（概率论与数理统计专业论文）带常利率的古典风险模型的性质及应用.pdf

摘要 本文主要研究带常利率的风险模型的两个性质首先，利用此模型的强马氏性得到一 列卢点序列是更新点序列，进而利用此更新点过程的性质，构造一个更新测度g ( u ，口，t ) ，再 用更新测度的理论方法，研究盈余过程的首中时的分布g 1 ( “，卢，t ) ，当u ：p 时，g 。( 矾p ，t ) 就是每个e x c u r s i o n 的长度的分布，而且得到他们的l - s 变换然后，假设盈余过程在破 产后继续运行下去，当满是一定条件时，那么盈余过程就会在某一个时问回到非负值，利 用递归的理论方法，研究盈余过程的返回次数，然后利用首中时的性质和马氏性研究返 回时间 关键字：首中盹末离时；更新测度；更新过程；强马氏过程；破产概率；返回次数；返回 时间；递归方祛 a b s t r a c t t h i s p a p e r m a l n l yc o n s i d e r s t h e p r o p e r t i s s o f t h es l l r p h i s p r o c e s s u ( t ) ，t o w i t h i n t e r e s t f o r c e f i r s t l y c o n s i d e r t h e d i s t r i b u t i o n g i ( u ，尻t ) a n d t h e l s t r a n s f o r m o f t h e f i r s t h i t t i n g t i m e b y ( ，( t ) ，t 0 ) ss w o n g m a r k o vp r o p e r t ya n dt h e o r yo fr e n e w a lm e a s l l r e w h e n 钍= 良f i n dt h e d i s t r i b u t i o n g l ( n 卢，t ) o f l e n g t h o f t h ee x c u r s i o n s e c o n d l y , a s s u m e t h es u r p l u s p r o c e s s d o e s n o t e x p i r ew h e n t h er u i no c e u r 8 ，u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，t h es u r p l u sp r o c e s sw i l lr e c o v e rn o n n e g a t i v e v a l u et h e nb yt h er e c u r s i v em e t h o d s w ec o n s i d e rt h ec l a i mn u m b e r su pt or e c o v e r y , a n db y t h ep r o p e r t yo ft h et h ef i r s t - h i t t i n gt i m ea n dt h em a r k o vp r o p e r t yw ec o n s i d e rt h et i m eu pt o r e c o v e r 矿 k e y w o r d s ：f i r s t - h i t t i n gt i m e ；u l t i m a t e l y - l e a v i n gt i m e ；r e n e w a lm e a s u r e ；r e n e w a lp r o - c e s s ；s t r o n gm 牡k o vp r o c e s s ；r u i np r o b a b i l i t y ；c l a i mn u m b e ru pt or e c o v e r y ；t i m eu pt or e - c o v e r y ；r e c u r s i v em e t h o d 1 引言 g e r b e r 早在1 9 7 1 年就研究了带常利率的古典模型，第一个给出了绝对破产概率 的定义，研究了盈余过程的折现的极限性质从此带常利率的古典风险模型越来越重 要，它比不带利率经典模型更具有实际意义，更能形象的描述保险公司盈余的运行方 式b o o g a e r t ，h a w z e n d i n c k 和d e l b a e n 在1 9 8 7 年利用鞅的理论方法进一 步研究了带常利率盈余过程的折现的极限性质，b o o g a e r t 和c r i j n s 在1 9 8 7 年也 是利用鞅方法研究了带常利率的模型破产函数的上界，s u n t 和t e u g e l s 在1 9 9 5 年通过 鳃破产函数满足的积分方程，得到了带常剥率的模蛩破产概率的表达式，h a i l i a n gy a n g 和l i h o n gz h a n g 在2 0 0 1 年找到了g ( 让，g ) = p “( t o o ，一口 u ( t ) o ) ，a ( u ，y ) = p “( t o o ，u ( t ) - y ) 和1 一g ( ，y ) 满足的方程。