（计算数学专业论文）空间和时间分数阶偏微分方程.pdf

摘要 摘要 分数阶微分方程可以用来模拟工程，物理，生物等科学领域中的许多现象，然 而分数阶微分方程的数值方法与理论分析是一项困难的事，其理论分析与经典的数 值方法之间有很大的差异尽管现在大量的应用科学领域中的许多工作已牵涉到用 分数阶微分方程来描述动力系统，非常少的文献讨论分数阶微分方程的数值方法， 尤其是分数阶偏微分方程的数值方法 本文考虑了r i e s z 空间分数阶反应一扩散方程( r s f r d e ) 、时间分数阶电报方 程和带阻尼项的时间分数阶波动方程 第一章介绍了分数阶计算的发展历史和现状及目前所做的一些工作，同时给出 有关分数阶计算的一些预备知识 第二章讨论r i e s z 空间分数阶反应扩散方程首先使用l a p l a c e 和f o u r i e r 变 换获得r i e s z 空间分数阶反应扩散方程在无穷区域上的基本解，其解用格林函数表 示由于分数阶微分方程的解是很难计算的，因此我们感兴趣于发展分数阶微分方 程的数值方法。考虑了有界区域上的r i e s z 空间分数阶反应一扩散方程，直接利用二 阶中心离散r i e s z 空间导数，由此建立了显式和隐式的两种差分格式，得出结论：显 式的格式是条件稳定和条件收敛的，而隐式的格式是无条件稳定和无条件收敛的， 并且给出数值例子，与行方法的结果进行比较，说明所采用的数值方法的计算有效 性，这些方法可进一步应用到一般的分数阶问题同时进一步讨论了有界区域内含 d i r i c h l e t 边界的r i e s z 空间分数阶反应一扩散方程，借助于r i e m a n n l i o u v i l l e ( r o l ) 分数阶导数与g r i i n w a l d l e t n i k o v ( g l ) 导数之间的等价关系，利用移位的g l 技 巧建立显式的差分格式，并且进行了误差估计 第三章讨论了时间分数阶电报方程，分别考虑了带d i r i c h l e t 边界条件，n e u - m a n n 边界条件，r o b i n 边界条件的三类非齐次时间分数阶电报方程，利用分离变 量法得到了这三类方程的解析解此解由多重m i t t a g - l e f f l e r 函数表示 第四章讨论了带阻尼项的时间分数阶波动方程，此方程是将经典的带阻尼项的 整数阶波动方程中的二阶时间偏导数用c a p u t o 导数来替换得到建立了一个隐式 的差分逼近，用能量方法证明稳定性与收敛性最后给出一个数值例子说明我们的 差分方法是有效的 第五章对本文的工作做了一个总结 关键词：分数阶计算；r i e s z 分数阶导数；分数阶电报方程；稳定性；收敛 性 s p a c e a n dt i m e f r a c t i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s a b s t r a c t f r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a v eb e e nu s e dt os i m u l a t em a n yp h e n o m e n a i ne n g i n e e r i n g ，p h y s i c s ，c h e m i s t r ya n do t h e rs c i e n c e h o w e v e rn u m e r i c a lm e t h o d s a n dt h e o r e t i c a la n a l y s i so ff r a c t i o n a le q u a t i o n sa x ev e r yd i f f i c u l tt a s k s t h e o r e t i c a l a n a l y s i si sd i f f e r e n tw i t hc l a s s i c a ln u m e r i c a lm e t h o d a tp r e s e n t ，t h o u g hag r o w i n g n u m b e ro fw o r k sf r o mv a r i o u sf i e l d so fs c i e n c ea n da p p l i c a t i o nd e a lw i t hd y n a m i c a l s y s t e m sd e s c r i b e db yf r a c t i o n a lo r d e re q u a t i o n s v e r yf e wp a p e r sd e s c r i b et h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yf o rf r a c t i o n a lp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h er i e s zs p a c ef r a