l e r 【1 2 】 从完整的平衡方程出发，根据不稳定性增长率和外磁场影响的一些定性结果建立 了电弧不稳定性理论：m e n t e l 1 把与时间有关的线性微扰理论应用于基本微分方 程，为长柱型电弧不稳定性增长率的计算奠定了严格的理论基础；在此基础 上，h u e l s m a n n 等【1 4 1 对氢弧和其它气体中的低电流弧进行了研究；文献 1 5 1 采用了 抛物型电流分布；文献1 6 1 采用了线性热势电导率模型，给出氢弧和其它气体中 低电流弧的定量结果。文献 1 7 1 对电弧等离子体中存在宏观速度情况下的不稳定 性进行了计算和分析，文献f 1 8 ，1 9 针对反应热和辐射对于电孤螺旋不稳定性的 影响做了研究。 1 5 本文所作的工作 迄今在电弧螺旋不稳定性的理论研究中，基本上都采用了一些简单模型。 求矮相应的磁流体动力学( m a o ) 方程组，给出了热势分布( 温度分布) 、稳 定性条件、不稳定性增长率等的定量结果。并且都假设宏观气流速度为零瓦= 0 ， 3 大连理工大学硕士学位论文 而没有研究非零等离子体流的平衡，没有考虑存在外部宏观气流流场的情况下， 气流对于电弧螺旋不稳定性的影响。但在实际应用中，电弧常常是在具有外部气 流流场的情况下工作，气流流场被用来稳定电弧。例如，等离子体切割、喷涂的 发生器中需用气流压缩电弧，以获得高功率和高功率密度的电弧；在等离子体焊 接时，必须通入惰性气体( 如a r ) 的气流，以防止工件的氧化；高压输电线路中的 气吹断路器，需用高速气流冷却触头闻电弧，以提高断路器的开断能力；又如在 模拟飞行器重返大气层的实验中，高温电弧就是用气流加以控制的。而宏观气流 的出现，将与电弧发生强烈的相互作用，从而使电弧或气流与它们分别单独存在 时的特性有很大的变化。因此进行这方面的理论研究具有比较重要的现实意义。 本文考虑了存在外部气流流场的情况下，给出相应物理模型，分析了外部 气流流场对电弧螺旋不稳定性的影响，采用与时间有关的线性微扰理论，分别讨 论了旋转气流、纵向气流的作用，以及它们共同的作用下电弧螺旋不稳定性的特 征。导出了相应方程和满足的边界条件，给出了临界m a e c k e r s 数和不稳定性增长 率等定量结果。并讨论了相应物理参数对电弧不稳定性的影响。 4 大连理工大学硕士学位论文 第二章描述电弧运动的方程 2 1 基本方程 我们根据电弧内部各种力与粒子i n 的运动关系、能量关系以及宏观统计等方 法，列出了描述电弧内部状态的方程 5 , 8 1 ，本文采用磁流体动力学方程组来描述电 弧的运动，这组方程分别是： 连续性方程： i a p m + p 。v v = o ( 2 - 1 ) 动量守恒方程： p 。面d v = j b v p 一7 7 v v v + ；愀v _ v ) + 尸丑+ g ( 2 - 2 ) 能量守恒方程： “_dh=je+v(icvt)+q一卧d西e+中(2-3)at珊 欧姆定律： j = o - e + v x b + g 。e ) 一v p , 一( n e e ) j b ( 2 - 4 ) 麦克斯韦方程组： v e 一0 t l ( 2 5 ) v e 5 ( 2 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 v b = 胁j + a o g o 百o e ( 2 - 7 ) vb = 0 ( 2 - 8 ) 其中：目为粘性系数，e 为辐射项，q 为反应热项，成为电荷密度，算符 d d t = o o t + v v ，岛为质量密度。v 是等离子体速度，p 是等离子 体压强，h ；g + p i p 。是单位质量的焓，r 是温度，k 是热传导系数。 2 2 方程简化分析 上节给出的方程组也非常复杂，在解决实际问题中须做出一些简化。在等离 子体动力学中，常做的近似有磁近似和电磁近似。