（运筹学与控制论专业论文）几类灰色系统的稳定性分析与综合.pdf

a t h e f i si no p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s i l llli lli i l lii l liiiil y 18 4 3 13 5 t h e a n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fs t a b i l i t yi n s e v e r a lg r e ys y s t e m s b y l im i n g w e i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a n gd o n g m e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u l y2 0 0 8 or 111 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名： 奄根号穆 日 期： 汩舄7 弓 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口两年口 学位论文作者签名：鸯呱：；庙 导师签名：彻冬桶 签字日期： 护分7 7 签字日期： 删8 7 5 j j1j 东北大学硕士学位论文摘要 几类灰色系统的稳定性分析与综合 摘要 灰色控制由于深刻的实际背景已引起广泛的关注，并取得丰硕的研究成果。稳定性 是客观世界及工程实际中不可缺少的问题，它是控制系统结构的重要属性，而l y a p u n o v 方法在稳定性的研究中起着至关重要的作用。本文基于l y a p u n o v 方法讨论几类灰色系 统的稳定性及控制器的设计问题，得到了有关的判据。 首先了解灰色系统形成和研究任务及灰色系统的一维反馈，简单介绍正常系统稳定 性的重要意义。 然后在了解对称灰色系统和强优对角灰系统这两种线性灰系统特殊形式的稳定性 后，针对一类非线性扰动的灰色连续系统的一致渐近稳定和镇定问题进行讨论，给出满 足l i p s c h i t z 条件的鲁棒镇定控制的一种方法。利用灰色系统本身性质，给出系统一致渐 近稳定的条件，设计基于l y a p u n o v 函数的鲁棒镇定控制器并通过实际例子的仿真验证 结论的正确性。 接下来将灰色系统理论引入到非线性广义系统中，基于类反步法的思想设计一种新 型灰色滑模控制器。这种控制器对设计参数的选取没有过多严格的限制，同时能保证被 控系统的状态得到快速鲁棒镇定并且超调量小。该方法运用到一个控制系统中，仿真结 果表明所提出的控制器具有优越的性能。 最后将灰色系统理论引入到线性切换系统中，针对灰色切换系统分别给出单一的反 馈控制和多反馈控制，单一反馈控制设计方法简单，而多反馈控制具有当单一反馈无法 实现时使得系统稳定的特点，两种控制分别在实例当中验证其正确性。 关键词：灰色系统；一致渐近稳定；鲁棒镇定；滑模拧制器 t h e a n a l y s i sa n ds y n t h e s i so fs t a b i l i t yi n s e v e r a lg r e y s y s t e m s a bs t r a c t g r e yc o n t r o lb e c a u s eo fp r o f o u n dp r a c t i c a lb a c k g r o u n dh a sa r o u s e dw i d e s p r e a dc o n c e r n ， a n da c h i e v e df r u i t f u lr e s e a r c hr e s u l t s s t a b i l i t yi si n d i s p e n s a b l ep r o b l e m si nt h eo b j e c t i v e w o r l da n dt h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c a l i ti sa ni m p o r t a n ta t t r i b u t eo ft h ec o n t r o ls y s t e m l y a p u n o vm e t h o dp l a y sa v i t a lr o l ei nt h es t a b i l i t yo ft h er e s e a r c h b a s e do nt