c t i o n a lr e a c t i o n d i s p e r s i o ne q u a - t i o n ，t i m ef r a c t i o n a lt e l e g r a p he q u a t i o na n dt i m ef r a c t i o n a lw a v ee q u a t i o nw i t h d a m p i n g i nc h a p t e r1 ，s u r v e y so ft h eh i s t o r yo ft h et h e o r yo ff r a c t i o n a lc a l c u l u sa r e i n t r o d u c e d f u r t h e r m o r es o m er e l a t e dk n o w l e d g ea b o u tf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e sa x e p r e s e n t e d i nc h a p t e r2 ，w em a i n l ys t u d yr i e s zs p a c ef r a c t i o n a lr e a c t i o n - d i s p e r s i o n ( r s f r d e ) u s i n gt h em e t h o do ft h el a p l a c ea n df o u r i e rt r a n s f o r m ，w ef i r s t l yo b t a i nt h e f u n d a m e n t a ls o l u t i o n ( g r e e nf u n c t i o n ) f o rr s f r d ei na ni n f i n i t ed o m a i n t h es o - 1 u t i o nf o rt h ef r a c t i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o ni sd i m c u l tt os o l v e s ow ea r e i n t e r e s t e dt od e v e l o pn u m e r i c a lm e t h o d sf o rf r a c t i o n a lp a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s w bc o n s i d e rr s f r d ei nab o u n d e ds p a c ed o m a i n w ec o n s t r u c tb o t he x p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o na n di m p l i c i td i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o nf o rr s f r d e i nab o u n d e ds p a c ed o m a i nb yd i s c r e t i z i n gf r a c t i o n a ld e r i v a t i v ew i t hs e c o n d - o r d e r c e n t e rd i f f e r e n c e w ec o n c l u d et h a tt h ee x p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei sc o n d i t i o n a ls t a - b l ea n dc o n v e r g e n tb u tt h ei m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m ei su n c o n d i t i o n a l l ys t a b l ea n d c o n v e r g e n t 。f i n a l l y ，s o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d w ea l s oc o m p a r et h e n u m e r i c a lr e s u l t sa n dt h er e s u l t so fm e t h o do fl i n e ( m o l ) t op r o v et h en u m e r i c a l m e t h o d sa x ep r a c t i c a la n de f f i c i e n tc o m p u t a t i o n a lm e t h o d s t h et e c h n i q u e sc a na l s o b ea p p l