（机械工程专业论文）周期结构振动传播特性研究.pdf

国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 摘要 周期结构广泛存在于工程领域中，其振动控制问题一直是工程技术中迫切需要解决的 问题之一。经过特殊设计的周期结构可以存在振动带隙，带隙频率范围内的弹性波不能传 播；特定通带频率范围内的振动在二维周期结构中的传播存在方向性。周期结构的这种传 播特性将会为结构振动控制提供一种新的技术途径。 本文围绕工程中广泛应用的周期梁结构和周期栅格结构的弯曲振动模式，通过理论分 析、有限元仿真和实验验证相结合的研究方法，对其振动的传播特性展开系统深入的研究。 主要研究内容包括： 1 针对梁结构和二维栅格结构，将有限元法和b l o c h 定理相结合，实现了基于有限 元法的周期结构振动传播特性计算方法。在此基础上，将谱有限元理论引入到周期结构振 动传播特性计算中，提高了计算结果的收敛性。这些算法为周期结构的振动传播特性研究 奠定了坚实的基础。 2 深入系统地研究了周期梁结构和二维周期栅格结构的弯曲振动带隙特性，证实了 周期梁结构的弯曲振动以及二维周期栅格结构的弯曲振动均存在振动带隙，并深入揭示了 周期结构参数对带隙的影响规律。 3 针对二维周期栅格结构，深入研究了弯曲振动传播特性。将相位常数面应用到周 期栅格结构中弹性波传播特性的研究中，得到三维能带结构图。同时，利用相位常数面的 二维等高线图，通过计算等高线上每一点的法线方向，得到了在特定通带频率下弹性波的 传播方向及传播区域。 4 设计并制备了二维周期栅格结构实验样品，建立了周期结构弯曲振动传播特性的 测试系统。完成了振动带隙特性的测试，并首次从实验上验证了二维周期结构弯曲振动传 播的方向性，实验结果与理论计算以及有限元仿真计算结果相吻合。 总之，本文通过理论分析、有限元仿真和实验研究相结合的研究方法，深入研究了周 期结构振动传播特性。为周期结构振动传播特性计算提供了准确、收敛性好的计算方法； 深入研究了周期结构的参数对带隙的影响规律；研究了二维周期栅格结构的振动带隙特性 和振动传播方向性，并得到实验验证。这些研究对推动周期结构在减振降噪领域中的工程 应用，具有一定的理论意义和工程参考价值。 主题词：周期结构，弯曲振动，带隙，传播方向性，谱有限元法 第i 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 a b s t r a c t p e r i o d i cs 廿u c t u 托se x i s ti nm a n ye n 西n e e 血gf i e l d s i t s b m t i o nc o 曲l l i i 唱i ss t i nav e 巧 i i l 驴r t a l l tp r o b l e mf o ral o n gt i r n e t h eb 缸dg 印sc a ne x i s ti t lt h es p e c i a ld e s i g n e dp e r i o d i c s 伽l c m l r e s w i t h j n 廿1 eg 印s ，t h ep r o p a g a t i o no fv i b m t i o ni sf o r b i d d e n a mt l v i b 瑚时o no i d y p r o p a g a ：t e sa l o n gm ec e n a i nd i r e c t i o i 塔舡1 dr e g i o i l sf o rc e r t a i n 丘c q u e n c i e sm l r i n gp 嬲sb 趾d s 证 似。一d 妇e 璐i o n a lp e r i o d i cs t r u c n 鹏s n e 铆oc h 撇r i s t i c so f 访b r a t i o np r o p a g a t i o ni 1 1p 耐o d i c s 咖c t l 鹏s 诵up r o v i d eam w w a y t 0c o n t r o lt i l ev i b r a t i o ni 1 1e n g i i l e e r i n gf i e l d w i t ht l l ec a l c i l l a t i o nm e 蝴s ，t o g e t l l e r 