（机械工程专业论文）图像二维随机共振研究.pdf

摘要 本文以非线性双稳系统为研究对象，在分别分析了双稳系统结构，图像噪声 及图像去噪方法的基础上，深入地研究了非线性随机共振在图像处理方面的应用， 进一步拓宽了随机共振的应用范围。 在一维信号随机共振的理论基础上，提出了图像二维随机共振处理方法。二 维随机共振由两次一维随机共振实现，先沿着图像的每一行像素作随机共振处理， 然后再沿着所得结果的列像素作随机共振处理，或者先沿着列再沿着行进行随机 共振也可以，最后对所得图像作归一均化处理。通常随机共振的研究对象必须符 合小参数要求，要求信号的幅值、频率以及噪声强度均比l 小得多，因此提出了 图像信号的归一化和变尺度处理，使图像信号的幅度和频率均小于l ，从而能更 好的实现随机共振。仿真实验证明二维随机共振能够有效去除图像中的噪声，提 高图像的输出质量。通过与传统图像处理方法相比较，证明图像随机共振可以有 效的改善和提高图像的质量，使得图像更加清晰。 为对图像处理结果进行评价，本文提出了随机共振图像处理的客观评价方法： 相似系数法和偏离系数法，这两种方法从不同侧面可对随机共振图像进行有效的 评价。根据相似系数和偏离系数随系统参数和随机共振步长的变化规律，获得了 双稳系统参数和变尺度随机共振步长对二维随机共振图像的影响规律，从而获得 图像随机共振的参数选择规律，为实现自适应参数优化调节的随机共振图象处理 奠定了可行的研究基础。 关键词：双稳系统随机共振图像处理参数调节 a b s t r a c t t h er e s e a r c hs t u d i e st h en o n l i n e a rb i s t a b l es y s t e m b a s e do na n a l y z i n gb i s t a b l e s y s t e ms t r u c t u r e ，i m a g en o i s ea n di m a g ed e n o i s i n g ，t h ep a p e rt a k e sac l o s es t u d ) , i n t o t h ea p p l i c a t i o no fn o n l i n e a rs t o c h a s t i cr e s o n a n c ei ni m a g ep r o c e s s i n g a n df u r t h e r b r o a d e n si t sa p p l i c a t i o nr a n g e o nt h eb a s i so ft h eo n e - d i m e n s i o n a ls i g n a ls t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，t h ep a p e rh a s p r e s e n t e dt h e m e t h o do fi m a g es t o c h a s t i cr e s o n a n c e ：t w o - d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i c r e s o n a n c e t h et w o - d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cr e s o n a n c ec a nb ea c c o m p l i s h e db yt w i c e o n e d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cr e s o n a n c e s f i r s tp r o c e s st h er o wp i x e lw i t hs t o c h a s t i c r e s o n a n c e ，a n dt h e np r o c e s st h ec o l u m np i x e lo ft h ef i r s tp r o c e s s i n gr e s u l t ，i nt h ee n d n o r m a l i z ea n dh o m o g e n i z et h es e c o n dp r o c e s s i n gr e s u l t g e n e r a l l yt h es t u d yo b j e c to f s t o c h a s t i cr e s o n a n c em u s tf u l f i l lt h e r e q u i r e m e n t o fs m a l l p a r a m e t e r s ：s i g n a l a m p l i t u d e ，f r e q u e