i e dt od e a lw i t ho t h e rf r a c t i o n a lo r d e rp r o b l e m s f u r t h e r m o r ew ec o n s i d e r r s f r d ew i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yi nab o u n d e ds p a c ed o m a i n u s i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er i e m a n n l i o u v i l l ed e f i n i t i o na n dt h eg r f i n w a l d - l e t n i k o vd e f i n i t i o n a n da p p l y i n gs h i f tg lt e c h n i q u e ，w ep r o p o s ea ne x p l i c i tn u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n i i a b s t r a c t t h es t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c eo ft h ea p p r o x i m a t i o na r ea n a l y z e d f i n a l l y , w ea l s o g i v es o m en u m e r i c a le x a m p l e s i nc h a p t e r3 ，am e t h o do fs e p a r a t i n gv a r i a b l e si se f f e c t i v e l yi m p l e m e n t e df o r s o l v i n gt i m e f r a c t i o n a lt e l e g r a p he q u a t i o n ( t f t e ) w ed i s c u s sa n dd e r i v et h ea n a - l y t i c a ls o l u t i o no ft h et f t ew i t ht h r e ek i n d so fn o n h o m o g e n e o u sb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，n a m e l y ，d i r i c h l e t ，n e u m a n na n dr o b i nb o u n d a r yc o n d i t i o n s i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rat i m ef r a c t i o n a lw a v ee q u a t i o nw i t hd a m p i n g t h e e q u a t i o ni so b t a i n e df r o mt h es t a n d a r dw a v ee q u a t i o nw i t hd a m p i n gb yr e p l a c i n g t h es e c o n d o r d e rt i m ed e r i v a t i v eb yac a p u t of r a c t i o n a ld e r i v a t i v e a ni m p l i c i t d i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o ni sc o n s t r u c t e d s t a b i l i t ya n dc o n v e r g e n c ea r ep r o v e db y t h ee n e r g ym e t h o d f i n a l l y , an u m e r i c a le x a m p l ei sp r e s e n t e dt os h o wt h ed i f f e r e n c e m e t h o di se f f e c t i v e t h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n sa r ee x p r e s s e db yt h em u l t i - m i t t a g - l e f f l e rf u n c t i o n i nc h a p t e r5 ，w ec o n c l u d et h ew o r k si nt h ep a p e r k e yw o r d s ：f r a c t i o n a lc a l c u l u s ；r i