诵l 觚t ee l e m e n tm e m o da i l de x p e m e 删t e s t s ， t l l ec h a 眦t e r i s t i c so fn e x 删、r i b 枷o np r o p a g a t i o ni np e r i o d i cb e 锄sa n d 鲥d s ，砌c ha r e a p p l i e d 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r y ，也ed 啜瞄硎s t i c so fv i b 瑚瞳i o np r o p a g a t i o ni np 丽o d i cs t r i l c t i l r e sa r e 删e d t h e o r e t i c a l l ya n de x p e r i m e n t m l yi nt 1 1 i st 1 1 e s i s t h e 陀砌r ；e s l l l t si n 仳sd i s 鞠：n a t i o na r e m e a i l i n g 如li i lt h et l l e o 巧o ft l l ep 耐o m c 鼬r u c t u r e 勰w e u 罄i t s 印p l i c a t i o nt 0 、，i b m t i o n n o i c o n 廿d l k e yw o r d s ：p e r i o d i cs t r u d u f i e s ， 们e x u r a iv i b r a t i o n ，b a n dg a p s ，d i r e c t i o n a i p r o p a g a t j o n ，s p e c t 阳if i n t ee i e m e n tm e t h o d 第i i 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 表目录 表2 董周期粱结构材料参数表9 表2 2 周期粱结构几何尺寸表( 单位：m ) 9 表3 。li 型栅格结构材料参数表3 2 表3 2i 型栅格结构几何尺寸表( 单位：h l c h ) 3 3 表3 3 型栅格结构材料参数表3 8 表3 4i l 型栅格结构几何尺寸表( 单位：m ) 3 9 表4 1n 型栅格结构材料参数表。4 5 表4 2l l 型栅格结构几何尺寸表( 单位：羹) 4 5 表4 3i i 型栅格结构实验材料参数表5 4 表4 4 型栅格结构实验几何尺寸表( 单位：嫩) 5 4 第1 i l 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 图目录 图2 1 二组元变截面周期梁结构6 图2 2 承受弯矩作用的等截面梁6 图2 3 周期梁结构原胞细分示意图7 图2 4 周期梁结构原胞受力分析图8 图2 5 有限元法计算的周期梁结构弯曲振动能带结构图9 图2 6 平面波展开法计算的周期梁结构弯曲振动能带结构图1 0 图2 7m s c 仿真得到的周期梁结构弯曲振动传输特性曲线图1 0 图2 8实验仪器及测试过程图1 1 图2 9 实验样件及测得的周期梁结构弯曲振动传输特性曲线图1 1 图2 1 0 受分布载荷和弯矩作用的t i i n o s h e n k o 梁1 2 图2 1 l 谱有限元法和有限元法动刚度矩阵比较图1 6 图2 1 2 谱有限元法计算的周期梁结构弯曲振动能带结构图1 7 图2 1 3 梁的晶格尺寸对弯曲振动带隙的影响1 7 图2 1 4 梁的材料组分比对弯曲振动带隙的影响1 8 图2 1 5 梁的截面高度比对弯曲振动带隙的影响1 9 图2 1 6 梁的截面宽度比对弯曲振动带隙的影响1 9 图3 1弹簧振子结构2 1 图3 2 单弹簧振子模型原胞受力简图2 2 图3 3 布拉格机理下能带结构2 4 图3 4 双弹簧振子结构相位常数面图2 4 图3 5 第1 个相位常数面及等高线图2 5 图3 6 角频率为0 4 5m i 讹的等高线上所取点的法线方向及对应振动传播方向2 6 图3 7 角频率为o 3 5m 讹的等高线上所取点的法线方向及对应振动传播方向2 7 图3 8 局域共振机理下能带结构2 8 图3 9 局域共振带隙随耽变化计算结果2 9 图3 1 0 局域共振带隙随七l 和恕变化计算结果2 9 图3 11 局域共振带隙随七l 变化计算结果3 0 图3 1 2 三维空间内t 妇o s h e n k 0 梁的自由度分析3 1 图3 1 3i 型栅格结构简图3 2 图3 1 4 有限元法计算的i 型栅格结构弯曲振动能带结构图3 3 图3 1 5 参考文献 1 7 】中的理论分析和实验验证图。