n c ya n dn o i s ei n t e n s i t ym u s tb ef a rl e s st h a n1 ，t h e r e f o r et h ep a p e r p r o p o s e st h em e t h o do fa m p l i t u d en o r m a l i z a t i o na n dc a l c u l a t i o ns t e pl e n g t hr e s c a l i n g t oe n s u r et h ei m a g e s i g n a l sa m p l i t u d ea n df r e q u e n c ym u c hs m a l l e rt h a n 1 s i m u l a t i o ns h o w st h a tt w o d i m e n s i o n a js t o c h a s t i cr e s o n a n c ei sa b l et or e m o v et h e n o i s ef r o mt h ei m a g ee f f e c t i v e l ya n de n h a n c et h eq u a l i t yo ft h ei m a g e c o m p a r e d w i t ht r a d i t i o n a lm e t h o d s ，t h et w o d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cr e s o n a n c ei s p r o v e dt ob e b e t t e r i no r d e rt oe v a l u a t et h e i m a g ep r o c e s s i n gr e s u l t ，t h ep a p e rp u t sf o r w a r dt w o o b j e c t i v ea s s e s s m e n t s ：t h es i m i l a r i t yc o e f f i c i e n ta n dt h ed e v i a t i o nc o e f f i c i e n t jw h i c h r e f l e c tt h es t o c h a s t i cr e s o n a n c e se f f e c t i v e n e s si n i m a g ep r o c e s s i n gb yd i f f e r e n t p e r s p e c t i v e b a s e do nt h es t u d yo ft h et w oc o e f f e i c i e n t sv a r i a t i o nt r e n da l o n gw i t h b i s t a b l es y s t e mp a r a m e t e r sa n dr e s c a l i n gc a l c u l a t i o ns t e pl e n g t h t h er e s e a r c hg a i n e d t h et r e n do fi m a g ep r o c e s s i n gq u a l i t 5 7w i t ht h e s ev a r i a b l e s ，w h i c hl a i dt h eb a s i sf o rt h e a d a p t i v ep a r a m e t e ro p t i m i z a t i o no ft h es ri m a g ep r o c e s s i n g k e yw o r d s ：b i s t a b l e s y s t e m s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，i m a g ep r o c e s s i n g p a r a m e t e rt u n i n g 第一章绪沦 1 1 研究背景 1 1 1 随机共振理论的发展 第一章绪论帚一早三百v 匕 传统的观点认为噪声是一种消极的干扰，它产生杂乱无章的运动，增加了信 号之间的差别，应该尽可能的设法抑制或消除它，从而使传输信息得到增强。但 是，研究表明，噪声并非在所有的情况下都对信号起干扰作用。随着对噪声研究 的深入，人们逐渐认识到噪声的积极作用，随机噪声通过非线性系统对信号起到 积极的增强作用。三十年的研究表明，在一些非线性特定条件下，随机噪声能够 对系统的演化起到重要的决定性作用l l 刁j 。 自从1 9 8 1 年b e n z i 4 6 j 等人研究古气象冰川问题提出随机共振( s r ) 概念以来， 随机共振( s r ) 现象受到了广泛的关注。