（应用数学专业论文）饱和中立型时滞系统的渐近稳定性及l2性能分析.pdf

哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 饱和中立型时滞系统的渐近稳定性及三：性能分析 摘要 在控制系统中，非线性约束普遍存在，而在各种非线性约束中，执行器饱 和约束是最为常见的一种，它使得系统控制问题变得复杂，无论从理论研究还 是实际应用的角度都迫切需要给予解决。此外，时滞现象也是普遍存在的，在 一些控制系统中，不仅状态中有时滞，而且状态导数中也有时滞，即中立型时 滞系统。当饱和约束和中立项同时存在于时滞系统中时，无论饱和以哪种方式 存在都会使得问题变得更加难以解决。因此，对饱和中立型时滞系统的研究具 有重要意义。 本文研究了饱和中立型时滞系统的渐近稳定性及厶性能分析，主要采用 l y a p u n o v 方法，结合线性矩阵不等式等工具，给出了几种类型的饱和中立型时 滞系统的渐近稳定性判据及：稳定性判据，同时给出复合控制器的设计方法。 本文从以下两个方面进行研究，具体如下： 首先，研究了饱和中立型定常混合时滞系统、饱和中立型分布时滞系统和 具非线性扰动的饱和中立型时滞系统的渐近稳定性问题。基于l y a p u n o v 稳定 性理论，结合线性矩阵不等式方法分别给出了系统渐近稳定和鲁棒渐近稳定判 据，同时给出了复合控制器设计方法。由于所得的判据是以线性矩阵不等式描 述的，所以可以方便地用来估计系统的吸引域。 其次，研究了饱和中立型定常混合时滞系统、饱和中立型分布时滞系统和 具非线性扰动的饱和中立型时滞系统的三：稳定性问题。基于线性矩阵不等式相 关理论，设计出两个相互嵌套的集合，使得当外界扰动存在时从较小集合出发 的闭环系统的轨迹仍包含在较大集合中，同时能保持闭坏系统是工：稳定的。此 外，当外界扰动不存在时，相应闭环系统是鲁棒内部稳定的，并且较大集合包 含在闭环系统的吸引域内，即它是收缩不变集。 关键词执行器饱和；中立型时滞线性系统；渐近稳定；：稳定性；收缩不变 集 哈尔滨理工大学理学硕f ：学位论文 a n a l y s i so fa s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dl 2 - - p e r f o r m a n c e f o rn e u t r a ld e l a yl i n e a rs y s t e m sw i t ha c t u a t o r sa t u r a t i o n a b s t r a c t i ti sw e l l - k n o w nt h a tn o n l i n e a rc o n s t r a i n ta l w a y se x i s t si nc o n t r o ls y s t e m s i n v a r i o u sn o n l i n e a rc o n s t r a i n t s ，a c t u a t o rs a t u r a t i o na p p e a r sm o s tu s u a l l y a n d c o m p l i c a t e st h es y s t e mc o n t r o lp r o b l e m s i ti sd e s i r e dt os o l v et h ep r o b l e m si nt h e o r y o rp r a c t i c e f u r t h e r m o r e , d e l a yp h e n o m e n o na l s oe x i s t se v e r y w h e r e t h e r ei sd e l a y n o to n l yi ns t a t eb u ta l s oi nd e r i v a t i v eo ft h es t a t e ，n a m e l yn e u t r a ld e l a yl i n e a r s y s t e m s w h e nt h es a t u r a t i o nc o n s t r a i n ta n dn e u t r a lt e r me x i s ti nt h ed e l a ys y s t e m ， t h ep r o b l e mi sm o r ed i f f i c u l tt or e s o l v er e g a r d l e s so ft h ew a yi nw h i c ht h es a t u r a t i o n e x i s t si nt h en e u t r a ls y s t e m s oi ti si m p o r t a n tt os t u d yt h en e u t r a ld e l a ys y s t e m sw i t h a c t u a t o rs a t u r a t i o n i nt h i sp a p e r , b o t ha s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n dl 2 - p e r f o r m a n