（基础数学专业论文）分次模范畴的分次循环同调.pdf

摘要 循环同调在八十年代同时出现在几个数学领域a l a i nc o n n e s 为了研究非交换 b a n a c h 代数的指数定理将d er h a m 上同调推广为循环同调bt s y g a n ，l l o d a y 和 d q u i l l e n 发现李代数的同调的本原部分正好是李代数的循环同调另外jd sj o n e s 和t g o o d w i l l e 发现循环同调还是单位圆群作用的拓扑空间的同调理论与代数k 理 论之间联系的桥梁。 本文介绍了循环同调的一般理论，考虑循环同调的m o r i t a 不变性问题，讨论分 次模范畴等价的两个代数的循环同调群之间的关系，然后给出了范畴9 r r ，g 一r 的分次循环同调的合理定义及其具体形式。 同调 关键词循环同调，h o c h s c h i l d 同调，分次代数，分次循环同调，分次h o c h s c h i l d 3 a b s t r a c t c y c l i ch o m o l o g ya p p e a r e df l o ms e v e r a ld i r e c t i o n so fm a t h e m a t i c si n1 9 8 0 ，s a l a i nc o n n e sd e v e l o p e dc y c l i ch o m o l o g ya san o n c o m m u t a t i v ev a r i a n to ft h ed e r h a mc o h o m o l o g y ，i no r d e rt oi n t e r p r e ti n d e xt h e o r e m sf o rn o n c o r n m u t a t i v eb a - n a c ha l g e b r a sbt s y g a n ，l l o d a ya n dd q u i l l e nd i s c o v e r e dt h a tt h ep r i m i t i v ep a r t o fal i ea l g e b r ah o m o l o g yi sj u s tt h ec y c l i ch o m o l o g yo ft h el i ea l g e b r a a n o t h e r f r a m e w o r ko fc y c l i ch o m o l o g yi sjd sj o n e sa n dt g o o d w i l l e sc y c l i ch o m o l o g yo f t h es p a c e sw i t hs p h e r ea c t i o n s i tt u r n so u tt oc o n n e c ti n d e xt h e o r e ma n da l g e b r a i c k t h e o r y t h i sa r t i c l ep r o v i d e sag e n e r a li n t r o d u c t i o nt ot h ec y c l i ch o m o l o g yt h e o r yw e c o n s i d e rm o r i t ai n v a r i a n c eo fc y c l i ch o m o l o g y ，a n dd i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e n t h ec y c l i ch o m o l o g yg r o u p so ft w oa l g e b r a sw h o s eg r a d e dm o d u l ec a t e g o r i e sa r e e q u i v a l e n t t h e nw ed e f i n et h eg r a d e dc y c l i ch o m o l o g yo fc a t e g o r yg r r ，g r r ， a n dd i s c u s si t sp r o p e r t y k e y w o r d sc y c l i ch o m o l o g y ，h o c h s c h i l dh o m o l o g y ，g r a d e da l g e b r a ，g r a d e d c y c l i ch o m o l o g y ，g r a d e dh o c h s c h i l dh o m o l o g y 4 引言 给定带单位元的分次代数，我们常用h o c h s c h i l d 同调，循环同调来刻划它的性 质。 本文第二节介绍了循环同调的一般理论，考虑循环同调的m o r i t a 不变性问题， 发现对于分次模范畴等价的两个代数，它们的同调群不一定同构，甚至它们的同调 群的e 次分量一般也不同构第三节引进正合范畴的循环同调的定义，定义了分次 模范畴的分次循环同调，讨论它的计算与性质第四节研究范畴g r r 的分次循 环同调，发现它与代数r 的循环同调同构。 