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摘要 摘要 数学物理中的很多问题都可以归结为带有c a u c h y 核的奇异积分与积分方程。 因此，关于此类问题的文献比较多。但直接计算c a u c h y 积分和解积分方程有时显 得非常困难。从而，对此类问题的讨论就转向了求其数值解。 本文首先叙述了c a u c h y 奇异积分与积分方程数值解的发展背景，以及现有的 一些具有代表性的方法。其次，对于带有c a u c h y 核的奇异积分，我们给出了一种 新型的求积公式和e u l e r - m a e l a u r i n 展开式，以及外推公式。同时，还给出了带有 h i l b e r t 核的奇异积分的求积公式。利用这些公式给出了具体带有c a u e h y 和h i l b e r t 核的奇异积分算例的误差结果，并与已有的一些算法进行了数值结果比较，充分 说明了这些公式是高精度公式。另外，本文还讨论了带有c a u c h y 核和h i l b e r t 核的 奇异积分方程的数值解法，也给出了具体算例的误差结果，且与其它方法的结果 进行了比较，验证了本文求积公式的优越性。最后，对此问题进行了总结与展望。 关键词：c a u e h y 积分及积分方程，h i l b e r t 积分及积分方程，求积公式，外推公式， e u l e r - m a c l a u r i n 展开式 a b s t r a c t al o to fp r o b l e m si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c sc a nb eb o i l e dd o w nt ot h ei n t e g r a l s a n di n t e g r a le q u a t i o n sw i t hac a u c h ys i n g u l a rk e r n e l t h e r ea r em a n yl i t e r a t u r e s s t u d y i n gt h i sk i n do fi n t e g r a l sa n di n t e g r a le q u a t i o n sa n dt h es t u d yb e c o m e sm o r ea n d m o r ei m p o r t a n t b u ti ti sv e r yd i f f i c u l tt oc a l c u l a t ec a u c h yi n t e g r a la n di n t e g r a l e q u a t i o n sd i r e c t l y s op e o p l es w i t c hf r o mt h es t u d yo ft h e s ep r o b l e m st ot h e i rn u m e r i c a l s o l u t i o no ft h ei n t e g r a l sa n di n t e g r a le q u a t i o n s f i r s t l y , t h i sp a p e rm a i n l yd e s c r i b e st h ed e v e l o p m e n tb a c k g r o u n do ft h em e t h o d st o g e tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h ec a u c h yi n t e g r a le q u a t i o n s s e c o n d l y , f o rc a u c h y s i n g u l a ri n t e g r a l s ，w ep u tf o r w a r dan e ws t y l eo fi n t e g r a lf o r m u l a , a n de u l e r - m a c l a u r i n e x p a n s i o na sw e l la se x t r a p o l a t i o nf o r m u l a a tt h es a m et i m e , w eg i v et h ei n t e g r a l f o r m u l ao fh i l b e r ts i n g u l a ri n t e g r a l w i t ht h e s ef o r m u l a s ，w eg i v et h ee r r o rr e s u l to f s p e c i f i ce x a m p l eo fc a u c h ya n dh i l b e r ts i n g u l a ri n t e g r a lq u a