3 4 图3 1 6 第4 个相位常数面及等高线图3 6 图3 1 7 第1 个相位常数面及等高线图3 7 第页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 图3 18 型栅格结构简图3 8 图3 1 9 有限元法计算的i i 型栅格结构弯曲振动能带结构图。3 9 图3 2 0 有限元法计算的i i 型栅格结构相位常数面图4 0 图3 2 1 有限元法计算的i i 型栅格结构相位常数面对应的二维等高线图一4 2 图4 1i i 型栅格结构原胞受力简图4 4 图4 2i i 型栅格结构弯曲振动能带结构图4 6 图4 3 二维周期结构薄板的有限元模型。4 7 图4 4m s c 仿真得到的i i 型栅格结构弯曲振动传输特性曲线图4 8 图4 5 谱有限元法计算的i i 型栅格s 结构相位常数面图。4 9 图4 6 谱有限元法计算的i i 型栅格结构相位常数面对应的二维等高线图5 0 图4 7 频率为2 0 0 h z 的等高线上所取点的法线方向及对应振动传播方向5 l 图4 8i i 型栅格结构的晶格尺寸对弯曲振动带隙的影响5 2 图4 9型栅格结构的材料组分比对弯曲振动带隙的影响5 2 图4 1 0i i 型栅格结构的截面高度比对弯曲振动带隙的影响5 3 图4 1 li i 型栅格结构的截面宽度比对弯曲振动带隙的影响5 3 图4 1 2 实验样件图。5 4 图4 13 实验测试过程框图一5 5 图4 1 4 实验测试图5 5 图4 1 5 实验测得的i i 型栅格结构弯曲振动传输特性曲线图5 6 图4 1 6 方向性传播实验过程框图5 6 图4 17 方向性实验测量图5 7 图4 18 实验测量振动全方向传播图5 7 图4 1 9 实验测量振动4 5 0 方向传播图5 8 图4 2 0m s c 仿真得到的振动方向传播图5 8 图4 2 l 带隙频率范围内振动传播特性图5 9 第v 页 独创性声明 本人声赛所呈交的学位论文是我本久在导簿指导下避行的研究王作及取得 的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其侄入已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得窗防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一阕工作的蟋志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题譬： 矍堡塞煞煎菱萎整接整熊瑟塞登 学位论文作者签名：垒i 盘垫 日期：吖年，1 月，争日 学位论文版权使用授权书 本入宠全了辩医薪辩学技术大学有关保蟹，使用学位论文爵规定。本人授权 因防科学技术大学可以保留并向国家有关部门威机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 霹进行检索，可l ；乏采月影印、缩印或j l 譬攒等复制手段保存，汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密詹适用本授权书) 学位论文作者签名： 烈叁垫一 作者指导教师獬：逖盎 日期：炒7 年，月，争酲 吣、叩年忡产 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 第一章绪论 1 薹研究背景及其意义 结构振动问题广泛存在予航空航天、船舶、机械动力等各个领域中，抑制结构中的有 害振动一直是工程技术中迫切需要解决的问题。结构的振动特性不仅与振源的激励位置和 激励方式相关，同时与结构自身的动力学特性相关。对振源进行消振，或在振源和结构之 间加装隔振系统可以抑制或减小振源对结构的激励，铁丽达到减振效果。但在更多情况下， 需要直接对结构本身的振动响应进行控制。 振动控制根据所采取的控制措施是否需要外部能源通常可分为被动控制及主动控制 两种。