h el y a p u n o v m e t h o dt h es t a b i l i t ya n dt h ec o n t r o l l e r sd e s i g ni ns e v e r a lg r e ys y s t e m sa r es t u d i e d ，a n dt h e r e l e v a n tc r i t e r i o n sa r eo b t a i n e d f i r s to fa l l ，t h ef o r m a t i o n ，r e s e a r c ha n do n e - d i m e n s i o n a lf e e d b a c ko fg r e ys y s t e ma r e r e c o g n i z e d t h es i g n i f i c a n c eo fs t a b i l i t yi nn o r m a ls y s t e m i sb r i e f l yi n t r o d u c e d a n d t h e n ，t h es t a b i l i t i e so ft w os p e c i a lf o r m sf o rd o m i n a n td i a g o n a la n ds y m m e t r i c a lg r e y s y s t e ms h o u l db eu n d e r s t o o d b yac l a s so fn o n l i n e a rd i s t u r b a n c eo ft h eg r e yc o n t i n u o u s s y s t e m ，t h ec o n s i s t e n ta s y m p t o t i c a ls t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o ni s s u e s a r ed i s c u s s e d ，a n da m e t h o do fr o b u s ts t a b i l i z a t i o nc o n t r o ls a t i s f y i n gt h ec o n d i t i o n so fl i p s c h i t zi sg i v e n u s i n g t h en a t u r eo fg r e ys y s t e mi t s e l f , w ep r o v i d et h ec o n d i t i o no fc o n s i s t e n ta s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ， a n dd e s i g nr o b u s ts t a b i l i z a t i o nc o n t r o l l e rb a s e do nl y a p u n o vf u n c t i o na n dt h r o u g hp r a c t i c a l e x a m p l e so fs i m u l a t i o nc o r r e c t i n gc o n c l u s i o n s t h e n ，g r e ys y s t e mw i l lb ei n t r o d u c e dt ot h et h e o r yo fn o n l i n e a rg e n e r a l i z e ds y s t e m ，b a s e d o nt h et h i n k i n go fb a c k s t e p p i n gd e s i g n i n go fan e wg r e ys l i d i n gc o n t r o l l e r t h e r ea r cn o t m a n ys t r i c tr e s t r i c t i o n sf o rt h es e l e c t i o no fd e s i g np a r a m e t e r sb yt h i sc o n t r o l l e r t h es y s t e m c a ng u a r a n t e et h a tt h es t a t ew a sc h a r g e dw i t hr a p i da n