在磁近似中，电场的能量与磁 能相比小到可以忽略不计；而在电磁近似中，二者具有相同的数量级。 在我们的工作中，根据方程中物理量与实际模型的数量级关系，做出了适当 的简化。电弧放电所固有的特点，在很大程度上不同于其它形式放电和m h d 流 动的特点，它的特点是：在能量迁移过程中，焦耳热起主要作用，而在电荷迁移 过程中，外加电场起主要作用。因此，在电弧中，往往可以忽略感应产生的电场， 能量的粘性耗散，并且也常常忽略气流的动能。能够证明，感应电场项比外加电 磁场小三个以上数量级。实际上，在所有情况下，欧姆定律可以取为：j = d e 。 重力的作用一般来说很小( 小电流自由弧除外) ：重力与惯性力比值的数量 级为钱：，当定性长度z l c 州，定性速度v z l o m j 时，该比值约为1 0 。3 。静电 j p 。e 与惯性力比值的数量级为吼乡二，( 为了得到这一比值，利用了泊松方程) ， 对于空气中的弧柱，电场强度的典型取值约为2 1 0 3v i m ；气体密度比大气压下 的密度低3 0 倍；并且速度的数量级取为1 0 2 m s ，算出这一比值近似为l o ，因 此，静电力同样可以忽略。 6 大连理工大学硕士学位论文 能量方程中，粘性耗散项的数量级为么z ，而导热项的数量级为2 h 。三z 其比值为竺：p ，( r - 1 ) m ：，其中p ，是普朗特数，是比热比，m 马赫数。 a j t 由于等离子体条件下，p ， 1 ，y “1 0 8 1 3 0 ，i _ y 4 ，当气流速度不很大时 ( 永o 3 ) ，耗散热与导热项比值约为1 0 ，故耗散项可以略去。另外，气流的 动能与气体介质的焓之比值为面, 1 2 2 同样，当m 0 3 时，该比值的量 级小于1 0 也，所以，能量方程中可用h 近似代替滞止焓= 矗+ 。此外，辐射 二 能量平衡项中的辐射吸收系数可以忽略。 故在本文电弧研究中，通常忽略感应电场，忽略粘性耗散热，忽略气流的动 能。 欧姆定律取为j = d e 的说明如下：因为电弧等离子体中，沿电流方向的电场 起着焦耳加热的主要作用，因此方程( 2 4 ) 中的最后两项均可以忽略。多种电弧的 v b 项或者近似为零，或相对于e 可以忽略。如对纵吹弧，气流方向与电流方 向一致，因此v b 项对欧姆定律无贡献；对旋转气流扰流电弧，则气流切向速 度平行与弧电流感应的磁场，即v x b “0 ；对横吹电弧，实践中典型的数据为 v x b 。2 x 1 0 一，因此v 。b 也可以忽略。总之，通常对电弧的欧姆定律简化为 e j = 皿。 对于本文研究的纵吹气流稳态弧在很多情况下，具有流体力学中熟知的边界 层特点：1 、从电极出发的电弧弧柱的直径沿轴向是逐渐增加的，但其增加的速 度比轴向坐标慢得多；2 、轴向的速度梯度和温度梯度大大小于( 几乎总是) 径 大连理工大学硕士学位论文 向的速度和温度梯度：誓 竽，孕c 祟；3 、径向速度和电流密度大大小 ( zo ro zo r 于轴向速度和电流密度：v ，c v ：，j ，c ，：。在等离子体定常流动中，没有速 度径向分量，即v ，= 0 。 在等离子切割、喷焊、气吹断路器中的电弧均属纵吹弧类型，所谓的纵吹弧 是指吹向电弧的气流运动方向与电弧弧柱的轴线相重合，当然，不排斥某些情况 下存在切向速度的分量。这种纵吹的气压缩弧常常是柱对称的，故可把方程组写 成柱坐标形式。 2 3 简化的基本方程 经过上面的简化分析，我们可以得到，描述电弧的状态方程可以写成下面形 式的出发方程： 警帆v v 一 ，(2-9) j b v p 一叩v v v + 昙叩v ( v v ) ：o ( 2 - 1 0 ) 几百d h = j e + v ( 胛r ) ( 2 - 1 1 ) j = 征 ( 2 1 2 ) v e ：0( 2 1 3 ) v e = 0( 2 - 1 4 ) v b = 风j ( 2 1 5 ) v b ：0( 2 - 1 6 ) 在电弧中，由洛伦兹力引起的相对压力劬勿 1 0 ，所以忽略输运系数对压 力的依赖关系。