主动控制是以现代控制理论为基础，机电一体化技术为核心的有源振动控制技术， 理论上可以实现全频段范围的最优控制，但其技术要求高、实施成本高、对高频振动控制 有一定的局限性，在实际中应用还不广泛。被动控制技术虽然存在控制灵活性差、对环境 应变能力差的缺点，但因其结构简单，技术可靠、易于实现，已在工程领域得到了广泛的 应用。 在国防军事、航空航天、船舶、机械动力等各个领域中，加筋梁板类结构、蜂窝结构、 栅格结构等被广泛应用，这些结构均具有共同的特点周期性，即几何空闻排列的周期 性。这些结构通常是由一些相同结构单元以相同方式连接而成的。工程中周期结构的采用 通常出于以下原因：易于制造及装配；在满足刚度等静力学要求的前提下减轻结构的重量 矗霞 寸 事实上，工程中的周期结构远不止具有上述优点，研究表明，在几何空间排列周期性 的基础上，通过合理设计周期结构的结构单元，使结构单元闻的足何参数和材料参数实现 周期变化，那么，当弹性波在周期结构中传播时，某些频率范围内的波将不能通过，称之 为带隙( b a 耐g 印) ；而某些频率范围内的波可以通过，称之为通带( p a s sb 跹d ) 。显然， 在带隙频率范围内，周期结构中的振动会得到抑铜，并有可能降低由振动弓l 起的结构声辐 射。这对提高结构的工作性能及抗疲劳能力具有重要意义。另有研究表明，二维周期结构 的振动在通带频率范围内传播时，还可钝存在传播方向性的特点，却振动的传播被控铡在 周期结构的某些特定方向、特定区域上。周期结构的这个特性也可以有效控制结构的振动。 这种利用改变周期结构几何参数或材料参数来抑制振动的被动措施具有以下优点h 】： l 、周期结构振动带隙特性和传播方向性的设计可以通过组成材料的选择或分布来控 制，即只需要结构本身即可，不需要附加其他结构； 2 、构成周期结构的材料可以具有较高的刚度和强度，不会影响结构的承载能力，也 可以是热的绝缘材料或抗腐蚀材料，可以在更广的范围内应用； 3 、利用振动带隙特性和传播方向性可以在结构内部实现波导、滤波和波速控制等功 能。而传统的被动减振措施( 如阻尼器、减振器、动力吸振器等) 很难同时具有这些优点。 第l 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 这些周期结构振动传播的新特性引起了人们的广泛关注。 1 2 1 研究现状 1 2 周期结构振动传播特性研究现状 周期结构的振动传播特性一直以来都得到了广泛关注，针对各种周期结构在不同振动 模式下的带隙特性研究也在不断进行着。 在周期支撑的梁板类结构方面：英国南安普顿大学m e a ddj 从波动方程出发，研究了 周期支撑梁的振动特性1 2 l ，后来又将一维周期支撑梁的算法拓展到二维周期支撑板中，得 到了周期支撑的梁板类结构振动特性的近似算法1 3 1 。h e c hma 研究了周期支撑 t m s h e n k o 梁中压缩波、扭转波和弯曲波的耦合振动特性【4 1 。m 觚g a m i uv 等将阻尼周期 性嵌入到周期支撑梁中，研究了阻尼材料对带隙内振动衰减的影响【5 1 。m e ic 通过改变支 撑的约束条件和阻尼的大小实现了带隙频率范围的小范围调节【6 】。 在周期梁、板和壳方面，研究对象包括几何周期结构和材料周期结构。几何周期结构 中的一个重要对象就是周期加筋结构：m e a ddj 研究了周期加筋梁的弯曲振动和纵向振动 的耦合特性1 7 】，并提出了一种用于计算周期加筋板振动特性的新算法嗍，对圆柱壳的环状 加筋和径向加筋的振动特性也进行了研究【9 l o 】；l 加百e yrs 等人利用统计能量分析的方法 计算了无限周期加筋阻尼板的振动特性，并且得到了有限结构的透射系数和吸收系数【1 1 】。 黜c t 砌d 利用传递矩阵法研究了不同几何截面的周期驱动轴的振动带隙特性，利用带隙特 性对齿轮的啮合振动进行了有效抑制【1 2 1 ，d i a z d e a n d aa 从理论和实验上研究了不同截面 尺寸t i i i l o s h e n k o 梁的弯曲振动带耐u j ，而t a 、福km 则将直升机的螺旋桨叶片设计成几何 周期结构，以抑制叶片的振动【1 4 1 。舢a k e b a l l g at n t 将一维周期梁结构的每个原胞设计成 圆锥结构得到了梁的纵向振动带喇1 5 j ，并对带隙进行了优化。t o s 0m 则系统地研究几何 周期结构的杆、壳和轴的振动带喇1 6 1 。j e o n gsm 从理论和实验上研究二维几何周期平面 网格结构的振动带隙特性【l 7 1 。 