（人机与环境工程专业论文）自适应时频分析及其在颤振信号处理中的应用研究.pdf

西北工业大学硕士学位论文 a d a p t i v et i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sa n d i t sa p p l i c a t i o n t os i g n a l p r o c e s s i n g o ff l u t t e rt e s t a b s t r a c t t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sr e p r e s e n t ss i m u l t a n e o u s l yt h ee n e r g yo ri n t e n s i t yo fs i g n a l i nt i m ea n df r e q u e n c y i t so fg r e a ts i g n i f i c a n c eh o wt oa d a p t i v e l yd e s c r i b eas i g n a li n t i m e - f r e q u e n c yd o m a i n i nt h i st h e s i s ，t h et h e o r yo ft i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ，e s p e c i a l l y a d a p t i v et i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s i sc o n s i d e r e d t w on e wm e t h o d so f a d a p t i v e t i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sa r ep r o p o s e db a s e do na d a p t i v es i g n a le x p a n s i o na n da d a p t i v e f i l t e r i n g t h ec h a r a c t e r i s t i c so f t h e t w om e t h o d sa r es t u d i e d b yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h e r e s u l t ss h o wt h a tb o t ht h em e t h o d sa r er e a s o n a b l ea n df e a s i b l e a sas p e c i a lf o r mo fv i b r a t i o n ，f l u t t e ri sam a j o rf e a t u r ec l o s e dw i t ht h er u n e n v i r o n m e n ta n d s a f e t y o f a i r c r a f t ，w h i c h i sa n i m p o r t a n tp r o j e c t o fh u m a n m a c h i n e - e n v i r o n m e n te n g i n e e r i n g f o c u s e do nt h en o n s t a t i o n a r yf e a t u r e sa n da n a l y s i s r e q u i r e m e n t so ff l u t t e rt e s td a t a ，t h ea p p l i c a t i o ns c h e m ei sb r o u g h tf o r w a r df o rf l u t t e r s i g n a lp r o c e s s i n g b yu s i n gc o m p u t e r s i m u l a t i o na n df l u r e rt e s to f l o w - s p e e d w i n d - t u r m e l o fs o m ea e r o e l a