（基础数学专业论文）具有违约风险市场上的等价鞅测度及具有违约风险美式权益的定价.pdf

摘要 本文用约化形式( r e d u c e d f o r m ) 方法，在假设一个具有违约风险的市场模 型包含一个完全的无违约风险市场的基础上，首先分析了等价鞅测度变换的特征 及其所引起的市场模型的一些量的变化情况及测度变换前后各量之问的变化关 系，并给出了一个完全的具有违约风险的市场模型；然后，在这一市场模型下， 利用上复制策略，对具有违约风险美式权益进行定价，并得到了一个价格公式 、 关键词完全谬复市场，风险过程，鞅风险过程，( 兮镁没，等价鞅测度，具有 违约风险自碟式权益，上复制策略，砻享 冰，西过程 1 中图分类号0 2 1 1 6 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sb a s e do nr e d u c e d f o r ma p p r o a c h g i v e nam a r k e tm o d e lw i t h d e f a u l tr i s kc o n t a i n i n gac o m p l e t em a r k e tw i t h o u td e f a u l tr i s k ，w ea n a l y s et h e c h a r a c t e ro ft h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l et r a n s f o r m a t i o n ，t h ec h a n g eo fs o m ev a r i a b l e su n d e rt h ee q u i v a l e n tm a r t i n g a l et r a n s f o r m a t i o na n dt h er e l a t i o no ft h e s e v a r i a b l e sa r o u n dt h et r a n s f o r m a t i o n a f t e rp r o v i d i n gac o m p l e t ed e f a u l t a b l em a r k e tm o d e l ，w em a n a g et op r i c et h ed e f a u l t a b l ea m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m sa n d g e taf o r m u l at ot h i sv a l u a t i o n k e yw o r d s c o m p l e t em a r k e t ，h a z a r dp r o c e s s ，m a r t i n g a l eh a z a r dp r o c e s s ， a s s u m p t i o n ( h ) ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r e ( emm ) ，d e f a u l t a b l ea m e r i c a n c o n t i n g e n tc l a i m ，s u p e r h e d g i n gs t r a t e g y ，c l a s sd o ，t p r o c e s s 1 1 1 主要记号及其意义 ( q ，厂，p )完备的概率空间 ，x 半鞅x 的二次变差过程，x 】t2x ? 一瑶一2 吡1x s d x s ，y 1半鞅x 与y 的二次协变差过程 x ，y = x t m x o y o 一上】x s 一8 k 一上叫】k d x s x ，x 厂，y 尸过程，x ，陋，y 的连续部分 av1 3 由口代数4 中的元与口代数日中的元所生成的最小口代数 o +正部 avb a ，6 中大者，称为a 与6 的上端 aa6 a ，b 中小者，称为。与6 的下端 e ( x )半鞅x 的指数，是方程u t = 1 + 玩一d x 。的解 岛 耶 i 习 分别为关于测度p 的数学期望，关于测度p 在盯代数，下的 条件数学期望 e s ss u p 本质上确界，即在几乎处处意义下的上确界 再o - 代数 a ，：an u ：r ) t ) 五，v t ，其中= v t o 兀 睨+ 非负实数集 x 。