dr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n ds m a l l o v e r s h o o t t h em e t h o da p p l i e dt oac o n t r o ls y s t e m ，t h es i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a tt h e p r o p o s e dc o n t r o l l e rh a ss u p e r i o rp e r f o r m a n c e f i n a l l y ，t h eg r e ys y s t e mt h e o r yi s i n t r o d u c e di n t ot h el i n e a rs w i t c h i n gs y s t e m s i n g l e f e e d b a c kc o n t r o la n dm o r ef e e d b a c kc o n t r o la r ed e s i g n e dr e s p e c t i v e l yb a s e do ng r e ys w i t c h i n g s y s t e m as i n g l ef e e d b a c kc o n t r o lh a st h ea d v a n t a g eo fs i m p l e ，w h i l em u l t i p l ef e e d b a c k i i i 东北大学硕士学位论文albs魄ct c o n t r o lc a na c h i e v es t a b i l i t yw h e nas i n g l ef e e d b a c kc a n tr e a c h ，c o n t r o l r e s p e c t i v e l yi nt h e t w oe x a m p l e sa r ep r o v e dt ob ec o r r e c t k e yw o r d s ：g r e ys y s t e m ；c o n s i s t e n ta s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ；r o b u s ts t a b i l i z a t i o n ；s l i d i n g c o n t r o l l e r i 、， 东北大学硕士学位论文 目录 独创性声明 目录 摘要 目录1 0 r 第1 章绪论 1 1 灰色理论的形成及研究任务。1 1 2 灰色系统的一维反馈2 1 2 1 灰色模型2 1 2 2 一维反馈有关定理。6 1 3 系统稳定性的描述8 1 4 本文的主要工作1 0 第2 章灰色系统稳定性1 1 2 1 线性灰色系统的稳定性1 1 2 1 1 对称灰系统的稳定性1 1 2 1 2 强优对角灰系统的稳定性1 7 2 2 非线性灰色系统稳定性1 9 2 2 1 预备知识及问题描述1 9 2 2 2 稳定性分析。2 0 2 2 3 仿真实例2 2 2 3 本章小结2 4 第3 章广义灰系统稳定性k 。2 5 3 1 连续广义系统的稳定性2 5 3 1 1 广义系统的状态空间表达式和传递函数2 5 3 1 2 广义系统稳定性。2 7 3 1 3 线性矩阵不等式( l m i ) 介绍。2 9 3 2 灰色广义系统：。3 1 3 2 1 问题描述3 1 v 东北大学硕士学位论文目录 3 2 2 广义灰系统鲁棒滑模控制器的设计3 2 3 2 3 仿真实例3 3 3 3 结论3 4 第4 章灰色切换系统镇定观测器的设计。3 5 4 1 切换系统的单一l y a p u n o v 函数与多l y a p u n o v 函数3 5 4 2 灰色切换系统。3 8 4 2 1 系统描述及准备工作3 8 4 2 2 灰单一反馈控制和多反馈控制3 9 4 2 3 仿真实例4 0 4 3 结论。4 2 第5 章结论与展望 参考文献 4 3 4 5 1 致谢。i j 9 作者攻读硕士学位期间完成的论文5 0 v i 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 灰色理论的形成及研究任务 灰色理论是中国学者邓聚龙教授1 9 8 2 年3 月在国际上首先提出来的。第一篇灰色系 统的文章发表在由北荷兰出版公司出版的s y s t e m sa n dc o n t r o l i e 1 陋r 刊物 上，题为“c o n t r o lp r o b l e m so f g r e ys y s t e m s ”。