（基础数学专业论文）n李代数的型心.pdf

摘要 摘要 钆一李代数作为李代数的自然推广，是基本乘法运算为佗( 扎2 ) 元线性运算的一种 代数系统( 当死= 2 时，即为通常李代数) 本文主要研究几一李代数的型心 第一部分，给出了n 一李代数的基本概念和符号，其中包括伽李代数的定义、可解 性、幂零性等概念；并且给出了实死+ 1 维礼一李代数的分类定理 第二部分，给出了中心导子的定义，并且讨论了实n + 1 维钆一李代数的导子代数 及型心的结构 第三部分，给出了中心n 一李代数的定义和导子与型心的关系；还研究了可分解n 一 李代数和h e i s e n b e r gn 一李代数的型心的结构 第四部分，讨论了特征为零的代数闭域上一类张量积死一李代数的型心 关键词型心；中心导子；h e i s e n b e r gn 一李代数；张量积礼一李代数 a b s t r a c t a b s t r a c t a n ，卜l i ea l g e b r ai san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fal i ea l g e b r at ot h e c a s e ，w h e r et h ef u n d a m e n t a li n u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni sn - a r y 礼2 ( w h e n 几= 2 ，t h e d e f i n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e 丘n i t i o no fal i ea l g e b r a ) i nt h i st h e s i s ，、ed i s c u s s t h ec e n t r o i do fn l i ea l g e b r a si ng e n e r a l i ns e c t i o n1 ，w er e c a us o m ed e f i n i t i o n sa n dn o t a t i o n so f 几一l i ea l g e b r a s ，8 u c ha u s d e 6 n i t i o n so fa nr 卜l i e “g e b r a ，8 0 l v a l b i l i t y n i l p o t e n c y a n dg i v et h ec l a s s i c a t i o nt h e o r e m o fr e a l ( 几+ 1 ) 一d i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n2 ，w ed e 矗n ec e n t r a ld e r i v a t i o n so fn l i ea l g e b r 8 u s ，a n dd i s c u s st h e8 t r u c t u r eo fd e r i v a t i o na l g e b r a sa n dt h ec e n t r o i do fr e a l ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a l 伽l i ea k e b r a s i ns e c t i o n3 ，、7 l r eg i v et h ed e f i n i t i o no fac e n t r a l 扎一l i ea l g e b r a ，a n dt h er e l a t i o n s b e t w e e nd e r i v a t i o n sa n dc e n t r o i d s w 色a l s oi i l 、r e s i g a t et h ec e i l t r o i do fd e c o m p o s a b l e n l i ea l g e b r a u sa n dh e i s e n b e r gn l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n4 ，虺d i s c u s st h ec e n t r o i do fac l a s so ft e n s o rp r o d u e tn l i ea l g e b r a so v e r a na l g e b r a i c a l l yc l o s e d6 e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o k e y w o r d sc e n t r o i d ； c e n t r a ld e r i v a t i o n ； h e i 8 e n b e r g 礼一l i e “g e b r a ；t e n s o r p r o d u e t 佗一：l i ea l g e b r a i i - 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 重虚、j 垒日期：2 之签基年笸月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密矿 ( 请在以上相应方格内打“ ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( ) 的学位论文，是我个人在导师() 指导并与导师合作下取得的研究成果，研 究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的 各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 逮宏垄 日期：迦涅年五月上日 作者签名：虐玄毪 日期：放壁年亟月上日 导师签名： 0 i n t r o d u c t i o n o i n t r o d u c t i o n i nr e c e n ty e a r s ，t h es t u d yo nn l i ea l g e b r a sa t t r a c t e dl o t so fa t t e n t i o n ，w h i c hi sd u e t oi t sc 