对于材料周期结构，j e i njs 将铝和p m m a 两种材料交替组合形成一维周期结构细 长杆，得到了其振动带隙，并对一维和二维周期结构进行了拓扑优化，优化结果表明在带 隙内的振动衰减明显增强【1 8 】。舢i r is 和s z c f ijt 利用一维杆状和层状周期结构的振动带隙， 可以有效隔离直升机齿轮箱的振动传播【l 踞o j 。 在周期桁架方面：y o n gy 在分析周期桁架结构与一般周期结构差异的基础上，通过改 进传统周期结构振动特性计算方法实现了周期桁架结构振动特性的计算【2 1 1 。b o n d a r y kje 等人研究了三维周期桁架结构的振动特性，指出桁架结构上可以有效隔离高频的振动【2 2 1 。 j e o n gsm 则研究了t e 砌1 e d r o n 和1 吨o i n c 两种典型的桁架结构的振动特性【l 刀。 目前对于周期结构振动传播方向性的研究还不是很多。l 锄g l e yrs 等研究了二维周期 结构在各种点激励下相位常数面的变化团，2 4 l 。r u z z 印em 等研究了周期蜂窝结构相邻边的 第2 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 夹角对弯韭振动第一相位常数面的影响1 2 列。j e o 孵sm 从理论上研究二维周期栅格结构弯 曲振动的传播方向性l l 丌，但研究中仅考虑了栅格结构的几何参数周期变化。对上述结构 的实验测试仪得到了振动带隙，结构中的振动传播方向性并未 | 寻到验证。国防科学技术大 学温激鸿等研究了薄板状周期栅格结构中的振动传播特性，但仅研究了纵向振动的传播特 性【2 6 l 。 慧的来说，周期结构振动传播特性的研究已有一定基础，但放研究对象来看，主要还 是停留在一维周期结构振动传播特性上。对于二维周期结构的研究，主要是考虑弹簧振子 结构和同种材料构成的结枣每，振动传播的方向性研究也比较少，且尚未得到过实验验证。 根据周期结构振动传播特性研究现状，本文重点研究二维周期栅格结构的弯曲振动传 播特性，通过理论计算、有限元仿真，深入研究了周期栅格结构的振动传播的带隙特性和 方向性，并辅以实验验证。 梁是工程应用中最常见的结构。在实际中，很多工程结构都以梁作为基础单元而构成 的，本文选取梁单元作为研究酶二维栅格结构的基础单元，在建立维梁单元的理论模型 上，经过空间组合，形成二维周期栅格结构的理论模型。 1 2 。2 周期结构振动传播特性计算方法 周期结构振动传播特性计算方法主要包括传递矩阵法、平面波展开法、有限元法、谱 有限元法等： 1 。2 2 1 传递矩阵法 传递矩阵( ，i 豫l l s 衔m 确c e s ，简写为1 m ) 法在一维周期结构的带隙特性计算中应用 十分广泛【2 7 4 0 】。该方法从连续状态参数( 应力、质点位移等) 的基本方程入手，结合界面 连续条件，褥出单个周期的传递矩阵。通过雩l 入周期边界条件邸可褥到带结构益线的解析 解；同时通过有限个传递矩阵相乘可得到相应的有限结构的振动传输特性解析解。法 计算量极小，但目前较难处理二维和三维问题。 1 2 2 2 平面波展开法 平面波展开( p l 绷ew a v ee ) 噼麟i o 狲简写为p w e ) 法原是声子晶体带隙特性计算的最 基本也最常见的算法f 3 1 。7 】，该算法也可用在分析周期结构的振动传播特性中。该算法物理 概念明确，计算简单。基本思路是将波动方程中的位移、弹性参数等物理量在倒格矢空间 以平面波叠加的形式展开，近似取其有限个展开项，从丽将波动方程转化成本征方程。逶 过求解本征值可得到本征频率与波矢之间的色散关系，即能带结构。目前平面波展开法已 经被成功应用到周期结构计算孛，包括周期梁板类结构、二维薄板橱格结构等瞵矧。僵收 敛较差是传统p w e 法的一个重要缺陷。 重2 2 3 有限嚣法 有限元( f i i l i t ee l e m e n t ，简写为f e ) 法是工程中常用的方法。基本思路是将连续弹性 体离散成一定数量的有限小的单元集合体，根据弹性力学的基本方程和变分原理建立单元 第3 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 结点力和结点位移之间的关系，再根据结点力的平衡条件建立有限元方程，引入边界条件、 解线性方程组以及计算单元应力【4 引。有限元法概念浅显、适用性强、应用范围广、收敛性 较好，而且目前有很多成熟的商业软件，如m s c 、a n s y s 等。