（应用数学专业论文）曲桩的稳定性和过屈曲分析.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人己发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：直鹋 日期： 趟：五：占 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：禹妗一导师签名：豸韭日期： 诚心f 警 上海人学硕士学位论文 摘要 桩基在许多工程领域，如高层建筑、公路桥梁、港口码头等中被广泛应用。 当作用在桩基上部的垂直载荷超过临界值时，桩基将失去稳定性。本文对两类 曲桩，计算了临界载荷以及过屈曲构形，本文的主要工作如下： 1 基于弹性杆的大变形理论，在土抗力的w m k e l e r 假定下，采用弧坐标建立了 曲桩的非线性数学模型。由此得到的控制方程是一组非线性微分一积分方程。通 过引入一组未知函数，把它化为一组非线性常微分方程的边值问题。 2 在复述使用打靶法和牛顿迭代法求解这一非线性边值问题的基础上，本文给 出了用求解扩大的常微分方程的初值问题的方法，实现每一牛顿迭代步的具体算 法，根据这一方法求得了非线性边值问题的平凡解支。 3 利用奇点理论，通过构造一个摄动方程并延拓摄动方程解支，得到了分叉解 支上解的近似值，并用这个近似值作为求解非线性常微方程的边值问题的初值， 最终采用牛顿迭代法求解出了非线性常微方程的边值问题分叉解支上的解。 4 利用本文给出的方法，对两类曲桩成功地计算了平凡解支、特征值的位置和 分叉解支。数值计算结果表明：土抗减小时，临界载荷明显下降；初始微小挠度 逐步增大时，临界载荷略微上升，此外计算结果还表明：小的初始弯曲不会改变 分支解的波形结构。 关键词：弯曲的桩基；稳定性；特征值；分支解 e 海大学硕1 ：学位论文 a b s t r a c t t h ep i l ef o u n d a t i o nh a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n ye n g i n e e r i n gs t r u c t u r e s f i e l d s ，s u c ha sh i g h r i s eb u i l d i n g s ，h i g h w a y s ，b r i d g e s ，p o r t sa n dd o c k se t c t h ep i l e f o u n d a t i o nm a yl o s ei t ss t a b i l i t y , a st h ev e r t i c a ll o a da p p l i e dt h et o po fp i l ee x c e e d s t h ec r i t i c a ll o a d f o rt w oc l a s s e so fb e n d i n gp i l e ，t h ec r i t i c a ll o a d sa n dp o s t - b u c k l i n g c o n f i g u r a t i o n so fp i l e sa r ec a l c u l a t e di nt h i sp a p e r t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： 1 b a s e do nt h el a r g ed e f o r m a t i o nt h e o r yo ft h ee l a s t i cp o l e ，am a t h e m a t i c a lm o d e l o fb e n d i n gp i l ei se s t a b l i s h e db yu s i n gt h ea l e - c o o r d i n a t e ，i nw h i c hw i n k e l e rm o d e l i su s e dt od e s c r i b et h er e s i s t a n c eo ft h es o i l t h i sm o d e li sas e to fn o n l i n e a r i n t e g r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yi n t r o d u c i n gn e wf u n c t i o n s ，t h ei n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r et r a n s f o r m e di n t oab o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fas y s t e mo fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 a f t e rr e v i e wt h es h o o t i n gm e t