d r a t e w es h o wt h a tt h e s e f o r m u l a sa l eh i g h l ya c c u r a t eb yc o m p a r i n gw i t ht h en u m e r i c a lr e s u l t so fo t h e r a l g o r i t h m s t h i r d l y , w ed i s c u s st h en u m e r i c a ls o l u t i o n so ft h ei n t e g r a le q u 撕o n sw i t ha c a u c h ya n dh i l b e r ts i n g u l a rk e r n e la n dg e tt h ee n 叼i rr e s u l to fs p e c i f i ce x a m p l e s t h e s e a l s oe x p l a i nt h a tt h ei n t e g r a lf o r m u l ai sh i g h l ya c c u r a t e a tt h ee n do ft h i sp a p e r , i t g i v e ss o m ec o n c l u s i o n sa n di n t r o d u c e st h ed e v e l o p m e n td i r e c t i o no ft h ef u t u r e k e y w o r d s ：c a u c h yi n t e g r a l a n di n t e g r a l e q u a t i o n ，h i l b e r ti n t e g r a l a n di n t e g r a l e q u a t i o n , i n t e g r a lf o r m u l a , e u l e r - m a c l a u r i ne x p a n s i o n , e x t r a p o l a t i o n f o r m u l a 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 签名：! 垂兰三整日期：彻罗年j 月，乒日 | 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：翌啦导师签冬龚芝l 醐：叫年歹月l 乒日 第一章绪论 第一章绪论 奇异积分方程理论的研究和发展由来已久。在弹性理论和断裂力学以及一些 重要的数学物理问题中有着广泛的应用。 众所周知，在解平面l a p l a c e 方程的典型边值问题一一d i r i c h l e t 问题和 n e u m a n n 问题时，可以分别利用对数双层位势和单层位势，把边值问题化为相应 的第二类f r e a h o l m 型积分方程来讨论。d h i l b e r t 在研究解析函数的边值问题时， 发现了具有c a u c h y 核的奇异积分方程，h p o i n c a r e 在研究海潮的数学理论所归结 出来的边值问题时，也遇到了奇异积分方程。为了解复变量解析函数论的各种边 值问题，类似于上述所使用的位势，可以利用c a u c h y 型积分来处理。由此，研究 含有c a u c h y 型积分的奇异积分方程显得如此重要。 几乎在奇异积分方程的理论应用到实际工程问题的同时，它的数值解法就被 提出来了。特别是近几十年来，奇异积分方程的数值解法的研究有了很大的发展。 由于这种研究具有极强的实用性，国外这方面的工作大多为一些大企业和军事机 构所资助，因而研究十分活跃。从已有的成果来看，方法的应用大于理论分析， 也就是说，不少方法已被提出应用，但其数学原理的研究却不甚深入。随着应用 的愈高要求，近几十年人们已把着眼点转向方法的数学原理研究上，并且经过多 年的努力探索，在数值方法的理论分析方面，已经取得了很多完美的结果。 1 1 c a u c h y 积分的数值计算发展历史 1 1 。1 c a u c h y 积分数值算法发展 由于c a u c h y 型积分方程是含有复变量的解析函数，因此对于求解此类方程的 精确解是相当困难或者是不可能的。于是问题转化成讨论c a u c h y 奇异积分方程的 数值解。通过考虑解的收敛性和误差估计以求得更逼近于精确解的数值解。而利 用数值方法求解奇异积分方程 口( f ) 烈f ) + 塑e ，里鬯d r + 名f k ( t , r ) 伊( r ) 打：厂( f ) ，一l f 1 ( 1 - 1 ) 万 1r z 1 的实质在于把它化成线性代数方程。为此需要解决( 1 1 ) 中所出现的积分的求积问 电子科技大学硕士学位论文 题。因此，作为工具，首先必须研究带c a u c h y 核的奇异积分 ( 黝( f ) = e 竺鬯d f ( 1 - 2 ) 的数值求积问题。 