b e n z i 等人在研究过程中发现，过去的7 0 万年中，地球的冰川期和暖气候期交替出现，其周期大概为l o 万年。通过研究 这一时期的气候现象发现，地球绕着太阳转动偏心率的变化周期大约也为1 0 万 年，与地球冰川期和暖气候期交替变化的周期相同，这也就意味着太阳对地球施 加了周期信号。然而这一周期信号非常小，并不足以使地球气候产生从冰川期到 暖气候期的如此大的变化。对于这种现象，b e n z i 等人提出当这一很小的周期信 号与地球本身的非线性条件，以及地球在这一时期所受到的随机力三者协同时， 才能解释上述气候现象的变化。地球所受到的随机力( 如太阳的各种无规则变化) 通过非线性系统增强了地球离心率这一微弱的周期信号，引起地球古气象在冰川 期和暖气候期之间的大幅度周期变动。这一设想虽然不能在古气象实验中得到验 证，但通过其他的物理实验中进行再现。 在b e n z i 之后，1 9 8 3 年，f a u v e 等人【7 j 在s c h m i t t 触发器实验中首次对随机共 振现象进行了再现。s c h m i t t 触发器具有两个稳态输出，系统在某一时刻所处的 状态受到系统的输入和初始条件的影响：在这个实验中观察到随着输入噪声的增 加，输出的信噪比不仅不降低反而迅速增加直到达到一个最大值。1 9 8 8 年，m c n a m a r a 等人【8 】在双稳态激光器中再次观察到了随机共振现象：在这个试验中， 利用音频信号调制激光膜的两个运动方向，逐渐增大噪声强吱，随着噪声强度由 小到大变化，观察到随机共振现象：在这之后随机共振才引起人们的广泛关注 和深入研究。 第一章绪论 最早对随机共振的原理作出理论解释的是绝热近似( 绝热消去) 理论峭。1 2 f ，它 是根据动力系统的绝热极限理论和完全非绝热区域理论的解析分析而建立的。绝 热近似的随机共振理论不仅适用于离散二态系统，也适用于连续双稳系统。该理 论假设输入的周期信号和噪声都很小，粒子在各吸引域内所达到概率平衡的时间 非常短，与信号变化和两定态吸引域之间概率交换所需要的时间相比，这种概率 平衡可以认为是瞬间完成的。在这种绝热近似条件下，由随机动力理论可以得到 系统的输出信噪比对噪声强度的解析表达式，从而获得信噪比对噪声强度变化的 共振单峰响应曲线。但是这种理论的前提条件十分苛刻，限制了它的应用范围。 之后，为避免绝热近似条件，本征值理论【1 3 - 1 6 对随机共振作了进一步的改善，由 福克普朗克f p e ( f o k k e r p l a n c ke q u a t i o n ) 方程出发解析得到了系统输出响应的信 噪比随噪声强度变化的解析表达式。无论是绝热近似还是本征值理论，随机共振 的研究都仍然停留在线性响应理论1 1 7 。2o j 上，并没有实现对非线性因素的处理。 不仅在理论研究方面，很多实验也验证了随机共振现象的存在，为随机共振 的发展和应用奠定了广泛而又坚实的基础。随机共振现象已在物理、地理、化学、 生命和天体等体系中观察到，其应用研究涉及到诸如生物医学、化学反应、信息 通讯、光学超导和电子机械等领域。正是在这些大量的实验和应用研究的基础上， 随机共振发发展了非周期随机共振、参数调节随机共振、自适应随机共振、混沌 随机共振、二次采样随机共振，多维随机共振和图像随机共振等其他一系列的随 机共振理论。这一系列理论不断丰富指导着随机共振理论! 研究表明，产生随机共振必须具备三个要素：非线性系统、微弱的输入信号 和随机噪声。淹没在强噪声中的微弱信号通过一个非线性系统，当非线性系统， 信号与噪声三者协同时，背景噪声使原本微弱的信号得到加强，输出信噪比得到 提高。随机共振时通过利用噪声而不是消除噪声来达到信号检测识别的目的。 1 1 2 图像去噪方法概述 实际图像不可避免地存在着外部干扰和内部干扰，如在图像的形成过程中的 敏感元件灵敏度不均匀性i 传输过程中的误差、数字化处理过程的量化噪声以及 外部环境因素的影响等等，均会存在着一定程度的噪声干扰。噪声的存在破坏了 图像质量，使图像变得模糊，甚至淹没图像特征，这给后续的图像处理工作带来 了不便。因此，去除噪声、恢复图像是图像处理中的一个必不可少的环节。 去除图像噪声在数字图像处理技术中的越来越重要，消除图像噪声的工作称 之为图像滤波或平滑：根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布规律， 发展了很多去噪方法。传统的图像去噪方法都只是把图像噪声作为图像数据的一 种干扰而加以消除，认为噪声是有害的，根据噪声和信号的不同特征，在去除噪 第一章绪论 声的同时尽可能保留图像中的有用信息。图像空间域去噪方法一般有以下几种： 邻域平均法、中值滤波法、空间低通滤波法、维纳滤波法和小波阈值法。下面简 要介绍一下这几种方法。 ( 1 ) 邻域平均法 邻域平均法也称局部平均法，它是在空间域上直接对图像进行平滑处理的一 种方法。