一过程x 在t 点的左极限 x 即x 一五一 o - ( a ) 由集合4 的子集类所生成的o - 代数 妒( 。) ，妒 1 取值在( 。，b ) ， a ，b 】上的停时集 1 a ( )集合a 的示性函数 l v 1 引言 违约风险( d e f a u l tr i s k ) ，又称信誉风险( c r e d i tr i s k ) ，是指代理商不能如 约完成契约上所事先设定的义务的风险( 参见 1 】) ，公司债券( c o r p o r a t eb o n d ) 就是具有违约风险的资产的一个例子对具有违约风险的市场进行研究，涉及的 一个关键的问题是对违约时间进行建模对违约时间建模主要有两种方法，一种 方法称为结构化形式( s t r u c t u r a lf o r m ) 方法( 参见【2 3 】) ，由m e r t o n 于1 9 7 4 年 创始，在这种方法中，违约时间r 关于资产所形成的过滤是一个停时；另一种方 法称为约化形式( r e d u c e d f o r m ) 方法，这种方法中违约时间r 关于一个更大的 过滤是停时这两种方法的主要区别是，前一种方法违约时间是可预报的，而后 一种方法则不然因后一种方法更具有现实的经济意义，成为近年来对违约风险 市场研究中的一个热门课题( 参见【4 】， 7 l ， 9 1 ， 1 3 1 ， 1 4 1 等) 。 用后一种方法，在对具有违约风险的欧式权益进行定价时，即对一个t 权 益x i ，r ，进行定价，一般地，假设具有违约风险市场9 一市场是一个完全的 ( c o m p l e t e ) 市场，只需研究一个条件期望e 陋l f ，t 鼠】然而对具有违约风险 市场的具体结构及权益的复制策略研究的文献较少，这也是一个相对较难的问 题然而，当我们设法用约化形式方法对具有违约风险的美式权益进行定价的时 候，具有违约风险市场的具体结构就显得尤为重要了值得庆幸的是b l a n c h e t s c a l l i e t 与j e a n b l a n c 的文章( 参见【4 1 ) 给我们提供了一个完全的具有违约风险 的市场模型。从而为我们对更复杂的具有违约风险的未定权益定价的研究奠定了 基础。 在本文中，我们把无违约风险市场上关于资产价格的信息流用过滤歹表 示，并设它是一个由标准布朗运动生成的过滤，把包含信息流，和违约时间信 息的信息流用g 表示，对【4 中的市场模型当厂为b r o w n 过滤时的情形进行了 进一步的描述和发展，使9 一市场上的等价鞅测度变换更加具体化，即我们得到 了r a d o n n i k o d y m 导数更加具体的形式，而这一形式，既体现了具有违约风险 市场与无违约风险市场上的等价鞅测度间的联系，又使研究等价鞅测度变换后 的各量大大简化；随后，我们对g 一市场上等价鞅测度变换前后的各量，如风险 过程，b r o w n 运动，几个鞅的变化情况进行了研究，并给出了较为具体的等价 鞅测度变换前后的变化关系式 我们设一个具有违约风险市场上除了包括无违约风险市场上的标的资产 ( u n d e r l y i n ga s s e t ) 外，还包括另一种具有违约风险的资产，即违约零息票( d e f a u l t a b l ez e r o c o u p o n ) ，并设此违约零息票存在一个无套利价格，这样由f 4 1 中 的结论便知这个市场是完全的文章的第5 部分，就是利用具有违约风险市场上 的这三种标的资产，将无违约风险市场上的定价理论( 参见f 2 】，f 1 0 ，f 1 1 ， 1 6 ， 1 8 】， 2 6 ) ，尤其是美式权益的定价理论( 参见 2 ，【1 7 ， 1 8 ， 2 4 ， 2 6 1 ) 扩展到具有违约风险的市场模型接下来，我们充分利用“具有违约风险 市场9 一市场上的任一等价鞅测度在无违约风险市场，一市场上限制即为无违 约风险市场，一市场上的等价鞅测度”这一结论，证明了具有违约风险的违约 零补偿美式权益的折价回报过程( d i s c o u n tp a y o f fp r o c e s s ) 是一类d o ，t 1 过程； 特别地，在本文中，我们利用具有违约风险市场9 一市场上的鞅表示定理和违 约零息票折价过程的微分形式，巧妙地构造了具有违约风险的违约零补偿美式权 