引进热势战乃( 一个新的”温度”) 来消除热传导系数蒯温度的依赖 大连理工大学硕士学位论文 关系 1 4 2 0 并取 9 s ( 7 ) = l j c ( t ) d t 但一l 乃 c 画- d h d ( 1 协”) ， 阻2 d 一辩s 0 ， d s d t = ( - - v i c + v ) v s 其中、表示取平均值，岛、a m 为常数，忧为弧柱的滑移速度。利用上面的表示 和( 2 1 7 ) 式可将能量守恒方程简化，使计算方便。 根据以上简化方程，把方程( 2 9 ) 代入方程( 2 - 11 ) 中， 利用上面引入的参数，推导得出能量方程的另一种形式： 姗j e 叫嚣w 钏( 2 - 1 8 ) 利用描述电弧的方程( 2 9 ) 一( 2 - 18 ) ，本文对电弧螺旋 不稳定性做出了理论的分析，给出了相应模拟的结果。 9 大连理工大学硕士学位论文 第三章电弧稳态平衡解 为清晰起见，本章及以后各章用上角标拥表示弧柱内，上角标o u t 表示弧柱外，下角标0 表示稳态量，下角标l 表示扰动量，下角标c 表示在弧柱半径凡处，下角标旯表示在通道半径处。 为确定电弧内部的基本性质，我们有必要对电弧的基本状态进行求解，此 时得到的电弧的特征方程的解，对了解电弧的特征、验证电弧描述方程的正确性、 以及为进一步模拟电弧方程提供了可靠的依据和坚实的基础。 3 1 出发方程 为求得电弧的稳态平衡解，我们可以从描述电弧的基本方程出发，由上一章 的简化方程出发，我们有出发方程为： j x b - v p 一和v v + 詈愀vr v)=。(3-1) j = o e v e = 0 v e = 0 v 1 3 = o j v b = 0 丛+ j e _ a v 6 - + 7 6 j c 。v s = 。 u 一 3 2 稳态平衡方程 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) ( 3 7 ) 查堡垩三垄堂翌主兰堡垒查 采用双通道模型，设稳态平衡时电弧是半径为一的无限长圆柱，宏观气流速 度为零。考虑到问题的轴对称性，取以弧柱轴线为z 轴的柱坐标系( r ，( p ，z ) ，平衡 矢量j 。和e 。皆指向z 轴。选用抛物线形电导率模型，即柱内电导率为： 盯= c y o ( r ) = c r o ( 1 一争2 2 ) ( 3 - 8 ) 其中e 是待选取的参数。柱外仍然视为真空区，即柱外电导率盯= 0 。 这样由出发方程和以上的假定可得稳态方程： j 。= 吼e o ( 3 9 ) v x e d = 0 ( 3 - 1 0 ) v e = 0 ( 3 1 1 ) v bo = t o j o( 3 - 1 2 ) vb = 0( 3 - 1 3 ) 里o a e o ：一，。( ，) 鼠( r ) ( 3 - 1 4 ) 甜 丛o ( ，) + ( j e ) o = 0 ( 3 1 5 ) 由上面方程，再加上边界条件( 见第五章) ，就可求得稳态平衡时的各物理 3 3 稳态电磁平衡方程的解 1 、稳态电磁场的解 由稳态电磁平衡方程，可求得个物理量的稳态解的形式： e o = e o e ： ，。= 仃。c r ，e 。= 仃。e 。 一毒事 e ： 由电磁场的关系，以及( 3 1 6 ) 矛1 1 ( 3 1 7 ) ，可以得到： ( 3 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 ，= ：万r 。，。c r ，毋= m j2 g o e o ( ，一2 孝 由( 3 - 1 2 ) 、( 3 - 1 3 ) 以及( 3 一1 7 ) 得： 耻 譬胁卟 从而可推得 吖2 茅卜圭2 ， ” 2 ( 1 0 5 a 、一7 9 b 。