1 0 8 ec o n n e c t i o nw i t ht h en a 瑚【b um e c h a n i c 8 【1 3 la sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a l h a m i l t o n i a nm e c h a n 妇i n1 9 8 5 ，v t f i l i p p o v f 4 】矗r s t l yi n t r o d u c e dt h ec o n c 印to fa n n l i ea l g e 渺r a ，w h i c hi san a t u r a lg e n e r a l i z a t i o no ft h ec o n c e p to fal i ea l g e b r a 【5 | t ot h e c a s ew h e r et h ef i l n d a i n e n t a lm u l t i p l i c a t i o no p e r a t i o ni s 仉一a r y n 2 ( w h e n ? l = 2 ，t h e d e 矗n i t i o na g r e e sw i t ht h eu s u a ld e 丘n i t i o no fal i ea l g e b r a ) t h e r el e a e 8al o t0 fr o o m f b re 冲l o r a t i o n0 fs u c ha l g e b r a sa sa ne x t e n s i o no ft h et h e o 珂0 fl i ea l g e b r a s c o n s i d e r i n gt h er e l a t i o 璐b e h 们e e nl i ea l g e b r a sa n d 死一l i ea l g e b r a s ，r e 丘n dt h a t 8 0 m ef u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fl i ea l g e b r a sc o n t i n u et op r e v a i lo n 扎一l i ea l g e b r a si i l g e n e r a l a n dw eh a eg o t 七e nm a n yi m p o r t a n tr e s u l t so nn l i ea l g e b r a 8 i np a p e r 4 】，f i l i p p o vg a es o m ee x a m p l e so fn l i ea k e b r a sa n ds t r u t u r a ln o t i o n ss u c ha u ss i m p l i c i t y n i l p o t e n c ye 承，c e p tf b rt h ec o n c e p to fa nn l i ed i g e b r a h ea 】s oi n v e s t i g a t e d ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln 一“ea l g e b r a so v e ra na l g e b r a i c “l yc 1 0 s e d 丘e l do fc h a r a c t e r i s t i c z e r 0 ，a n dp r o v e dt h a tt h e r ea r ep r e c i s e l yn + 4 l 【i n d so f 佗一l i ea l g e b r a su pt o 幽) m o r p h i s m i n1 9 8 7 ，s h m k a s y m 0 v 【6 li n t r o d u c e dc o n c e p t 80 f 一s o l 、协b i l i t y 七一n i l p o t e n c y c a r t a n s u b a l g e b r a s ，t h ek i l l i n gf o r ma n dr e p r e s e n t a t i o no fn l i ea l g e b r a u s ，a n dd i s c u s s e dt h e i r s i m p l ep r o p e r t i 豁 h e 札s 0p r o 迥a na n 址o g yo ft h ee n g e l st h e o r e m l a t e r ，t h ef u r t h e rp r o p e r t i e s0 fn i l p o t e n c y s o l 、，a b i l i 蚵i nr e p r e s e n t i o n sa n dc a r t a n8 u b a l g e b r a 8w e r e i n v e 8 t i g a t e di np a p e r s 【7 二1 0 】 l i n gw j 】嘲“1 1 lp r o v e dt h a tt h e r e 这o n l yo n es i m p l e6 n i t ed e m e n s i o n a ln l i ea l g e - b r a0 v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a u c t e r i s t i cz e r 0u pt oi s o m o r p h i s m ，w h i c h 懈 丘r s t l yd e s c r i b e db yv t f i l i p p o v 【4 】a n dd e n o t e db ya l ，a n d 出od i s c u s s e di t 8a u t o m o 卜 p h i s mg r o u pa n dd e 加七i o n 以g e b r aw h i c hi ss d ( p + 16 ) a n dt h el e 说d e c o m p 碱t i o n t h e o r e m0 f 几一l i ea l g e b r a sw a u s 如op r o v e d p r o 脑s