h o da n dn e w t o n r a p h s o ni t e r a t i v em e t h o df o r s o l v i n gt w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a s p e c i a lt e c h n i q u et oi m p l e m e n tt h en e w t o ni t e r a t i v ep r o c e s si sp r e s e n t e db ys o l v i n g a l li n i t i a lv a l u ep r o b l e mo fae x p a n d i n gs y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s u s i n gt h i st e c h n i q u e ，t h et r i v i a ls o l u t i o n so ft h ep i l ea r ey i e l d e d 3 b a s e do ns i n g u l a r i t yt h e o r y , ap e r t u r b a t i o ne q u a t i o ni sc o n s t r u c t e dt og e tt h e a p p r o x i m a t ev a l u eo ft h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o n t a k i n gt h i sa p p r o x i m a t ev a l u ea s i n i t i a lv a l u eo fn e w t o ni t e r a t i v e ，t h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o no fn o n l i n e a rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e mt h a tg o v e r n sd e f o r m a t i o no fp i l ei sc a l c u l a t e d 4 f o rt w oc l a s s e so fb e n d i n gp i l e ，t h et r i v i a ls o l u t i o n ，t h ep o s i t i o n so ft h e e i g e n v a l u e sa n dt h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o n sa r ec a l c u l a t e ds u c c e s s f u l l yb yu s eo ft h e m e t h o dd e s c r i b e di nt h ep a p e r t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h ec r i t i c a ll o a di s d e c r e a s e ds i g n i f i c a n t l ya st h es o i lr e s i s t a n c er e d u c e sa n dt h ec r i t i c a ll o a di si n c r e a s e d s l i g h t l ya st h ei n i t i a lb e n d i n gg r a d u a l l yi n c r e a s e s f u r t h e r m o r e ，t h en u m e r i c a lr e s u l t s s h o wt h a tt h es m a l lb e n d i n go ft h ep i l ed o e s n tc h a n g et h en o d e so ft h eb i f u r c a t i o n 2 上海大学硕士学位论文 s o l u t i o n so ft h ep i l e k e yw o r d s ：b e n d i n gp i l e ；s t a b i l i t y ；e i g e n v a l u e ；b i f u r c a t i o ns o l u t i o n s 3 上海大学硕士学位论文 1 1 课题来源 第一章绪论 本课题来源于上海市浦江人才计划，基金编号：0 7 p j l 4 0 7 3 上海市重点学 科建设项目资助，项目编号：y 0 1 0 3 。 1 2 引言 桩基础是土木工程建设中最常见的一种基础形式，其作用是将上部结构载 荷通过桩身传到地基深部强度高，压缩性较小的岩( 土) 层上，从而提供更高的 承载能力并减小基础沉降和不均匀沉降。桩基具有承载力大、稳定性好、沉降 小等特点，现已在高层建筑、重型厂房、桥梁、港口码头等深基础中得到广泛 应用。 