“= f 所，( 2 ) 】e 。 2 、稳态压强的解 利用( 3 - 1 4 ) 、( 3 - 1 7 ) 年 i ( 3 1 8 ) ，可得： 聃乓1 胪；霹卜噶，4 专寸c 设外通道压强为瓦，利用连续条件：彤“以) = 磊= 掣也) 可得： 胃罐轳1 州k 卅菘一) + 嚣一) 甲k ) = 瓦= 掣眈) 3 、能量平衡方程的解 由方程( 3 1 5 ) ，通过其齐次方程的解的形式，可以假设由方程 瓯= 一盯。( r ) 曰 j 斟辨砜( ，一等pj ；万r 苫j - 可o 卜严 的特解设为：a r 4 + b r 2 ，所以可得 彳= 警，一监41 6 一 ( 3 - 1 8 ) f 3 1 9 1 ( 3 - 2 0 ) r 3 2 1 ) 大连理工大学硕士学位论文 再利用条件：s o ( ，) 有限，和窖曼! ：! 孚! a t 甜 以及 鄙“( r ) = 0 的解，最终可得热势函数的表达式为： 鼯= 擎偿 蹄r ：掣f ， 斗竿( t 一争毒+ 竿( z 一言) p z 2 ， 圭1 l n 竺 2j7 ( 3 - 2 3 ) 外加轴向磁场设为b a ，其中，= 癣晶( 1 一o 5 善) ，j 。= ( 衫) ， f m = b o 佃芦( t ) ，瓦为外通道压强值。 通过对电弧稳态解的分析，就可以判断出电弧内部状态分布情况，尤其是对 其压强、电流和温度场分析看出，其内部状态分布符合对称性和一定的曲率分布， 符合客观规律，这对于研究外部气流对电弧的影响提供了定的理论依据。 大连理工大学硕士学位论文 第四章扰动方程与求解 在上一章中，对电弧的稳态特性进行了求解，初步了解了电弧的基本特性和 内部状态分布形式，但要具体分析电弧的工作参数和稳定特性，以及想深入了解 电弧工作中，外部气流作用下电弧的特性变化和稳定的工作区间，还需要对电弧 的扰动特性进行分析与求解，本章的内容将就此方面进行推导和论证，给出了具 体的理论分析和定性的表达式。 4 1 线性微扰理论 设电弧产生一个螺旋形的小扰动，其边界方程为： ，= + te x p ( f 一i k z ) ( 4 - 1 ) 其中：岛为扰动振幅，岛 r 。变形的弧柱表面外法矢量为： n = e ，+ i g 。e x p ( i 一f 舷) ( i l e 。+ k ：) ( 4 2 ) 这时扰动的各物理量都可以展开为： a = a 。p ) + a 。 ( 4 - 3 ) 其中一o 表示未扰动时的平衡量。彳l 为小扰动量，取下面形式( 本文中带 的量的意义都同下式中带的量的意义) a 。= 互o ，k ，t ) e x p ( i b 一k z ) ( 4 4 ) 在弧柱表面上连续物理量的边界条件可写为： ( t f 1 + 矾如) ) = o ( r = r c l 扣j - ) ( 4 - 5 ) 其中 表示电弧柱内外物理量在边界处的差值( 下同) 。 1 4 大连理7 - 大学硕士学位论文 加入外部气流后，我们引入气流作用项，采用双通道模型，设稳态平衡时电 弧是半径为心的无限长圆柱，通道半径为管壁半径为r 。考虑到沿径向气流速 度通常很小 2 1 ，外部气流取如下形式 其中轴向气流( z 方向) 取抛物线形式 v o ( r ) = d ，2 + b ( 4 。7 ) 这样在推导微扰方程中，我们可以把气流对电弧的作用效果直接反映在方程 中，而气流的作用形式取抛物线形，符合气流运动的连续性和对称性。 4 2 微扰方程 为了推导微扰方程，需要从出发方程入手，利用量子力学的微扰理论，对出 发方程进行微扰处理，同时，对方程进行必要的代换处理，以便于更好的利用数 学手段。 4 2 1 动量扰动方程： 将出发方程( 2 1o ) 进行变换处理，利用方程( 2 1 0 ) 中的z 分量，以及算符d i v 和c u r l 的形式，采用下面的变换：引入 q i ：；r v 。