益的上复制策略，根据本文中的定价理论，这一上复制策略的初始值就是具有违 约风险的违约零补偿美式权益的价格，这样，便得到了这一权益的一个较为具体 的解析式，接下来，我们对两种特殊情形用这一定价结论进行了探讨；最后，类 似于具有违约风险的违约零补偿美式权益的定价过程，我们给出了一般的具有违 约风险美式权益的定价解析式从本文所得到的具有违约风险美式权益的定价解 析式可见，它与无违约风险美式权益的定价解析式有着惊人的相似之处，这与我 们把具有违约风险美式权益看作g 一市场上一般的美式权益是一致的 为了上下文的连贯性，我们将文中经常用到的半鞅指数及本质上确界作为 附录给出具有违约风险的完全的市场是一个包含不连续标的资产的市场，对于 更多的不连续市场模型可参阅 6 ， 1 0 】，【1 5 】，【1 6 及 2 2 】 本文余下部分的结构：第2 部分，数学模型的构建；第3 部分，( h ) 假设 和等价鞅测度变换；第4 部分，一个完全的具有违约风险市场模型；第5 部分， 具有违约风险的美式权益和上复制策略；第6 部分，具有违约风险的违约零补偿 美式权益定价；第7 部分，具有违约风险的违约非零补偿美式权益定价 2 2 数学模型 2 1 完全的( c o m p l e t e ) 无违约风险市场上的两种标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t ) 从现实意义上讲，在一个具有违约风险的市场上，无违约风险的资产也应 当同时存在因此，在本文中，我们假设在具有违约风险的市场内包含一个完全 的( c o m p l e t e ) 无违约风险市场。 在这个完全的无违约风险市场上，存在两种标的资产一种是无风险资产， 称为债券，t 时刻的价格用觑表示，它的方程为 d 3 t = n 反d t ，t f 0 ，t 1 ，3 0 = 1 其中r 。是点利率另一种资产为风险资产，称为股票，其在t 时刻的价格用& 表示，它的方程为 d s # = o z t s t d t + ( 7 t s t d w t 其中s o 0 ，增值率。蹰，波动率吼虢+ ，w 为概率空间( q ，p ) 上的一 个标准布朗运动 设上述标准布朗运动w 所形成的自然a 一代数流为，w ，并设上述参变量 n ，吼，巩都是关于，”循序可测的过程，且在【o ，t 】上是一致有界的 在下述讨论中，r ( t ) ：= e x p ( 一，r ( s ) d s ) 称为折价因子 2 2 三个重要的过滤 象【4 ，【9 ，【1 3 】中一样，我们需要三个过滤一个过滤反映无违约风险市场 上的标的资产的价格信息，用厂= 五，t o 表示用随机时间r ( 一个非负的随 机变量) 来刻画违约时间；d c ：= 1 ，t ) 称为违约过程，过滤d = 口c ，t 0 ， 其中口t = a ( d 。，8st ) 刻画违约时间的信息；反映无违约风险市场上的标的资 产价格信息及违约时间信息之和的过滤，我们用9 表示，其中9 = 9 t ，t 之o ) ， 吼= 兀v 口 3 在任何时刻t ，投资者所知道的信息总量即为吼，他知道时刻t 之前无违 约风险市场上的标的资产的价格信息及在t 之前违约有没有发生。9 是包含这 些信息量的最小过滤，r 是一个9 停时 在本文中，t 总表示一个固定的敲定时间( a ne x p i r a t i o nd a t e ) 。为了数学 处理上的方便，我们设厂= ，即由标准布朗运动w 所形成的自然一一代数 流同时考虑到经济意义上的合理性，我们设户cg ，但是户g ，即口c ，不 成立，因为若口c ，则r 是一f 停时，而布朗运动所形成的过滤的每个停时 都是可料的( 参见 1 3 】， 1 4 ， 2 6 】) ，即指投资者提前知道违约时间的到来， 这显然是不切实际的 2 3 ，一风险过程及几个重要的鞅 违约时间r 是概率空间( q ，9 ，p ) 上的随机变量，其中毋= 9 。我们设 p ( t = 0 ) = 0 ，且对任意的t 蹰+ ，p ( r t ) 0 ，令e = p 卜t i 五1 ，易 证，f 是一个有界，非负的，下鞅 以下我们引入约化形式方法中所普遍采用的一个定义( 参见 9 ，【1 3 】， 1 4 ) 。 