s t i c a lm o d e s ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h es c h e m ea r ei n v e s t i g a t e d e s p e c i a l l y , t h e t e c h n i q u ep r o p o s e d h e r ec a nb ee x p a n d e dt ot h ef l u t t e rt e s tw i t l lv a r i a b l es p e e d t h er e l a t e ds o f t w a r ei sd e v e l o p e do nl a b v i e wf o rw i n d o w s g k e y w o r d s 目 a d a p t i v et i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s ( a t f a ) c h i r p l e t a d a p t i v ef i l t e r i n g ( a f ) f l u t t e rt e s td a t ap r o c e s s i n g ( f t d p ) f l u r e rb o u n d a r yp r e d i c t i o n ( f b p ) i l - 西北上业大学硕士学位论文 1 1 时频分析概述 第一章前言 随着相关数学理论的不断完善、计算机技术的高速发展以及各个应用领域的实 际需要，现代信号处理朝着非平稳、非高斯、非线性和多维阵列信号处理的方向发 展。近年来，关于非平稳随机信号分析与处理的研究方兴未艾，出现了很多新成果。 时频分析即是非平稳信号处理中的主要理论与方法之一，其应用涉及包括工程、物 理学、天文学、地球物理学、生物学和医学等在内的诸多领域。 1 8 2 2 年，法国工程师傅立叶( j b _ j f o u r i e r ) 提出了非周期信号分解的概念，这 就是f o u r i e r 变换。经过1 0 0 多年的发展，f o u r i e r 变换不但已经形成了一个重要的数学 分支，而且也在信号分析与处理中起到了重要的作用。f o u r i e r 变换建立了信号从时 间域变换到频率域的桥梁，这两个分析域之间的变换构成了处理平稳信号的主要方 法。在f o u r i e r 变换理论与应用发展的过程中，人们逐渐发现了该类基于平稳过程假 设变换的一些不足，已不能满足客观上大量存在的非平稳信号的分析要求。f o u r i e r 变换在整体上将信号分解为不同的频率分量，缺乏局域性信息，即不能明确某种频 率分量发生在哪些时间内，而这对非平稳信号分析是十分重要的。 非平稳信号研究最早从2 0 世纪4 0 年代开始。为了分析语音信号，r k o e n i n g l 口 和r k p o t t e rk 2 目等人相继提出了短时f o u r i e r 变换( s h o r tt i m ef o u r i e rt r a m f o r i l l ， s t f t ) 的概念，用以确定声音的声谱图。短时f o u r i e r 变换的基本思想是：假定非平 稳信号在分析窗函数限定的一个短的时间间隔内是平稳( 伪平稳) 的，移动分析窗， 使信号在不同的有限时间宽度内为不同的伪平稳信号，从而计算出信号在不同时间 段的f o u r i e r 谱。 以g a b o rk 3 目、v i l l e 匝4 丑和p a g ek 5 目等人的研究工作为开端，诞生了时变谱的 另外一种分析工具，这就是信号的时频分析方法。时频分析的基本思想是：设计时 间和频率的联合函数，用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，时 间和频率的这种联合函数简称时频分布。w i g n e r 于1 9 3 2 年首先提出 w i g n e r 分布的 概念k 6 口，并把它用于量子力学领域，在之后的一段时间内并没有引起人们的重视。 直至1 j 1 9 4 8 年，才首先由v i l l e 把这个概念引入信号处理领域，因此，w i g n e r 分布又称 w i g n e r - v i l l e 分布，简称为w v d 。