有限元法已经可以用来准 确地计算周期结构的传输特性【4 9 5 0 】。 在能带结构计算方面，国防科学技术大学的温激鸿、王刚等提出了一种新的算法一 集中质量法。集中质量法将连续系统的密度集中至有限的节点上成为集中质量，而集中质 量之间由无质量的线弹性介质连接，从而将二维和三维周期结构的连续系统简化为由无质 量弹性薄膜( 二维) 或弹性体( 三维) 上点缀质点构成的离散模型。通过和b l o c h 定理结 合，可以有效计算声子晶体的能带结构，集中质量法可以看作是有限元法的一个特例。集 中质量法可以被用来计算梁板类结构的振动带隙特性。但是计算周期结构时，是利用二维 集中质量模型计算一维梁结构，三维模型计算二维板结构，计算量较大。而且计算结果中 包含了许多其他模式的色散曲线，需要进行选择才能区分出来哪些是需要的，哪些是不需 要的，比较复杂。而且目前还不能有效计算周期结构，如栅格结构等【5 1 1 。 1 2 3 4 谱有限元法 传统有限法中的质量矩阵和刚度矩阵都是静态的，而且需要划分很多有限元单元才能 得到准确的计算结果。而谱有限元( s 删f i n i t ee l e n l e n t ，简写为s f e ) 法是新近出现的 一种算法，其矩阵是与频率相关的动态矩阵，计算时仅需要很少的有限元单元，计算量小， 而且计算结果更准确。 j 舭螂f d o y l e 系统深入地研究了谱有限元理论【5 2 1 ，详细推导了杆及梁的动刚度矩阵。 其思路为：对直杆及梁，推导其简谐激励下的运动方程，进而得到以系数表示的稳态解： 通过标准有限元法策略、节点自由度来求解稳态解中的系数，然后构建单元动刚度矩阵。 谱有限元法对于杆结构和梁结构振动的研究特点是，使用解析解作动力形状函数，自由度 和单元数目小而计算精度高，且应用广泛，能够计算各种振动模式，如杆的纵向、扭转振 动，梁的弯曲振动，还可分析各种规则或不规则板材的带隙特性。谱有限元理论将频率因 素考虑入动刚度矩阵，使其脱离静态环境的约束，具有更好的收敛性。 谱有限元理论已经在周期结构研究中得到高度关注。s o l a r o l ig 和r u z z e n em 等用谱 有限元法研究并实验验证了具有周期加筋结构的圆柱壳的纵向振动的传播特性【5 3 1 。j c o n gs m 在其博士论文中虽然提及谱有限元法的优越性，计算了几何周期栅格结构的能带结构， 但从处理计算的过程看，并没有充分体现出谱有限元的特点和优势【1 7 1 。 本文通过建立有限元模型，提出利用有限元法计算周期结构振动传播特性，拓展集中 质量法的应用范围。并在此基础上，实现了谱有限元法计算栅格结构的弯曲振动传播特性， 并与有限元法比较，分析了谱有限元法的优势。 第4 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 1 3 1 目标和思路 1 3 研究思路和主要研究内容 基于梁单元的栅格结构弯曲振动传播特性研究是本课题研究的目标和重点，周期梁结 构和弹簧振子结构是课题研究的基础和前提。本文首先将有限元法应用于周期栅格结构振 动传播特性计算中，在此基础上，将谱有限元法引入到周期结构振动传播特性研究中，降 低了计算量并提高了收敛性。以谱有限元法为基础，深入研究了栅格结构弯曲振动的带隙 特性和振动传播的方向性，并通过建立实验测试系统，验证理论计算的正确性。 本文遵循从简单到复杂，从一维到二维的原则，以及从理论推导到仿真计算，最后实 验验证的总体思路，完成了预定的研究目标。 1 3 2 论文的总体安排 本文根据以上的研究目标和思路，具体章节安排如下： 第一章为绪论。本章首先从工程结构对振动控制技术的需求出发，引出周期结构振动 传播特性为振动控制技术提供了一条新的技术途径。通过分析周期结构振动传播特性研究 现状，指出周期栅格结构的弯曲振动传播特性为本文的主要研究内容，谱有限元法是文中 计算周期栅格结构弯曲振动传播特性的核心算法。 第二章为周期梁结构弯曲振动传播特性分析。本章首先用有限元法分析了周期梁结构 弯曲振动的传播特性，将其与其他算法比较，验证其可行性。在此基础上，构建了谱有限 元法计算模型。本章主要通过对一维周期结构振动传播的研究，为有限元法和谱有限元法 在二维周期结构振动传播特性的研究奠定基础。 第三章为有限元法分析周期栅格结构弯曲振动传播特性。