定义1设v t 豌+ ，r t ) = 0 ，时刻t 之后，市场便退化为无违约风险的 情形；在定义1 中，v t 蹰+ ，只 t ) 0 矛盾 注2 现实世界中，也会存在违约必定在某一有限时间内发生的情形，如与一 些夕阳产业相联系的资产的违约风险这种情况下，我们设存在时刻b ，b t ， 使得p ( tsb ) = l ，且v b 7 ，p ( r b 。) = 1 ，有b 我们可以在时间段 0 ，b ) 内定义过程f ：e = p p t l 兀 及r 的，一风险过程r ，其他的讨论也限制在 时间段 0 ，b ) 内即可故以下我们仅就v t 乳+ ，p ( r t ) 0 的情形加以讨论 以下两引理是文献 1 4 中的结论 引理1 吼c 劣，其中 9 ；：= a 6 1 3 b 五，a n 丁 t ) = bn 丁_ t ) ) d 证明：因为 g t = 口tv 五= 盯( 口，五) = 0 - ( ( r “) ，“s ，五) ，置；c 昏t 故只需证v a = tsu ，us 或a 五，3 b 五，使得 a n 丁 t ) = bn 丁 t ) 即可而当a = 7 - su ) ，ust 时，取b = 0 即可；当a 五时，取b = a 即可。 证毕 引理2 对任意多可测的随机变量y ，有以下等式成立 e e y i ( ， t ) 例= 1 ， ) 8 n e p y i ， ) 五 ，t 跄+ 证明：由引理l ，任何吼可测的随机变量限制在集合 r t ) 上都与某个 五可测的随机变量一致，即 e p y i ) j 引= 1 t ， 0 1 其中，是一五可测的随机变量，将该式两边关于五求条件数学期望，得 即 所以结论成立 e p y i 叫1f 五j = i e 玎 ，= e f t e p y 1 ( ， o i 五 注3 特别地，若x 7 _ t 是可积的，据( 1 ) 式 e i x i _ ( ， t 慨】=e x i ， t ) l ， t ) 圳 1 r t ) e n e x i r t ) i 五 = 1 ， t p e x e i ， t ) i 局 | 五 = 1 ， t ) e r e x e 一。1 1 矧 5 证毕 应用引理2 ( 参见 1 3 ， 1 4 j ) ，易证，( l ，t20 ) 是一蛋鞅，其中 l f1 f 叫 e r k ( 1 一d ) e 。 以下我们给出文献 1 4 】中的另一重要结论 命题1 设t r 的厂一风险过程r 是一递增的连续过程，则过程 是一目鞅，且 m t = d 一f t t 尬= 一e 。ud l 。 j ( o ，t 并且l c = 邑( 一m ) ( 记号参见本文附录) ，即： l t = 1 一l 。一d m jr 0 “ 证明：因为1 一d 。与e 。c 皆为有限变差过程，故 l t = f l d t ) e “ 叫+ 肼卜一d r u 心毋d d u = 1 + f ( 0 , t e f “( ( 1 一d “) d r u d d u ) 觚= d 一f r 2 f o 川帆一( 1 一d u ) 叽 = 一( ( 1 一d u ) d r u d d u ) 所以尬= 一f ( o , t e - f “d l 是一g 鞅显然也有 l = 1 + = 1 = 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 证毕 ， 巩 盯 a 一 一 “ ，u d 盯 0 d 一 p 厶 卜 址 毗 吖 一 h ， q l 川 朋 朋，如，如，如 3 ( h ) 假设和等价鞅测度变换 这一部分的主要问题是探索具有违约风险市场上等价鞅测度变换的特征及 各参量在等价鞅测度变换后的变化情况当从无违约风险市场过渡到具有违约风 险市场的时候，一些基本的变量有可能会发生变化。如w 是过滤厂中的一个布 朗运动，当把它拿到过滤g 中考虑时，它就未必仍然是一个布朗运动了这种缺 陷可以用在约化形式方法中广泛应用的( h ) 假设( 参见 3 ， 4 j ， 9 】， 1 3 ， f 1 4 1 ) 来克服这一假设是：任意一列嗅仍为一9 鞅例如：两个过滤口与芦 相互独立时，( h ) 假设便成立 3 1具有违约风险市场与无违约风险市场等价鞅测度间的关系 在这里，我们重述文献f 4 1 中的讨论，设半鞅s 和随机时间r 分别为概率 空间( q ，9 ，p ) 上的随机过程和随机变量我们假设在空间( q ，_ t ) 上存在唯一 的等价于测度p 的概率测度q ，使得( ：= & r ，0 t t ) 是测度q 下 的一个鞅( 即q 为无违约风险市场上的等价鞅测度) 那么，对于任意可积的 t 权益x ( 参见1 1 1 ，即敲定时间为t ，具有随机回报x 的未定权益，其中 x 为正的，j 可测的随机变量，且e q r t x 】 。