并给出了当u 充分大时，g ( u ，f ) = p ( t o 。，y u ( t ) 一 ，“ 0 代表初始准备金，c 0 表示保费率，n ( t ) 表示到时间t 为止索赔发生的次 数，它是一个更新计数过程，这里我们假设它是参数为a 的齐次泊松计数点过程，n ( t ) 发生跳跃的时刻就是发生索赔的时刻( 磊) 。1 是一列i i ，d ，而且与( t ) 独立，因此 z ( t ) 就是复合泊松过程磊表示第n 次索赔的大小，设它们共同的分布是 f ( x ) = p ( z t z ) 令，( z ) 是f ( x ) 的概率密度，p 为他们共同的期望此时冗( t ) 就代表t 时刻保险公司 的盈余，我们也称r ( t ) 为盈余过程，也葶l ；经典盈余过程 我们看到上面的模型不受利率的影响，而实际上，保险公司会把盈余用来投资或存入银 行，使之产生利润，这时它就受到利率的作用，初始准备金应该受到利率的作用，而且 在s 时刻的收入也要受到利率的作用所以，我们可以对模型做一些改进使之更符合实 际情况这里假设利率是一个常数6 0 ，我们就可以把上面的模型改造成一个如下带常 利率的古典风险模型 设( q ，f ，p ) 是一个包括以下定义的所有事件的完备概率空间我们构建带常利率的古 典风险模型： 2 u ( t ) = u e “+ e 6 ( “8 ) d r ( s ) j 0 ，t = 让e 以+ c e 酢叫) d 5 一e 叫) 踞( s ) t 0( 2 1 2 ) j 0j 0 这就是带常利率的古典风险模型，符号的实际意义与上面的模型一样这里 u ( t ) ，t o ，称为带常利率的盈余过程，本文以后提到的盈余过程都是指带常利率的盈余过程 由于z ( t ) 是阶梯函数，其实 e 即叫据( s ) = 罂五e 邢一) j 0 啦代表第 次索赔发生的时刻 故我们也可以把带常利率的古典风险模型变成如下形式； ，t u ( t ) = “+ 。矿( “5 ) d s k ( t ) 0 ( 2 1 3 ) j 0 其中k ( t ) = p i = ( 1 ) 五e 6 ( 2 q ) 在本文的研究中我们把模型更加抽象亿，u 可以为负值，而且破产后模型能够继续运行， 如下图所示( t 表示破产时，后面会给出定义) 一 、j 7 | | 、j 、 ， 、 ii ill s l ：8 2 ：( t ) s 3 ：8 4 t | | 、二 把u ( t ) 稍作变形可得到 图1 u ( t ) = ( u + 护一；一k ( t ) 3 ( 2 1 4 ) 由上式可以看出当u 茎一；时，u ( t ) 则单调递减到一o 。如下图 u ( t ( 一；) 8 1 8 2 , 8 3 , 弋二 而我们知道，如果t s 图2 u ( t ) = ( u ( s ) + ；) 水叫；一e 辫+ - 邑 ( 2 工5 ) 因此。由上式可以看出，盈余过程u ( t ) 一旦掉到一；以下，也会单调下降到一。如下 图 j ? | | t 八j 一一一一一一一一一一一一一一一l j j 一一一一一一一一一 雷3 4 2 2 基本概念和定义 对任意p r ，设t 表示表示盈余过程的破产时，l 表示过程最后一次离开卢的时 间( 末离时) ，即； t = i n f ( t 0 ：u ( t ) 0 ，l 0 下面我们定义卢点序列，这样的点称为卢点：v 卢r s g = 0 s = i n f ( t 0 ：u ( t ) = 口) ( s ：= o o 如果集合空) s 2 = i n f 0 s 2 1 ：u ( t ) = 卢) ( s 2 = 。o 如果集合空) ， 1 如下图所示 掣刁一。 | | 、 i 图4 对任意t 0 ，让 母= s u p ( s 2 ：s 2 t ) ( 帮= o 如果集合空) ：，= s u p 0 ：s 2 t ) ( f = o 如果集合空) 我们知道誓是到t 为止最后一个p 点，胛代表这些卢点的个数因此p = ( 醒，t 1 ) 是一个计数过程，曼= s u p ( k o ：霹 0 ，若已 知n ( t ) = n 0 ，则这过程的前n 个点发生时间( 8 1 ，8 2 ，8 。) 