文章发表后引起了国际上的重视，受到了 好评。 早年邓教授从事控制理论和模糊系统的研究，取得了许多成果，后来为了某些实际 问题的预测，他致力于时间序列法的数据的拟合，为了简单，他将原始数据作了各种处 理，找到了累加生成，发现累加生成曲线是近似的指数增长曲线，而指数增长正符合微 分方程解的形式，在这个基础上解决了微分方程的建模问题。从所建模型中，发现单数 列微分方程有较好的拟合和外推特性，所需要的最少数据只有四个，适合于预测。经多 个领域的使用证实了模型的预测精度，且使用简单，既可用于软科学，如社会、经济方 面，又可用于硬科学，如工业过程的预测控制。以单数列的微分模型g m ( 1 ，1 ) 为基础， 取得了五种灰色预测方法，建立了灰色决策，并将建立的关联度、关联空间包括在内， 这样便形成了以系统分析、信息处理( 生成) 、建模、预测、决策、控制为主要内容的灰 色理论。 灰色控制的产生，从系统控制理论的观点看，是由经典控制理论到现代控制理论， 再到模糊控制理论，最后到灰色控制理论的。经典控制理论研究的对象是单输入、单输 出的线性定常系统，建立的数学模型是传递函数，采用的分析方法是频率法与根轨迹法， 其特点是从外部研究系统。现代控制理论研究的对象是多输入、多输出的复杂系统，建 立的数学模型是状态方程，用状态空间法进行分析，其特点是从内部研究系统。上述两 种理论均依赖于系统正确严密的数学模型。而随着社会的发展，人们遇到了许多得不到 精确数学模型的系统，于是出现了模糊控制理论，其基本思想是将人的经验写成模糊规 则，利用模糊数学为工具，确定控制量去控制被控对象。但这三种理论都研究的是白色 系统。而客观世界存在大量的灰色系统，这类系统无法用传统的方法建模，这就导致了 灰色理论在控制界的发展。 客观世界是物质的世界，也是信息的世界。在工程技术、经济、环境等各种系统中 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 经常会遇到信息不完全的情况，如参数( 或元素) 信息不完全；结构信息不完全；关系信 息不完全；运行行为信息不完全等等。我们将信息完全明确的系统称为白色系统；信息 完全不明确的系统称为黑色系统；而介乎于两者之间的，即信息部分明确，部分不明确 的系统称为灰色系统。灰色系统的研究任务包含了系统的分析、建模、预测、决策和控 制，灰色控制指按灰色系统分析、建模、预测、决策的思路所构造的控制方法。具体可 分为灰色关联控制、灰色协调控制、灰色决策控制、去余控制、灰色预测控制等。 1 2 灰色系统的一维反馈 作为一般系统，研究用尽可能少的控制通道、控制单元进行控制具有很大的技术经 济意义。作为灰色系统，研究用尽可能少的单元进行控制，更为寻找白色控制提供了方 便。所谓一维反馈，是研究用一个反馈通道、一个反馈单元实现控制。 1 2 1 灰色模型 灰色系统 圣。a ( 弦+ 曰“ y c 净 z r 4 ，h f 并且有 彳( 动一 c ( 妫一 c 1 1 ) c ( i ，1 ) c 陬 1 ) 。a u n t 口2 口j l c 1 2 ) c ( i ，2 ) c ( 。万2 ) 口( 瓯可) 按照上述情况，可将白色的控制及观测分开，比如 c 轨) c ( i ，厅) 东北大学硕士学位论文 笫1 章绪论 式中 记 4 ( 跏一 口( 蛾巧 羔口c 歹冷，+ 6 c 堪巩耖，( ：1 ) 嘻口( | 冷，+ 6 ( q 耖l ；i 口c，。、a口l可j，_l2， y c ( 弦= c 陬1 1 ) c 他1 2 ) c 佾h ) c ( i ，1 )c ( ，2 ) c ( f ，刀) c ( 以1 ) c 厅2 ) c ( ，m ) c ( 瓯1 ) 一【c ( ，1 1 ) ，c ( 瓯h ) 】 c ( ，f ) 一【c ( i ，1 ) ，c q ，以) 】 c ( 区) 刀) 一【c ( 愿) ，n 1 ) ，c ( i 瓯刀以) 】 m ： m ： y 。 一c ( 弦i c ( 啦 c ( ，i ) x c ( ，n ) x 奶= c ( ，i ) x 一【c a ，1 ) ，c ( i ，n ) 】 x 2 ： 归纳起来，矩阵彳( ) 具有列为白、观测灰阵c ( ) 具有一行为白的系统模型为 r 叠一a ( j ) x ，+ b u ，y l c ( i 冷 j o i 毛；h；瓦 茎苎盔茎塑主茎垒堕圭 墨! 主竺堕 币l 早肾佑 式中口( ) ；f 7l ，c o ) ；c ( 气d 。q 。 