o ) 的折价( d i s c o u n t ) 形式， 都可以表示成为一个实数z 和一个厂可料过程圣关于s 的随机积分之和，即 r t x = z + 西。d s 8 ( 也就是说，无违约风险市场芦一市场是完全的) ，在这 里，因为具有违约风险市场g 一市场包含无违约风险市场f 一市场，故我们假 设在具有违约风险的市场上，时间t 之前资产s 仍然可以得到，且任意未定权 益x ，_ t 在这一市场上也是可以交易的我们假设9 一市场是一个无套利市 场，则至少存在一个等价鞅测度( 参见 1 0 ) t 权益x 显然在9 一市场上是可 以被复制的( 事实上，厂一市场上的复制策略就是该g - 市场上的复制策略) 令盯为9 一等价鞅测度，则应有r = e q ， n r x l 6 t 】，其中y 为权益x 复制 策略的财富过程由无套利市场上复制策略价格的唯一性，我们有，对任意未定 7 权益x ，和多一等价鞅测度q + ，e q r r x i 五 = e q , n r x l g 。 ，特别地 e q z = e q * z 】，v z j ：t ，e q z o 。 f 7 1 ( 令t = 0 ，x = z 脐1 即可) 。因此，任何9 一市场上的等价鞅测度q + 在 尸一市场上的限制就是q ，而且，在测度q 下，任意一致可积的，鞅满足 互1 q 瞵j 五】= e q j 鲥，于是我们得到，在测度q + 下任何一致可积的户鞅也 是一g 鞅。这样看来，( h ) 假设是自然的 3 2鞅表示定理 以下定理是参考文献 1 4 中系3 7 的结论的另一种表示形式 定理1 设在测度p 下，( h ) 假设成立，厨是f 0 , t 】上一9 一致可积鞅， 7 - 的，一风险过程r 是连续的增过程，则厩具有以下分解 一 一 r tr 尬= 慨+ f - 已d 帆一f 已厶一d 舰，t f 0 ，t 】(8)0 j 0j ft l 。、7 其中 ，( 为g 可料的过程，彬为布朗运动，尬= d 一f 卅，l t = ( 1 一d t ) e r t 证明：因为尬是一9 一致可积的鞅，故存在x ，它是一鲕可测的可积 随机变量，使得m t = e 慨】，v t 【0 ，t ( 参见【2 7 】) 因为鲕= ，_ tv z t ， 故只需考虑具有形式x = ( 1 一d 。) rs t 的随机变量，其中y 是，备可测的 可积随机变量于是 x = ( 1 一d 。) y = ( 1 一d 。) e n p 其中矿= e 。s y 是而可测的可积随机变量令巩= e 【p 五】，它是一，鞅 由鞅表示性( 参见 2 0 i 中的d u d l e y 定理) ，得 ，t 巩= e f ) ， + 矗d 眠 ju 其中f 是户可料的过程；根据( h ) 假设和布朗运动的l e f f y 刻画( 参见f 2 5 2 7 】) ，知w 也是一9 布朗运动，故c ，也为一连续的鞅因为r 是一增过程 故l 是一有限变差过程所以陋，卅：= 。 0 ) = 1 由推论1 和x 的性质，可得p + 关于p 的r a d o n - n i k o d y m 密度应满足： d q = 叩一( 1 】f i d ，c + 咖t d m , ) ，珊= 1 ( t 0 ) 用半鞅指数( 参见本文附录) 表示即为： 仇= 磊( z 妒d ) 反( l c d m ) 而在户一市场上，设测度p 的等价鞅测度为q ，则q 关于p 的r a d o n n i k o d y m 密度应满足： d 讯= 一琉巩d w , ， 筇0 = 1 ( 1 1 ) 其中0 。：丝二旦，0 是，适应的过程 由前面曲分析，我们知道，若设无违约风险市场，一市场是完全的，因为 有违约风险市场9 一市场上的任何等价鞅测度在无违约风险市场，一市场上的 1 0 限制，应与，一市场上的等价鞅测度一致，故这一限制是唯一的在( 1 0 ) 式中， 矽，毋是某9 可料的过程，因为q 是一几乎处处严格正的过程，所以庐 一1 引理4 若( h + ) 假设成立，且具有违约风险市场9 一市场上存在等价鞅测 度，即9 一市场是无套利市场，则等价鞅测度p 4 关于p 的r a d o n n i k o d y m 密 度应满足： d r = 讯一( - o r d w t + 丸d m t ) ， r i o = 1 ( 1 2 ) 其中0 ：丝二旦，0 为，适应的过程， 一1 为9 可料的过程 证明：由上面的讨论，只需证明( 1 0 ) 式中讥= 一0 。