o rb a ir u i - p u 【1 2 2 3 ls t u d i e dt h es t r u c t u r eo fl a wd i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r 8 u s o v e ra d la l g e b r a i c a l l yc 1 0 8 e d 能l d0 fc h a r a c t e r i s t i cz e r o a n dp r 0 麟s o rb a ir n i - p u 【2 4 】g a v e 1 河北大学理学硕士学位论文 d e f i n i t i o n so ft h ec e i l t r a le x t e n t i o no fn l i ea l g e b r a s ，h e i s e n b e r gn l i ea l g e b r a ，a n da m e t h o dt oc o n s t r u c th e i s e h b e r gn l i ea l g e b r a s r e s e n t l y p r o e s s o rb a i 【2 5 1i n t r o d u c e d t h ec e n t r o i d0 fn l i ea l g e b r a sa n dp r o v e ds o m er e 8 u l t so nt h ec e n t r o i do fn l i ea l g e b r a s o v e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o i nt h i st h e s i s ，w ec o n t i n u et o d i s c u 鸽t h ec e n t r o i do fn l i ea l g e b r 8 u s i ns e c t i o n2 ，b a s e do nt h ed i s c u s s i o no fd e r i v a t i o n so fn l i ea l g e b r a so v e ra na l - g e b r a i c a l l yc 1 0 s e df l e l df o fc h a r a c t e r i s t i cz e r o ，w ed i s c u s sd e r i v a t i o na l g e b r a sa n dt h e c e n t r o i do fr e a l ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r a s i ns e c t i o n3 ，r ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e c w e e nd e r i v a t i o n sa n dc e n t r o i bo fn l i e a l g e b r a s ，a n di n v 镪t i g a t et h ec e n t r o i do fd e c o m p o s a b l en l i ea l g e b r a 8o v e ra n y 矗e l df w ea k 、0p r o v et h a tt h ec e n t r o i do fh e i s e n b e r g 他一l i ea l g e b r ai ss m a l la n de v e 巧c e n t r a l d e r i v a t i o ni si n n e r i ns e c t i o n4 ，b a u s e do nt h ed i s c u s s i o no nt h ec e n t r o i do fa m n el i ea l g e b r a s 【2 6 2 8 1 ，w e s t u d yt h ec e n t r o i do ft e n s o rp r o d u c tn l i ea l g e b r a s0 fu n i t a lc o m m u t a t i v ea s s o c i a t i v e a l g e b r a sa n dn l i ea l g e b r a so 、厂e ra na l g e b r a i c a l l yc l o s e d 丘e l do fc h a r a c t e r i s t i cz e r o 二 1 p r e l i m i n a r i e s 1 pr e l i m i n a r i e s f i r s t l y ，w ew i ur e c a u8 0 m ef u n d a m e n t a lc o n c 印t sa n dp r o p e r t i e s0 f 伽l i ea l g e b r a u s ， w h i c hc a nb ef u n di np a p e r s 【4 】a n d 6 2 4 】 d e 丘n i t i o n1 1a nn l i ea l g e b r ai sav e c t o rs p a c eao 、佗ra 矗e l df ，o nw h i c h t h e r ei sd e f i n e da n 舻a r ym u l t “i n e a ro p e r a t i o n 【，】8 a t i s 母i n gt h ei d e n t i t i e s ： a n d ，一l ，【y l ， ，z 一= ( 一1 ) 下p k ( 1 ) ，茁盯( n ) 】， n ，训1 - 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s i m p l e ，i fah a 8n 0n o n z e r o8 0 l v a b l ei d e 幽 d e 矗n i t i o n1 6t h es u b s e t z ( 4 ) = z al 陋，a ，4 】= o ) i sc a u e dt h ec e i i t e ro fai ti se a s yt os e et h a tz ( a ) ba ni d e a l f o rs u b a l g e b r a 日o fa ，d e n o t e 么( 日) = z aip ，日，a ，a 】= o ) i ti sc l e a rt h a ti f 日i sa ni d e a l ，t h e n2 ( 日) i 8 砒s 0a ni d e a l ( 1 4 ) ( 1 5 ) d e a n i t i o n1 7l e ta ，cb e 佗一l i ea l g e b r a s0 、r e rt h e6 e l df ac e n t r a l le ) ( t e n 8 i o n 0 f4b yci sa ne x a c ts e q u e n c e0 f 他一l i ea l g e b r a s 0 叫c 男_ 二a 叫0 8 u c ht h a tci 8i nt h ec e n t e ro fb ，t h a ti s7 r ：b ai s8 u r j e c t i v e ，t ( g ) = 七e r 7 r d e n n i t i o n1 8t h eo n e d i m e n s i o n a lc e n t r a le ) ( t e n s i o no fa na b e l i a nn l i ea l g e b r a i 8c a l l e dh e i s e n b e r gn l i ea l g e b r a d e 丘n i t i o n1 9a nn l i ea l g e b r ai ss a i dt ob ed e c o m p o s a b l ei ft h e r ee x i s t n o n z e r oi d e a l l s4 l ，a 2s u c ht h a t a = a 10a 2 ， a n d 陋l ，a 2 ，a ，州= o o t h e r 耐s ew e8 a yt h a ta i si n d e c o m p o s a b l e c l e a r l yi fa i sas i m p l e 伽l i e “g e b r a ，t h e nai 8i n d e c o m p 0 8 a b l e 4 1 ，p r e l i m i n a r i e s t h e o r e m1 1 f 4 l s u p p o s eai sa n ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r a0 、r e rt h e r e a l 矗e l d 兄， e l ，e ，i + 1 ) i sa b a s i 8o fa ，t h e nai s 缸d m o r p h i ct oo n eo ff o l l o w i n g p o s s i b i t i t i e 8 ： ( n ) 反m a l = o ，a i 8a b e l i a n ( 6 ) 疵m a l = 1 ， ( 6 1 ) a 1 z ( a ) ， 【e 2 ，e ，l + 1 】= e 1 ，【e l ，色，e n + 1 】= o ，t = 2 ，n + 1 1 e 2 ，e ，l + 1 j = e 1 ，【e l ，e i ，e n + 1 j = u ，l = z ，n 十1 ( 6 2 ) a 1 垡z ( a ) ， 【e 1 ，e n ，芭几十1 】= e l ，【e 1 ，芭i ，e t i + 1 】= o ， = 1 ，n 1 e 1 ，e n ，e 几十1 j = e l ，l e l ，e i ，e t i + 1 j = u ，l = 上，n ( c ) d i m a l = 2 ， ( c 1 ) e 1 ，色，e n ，+ 1 】= o ，l = 1 ，n 一1 ， 【e 1 ，岛，e n ，+ 1 j = u ，霉= 上，n l ， r1 l e l ，e n ，+ 1 j2 e n ， e 1 ，e n 】= 6 e n + c e n + l ， w h e r e6 兄，6 0a n dc = 1o r 一1 ( c 2 ) 【e l ，自，e 仉，e n + 1 1 = o ，t = 1 ，n 一1 ，【e l ，龟，e n ，e n + l j = u ，l = 上，n 一上， r1r1 【e 1 ，e ，l ，e 什l j = ，【e 1 ，e ，i j = c e f i + 1 w h e r ec = 10 r 一1 ( 回旃m a l = r ( 3 r n + 1 ) ， f e l ，色，e t l ，e ，l + 1 】= 一色，p l r ， i e i ，1 t p ， 【o ，r i n + 1 ， w h e r ep 嘲+ 1 ( e ) 出m a l = 礼+ 1 ， 【e 1 ，色，e n ，e ，l + l 】= w h e r ep 【孚】+ 1 岛，1 t p ， 一e i ，p t n + l ， ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 河北大学理学硕士学位论文 2 d e r i v a t i o na l g e b r a sa n dt h ec e n t r o i do fr e a l ( 仡+ 1 ) 一d i m e n s i o n a ln l i ea l g e b r a s i nt h i ss e c t i o n ，w es t u d yd e r i v a t i o na l g e b r a sa n dt h ec e n t r o i do f ( 礼+ 1 ) 一d i m e n s i o n a l n l i ea l g e b r a so v e rt h er e a l6 e l dr f i r s t l y ，w eg i v es o m ed e f i n i t i o n s0 ft h ec e n t r o i d0 f n l i ea l g e b r a so v l 玎a n y 丘e l df d e 丘n i t i o n2 1 【2 5 】p 3 1l e tab ea nn l i ea l g e b r ao v e ra 丘e l df ，t h e8 u b s