hj 为了实现一维反馈，也可以b ( 动，c ( 妫为灰阵，在y 各分量中只取出一个，比如 y c k , ) ：在x 中也只要一个，比如z ( 五) 。这样的控制，实际上是从夕( 七1 ) 经一定的控制器矽， 反馈到z ( 1 ) 点，其结构见图 式中 考虑到 x 一第五行 图1 1 灰系统的反馈控制 f i 9 1 1f e e d b a c kc o n t r o lo fg r e ys y s t e m 1 0 1 0 1 0 1 x + 第五行 z 。d i a g ( 1 , ，1 , o ，1 1 ) x + a r ( ，j ，刀h ( 五) a t ( ，行) = 4 0 ： o 1 0 ： 0 第五行 1i x ( 元) 东北大学硕士学位论文 第1 章绪论 将在n 行中只有第 行元素存在，其余元素为零的列向量记为a t ( ，| ，n ) 这里的所 彳c 国吩工一毫口。h + 口c 。，巧， ：1 ) 芝口g 心一口( 矗沁( ) + a ( j 2 ) x ( j ：) + + 口( l ) x ( l ) 【口( 矗) ，a ( j ：) ，口( l ) ；0 】 z ( 五) x ( 元) z ( 五) 0 = a ( j , j ，p ( 丘) 4 ( l ) 一【口( ) ，a ( j ：) ，口( l ) 】 、一x ( j x t a i , ) l x ( j d , x ( j d 、, ，工( l ) r 。 ，工u ，丌 所以，若在彳( l ) 中只需要第五列，则可用a t ( ，j ，n ) 右乘彳( 矗l ) ， 因为 5 第 行 蔓型型塑坠坠生兰堡垒塞二一 苎! 主t r - 壁垒 一 即；百t e x o ) 工( 五- 1 ) z ( ) z ( + 1 ) + 工( 1 ) x ( 一1 ) 0 x ( + 1 ) + iz ( ) l x 所以也可认为x 中还含有一个分量 口r ( 宰，j ，n ) x ( j 1 ) 总之，现在在状态方程中，实际的白色控制部分是彳( l ) 口r ( 奎，j ，以沁( ) ， 或者将状态模型表示为 叠= a ( j 1 l ) a r ( ，j ，玎讧( ) + 彳( 1 甄，) + 曰n 1 2 2 一维反馈有关定理 考虑系统状态模型为 七一彳( 鱿+ 彳( j p ( j ) + b ( g 归 y - c o x i - 1 , 2 , n y c 扛 对上述方程做拉氏变换，得 【c ( 动一爿( 妫) 。1 曰( 妫】1 y ( o - u ( o 或者 g 。1 ) y o ) - u ( s ) 加入反馈 口o ) - f j ( s ) y ( s ) 得结构模型 g 。1 ( 嘞) y ( ? ) 一“( s ) + 只( s 沙( 譬) g 1 ( q o ) = 【c ( 动一彳( 妫) 一1 口( 妫】- 1 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 定理1 1 1 1 若“和状态向量均为以维，g 。1 0 ) 的元素为锄，劬的代数余子式为岛， 即g 以o ) 一( 劬) ，g o ) 一( 磊老) ，记口，( 幸，七，刀) 为第j 行七列元素为1 ，其余元素为。 叫“刊删 触) - 盘嚣产 则系统特征多项式中含有因子，。o ) ，且死( s ) 中只有一个非零元素厶o ) 。 【g 以o ) 一只( s ) 】y ( s ) - u ( s ) f ( s ) 一d e t ( g d o ) 一只( s ) ) _ d 州r g 1 c 嘞一( 口，c ，万，】厶 厂o ) 一d e t 留( 1 ) q ( 2 ) 留( j ) q ( n ) 0 0 i ； i 啪如) 卜 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 故 - d o t g ( 1 ) 日( 2 ) g ( j ) 一a j ( 掌，k ， ) g o ) 口( j ) 一a ，( 奉，k ，万) 厶一【仍，吼z ，缸一厶弦】 f ( s ) 一喜q j i q j i 一二：墨铲q 皿( s ) 一厂。( s ) 附注： 1 系统的k 个输入点经控制器反馈回第i 个控制点； 2 系统动态通过一个反馈通道能得到全部改变，这种特性我们称之为扩散特性； 3 未加控制器时系统为n 阶，有n 个特征值，加入控制器后转化为甩+ m 阶，系统多 出m 个特征值，为了使系统有满意的品质，这m 个特征根也需要校验其根平面的位置： 4 针对b ( 动，c ( 妫为灰的系统的结构图，图中为观测器。 