1 9 7 3 年，d e b r u i j n 对w v d 分布作了评述， 并把 w v d 作为新的信号变换的数学基础k 7 目。1 9 8 0 年，c l a s s e n 在p h i l i p s j r e s 上连续 发表了三篇关于w v d 的文章，对w - v d 作了全面的讨论k 8 目。由于这些工作，关于 西北1 ：业大学硕士学位论文 w v d 的研究骤然引起了人们的兴趣，发表的论文很多，也取得了一些可喜的成果。 1 9 6 6 年，c o h e n 给出了各种时频分布的统一表示形式，而已有的p a g e 分布、w i g n e r - v i l l e 分布、c h o i - w i l l i a m s 分布等又可以归属为c o h e n 类时频分布9 目。目前人们已提 出了十多种具有双线性形式的时频分布，它们被统称为“c o h e n 类”k l o 目。这些分布 提出的一个重要目的是为了削弱w i g n e r 分布中的交叉项，并改进自项的分辨率。 1 9 4 6 年，d e n n i sg a b o r ( 英国物理学家，1 9 7 l 诺贝尔奖得主) 还提出可以用二 维时频平面上离散栅格处的点来表示一维信号的方法，即在联合时频域中将信号展 开成组离散的g a u s s 基本函数形式，这种展开方式后被称为g a b o r 展开匝3 目，而展 开系数的积分表达式则被称作g a b o r 3 芝换。展开的基函数是由一母函数作移位和调制 生成的。g a b o r 最初选择g a u s s 函数作为母函数，这是因为高斯函数的f o u r i e r 变换也 是高斯的，因此保证了时域和频域的能量都较为集中。由于g a u s s 信号的时宽与带宽 积满足不确定原理的下限，因而又保证了使用高斯信号可得到最好的时间与频率分 辨率。但是，g a b o r 展开的这一想法长期没有被重视，其主要原因是展开系数计算困 难。直到1 9 8 0 年b a s t i a n s 提出用对偶函数来求解的方法之后，对g a b o r 展开的研究才 引起了人们的兴趣。从此之后，发表了大量的有关论文，这和几乎是同时开始的有 关w i g n e r 分布的研究构成了信号时频分析的主要内容。现在，g a b o r 展开和g a b o r 变 换己被公认为是信号尤其是图像信号表示的最好方法之一，可以用于非平稳信号的 描述、估计和时变滤波等。 非平稳信号的表示方法除了短时f o u r i e r 3 眨换、g a b o r 3 1 5 换和直接在联合时频平面 上表征信号外，还有由法国地球物理学家m o r l e t 于二十世纪8 0 年代初在分析地球物 理信号是提出来以时间一尺度域表征信号的小波分析方法。小波分析方法在计算机 视觉中的多分辨分析、语音和图像压缩中的子带编码和基于非均匀采样网格的非平 稳信号分析等方面都得到广泛的应用。小波变换属于仿射类时频分布，自二十世纪 九十年代起，引起了国内外的广泛关注，取得了一系列的研究成果。对此，本文不 再赘述。 此外，基于旋转时频平面直角坐标的思想，产生了非平稳信号分析的两大类方 法：r a d o n w i g n e r 变换和分数阶f o u r i e r 变换。r a d o n - w i g n e r 变换主要应用在医学、 雷达和遥感成像中；分数阶f o u r i e r 变换是n a m i a sk 1 1 日于1 9 8 0 建立的f o u r i e r 变换的 分数幂理论，最近几年，它己在光学信号处理、时变滤波、神经网络、多路传输、 小波变换和时频分析等诸多领域获得了应用。 可以说，凡是平稳信号分析和处理的典型应用问题( 如信号检测与分类、滤波、 信号的正交展开综合和谱估计等) ，在非平稳信号分析和处理中都有对应的问题，而 处理这些问题的主要理论与方法就是时频分析。 西北工业大学硕士学位论文 1 2 自适应时频分析 许多自然界的信号和人工信号的谱分析量变化相当之快且不规则，以至于难以 找到一个合适的短时窗函数，能够使信号在其时间宽度内或多或少满足平稳性的假 定。从本质上讲，s t f t 是单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时 窗函数，不具备自动调节的能力。其他一般时频分析也存在类似的缺陷。于是，从 二十世纪九十年代开始，人们着手开始了自适应时频分析的研究。 