= 一! 上；立即可因 为具有违约风险市场9 一市场包含无违约风险市场，一市场，具有价格过程 ( s 。，0 ) 的股票仍可以在9 一市场上交易，要使其在9 一市场上不产生套利， 其折价过程( 曼= 吼s 。，t o ) 在( 1 0 ) 式所决定的等价鞅测度p 下应为一鞅， 即( r i t s t ，t 0 ) 在测度p 下是鞅因为： d ( v 曩) = 吼一d s + s d r + d 限叽 = r i t - o - t 豆( d w t + 0 d t ) + s i r 一( 妒td w t + 也d m t ) + 吼一妒t 吼豆d t ： r t - s t ( 妒t + 叮t ) d w , + 吼一s t 九d m , + 吼一吼s t ( 吼+ 妒t ) d 故( r t s ，t 0 ) 在测度p 下为鞅 仇+ 慨= 0 = = 争讥= - o r 证毕， 定理2 若( h + ) 假设成立，且具有违约风险市场9 一市场上存在等价鞅测 度，即9 一市场是无套利市场，则等价鞅测度p + 关于p 的r a d o n n i k o d y m 密 度应满足： d r = 7 7 一( 一0 d w t 十慨d m , ) ， r i o = 1 ( 1 3 ) 其中0 。：竺二旦，0 为，适应的过程，c 一1 也为厂适应的过程 证明：引理4 中，等价鞅测度p + 关于p 的r a d o n n i k o d y m 密度用半鞅指 数( 参见本文附录) 表示即为： 吼2 邑( 一9 d w ) g , ( 厶 c a m ) 0 ， j j f 0 1 由引理l 可知，对任意吼可测的随机变量也，必存在兀可测的随机变量心， 使得 1 f r o c t = 1 t t n t 1 1 义过栏f 连续，所以对v 0 ，f ；= f ；一，即p ( r = t ) = 0 所以 引厶，】西d m ) = e x p ( 厶州咖u d 眠一；厶卅旌d 。) i f 嗖( 1 + ( 厶一九d d 。) ) e x p ( - ( l 叫+ ；( ( l 川d u ) ) 2 ) = 。p ( - 0 咖u6 r u n r ) ( 1 + z 0 ，t j 西”o d “) j j f ) = e x p ( 一z 。k 圳钆帆) ( 1 + 厶州k 洲驴。d 仇) = 。x p ( - 01 u ) 毋ud f “) ( 1 + 儿1 “) 咖“d d u = e x p ( 一o 1 r “) k ud f u ) ( 1 + ：。，d1 r “ “ud d u ) = & ( 枷m ) 因此 即 礓= 磊( j 0 日d w ) e t ( ，圪d m ) j ( 0 ，j d 讯= 仇一( 一或d 嘶+ 愧d 尬) 3 5 ( h ) 假设在等价鞅测度下的稳定性 证毕 由定理2 ，我们可以重复文献 4 中的讨论如下： r 表示定义在( q ，g t ) 上的一概率测度，且d r = 岛( 托d m ) d p ，由 g i r s a n o v 定理( 参见 8 】) 及布朗运动的l e y 刻画( 参见f 2 5 】， 2 7 j ) 知， p 一目布朗运动w 是一r 一9 布朗运动，由( h ) 假设知p 一厂布朗运动w 是一 r 一户布朗运动，即p 一，布朗运动与r 一户布朗运动一致又因任何r - f 鞅 都可表示为一个关于w 的随机积分的形式，故( h ) 假设在测度r 下也成立于 是r ( t 冬t f ，) = r ( rst i 五) 由3 4 部分中的论述知，若具有违约风险市场 9 一市场存在等价鞅测度，则邑( - 8 d w ) 是五适应的故v t t p p t f 而，= 皇兰辫= 兰号妻茬等舌芸睾辫= r c r st f 再， 1 2 同样得： p + ( tst j 五) = r ( t t l 五) ，故p + ( t 引了_ t ) = p 8 ( t t i t , ) ， ( h ) 假设的等价条件( 9 ) 式成立，所以( h ) 假设在等价鞅测度p + ( p + 关于p 的 r