注意到方程( 1 1 ) 中解伊h ，即在1 处可具有不足一阶的奇异性。将这种奇 异性进行分离，( 1 2 ) 的数值求积实际上是一个日族( h o l d e r 连续空间) 上的密度函数 的带权的c a u c h y 主值积分 i ( f , t ) = 。絮挚f ( 1 - 3 ) 的数值求积。由于数值求积具有自身独立的意义，人们一般研究带m 个简单奇点 的c a u c h y 主值积分 w 以) = r 器f ( 1 川 的数值求积问题。 对( 1 - 4 ) 在特殊情形下的数值计算在大量的文献中都有详细的讨论【l - 2 6 1 。总体来 看主要是采用构造插值求积公式。最富有代表性的是d b h u n t e r ，d e l l i o t t ，d e p a g e t 和国内学者杜金元等的工作。 从现有的工作来看，对于( 1 _ 4 ) 可以构造六种类型的插值求积公式，它们分别 是h g ( h u n t e r - g a u s s ) 型、p e g ( p a g e t - e l l i o t t - g a u s s ) 型、i - i m ( h u n t e r - m a r k o v ) 型、 p e m ( p a g e t - e l l i o t t - m a r k o v ) 型以及第1 类和第1 i 类变换权型求积公式。h g 型和p e g 型求积公式分别为h u n t e r 、e l l i o t t 和p a g e t 最早在1 9 7 2 年提出并且进行了研究。 他们的方法虽然具有一些局限性，但仍不失为提出了这两类求积公式的雏形。1 9 7 2 年，h u n t e r 首先考虑了奇异积分( 1 - 4 ) 在l e g e n d r e 权( 即a , c r ) = 1 ) 下的求积公式。 他假定厂具有解析性，得到了h u n t e r - g a u s s - l e g e n d r e 求积公式f l 】。这种求积公式 是将节点选为经典的g a u s s 节点和被积函数的奇点。这种节点选取法是h u n t e r 的 贡献所在，因此人们将这种构造形式的求积公式称为h g 型求积公式。但是h u n t e r 所采用的方法对后来构造h g 型求积公式的工作并不具有太多的影响。他假设厂具 有解析性，于是直接计算一个半纯函数的围道积分就得到他所建立的求积公式。 h u n t e r 的工作随后被一些作者所发展。1 9 7 4 年，m m c h a w l a 和t r 2 第一章绪论 r 啦赫s h n 趾在j a c o b i 权，厂具有解析性假设下给出结果，这是对h u n t e r 工作的 最狭义的推广，因为除细节外并不需要改变h u n t e r 所采用的方法【2 l 。1 9 7 9 年，e l l i o t t 和p a g e t 作出了实质性的推广，他们解除了厂的解析性要求，且是对任意权给出 h g 型求积公式，不过他们仅限于被积函数具有一个简单奇点1 3 。1 9 8 4 年杜金元 等给出了一般情形下的h g 型求积公式【4 5 1 。 几乎与h u n t e r 的工作同时，p a g e t 和e l l i o t t 发表了一种节点与h g 型求积公式 稍有不同的求积公式【6 】。他们考虑了具有一个简单奇点的( 1 3 ) ，同样假设厂具解析 性。求积节点仅选为经典的g a u s s 节点，这种节点选取法是其创新之处。凡此构 造形式的求积公式，后被称为p e g 型求积公式。到1 9 7 9 年，p a g e t 和e l l i o t t 又改 进了他们七年前的结果，仅要求厂具有足够高阶导数。此时余项亦用厂的高阶导数 表示7 1 。他们这次采用了l a g r a n g e 内插法导出公式，这是一种本质的简便方法。 美中不足在于他们在余项的讨论中未能进一步利用内插性，这种计算实际上不能 推广到多奇点的( 1 4 ) 。应该着重指出，虽然在很长时间内不少作者研究了( 1 - 4 ) 的 各种机械求积，但这种用高阶导数表示余项的方法直到1 9 7 9 年才为p a g e t 和e l l i o t t 首创。虽然方法较繁琐，但仍不失为一种突破。这种余项表示，实际上已经暗示 了奇异积分求积与经典求积之间的一种内在联系。过了几年，路见可研究t ( 1 - 3 ) 的各类c h e b y s h e v 求积公式。他首次指出并且成功地利用了奇异积分与经典g a u s s 求积这两者之间的联系，以至于我们所研究的问题，今天看来是如此的简单明了。 路见可提出了分离奇点的方法，通过分离奇点立即将奇异积分的求积问题归结为 相应的经典求积问题【钔。他引入函数 f ( r , t ) 2 f ( r ) - f ( t ) ( 1 - 5 ) f f 那么 i ( f ，f ) ：f 缈( f ) ，( f ，f ) d f + 厂( f ) e 竺肇f ( 1 - 6 ) 1 ”f f 的求积，也就是经典的g a u s s 求积，有现成的结果可以引用。