e s zf r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ；f r a c t i o n a lt e l e g r a p h e q u a t i o n ；s t a b i l i t y ；c o n v e r g e n c e i i i 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果本人在论文 写作中参考的其它个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式标明本人依法享 有和承担由此论文而产生的权利和责任 责任人c 签狲酶华 2 - 0 0 7 年6 月r 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定厦门大学有权保留 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于 非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容 编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 保密( ) ，在年解密后适用本授权书 2 不保密 ( 请在以上相应括号内打” ”) 储硌醪争咻- 0 7 月f 日 导师签名：别触z 日期：沙7 年 月j 。日 第一章绪论 1 1引言 分数阶微积分是指阶数为任意阶的实数( 甚至可以是复数) 的微积分，它是从 扎阶导数和佗次积分发展形成的一个重要的数学概念我们可以从n 重积分推广 得到一个分数阶积分【l 】设咖( z ) ( z 【a ，6 】cr ，一o 。a 0 通常也把此积分称作左侧r i e m a n n l i o u v i l l e ( r - l ) 积分 1 6 9 5 年l e i b n i z 对二分之一阶导数定义的可能性做了一些说明与注解，这是 分数阶微积分理论的最早雏形三个多世纪以来，关于分数阶微积分许多著名的 科学家做了很多基础性的工作，但大量理论问题尚未解决1 9 世纪以来数学家 们在此领域做了进一步拓展性的工作，其中包括l a p l a c e ( 1 8 1 2 ) ，f o u r i e r ( 1 8 2 2 ) ， a b e l ( 1 8 2 3 - 1 8 2 6 ) ，l i o u v i l l e ( 1 8 3 2 1 8 3 7 ) ，r i e m a n n ( 1 8 4 7 ) ，g r i i n w a l d ( 1 8 6 7 - 1 8 7 2 ) ， l e t n i k o v ( 1 8 6 8 1 8 7 2 ) ，h e a v i s i d e ( 1 8 9 2 1 9 1 2 ) ，w e y l ( 1 9 1 7 ) ，l 6 v y ( 1 9 2 3 ) ，m a r - c h a u d ，d a v i s ( 1 9 2 4 - 1 9 3 6 ) ，r i e s z ( 1 9 4 9 ) ，f e l l e r ( 1 9 5 2 ) 但是直到近3 0 年来分 数阶微积分才真正开始发展起来这方面的工作首推r o s s ，他于1 9 7 4 年在n e w h a v e n 大学召开了分数阶计算与应用的首届国际会议o l d h a m 和s p a n i e r 写了第 1 空间和时间分数阶偏微分方程 一本关于分数阶计算的专著 2 】，此专著涉及分数阶计算的一些数学方法以及在很 多科学领域( 物理、工程、金融、生物等) 上的应用1 9 9 3 年s a m k o 等【1 】出版了 f r a c t i o n a li n t e g r a l sa n dd e r i v a t i v e s ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，在书中他们 对分数阶积分和导数的相关性质及其应用做了系统和全面的阐述 由于分数阶微积分算子是拟微分算子，具有非局部性，因此分数阶微积分算子 成为研究非线性问题的一个强有力的工具近几十年来，许多研究者发现，分数阶 导数的模型比整数阶导数的模型更能准确地描述具有记忆和遗传性质的材料和传送 过程，故分数阶计算具有广泛的应用背景【3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 】，比如各种材料的记忆、 力学和电的特性、岩石的流变性质、地震分析、粘弹性阻尼器、电力分形网络、分数 阶正弦振荡器、机器人、电子电路、电解化学分数阶电容器理论、电极一电解质接 口、描述具有长尾运动的地下水模型、自相似和多孔结构的动态过程、分数阶p d 控制器设计、弹粘性系统和柔软构造物体的振荡控制、分数阶神经模型、生物系统 的电传导系数、实验数据拟合尤其要指出的是分数阶导数和积分在分形领域里受 到极大的关注【9 ，1 0 】，分形理论的发展为分数阶导数和积分在模拟自相似和多孔 结构的动态过程中提供了一个有利的平台和发展前景目前分数阶微分方程的研究 已成为一个新的活跃研究领域，由于涉及到许多应用学科如电子、工程、物理、金 融、生物等学科，因此引起了国内外学者的高度重视。 