a n d o n n i k o d y m 密度由( 1 3 ) 式给出) 下仍满足 3 6 等价鞅测度变换下几个对应量的变化 引理5 设( h + ) 假设成立，则在等价鞅测度p + 下 巧= p + ( r 曼t l j ：, ) ( 1 4 ) 是一递增的过程，且e 1g 8 ，其中p + 关于p 的r a n d o n n i k o d y m 密度由 ( 1 3 ) 式给出 证明：据( h ) 假设在等价鞅测度下的稳定性及( h ) 假设的等价条件( 9 ) 式，e = p + ( 丁l 五) = p + ( t tl j ：t ) ，所以f 4 是一递增的过程，且对任意 的t 跣+ ，目 1n s 证毕 这样，我们就可以在等价鞅测度下定义违约时间r 的，一风险过程了且 这时r 的，一风险过程也是一递增的过程 引理6 设( h + ) 假设成立，p 4 是( q ，6 t ) 上等价于p 的概率测度，p + 关 于p 的r a n d o n n i k o d y m 密度由( 1 3 ) 式给出，则过程 嵋：= p i t k ，j 一“d r u = - d t 一o , - t ( 1 + 一u ) d r u ，v t 【0 ，t i ( 1 5 ) 在等价鞅测度p + 下是一9 鞅。 证明：v tst d ( r t 懈) = 雌d r l 十r l 一d m ；+ a i m ，亦 = m 0 d 讯+ 仇一d m t 一讯一心d r t r + 吼一n t d d t ；m 0d r l + 卵一( 1 + t ) d m t 所以m + 在测度p + 下是一9 鞅 证毕 以下定义在参考文献【1 3 】， 1 4 中有较细致的讨论 1 3 定义2 一个，可料的右连续增过程a 称为随机时间r 的( ，够) 一鞅风险 过程( m a r t i n g a l eh a z a r dp r o c e s s ) ( 简称为，一鞅风险过程) ，当且仅当 厩：= d t a m( 1 6 ) 是一9 鞅，且a o = 0 当f 为连续的增过程时，由引理6 及定义2 知，在等价鞅测度p 下， a ；：_ ( 1 + 一。) d f 。是随机时间r 的f 一鞅风险过程，显然它是连续的 引理7 ( i ) 随机时间r 的，一鞅风险过程a 由公式 忙l 慧 ( 1 7 ) 给出；其中，过程户为f 下鞅f 在d o o b m e y e r 分解( 参见 8 ) 中的可料增 过程，磊= 0 ，v t ，或 t ) 例= 1 t r t e r ； r t e _ r ；l 五】= e 而 ( 2 2 ) 而是严格正的，鞅，它表示最终回报为g t ：= e - f ；= 1 一碍的殴式权益的折 价价格由定理3 知，r + 为测度龟下的，一风险过程，且是递增的连续过程， 1 6 根据命题1 ，m + 与l + 是鞅，丽是一致可积的鞅，故为连续的厂鞅( 参见 【2 0 ) ，所以：【m + ，衔 t = 0 ，据( 2 2 ) 及( 6 ) 式和分部积分公式( 参见f 1 2 ) ，有 d 磊= l ；一d 而一反一d m ；( 2 3 ) 所以 d p t = d ( r i l 磊) = r f ld a + 磊一n r i l 出 = ( 三0 兄t ) d 茄 + p t 一( 一d 埘+ n d ) 4 2 个完全的具有违约风险的市场模型 证毕 我们假设在具有违约风险市场9 一市场上存在一种无风险资产债券，其利 率过程为( t20 ) ，价格过程为觑= e x p ( nd s ) = ( r c ) ；一种风险资产 股票，其价格过程为( & ，t 兰0 ) 和一种具有违约风险的零息票；各个变量都满足 2 1 部分中的条件 我们用q 表示，市场上的等价鞅测度，用q 表示g 一市场上的一等价 鞅测度，由3 1 部分中的讨论知，在f 一市场上，q 与q 是相等的 由前述的讨论知，文献 4 中的系2 在此仍成立，在此可表述为： 命题3 在假设( h + ) 下，只要具有违约风险的零息票在具有违约风险的市 场上可以自由交易，这一市场就是完全的 这样，我们就得到了一个具有违约风险的完全的市场在这个完全的市场 上，测度p 的等价鞅测度q 是唯一的( 参见【1 1 ) 1 7 5 具有违约风险的美式未定权益和上复制交易策略 在这一部分中，我们将无违约风险市场上的定价理论( 参见f 2 】，口o 】 1 1 ， 1 6 ， 1 8 ， 2 6 】) 及美式未定权益的定价理论( 参见 2 】， 1 7 】， 1 8 】 2 4 】， 2 6 】) 拓展到具有违约风险的市场模型。 