c ef o rn e u t r a ld e l a y l i n e a rs y s t e m sw i t ha c t u a t o rs a t u r a t i o na r ed i s c u s s e d ，m a i n l yu s i n gl y a p u n o v a p p r o a c ha n dc o m b i n i n gw i t hl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) s e v e r a lt y p e so f s a t u r a t e dn e u t r a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yc r i t e r i o na n d , 2s t a b i l i t yc r i t e r i o na n dt h e c o m p o s i t ec o n t r o l l e rd e s i g nm e t h o da r eg i v e n b o t ho ft h e a b o v ep r o b l e m sa r e s t u d i e di nt h i sp a p e r i ti so r g a n i z e da sf o l l o w s ： f i r s t ，t h ep r o b l e m so fa s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es a t u r a t e dn e u t r a ls y s t e m sw i t h m i x e d d e l a y s ，d i s t r i b u t e dd e l a y sa n dn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n sa r es t u d i e d b a s e do n t h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，t h es y s t e ma s y m p t o t i cs t a b i l i t yc r i t e r i aa n dt h er o b u s t a s y m p t o t i cs t a b i l i t yc r i t e r i aa n dt h ec o m p o s i t ec o n t r o l l e rd e s i g na p p r o a c ha r eg i v e n i nt e r m so fl m i s i ti sc o n v e n i e n tt oe s t i m a t et h ed o m a i no fa t t r a c t i o nb e c a u s et h e c 6 t e r i aa r el m i s s e c o n d ，t h ep r o b l e m so fl 2 一s t a b i l i t yo ft h es a t u r a t e dn e u t r a ls y s t e m sw i t hm i x e d d e l a y s ，d i s t r i b u t e dd e l a y sa n dn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o n s a r es t u d i e d u s i n gl i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t ya p p r o a c h ，t w os e td o m a i n sw h e r et h es m a l l e ro n ei si n c l u d e di nt h e l a r g e ro n e a r ed e s i g n e d w h e nd i s t u r b a n c ee x i s t s ，t h et r a j e c t o r i e so ft h ec l o s e d - l o o p s y s t e mf r o mt h es m a l l e rs e tc a na l s or e m a i ni nt h eo t h e ro n e ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n g i i 哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 c l o s e d l o o ps y s t e mi sf i n i t eg a i n 厶一s t a b l e i na d d i t i o n , w h e nt h ed i s t u r b a n c ed o e sn o t e x i s t ，t h ec o r r e s