v 1 一# ( 4 8 ) 。= 三一# ( 4 8 ) 0 9 1 = v v l ( 4 9 ) 暇：，扩口一拿( 4 - 1 0 ) 将各扰动物理量表达式中的物理量按( 4 3 ) 形式展开，并代入出发方程( 2 1 0 ) 1s 大连理工大学硕士学位论文 中，略去扰动方程中的零阶量和二阶小量，应用方程( 4 4 ) 给出的形式，推导 可得动量微扰方程为 2 3 ： 其中 h q l 一2 j 1 ：o = 0 叮】：+ q - 1 v x 0 b ) 1 ： 何挚_ a - i 旦唑+ 野。( j 。b ) ，：o d z沈 v ( j b ) = 一胁，2 ( 4 - 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 一1 3 ) v v ，= 口1 出，+ ( j e ) 。】 4 2 2 电磁场扰动方程： 对电磁方程( 2 1 2 ) 啦1 6 ) 进行微扰处理，同样按( 4 3 ) 形式展开，略去扰动方 程中的零阶量和二阶小量，并应用方程( 4 4 ) 给出的形式，可得到电磁微扰方 程为： v e 1 = 0( 4 1 4 ) 4 2 3 能量扰动方程： v e 1 0 j1 ( r ) 2c r o ( r ) e f f r ) + c r l ( r ) eo ( z ) v b 1 = 肋j l v b l = 0 ( 4 1 5 ) ( 4 - 1 6 ) ( 4 - 1 7 ) ( 4 - 1 8 ) 式和( 4 3 ) 、( 4 4 ) 的变换方法，还要用到( 4 6 ) 式，并且利用 罢“。驯一k z ，_ ) d s o ：v l a v s 瓦一5 c 蹦p 舻一，毋一。6 ，。：三矾。+ f 盟+ 盟 v lr 2 一2 i “荔 螨吖b ) 警啬苇芽计 叫降譬t 肛哦吉 螨“彳警砌锵2 酽 口口 一f 2 一i 1 i 叫悸+ 譬t 妻 洚z 。， 在上述微扰方程中，= 鼢；玩；参+ 南一( 1 + 古) 为虚宗量贝塞尔算 f2 ( p ) = l厂一：q 芳 大连理_ t - 大学硕士学位论文 黝= 如譬一卜 韩哆2 吲) z n 4 + 鑫； 弓。确- 2 s a 有了上面的动量、电磁量和能量微扰方程，就可以对它们进行求解，进而得 到相应的微扰量的表达式。 4 3 扰动方程的解： 为求解上述微扰方程，引入辅助量的无量纲形式( 上角标+ 表示无量纲 形式) 。一生鱼 q 1 一i t o j ；p 。 珊“k 2 r l 成l 。 ，i q ：) 4 3 1 扰动电磁量推导： 利用电磁扰动方程( 4 一1 4 ) 和( 4 15 ) ，并利用边界条件 j n l = 0 ( 4 2 1 ) h 一2 2 ) ( 4 2 3 ) “一2 4 ) 撅飘舻一胤 墨一甄 = 一 矸 垄堡墨三查堂壁主兰堡垒墨 的一阶项条件： ( 矗+ ：n ：】，= 0 可以得到电场： 驴叫诽咖，+ 半旷擀 z s ， 在利用准中性条件：v j = 0 ，即： v h ( ，) e 】l + v h e 0 = 0 ( 4 2 6 ) 可以得到表达式： 仃。= 2 0 - 。眚乓糸力 ( 4 2 7 ) p 2 利用公式( 4 1 6 ) 以及( 4 2 5 ) 、( 4 - 2 7 ) ，利用数学推导，可得到下面的电流的扰动量 形式： 瓦i m o 巧j o ( ，一善珈力 护，m 。o j ，o 善( 妄 古忡， 阡2 s ， 珏一m o j 骘o ”f ( 一孝珈矿警叫 对于磁场的扰动量，利用公式( 4 1 7 ) 和( 4 1 8 ) ，并n n ( 4 2 8 ) 以及边界条件，可得 耻，m o b 髯o 。 i ( 唼枷小蝴户) 硝m 。b 髯。k 。i 蜴警+ ，一去一钭 汁z ， 弘篙b 卅骞棚 大连理工大学硕士学位论文 b , 7 = 一i m 。