这种分离奇点法具 有普遍意义。用此，杜金元建立了一般情形下的h g 型求积公式【4 】。整个过程中 电子科技大学硕士学位论文 只需代替( 1 5 ) 弓l a 高阶差商。该函数在高阶奇异积分中也有广泛的应用。在已经 得到的h g 型求积公式中再一次作l a g r a n g e 插值就能很容易得到一般情形下的 p e g 型求积公式。 h g 和p e g 型求积公式的节点都不含端点，因而是开的求积公式。我们知道 闭形式的求积公式在实际应用中更为重要。路见可研究了各类c h e b y s h e v 权函数 下的闭求积公式，用的方法是基于对密度函数进行一种技巧性变换。如果仍然利 用分离奇点法构造我们所研究的问题与经典m a r k o v 求积问题的联系，会更快地得 到更精细的结果。这种闭形式的求积公式的节点是在经典m a r k o v 节点中添加被积 函数的奇点，因此称作h m 型求积公式。 高阶奇异积分( h a d a m a r d 有限部分积分) l ( 舢= e 警挚f ( 1 - 7 ) 的数值求积的研究要开展的晚一些。1 9 8 1 年，p a g e t 对二阶奇异积分进行了讨论， 他假定厂具有解析性，得到了二阶奇异积分的h g 型求积公式【9 1 。由于二阶奇异积 分是某相应一阶奇异积分的导数，由此就导出了此类公式。同年，i o a k i m i d i s 同样 讨论y ( 1 7 ) 的h g 型求积公式，厂只作一般要求，但未给出公式的余项公式【l o 】。 1 1 2 c a u c h y 积分数值算法的收敛性发展 数值求积的一个重要内容就是研究求积过程的收敛性，这往往是一个十分有 技巧和困难的工作。有许多学者在这个方向上展开了研究。 1 9 7 5 年，p a g e t 和e l l i o t t 的工作证实y ( 1 3 ) 的p e g j 0 a c o b i 权下p e g 型) 求积 公式在( 口，6 ) 上对l i p s c h i t z 类函数收敛【2 7 1 。1 9 7 7 年，qj t s a m a s p h y r o s 和p s - t h e o c a r i s 借助他们的方法证明了h g j 求积公式在( 口，6 ) 上对日函数族收敛【2 8 】。 1 9 7 9 年，p a g e t 和e l l i o t t 又回过来吸收后两学者的方法优点，把自己1 9 7 5 年的工 作加以推广，证明了p e g j 求积公式在( 口，6 ) 上对日函数族内闭一致收敛【7 1 。同年， e l l i o t t 在另一篇论文中又给出了h g 型求积公式的一种收敛判别法，这方面，还有 1 9 8 4 年er a b i n o w i t z 又给出了一些更为精细的结果1 2 9 1 。 4 第一章绪论 1 2c a u c h y 奇异积分方程的数值计算发展 奇异积分方程理论对于很多实际问题都具有重要意义。古典的f r e d h o l m 积分 方程理论产生以后，p i o n e a r e 、h i l b e r t 不久就开始研究带有c a u c h y 核的奇异积分 方程，但是，这在很长时间内并未引起数学家们应有的重视。一直到本世纪4 0 一 5 0 年代苏联格鲁吉亚学派才极大地发展了奇异积分方程理论。 实际中的很多问题归结为带c a u c h y 核的奇异积分方程来研究时，其精确解一 般情况下都难以得到，因而数值方法受到广泛的注意。m u s k h e l i s h v i l i 2 8 1 对奇异积 分方程的一般理论进行了深入的研究。这些研究成果为奇异积分方程的求解，不 论是解析方法还是数值方法，都奠定了理论基础。我国学者对奇异积分方程的理 论研究也作出了自己贡献 3 0 , 3 2 1 。求解奇异积分方程的传统方法是用方程本身的特 征算子的相联算子作为正则化算子，对奇异积分方程进行正则化，消除了积分核 的奇异性，从而化为f r e a h o l m 积分方程再求解。但是这种正则化方法由于计算繁 琐，效率不高，实际上很少应用。k a r p e n k o 较早开始探索求解奇异积分方程( s i n ) 的直接数值方法。e e d o g a n 和g u p t a 系统地研究了利用c h e b y s h e v 多项式和j a e o b i 多项式求解第一类和第二类c a u c h y 型积分方程的数值方法。k r e n k 不仅深入研究 了g a u s s c h e b y s h e v 求积公式用于求解第一类奇异积分方程( s i n ) ，更重要的是将常 义积分的g a u s s j a c o b i 求积公式推广于奇异积分，并用于求解第二类奇异积分方程 ( s i n ) 。i o a k i m i d i s 和t h e o c a r i s 证明了由g a u s s c h e b y s h e v 求积公式得到的线性代数 方程组与由正则化方法得到的线性代数方程组是一致的。