p o n d i n gc l o s e d - l o o ps y s t e mi sr o b u s ti n t e r n a ls t a b i l i t y , a n dt h el a r g e r o n ei si n c l u d e di nt h ed o m a i no fa t t r a c t i o no ft h ec l o s e d l o o p s y s t e m ，s oi t i s c o n t r a c t i v ei n v a r i a n t k e y w o r d sa c t u a t o rs a t u r a t i o n ，n e u t r a ld e l a yl i n e a rs y s t e m s ，a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , , 2 一s t a b i l i t y , c o n t r a c t i v ei n v a r i a n ts e t i i i - 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文饱和中立型时滞系统的渐近稳定 性及l 2 性能分析，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人 已发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：蠡缸迸矬，日期：触净争月户日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 饱和中立型时滞系统的渐近稳定性及l 2 性能分析系本人在哈尔滨理工大 学攻读硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔 滨理工大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈 尔滨理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论 文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密，口在年解密后适用授权书。 不保密团。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：施杰选 日期：如务甲月彦日 导师签名： 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题来源及研究的目的和意义 1 1 1 课题来源 本课题属于理论研究范畴，来源于指导教师正在进行的国家自然科学基金 项h ( 1 0 7 7 1 0 4 7 ) 。 1 1 2 课题研究的目的和意义 近几十年来控制理论飞速发展，传统的稳定性得到深入研究，同时还提出 许多新的思想，如鲁棒控制、容错控制等。但是真正被实际工程广泛采用的新 内容却不多，原因在于实际控制系统中，非线性约束普遍存在，目前对非线性 的研究还不是很完善。一般地，在控制系统中存在的非线性包括饱和 ( s a t u r a t o i n ) 、死区和磁滞等，其中饱和是控制系统非线性问题中较为常见和重 要的一种非线性。 事实上，在实际控制系统中，控制器大都是通过执行器来驱动被控对象 的，因此执行器的饱和限制必然使得系统的状态受到约束。物理结构决定了执 行器的输出量及输出的变化率( 速率) 不可能任意大，也即其输出量及输出速率 都具饱和特性，或是为安全而人为加入的饱和，如控制系统中的限幅器。 众所周知，饱和执行器能够严重地降低闭环系统的性能，并且在干扰比较 大等极端的情况下，甚至可能导致系统不稳定，造成严重的后果。另外，从理 论方面讲，执行器饱和等的硬性非线性的控制问题结果往往都是很难去处理 的，对执行器饱和的限制最后化为状态或部分状态的约束问题，给控制系统的 分析与设计及优化问题带来了很大的困难。 另外，在一些控制系统中，不仅状态中有时滞，同时其状态导数中也有时 滞，即中立型时滞系统。中立系统在实践中是普遍存在的，例如中立型泛函微 分方程是输电线中电压与电流波动的自然模型，喷气式飞机涡轮发达动机系 统，传输线问题中电压和电流的变动模型；同时中立系统也经常出现自动控 制、人口动态研究中。注意到，由于中立项的存在，使得这种系统的分析比通 常的系统更加困难。 在实际系统中，执行器饱和往往也存在于中立型时滞系统中，无论饱和非 线性以哪种方式存在于中立型系统中都使得问题变得更加复杂。因此，执行器 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 饱和的中立型时滞系统的分析与设计问题再次受到人们的广泛关注，分析和设 计带有饱和非线性的系统具有很重要的意义。这个问题不仅仅是理论上的挑 战，同样在实际中是相当有必要去解决的。 1 2 国内外研究概况和发展趋势 1 2 1 饱和控制系统国内外研究概况 早在1 9 6 2 年，f u l l e r t l 】指出，若一个输入饱和系统的积分器长度万2 ，则 不存在使系统全局稳定的饱和线性反馈控制。