b o t ，? k ：( p ) 瞄= m o b o ，j k l ( p ) 二 ( 4 3 0 ) 口 i b l 7 = 一m 。b 。，；e ( 户) 表达式中，p = k r ，i i ( p ) 及后面的蜀( 力为一阶虚宗量b e s s e l 函数，带撇 号( ) 的表示求导数，不带自变量的函数指p = 成处的值，例如 i l ；d i 文国d a 、，k i ；d k , ( p ) d p 等，b “；盹j 。捧，m 。= 竿， 9 叫牛( ，+ 舢昏 4 3 2 动量扰动解： 幂l jj n ( 4 - 1 1 ) 和( 4 2 1 ) ，并利用上面解得的电磁扰动量的解，可以推得下面的解 的形式： 并“= c l l l ( p ) 十q ：q 专p i a ( p ) 2 】+ q 【( q 一5 2 一勿) 孝一p ；】口，l ( ，) + 【o 5 一1 3 善( 6 0 p ；) 眚d 2 ，( 尸) + 1 + 4 3 善( 6 0 ，；) 和3 1 1 ( p ) ( 4 - 3 1 ) 一3 1 i a ( p ) 2 + ，( p ) 】考2 p 4 ( 1 0 p ；) ) 并“= c 2 ( p ) + 岛k ( 力 ( 4 3 2 ) 利用( 4 9 ) ，( 4 1 2 ) 和( 4 2 2 ) ，并利用 v x ( j x b ) 。= v 【( j ，x b 。) + ( j 。x b 。) + ( j 。x b 。) 】； w = 警印 b 。= o 5 f m u o j o e ： 可以推得下面的解的形式： 大连理工大学硕士学位论文 扬= c 4 ( 力+ q 2 q 研；4 + 孝2 ) ( p ) 一彩( p ) 6 一争2 = 0 = 0 ：o g o = 0 ( 5 一1 ) ( 5 2 ) ” h 川 h h 大连理工大学硕士学位论文 4 限制性的附加条件。 ：o 船 5 2 微扰方程的边界条件 在上一章中，得到了关于电弧等离子体的微扰方程和微扰解，但对于微扰解 的系数c i ( i = l ，2 ，1 2 ) 是未确定的，确定这些系数，需要根据电弧等离子体的特 性，利用弧柱内外间的连续性和有限性等特性推出的边界方程来确定。 根据气流与电弧的边界连续性，可以利用公式 = 0 来表示。由此 可推得： ：o ( 5 - 1 1 ) o po p _ 0 ( 5 - 1 2 ) d d 利用上面的公式，并根据在器壁处p = 尺) 热势等量为零，在弧柱边界上p 刊 热势、气体速度、总压力、热流密度和粘滞应力都是连续的条件，得到下面的边 界条件： 墨。”( 以) = 0 ( 5 1 3 ) 面瓢p 。) + 暑喊一p 牙似) = 。o 讯) 历( p 。) = 0 彤。“( 几) = 0 0 ( 5 1 4 ) ( 5 - 1 5 ) ( 5 1 6 ) ( 5 1 7 ) 大连理工大学硕士学位论文 争+ 蕊1 z o 似j b ) 1 ， d p j i p 。 t祟掣k。：o(5-18)-2 、l t ! i 、p c a d j p ”p 。、 警一羚石i a o j o p 。- 4 - i k ( j 吼k 矿。 一 一_ _ b j 】1 舻p ，= u d pp 秘+ 志腑( j b ) 。 r 5 - 1 9 ) 蝇芒掣k 。：o ( 5 - 2 0 ) j i p c o , o _ 0 = 0 。叠，：立 d p死p ? c + 警 争l 而* l k 3 i 可a v o ：( r ) p k 。= 。 dp往a p、u n ：?a p ” 还有限制性附加条件： 慨 争p o 。+ 墨( 础= o 盘 。 ( 5 - 2 1 ) ( 5 2 2 ) r 5 2 3 ) ( 5 - 2 4 ) ( 5 - 2 5 ) 5 3 微扰方程系数的确定 根据上面的边界条件可求得常数c 。