邻域平均法又称为均值滤波法，它是用窗口像素的平均值来替代窗口中 间的像素值。邻域平均法通常以图像模糊为代价来减小噪声的。邻域平均法的主 要优点是算法简单、且计算速度快，代价是会造成图像一定程度的模糊。邻域平 均法的平滑效果与采用的邻域半径有关，邻域半径越大图像越模糊，反之越清楚。 ( 2 ) 中值滤波法 中值滤波( m e d i a nf i l t e r i n g ) 是一种空间域非线性平滑滤波，它是以像素邻域 内的中值代替该像素的值。利用中值滤波算法可以很好地对图像进行平滑处理。 中值滤波可以消除孤立的噪声点，且产生的图像模糊较少，因此中值滤波对椒 盐噪声的去除较为有效，但对于某些作用形式比较缓和的噪声，效果相对要差一 些。 ( 3 ) 巴特沃斯低通滤波 巴特沃斯低通滤波器又称为最大平坦滤波器，是一种物理上可以实现的低通 滤波器，巴特沃斯滤波器在从低频到高频过渡过程中表现比较平滑，所以用巴特 沃斯滤波器得到的图像不会有振铃效应? ( 4 ) 维纳滤波法 维纳滤波是使原始图像及其恢复图像之间的均方误差最小的恢复方法。均方 误差最小准则是由维纳在1 9 4 9 年首先提出来，并用来对一维平稳时间序列进行 估值，获得满意结果。因此这种方法被称为维纳滤波，也称为最小均方误差滤波。 维纳滤波建立在最小化统计准则基础上，它所得到的结果只是平均意义上的最优， 且需要知道为退化图像和噪声的功率谱，而实际中未退化图像和噪声一般都不知 道。 1 2 问题提出 对随机共振现象的早期研究认为输入信号为周期信号，然而在实际中，大量 的信号如非周期信号和图像信号往往包含了丰富的频率成分，周期信号随机共振 远远不能满足实际要求。1 9 9 5 年，美国波士顿大学的c o l l i n s 教授首次利用非线 性双稳系统和可兴奋系统二1 舀 ，在一定量噪声的情况下检测到非周期信号，由于 非周期信号不再具有确定的频率，不能用信噪比来衡量，因而c o l l i n s 等人对系 第一章绪论 统输入与输出响应的互相关量进行了噪声优化，从而产生非周期随机共振现象。 这也证实了通过双稳系统可以使非周期信号得到加强，为人们研究非周期微弱信 号提供了新的思路，极大地拓宽了随机共振的应用领域。随着随机共振应用研究 的进一步深入，其应用范围进一步延伸到数字图像处理领域。1 9 9 3 年，视觉图 像处理中的随机共振现象研究已经出现在文献 2 4 - 2 5 中，1 9 9 4 年，e n r i c o s i m o n o t t o 2 6 】等人提出了视觉信启、的随机共振，认为在人类识别图像的过程中适 量的噪声更有利于图像的识别，这是人类视神经的随机共振现象。m i s o n o 等瞄叫 利用双稳系统实现了图像数据的传输；y a n g 2 8 设计了自适应随机共振算法来寻 找最佳的视觉图像质量；v a n d e l l e 等【2 9 在非线性光学仪器实验中传输图像的实验 中也证实了随机共振现象；d i t z i n g e r 3 0 1 对于三维视觉中的随机共振现象进行了详 细的研究。y eq i n g h u a 等人利用双稳系统实现了图像直流分量的增强p l j ；m a r k s 等人发现在阈值系统中通过向图像添加适当强度的噪声可以使图像更加符合人 的视觉特征【3 纠。据海外媒体报道，美国普林斯顿大学的两名研究人员利用“随机 共振”技术，借助非线性材料、噪音和光线揭示出隐藏的物体图像。此项技术可 辅助飞行员在浓雾中实现安全飞行，或使医生无需进行手术也可精确了解人体 状冽3 引，具有非常高的实际应用价值。这些研究为图像处理提供了新的方向，指 明了新的思路，使人们考虑利用双稳系统来识别被噪声污染的图像。 随机共振处理微弱的周期信号的研究已经成熟，针对大信号的随机共振理论 【3 4 也已发展，但是随机共振在非周期信号处理方面，尤其是图像处理方面的应用 目前只有少量的报道【2 4 - 3 6 ，能否将随机共振应用在图像识别方面，以及实际工程 的图像识别中，图像随机共振与传统的图像处理方法相比有什么优点，是本文要 研究的主要问题。 1 3 意义与创新 基于上述分析，本文以双稳系统的随机共振为研究对象，提出了图像随机共 振的方法。所谓图像随机共振其实质就是对数字图像信号进行归一化，然后使其 通过双稳系统，对输出结果进行线性归一化处理，以保证图像的信息不会丢失， 确保图像不失真。 本课题的理论和实验上的创新是： 1 提出了图像二维随机共振处理方法，二维随机共振通过两次一维随机共 振实现，即先沿着图像的每一行像素做随机共振处理，然后再沿着所得结果的列 像素做随机共振处理，最后对所得图像进行归一均化处理：二维随机共振的图像 4 第一章绪沦 处理过程采用了变尺度方法，使得图像信号符合随机共振的小参数要求，实现工 程实际中经常遇到的大参数图像信号处理： 2 将级联随机共振应用在图像处理中，证明级联随机共振可以进一步提高 图像质量。