自适应时频分析是一种应用自适应信号处理手段来完成信号的时频分析以获得 更好的时频信息描述与跟踪效果的方法。从自适应信号处理理论与时频分析理论结 合的角度出发，自适应时频分析可以分为三种类型：基于自适应核函数设计的方法、 基于自适应信号展开的方法和基于自适应滤波理论的方法。 ( 1 ) 基于自适应核函数设计的方法 在信号时频分布中，由于交叉项的进入使时频分布的分辨率降低，即信号的原 本特征不明晰，有时甚至无法解释所得到的结果。但信号的模糊函数有一个特点， 即信号的自项位于模糊平面的原点附近，而交叉项则远离原点。在c o h e n 类时频分布 中，每一种分布均与一固定的核函数相对应，正是该核函数决定了相应分布的交叉 项抑制特性。所以，为了使自项通过而抑制交叉项，核函数应该是二维低通滤波器， 而且应该在自项的聚集程度和交叉项的抑制程度之间进行权衡。对于某一类信号， 特定的一种时频分布可能既具有高的分辨率，又能很好地抑制交叉项，较完美地描 述该类信号的时频成分。时频分析的实际目标是定义一种时频分布，使它针对许多 不同的信号具备良好的性能，而固定核函数的分布无法达到这个目的。这样，基于 信号的自适应核函数的设计思想便诞生了。 r i c h a r dg b a r a n i u k 平【i d o u g l a sl j o n e sk 1 2 目在1 9 9 3 年提出了一种与信号有关的 最优核函数设计方法。这种方法将核函数定义为沿任意径向剖面都是g a u s s 型的两维 函数。很明显，当自项成份和交叉项成份重叠时，这种方法均无力将自项成份和交 叉项成份分离开。 ( 2 ) 基于自适应信号展开的方法 基于自适应信号展开方法的基本思路是：首先对信号进行分解，将信号自适应 的展开在线性空间的一组基函数上( 该基函数在时频域具有较好的时频聚集性) ，然 后通过计算信号各分量的w v d 并求和，得到信号的自适应时频谱。 在线性时频表示中，如果基函数与信号的主要成分相似，则仅需少数几个基函 数的线性组合就能比较精确地表示原信号。所以，在采用基函数分解方法时，应该 西j k i ：r 业大学硕士学位论文 根据信号的先验知识，采取与信号的局部结构特征相似的基函数，以期用尽可能少 的基函数来分解信号。 1 9 9 2 1 9 9 4 年s h i eq i a n 年d d a p a n gc h e n 1 3 日1 4 a 提出信号的自适应g a u s s 基表示( a g r ) ，同时，s m a l l a t 和z z h a n gk 1 5 目使用匹配追踪算法得到了类似的结 果。在自适应g a u s s 基表示中，所采用的局部化g a u s s 基函数的带宽和时频中心能够 自动地调整，以达到与被分析信号最大程度地匹配。在这种信号展开方法中，基函 数的频率不变，从而就导致对变频信号( 如线性调频信号) 无法进行有效的匹配。 事实上，自然界中存在的信号其时频行为非常复杂，在时频平面所呈现的形状也是 多种多样。1 9 9 1 年，d m i h o v i l o v i c 和r n b r a c e w e u 1 6 目以及s t e v em a n n 和s i m o n h a y k i n 匝1 7 日几乎同时提出t c h i r p l e t ( 高斯线调频小波) 的概念，来刻画这些信号 的时频特性。随后，s t e v em a n n 和s i m o nh a y k i n 在1 9 9 2 年提出 c h i r p l e t 变换k 1 8 目， 其基本出发点是将小波变换一般化，采用经过伸缩、时移、频移、时间斜变、频率 斜变的g a u s s 函数，b p c h i r p l e t 函数作为基函数，并使用内积方法得到了c h i r p l e t 变换。 s t e v em a n n 和s i m o nh a y k i n 于1 9 9 5 年阐明t o h i r p l e t 变换的物理机理k 1 9 3 。在1 9 9 6 年，r i c h a r dg b a r a n i u k 和d o u g l a sl j o n e s 2 0 目使用w i g n e r 分布，从仿射时频变换 的角度进一步奠定了c h i r p l e t 变换的数学基础。 c h i r p l e t 变换的引入，使得可以在一个统的框架内比较各种参数化自适应时频 表示方法，因为它们都是c h i r p l e t 变换的低维特例。