本章首先分析了弹簧振子结 构弯曲振动的传播特性，以此为基础，再用有限元法分析了周期栅格结构的弯曲振 动传播特性，通过与国外相关文献仿真和实验结果的比较，验证了有限元算法的可行性。 第四章为谱有限元法分析周期栅格结构弯曲振动传播特性。本章首先归纳总结了前两 章中关于谱有限元法分析周期结构弯曲振动传播特性的方法，继而对栅格结构弯曲振动传 播特性进行了具体计算分析，设计并制备了实验样品，建立了实验测试系统，通过实验， 验证了通过理论计算得到的栅格结构的带隙特性和振动传播方向性。 第五章为结论与展望。对全文进行了总结，并提出有待进一步研究的问题。 第5 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 第二章周期梁结构弯曲振动传播特性分析 周期梁结构在工程结构中应用广泛。很多二维周期结构都是由其扩展组合而成的，如 周期栅格结构，其本质上都是周期梁结构在二维平面内的扩展和延伸，研究周期梁结构对 研究周期栅格结构有着十分重要的意义。 图2 1 所示为一个截面形状为矩形的二组元变截面周期梁结构，由材料彳及材料b 沿 x 轴交替排列形成无限周期结构。该周期梁结构的单个周期长度为口( 也称晶格尺寸) 。在 讨论梁的弯曲振动时，将未变形时梁的轴线，即各截面形心连成的直线取作x 轴，又将该 梁对称面内与x 轴垂直的方向取作少轴。假设变形前垂直梁中心线的截面，变形后仍保持 为平面，且仍垂直于中心线，梁在对称面内作弯曲振动时，梁的轴线只有横向位移地，0 。 材料爿截面材料瞄面 图2 1二组元变截面周期梁结构 2 1有限元法分析周期梁结构弯曲振动传播特性 2 1 1 梁单元刚度和质量矩阵推导 图2 2 所示为只承受弯矩作用的等截面梁，m 和必分别是两端截面的弯矩，p l 和晓 为其对应的转角，l 和1 ，2 则为其对应的中面横向位移即挠度，其中挠度函数为 ，= ，( x ，d 。 l m 2 | 7 d 图2 2 承受弯矩作用的等截面梁 由此推得梁弯曲问题的基本方程： d 2 1 ， 弘一万 o = e ( 2 1 ) ( 2 2 ) 第6 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 m ：叮i ：一e i 坚 式中的s 为结构中该节点处的应变，仃为应力，j 为转动惯量。 又由h 锄i l t i d n 原理可得： 万小三日斟出+ ；帆( 妄) 。卜 按照有限元法的通用处理方法，将挠度函数进行插值离散处理后， 矩阵【5 4 1 ： 同理可求得其质量矩阵： 1 ， e i a 2 了 厶 m ：丝 4 2 0 1 2 6 三 一1 2 6 三 1 5 6 2 2 三 5 4 1 3 6 三 4 e 6 三 2 r 2 2 三 冬e 1 3 一3 r 一1 2 - 6 三 1 2 5 三 5 4 1 3 三 1 5 6 2 2 三 对于单个梁单元，可得其动刚度矩阵： k j = k 一缈2 m 2 1 2 周期梁结构动刚度矩阵及特征矩阵推导 6 三 2 r - 6 三 4 r 一1 3 - 3 r 2 2 4 r ( 2 3 ) ( 2 4 ) 可求解出该梁刚度 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 记l 白，k 口为不同材料彳和b 所构成的梁的刚度矩阵，m 彳，m 曰则为其对应的质量矩 阵。在有限元法中，必须对结构进行细分，以获得计算结果的收敛性，为此本文在图2 3 所示周期梁结构的原胞中，将材料彳和曰构成的原胞组元各均分为3 部分。 y z 图2 3 周期梁结构原胞细分示意图 由2 1 1 可得到6 段梁的刚度和质量矩阵，记为： k 一，k 口月，m 砌，m 砌 其中册，刀= l ，2 ，3 。 运用标准有限元策略，可求得整个原胞，即一个周期梁单元的刚度和质量矩阵，记为： k 。，m 。 第7 页 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 为了与下文的谱有限元法相对应，本节采用特征矩阵的方法来分析计算其弯曲振动的传 播特性，为此，由动刚度矩阵定义，可推得整个原胞的动刚度矩阵，记为： k d = k 。一国2 m 。( 2 8 ) 选取各端面及截面中心点为节点位置，分析细分后原胞的受力情况如图2 4 所示。图 中心表示该节点的自由度，e 则表示该节点所受的外力，其中扛l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 。 