并比较了图像二维随机共振与图像一维随机共振的二级级联随机共振， 证明图像的二维随机共振在提高图像质量方面比同级级联随机共振效果要好二 3 通过与传统图像处理方法相比较，证明图像随机共振可以有效的改善和 提高图像的质量，使得图像更加清晰。 4 提出了随机共振图像的两种客观评价方法：相似系数法和偏离系数法， 根据相似系数和偏离系数随双稳系统参数和随机共振步长变化的规律，获得了双 稳系统参数和变尺度随机共振步长对图像随机共振的影响规律，从而得到双稳系 统参数和随机共振步长的选择规律。 第二章双稳随机共振的基本理论 第二章双稳随机共振的基本理论 双稳系统所具有的非线性特性和随机噪声为随机共振现象的产生提供了必 要的通道机制和前提条件。当确定性信号与随机噪声共同作用到非线性双稳系统 时，通过调节随机噪声强度使其达到一个合适的噪声值，系统的响应就会达到随 机共振状态。本章将围绕双稳系统的结构特点，随机共振的产生机理，周期信号 随机共振，非周期信号随机共振展开讨论，并建立双稳随机共振的基础理论。 2 1 随机噪声与朗之万方程 2 1 1 随机噪声 随机噪声，通常表现为微观运动对宏观演化过程杂乱无章的作用，反映了微 观粒子的运动对宏观变量的影响。噪声粒子的运动过程是高速、无规则、不可预 测的，单个噪声粒子的运动服从经典动力学理论，因此描述一个粒子的空间运动 就需要确定粒子在空间中的三个坐标及其在三个方向上的速度。如果一个力学系 统有个粒子，那么描述这个力学系统的参量就有6 n 个，于是其哈密顿量为： h = h ( q l j 9 2 ，q ；p l ，p 2 p ) 2 1 上述厅代表广义坐标，声代表动量，其正则方程为： 铲掣p + ，：一掣 2 2 g ，2 _，= 一_ z 。z o po q l 其中i = 1 ，2 ，。当非常庞大时，对于任意一个宏观系统，求解单个 粒子的运动是不现实的。在很多情况下，对j v 个粒子的动力学方程描述也是不容 易实现的。这是因为，一方面我们不可能完全掌握个粒子的初始条件和输入 条件，也不可能严格求解出个粒子的联立方程? 另一方面，粒子的运动轨道 对外界的微弱干扰极为敏感，粒子的运动轨迹容易被一个微弱的外部环境变化完 全改变，而外部环境的微弱变化是我们无法控制的。实际上，我们常常只关心这 个宏观系统的众多粒子的集体行为所表现出来的宏观特性，而并不关心单个粒子 在任意时刻所表现出的状态。宏观物理量是我们关心的并能够测量出来的，它是 一种对微观粒子各种可能的运动轨道进行概率统计，也就是说，在用经典力学处 理含有大量粒子或者无穷自由度的多体系统时，需要引入概率统计的概念，从而 得出具有统计性的规律。 第二章双稳随机共振的基本理论 在对大量粒子进行统计处理时，可以采用等效的刘维方程及相应的系综分布 函数，从而使统计处理更加方便。 望! 垡：盟：争f 型望一型望、 2 3 o t 鲁、8 q la p l 却l 均t j 印( 两：里掣 2 - 4 w 上式中m 表示具有完全相同哈密顿量的系统数，这m 个完全相同系统的集合 叫做“系综”。d ( o ，声) 为系综在r 空间( 面，声) 处的一个代表点的密度。假设实际问 题中所涉及的宏观物理量x ，可以用下式表示 一= i 一( g ，p ) p ( q ，p ) d q d p ，江1 2 n ；n n 2 5 又假设这些宏观量遵循以下封闭的宏观演化方程 毫= ，( x ) ，江1 ，2 玎； 2 - 6 通过适当地选择宏观变量x ，和宏观变量数礼，可以把引起宏观变量演化的原 因唯像地分为两部分：一部分为对宏观变量的动力学过程起持续作用的因素，如 方程2 - 6 表示，另一部分为除2 - 6 以外由2 3 导出的其他部分。后一部分的性质 非常复杂，它往往反映了微观粒子运动对宏观变量所产生的影响，这些影响通常 是各自独立，互不关联的，而且由于其变化的时间尺度与宏观运动相比更小的多， 这些影响可以看成是高速、无规则、不可预测的，所以人们形象的把这类影响叫 做“随机力”或者称为“噪声”或者“涨落力”。于是在宏观方程2 - 6 的基础上，通过 引入噪声随机力f ( 亡) 来观察宏观变量受微观变量运动的影响。 毫= ( 毫，f ( f ) ) ，i = 1 ，2 玎； 2 7 方程2 7 就是物理学对复杂系统介于微观和宏观之间的一种描述，可以说是 一种“随机层次”的描述，与微观层次比较其数学处理简单，与宏观层次比较它包 含了更多的信息，通过随机力考虑进了微观作用。 对于宏观系统，内部噪声总是很小，可以看作是系统内部动力学的结果。外 噪声，来自于系统外部，就是外部环境的变化对所研究的系统产生的影响。实际 中最常见的外噪声是由控制系统运动的某些外部参数变化引起的。外噪声的引入 与系统本身的性质无关，外噪声可大可小：系统的内噪声通常是加性的，外噪声 表现为乘性噪声。 2 1 2 朗之万方程 液体分子对布朗粒子的无规则撞击导致粒子的布朗运动，液体分子对布朗粒 子的作用力可以分为两类：一类是具有宏观效应，能够持续起作用的宏观作用力 当布朗粒子以速度王运动时，液体分子杂乱无章的碰撞会产生阻碍布朗粒子运动 第二章双稳随机共振的基本理论 的集体效应，这一效应由斯托克斯( g g s t o k e s ) 定理【3 8 1 用粘滞力来表示。