和n 个在( 0 ，t 】上均匀 6 分布的相互独立随即变量u - ，的次序统计量有相同的竹维联合分布，即随即变量 ( s ”，8 。) 有n 维条件密度函数 ，。m ，匕，圳岬一，= 惜潞碥鲫 ( 见邓永录，梁之舜随机点过程及其应用) 设叽1 ) ，阢2 ) ，u ( n ) 为巩，巩，的次序统计量，且与蜀，z 2 ，磊独立则由引理 3 1 1 可知 e 墨l p ( 1 e 6 ( t - s k 磊z l n ( t ) = n ) = 巽l p ( 1 e 6 u q 埘磊) = 。o o ：1 p ( 2 = l ( 。一巩) 么z ) 又由于( e ( “u - ) z k ) k ! l 是独立同分布的随机变量，敏 器l p ( k l e 6 ( t - s t 磊x l n ( t ) = 礼) = 。o o ：1 砖4 ( z ) 其中， f ( ) = p ( ( e 5 ( t - u 1 ) z o 省) = i 1f of ( x e 一6 ( ) 咖，是( e 邢一“磊) 蝰l 共同的分 布故 即，z ) = e 。+ e “忙甚。等矸沁) ) ( 3 1 1 ) 可见h ( t ，z ) 在z = 0 处有一跳跃，其值为e 。而且( 氙，巩) k 1 都有密度函数，则当 t 0 ，z 0 ，h ( t ，。) 有密度函数h ( t ，z ) 坤，z ) = e 。恼袅。警删瑚 ( 3 1 - 2 ) 其中， 0 ) 是r ( z ) 的密度用p ，元，曰表示f r ，日的l s t 变换，以，1 五，万 表示， h 的l t 变换那么对s 0 ，t 0 f r ( t ，s ) = e e 一嘶( 。) 一e 础仃1 距，警鼬) ) = e x p 一址( 1 一扁( s ) ) )( 3 1 3 ) e 枷( e 甚。警眦) ) ( e 1 ( 。) 一1 ) e “( 3 1 4 ) 7 引理3 1 2 i ) 对u 一；，。u p ，0 ，更新测度g ( u ，口，) 有密度函数g ( u ，p ，t ) 且当卢 一；时 当口= 一；时 当口 。o ( i i ) 对 一；，u 一；时， a ( u ，p ，【t ，t 十出) ) = e 是1 p ”( s ： t ，t + t i t ) ) = 器l 尸( s g t ，t + d r ) ，n i t ，t + d t ) = 0 ) + e 罂1 p “( s ：i t ，t + d t ) ，n i t ，t + d t ) 1 ) 设 1 1 ( t ) 代表上式中的第一部分，屯( t ) 代表相应的第二部分，则 i i ( t ) = 尸“( u 0 ) p u ( t + d t ) ，n i t ，t + d t ) = 0 ) = p ”( p ，t + d t ) = o ) p “( u ( t ) p 0 ，存在密度函数9 ( u ，声，t ) ，且 州 9 ( “，卢，t ) = ( c + 6 卢) o ，札e 以+ c e 6 v d v 一) ( 3 1 9 ) j 0 当t = 0 时，注意到口，故有 g ( 珏，反【o ，a t ) ) = p “( 。f 【o ，d r ) ，n l o ，d t ) = 0 ) + 县2 p 。( s ： o ，出) ，n i o ，出) 1 ) = p “( 砰【o ，d r ) ，n o ，d t ) = 0 ) + o ( c g t ) = p “( 邛【0 ，d t ) ，n 0 ，d t ) = 0 ) + o ( d 2 t ) = o ( d 2 t ) 因此t = 0 处密度函数g ( u ，芦，0 ) 存在，而且 9 ( u ，卢，0 ) = 0( 3 1 1 0 ) 当卢= 一；时， 我们知道当v ( t ) 掉到一 以下，就会严格单调下降，不可能再回到一当u ( t ) 一i 时，u ( t ) 在两个跳点之间严格单调递增故v ( t ) 达到；时，只能在某一个跳点直接 掉到一；的位置由于这些位置的分布是连续的，因此这种事件发生的概率是零故对 t 芝0 = 县l p “( s ：。t ) =0 9 进而有 9 ( u ，一；，t ) = 0 ，t 0 当p 一；时的证明可得 ，( u ，卢，= i c + 6 卢 o ，u e 配+ cj ； e 抽4 u 一口：三： ( i ) 得证。 ( i i ) 注意到t 口时，再用( i ) 的证明可得，c ( u ，p ，t ) 存在密度函数9 ( u ，卢，) ，为 ，t 口( t ，卢，t ) = ( c + j 卢) ( t ，u e 以+ c d 一p ) ( 3 1 1 3 ) j 0 ( i i i ) 当 卢，由过程得单调性可知，过程最早在q 达到卢 故对t a ，可以用类似( i ) 的证明 g ，卢，i t ，t + d t ) ) = e 嚣1 p ”( s ：【t ，t + d t ) ) 1 0 p ( 5 1 a ) e - a 口 ( 3 1 1 4 ) = 黯1 p “( 8 ：【t ，t + d r ) ，n i t ，t + d t ) = 0 ) + e 器1 p “( s g 【t ，t + d t ) ，n t ，t + d t ) 1 ) 设，1 ( t ) 代表上式中的第一部分，1 2 ( t ) 代表相应的第二部分，则 1 1 ( t ) = p ”( u ( t ) 正 u ( t + d t ) ，n t ，t + d t ) = 0 ) = p “( h t + d t ) = o ) p “( u ( t ) 卢 u ( t + d t ) l n t ，t + d t ) = 0 ) = e - 出p u ( 扎e 乳+ c f o e 却d v 一卢+ ( c + 5 z ) d t + o ( d h ) 0 ，由( 3 1 2 ) 式，得 j 1 ( t ) = 一( c + 5 3 ) h ( t ，u e 酏+ c e 5 r d v 一卢) 出+ o ( d 2 ) ( 3 1 1 5 ) j 0 用同样得方法计算后，易得 1 2 ( t ) = o ( d 2 t ) 因此，对t n ，存在密度函数9 ( “，p ，t ) ，且 ，t 9 ( u ，p ，t ) = 一( c + 6 ，) h ( t ，“e 乳+ c e 5 v d v 一卢) ( 3 1 1 6 ) j 0 引理证毕 此引理求出了更新测度g ( ，p ，t ) 及其密度函数9 ( u ，p ，t ) ，下面我们利用这两个重要的 函数分三种情况求g l ( u ，卢，t ) 及其密度函数9 t ( u ，卢，t ) 用g ，g 1 分别表示g ，g 1 的l - s - t 变换，表示9 的l t 变换 定理3 1 1对“ 一；，且u 卢， ( i ) 当妒= 一时，对t 0 g t ( u ，一i ，t ) = 0 ( i i ) 当卢一；时，对8 0 ， 跏) = 端 ( 3 1 1 7 ) ( 3 1 1 8 ) 其中8 ( 戗，s ) = 矗”e 9 ( 钍，罗，v ) d v 而且当铲9 ( 卢，卢，v ) d v 1 时，g l ( u ，p ，t ) 存在密度函数g t ( u ，卢，t ) 且对t 0 9 1 ( u ，卢，t ) = e 箍1 ( 一1 ) “9 ( u ，卢，t ) + 9 n , ( p ，卢，t )( 3 1 1 9 ) 证明 ( i ) 由g 1 ( u ，多，t ) 的定义知 g ，( “，一；，t ) = p ”( t i 5 t ) 1 l ( 3 1 2 0 ) 故 g z ( u ，一和g ( u ，一和= o ( i i )由2 2 1 式可知，对t 0 ， c ( u ，p ，t ) = g l ( u ，p ，t ) + 嘉i g l ( u ，芦，t ) g ? ( 芦，芦，t ) = g x ( u ，卢，t ) + c 1 ( u ，卢，t ) c ( z ，p ，f ) 上式两边取l - s t 变换后，得 讯舢) = 端 当j 9 ( 3 ，卢，v ) d v 1 时，e ( z ，卢，s ) 1 ，则由本定理( i ) 可知 g l ( “，p ，s ) = 甚o ( 一1 ) ”0 扣，卢，s ) 0 “( 口，卢，s ) 故当t 0 时，反解上式可知g l ( n ，卢，) 存在密度函数g l 和，p ，t ) ，且 g l ( u ，p ，t ) = 墨o ( 一1 ) “g ( u ，卢，t ) + 9 ”+ ( 卢，卢，t ) ( i i ) 得证 定理证毕 ( 3 ，1 2 1 ) ( 3 1 2 2 ) ( 3 1 2 3 ) ( 3 1 2 4 ) ( 3 1 2 5 ) 此定理只考虑了u p 的情形，其实当u = 卢时，g l ( 展反t ) 就是一个e x c u r s i o n 的长度的分布 下面我们来研究牡 一；，且u 卢 当0 t 0 ，0 ( 卢，反s ) o t ，g 1 ( ，卢，) 存在密度函数g lu ，卢，t ) ，且 9 l ( ，芦，t ) = 甚o ( 一1 ) “9 ( 口，p ， ) ，9 n + ( f ，p ，彩( 3 1 2 7 ) 证明 显然，由于u a ，若g ( 芦，口，o 。) = j 孑9 ( 反芦，v ) d v 1 ，由( 3 2 2 3 ) 可觅 0 l ( u ，卢，s ) = e 。