2分次模范畴等价的两个分次代数的循环同调群之间的关系 2 1 分次模范畴的定义 定义分次模范畴( c f 1 】) 设g 是乘法群，r 是带单位元的一代数，如果r 有k 一模直和r = 0 。g ，且亿岛r v 盯，t g ，则称r 为g 一分次代 数如果心b = r 。v 口，r g ，则称_ r 为强分次代数 右r 一模m 称为分次右r 一模，如果m 有一模直和m = 0 ，ga 毛，且 耽毋慨，v 矿，7 _ g 分次右r 一模全体组成的范畴记为g r 一只，其中态射为e 次的分次同态 2 2 循环同调的定义 定义循环同调( c f 4 】) 设r 是一代数，记g ( r ) = r 蜘“，其中的元素a ooa l o 简记为 ( a o ，a 一，o 。) ，考虑循环双复形 c c + 。( r ) ：( c + ( 兄) ，6 ) 0 兰( c l ( r ) ，一6 ) 旦( g 。( r ) ，6 ) 拦 5 它的全复形的同调群定义为r 的循环同调h g ( r ) ，前二列构成的全复形的同 调定义为r 的h o c h s c h i l d 同调见( r ) ，而复形( c ，( r ) ，b ) 的同调称为r 的n a i v e h o c h s c h i l d 同调h h 2 a i v e ( r ) 如果r 是带局部单位元的一代数，则( c + ( r ) ，- b ) 零调，h 矾( r ) 竺h h ? “”( r ) 定义h c ，( r ， ) ( c f 5 ) 我们将群g 在共轭关系g 一 “g h 下划分而成的共轭类集记为 显 然，单位元e 所在的共轭类只有e 一个元素，而交换群的每个共轭类都只有一个 元 如果r 是带单位元的g 一分次一代数，对g 的每个共轭类 ， 记 上n ( r ， ) = l i n e a rs p a n ( a 如，0 9 l ，a g n ) r 。”+ 1 l a 9 ，r 小，9 l g ，g o g l g n l + ( r ， ) 在b ，t 作用下封闭，从而可以定义工+ ( r ， ) 的同调群： h h ( r ， ) = h + ( l ( r ， ) ，6 ) ，h c ( r ， ) = h , ( t o tl ( r ， ) 若9 0 9 1 g 。 ，贝4 甄9 0g n l = 目。( g o g l 9 。) g i l ， 故b ( l 。( r ， ) ) cl n - 1 ( r ， ) ，t ( 厶( r ， ) ) l n ( r ， ) ，因此双复 形c c + ( r ) 的直和分解0 。g l + + ( r ， ) 与b ，t 相容，从而有同调群的直 和分解： 日风( r ) =oh h + ( r ， ) ，日q ( r ) =o h c , ( r ， ) 2 3分次模范畴等价的代数的循环同调的关系 我们知道，若两个带单位元的k 一代数的模范畴m o r i t a 等价，则它们的h o c h s c h i l d 同调，循环同调分别同构( c f 4 ) ；若两个带局部单位元的k 一代数的模范畴m o r i t a 等价，则它们的h o c h s c h i l d 同调，循环同调也分别同构( c f 【6 】) 但是对于分次模 范畴等价的两个代数，却没有类似的结论 结论：设r 是g 一分次k 一代数，s 是q 一分次k 一代数，( g ，n 为乘法群，恒 等元分别为e ，e 饥且一r ! g r 一5 ，一般的，没有h h + ( r ) 兰h 风( s ) ，h a ( r ) 兰 6 h c + ( s ) ，甚至没有h h ，( r ， ) 竺h h + ( s ， ) ，h c , ( r ， ) 兰h c + ( s ， 1 例l 设兄是g 一强分次一代数，令s = r 为n = e ) 分次， 此时g r r 2 r o o d r e = g r r e 令兄= a g 】为k 上群代数，则 踯沪 ：n = o 而 h h 。( r ) =o 风( g 。) 删黾 r 孝g 与b ，一r 的同构 推论h h , ( r # g ) 竺日日+ ( p r 槔g ) ；h c + ( r 社g ) 兰h c 。( p r 鞋g ) 引理 设g 是有限群， 由，则h h + ( r ， ) ( 日c ，( r ， ) ) 是 g r h h ，( r ) ( g r h c + ( r ) ) 的直和因子 i 正： e n ( r ， ) =0 r 。 k 兄，。o k kr 。 ( 。o ， t l ， ，口n ) e g “+ 1 ，o o t 7 1口n = 8 g “( 口) _ 0 r 9 0 9 i l 。t r 鲫i 。 kr 灿i 【9 0 ，9 l ，9 n ) g “+ i “ 咖：c k ( d ) l 。( r ， ) 【o 刚i ) o 舢i v 一，。g 。酊1 ) 叶( 。删f 1 ，o 灿，0 9 。酊1 ) 母：l n ( r ， ) g i ( 口) ( ( t o ，) ho 击( ，a t ，o 。) 则，砂都与d 。，t 可交换，且砂= i d r 。