5 1 具有违约风险的美式未定权益( d e f a u l t a b l ea m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m ) 以下我们给出一个具有违约风险的美式未定权益的一个合理定义 定义3 设t 0 ，称从时刻0 到时刻t 之间的一个未定权益为具有违约风 险的美式未定权益( d e f a u l t a b l ea m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m ) ，简记为d a c c ， 用一个四元组( x ，h ，o - ，r ) 表示，其中： ( i ) 矿为一g 停时，盯妒【o ，t 1 表示执行这一权益的时间( e x e r c i s et i m e ) ； ( i i ) r 也是一9 停时，t 妒( o ，。) 表示违约发生的时间( d e f a u l tt i m e ) ； ( i i i ) x 为一，适应的过程，表示无违约发生时的回报过程( p a y o f fp r o - c e s s ) ，权益持有者若选择时间。执行权益，而盯之前违约没有发生，这时他得 到的回报为x ，； ( i v ) h 为一，可料的过程，表示违约发生时的补偿过程f r e c o v e r yp r o c e s s ) ，若权益持有者还没有执行权益违约就发生了，且违约发生的时间为r ， 则权益持有人在7 - 时得到的补偿为王0 ； 其中，x 与日都是非负的过程 特别地，若h 三0 ，我们称之为具有违约风险的违约零补偿美式权益，简 记为违约零补偿d a c c ，用一个三元组( x ，盯，7 - ) 表示 注4 口妒 o ，t 】表示o - 是一个0 与t 之间的停时，同样r 妒( o ，。o ) 表示r 是一个大于零的停时 注5 为9 停时，而不是，停时，是因为何时执行d a c c ，不仅与无违 约风险市场上的价格信息有关，而且也与违约发生的时间信息有关日之所以 1 8 定义为一个，可料的过程是有一定现实意义的，即违约的到来( 违约时间) 是 出乎意料的，而违约发生时应得到的补偿应该由违约到来之前无违约风险的资产 价格情况所决定 为了叙述问题的方便，以下我们仅讨论违约零补偿d a c c 的问题，带有非 零补偿d a c c 的相关结论可以类似得到，并且设x 为一右连左极的非负过程， 并满足 e p ( s u p o ，) x ，即这个美式权益具有回报过程( 1 ，t x t ，t 0 ，t j 5 2 财富过程和可容许策略 定义4 一消费过程( c o n s u m p t i o np r o c e s s ) c ：= g ；0 t5t 是一右连 左极的，递增的，关于g 可料的过程且满足c o = 0 ，c l a 8 0 s t t( 3 2 ) 2 0 ( 3 3 ) 引理8 假设我们所讨论的违约零补偿d a c c 存在上复制策略，设其中之一 为 ( 西l ( t ) ，西2 ( f ) ，西3 ( t ) ，c t ) ，0stst ) ，且w = 中l ( 0 ) + 圣2 ( o ) s ( o ) + 西3 ( o ) p o ， 则w 是违约零补偿d a c c 无套利价格的一个上界。 证明：反证，设违约零补偿d a c c 的价格为，若k w ，投资者在0 时刻可卖出一份违约零补偿d a c c ，得到财富，同时按照违约权益的上复制 策略买进债券、股票及违约零息票，花去财富w 在0 时刻净赚k w 0 ， 同时，因为v ( t ) r 。x t l ， t 1 。s0 t t ，无论何时购买权益的一方想执 行权益，投资者所得的财富折价后为一w + v ( o ) 一x 。1 ，) 0 ，故产 生套利 证毕 所以，我们如同 1 7 ， 1 8 】中无违约风险美式权益的公平价格一样，给出 违约零补偿d a c c 公平价格的定义如下： 定义8 若定义3 中违约零补偿d a c c 存在上复制策略，称v o ：= i n f v o ： w = 西1 ( o ) + 圣2 ( o ) s ( o ) + 垂3 ( o ) 肋为违约零补