目前国外已有十多所大学和研究所从事分数阶微分方程的研究，他们主要研究 时间、空间、时间一空间分数阶微分方程及与之相关的特殊函数如w r i g h t 、m i t t a g - l e f f l e r 函数，并提出用格林函数表示的基本解如德国的g o r e n f l o 教授和意大利 的m a i n a r d i 教授讨论分数阶微分方程并从中导出了一类随机游走的模型【4 ，1 1 ，1 2 ， 1 3 】美国的m e e r s c h a e r t 教授，b e n s o n 教授等组织了一个由数学家、统计学家、 物理学家和水文学家组成的研究小组，这个研究小组主持专门的分数阶计算项目， 主要是研究分数阶导数在具有长尾随机过程的理论和实际应用【1 4 ，1 5 ，1 6 】澳大 利亚的a n h 教授和英国的l e o n e n k o 教授则从统计分析的角度讨论了分数阶微分 方程的基本解【1 7 ，1 8 】国外从事分数阶微分方程的研究人员大多数研究分数阶微 2 第一章绪论 分方程的基本解及其相关理论，只有少数几所大学从事分数阶微分方程数值方法的 研究 求解分数阶微分方程的基本解目前常采用的方法有l a p l a c e 、f o u r i e r 、m e l l i n 变换，另外也可采用分离变量和算子方法早期人们主要讨论分数阶扩散一波动方 程的解析解分数阶扩散方程最早是由n i g m a t u l l i n ( 1 9 8 6 ) 1 9 】在物理学上为了描述 溶液在分形结构( 多孔) 的介质中扩散而提出来的同年w y s s 在文献【2 0 】中考虑 了时间分数阶的扩散方程并以f o x - h 函数的形式给出了解析解而m a i n a r d i 则在 1 9 9 5 年【1 2 】从物理学的角度指出了分数阶波动方程可用来描述机械波在粘弹性介 质中具有长尾性态的传播s c h n e i d e r 和w y s s 2 1 】研究了时间分数阶的扩散一波动 方程，以f o x - n 函数给出了对应的基本解的表达式，并进一步说明了时间分数阶扩 散方程的格林函数可解释成概率密度函数( 1 9 8 9 ) 但由于【2 l 】所采用的空间是佗 维变量，所用的方法比较复杂，因此m a i n a r d i 2 2 】考虑了一维空间变量的情形，采用 更为简单的方法l a p l a c e 变换以w r i g h t 函数形式给出无穷区域上的c a u c h y 问题 和s i g n a l l i n g 问题的基本解( 1 9 9 6 ) g o r e n d f l o 等【2 3 】利用自相似特性和l a p l a c e 变换，用w r i g h t 函数和广义w r i g h t 函数的形式给出了c a p u t o 时间分数阶扩散一 波动方程的不变尺度解( 2 0 0 0 ) 2 0 0 1 年m a i n a r d i 等【1 3 】综合讨论了更为一般的分 数阶扩散波动方程：时间空间都是分数阶的扩散一波动方程，借助于l a p l a c e 、 f o u r i e r ，m e l l i n 变换，在复平面上按m e l l i n b a r n e s 积分得到g r e e n 函数的一般 表达式，并指出此基本解是包含时间变量t 的空间概率密度函数，并给出了物理学 上的解释。 除了研究分数阶扩散一波动方程外，人们对另一类分数阶方程：分数阶对流一 扩散方程也产生了浓厚的兴趣 b e n s o n 等在文 1 5 ，1 6 】中指出分数阶对流扩散方程能更精确地模拟具有长尾 性态的溶质运动过程( 2 0 0 0 ) l i u 等【2 4 】考虑了时间分数阶对流一扩散方程，利用 m e l l i n 和l a p l a c e 变换得到了此方程的基本解，此解是一个由概率密度函数和完备 的误差函数组成的f o x 函数h u a n g 和l i u 2 5 】将文【2 4 1 中的结论推广到佗维全 3 空间和时间分数阶偏微分方程 空间和半空间上，得到了相应的基本解( 2 0 0 3 ) 进一步他们【2 6 】还考虑了空间一时 间分数阶对流一扩散方程的解析解( 2 0 0 6 ) 此外一些学者考虑了其他一些分数阶微分方程的解析解e l i z a r r a r a z 和v e r d e - s t a r 2 7 1 提供了一种方法：分数阶差商算子和有理函数法获得含r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数的齐次常微分方程c a u c h y 问题的解，而且此方法也可用来求解b e s s e l 、 l a g u e r r e 等方程w y s s 2 8 考虑了分数阶b l a c k - s c h l e s 方程，借助l a p l a c e - m e l l i n 变换，得到了用f o x 函数表示的解析解 综上所述，我们知道分数阶微分方程的基本解通常是借助l a p l a c e 变换、f o u r i e r 变换和m e l l i n 变换得到，其解通常是用g r e e n 函数的卷积形式表示，从而不利于近 似计算，所以通过数值方法求解分数阶微分方程成为不可或缺的手段。