t h e o c a r i s 和i o a k i m i d i s 进一步将l a t t o c h e b y s h e v 求积公式用于奇异积分，从而将积分端点纳入积分配置 点，改善了g a u s s c h e b y s h e v 求积公式不能直接求得端点函数值的缺点。i o a k i m i d i s 和s r i m a s t a v 对g a u s s c h c b y s h e v 求积公式和l a t t o c h e b y s h e v 求积公式用于求解奇 异积分方程( s i n ) 的误差范围和收敛性作了分析。g e r a s o u l i s 对近似解的存在性作了 分析。至此，用g a u s s 型求积公式和正交多项式( c h e b y s h e v 和j a e o b i ) 求解奇异 积分方程的数值方法基本完善。但探索奇异积分方程( s i n ) 求解数值方法的研究并 未停止。 对于奇异积分方程中的一种特殊方程，积分核具有周期性即带h i l b e r t 核的奇 异积分方程 5 电子科技大学硕士学位论文 删+ 警肋f ) c o t 字出+ a “纠她) d r 叫曲 0 x 2 万。 的数值解法更为复杂一些，目前只有少量研究工作。 这类方程的解具有周期性，因而在区间端点无奇异性。要在输入函数是 h ：。( h o l d e r 空间内周期为2 石的函数) 类的假定下研究以上方程的数值解法，则必 须建立相应类型的求积公式以及三角插值逼近，这些工作正在探讨。 6 第二章奇异积分的高精度求积公式 第二章奇异积分的高精度求积公式 这一章里我们给出新型c a u c h y 奇异积分的求积公式。先来讨论c a u c h y 奇异 积分的算法，然后在这个基础上来讨论带有h i l b c t 核的奇异积分的算法。两种奇 异积分我们都给出了具体的算例。最后把利用求积公式得到的结果与其它的方法 得到的结果进行了比较。 2 1 c a u c h y 奇异积分的求积公式 定理设函数g ( x ) = 毒，其中g ( 功在闭区间 口，6 上2 m 阶可导，则当 专。 时有 d ( ) = r g ) d x h i 2 ng ( x j ) 一窆g ( _ ) 】 一 j = o , x l 科 j = o 。x ，耐 m - ir + 萎南【g 但川) ( 影2 旷。( 6 ) 2 1 - 2 。 - 1 弘2 d ( 矿埘) ( 2 1 ) 证明：由s i d i 公式【3 ，当h 专0 时 e g ( 舳一，喜孵g ( 砂坝力 + 刍m - i 雨j 召2 # r 川( 口) - - ( 3 ( 2 t - 1 ) ( 6 ) 】h 2 a + o ( 2 肼) ( 2 - 2 ) 胁胁兰，三2 h 群嘶) + 扣) + 备m - l 西b 射g 叫( 口) _ g ( 2 a - t ) ( 6 ) 】( 笋+ 删”) ( 2 3 ) 7 电子科技大学硕士学位论文 胁胁研，喜，g c 咿，喜， + 烈- i ib 例2 p ： ( 7 ”( 口) 一g - i ) 础2 川一1 k 2 芦+ 。( j j l 2 卅) ( 2 - 4 ) 我们用等式的前半部分 e n g ： l 2 ng ( 一窆g ( i l j 2 0 勺f ，2 0 ，x i # t j 来近似原积分，从省略的部分可以看出，这样得到的积分误差为o ( h 2 ) 。 ( 2 5 ) 现有的求积公式误差一股都是d ( ) ，由此司以发现，此求积公式的误爱已经 有了很大的改进。 推论1 设函数g ( x ) = 毒，其中g ( 功在闭区间 口，纠上2 朋阶可? ，则当 h 一0 时 出= 警l ，磊4 n 舅( x j ) - - 毒，j 一刍l ，喜一奢c 乃，卜n 证明：把积分区间的分割点加密一次，在式( 2 4 ) 中用i h 来代替原来的步长 ， 于是式( 2 - 4 ) 变化成 胁出= 耋 ，磊2 1 17 ( x j ) - - ，嘉 + 茎南妒1 ) ( 力_ g ( 2 - d ( 6 ) p 一妒删钾仁6 ， 将式( 2 6 ) 乘以4 减去式( 2 - 3 ) 然后再除以3 则可以得到 出= 椎4 ig ( x 1 ) - - ，黔2 n ) 第二章奇异积分的高精度求积公式 一喜 ，娄? c _ ，一，喜g c 。， + 。c 4 ，。 c 2 7 ， 可以看出，进行一次外推，产生的积分误差为o ( h 4 ) 。 推论2 设g ( 功满足定理l 条件，由( 2 7 ) n - l 以得到，如果把积分区间进行m - 1 次加密，则产生的误差为o ( h 2 “) 。即 f g 出= 么笔箬乩萎? c 咿，蘩，h ，蘩卜，警c _ ， ) 一彳乏乩骛c 咿，蘩，h ，肇c 咿凳c _ ， ) _ ：一彳 詈 ，喜g ( x j ) - j 喜g c 乃， 一三 ，喜g c x ，一，喜o c 工， ) + 。