从新石器时代人类以木桩搭台修筑房屋开始，桩基础的发展已经历了上万 年的历史。由最原始的木桩、石桩基础，到1 9 世纪2 0 年代使用钢板桩修筑围 堰和码头，再到上个世纪初钢筋混凝土预制构件的问世，大直径钢管桩和钢筋 混凝土钻孔灌注桩的出现，桩基已被广泛应用于建造石油钻井平台和海港建筑 等海洋结构物中。 随着科学技术的发展，在工程实践中已形成了不同标准以划分桩基的类型。 按桩土相互作用的特点可分为摩擦桩、端承桩和端承摩擦桩；按施工方法的不 同可分为预制桩、灌注桩和管柱基础；按受到的上部载荷不同可分为竖向抗压 桩、水平受荷桩、复合受力桩、锚桩、抗拔桩、护坡桩等：按桩径的大小可分 为小桩( d 2 5 0 m m ) 、中等直径桩( 2 5 0 m m d 8 0 0 m m ) 和大直径桩 ( d 8 0 0 m m ) ；按桩的长细比分为短桩( ，d 1 0 ) 、中长桩( 1 d 2 5 ) 、长桩 ( 2 5 1 0 0 ) ；按材料不同可分为木桩、素混凝土桩、 钢筋混凝土桩、预应力钢筋混凝土桩、钢桩和组合材料桩；按桩身横截面形状 不同分为圆形桩、方桩、板桩、多边形桩、i 字型桩、十字型桩、锥形装等；按 6 上海人学硕士学位论文 桩身轴向截面形状不同分为普通桩和变截面桩( 如d x 挤扩桩、z k k p j 扩盘桩 等) ；按桩的刚度不同分为柔性桩和刚性桩；按桩的数量分为单桩基础和群桩基 础。 桩基的设计与施工对上部结构及周围环境的安全至关重要，但是一直到十 九世纪末，桩基的设计才从仅凭经验和运气的初级阶段，开始形成了大规模、 系统的研究，众多学者作了大量有关桩基础性能的现场试验和理论研究。随着 上部结构高度的增高，性态的复杂，功能的多样化，尤其是许多工程集中在地 质条件较差的沿海地区兴建，给桩基的分析、设计提出更精确的要求。由于桩 基的细长特性，桩基的受力分析和设计除了强度要求之外，稳定性的讨论也是 必不可少的。 由于施工的缺陷特别是当发生地震灾害时，土壤的液化导致直的桩基出现弯 曲的情况，为了保证弯曲桩基的使用安全，具有初始弯曲的桩基的力学性能的 研究已成为桩基设计中一个重要的研究课题。 1 3 国内外桩基的研究现状 在桩基的研究中，通常把桩分为单桩和群桩。对群桩而言，桩与桩间的距离 不是很大，所以除了要考虑桩土的相互作用外，还要考虑桩与桩之间的相互作 用。而单桩却不考虑桩之间的相互作用，相对群桩来讲，它的研究要容易处理一 些，所以本文将只对单桩进行讨论。单桩就其形状而言，可分为直桩和曲桩。 1 3 1 直桩的研究现状 1 响应问题的研究现状： 目前桩基的研究主要通过连续介质力学方法、地基响应法建立数学模型，并 利用解析方法、半解析方法或数值计算方法进行数值计算，对桩基的非线性动力 学行为进行研究分析。 ( 一) 连续介质力学方法 连续介质力学方法基于连续介质理论和框架来建立分析桩基力学行为分析 7 上海大学硕士学位论文 的数学模型，其中，桩和土的材料可以是弹性、粘弹性和弹塑性材料等。1 9 6 9 年由t 旬i m i 首次提出之后，众多学者在这一理论方法之上展开了广泛的研究和讨 论。n o v a k ( 1 9 7 4 ) t l 】基于平面应变假设，将土看成线性粘弹性半空间，首先运用 连续介质力学，研究了在线性粘弹性土的假设下桩一土的相互作用，并在其后的 文献】中进一步发展和完善了理论。a n e s f i s 【4 弓1 在n o v a k 模型的基础上提出了非 线性粘弹性模型，得到了在非线性粘弹性情况下桩一土的相互作用。c h a u 和y a n g ( 2 0 0 5 ) 【叼研究了非线性粘弹性桩土系统的水平振动特性。程和胡( 2 0 0 5 ) 【7 - 8 1 研究了 在非线性粘弹性土层中，受竖向载荷作用的桩一土系统的水平振动特性。 ( 二) 地基响应法 这种方法是将土对桩的作用力表述为一系列的方程，即p 一少或q s 曲线， 通过实验得到桩土相互作用的力。r e e s e ( 1 9 7 5 ) t 9 1 、o n e i l l ( 1 9 8 2 ) t 1 0 】通过由经验 或实验得到的土对桩的特殊曲线来描述土的非线性作用，对桩土的非线性行为 进行了研究；o n e i l l ( 1 9 7 7 ) t 1 1 1 、b o g a r d 和m a t l o c k ( 1 9 8 3 ) t 1 2 1 、b r o w n ( 1 9 8 8 ) t 1 3 1 提 出和改进了修正的地基响应法；k r a f t ( 1 9 8 1 ) 1 4 1 、g a z i o g l o u s 和o n e i l l ( 1 9 8 4 ) 1 5 1 试图得到一些理论曲线来描述不同性质的土层；n o g a m i 和c h e n ( 1 9 8 4 ) u 6 】、 n o g a m i 和p a u l s o n ( 1 9 8 5 ) 1 7 l 提出了传递矩阵法。 ( 三) 数值计算法 由于桩基模型的复杂性，只能对少量问题可以求出解析解、半解析解，因 而采用数值计算的方法，进行桩基的力学性能的研究是最常见的一一种手段。常 用的数值计算方法包含有限元方法、样条有限元方法、边界元方法、无网格方 法和它们相组合得到的混合方法等。 