，】，由此结论成立 推论设g 是有限群，则日h + ( r ， ) ( 日e + ( r ， ) ) 是h 风( r 带g ) ( h a ( r 孝g ) ) 的直和因子 4范畴g r r 的分次循环同调 定义范畴g r r 若r 是带单位元的g 一分次k 一代数，g r r 表示如下的范畴：对象为g 分次右r 模，态射定义为h o m n ( m ，n ) = 0 ，gh o m r ( m ，) ， h o m r ( m ，) ，= ( f h o m r ( m ，n ) l f ( 螈) m ， 当肼有限生成时，h o m r ( m ，) = h o m r ( m ，) 1 】 】4 定义r 表示如下的范畴：对象为r ，态义为h o m r ( r ，r ) ，则r 是g r r 的全子范畴，且也成为r o o d r 的全子范畴，由 8 c n ( r ) 即为c c ( r ) ，且c ：v ( r ) 与c n ( p r ) 特殊同伦等价 定义g r r 的分次循环同调 设p g rr 是g r r 中有限生成投射对象组成的全子范畴，定义g r r 上 的分次h o s c h i l d 同调g r h h + ( r ) ：= h 风( p g r r ) 兰凰( c n ( p g r r ) ) ， 分次循环同调g r h g ( r ) ：= h c + ( p g r r ) 竺h 。( t o t c n ( p c n r ) ) 定理c n ( p g r r ) 与c n ( r ) 特殊同伦等价 证：设p r r ，则p 是有限生成投射r 一模所以， jp 与r n ，p 生r n 使得卢o o = i d p ，卢h o m n ( r “，p ) ，0 t h o r n r ( p 1 r “) 又p 与舻均为有限生 成，所以卢h o m r ( r “，p ) ，o l h o m n ( p ，r “) 设p j ：r “_ r 投射映照，即p j ( r o ，r h 一，) = r j ；i j ：r - - 4r ”包含映照， 即i ，( r ) = ( r o ，n ，h ) ，r i = 0 ，v i j ；r j = r 令0 。= p j 。q ，岛= 卢。q ，则o l j h o m r ( 只兄) ，岛h o m r ( r ，p ) ，且 譬l 岛oo l j = i d p 由f 8 1 中的特殊同伦判据，可知结论成立 推论日日+ ( 7 ) g r r ) 笺日h + ( 7 k ) ，h c ( p e r r ) 掣h g ( p r ) 推论g r h 风( r ) 竺日风( r ) ，g r h c + ( r ) 竺h g ( r ) 1 5 参考文献 1 1cn s s t a s e s c ua n dfv a no y s t a e y e n ，g r a d e dr i n gt h e o r y ，m a t hl i b r a r y v o l 2 8 ，n o r t hh o l l a n d ( 1 9 8 2 ) 2 l i us h a o x u ea n dfv a no y s t a e y e n ，g r o u pg r a d e dr i n g s ，s m a s hp r o d u c ta n da d d i t i v e c a t e g o r y ，p e r s p e c t i v ei nr i n gt h e o r hk l u w e ra c a d e m i cp u b l i s h e r s ，( 1 9 8 8 ) ，2 9 9 3 1 0 f 3 1 刘绍学，关于s m a s hp r o d u c t 的两个结果，科学通报，1 3 ( 1 9 8 9 ) ，9 6 7 - 9 6 9 4 1l l o d a y ，c y c l i ch o m o l o g y ，g r u n d l r e nm a t h w i s s ，3 0 i ，s p r i n g e rv e r l a g ，( 1 9 9 2 ) 5 lr o n g h u ij i ，am o d u l es t r u c t u r eo nc y c e cc o h o m o l o g yo fg r o u pg r a d e da l g e b r a s ，k t h e o r y ，( 1 9 9 a ) ，3 6 9 3 9 9 f 6 1 谢启鸿，局部单位代数循环同调的m o r i t a 不变性，数学年刊( 1 9 9 9 ) 4 0 7 - 4 1 2 f 7 1l o r e n z ，m ，c r o s s e dp r o d u c t s ：c h a r a c t e r s j c y c l i ch o m o l o g y ，a n dg r o t h e n d i e c k 旷o u p s n u n c o m m u t a t i v er i n g s ，s p r i n g e rv e r l a g ( 1 9 9 1 ) 6 9 9 8 m a c a r t h y ，r f