于是 布朗粒子运动的宏观方程为： ，寂：一寂2 8 方程2 8 是宏观描述的物理基础，和宏观方程2 - 6 相对应。 除上述宏观作用力外，布朗粒子还要受液体分子杂乱无章的碰撞。由于不同 时刻布朗粒子受到液体分子的撞击力不同，因此布朗粒子不停地在各个方向做无 规则运动，粒子越小，所受到的不规则碰撞越频繁，无规则运动越剧烈。在分析 布朗粒子的无规则运动所带来的后果时，必须考虑液体分子对布朗粒子的碰撞， 于是方程2 - 8 变为： ，戚= 一面+ f ( t 、 2 - 9 其中户( ，) 是除阻尼力外液体分子对布朗粒子碰撞的全部作用力。显然方程 2 - 9 对应于随机层次方程2 7 。于是，户( ，) 可以看作是一种随机作用力，并根据 所选择物理系统的不同赋予它一些合理的统计性质。这样，布朗粒子的运动方程 2 - 9 就可以看作一个随机过程，虽然这一随机过程并不能准确预言布朗粒子的运 动轨道，但是它可以确切预言粒子轨道的统计性质。 只考虑一维问题，将方程2 9 两边同时除以质量m ，可以得到： 觉+ r k = n ( t 、 2 一1 0 上式中r = a m 表示单位质量的阻尼系数，n ( t ) = f ( t ) m 表示分子碰撞的涨 落力( 噪声) ，方程2 1 0 即为线性朗之万方程，如果将研究对象推广到外场作 用的情况，则方程2 1 0 转化为： 戈+ r k = 厂( x ) + n ( t ) 2 一l l 上式中厂( x ) 表示平均单位质量布朗粒子所受的外力。在过阻尼情况下，方程 左边主要是阻尼项起作用，惯性项可以忽略。选择适当单位使得r = 1 公式2 1 i 转化为： 文= 厂( x ) + n ( t ) 2 1 2 若f ( x ) 是x 的非线性函数，则方程2 1 2 就是非线性朗之万方程。上式表明， 噪声和非线性系统通过非线性朗之万方程联系在一起。 2 2 双稳系统 在随机共振的研究中，非线性双稳态系统模型通常由下列势函数表示： u ( x ) = 一1 2 a x 2 + 1 4 b x 4 2 13 其中g h a 为b 系统参数。 第二章双稳随机共振的摹本理论 令朗之万方程2 1 2 中的f ( x ) = 一d u ( x ) d t ，不考虑噪声时，一维非线性双 稳系统的确定性动力学方程为： d x d t = 一d u ( x ) d t = n z 一凸x 3 2 1 4 设d x d t = 0 ，求解方程得到双稳系统的三个解： x 1 = 0 ， z 2 3 = + _ _ 4 a b 2 一1 5 接下来讨论解得稳定性：在本文中，令“= a b ( b 0 ) ，那么一维非线性双 稳系统的确定性动力学系统方程2 一1 4 转化为： 拈、厂( x ) 2 一x 。 2 1 6 那么双稳系统的三个解2 1 5 转化为： x 1 = 0 x 2 3 = 讵 2 17 当肛 o 耳 j a 0 ，b 0 时才能构成双稳系统，所以在以后讨论双稳系统时不再考虑“ 0 ( 或确 0 ) ，系统要趋于定 态解x = 拓( 或x = 一拓) 。当t - 0 0 时，系统无穷逼近该定态，且再不会离开 该定态。当给定初值x 。= 0 时，任何微小的干扰，都会使小球远离这一不稳定的 热力学分支( 图2 1 所示的虚线部分) 而趋于稳定的耗散结构解戈= 瓦或x = 一讵。 这种微小的干扰可能来自于系统内部噪声，也可能来自于系统的外部噪声。无论 是内部噪声还是外部噪声，双稳系统在噪声或驱动信号作用下，方程2 1 6 的解 行为会表现出我们要讨论的双稳随机共振现象。 2 3 周期驱动的双稳随机共振 当双稳系统为非自治的非线性系统时，即系统中的驱动信号或调制信号随时 间变化，也就是系统中确定性力显含时间参量，此时噪声对该系统产生一种积极 作用，使得系统发生一种奇特的现象随机共振现象：随机共振现象是噪声和 信号在非线性条件下的1 种协同现象：随机共振可以描述为：当系统输入的周期 信号保持不变时，随着输入噪声强度的增加，双稳系统输出响应的信噪比会增加， 双稳系统输出响应功率谱出现一个或多个峰值，就像力学中的随机共振曲线。显 、。、 b 璺o ， 薰 、 第二章双稳随机共振的基本理论 然，这里的随机共振并不是指力学上的随机共振现象，而是强调信号、噪声和非 线性系统之间的最佳匹配，三者的关系如下图2 3 所示。 图2 - 3 双稳系统的噪声和信号输入及其响应 对应公式2 1 2 的朗之万方程为： 文= t x x j + y ( ，) + ”( ，) 2 2 2 假设输入信号为最简单的单频周期信号s ( t ) = a s i n ( 2 r t f o t ) ，幅值为a ，频率 为名，噪声为白噪声，噪声强度为d ，那么能够产生随机共振现象的最简单模型 为： 戈= x x 3 + a s i n ( 2 r c f o t ) + 1 2 d n ( t ) 2 - 2 3 当噪声强度d 为零时，系统存在临界值。