e l l i s o n ( 1 9 7 1 ) t 18 1 、d e s a i ( 1 9 7 4 ) t 1 9 1 利用有限元方法解决轴向力作用下的桩基 的力学问题。m u q t a d i r 和d e s a i ( 1 9 8 6 ) 【捌利用三维有限元模型求解了双曲型本构 模型下桩土的相互作用。a r i s t o n o u sm ( 1 9 9 1 ) t 2 1 1 利用有限元方法系统研究了在弹 塑性模型下的桩十划移、间隙等对桩土相互作用的影响。近年来，有人应用边 界元方法、有限元耦合法，边界元方法、差分法耦合法，有限元方法、无网格 方法、联合法求解了桩土相互作用问题，都是一些比较有效的方法。 8 上海大学硕士学位论文 2 稳定性分析的研究现状： 自1 7 4 4 年e u l c r 对压杆的稳定性问题做出开创性的研究以来，此后的两百多 年，如：t i m o s h e n k o u ，b u r g e r m e i s t e r g 等人都对结构稳定性做了大量的研列2 2 - 2 3 】， 程和朱( 1 9 9 1 ) 2 4 聂j - 结构的稳定性进行了系统的总结。2 0 世纪2 0 年代，f o r s e s l l ， g r a n h o l m 等人对桩基屈曲稳定问题的前期研究表明：对打入极软十层中的钢筋 桩、钢轨桩等应考虑其屈曲问题 2 5 - 2 6 】，并且指出：在众多影响桩基屈曲稳定的因 素中，桩周土体的约束作用的因素显得尤为重要。随后国内外学者从理论和试验 两方面对该问题进行了讨论。九十年代初g a b e r 2 7 】在不同桩端边界条件和地基系 数情况下，考察了桩基的屈曲稳定性问题。杨维好等( 2 0 0 0 ) 郾】在此基础上利用最 小势能原理分析了端部嵌固桩的稳定性。彭锡鼎等( 1 9 9 6 ) 2 9 】考虑桩侧土抗力建立 桩基平衡微分方程，用伽辽金法获得两端固定桩基的临界载荷。杨健等( 2 0 0 0 ) 【3 0 】 针对4 种常见地基系数模式及两种摩阻力分布模式，考虑桩侧土抗力、摩擦阻力 及桩身自重作用，得出了桩基屈曲载荷，并指出影响桩基屈曲稳定的主要因素是 桩侧土抗力，而桩侧摩擦阻力影响相对较小，至于自重的影响通常可忽略。 2 0 世纪5 0 年代后，不少研究者开始进行一系列桩基屈曲试验研究。b r a n d t z a g e 矛1 h a r b o e ( 1 9 5 7 ) 3 1 】最早进行了现场钢轨桩试验，b e r g f e l t ( 1 9 5 7 ) 贝3 j 进行了室内钢、 铜及木桩的模型试验【3 2 1 ，随后，k l o h n 和h u g h e s 等( 1 9 6 4 ) 采用木桩进行了较大规 模的现场试验【3 3 1 。此外，g o l d e r 和s k i p p ( 1 9 5 7 ) 的室内模型钢筋桩试验3 4 1 ，l e e ( 1 9 6 8 ) 的室内模型钢、铝桩试验3 5 及s o v i n c 等( 1 9 8 1 ) 的现场钢管桩试验【3 6 1 ，它们都证明 软弱土层中桩的屈曲破坏是可能性的。 1 3 2 曲桩的研究现状 在实际施工过程中，桩身不可避免地会产生初弯曲、载荷偏心等缺陷，导致 屈曲临界载荷的改变。b r o m s 曾假定初始弯曲形式按正弦三角函数分布，讨论了 其对桩变形的影响。邹新军等讨论了在不同深度处，桩存在的不同程度初始弯曲， 对桩身屈曲稳定的影响。结果表明桩身屈曲稳定性与初始弯曲的位置有关，越靠 近地面，且弯曲程度越大，对桩身屈曲稳定性越不利，相应的桩身失稳临界载荷 降低程度越大。在此研究基础上他们又进一步考虑到承台、桩周十体的约束作用、 9 上海人学硕士学位论文 桩端边界条件、桩土材料的非线性及桩身初始缺陷如初弯曲、荷载偏心及桩身质 量缺陷等诸多因素的影响，建立桩土共同作用模型，并采用数值方法进行桩基 屈曲分析【3 7 1 ，此外孙强 3 8 - 4 1 】、赵明华【删等对此也进行了研究，他们指出初弯曲、 载荷偏心等缺陷对桩基稳定性的影响是不可忽视的。 由于地震等地质灾害的影响，例如土层的液化等，桩基结构将发生弯曲， 从而使桩基承载能力降低，建筑结构的安全受到了极大地威胁，给人民的生命 财产造成了极大的损失。1 9 6 4 年日本新泻地震、美国阿拉斯加地震、1 9 7 6 年我 国唐山地震、1 9 9 5 年日本阪神地震、2 0 0 3 年墨西哥地震等频繁发生的大地震使 得人们积累了丰富的地震宏观震害资料，对地震导致的地基失效的危害有了较 深刻的认识。特别是在日本新泻大地震、美国阿拉斯加大地震造成广泛的饱和 砂土地基液化失效，从而造成大规模结构破坏后，人们对地震破坏的严重性给 予了更广泛的重视，因此许多学者对土体因地震而失稳破坏的原因、机理，土 体的动力特性、饱和砂土液化等问题展开了广泛的研究 4 3 - 4 7 】。m i y a s a k at ( 1 9 9 7 ) 1 4 8 ，i z u m ih ( 1 9 9 9 ) h 明研究了冈地震液化导致的横向地面移动对桩基础及其静动 力学行为的影响，并发展了一种高柔韧性抗震接头桩h i g hd u c t i l i t y a s e i s m a t i c j o i n ts p l i c e dp i l e ( h d a j 拼接头桩) ，可以用来抵抗由于地震引起的破坏。