0 0 ：o ( 一1 ) “g ( u ，s ) 弘( p ，p ，s ) 反解上式得，g l ( u ，p ，t ) 存在密度函数g l ( u ，p ，) ，且 9 1 b ，p ，t ) = ：( - - i ) “g 托，筘，t ) 扩( 黟，口，t ) 定理证毕 定理3 , 1 3 对“；， ( i ) 当“ 卢 9 - ( 一；，= 一( c + 6 眵) h ( t ，一；一国，u = 一； g l ( u ，p ，t ) = g 妊，芦，t ) ，e 一； 证明 ( i ) 当u 一i 对，u ( s ) 关于s 递减，故对t u ( t + 出) ，n t ，t + d t ) 1 ) 用类似引理3 1 2 的证明可得 9 1 ( 一；，p ，t ) = 一( c + 6 f 1 ) h ( t ，一；一p ) 而当u 0 ) 出发，首达零的时刻 如果死之前不发生索赔的话，则 己= ；n 南 1 4 我们称之 我们就称 ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 令q ( n l y ) 代表若过程的破产位置是一y ，经过n 次返回的概率 引理3 2 1 对n 1 a c n j v ，= ：i f 。；+ 5 a c 一j 。c + r d ) 一1 9 ，( z ) q ( n lj z r ) d 。d ， ：；：；： 当n = 0 m j 柙= 黟氕：霉；： 证明 当一y + ；s0 时，u ( t ) 不可能返回，故此时q ( n l y ) = 0 当一g + ；s 0 时，经过一次索赔没有回到非负值。而且这次索赔发生时间为r + 置1 ) ，那 么我们知道矸1 ) 0 时， q ( 0 1 y ) = p ( 丑1 ) 乃) = e 一峨一 = ( 了与) 一。 ( 3 训 引理证毕 此引理给出了q ( n l y ) 的递推关系式，可以用递归的方法求出g ( n i ) 定理3 2 1 ( i ) 矿( n ) = 南j q ( n l y ) w ( u ，y ) d u ，其中，u ( “，y ) d y = p “( i u ( 丁) l d y ，t 枷期赢归 ”】 2 讯”j e - i ( s 咿) 十1 ) ( 。，矿( s 叩) + 。) l n 莉唰蒜习，r 。 2 志f 伊( 呲，) + l 胁州哪讲。) 0 m 孙。， l n 二；南丽) i 丁 o o ，u ( 咖t ) ) = 一( 刚) 魂 = 蒜譬q ( n t y ) w ( u ，y ) d y ( i i )由3 ，1 节的首中时性质我们知道，p 就是破产后盈余过程首中0 的时间。故 = 赤州那 0 1 丁 o 。) = 面1 o ”p ( 3 0 s t ，u ( r + s ) 。i 矿( 丁) = 一，丁 o 。) ( u ，) d 可 由- 5 氏往 p u ( s o 8 t ，u ( t + s ) o i u ( t ) = 一y ，t o o ) = p 一。( 碍t ) = g l ( 一y ，0 ，t )( 3 2 8 ) 故 州归嘉z 。g - ( - y , o , t m 舳 ( 3 2 9 ) 定理证毕 定理3 2 1 给出了返回次数和返回时间的分布，实际上，如果一个公司负债垒垒的话，我 们可以算出公司大概在什么时候能还清债务 本文从盈余过程的首中时，返回时间二个方面研究了带常利率的盈余过程，对弗常利率 盈余过程的整个运行轨道做了大致的描述，首先研究破产前轨道运行情况，然后考虑破 产后如果轨道继续运行的情况，让读者对盈余过程有一个整体的把握 本文中的结果，非常有实际意义，比如对公司进行投资，分红以及贷款都具有指导意义； 当然，此模型毕竟是抽象的数学模型，里面有很多假设，实际操作中会考虑到更多的因 素，不能完全按这个实行，比如我们这里假设n ( t ) 是一个齐次的泊松点过程，而在实际 情况中索赔的发生时间完全有可熊符合其他的分布，比如间隔时间可能服从e r l a n g 分 布；而且，在实际中索赔之间可能不独立，一个索赔可能会引起许多其他的索赔，索赔 的类塑也有各式各样，困此实际情况非常复杂但是这些都可以抽象出来，当成数学问 题进行研究，然后指导实际执行 1 7 参考文献 【1 】邓永录，梁之舜，随机点过程及其应用，北京；科学出版社，1 9 9 2 c 2 l 王梓坤，随机过程通论，北京；北京师范大学由版社，1 9 9 6 【3 】j a ng r a n d e l l ”a s p e