从历史的观点看，他开创了线性 控制受限系统研究的局面。可惜的是这个具有重大意义的成果在随后2 0 多年 里都没有被有关学者所认识。s o n t a g 和s l l s s 舢“2 1 在1 9 9 0 年发表的一篇文章在 很大程度上激活了人们对有界控制线性系统的研究热情，这篇文章指出广义的 有界控制约束的线性系统一般只有运用非线性控制才能达到全局渐近稳定，这 个结论在某种程度上验证了以前f u l l e r 的研究成果。 近十多年来，饱和控制受到了人们的重视，并在这方面已经取得了一定 的成果。从对饱和控制系统的处理策略上来看，一类是“直接法一，一类是抗 饱和( a n d - w i n d u p ) 方法。 1 直接法 所谓的直接法【3 t 4 】是指在一开始就将执行器传感器饱和直接考虑进去，然 后设计控制器研究闭环系统的稳定性，此方法的核心是判断出系统是否可以采 用有界控制来获得( 全局) 渐近稳定。早期关于零可控区域( 也称为可控集) 的研 究多数和时间最优控制联系在一起【5 一。文献 7 】指出，一个有界控制渐近零可 控( a n c b c ) 系统的渐近零可控区域是整个状态空间，所以对于这样的系统实现 全局稳定化是可能的，同时，给出了反稳定系统的零可控区域是包含原点在内 的一个有界开凸集。对离散系统的渐近零可控区域的相关性质在【3 ，8 】中也给予 了讨论。以上对渐近零可控区域的研究都是针对标准饱和函数给出的，饱和函 数关于原点不对称时的渐近零可控区域的相关性质在【9 】中给出平行的结论。 但是，对于执行器饱和的普通系统来讲，通常情况下获得线性系统的全局 稳定性不是很容易，所以只能转而分析、设计半全局或局部稳定的系统。1 9 9 9 年h u 等人【1o 】对输入中带有扰动的指数不稳定线性连续系统，通过设计控制 器，对有界扰动实现了在零可控区域上的半全局实际稳定性( a p 对任意大的零 可控区域c 的紧子集墨，包含零为内点的任意小集合鼠及任意大的有界扰 动，存在一个反馈律使得闭环系统从出发的轨道在有限时间内进入此) 。 哈尔滨理i 。大学理学硕士学位论文 进而，h u 等人在文献【1 1 1 中又进一步指出对于执行器饱和的线性系统，仅有两 个指数不稳定极点的线性系统，通过在两个线性反馈律之间切换的控制器才能 在它的零可控区域上实现半全局稳定性。2 0 0 0 年，l i n 等人【1 2 】研究了基于输出 饱和的单输入单输出线性系统的半全局稳定性问题，指出只要所有闭环系统 的极点在闭的左半平面，通过线性输出反馈就可以实现系统的半全局稳定性。 2 0 0 2 年，h u 等人【”j 指出有三个实值反稳定极点的线性系统，通过简单的饱和 线性反馈在它的零可控区域上是不能实现半全局稳定的。2 0 0 7 年，z h o u 1 4 1 基 于参数l y p a u n o v 方程的解给出低增益反馈设计，通过参数调节，实现闭环系 统的半全局稳定性。另外，通过设计输出反馈律同样也可以实现闭环系统的半 全局稳定性。关于半全局稳定性问题的研究已有相当多的文献1 1 5 , 1 6 1 。 通常，仅仅确定系统有一个渐近稳定平衡点是不够的，求出平衡点的吸引 域，或者给出其估计值更为重要，故确定系统的吸引域是局部稳定性分析的一 个重要问题。由于获得吸引域的确切范围比较有困难，因此获得吸引域的估计 是非常重要的。一般地，在估计系统的吸引域中比较常用的方法就是利用( 收 缩) 不变集f 1 7 1 。最初的尝试是g l a t t e f l d c r 等人【1 8 1 运用标量p o p o v 及圆判据研究了 一个带饱和执行器的单输入一单输土i ( s i s o ) 系统的稳定性分析问题。1 9 9 7 年， p i t t e t 等人f 1 9 l 通过应用圆理论和p o p o v 判据，将饱和视为一种局部扇形有界非 线性，引入二次l y a p u n o v 函数和l u r e 型l y a p u n o v 函数，研究了线性连续系 统的稳定域问题。由于圆判据和p o p o v 判据是用于广义无记忆的扇形有界非线 性的分析工具，忽略了饱和非线性的具体特性，将其运用于处理饱和非线性去 估计系统的吸引域不可避免地会带有保守性。于是，2 0 0 0 年h u 等人 2 0 1 对无扰 动的执行器饱和线性系统，基于圆判据的吸引域估计问题，提出了一种处理饱 和的新方法：凸组合法，它是通过引入辅助矩阵日实现的，最后给出改进了的 集合不变性充分条件，降低了保守性，而且不变性条件可以转化成线性矩阵不 等式( l m i ) ，最终把吸引域的估计问题转换成一个优化问题，同时能够容易地 用于控制器的综合；另外，对有扰动的执行器饱和线性系统也进行了分析和设 计，给出此系统的集合不变性条件，同样利用优化问题给出吸引域的估计且使 得系统在某个不变集上对扰动的敏感程度尽量最低。2 0 0 2 年，h u 等人【2 1 】对单 输入连续线性系统的不变椭球给出一个精确的描述，指出在多输入情形下判断 集合不变性条件 2 0 1 7 2 5 - 7 2 9 在单输入情形下变成了充要条件，得到一个椭球是不变 集的四种等价说法。后来，h u 等人瞄】对多输入线性系统的集合不变性给出一 个必要条件，在文献 2 3 1 q b 把文献 2 1 1 的结论推广到多输入的情形，得到对集合 不变性的四种等价说法在多输入情形下不完全等价。