近二十年来 较为常用的数值方法有a d o m i a n 分解法、有限差分法等a d o m i a n 分解法最早是由 a d o m i a n 在1 9 8 8 年【2 9 提出的。这个方法是以级数的形式给出方程的解，可用于求 解一大类数学、物理、线性、非线性的常微分方程或偏微分方程【3 0 ，3 1 ，3 2 】。近几年来 人们也尝试用a d o m i a n 分解法来求解分数阶微分方程。m o m a n i 和a 1 - k h a l e d 3 3 用a d o m i a n 分解法求解非线性的分数阶常微分方程组和含多项分数阶导数的线性 常微分方程。r a y 和b e r a 3 4 】用a d o m i a n 分解法求解分数阶b a g l e y t o r v i k 方程 ( 2 0 0 5 ) j a f a r i 和d a f t a r d a r g j j i 在文 3 5 中使用a d o m i a n 分解法来求解分数阶 非线性两点边值问题( 2 0 0 6 ) m o m a n i 3 6 】使用a d o m i a n 分解法求解具有特定初 始和边界条件的空间时间分数阶电报方程( 2 0 0 5 ) a 1 一k h a l e d 和m o m a n i 3 7 】利 用a d o m i a n 分解法数值求解分数阶扩散一波动方程( 2 0 0 5 ) o d i b a t 3 8 】考虑了用 修正的a d o m i a n 分解法，即矩阵方法求时间一空间分数阶扩散波动方程的数值 解( 2 0 0 6 ) a d o m i a n 分解法的优点在于避免了方程的离散同时能以较快的速度收敛于精 确解而且计算量小，但是此方法在应用过程中要涉及到已知函数的分数阶积分，这 往往不太容易计算因此一些学者也采用别的方法来求解特殊的分数阶微分方程， 如r a w a s h d e h 【3 9 】采用配置法求解分数阶积分微分方程上述文献无论是采用 4 第一章绪论 a d o m i a n 分解法或配置法都没有给出详细的误差估计、收敛性、稳定性等理论分 析，因此发展分数阶方程的数值解法是一项十分重要的工作1 9 9 9 年p o d l u b n y 5 7 】 介绍了一些有效的数值方法求解分数阶常微分方程，但是没有给出这些数值解法的 理论分析与误差估计沈和刘 4 0 1 利用r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数与g r i i n w a l d l e t n i k o v 分数阶导数的等价关系，提出一种有效数值方法解分数阶b a g l e y - t o r v i k 方程d i e t h e m l m 等f 4 1 】提出解分数阶常微分方程的a d a m s 方法，导出了在不同 假定下误差的界，当分数阶导数取任意的实数时，误差分析是十分困难的杨和刘 【4 2 】对分数阶r e l a x a t i o n - o s c i l l a t i o n 方程提出了分数阶预估一校正方法，给出了误 差估计林和刘【4 3 】提出了一种线性多步法解分数阶常微分方程，证明了该数值 方法的相容性与收敛性，并给出稳定性分析林和刘【4 4 1 考虑了分数阶r e l a x a t i o n 方程，提出了一种有效的数值方法，并给出误差分析l y n c h 等 4 5 】考虑了空间分 数阶传送方程，提出了显式和半隐式的差分格式即l 2 方法和l 2 c 方法，但是没有 给出稳定性与收敛性分析f i x 和r o o p 在文【4 6 】中对分数阶两点边值问题构造了 有限元方法，这是目前为止最早采用有限元方法解分数阶微分方程的文章 l i u 等关于分数阶微分方程数值方法及理论分析做了一个开创性的工作2 0 0 2 年l i u 等在澳大利亚进行海水入侵地下水层的研究项目中提出了分数阶的f o k k e r p l a n c k 方程【4 7 ，4 8 】，利用r i e m a n n l i o v i l l e 和g r f i n w a l d l e t n i k o v 分数阶导数定 义的等价性，首先提出了用分数阶行方法( m e t h o do fl i n e s ) ( 1 l p 把空间分数阶偏微 分方程转化为常微分系统系统，再对时间一阶导数采用自动变阶( 1 5 阶) 变步长的 向后差分公式) 近似求解空间分数阶偏微分方程，成功地描述示踪剂在地下水层的 运动，证实了分数阶偏微分方程能更精确地模拟具有长尾性态的溶质的运动过程 l i u 等【4 9 】还考虑了时间分数阶扩散方程，给出了一个离散的n o n m a r k o v i a n 随 