c 2 ”， 其中a = 五 万j 万j 再话；= 丽。 ( 2 - 8 ) 证明：由推论1 我们已经知道，经过一次加密，即把原来的步长由h 变成， 得到的积分公式为 f g ( x ) d x = 爿h at 焉4 n 一，磊2 n j 一刍 ，喜? c 一，- 喜g c _ ， + 。c 4 ， 当把区间分成4 n 份即进行二次加密时，积分公式变成 f g c x ，出= 篆兰 詈 ，磊8 t tg ( x j ) - - ，喜? c 石， 一三 ，喜g c _ ，一，喜? c _ ， 一去五 詈 ，喜g c x ，一，喜g c x ， 一三 ，喜g c z ，一，喜g c z ， + 。c 6 ， 由上公式可以看出进行二次加密以后，此时的误差是o ( h 6 ) ，于是由数学归纳 9 电子科技大学硕士学位论文 法，我们可以得到，经过朋次加密，即步长变成。时，所产生的误差为d ( 2 肿) ， 即公式( 2 8 ) 。 2 2h i l b e r t 奇异积分的求积公式 我们知道带有h i l b e r t 核的积分为 z ( e o ) = f 疗c o t 华伊。( o ) d o 并且和带有c a u c h y 核的积分有下列关系 q , ( t ) d t ，= 扦c o t 华们矽+ 筘d p ( 2 - 9 ) 其中l 是以原点为中心的单位圆，t = e 够，t o = e 觇，仍( 口) = 缈 徊) 。 由于此类带有h i l b e r t 核的奇异积分方程的解往往也具有周期性，因此我们可 以得到 三2r 石红( 秒) d 9 = o 于是，带有h i l b e r t 核的奇异积分与带有c a u c h y 核的奇异积分之间有以下转换 关系 一 q o ( t ) 气d t ，= 廿c o t 华胛瑚 而又知道，带有h i l b e r t 奇异积分方程的解是具有周期性的，即 g 2 一1 ( 口) 一g 2 一1 ( 6 ) = 0 则在公式( 2 1 ) 中 丢m - t 葫b g 伽川( 口) 舻川( 6 ) 】【2 t - 2 # - 1 妒一= 。 于是我们又可以得到如下推论 推论3 设函数g ( f ) ：鍪堕，其中缈( f ) 在闭区间 口，b i - - 2 朋阶可导，且g ( f ) 是 以r = b - a 为周期的函数和在意= ( 硼，佃) b + 灯搂：= 上2 m 次可微。那么，当 l o 第二章奇异积分的高精度求积公式 圩c o t 华柙瑚= 王警 =厂j=兰o#jhg(ty)-窆g(ty)1+o(hojinx j - - - o j j x j 2 辨， = i i + 2 辨) 该公式中的f ，x ，仍( p ) 与( 2 - 8 ) d p f l f j t ，t o ，纯( 护) 表示意义相同。因此，对于带有 h i l b e r t 核的积分，我们也可以利用此求积公式来计算。 2 3 积分算例 下面我们计算带有c a u c h y 核的奇异积分。 例1 - 计算c a u c h y 奇异积分 缈( f ) = f l x - - t 出 其真解为缈( d = 詈+ 2 t 2 + t 3 i | 1 i + 一t l i 。 利用我们给定的求积公式( 2 5 ) ，则上述积分可以近似的表示成： f l 五x $ 出州，磊2 n 杀一，喜一x j - - - 二； ：h 五x 2 y - 一1 _ 3 7 ：| j l ( i + 芏+ 立+ + 芷+ 立) 五一t 屯一t 鼍一t屯。一3 一t 屯州一t 。 由于工与f 的取值范围都是( - 1 ，1 ) ，为了方便讨论，我们把x 与f 按同样的步长 来进行分割。将区间( - 1 ，1 ) 都分成2 “份，则根据求积公式里的余项表达式，误差应 该满足的关系是当把区间分成2 4 份时，在某一点的误差是将区间分成2 肘1 份时在这 点的误差的4 倍。 下表2 1 是利用求积公式( 2 5 ) 来计算例1 所得到的积分在若干个节点的数值误 电子科技大学硕士学位论文 表2 - 1 积分误差 - o 7 5_ 0 5一o 2 50o 2 5o 50 7 5 n = 2 20 8 3 7 90 0 3 7 70 1 3 5 20 0 4 1 70 1 3 5 20 0 3 7 70 8 3 7 9 n 三2 34 6 2 0 e - 39 3 0 9 c - 31 0 3 7 e 21 0 4 2 e 21 0 3 7 e - 29 3 0 9 e 34 6 2 0 e 3 n 毫2 41 5 2 9 e 32 3 3 1 8 e - 32 5 9 3 e 32 6 0 4 e 32 5 9 3 e - 32 3 3 1 8 e 31 5 2 9 e 3 n = 2 54 1 3 5 e - 45 7 8 9 e - 46 4 8 2 e - 46 5 1 0 e 46 4 8 2 e - 45 7 8 9 e - 4 4 1 3 5 e - 4 n - 2 61 0 5 5 e - 