图1 2 灰系统的一维反馈 f i 9 1 2o n e - d i m e n s i o n a lf e e d b a c ko fg r e ys y s t e m 1 3 系统稳定性的描述 随着控制理论的不断发展，稳定性理论也倍受重视。有关稳定性的类别、研究方法 都在不断更新。稳定性是系统的一个重要特性。一个系统要能正常工作，它首先必须是 一个稳定的系统，即系统应具有这样的性能：在它受到外界的扰动后，虽然其原平衡状 态被打破，但在扰动消失后，它有能力自动地返回原平衡状态或者趋于另一新的平衡状 一8 - 东北大学硕士擘位论文 第l 章绪论 态继续工作换句话说，所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量 与规定量之间的偏差值的过渡过程的收敛性。可见，稳定性是系统的一个动态属性 在控制理论中，无论是调节器理论、观测器理论还是过滤预测理论，都不可避免地 要遇到系统稳定性问题。因为不稳定的系统通常是不能付之实用的，所以在控制工程和 控制理论中，稳定性问题一直是一个基本的和重要的问题；稳定性是控制系统的一种结 构属性，是系统分析与设计的前提条件，也是实际系统正常工作的基本保障。按照系统 设计的不同要求，系统稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描 述的内部稳定性。而对于线性时不变广义系统，内部稳定即为渐近稳定，也是稳定性理 论中最具重要性和普遍性的研究问题。灰色系统是正常系统的一种延伸，灰色系统的稳 定性理论较正常系统的更为复杂。 l y a p u n o v i 函数法是整个稳定性理论的核心方法，系统的稳定性可以由l y a p u n o v 第一 和第二方法来判定。第一方法又称间接法，是解出系统的状态方程，然后根据状态方程 解的性质判别系统的稳定性的，这一方法在非线性系统中尤为适用。第二方法又称直接 法，它的特点是不必求解系统的状态方程，就能对其在平衡点处的稳定性进行分析和做 出判断。此方法中通常需要构造一个能量函数，再通过这一函数的性质来判定这个系统 在平衡状态的稳定性。由于l y a p u n o v 第二种方法概念直观，方法具有一般性，物理意义 清晰，在1 9 6 0 年前后被引入到系统与控制理论中后，就得到了广泛的应用，不管是理论 上还是在应用上都显示出了它的重要性。本文中，只涉及第二方法。 考虑状态方程 圣一( x ，f ) ，厂( 0 ，f ) 一0 ( 1 1 ) 定理1 2 【2 l 对系统( 1 1 ) ，如果存在一个具有连续偏导数的标量函数y ，t ) ，并且满足 条件： ( 1 ) v ( x ，f ) 是正定的； ( 2 ) 矿o ，f ) 是负定的。 那么系统( 1 1 ) 在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的，如果随着州i - ，有 v ( x ，f ) 呻，则在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。 定理l 2 l 对系统( 1 1 ) ，如果存在个具有连续偏导数的标量函数y 0 ，t ) ，并且满足 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 条件： ( 1 ) v ( x ，f ) 是正定的； ( 2 ) 矿 ，f ) 是半负定的。 那么系统( 1 1 ) 在原点处的平衡状态是一致稳定的。 1 4 本文的主要工作 本文利用l y a p u n o v i 蟊数法将灰色控制应用到非线性广义系统、线性切换系统中。全 文分五章： 第一章主要介绍灰色系统发展、研究背景及稳定性的简单意义。 第二章对于连续非线性灰色系统 t 一彳( l 沁o ) + b u + o o ( x ，口( f ) ) 讨论这类混杂系统所具有的一系列特殊的稳定性。所得结果推广了已有的非线性系统稳 定性的相关结论。 尽管l y a p u n o v 方法在研究系统的稳定性中起了很关键的作用，它的许多基本定理及 其各种推广解决了许多实际问题，但是有些问题却棘手，必须结合其它方法，其中在非 线性理论上最完善、应用上最广泛的便是滑模控制。文章的第三章研究灰色广义系统 臌( f ) 一彳( 0 沁p ) + 砌o ) + 厂o ，毛口) 结合l y a p u n o v 方法和类b a c k s t e p p i n g 力r 法研究灰色广义系统的稳定性，为该系统稳定性 的研究提供了一种新的方法。 切换系统的研究直是控制领域极具挑战性的工作。