当输入信号幅值小于系统临界值( 即 a a ，) 时，粒子只能在两个势阱内进行局域的周期运动，只有当输入信号幅值 大于系统临界值( 即a a ，) 时，粒子才能越过势垒在这两个定态吸引域之间作 大范围的跃迁运动。临界值4 。可通过双稳势函数u ) 的极点与拐点重合的条件 求得 6 2 u ( x ) o x 2 = 一p + 3 x 2 = 0 2 2 4 和 a 2 u ( x ) 芒k 2 = 一x + 3 x 2 + a = 0 2 2 5 解上述方程得到临界值彳，= 2 3 3 应9 。当引入噪声后，在噪声帮协助下， 即使信号幅值小于系统临界值a a ， f o 1 ) ：此时运用小参数随机共振也不能检测出信号频率，因为周期驱动信号 第二章双稳随机共振的基本理论 频率厶已经不再在双稳系统的低频区域，远远超过了跃迁频率的极限频率，并且 大的噪声强度弱化了随机共振现象的产生，所以常规的随机共振并不能直接用来 检测强噪声中的弱信号。 根据以上内容，文献 3 4 ，3 7 提出了变尺度随机共振，为使用随机共振处理大 参数信号提供了一种方法。所谓变尺度随机共振就是对实测信号的频率进行线性 化压缩使之符合小参数随机共振条件，通过非线性双稳系统处理得到驱动信号的 频谱特征后，再按压缩尺度比复原实测信号 3 4 , 3 7 。变尺度随机共振的具体运算过 程为：首先根据确定一个频率压缩尺度比尺，然后定义压缩采样频率f s r = f s r ， 由此可以得到数值计算步长石= 1 f s ，从而通过数值计算求解双稳系统的响应输 出，得到驱动信号的响应频率谱，最后按频率压缩尺度k g n 恢复实测数据的采集 长度。这个过程可以用图2 7 表示，对实测数据进行数据压缩后通过双稳系统， 然后将压缩数送入双稳系统进行随机共振处理，得到双稳系统输出响应的频率谱， 最后按压缩尺度比对信号进行恢复。 区丑湮岖巫丑叵叵 图2 7 变尺度随机共振过程 2 0 1 0 营 ? o 缍1 0 2 0 d4 03 c 之1 3 2 察0 1 0 d5 0 01 口口0 时域图( r , 1 n t s )频域图( 频率f h z ) 图2 8 大参数双稳系统输入输出的时频图 将方程2 3 9 的参数取为“= 1 ，a = 0 3 ，f o = 4 0 和采样频率f s = 2 0 0 0 ，噪 声强度d = 9 1 ，数值运算采用四阶龙格库塔( r u n g e - k u t t a ) 方法，计算步长 = 1 f s = 0 0 0 0 5 ，n 罘一w n ( t ) = 4 9 - 万g ( t ) ，夕( c ) 是均值为0 方差为1 的白噪声， 第二章双稳随机共振的基本理论 双稳系统输入信号为s n ( t ) = s ( t ) + n ( t ) ，输出响应为x ( t ) 。输入输出时频图如 图2 8 所示。 在图2 8 中，无论是系统输入还是输出，在f o = 4 0 处的频谱图上均看不到谱 峰值特征，这说明f f i 方法和常规的随机共振并不能检测到淹没于噪声中的微 弱驱动信号，同时也表明小参数随机共振方法不能直接应用于大参数信号的处理。 根据变尺度随机共振方法，仍采用图2 - 8 的信号及系统参数，对信号的采样 频率进行压缩，压缩比为r = 2 5 0 ，压缩采样频率为f s r = f s r = 2 0 0 0 2 5 0 = 8 ， 随机共振计算步长为乃= 1 f s r = 0 1 2 5 ，数值分析的结果如图2 - 9 所示：在双稳 系统输出响应的频谱图中f o = 0 。1 6 处有一突出谱峰，经尺度恢复后得到 f = 0 1 6 r = 4 0 ，恰好是驱动信号的频率扁。这说明，变尺度随机共振方法可以 实现大参数信号的随机共振，经频率尺度恢复后可以检测出淹没于强噪声中的弱 周期信号成分。 2 霸0 揍 2 正 0口51152 时域图( 时间t ，s ) 0 5 口4 暑0 3 垂o 2 0 1 0 口5 0 01 0 0 0 图2 - 9 双稳系统变尺度随机共振。r = 2 5 0 ，矗产8 对于变尺度随机共振需要说明的是，变尺度只是将原始测信号的频率进行了 一次线性压缩，使得压缩信号出现在噪声能量谱集中的低频区域，并没有改变原 来实测数据的任何性质，也没有改变实测数据的关系，经过双稳系统处理的同一 组数据，改变的只是数据之间的间隔，最后对双稳输出响应按原来的压缩比恢复 数据，就可以得到最终的处理结果： 佃 0 佃 4 ( 1 ) u 媾 第二章双稳随机共振的基本理论 2 5 非周期随机共振 随机共振现象早期的研究认为输入信号是周期信号，但是在实际工程研究中 通过系统传递的有用信息，通常会是频率成分丰富的非周期信号。因此，随机共 振的研究逐渐过渡到了非周期信号，甚至数字图像信号，这大大扩大随机共振的 应用领域，增强了随机共振系统的实用性? 