( f = 1 ，1 2 ) 如下： c ，= 4 ( 鲁一鲁 c ，一砉q ：q 和z 一等f ( q 也s 一言一p ；卜， + p 嵩扣+ ( z + 筹p 卜s ( 州) 等卜锱 + 丽a s c 6 + j j ；i 了融。爿( 4 ，。+ 4 ：。+ s 。) 一p 。；c + 一；c + a ；c ) 】 垄垄堡三垄兰翌主堂堡丝圭 c z = 万a 6 c ，+ 石忑1c e + 赢蜊屯鹄c + 4 s c ) 嵋础i c + 4 ；c + 驾c ) 】 c ，= ；q 2 幽 ( 去+ 。 一跏 ( q 1 - 2 5 - 亏pz 垮一p ；i 去+ 成j 一溉小s - 豢m 。2 ，：) 一呶厶l + 篙眵即m 协_ ) + 普警m 。“s 以诅5 厶) + 扫洲2 。e 2 + 缴_ 坝o s 一番j 慨2 f ( q 1 - 2 5 - 孝, k 卅】+ 娩4 印( ，+ 篆 + 觜 一南卜m 。孙z 19 瓦1 i + l 卜言吖卜自厕j 3 孝2 翰成3 1 , 1 0 f 1f1 p i 成j c 。= 甓筹捌 等一百m l 一瓦v 碉o ( 1 - e ) 一等 m 1 + 去( c 2 t r + c 3 k ：r ) c ；：t , i 去( c 2 i ：r + c 3 k 1 r ) 一习篙葡 等一百i 1 一瓦m 丽o o - 手) 一等 ， 厶f m 。m 1 丝q q 二圭! 一兰生i 一伍，j ：- i , k 1 ) lej ，2 成( 1 一o 5 9 ) 引 q ：掣22 一；g ，。p 。鲁一：g ，。尸；( p 。芸一 一百1g 。p 。( p 。一2 尝 糍煎眠 大连理工大学硕士学位论文 c 9 亟曼兰蝗二圭望。1 4 ( x ，1 1 。一i a k 。) c t o - 黔哗沪屯_ 。_ 。挣硝专 + 曙( c ：f 蜗训+ 1 卜c 矧量叫扩 卜即硝t 一砉j 一弘p r 。( c ：，i s + c 3 k c 1 1 = m 等黔2 弘2i 2 p ：呜柏钏 一i k l r 8 ( i 。k 1 + p 弘。叫“2 五如协眦一如地) 彘( c ：i r + c 3 k ；r ) c 】2 - ；k + p c 2 i ? 哏2 f 2 b ：一成( 以叫。叫。) + ；“五+ 正墨一，浑i ) c ，+ 成，：o 。+ 4 ：。+ 坞。) 其中1 1 。；，。( 艘) ，k 。= 墨( 斌) 。而a m k o 时，电弧为不稳定的。当 尔m 殆时，电弧为稳态的柱形。当 m k = m k g 时，电弧为稳态的螺旋形状。而对于自磁场产生的螺旋不稳定性增长率 骗来说，当骗小于零时，有利于电弧的稳定，相反，当疡大于零时，增加了电 弧的不稳定性。因此，通过对临界m a e c k e r 数m k g 和自磁场产生的螺旋不稳定性 增长率编的理论分析，可以获得电弧稳定性的具体参数。 大连理_ t - 大学硕士学位论文 第七章计算结果与讨论 通过前几章的理论分析和推导，得到了关于电弧状态的描述方程，同时，也 分析了电弧螺旋不稳定性的理论，并就具体问题，气流对电弧稳定性的影响，进 行了理论分析和推导，导出了相应方程和满足的边界条件，通过这些方程和条件， 本章进行了数值模拟和计算，给出了具体的电弧稳定范围和气流影响效果。同时， 就其它相应参数的影响也给予了一定的讨论； 7 1 气流对电弧稳定性的影响 在模拟计算中，首先计算了在一定条件下，外部气流对电弧稳定性的影响， 其中计算的部分参数如下：，= 1 8 彳，7 = o 1 1 ，r = l o m m ，掌= o 0 0 5 ，计算 结果如下： 国1 ：纵向气流取抛物线形式作用的结果。( i ) 和( h ) 分别为l 晦界m a e c k e r 数和不稳定性增长率qo 随波长 a 2 7 吠变化的曲线。