自适应径向高斯核时频分析是将 时移、频移和尺度参数转换为极坐标下的半径和角度的函数，降低维数便于优化； 自适应匹配投影时频表示是c h i r p l e t 变换的三维特例。1 9 9 7 - 1 9 9 9 年，a y k u t 和b u l t a n k 2 1 目提出将c h i r p l e t 基与分数阶f o u r i e r 变换相联系，以进行有效的计算。i 9 9 7 年， 殷勤业9 2 2 ) 1 提出的自适应旋转投影分解法就是c h i r p l e t 交换的四维特例。 ( 3 ) 基于自适应滤波理论的方法 为了克服传统非参数时频分析方法的局限，比如时频分辨率低和交叉项干扰， 人们把应用于平稳随机信号处理的参数模型法推广到了时频分析中。参数模型法是 应用于平稳随机信号分析与处理的一种经典时间序列方法，而时变参数模型法是近 年来应用于非平稳随机信号分析与处理的一种新方法。 虽然在2 0 世纪7 0 年代，对非平稳随机信号时变参数模型已有一些开创性工作， 后来却未有大的进展。1 9 8 3 年，y g r e n i e r 2 3 目对其进行了深入研究，将一些熟知 的参数模型方法，如自回归滑动平均( a u t o - r e g r e s s i v e - m o v i n g - a v e r a g e ，a r m a ) 模 型、自回归( a u t o r e g r e s s i v e ，a r ) 模型以及普罗尼( p r o n y ) 法等扩展为时变参数 情况。1 9 8 9 年，l q i u ，a c t s u o i 2 3 目等研究得出非平稳随机信号时变m a 及a r 模 型- 与w i g n e r - v i l l e 分布之间的关系，这样将研究非平稳随机信号的非参数模型法与时 西北工业大学硕十学位论文 变参数模型法两者沟通起来，加深了对二者的认识。 该类方法通常用具有时变参数的a r 模型和a r m a 模型来表征非平稳随机信号。 用时变参数模型来自适应地跟踪个非平稳过程，并由时变的模型参数构造时变的 参数谱来描述非平稳过程，这样得到的时变参数谱就从时间和频率两个角度描述了 信号的特性。因此，它是一种参数化的自适应时频分析方法。与平稳情况相比，求 解非平稳随机信号模型时变参数所需的计算量显然增加了。有关文献提出了用协方 差、相关函数法来估计模型的时变参数，但这些批处理方法的数据存贮量和计算量 会随着观测数据的增加而增大，给实际应用带来不便。同时，由于在每个时刻都需 要一组系数来获得参数谱，因此，系数必须是即时更新的，即算法必须是递推的。 在信号非平稳度( 定义见4 2 3 ) 不是很强的情况下，自适应滤波是实现该类参数化 自适应时频分析的首选算法。 1 3 颤振信号处理与颤振边界预测 颤振是飞机结构最危险的一种振动形式，它是由空气动力、弹性恢复力和惯性 力三者耦合作用下的一种气动弹性不稳定现象，是飞行器发生事故较多并且常常造 成灾难性后果的一种结构振动现象。在新型或改型飞机的研制过程中，气弹模型的 颤振风洞试验和飞机飞行颤振试验是必须进行的试验项目，其目的在于确定相应的 颤振特性，包括颤振类型、模态参数及颤振包线。 由于该类试验具有大风险、长周期和高耗费等特点，使得直接由试验测试达到 其目的变得十分困难。一般方法是基于弹性结构的亚临界测量，通过信号分析从系 统动态响应中提取某些能刻画结构系统特征的信息，依此确定飞机的颤振特性。准 确而有效地预测颤振临界速度是该类试验数据处理的一项重要任务，而快速的颤振 边界预测( f l u t t e rb o u n d a r yp r e d i c t i o n ，f b p ) 又是保证试验安全和提高试验效率的 关键技术之一。 虽然改进激励、测试手段等技术2 4 b 可以改进原始信号的品质，但是直接利 用自然气流是一种符合物理实际、廉价且易操作的激振方式，故基于亚临界随机响 应分析的f b p 方法就成为一个有明显应用价值的研究方向，尽管它对信号处理技术 提出了更高要求。 速度分阶梯实现是传统的颤振试验方式。在该类试验过程中，为了获取分析所 需的平稳数据，气流速度必须存在设定阶梯有一定时间长度的稳定段。其颤振试验 数据处理( f l u t t e rt e s td a t ap r o c e s s i n g ，f t d p ) 方法可以分为频域和时域方法两种。 