2 0 0 2 年，c a o 例引入了 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 l y p a u n o v - r a z u m i k h i n 函数和l y p a u n o v - k r a s o v s k i i 泛函，把文献【2 0 】中的不变 性条件推广到状态带有时滞的线性连续系统情形，分别用时滞无关方法和时滞 相关方法给出集合不变性条件，然后解相应的优化问题设计控制器，使得所估 计的吸引域最大。2 0 0 7 年，魏爱荣等人f 2 5 】在文献 2 4 】的基础上对系统考虑了不 确定性，利用l y p a u n o v - r a z u m i k h i n 函数分析了不确定饱和时滞系统的稳定 性，运用饱和状态反馈估计了系统的吸引域，并建立了非常适合控制器设计的 时滞相关l m i 条件，解相应的受限优化问题，可得到系统的最大吸引域和状 态反馈增益。此外，在扩大吸引域的同时，我们总是希望收敛速率能尽量快， 但二者是相互制约的，文献 2 6 】通过b a n g - b a n g 控制来解决了二者的矛盾。 以上文献估计系统吸引域的方法都是建立在l y a p u n o v 函数方法的基础上 的。最常用的l y a p u n o v 函数是二次型，但是采用这样常规的方法会引入较强 的保守性。l u r e 型函数也是比较常用的l y a p u n o v 函数，其是由一个二次型函 数加上一个积分项构成的。在2 0 0 3 年，h u 等人 2 7 1 提出了复合二次型l y a p u n o v 函数，指出复合二次l y p a u n o v 函数是连续可微的，相应地它的水平集为一组 椭球体的凸包，利用这个结果研究了一些执行器饱和的线性连续系统集合不变 性条件，给出了一种设计连续状态反馈控制律的方法。关于复合二次l y p a u n o v 函数最优参数的连续性问题在文献【2 8 】中给与了讨论。2 0 0 5 年，h u 等人【2 9 】利 用复合二次l y p a u n o v 函数对离散系统( 连续系统也成立) 的绝对稳定性进行了研 究，利用l m i 给出集合不变性的充分条件，该结果是已有文献 3 0 】的推广。 对执行器饱和的离散线性系统，文献 3 0 】、【2 9 给出与文献【2 0 】、【2 1 平行 的结果。在2 0 0 5 年，赵克友等人【3 l 】对执行器饱和的单输入离散线性系统的渐 近稳定性进行了研究，给出判断饱和系统是全局渐近稳定( g a s ) 和区域渐近稳 定( r a s ) 的一个充分条件，并进一步对于区域渐近稳定的情形给出一个算法来 计算吸引不变椭球。 2 抗饱和方法 1 9 6 7 年，f c r t i k 和r o s s t 3 2 】提出了最早的抗饱和控制框架，并采用回馈计算 和跟踪的策略，即在系统控制器发生积分饱和期间，引入一个反馈信号来调整 控制器的输出信号，以减少积分饱和问题对系统运行的不利影响，并使系统尽 快退出饱和区。但它明显存在一些不足：没有提出严格的稳定性分析方法和明 确的性能优化方法。于是在1 9 9 4 年，k o t h a r e 等【3 3 】针对易受输入非线性影响的 线性时不变系统，运用“两步法一的研究策略，对统一框架进行改进。所谓 。两步法 ，就是首先在忽略输入非线性等饱和环节的情况下设计出满足一定 性能指标的线性控制器，然后加入抗饱和补偿器以改善系统进入非线性区域时 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 的性能。由于抗饱和补偿器当且仅当系统发生饱和时起作用，所以“两步法一 在设计时可以直接运用成熟的控制理论，且在系统未发生饱和时系统可以达到 设计时的性能。近年来，采用抗饱和方法对执行器饱和的线性系统稳定性的研 究也很流行。2 0 0 5 年，j o a o 等人0 4 1 基于线性矩阵不等式( l m i ) 方法，给出保稳 定区域的抗饱和设计方法。在研究过程中，首先忽略饱和非线性，假设设计的 一个线性动态输出补偿器使得忽略执行器饱和时的系统稳定，并且可以满足系 统性能指标。在控制执行阶段，增加一个额外的反馈补偿，即增加一个修正项 疋p ) 一材) 来弱化饱和的影响，再通过一个凸优化问题选取补偿增益最来扩 大系统的吸引域。关于利用抗饱和策略对执行器饱和系统的研究及吸弓l 域的估 计问题在文献 3 5 1 q 日给出。利用抗饱和策略处理饱和系统已有相当文献1 3 6 , 3 7 1 。 1 2 2 中立型系统国内外研究概况 中立系统的大量存在，使得目前诸多学者开始致力于中立系统稳定性和控 制的研究。注意到由于中立项的存在，使得这种系统的分析比通常的系统更加 困难。在控制理论领域，对这类系统的稳定性和控制的研究是近几十年才兴起 的。 1 2 2 ，l 中立型系统稳定性的研究现状 时滞系统的研究和发展，与线性系统的研究一样，可以分为时域方法和频 域方法两大类。对一个系统而言，稳定性是被关注的首要问题。然而时滞系统 的稳定性分析一直是时滞系统研究的一个难点。许多学者从各种途径出发，得 出了很多用于判断时滞系统稳定的判据。根据稳定性准则是否与时滞有关，时 滞系统的稳定性准则被划分为两种类型，即时滞独立稳定性准则和时滞相关稳 定性准则。