41 4 4 7 e - 41 6 2 0 e - 41 6 2 7 e - 41 6 2 0 “1 4 4 7 e 41 0 5 5 e - 4 n = 2 7 2 6 5 3 e - 53 6 1 7 e - 54 0 5 l e - 54 0 6 9 e - 54 0 5 l e - 5 3 6 1 7 e - 52 6 5 3 e - 5 n _ 2 86 6 4 0 e 69 0 4 2 e 61 0 1 3 e - 51 0 1 7 e - 51 0 1 3 e - 59 0 4 2 e 66 6 4 0 e 6 n 三2 91 6 6 1 e 62 2 6 1 e 62 5 3 2 e - 62 5 4 3 e 62 5 3 2 嘶2 2 6 1 e 61 6 6 1 e 6 n - 2 1 04 1 5 2 e - 7 5 5 6 1 e 76 3 2 9 e - 76 3 5 8 e 66 3 2 9 e 75 5 6 1 争7 4 1 5 2 e - 7 由表2 1 可以看出，当区间按照前面所说的方法分割时，在给出的某一个确定 的节点处产生的误差，当区间份数由2 ”细分到2 肘1 时，前后误差确实符合四倍的要 求。且计算过程比较简单，不需要在某点赋值，只需要简单的m a t l a b 编程然后取 相应的靠值就可以得到结果，精度相对较高。因此，此处看来我们的积分公式是 有效并且简单的。 下面我们根据上面得到的求积公式( 2 卸，进行一次外推。把区间在原来的基 础上分成和份，则可以得到外推以后的误差结果，用表2 - 2 来表示一次外推积分 误差，则有： 表2 - 2 一次外推积分误差 o 7 5- 0 52 5 0 o 2 50 50 7 5 n - 2 34 9 8 7 e - 46 0 6 7 嘶6 6 6 7 e - 71 3 3 3 争66 7 3 3 e - 56 0 6 6 e - 64 9 8 6 - 4 n - 2 44 1 6 7 e 55 4 0 0 e 61 7 9 3 e 70 0 0 06 6 6 7 e 85 4 0 0 e - 64 1 6 6 e - 5 n = 2 52 8 3 3 e - 63 3 3 3 e - 86 6 6 7 e 86 6 6 7 e 86 6 6 6 e 83 3 3 3 e - 85 5 6 6 e 6 n = 2 62 0 6 7 e 76 6 6 7 e - 91 3 3 3 争81 9 9 9 e 81 3 3 3 e 86 6 6 6 e - 92 0 6 6 e - 7 n = 2 7 1 0 0 0 e 8 6 6 6 7 e - l o 3 3 3 3 e - 93 3 3 3 e 93 3 3 3 e - 9 6 6 6 6 e 1 01 0 0 0 e 8 n 三2 86 8 0 0 e 96 6 6 7 e 1 06 6 6 7 e - 1 06 6 6 7 争1 06 6 6 6 e - l o6 6 6 6 e - 1 0l - 3 3 3 e _ 9 n _ 2 96 6 6 7 e 1 01 2 2 0 e 1 0 1 3 3 3 e 1 0 6 6 6 6 e - 11 1 3 3 3 e 1 0 1 2 2 0 e - 1 06 6 6 7 e - 1 0 为了方便讨论并且进一步说明求积公式的优点，我们再给出二次外推以后得 到的数值结果，如表2 3 。 1 2 第二章奇异积分的高精度求积公式 表2 - 3 二次外推积分误差 o 7 5- o 5- o 2 5oo 2 5o 50 7 5 n = 2 3 2 5 4 l e 45 3 5 6 e - 61 4 6 8 e 78 8 8 7 e 84 4 1 7 e 65 3 5 5 e 61 1 1 9 e - 5 n _ 2 4 2 5 5 6 e 53 2 4 4 e 75 9 16 e 87 1 1 l e - 86 6 6 5 e 83 2 4 4 e 73 1 5 9 e 6 n _ 2 53 1 6 1 e 84 8 8 9 e 99 7 7 4 e - 91 6 8 8 e 89 7 7 4 e - 94 8 8 8 e 91 5 0 6 e 7 n - 2 63 1 1 3 e 92 6 6 6 e 1 02 6 6 6 e 92 2 2 2 e 92 6 6 6 e 92 6 6 6 e 1 03 1 1 3 e - 9 n = 2 76 5 8 6 e 96 6 6 7 e - 1 0 4 8 8 9 e 1 04 8 8 9 e - l o4 8 8 8 e 1 06 6 6 7 e - 1 0 7 5 5 2 e - 1 0 n 音2 82 5 7 8 争l o8 5 6 8 e - 1l9 77 | 4 e - 1l2 6 6 5 e - 119 7 7 4 e - 1 18 5 6 8 e - 1l6 2 2 2 e 1 0 从表2 3 可以看出，对于带有c a u c h y 核的奇异积分，利用我们给出的求积公 式，代入进行计算时所产生的误差正好符合我们所要求满足的条件，收敛速度相 对更快。