非周期随机共振信号处理与传统的周期随机共振信号处理的机制是类似的， 也是信号、噪声和非线性双稳系统协同作用的结果，只是非周期信号取代了周期 信号。非周期信号的频率成分非常复杂，频谱图也不再是离散的而是连续谱。因 而对于非周期随机共振的研究，不再是利用频域方法识别提取信号，而主要利用 时域波形来识别信号处理效果。 在信号检测中，通常使用正负或高低电平等互斥的两个状态携带信息。噪声 的存在会模糊信号的两种状态，产生错误，以至于无法识别信号的两种状态。假 设输入信号是s 例是由2 0 个随机脉冲构成，脉冲宽度是随机的，添加均匀白噪声， 采样频率为厂_ 1 0 0 ，噪声强度参数为、厂万。通过数值仿真我们得到不同噪声强度 下的输出信号波形。图2 1 2 ( a ) 为输入的原始无噪信号s ( o 的波形，图2 1 0 ( b ) ( f ) 分别对应输出噪声强度d 为0 、0 2 、0 5 、0 9 、1 5 和2 5 时的输出响应的波形。 通过图2 1 0 的仿真实验我们可以看出：无噪声输入时，粒子状态被限制在初 始状态的势阱中，没有发生势阱间的跃迁运动如图2 1 0 ( b ) ? 随着噪声强度的增 大，系统状态开始在两个势阱间切换，但由于噪声强度还未足够大，系统状态只 能在两个势阱间随机翻转，表现为大幅度无规则的随机振荡，见图2 1 0 ( c ) 。当 噪声强度继续增加直至最优时，系统在两个势阱间有规则的切换，输出响应与输 入脉冲s 基本同步变化，此时信号、噪声和非线性双稳系统协同作用，实现随 机共振，如图2 - 1 0 ( d ) 所示。此后，随着噪声强度的进一步增大，系统输出响应 逐渐失去了与输入信号s ( t ) 的相关性如图2 1 0 ( f ) ，并最终并噪声主导，见图 2 - l o ( 9 1 。 由图2 1 0 可以看出，随机共振方法可以利用噪声向信号的能量转移来实现噪 声的抑制和信号的增强。利用非周期双稳随机共振可以有效抑制随机信号传输中 的噪声。 很显然向信号中添加噪声可以诱导产生随机共振现象，但这种方法只适于噪 声量不足而无法达到随机共振的欠共振“隋况，对于噪声量过大的一过共振”情况， 添加噪声是无济于事的。此外，对于工程实际采集的信号，由于不知道噪声的性 质及强度，一般不对其进行添加噪声的处理= 随机共振也可以通过调节双稳系统 的参数和随机共振步长来实现，通过参数尺度的改变来对信号中的噪声进行相对 第二章双稳随机共振的基本理论 重新分布调节，以便达到随机共振或类随机共振状态。可以看出，通过调节双稳 系统参数和随机共振步长比添加噪声方法更适合于实际应用。 一一一 rnr n n 2 _ i - j - uuluj ：二 二 i 三f1 01 2 1 41 ：1 ：三； | 毫 一 ：1 7 1 1 7 ：二，0 l - 一i 厂i 厂l 厂l 。一厂1 厂l 厂 。一二：。，。二，l ，二j 。j 。_ j 一一：二 i8姻1 ： 1 41 e1 旧； 1 = ： 2 4 5 8 1 0 1 21 41 61 9 c j 童一i 匦匝茔互夏盈五童妥 0：cg1 口 二1 41 e 11 9 | d ：二 ： ci 二 1j ：1 ；1 ： l e _ 十一 l j 一2 02 毒 8 1 0 1 21 41 61 m ，二 叠 ，01 | = |1 - - 1 1 41 e 1e 1 9 1 图2 10 噪声强度变化对非周期随机共振的影响 现在验证变尺度随机共振在非周期信号随机共振中的应用。根据系统参数和 随机共振步长能够调节噪声分布这一特性，在操作中总是先令双稳系统的两个参 数都是1 ，调节双稳随机共振的步长，直到系统的响应达到随机共振。作为比较， 仍采用上面的信号2 1 0 f a ) 作为输入信号，双稳系统参数0 = b = 1 ，噪声强度 d = 0 3 1 ，调节随机共振步长五，其结果如图2 1 l 所示。 通过2 1 1 的仿真实验可以看出：当步长矗很小时，粒子状态表现为大幅度无 规则的随机翻转，见图2 1 1 ( c ) = 当继续增大随机共振步长，粒子状态的状态开 始表现出一定的规律，如图2 1 l ( d ) 所示。当随机共振步长继续增大至最优值时 l j 一二i i r 一 _ i 1 0 瞵鉴巨 第二章双稳随机共振的基本理论 输出响应与输入信号基本保持同步，也即信号、噪t 1 尸- - j = - 个u 二 f 线性双稳系统达到协同 状态，实现随机共振，见图2 11 ( e ) 。此后继续增大随机共振步长，系统输出响 应表现为无规则的震荡，失去与输入信号的相关性，并最终被噪声主导如图2 一l 1 ( f ) 所示。 墨 = | 匿_ 2 审1 饕妻 晏 一n _ _ 一_ 丌n 厂一 ：一l l j 。一j 二_ 一l l 一! u i o ：- 二_ ，g1 01 2 1 41 51 02 - 4b81 0 1 21 4托落0 l 亭ih 一。m 。门。，、一岫一j 兰 一。己j 上l 工l _ 工l