e tr ( a ) i 、( a ) = e n d ( a ) ， z 1 ，z n 】= 【矽( z 1 ) ，z n 】，v z l ，a ) 遗c a u e dt h ec e n t r o i do fa b yt h ed e f i n i t i o n2 1 ，w e h a t v e 咖【z - 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d i m e 璐i o n a la b e l i a nn l i ea l g e b r a4i 8 锄a l l ，a l t h o u g h r ( a ) = 9 ：( m ) d e f i n i t i o n2 4 【2 9 1a n 仃一l i ea l l g e b r aai sac e n t r a ln l i ea l g e b r a ，i ft h ec e n t r o i d 0 fai 8t h es 鲫a 8t h eb a s i c 乱l d w ，l l e nai s8 i m p l e ，ai sc a l l e dac e n t r a ls i m p l e n l i ea l l g e b r a i nt h ef o u o w i n g ，w e8 t u d yd e r i 、吼i o na l g e b r a sa n dt h ec e n t r o i d0 f ( n + 1 ) 一d i h l e n s i o n 以 n l i ea l g e b r a so v e rt h er e a l 丘e l d 尺w ea s s u m et h a t4i sa n ( n + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln l i e a l g e b r a0 v e rt h er e a l6 e l d 只a n d e 1 ，e n + 1 ) i 8a b a u s i j s0 fa d e n o t e 口d ( e 1 ，自， ，白，e n + 1 ) b y 口d ( i ，歹) ，m e r e 色d e n o t 8e k 1 ) 一m a t r i xu n i t f b rd d e r a ，8 u p p 0 8 ed q = n + l d = 毗j 忍j i j = 1 t h e o r e m2 1i f 出m 4 1 = 1 w eh a v e o i l l i t e d a n dl e t 晟jb et h e + n + 1 ， 勺，t h e ni nt h em a t r b ( f o r m j = 1 ( 1 ) w h e na i st h ec a s e ( 6 1 ) i nt h e o r e m1 1 ，t h e n 三( a ) = 尺o d ( 1 ，2 ) + 冗口d ( 1 ，3 ) + + 冗甜( 1 ，n + 1 ) i j sa nn d i m e n s i o n a la b e u a nl i ea l g e b r a ，w h e r e 口d ( 1 ， ) = ( 一1 ) n 一一1 毋，i ，i = 2 ， ( 2 ) w h e na i st h ec a s e ( 6 2 ) i nt h e o r e m1 1 ，t h e n 己( a ) = 日+ 冗口d ( n ，死+ 1 ) ( 2 2 ) ，n + 1 ； ( 2 3 ) i sa nn d i m e n s i o n a ls o l v l b l el i ea k e b r a ，= 冗口d ( 1 ，n + 1 ) + + 冗口d ( n 一1 ，n + 1 ) i sa na b e u a ni d e a la n d 【日，l ( a ) 】= 日，w h e r e 口d ( i ，n + 1 ) = ( 一1 ) n 一日， ，1si n p r o o ft h ep r 0 0 fi ss i m i l a rt 0t h e o r e m2 1i np a p e r 【1 2 】 t h e o r e m2 2i f 出m a l = 2 ，t h e nw eh a e 己( a ) = 日+ r 口d ( 礼，佗+ 1 )( 2 4 ) n 一1n l i sa ( 2 n 一1 ) 一d i m e n s i o n a l ls o l v a b l el i ea l g e b r a ，w h e r e 日= r n d ( ，n ) + 尺 = l= 1 口d ( i n + 1 ) i j sa na b e u a ni d e a la n d 7 - 河北大学理学硕士学位论文 ( 1 ) w h e na i st h ec a s e ( c 1 ) i nt h e o r e m1 1 ，t h ei n n e rd e r i v a t i o na l g e b r a n 一1 l ( a ) - f 、o 0 i = 1 n 一1 r 风，+ 冗b + 1 i + r ( 风 n + l + 6 日，n + c 取+ 1 n ) ， i = 1 ( 2 5 ) w h e r eo d ( i ，n ) = ( 一1 ) n 一e n ，i ，口d ( i ，n + 1 ) = ( 一1 ) 饨一( 6 b ，t + c 风+ 1 ，t ) ，t = 1 ，n 一1 ， 口d ( n ，n + 1 ) = 取，1 + 6 取，n + c b + 1 ，n ，6i sn o n z e r o i nra n dc = 1 o r 一1 ； ( 2 ) w h e na i st h ec a s e ( e 2 ) i nt h e o r e m1 1 ， n l l ( a ) = t = 1 t l 一1 r 日j + r 晶+ l ，i + r ( 取卅1 + c b + 1 n ) ， t = 1 w h e r e 口d ( i ，n ) = ( 一1 ) n 一b ，i ，口d ( ，n + 1 ) = ( 一1 ) n c r + 1 ，i ，l = 1 ，n 一1 ， 口d ( n ，n + 1 ) = 磊，n + l + c e k + 1