a 分别取：0 5 ；0 0 ；一05 ，参数b = o 0 3 0 大连理工大学硕士学位论文 图1 是取纵向气流为简单抛物形式时的作用效果。当系数a 取负值，参数b 和。o 取值为零对，即气流方向与电弧螺旋扰动方向一致时，相应的临界 m a e c k e r s 数m k g 比无气流情形的m k g 高，稳定区域增大；而不稳定性增长率 x ? o 比无气流情形的骗低，因而增强了电弧的稳定性。反之，当系数a 取正值时， m k a 低，稳定区域减小，而编高些，电弧趋于不稳定。这说明气流对电弧是有 稳定作用的，但是从影响的幅度来看，作用效果并不是很明显。 圈2 ：纵向气流取恒定形式的作用结果。( i ) 和( i i ) 分别为临界m a e c k e r 数和不稳定性增长翠oo 随波长 , t 2 ，埔变化的曲线，b 分昱u 取0 0 5 ；0 0 ；一0 10 5 ( m s ) ，参数f 0 0 。 图2 是纵向气流取恒定形式的作用效果，即参数b 取一定的值，但是参数a 和 参数uo 均取为零。对照图1 ，作用效果比较明显。当系数b 取负值时，相应的m k a 增高，稳定区域增大显著，同时电弧的稳定性也明显提高；反之，当b 取正值时， m k g 低，稳定区域减小，而硒高些，电弧稳定性降低。 从图1 和图2 对比可以说明，纵向气流的稳定作用对电弧是有很大影响的，而 由于电弧半径一半都较小，因此，相对来说，对于抛物形气流的益率不能太大， 这样气流的抛物形参数在取值时，相对来说，是参数b 对电弧的稳定作用更明显 此。 大连理工大学硕士学位论文 ( i i ) 2 。f 。：一。： 1 5 0 0 f 。：一。i ：0 2 0 。5 昌1 引驴风 j n ： ofo5 0lo o 一5 0 0 ja - 一0 1 一l o o ol 6 2 一o 0 5 2 r 图3 ：轴向气流取通用形式作用的结果。( i ) 和( h ) 分别为临界m a e c k e r 数和不稳定性增长率qo 随波长 a 2 艘变化的曲线。a 取一0 1 ；b 分别取00 5 ，0 0 ，一o 0 5 ( m s ) 。 图3 是纵向气流取通用形式时对电弧稳定性的影响。结果表明当a 、b 同时取 负值时，对电弧的稳定作用明显，稳定区域增大显著。从此图也可以验证常数项 确实起主要作用。 图4 ：旋转气流0 3o 作用的结果。( i ) 和( i i ) 分别为临界m a e c k e r 数和不稳定性增长率f # o 随波长 五2 z r 变化的曲线。分别取0 1 ；0 0 ：一0 1 ( r a d s ) 参数a = o 、0 ，b = o 0 。 图4 考虑只加入旋转方向的气流的作用。当气流的旋转系数uo 为正时，即旋 3 2 大连理工大学硕士学位论文 转气流方向与电弧螺旋扰动方向一致时，i 临界m k g 增高，稳定区域增大显著，稳 定性也有所增加；当mo 为负值时，m k g 降低，稳定区域减小。但从图中可以观察 到，旋转气流对电弧的稳定性影响效果不大，而对于电弧的稳定区域有明显的增 加作用。 图5 ；旋转气流和轴向气流共同作用结果。( i ) 和( i i ) 分别为临界m a e c k e r 数和不稳定性增长率n 。随波长 a 2 z r 变化的曲线。取01 ( r a d s ) ；a 取一0 1 ；b 分别取0 0 5 ，0 0 ，一0 0 5 ( m s ) 。 图5 是外加气流的综合作用图。当旋转气流6 3o 为正值，纵向气流为负值时， 电弧的稳定区域和稳定性都明显增加。当改变纵向气流b 的符号为正时，稳定性 变弱明显，但稳定区域还是比未加气流时增大。 综上所述，纵向气流和旋转气流对电弧的稳定性确实起作用，尤其是纵向气 流，起着重要的作用，而旋转气流的对电弧的稳定区域的增加效果显著，因此， 当纵向气流和旋转气流一同作用时，对电弧的