这种 桩基的变形是比较大的，应用小变形理论进行分析和设计将导致比较大的偏差。 m i u r a ，朱媛媛等( 2 0 0 1 ) 5 0 - 5 h 研究了这种桩基的临界载荷和稳定性【5 2 1 。朱嫒媛等 ( 2 0 0 7 ) t ”】对具有初始缺陷的桩基的力学行为进行非线性、大变形分析，并考察 初始缺陷对桩基的力学行为的影响。 1 3 3 分叉问题的主要研究方法 从数学的角度来分析，桩基的失稳和屈曲问题实际上是一个静分支问题，桩 基失稳和屈曲的计算实际上是对一种分支问题的数值计算。目前，对静分支的理 论和数值计算方法的研究已取得了许多成熟的成果，较早的分支理论可参考 【5 4 5 7 ，8 0 年代i a r n o l d 5 8 1 和m g o l u b i t s k y l 5 9 。6 0 1 建立了奇点理论，对奇点进行了 分类，完整地对一维静分支问题进行了系统的研究。 随着计算技术的提高和高性能的计算器的问世，静分支的数值计算在上世纪 7 0 年代取得了迅速的发展。r b s i m p s o n ( 1 9 7 5 ) 6 u 研究了非线性方程组的分支状 1 0 上海大学硕t - 学位论文 态的数值确定方法，h - b k e l l e r ( 1 9 9 7 ) 蚓全面总结了计算分支问题的解支延拓， 穿越奇点，奇点定位和解支转接的技巧。朱和从( 1 9 9 6 ) 【6 3 】按照奇点分类理论，利 用数值l i a p u n o v s c h m i d t 过程给出了确定各种奇点的一类迭代法。同时，他们还 在啷1 中利用奇点理论给出了一种解支转接的开折方法。 对常微分方程边值问题的分支解的研究同样也取得了许多成就。r w e i s s ( 1 9 7 5 ) 6 5 】给出了采用差分法计算两点边值问题的分支解的有关结论，y l v a r o l ， d w e s t r e i c h ( 1 9 7 9 ) 断】利用g a l e r k i n 方法计算了两点边值问题的分支解，朱正佑 ( 1 9 8 6 ) 6 7 1 、h w b e r ( 1 9 7 9 ) 6 8 1 详细介绍了从单特征值处分支解的计算过程。 1 4 论文的主要研究内容 本文研究曲桩的稳定性和过屈曲问题，全文结构如下： 第一章概述了桩基础研究意义，桩基础的应用范围，国内外桩基的研究 概况，以及本文的研究工作。 第二章给出两种不同函数型的初始弯曲的桩基的数学模型，由此得到的控 制方程是一组非线性微分一积分方程。接着引入一组未知函数，使之转化为一组 非线性常微分方程的边值问题。 第三章复述了非线性常微分方程边值问题的正常解支、奇点定位和判别奇 点类型的方法。提出了用求解扩大常微分方程初值问题的方法来实现解支延拓和 奇点类型判定的具体方法，并提出了一种通过计算摄动问题的正常解支，实现原 问题分支解的数值计算的新方法。 第四章利用第三章给出的计算方法，成功地对两类曲桩计算了平凡解支， 平凡解支上的分支点以及分支点处的分叉解支。对所得数值结果进行了一些力学 性能的分析。这些成功地数值结果表明了第三章中描述的方法是可行的。 第五章全文的总结和一些今后的展望。 t 海大学硕士学位论文 第二章曲桩的非线性数学模型 本章基于弹性杆的大变形理论，采用弧坐标首先建立了曲桩的非线性数学 模型，由此得到的控制方程是一组非线性微分一积分方程，其中，地基的土抗力 采用了w i n k e l e r 模型。接着引入一些新的未知函数，把这组非线性微分一积分 方程转化为一组非线性常微分方程的边值问题，得到了本文所讨论的数学模型。 2 1 基本假设和数学模型 考察一根弯曲的桩基，假定桩基的初始构形所占有区域为r 0 ： r o ： g ，y ) l x - - s + “。g ) ，y = w 0 g ) o s z ) ( 图1 ) 。图1 中的岛( j ) 表示初始构 形在任意点c 处的切线和z 轴的夹角，s 是弧长参数，是桩基的长度，x 轴铅 直向上，y 轴为水平方向。显然我们有： 1 + “o ( j ) = c o s e o ( s )w 。o ( j ) = s i n o o ( s ) 设桩基在s = ，处受到竖向力p 作用，并设平衡时初始构形r o 中任意一点 c g + ，w o ) 移动到点c g - i - “。+ “，w o + w ) ，因此，变形后的桩基的构形所占有 区域为： f ： g ，y ) k = s + “o + “，y = w o + w ，0 s ，) 式中，( ) 表示对弧坐标s 的导数，“g ) 和w g ) 分别为x - - 和j ，一方向的位移。 图1 桩的初始位移和坐标系图2 土的反作用力 1 2 目，s i n 0 ) 上海大学硕士学位论文 假定在变形过程中桩基不伸长，则我们有如下的几何关系： u = c o s 一e o s a o ，= s i n o s i n 岛( 2 1 ) 式中，( ) 表示对弧坐标j 的导数，秒g ) 是变形后的桩基的构形上点c 处的切线 和x 轴的夹角。