文章的第四章对灰色切换系统 戈o ) ，乞( 区) ) 石( f ) + b o u ( t ) y c o ( o 沁p ) 的单一反馈和多反馈控制器设计给出了相应的结论，再现了切换系统应用的广泛性和独 有的优越性。 最后一章进行了全文的总结与展望。 据检索，相关技术综合应用于广义系统、切换系统的讨论的文献是罕见的。 1 0 东北大学硕士学位论文第2 幸灰色系统稳定性 第2 章灰色系统稳定性 稳定性的研究一直是控制领域讨论的热点，文献【3 】对于开环灰色线性时滞系统的稳 定性进行详细研究，提出相应的判据；文献【4 】讨论了非线性时滞离散系统稳定性，上述 文献都是研究离散系统，但在实际中，系统存在着非线性连续不确定性且不一定能保持 好的性能，甚至于不能保证稳定性，这就需要人为地加入一个反馈，转化为具有理想性 能的系统。本章试图利用一个静态状态反馈，采用分析地方法去研究一类连续的非线性 灰色系统的鲁棒镇定问题，给出获得控制律的一种简单方法，并用所给的一致渐近稳定 定理验证其有效性。 2 1 线性灰色系统的稳定性 2 1 1 对称灰系统的稳定性 定义2 1 1 1 1 对灰向量z ( 妫及玎，l 阶实对称矩阵彳( 可以为灰) ，称 为灰色r a y l e i g h 商。 定义2 2 【1 1 对于系统 且 即( 。) ) 一鬻( 删删 圣一彳( 区怔+ b ( 愿归 彳( 妫e g 。”，口( 妫g “ 彳( 锄一 瓯 2 。 蛾。蛾：。m ( 1 ) 若一 j f ，则称爿( o ) 为全灰对称矩阵； ( 2 ) 若一o ，j ，q 。一口。是白数，对称彳( 动为对称灰阵。 定理2 1 【1 l 彳( 嘞为实对称灰色状态矩阵，即 1 1 苎苎曼型生羔兰塑堕一 釜! 主盔鱼墨丝整塞丝 一 币z 早伏巴豕玩穗疋惶 榔阵 | ” 【瓯。 吼 吼 瓯2 瓯j 蚪吼呜 l 朋j 当且仅当口- 0 ，以彳( 动及其主要子矩阵彳7 c o ) ，；1 ，2 ，刀一1 为状态矩阵的系统必 证明，厂阶实对称白矩阵，记为，爿( ( 妫为实对称矩阵，即 “ 三) 圳2 b ：。 将彳7 的特征值按大小次序排列为 砰s 7 s 墨矿 其相应的标准直交特征向量为 茸，砖，毫7 又将彳p + 1 ( ) 的特征值按大小次序排列为 其相应的标准直交特征向量为 则可以证明 r + 1 s 硝+ 1 s 墨街1 ) 墨”n ，砖“，# ：+ 1 ) ”1 s s ：1 用4 2 1 表示由钟州，# 哪，：1 ，七一1 ，2 ，+ 1 张成的线性空间，用叫一。表示由 碍”，譬，2 ，k l 2 , ，张成的线性空间。 d i m 。( r + + 1 ) 一七+ 1 ，d i m t ) 。( r 一) 一k 一1 不妨认为存在向量z 1 2 东北大学硕士学位论文第2 章灰色系统稳定性 工上m i - 1 , 2 , k - 1 , 刊：i ) x 还可以表示为 x 。 则矩阵彳h 1 的r a y l e i g h 商尺，+ l o ) 和a 7 的r a y l e i g h 商r ( y ) 相等，e p r ，( y ) 一r + 。o ) 也+ ，在趟譬”上的最大值为：n ，故尺，+ 。o ) ：n ，趟2 的直交空间上的最小值为巧， e p r , t y ) 乏”， a i l i i 苇fa i r - ”。 又令4 ”一“h n ，l ：1 ) ，4 n - 2 ，n ，k 一1 ，2 ，厂。按上述思想，可证 ”1 s 硝”，因此有各”1 s 墨：n 。 对于r 乩a ( 1 ) o i l , 掣q - ，一2 ，一( 乏乏) ，有掣s 水s 矽。 由于硝d a l l o ，故硝2 0 。 类推之，对于，一3 ， ，也均适合。 例2 1 分析系统 戈一彳( 冷+ 口( 区枷 彳。( 乏意) ，q ：。瓯 的稳定性。 解对彳( o ) 求特征值，有 a c t ( 2 1 - a c 沪急) ( a 一口1 1 ) ( a 一 2 2 ) 一 i 20 2 1 一a 2 0 + ，) 允+ ( 口 ：一q ：一 ：。) 1 3 羔坐茎登塑兰兰垒堕圭一一蔓! 主壅鱼墨丝整塞丝一 印干伏巳糸玑碣走旺 并记为 枷譬掣 硝2 一 2 t 2 1 竺! ! 垒2 二型! 竺! ! 叟丝! ：二兰鱼! ! 鱼恐- 8 , ： ：。) ，1 。- - _ _ - _ _ _ 一 2 虹堕近歪芷互五亟 2 记q 2 一。时的硝2 为2 ( 0 ) ，i ；1 , 2 ； 记q ：一0 时的2 为2 ( 妫，i 1 ，2 ， 为此有硝2 ( o ) _ 口- - ，f 一1 2 ，若q ：一 ：。，则砖2 分子中内的4 q ：吼。恒为正，因此 必有 即硝2 。 