机游走模型，并分析了稳定性与收敛性( 2 0 0 5 ) 进一步地他们【5 0 】还考虑了空间 l 4 v y f e l l e r 对流一扩散方程，提出了一种计算有效的数值方法，并进行了稳定性与 收敛性分析( 2 0 0 6 ) m e e r s c h a e r t 和t a d j e r a n 5 1 】给出了变系数的空间分数阶对流 扩散方程的有限差分格式，给出了误差分析随后他们【5 2 】还考虑了含双侧空间 5 空间和时间分数阶偏微分方程 分数阶导数的扩散方程，采用移位的g r i i n w a l d l e t n i k o v 移位算子逼近双侧空间分 数阶导数，并进行了稳定性与收敛性分析，得到的数值离散格式关于空间、时间步 长是一阶收敛精度( 2 0 0 5 ) z h u a n g 和l i u 【5 3 】考虑了空间- 时间分数阶的扩散方 程，建立了一个显式差分格式，提出了用数学归纳法对差分格式进行稳定性与收敛 性分析。随后他们 5 4 进一步考虑了更为复杂的分数阶偏微分方程：空间- 时间分数 阶的对流扩散方程，建立了一个隐式的差分格式并用数学归纳法对此差分格式进 行稳定性与收敛性分析y u s t e 和a c e d o 【5 5 】考虑了时间导数为r i e m a n n - l i o u v i l l e 分数阶导数的分数阶扩散方程，对时间导数采用向前的e u l e r 差分格式，建立了显 式的离散格式，并采用f o u r i e r 分析法证明了此差分格式是条件稳定的( 2 0 0 5 ) l u 和l i u 5 6 1 对带第三边界的空间分数阶对流扩散方程给出了显式和隐式的差分格 式，并进行了误差分析。以上是分数阶计算目前所做的一些工作分数阶的计算要 涉及到分数阶导数与积分的定义，我们在下一节介绍分数阶导数，积分相关定义与 引理，这在以后的章节都要涉及到 1 2 预备知识 分数阶导数与积分有许多定义 1 ，5 7 】，例如r i e m a n n - l i o u v i l l e 定义，g r i i n w a l d l e t n i k o v 定义，c a p u t o 定义，m i l l e r r o s s 定义等，为了方便起见，这里只介绍几 个常见的分数阶导数与积分的定义及相关性质，具体内容可参见文献【1 】 定义1 2 1 实函数厂( z ) ，对于实数o t ，如果存在一个实数p ，有p o t ，使得 f ( x ) = x p f l ( x ) ， ( z ) c a ，6 】， ( 1 1 ) 则称( x ) q 定义1 2 2 实函数( x ) ，对于实数口，若，( m ) q ，m n 0 = nu 0 则称 ( x ) 叼 定义1 2 3 ( 左侧、右侧g r i i n w a l d - l e t n i k o v 分数阶导数)设( z ) 是定义在 6 第一章绪论 ( a ，b ) 上的函数，n 是自然数，0 礼一1 p 佗，记 【千】 ( g d 锹z ) = l i mh 一卢( 一1 ) j = o ( 跏z j h ) ，a x b ， c g 。里，c z ，= ，l i mh - p 萎1 c 一1 ，歹( 乡) c z + 歹 ，n o ，p 0 ( 1 6 ) 定义1 2 5 ( 左侧、右但l j r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶导数) 设( z ) 是定义在( a ，b ) 上的函数，佗是自然数，0 佗一1 p a ， ( 1 7 ) z ) n 一卢一1 矽( ) 必，z b ， ( 1 8 ) 这里a 可取作一o o ，b 可取作+ o o 上两式分别称作左侧r i e m a n n - l i o u v i l l e ( r l ) 分数阶导数与右侧r i e m a n n l i o u v i u e ( r l ) 分数阶导数 7 l 一r 空间和时间分数阶偏微分方程 从上式易知，当卢为自然数礼时，r - l 分数阶导数与传统的整数阶导数是一 致的，即： ( d 晕俐= 杀m ( 幽) = 警m ( 1 9 ) 同时可知r - l 分数阶导数恰是r - l 分数阶积分的左逆算子s d 晕碑= 矿贮= ， ( 1 1 0 ) 定义1 2 6 ( c a p u t o 分数阶导数) 设竹一1 p n ，若妒( z ) 一n 1a ，6 ) ，则称 p 州z 1 ：，南e 碟等，o 佗一1 p n ，( 1 1 1 ) (捌姒垆盈，儿酽川=：菇刘b(111)dkxm ，” 为c a p u t o 分数阶导数 r - l 分数阶导数( 左右侧) 与g l 分数阶导数( 左右侧) 有如下性质； 引理1 2 7 设竹一1 p 礼，如果函数( z ) 在区间【a ，6 】上一1 ) 次连续可 微，且( 竹) ( z ) 在a ，纠上可积，则r - l 分数阶导数( d 垒) ( z ) 存在并且与g l 分 数阶导数( g d 呈妒) ( z ) 一致 具有相同的非整数阶的c a p u t o 分数阶导数和左侧r i e m a n n l i o u v i l l e 分数阶 导数有如下的关系式【57 】： 弓i 理1 2 8 设n l p s 。 