( 见图2 ) 在本文中，桩基受到的土的抗力将采用w i n k e l e r 模型，设土抗力为：q ( s ) = g ( s ) ( s i n o ，- c o s 0 ) ，其中： g g ) = j j - “g ) s i i l 矽g ) + w g ) c o s 口g ) ) ( 2 2 ) k 是地基的弹性系数。 假定桩基的材料是弹性的，则有本构关系： q = e 1 ( 0 ”一 ( 2 3 ) 式中，q 为剪力，日为抗弯刚度。 在变形后的构形上，考察剪力的平衡得到平衡微分方程 ， q + p s i n o kf - “p ) s i n 秒p ) + m 如) c o s 秒( f ) ) c o s p g ) 一乡g 归f = 0( 2 4 ) 将公式( 2 3 ) 代入方程( 2 4 ) q h ，得到： ， e i ( o ”一印+ 尸s i n 秒一尼 一“( f ) s i n 秒( f ) + w ( f ) c o s p ( f ) c o s ( 口( s ) 一目( f ) ) d f = o ( 2 5 ) 假定桩基底部固定，桩头自由，则我们有以下几何关系和边界条件： 甜( o ) = 0 ，w 佃) = 0 ，曰( 0 ) = 0 ，目( ) = 0( 2 6 ) 方程( 2 1 ) 、( 2 5 ) 及边界条件( 2 6 ) 组成了桩基变形的数学模型。 另外，我们总假定醌满足： a o ( o ) = 0 ，岛。( ，) = 0 ( 2 7 ) 于是当p = 0 时，( 2 1 ) 、( 2 5 ) 、( 2 7 ) 有解：u ( s ) 兰o ，w ( s ) 兰0 ，o ( s ) = e o ( s ) 现在我4 j j 弓l 进一些新的未知函数，把方程( 2 5 ) 转化成一组等价的一阶常微 分方程组。令： 一卜海大学硕士学位论文 卣( d = 耿s ) ，最0 ) = ( 曲，磊0 ) = w ( 曲，螽0 ) = 0 ) ， 磊0 ) = iu ( r ) s i ne ( oc o s ( o ( s ) - o ( r ) ) d r 磊( s ) ：f “( r ) s i n o ( r ) s i n ( o ( s ) 一耿r ) ) 咖 ( 2 8 1 ) - ( 2 8 8 ) 与( s ) = 1w ( r ) e o s 觑r ) c o s ( o ( s ) - o ( r ) ) d r 磊p ) = 【w ( r ) c o so ( r ) s i n ( o ( s ) 一o ( r ) ) d r 其中0 j ，。由( 2 1 ) 、( 2 5 ) i r l ( 2 8 ) 知，参( s ) “= l ，2 ，8 ) 满足如下方程： 当。= 盏，参o ) = e o s 当一c 嘴岛，磊。( d = s i l l 毒一s i n e o ， 螽= 岛。一面ps i i l 专一去( 缶吲， 磊。( j ) = 受s i n 者, 一彘磊 ( 2 9 1 ) 一( 2 9 8 ) 彘( 曲= 彘磊 岛。( j ) = 磊c o s 磊一缶磊 磊( 曲= 茧岛 此外，由( 2 6 ) 和( 2 8 ) 知：磊( j ) ( i = 1 ，2 ，8 ) 还要满足如下边值条件： 冀：；：) 荔勘嘲：0 仁柳 【六( ，) = 磊( ，) = 彘( ，) = 岛( ，) = 磊( ，) = 、7 定理：若u ( s ) 、w ( s ) 和o ( s ) 满足积分一微分方程( 2 1 ) 、( 2 5 ) 和边界条件( 2 6 ) ， 则由( 2 8 ) 确定的盏( s ) ( i = 1 ，2 ，8 ) 是常微分方程组两点边值问题( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 的 解。反之，若毒( s ) ( i = l ，2 ，8 ) 是常微分方程组两点边值问题( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 的解， 令： o ( s ) = 磊0 ) ，“0 ) = 色( s ) ，w ( s ) = 岛o ) ( 2 1 1 ) 则u ( s ) 、w ( s ) 和o ( s ) 将是积分一微分方程( 2 1 ) 、( 2 5 ) 满足边界条件( 2 6 ) 的解。 证明：由上面的推导过程知定理前半段的结论是成立的。以下设 磊( s ) ( i = 1 ，2 ，8 ) 是( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 的解，并令秒( s ) = 氧( j ) ，“o ) = 彘( s ) ， w ( s ) = 磊( s ) ，由( 2 9 2 ) 和( 2 9 3 ) 立即得n - “0 ) = c o s o ( s ) - c o s a o ( j ) ，0 ) = s i n o ( s ) 一s i n0 0 0 ) 1 1 1 1 力- n ( 2 1 ) 成立。