一般意义上来说，缺少时滞信息使得时滞独立稳定性准则比时滞相 关稳定性准则具有更大的保守性，尤其是当时滞较小时。 在近几十年里，研究者们从频域和时域两个方面对中立型时滞系统的稳定 性进行了大量的工作，并且取得了可喜的成果。在以往的文献中，l y p a u n o v 方 法、特征方程法和状态解方法等被用于寻找此类系统的渐近稳定性准则 1 3 8 , 3 9 , 4 0 j 。文献 4 1 ，4 2 给出了在频域内判断中立型时滞系统稳定性的方法，频域 方法得到的稳定性结论对于稍复杂的系统难于应用。 时滞系统的时域分析，因其克服了频域分析不能处理时变和参数摄动的不 足，目前越来越成为时滞系统尤其是不确定系统( 包括系统矩阵的参数不确定 性以及时滞本身的不确定性) 稳定性分析以及控制器综合的主要方法，近年有 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 关不确定时滞系统的结论许多都是用时域的分析方法取得的 4 3 , 4 4 1 。时域方法简 单易于计算等优点使其在实际工程应用中更加具有优势。 自从六十年代l y a p u n o v 第二方法被用来处理线性系统的稳定性及控制问 题，该方法很快被引入到时滞系统的分析设计中来，l y a p u n o v 第二方法成为人 们手中分析时滞系统的有力工具。l y a p u n o v 方法的优点主要体现在：方法统 一，所得的结论最后都可转化为一个类r i c c a t i 方程的解；处理范围广一泛， 不管是参数摄动还是时变时滞系统，都可以处理。因此，l y a p u n o v 第二方法在 工业实际应用中有广泛的前景。利用l y a p u n o v 第二方法，通过构造恰当的 l y a p u n o v 泛函，求解时滞系统的无记忆反馈控制律，是设计时变及不确定时滞 系统的有效途径。根据众多学者的研究，目前最为普遍使用的是一种特殊的 l y a p u n o v 泛函，其形式如下 一 一 以z ( f ) ) = 一( f ) 段( f ) + i r o ) 触( ，) 出 式中p ，r 为正定对称矩阵，对于矩阵p ，冗，不同学者根据其需要，选取的 方法各不相同。y eh u i 在文献【4 3 】中采用此类方法得出中立型时滞系统的时滞 独立稳定性准性则。但是，所给出的具体示例显示所用矩阵模的运用通常使判 断准则较为保守。由于l y a p u n o v 第二方法对各类时滞系统的适用范围非常之 广，所以对于时滞系统稳定性的研究，l y a p u n o v 第二方法是一种非常有用的方 法。尤其是r i c c a t i 方程和线性矩阵不等式( l m i ) 法在线性系统的稳定性及控制 问题研究中得到广泛的重视和应用后，很多学者尝试把该方法推广到时滞系统 上来，通过构造恰当的l y a p u n o v 泛函，经过推导来分析中立型时滞系统的稳 定性并以l m i 来表示相应的时滞相关及时滞独立稳定性准则蝈。这些以l m i 表示的稳定性准则可以用m a t l a b 中提供的l m ii 具箱方便地求解，而且运 用这种方法还可以得到稳定性的最优解。如n ib o 和h a r tq i n g - l o n g 在文献【4 4 】 中通过对系统进行恒等变换，然后合理构造l y a p u n o v 泛函，给出稳定性准 则。 对于具有更广普遍性的多时滞中立型系统的稳定性问题，近来的一些文献 中作者给出了用l m i 形式表示的中立型时滞系统的时滞相关稳定性准则。例 如近年成果j u h y m np a r k 4 7 1 通过构造恰当的l y a p u n o v 泛函，经过推导给出了 以l m i 形式表示的时滞相关稳定性准则。但在许多文章中，讨论的结果乇要 集中在仅含离散时滞的中立型系统 4 8 , 4 9 1 。近几年，在中立型时滞系统稳定性研 究方面，人们开始关注具有分布时滞的中立型系统及具有中立、离散和分布时 滞的中立型系统。其中，c h e n 和l i e n 等在文献【3 8 】中构造了l y a p u n o v 泛函， 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 通过推导、配方给出时滞相关稳定性准则，以解决含分布时滞的中立型系统的 渐近稳定性问题。在文献【5 0 】中，刘坤等人通过构造一个新的积分不等式，不 需要对原系统进行模型变换，利用l y a p u n o v 稳定性理论研究了一类同时具有 中立、离散和分布时滞的不确定中立型系统是时滞相关稳定性闫题。 1 2 2 2 中立型系统控制的研究现状 对于中立型时滞系统控制问题的研究，随着人们对中立型时滞系统稳定性 的广泛研究也在积极地发展。但由于中立型时滞系统自身的复杂性使得这方面 的研究进展缓慢。对中立型时滞系统控制的研究主要集中在鲁棒控制和玩控 制方面。 鲁棒稳定性分析的一个非常重要的方法是l y a p u n o v 第二方法，该方法己 被广泛应用于不确定时滞系统的鲁棒稳定性分析与综合问题的研究中j 2 1 。基 于l y a p u n o v 第二方法的无记忆反馈控制设计简便，计算量小，而且便于进行 闭坏系统的鲁棒稳定性分析，因而近年来受到很多学者的重视。