w 1w 2呐w 4w 5w 6聊 丹 材糊材糊 图2 4 周期梁结构原胞受力分析图 令w = m 嵋心w 6 坞) r ，f = 互ee 五e 冗e r ，有： f = ( k 8 一彩2 m 。) w = k d w ( 2 9 ) 引入b l o c h 定理： w 7 = ( 2 1 0 a ) 弓= 叫正( 2 1 0 b ) 其中为b 1 0 c h 波矢。 可以定义： w = a w ， f = b f ， 其中w ，= w l 叱嵋岷鸭) r ，f ，= 巧五历只e 圪 r ， a = 厶 ，b = 1 1 e 9 )一1 1 e 9 厶 ( 2 1 l a ) ( 2 1 1 b ) 为与对应节点f 处的自由度维数相同( 在本章其自由度维数均为2 ) 的单位对角矩阵， f = l 2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ；矩阵其余元素均为0 。 现考虑原胞内部作用力为o ，即e = 0 ，扛2 ，3 ，4 ，5 ，6 。由( 2 8 ) 式可推导得： ( a k d a ) w ，= o ( 2 1 2 a ) k 士= a k d a( 2 1 2 a ) 第8 页 y l 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 k 咖即为周期梁结构的特征矩阵，通过求解在不同波矢下满足l k 毋i = o 的频率值，即可 得到周期梁结构弯曲振动的能带结构。 2 1 3 周期梁结构弯曲振动带隙分析 二组元变截面周期梁结构如图2 1 所示，设材料彳和b 分别为铝和有机玻璃，采用有 限元法计算无限周期条件下周期梁结构的弯曲振动传播特性。计算中单个周期梁结构的长 度( 即晶格尺寸) 为7 0 衄，铝和有机玻璃的具体参数见表2 1 、2 2 。 表2 1 周期梁结构材料参数表 材料名称 密度p ( 1 ( g m 3 ) 弹性模量e ( g p a ) 铝2 7 9 97 2 有机玻璃1 1 4 22 o 表2 2 周期梁结构几何尺寸表( 单位：m ) 材料名称材料尺寸高j i ，宽6 铝0 0 5 00 0 1 0o 0 1 0 有机玻璃 0 0 2 0o 0 0 5o 0 l o 图2 5 给出了有限元法分析得到的周期梁结构的弯曲振动带隙，从图中可以看出，周 期梁结构在5 2 3 一1 4 1 5 h z ，3 3 8 0 一1 3 8 7 0 h z 存在两个完全带隙( 本文中的带隙均指完全带 隙) 。 贪 喜 得 骚 一冗| q q 托| a 波矢 图2 5 有限元法计算的周期梁结构弯曲振动能带结构图 采用平面波展开法得到的该结构的能带结构如图2 6 所示。从图中可以看出，在5 0 0 1 4 8 9 i z ，3 3 0 6 1 2 6 2 8 h z 为两个振动带隙。 第9 页 8 6 4 2 o 8 6 4 2 o _il 国防科学技术大学研究生院工学硕士学位论文 图2 6 平面波展开法计算的周期梁结构弯曲振动能带结构图 由有限元仿真分析软件m s c n a s t r a n 仿真计算可得周期梁结构弯曲振动传输特性 曲线，如图2 7 所示。在振动传输特性曲线上，有5 0 0 一1 3 0 0 h z ，3 3 0 0 一1 2 3 0 0 h z 两个明 显的振动衰减区域，这和弯曲振动带隙频率范围相对应。 写 飞 测 磐 毯 蜃 03691 21 5 频率厂 图2 7m s c 仿真得到的周期梁结构弯曲振动传输特性曲线图 比较图2 5 、2 6 、2 7 ，三者得到的周期梁结构弯曲振动带隙频率范围基本一致。图2 6 的计算结果是采用平面波展开法计算得到的，计算中使用了1 0 1 个倒格矢才得到上述结果， 计算矩阵规模为1 0 1 1 0 1 ，计算量比较大。相比而言，有限元法只需要对结构中的同种材 料的梁组元细分为三个段，计算规模为6 6 ，计算量更小。 在参考文献 5 5 】中，作者对周期梁结构弯曲振动带隙特性进行了实验验证，本章引用 其内容验证本节有限元算法的计算结果。 测试所用的仪器及测试过程框图如图2 8 所示。利用b & k7 7 0 0 振动与噪声分析软件 及b & k3 5 6 0 c 多分析仪产生宽带随机激励信号，通过b & k2 7 3 2 功率放大器驱动b & k 4 8 2 4 激振器对二组元变截面周期结构细直梁垂直激励，使梁作弯曲振动。激振力和梁的振 动