把( 2 1 1 ) t f l ( 4 ( s ) = 秒( j ) 代入( 2 9 5 ) 、( 2 9 6 ) 得到岛( s ) 、彘( s ) 满 足如下初值问题： 1 4 上海大学硕士学位论文 限= - u ( s ) s i n o ( s ) - 彘( s ) e ( j ) 彘= 磊o ) 秒0 ) ( 2 1 2 ) l 彘( ，) = 彘( ，) = 0 另一方面，我们不难核验f “( r ) s i n 口( r ) c o s ( o ( s ) 一9 ( r ) ) d f 和 f “( f ) s i n 0 ( 0 s i n ( o ( s ) 一o ( r ) ) d r 是初值问题( 2 1 2 ) 1 懈。所以由常微分方程初值 问题解的唯一性知( 2 8 5 ) 和( 2 8 6 ) 成立。类似地可证明( 2 8 7 ) 、( 2 8 8 ) 成立。最 后由( 2 9 4 ) 得到：e g 。( s ) - e i o o 。0 ) + p s i n 口0 ) + 七( 缶一岛) = 0 把磊和岛的公式( 2 8 5 ) 、( 2 8 7 ) 代入上式，得至l j ( 2 5 ) 成立。这就完成了定理 的证明。 根据这一定理，我们把积分一微分方程的边值问题( 2 1 ) 、( 2 5 ) 和( 2 6 ) 的讨论 转化成了常微分方程两点边值问题( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 的讨论。 引入无量纲参数，令j ：t l ( 或者t ：i - l s ) ， m ) 2 缶( s ) ( 2 臼( s ) ) i 耽( f ) = ，。1 彘( s ) ( = i - l u ( s ) ) y 3 ( t ) = 厂1 磊( j ) ( = l w ( s ) ) iy 4 ( t ) = 峨( j ) ( = 1 0 ( s ) ) 【欺( f ) = 严彘( s ) ， ( k = 5 ，6 ，7 ，8 ) 五：垒，口：塑 以及： o ( t ) = a o ( s ) 由( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 得到如下无量纲的常微分方程两点边值问题： j y = f ( t ，y ，兄) ，( o t 1 ) 【y i ( o ) = y 2 ( o ) = y 3 ( o ) = 0 ，y 4 ( 1 ) = 儿( 1 ) = y 6 ( 1 ) = y 7 ( 1 ) = y s ( 1 ) = 0 其中：y ( f ) = ( m o ) ，y 2 ( t ) ，强( f ) ) 7 ，f ( t ，y ，五) = ( z ，五，五) r ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 上海大学硕士学位论文 f l ( t ，y ，兄) = 儿 a o ，y ，五) = c o s y i c o s o o 石( f ，y ，五) = s i n y l s i n 岛 f 4 ( t ，y ，五) = o o 一2 s i n y i c r y 5 + a y 7 ( 2 1 8 ) a ( f ，y ，五) = - y 2s i n y l 一以虼 五( f ，y ，名) = 儿咒 石( f ，y ，力) = 一y 3c o s y l 一几强 五( f ，y ，五) = 儿乃 常微分方程两点边值问题( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) ，其中f 由( 2 1 8 ) 给出，组成了 桩基变形的无量纲的数学模型( 下面简称这一边值问题为问题p ) 。 此外，因为0 0 ( t ) 满足眈( o ) = 0 ，0 0 ( 1 ) = 0 ，所以当五= 0 时，问题尸显 然有解y ( f ) = ( m ( f ) ，y 2 * ( f ) ，y 8 ( f ) ) ，其中： f一 二 y l 。( f ) = 岛( f ) ， y 2 * ( f ) - - - 0 ，y 3 ( f ) - - 0 ，朋( f ) = 岛( f ) ( 2 1 9 ) 【乃( f ) = 儿( f ) = y 7 ( f ) = 魄( f ) 兰0 在无量纲的数学模型( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) q b 包含了刻画桩基初始弯曲的函数 o o ( s ) ( 或岛( f ) ) ，在下面的讨论中，特别是在具体数值计算时，我们将选取两 类特殊的o o ( s ) 进行具体分析，其中一类是三角函数型的初始弯曲，另一类是 多项式函数犁的初始弯曲。 2 1 。1 具有三角函数型初始弯曲桩基的数学模型 令初始弯曲的转角为：o o ( s ) = 彩s i n 豸 ( 2 2 0 ) 由j = 玎，得到：o o ( 力= o o ( t o = 缈s i n 詈f ( 2 2 0 其中国是一个刻画桩基的初始弯曲程度的参数。