同理有 2 ( 。1 ：) - 硝2 ( 。l ：) - 组! 垒! 厄忑函丽 2 硝2 一 笠 鱼! ! 垒! 二正i 西函可 2 趟2 ( 0 ) 硝2 ( o ) 因此有硝2 ( q ：) 0 ，因此系统不稳定。 彳( 动t lq - 瓯i ，吼= f q ，q ： n 、i i q 。 3 2 瓯j 吼；o ，a i i 】 解将彳( o ) 作区间表示，有 爿( 动一i n 2 】 【4 ，5 42 】 卜2 ，- 0 4 】i ，【3 ，】 b 】 【 一2 】、 u - 4 ，一2 】【0 4 】【6 ，7 】j 4 。司 东北大学硕士学位论文第2 章灰色系统稳定性 构造 有一1 , x 2 1 。 舢( 主三) - ( ：芝：2 ；：芝：乏；) - 1 , i 2 2 x - k ，屯，屯l r ，而l 一五，而2 屯，- 1 , i 2 2 因为玛一而l ，x 3 一而2 ，便有毛- 0 。 叫三矧争砸， 由于4 2 g ) 一9 0 ，因此有k ( 由 0 ，故此系统不稳定。 2 1 2 强优对角灰系统的稳定性 定义2 3 【1 i 系统 戈一4 ( 弦+ 丑( ) “ 彳( 哟g 。”，曰( 动g 。” 彳( 妫一 q 。q 2 l 晚。瓯 瓯。蛾： 若爿( ) 内的灰元吼满足条件 ( 1 ) 是有界的，【约，口 】，f ，j 一】，2 ，n ； ( 2 ) 吼在灰域内的任一白化值，均满足 k i 善h i ， 一 则称此系统为一般的强优对角灰系统。 若满足 h | p u 2h l 1 1 7 东北大学硕士学位论文 第2 章灰色系统稳定性 l 纽p i8 i j - i j 1 则称此系统为严格的强优对角灰系统。 一般，我们对这两个概念不做区别，除非另有说明。 定理2 3 1 1 】若强优对角灰系统的主对角元为正的实数，即纽 0 ，则彳( 妫所代表的 灰系统必不稳定，且彳( 动的特征值a = 口+ 伊的实部r e = 口均大于0 。 证明据灰阵特征值理论知：彳( 动中每一行都有一组g e r s c h g o r i n 圆( 简称g 圆) ， 其圆心为纽，其半径为万一j 曼- t i 乙l 为上界，以鱼一耋l 岛f 为下界，若满足强优对角条件， 则无论f - l 2 ，以，其爿( ) 第i 行的g 圆g ( 下界g 圆) ，g l ( 上界g 圆) 均位于根平 面的右半部，因此根的实部r e a 必大于0 。 定理2 4 【1 】线性定常系统 戈一彳( 冷+ b ( ) “ 若4 ( o ) 是对角线元素为灰其余元素为白的矩阵，即 4 ( 呦一 q 。 a 牡 a la 2 口l j l 口知 瓯 且瓯【红，a u 】，i = l 2 ，刀。 做判定矩阵妒，且9 。( 祥) ，k - l 2 。 对于七一1 ， = 五1 + a j i ) ，厶j 一陟，厅，i 乒f 弼= 口赶，f ，| 一1 ，2 ，n ，i 一】 对于k 一2 ， 硝2 ) 一了1 + 口j i ) ，i ，一1 2 ，一，j - f 9 - ，f ，= 1 ，2 ，n ，i ；】 1 8 东北大学硕士学位论文 第2 章灰色系统稳定性 ( 1 ) 当且仅当判定矩阵矿1 负定，则灰系统稳定： ( 2 ) 当且仅当判定矩阵妒2 正定，则灰系统不稳定。 2 2 非线性灰色系统稳定性 2 2 1 预备知识及问题描述 考虑非线性灰色连续系统 孟一彳 冷o ) + b u + o ，口( f ) )( 2 1 ) 其中x ：r 4 一彤，彳( 。) 为以一阶实矩阵，它的元素吼g ，一1 ，2 ，以) 不确定，但有界， 即p us s 锄，甜( o ，口( f ) ) 一o ，的表达式也可能含有灰数或就是一个灰关系。 定义2 4 当系统的扰动项o ，口( f ”一0 ，并且系统输x u = o 时，( 2 1 ) 式变为 戈一彳 如( f ) 叫做系统( 2 1 ) 的初始状态方程。而 戈一办( f )( 2 2 ) 叫做极大初始状态方程。 定义2 5 称一个静态状态反馈一七o ) 为系统( 2 1 ) 的一个局部鲁棒状态反馈镇定控 制，当其对应的闭环系统 圣一彳 扛( f ) + 掀o ) + o ，口( f ”( 2 3 ) 的原点xl0 对于任意的0 e q cq 是局部一致渐近稳定的，其中k 是一个光滑函数映射 尺“呻尺，且七( 0 ) 一0 ，q 是q 的一个合适的紧子集。若对于v 秒q ，原点是全局一致 渐近稳定的，则称h 为一个全局镇定鲁棒控制。 整理( 2 3 ) 式，得 量- 彳( 沁( f ) + 厂o ，p ( f ) )( 2 4 ) 引理2 1 f 1 j 当旦仅当研 ) ，