在文献 5 3 】 中，z a m e s 通过假定干扰信号属于一个有限能量信号集的情况下，提出用其相 应灵敏度函数的风范数作为指标，设计目标是在可能发生的最坏干扰情况 下，使系统的误差在这种范数意义下达到最小，从而将干扰问题化为求解使闭 环系统稳定，且使响应的玩范数极小化的反馈控制问题。1 9 8 8 ，d o y l e 等人州 证明了玩设计问题的解可以通过两个适当的r i c c a t i 方程得到，标志着现代时 域也控制理论的成熟，随后文献 5 5 ，5 6 将该方法推广到了线性时滞系统。文 献 5 7 ，5 8 n 巧妙地运用l m i 技巧给出了不确定时滞系统的玩控制方法。 皿。控制理论就是在见。空间通过某些性能指标的无穷范数优化而获得具有 鲁棒性能控制器的一种控制理论。矾控制理论己被尝试应用于交流调速系统 及空间飞行器的姿态控制中，其有效性得到了越来越多的证实。因此，玩控 制理论的应用研究近几年已逐步走向实际。在文献 5 9 1 q 了，m a h m o u d 通过构造 适当的l y a p u n o v 泛函推导出一个用于判定不确定中立型系统稳定的r i c c a t i 不 等式，分析了不确定中立型系统利用状态反馈进行鲁棒矾控制问题。其 r i c c a t i 不等式可以迸一步变换为l m i 的形式，并应用l m i 形式给出控制器的 设计方法，但此准则的约束较多。w a n g 等人删研究了中立型系统观测器的设 计，通过对观测器的设计可以实现对系统的输出反馈控制。j a s o n 等人【6 u 研究 了随机中立型时滞系统的鲁棒玩控制问题。 以上讨论的不确定中立型时滞系统鲁棒控制方法主要是基于l y a p u n o v 第 二方法，即对闭环系统，构造一个对所有不确定性都适用的l y a p u n o v 泛函。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 显然，这样的处理方法具有很大的保守性，但还没有一种比它更有效的处理方 法。因此这种对所有不确定性，构造统一的l y a p u n o v 泛函的方法仍然是目前 处理时变参数及不确定性鲁棒控制的一种流行和有效的方法。 随着中立型系统的不断研究深入，对各种中立型系统的研究结果也不断出 现。其中，饱和中立型系统引起了人们的注意，因为在实际系统中物理结构决 定了执行器的输出量及输出的变化率( 速率) 不可能任意大，也即其输出量及输 出速率都具饱和特性。因此，饱和中立型系统更具有实际意义，但是研究相对 会更复杂。目前为止，关于饱和中立型系统的研究相对较少i 渊。文献【6 3 】根 据l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 理论，引入饱和度函数，给出了满足一定初始条件的饱 和中立型时滞线性系统时滞无关渐近稳定性条件，并给出了相应的算法。但由 于饱和度函数的引入，对饱和函数的处理采取了一个多边表示，使得算法的初 值选取变得很困难。文献【6 3 】在文献【6 2 】的基础上考虑了范数有界不确定性及 变时滞，给出了饱和中立型时滞线性系统的时滞相关局部鲁棒渐近稳定性条 件，相对降低了保守性。 尽管目前已有文献对饱和中立型系统进行了研究，但是对此类系统的研究 还有很多问题没有解决。饱和中立型系统的稳定性和控制问题的研究，在理论 上有稳定性理论的支持，在实际系统中也广泛存在，因此对其进行研究是可行 的，而且有重要的理论价值和应用前景。 1 3 本文的主要研究内容 1 3 1 饱和中立型时滞系统的渐近稳定性 讨论以下一些系统的渐近稳定性问题，然后分别讨论这些系统带有不确定 性时的鲁棒渐近稳定性问题。 ( 1 ) 考虑饱和中立型定常混合时滞线性系统 i ：- g s c ( t - r ) = 血+ 4 x ( t - h ) + b s a t ( u ) i x o ) = ( f ) ，t 卜f ，o 】，f = m a x r ，1 1 ) 其中，x r ”是状态向量，“r ”是控制输入，f 0 ，h 0 为时滞常数， a ，4 ，b ，g 是适当维数的实数矩阵，假设初始条件矿是一连续向量函数， 即q 。r ，用c n , r 表示( 9 ) = x ( t + 0 ) ，p 卜矿，0 】。同时假设( 彳，曰) 能稳， 0 c a 0 ，h 0 ，d 0 为时滞常 数，a ，4 ，b ，d ，g 是适当维数的实数矩阵。假设初始条件驴是一连续向 量函数，即驴g ，用e ，表示p ) 一x o + 目) ，o e - f ，0 】。同时假设 ( a ，b ) 能稳，i i g l 0 ，h 0 为时滞常数， a ，4 ，b ，g 是适当维数的实数矩阵。厂p ，z o ) ，x ( t 一j 1 ) ) 会为非线性扰动， 满足如下范数条件 1 i 厂1 1 2 - 风u x l l 2 + 夕一无) 1 1 2 其中，f l o 0 ，卢 0 。假设初始条件妒是一连续向量函数，即妒q 彳，用 e c ，表示薯p ) 一z o + 日) ，o e - f ，0 】。同时假设0 ，b ) 能稳，i i g 0 0 ，h 0 为时滞常数，a ，4 ，b ，e ，g ，c 是适当维数的 实数矩阵，并假设 w e 睨一 w e r 9 ：( w ( s ) r w ( s ) a ss 口) ，口 0 假设初始条件爹是一连续向量函数，即q 歹，用t c 。