显然对任意c o ，有 o o ( o ) = o o ( 1 ) = 0 ，这时控制方程( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 中的f ( t ，y ，兄) 成为： 1 6 上海人学硕l 学位论文 ，、2 y 4 以= c o s m c o s ( 缈s i n 三r ) = s i n y , - s i n ( 础刳 正= 一掣s i n 要f 一力s i n y i 一坝+ a y 7 ，4 一t s m i 一力s 一坝 六= 一y 2s i n y i 一儿虼 丘= y 4 y 5 f 7 = - y 3c o s y l 一y 4 强 五= 耽y 7 ( 2 2 2 ) 2 1 2 具有多项式函数型初始弯曲桩基的数学模型 令初始弯曲的转角为：o o ( s ) = l - 3 m s ( s - 1 ) 2 ( 2 2 3 ) 由j = t l ，得到：o o ( t ) = 岛( 玎) = c o t ( t 一1 ) 2 ( 2 2 4 ) 其中国是一个刻画桩基的初始弯曲程度的参数。显然对任意c o ，有 e o ( o ) = 8 0 ( 1 ) = 0 ，这时控制方程( 2 1 6 ) 、( 2 1 7 ) 中的f ( t ，y ，兄) 成为： ：= y 4 以= c o s y l - c o s ( a ) t ( t - 1 ) 2 1 六= s i n y l - s i n ( c o t ( t - 1 ) 2 ) f = 2 c o ( 3 t 一2 ) - 2 , s i n y l o y + a y 7 氕= 一y 2s i n y l y 4 y 6 、= y s f 7 = 一y 3c o s y i 一朋强 五= y 4 y 7 ( 2 2 5 ) 上海大学硕上学位论文 第三章曲桩的稳定性分析 本章将给出从问题p 的已知解： 五= 0 ， y ( t ) = j ，( f )( 3 1 ) 出发，计算与它相连通的全部解支的数值方法，其中y ( f ) 由( 2 1 9 ) 给出。 对这样的问题，我们需要且仅需要解决如下三个相关计算问题： ( 1 ) 给出一种从问题尸的一个已知解出发，求出通过该已知解的问题p 的光滑解 支的数值方法。这个问题，以下简称为解支延拓的问题。 ( 2 ) 给出一种确定问题p 的光滑解支上奇点位置的数值方法，以及给出判定奇点 类型的数值方法。这一问题，以下简称为奇点定位问题。 ( 3 ) 给出一种从已知光滑解支的奇点处分叉出去的分叉解支的数值方法。这一问 题，以下简称为解支转接问题。 因为，我们求解的问题尸是常微分方程的两点边值问题，为方便起见，我 们先复述有关计算常微分方程两点边值问题的打靶法的有关理论，然后再对以 上三个问题分别给出本文将采用的数值方法。 3 1 打靶法的简述 常微分方程两点边值问题的数值计算方法大致可分为两类：直接离散法和 初值方法【6 9 】。直接离散法通过各种近似公式，把边值问题直接离散成有限维的 非线性方程组进行求解。最直观的直接离散法是差分法【7 0 1 ，该方法用一组节点 分割求积区间，并在原方程中用差分近似代替微分，从而得到一组代数方程组。 求解这一代数方程组就得到边值问题的数值解。初值方法是常微分方程初值问 题的解，把边值问题化归为代数方程，求解这一代数方程就得到边值问题的数 值解。最常见的初值方法是打靶法【7 ，本文将采用打靶法来计算两点边值问题 p ，所以，这里先复述一螳用打靶法计算两点边值问题的有关理论，这些理论 和进一步的理论细节可在【6 9 1 中找到。 用打靶法计算两点边值问题尸： 上海大学硕士学位论文 j y = f ( t ，y ，力) 0 t 1 l m ( o ) = y 2 ( o ) = 儿( o ) = 0 ， y 4 ( 1 ) = y s ( 1 ) = ( 1 ) = 乃( 1 ) = y s ( 1 ) = 0 时，首先需要引入如下初值问题： r i y = f ( t ，y ，五) 0 t 1 y l ( o ) = y 2 ( 0 ) = 乃( o ) = 0 l 儿( o ) = 届，y a o ) = 屈，甄( o ) = 层，y ，( o ) = 屈，y d o ) = 屈 l 其中：= ( 屈，履，屈，屈，屈) 1 是参数。 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 对固定的a 和，记( 3 4 ) 的解为y ( t ，屈五) 。显然这个解是两点边值问题尸的 解的充要条件是满足方程： g ( ，名) = - ( y 4 ( 1 ，屈五) ，y 5 ( 1 ，力) ，此( 1 ，力) ，y ，( 1 ，力) ，y s ( 1 ，兄) ) 7 = 0 ( 3 5 ) 因此，边值问题尸的求解等价于有限维代数方程组( 3 5 ) 的求解。虽然理论 上是这样的，但因为通常我们不能求得y ( t ，旯) 的解析表达式，所以很难从理 论上对方程( 3 5 ) 进一步深入讨论。然而，注意到对给定力和，y ( t ，屈名) 是可 以通过用求解常微分方程初值问题的数值方法计算初值问题( 3 4 ) 得到其数值 解的，从而g ( ，力) 的值是可以求得的，这就使我们可以用各种数值方法来求解 方程( 3 5 ) 。下面，我们先给出问题p 的正常解和奇异解的概念