并且如果我们在积分公式的基础上再进行若干次外推还可以发现，误差 的收敛速度更加明显。结果是只需要将区间分成很少的份数，所产生的误差已经 达到很小的范围。由此可见，利用求积公式2 5 来计算c a u c h y 奇异积分效果比较 明显。 例2 ：考虑带有h i l b e r t 核的积分 【e o s ( 2 x x ) e o t x ( x t ) d x ，0 t 1 此积分的精确解为一s i n ( 2 t x ) 。 例2 是参考文献 4 9 】里方程的积分部分，在第三章我们再具体讨论方程本身。 由于前面我们讨论的带有h i l b e r t 核的奇异积分，其积分区间是在 o ，2 万】，因 此我们需要把例2 中的积分区间转化到【o 2 万】上。 作变换0 = 2 x n ，巩= 2 纫，于是有： l c o 她万) c o t m 叫础= 去f 露c o s 9 c o “华) 执。岛 2 万 即例2 变化形式为： 去f ”c o s 删竽瑚，。o o 2 万 其准确值为一s i n ( o o ) 。 1 3 电子科技大学硕士学位论文 根据推论2 ，变化过的例2 为： 去f 4 础州华矽= 三f l 尝出 鱼i 盟+ 盟+ + 坐塑2 + 丝纽! i 万i t , 一xt 3 一xt 2 n 一3 一工t 2 p l 一工j 其中，t = p 徊，x - e w , ，伊( f ) = 纯p ) = c o s 8 。 根据推论3 知，对于带有h i l b e r t 核的奇异积分使用此求积公式所产生的误差 应该满足o ( h 2 “) 。 我们根据例1 的方法，来计算这个带有h i l b e r t 核的奇异积分，可以得到如下 结果，用表2 4 表示有 表2 _ 4h i l b e r t 积分误差 万2 7 r4 7 r5 p r 3333 n = 31 1 1 0 e - 1 61 1 1 0 e 1 61 1 1 0 e - 1 62 2 2 0 e - 1 6 n = 66 6 6 1 e - 1 61 1 1 0 e - 1 64 4 4 l e - 1 6o n = 1 21 6 6 5 e - 1 53 3 3 0 e 161 2 2 1 e - 1 56 6 6 0 e 1 6 n = 2 47 7 7 2 e 161 1 1 0 e 1 62 2 2 0 争160 从表2 4 也可以看出，将求积公式拓展到带有h i l b e r t 核的奇异积分，利用新 的求积公式同样可以得到比较好的近似结果。 下面将本文给出的求积公式和其它类型的求积公式进行对比，进而来讨论这 种求积公式的误差估计和收敛速度。 2 4 与其它方法的比较 2 4 1g a u s s 求积公式法 g a u s s j a c o b i 求积公式为【3 3 】： 1 4 盟弘窆岭 坠吖 竺以孙岬 汀叫q 第二章奇异积分的高精度求积公式 积分节点满足 “蝴舻善c 姚) 带脚( 气) = 0 ，k = 1 ，2 ，n 将g a u s s j a c o b i 求积公式推广到奇异积分得到 1 q 其中 其中 f l 掣以= 一警如姒小差c t 鬻 亿 带棚纯) = 0 ，后= l ，2 ，n ， 踹嗍( 而) = 0 ，i = 1 , 2 ，一，n - k 按上述公式，我们来讨论我们给出的积分算例。 c o ( t ) = 1 ，g ( t ) = x 3 代入得到 一t 3 ；疵= 一+ 善c 。去 其中c 。与以分别代表g a u s s j a e o b i 求积公式中的求积系数和求积节点。将 g a u s s j a c o b i 求积公式推广到奇异积分，导致出现两组点，一组为积分点气，一组 为配置点x j 。具体结果我们在这里不再给出。 利用g a u s s j a c o b i 求积公式得到的最终解是区间( 一1 ，1 ) 上积分点的函数值，求 积公式阶次越高，积分点越多，即在区间( 一1 ，1 ) 上分布越密集，所得数值结果就越 逼近积分的真实解。g a u s s j a e o b i 求积公式中不含任何积分运算，计算工作量相对 于其它方法要小得多，而且，推广到奇异积分的g a u s s 型求积公式具有2 n 阶数值 精度。这是g a u s s j a c o b i 求积公式的优点所在。 2 4 2l o b a t t o - c h e b y s h e v 求积公式法 前面我们已经说过，为了消除c a u c h y 核的奇异性，我们令方程的解 电子科技大学硕士学位论文 c p ( t ) = c o ( t ) g ( t ) = ( 1 一t 2 ) 2g ( t ) l o b a t t o c h e b y s h e v 求积公式为 3 4 1 f 。萍出= 刍 叶秒1 + 和t ) 其中t t 是第二类c h e b y s h e v 多项式的零点，即 u ，一2 蛾) = 0 ，k = 2 , 3 ，n 一1