1 一t o o 这里s o 是常数 引理1 2 1 1 ( j ) r l 分数阶导数的l a p l a c e 变换公式为 c 噬砂( z ) ) ( s ) = s p $ ( s ) 一s k d 肛1 妒( z ) b ，礼一1 卢 佗， ( 2 ) c a p u t o 分数阶导数的l a p l a c e 变换公式为 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) n - - 1 c 。d 星( z ) ) ( s ) = 扩函( s ) 一s 即一知( o + ) ，佗一1 卢佗， ( 1 1 8 ) k = o 特别地当p = 1 时，c a p u t o 分数阶导数。d 量( z ) 就退化成整数阶的导数d 驴( z ) ， 则有 c d 妒( z ) ) ( s ) = s 乒( s ) 一咖( o + ) ( 1 1 9 ) 1 3 本文的结构和主要内容 反应扩散方程是非常重要且应用广泛的一类偏微分方程，它描述了生态学中 物种数量的迁徙变化、人体或动物等复杂组织的发育形成过程、人体的生物学中种 种的现象以及许多有趣的化学反应经典的f i c k 定律可以用来讨论扩散现象的宏 观规律，然而在很多自然系统中，出现许多不遵循f i c k 定律的扩散现象，如不规则 固体、溶解微胞中的电子传输，或者多孔玻璃中的扩散等这种不规则的扩散我们 9 空间和时间分数阶偏微分方程 把它称作是反常扩散，它在当今统计力学中引起极大的关注人们发现包含分数阶 导数的微分方程可以很好地描述这种反常扩散 5 ，6 ，9 】h e n r y 和w e a r n e 5 8 】指 出由含源项的连续时间的随机游走模型可导出一个含有r - l 分数阶导数的分数阶 反应一扩散方程g a f i y c h u k 和d a t s k o 5 9 1 分别考虑了时间是分数阶的反应一扩散 系统与空间是分数阶的反应一扩散系统的形态生成利用计算机模拟分数阶反应一 扩散系统的形态生成并与整数阶的系统进行比较，发现分数阶导数项对系统形态的 生成起了非常重要的作用：时间分数阶导数项使得系统趋向于齐次的振荡，而空间 分数阶的导数项使得系统趋向于耗散的结构 上述的这些文献是从随机游走或计算机模拟的角度来探讨分数阶反应一扩散方 程( 系统) ，而没有从数值分析的角度来考虑方程基于此，在本文第二章中，我 们主要从数值分析的角度讨论r i e s z 空间分数阶反应一扩散方程。在2 1 中，首 先借助l a p l a c e 和f o u r i e r 变换获得r i e s z 空间分数阶反应- 扩散方程在无穷区域 上的基本解，其解由格林函数与初始条件的卷积来表示；2 2 ，2 3 考虑了有界 区域内的r i e s z 空间分数阶反应扩散方程的数值解，直接利用二阶中心差商离散 r i e s z 空间导数，由此建立了显式和隐式的两种差分格式，并且证明了显式的格式 是条件稳定和条件收敛的，而隐式的格式是无条件稳定和无条件收敛的，并把数值 结果与行方法数值结果进行比较，以此说明所构造数值方法的计算有效性，特别地 这些方法可进一步应用到一般的分数阶问题；在2 4 中，我们进一步讨论了有界 区域内带d i r i c h e l t 边界的r i e s z 空间分数阶反应一扩散方程，利用r i e s z 导数与 g r i i n w a l d l e t n i k o v 导数之间的等价关系，利用移位的g r i i n w a l d l e t n i k o v 技巧来 建立显式的差分格式，并且进行了误差估计 经典的线性电报方程最初是在研究电报线上电压电流的变化规律时推导出来 的，可应用于声波在均匀介质中的传播等实际问题的研究近来人们发现声波在 不均匀多孔介质中的传播不符合经典的电报方程f e l l a h 等【6 0 】指出声波在不均 匀多孔介质中的传播可以由含有分数阶导数的分数阶电报方程来模拟b e g h i n 和 o r s i n g h e r 在文【6 1 】中研究了阶数为2 a ( a 1 ) 阶的c a p u t o 时间分数阶电报 】0 第一章绪论 方程，他们在这篇文章中研究了此方程解的性质，并指出此方程的c a u c h y 问题的 基本解可以表示成两个合成的随机过程的概率密度函数随后在文【6 2 】中他们进一 步给出了时间分数阶电报方程解的f o u r i e r 变换形式，但没有给出此方程解的具体 形式近来m o m a n i 在文【3 6 】中采用a d o m a i n 分解方法以幂级数的形式给出了空 间时间分数阶电报方程的解析解和逼近解，但遗憾的是他所采用的边界和初始条 件是特定的 基于此，本文第三章讨论了时间分数阶电报方程，分别考虑了带d i r i c h l e t 边界 条件，n e u m a n n 边界条件，r o b i n 边界条件的三类非齐次时间分数阶电报方程， 利用分离变量法得到了这三类方