f 表示 p ) ；工o + p ) ，o e - 彳，0 】。同时假设( a ，曰) 可控，( c ，a ) 可观，0 gj i 0 ，囊 0 ，心 0 为时滞常 数，么，4 ，曰，d ，g ，e ，c 是适当维数的实数矩阵。假设初始条件是 一连续向量函数，即g ，r ，用t c f 表示( d = 颤f + d ，秒【- y , 0 】。同 时假设( 么，曰) 能稳，0 g 0 0 ，h 0 为时滞常数， 么，4 ，君，g ，是，c 是适当维数的实数矩阵。f ( t ，x ( f ) ，x ( t - h ) ) 全f 为非线 性扰动，满足如下范数条件 i i ：1 1 2 屈郴+ p l l x c - h ) 1 1 2 其中，属 0 。假设初始条件是一连续向量函数即痧c r ，用g ， 表示玉( d = 砸+ 国，e - e ，0 】。同时假设( 么，b ) 能稳，8 g l 0 表示x 为对称正定矩阵；x 0 表示x 为对称 负定矩阵；a r 表示矩阵的转置；，表示向量的转置；a 一表示矩阵彳的逆； l 表示矩阵的范数；，表示单位矩阵；符号 表示对称结构； l ( h ) = 缸r ”：l h , x i 1 ) ，其中吩表示矩阵日的第i 行；g ，f = c ( - e ，o 】，r ”) 表 示由【_ f ，0 】到r ”上的连续可微算子构成的b a n a c h 空间，其上的范数定义为 c ，2 z 墨， 1 1 x ( f + o ) 1 1 ，+ 哪。 2 2 本文主要定义 定义2 。1 1 7 1 3 我们用s a t ：r 专r 来记标准饱和函数，即 s a t ( s ) = s i g n ( s ) m i n 1 ，怫 ( 2 1 ) 为了简单起见，对一个向量u r “，我们将依然用s a t ( u ) 表示向量饱和函数： s a t ( u ) = 【s a t ( u 1 ) ，s a t ( u 2 ) ，s a t ( ) 】7( 2 2 ) 其中，s a t ( u ，) = s i g n ( u f ) m i n 1 ，) 。 考虑如下饱和系统 肛) = a x ( t ) + 且川) + 岛s 越( 戤( ”，(2-3) 【z ( t ) 2c x ( t ) 其中，x r ”是状态向量，w r q 是扰动向量，z r p 是输出向量。我们假设 ( 彳，堡) 可控，( c ，么) 可观。在控制向量“( f ) = k x ( t ) 作用下标准饱和函数定义如 定义2 1 。对扰动似f ) ，存在万，0 0 ( 2 - 5 ) l 、 成立，则称系统( 2 3 ) 是厶稳定的，其中b 是非零可行初始条件的一个函数。 考虑如下饱和系统 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 j ( f ) = 血o ) + b s a t ( u ( t ) ) ( 2 6 ) 定义2 3 1 2 0 1 7 2 蝴9 对x ( o ) = x o r ”，设系统( 2 - 6 ) 的状态轨迹为伊( f ，而) ，则原 点的吸引域定义为 s = x o r “：l i m ，一缈( f ，x o ) = o ) ( 2 - 7 ) 定义2 4 1 2 0 1 7 2 孓7 2 9 对于一个集合，如果从它出发的所有轨道都将保持在它里 面，则称这个集合为不变集。 2 3 本文用到的主要引理 引理2 1 t 3 0 i 拍7 堋设u ，r 所，假设川1 ，i = l ，2 ，m ，则 s a t ( u ) c o d , u + d r ，：f 【1 ，2 ”】) 。 ( 2 - 8 ) 其中，i 【l ，2 脚】= 1 ，2 ，2 ”) ，口是对角矩阵，它的主对角线上的元素是0 或 1 ，巧可- 目。 设墨，日r 刖”，假设j l ( u ) = 扛r “- i h , x i - ( 2 - 9 ) 其中，忽是日的第f 个行向量，口和d 同引理2 1 。 引理2 2 t 6 5 】1 5 乳1 6 2 给定适维矩阵q ，r ，巨，其中q 为对称矩阵， 尸鲫秭g ，则 f 2 + f f ( t ) e + e r f 7 ( f ) 1 1 r 0 ，使得下式成立 q + 订1 1 r + 占一皂7 1 巨 0 ，常数7 0 ，向量函数 w ： 0 ，纠j r ”，如下不等式成立 ( r 以s ) 凼) 7 膨( r 以s ) 凼) 7r o ) 彤“s ) d s ( 2 - 1 2 ) 考虑如下泛函微分方程 舻) = 厂( ，毫) ，纠。( 2 - 1 3 ) i 吒( 0 ) = ( 口) ，0 卜f ，0 】 设形是由 - f ，0 】到r “上的绝对连续且具有平方可积导数的函数组成的 b a n a c h 空间，其范数定义如下 = t l l 矽( o ) 1 1 2 + 删( 哪d 口 必，v # ew ( 2 - 1 4 ) 令q = 矽i 驴w ，例l 矿 o ，f ： t o ，o 。) 翰z d f ，o 卜争r ”是连续 哈尔滨理工大学理学硕：e 学位论文 的，对于第二、三个变量满足l i p s e h i t z 条件，且关于第三个变量的l i p s c