c t so yr i s kt h e o r y ”，s p r i n g e r ，1 9 9 1 4 ) t o m a s zr o l s l d ，h a n s p e t e rs c h m i d l i ，v o l k e rs c h m i d ta n dj o z e ft e u g e l s ”s t o c h a s t i cp r o c e a s e s ，o ri n s u r a n c ea n df i n a n c e ”，j o h nw i l e y & s o n s ，1 9 9 9 f 5 】j m i c h a e ls t e e l e ，”s t o c h a s t i c c a l c u l u sa n df i n a n c i a la p p l i c a t i o n s ”，s p r i n g e r ，2 0 0 0 6 】f d e l b a e n ，j h a e z e n d u n c k , c l a s s m a ir i s kt h e o r yi na ne c o n o m i ce n v i r o n m e n t ”， i n s u r a n c e ：m a t h e m a f i c s g e c o n o m i c s6 ( 1 9 8 7 ) 8 5 - 1 1 6 【7 1p b o o g a e r t ，j h a c z e n d o n c k ，f d e l b a e n , l i m i tt h e o r e m sf o rt h ep r e s e n tv a l u eo ft h es u r p l u s o fa ni n s u r a n c ep o r t f o l i o i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c s g j e c o n o m i c s7 ( 1 9 8 8 ) 1 3 1 1 3 8 【8 1b j 廿r ns u n d t ，j o z e fl t e u g e l s , r u i ne s t i m a t e su n d e ri n t e r e s tf o r c e ”， 肿埘崛懈：m 口埔删q n 垴搬弛o n o m c s1 6 ( 1 9 9 5 ) 7 - 2 2 9 】h a i l i a n gy a n g ，l i h o n gz h a n g , o nt h ed i s t r i b u t i o no fs u r p l u si m m e d i a t e l ya f t e rr u i nu n d e r i n t e r e s tf o r c e ，i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c s e c o n o m i c s2 9 ( 2 0 0 1 ) 2 4 7 - 2 5 5 f 1 0 j u nc a i ，d a v i dc m d i c k s o n , u p p e rb o u n d sf o ru l t i m a t er u i np r o b a b i l i t i e si nt h es p a r r e a n d e r s e nm o d e lw i t hi n t e r e s t ”，l n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c s e j e c o n o m i c s3 2 ( 2 0 0 3 ) 6 1 7 1 i i j u nc a i ，d a v i dc m d i e k s o n , o nt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t yf u n c t i o na tr u i no fa s u r p l u sp r o c e s sw i t hi n t e r e s t ”1 n s u m n c e ：m a t h e m a t i e s s j e c o n o m i c s3 0 ( 2 0 0 2 ) 3 8 9 - 4 0 4 【1 2 】a l f r e d od e g d i od e sr e i s , h o wm a n yc l a i m sd o e