早在1 9 7 5 年，美国n a s a 就对频域方法进行了较为系统的研究，1 9 8 2 年又做了改进， 并先后用于f 1 6 、k c 1 3 5 、a f t i f 1 6 等飞机的研制当中1 ( 2 5 目f ( 2 6 日。据悉，俄罗斯 西北工业大学硕士学位论文 i 和以色列近期仍在采用这类方法。我国的各大飞机公司和飞机试验研究院和风洞单 位也都沿袭了这种方法匝2 7 日k 2 8 日2 9 日。而二十世纪八十年代发展起来的时域方法 由于大量采用了现代信号处理成果，包括现代参数谱估计和稳定性判据等理论，其 学术和应用价值明显，故成为近期该领域的主要发展方向。国外，h z n o r m a n 和t w j a s o n1 1 3 0 3 用亚临界响应数据，以颤振裕量为稳定性判据，按稳定性参数随飞行 速度的变化预测颤振速度。随后，加拿大的s j p r i c e 等k 3 l 目又将这种方法推广到三 个自由度情况。v u j im a t s u z a k i 匿3 2 日基于a r m a 模型，利用r e e f 法估计模型参数， 由模型参数构造j u r y n 据并计算稳定性参数。国内，肖创柏博士3 3 目采用超定递 推辅助变量方法对亚临晁响应建立a r m a 模型，基- ：l a p u n o v 间接法发展了相应的稳 定性判据，其结果应用于某型飞机颤振模型低速风洞试验的数据分析。西北工业大 学数据处理中心将长自回归( l a r ) 模型和快速横向自适应滤波理论引入f b p 的数 据建模3 4 a ，并在国家航空科学基金的资助下，发展了集数据建模和稳定性参数提 取为一体的快速格型方法，其结果在多次风洞颤振试验、某型飞机尾段颤振模型的 风洞试验及某型飞行颤振试验等数据分析中得到验证，取得了成功的经验r ( 3 5 口。 连续变速度实现是一种需要积极探索的新的颤振试验方法，也是飞机在实际飞 行中的客观形式。它不需要为了获取足够的平稳数据而延长试验周期，可以节省试 验开支，而且保证了尽量与实际飞行过程相符。但是，由于在这种方式下获取的是 非平稳数据，相应的数据处理要求比速度分阶梯实现方式要高。因此，研究连续变 速度颤振试验的合适f t d p 方法具有重要应用价值。经过本文的一些研究工作，自适 应时频分析方法可以较好的解决该类问题。基于信号展开的自适应c h i r p l e t 时频分析 可以在联合时频面上有效提取非平稳试验数据的本质特征。该方法作为一种信号预 处理手段可用于连续变速的颤振试验。基于自适应滤波的自适应递推时频分析可以 从根本上解决连续变速试验的理论问题。因为传统的频域处理方法不能得到每一时 刻的模态信息，而自适应递推时频分析是一种递推的时域方法，通过自适应滤波器 可以获得即时的模态信息或结构稳定性判据，从而完成f b p 。两类自适应时频分析 方法分别从f t d p 的预处理和直接f b p 方面，提供了解决方案。值得注意的，递推自 适应时频分析方法还是传统时域稳定性方法的进一步发展。同时，由于颤振数据处 理分实时、近实时和事后处理三类，而实时分析与处理是其中难度最高但工程应用 最有意义的方式，本文的自适应c h i r p l e t 时频分析克服了原有类似算法复杂耗时的缺 点，可以实时实现：更重要的是，递推自适应时频分析方法的算法结构决定了它的 在线实时处理机制。通过实时处理对于降低试验风险、提高试验效率和缩短试验周 期均有着明显的实用价值。 西北r ：业大学硕士学位论文 ! i ii | i 一i l l , ! ! 蔓量自自! ! 日一 1 4 本文工作 本文在系统学习现有的多种时频分析方法的基础上，详细研究了自适应时频分 析的核心思想和基本方法，在自适应信号展开理论的和自适应滤波理论的基础上， 提出了自适应c h i r p l e t 时频分析和自适应递推时频分析这两种新的方法，并通过理论 分析和数值仿真完成了本文方法和算法数值特性与应用特性的研究。 本文研究基于信号展开的自适应c h i r p l e t 时频分析方法的思想是，采用c h i r p l e t 基函数集，在此集上根据最大匹配投影原理寻找最佳基函数的线性组合。本文所作 研究是，如何估计c h i r p l e t 基函数的初值，并且如何充分利用信号的先验知识从基函 数的初值计算得到精确值，以便更好运用匹配追踪算法对信号进行自适应展开并获 取自适应c h i r p l e t 时频谱。 本文研究基于自适应滤波的自适应递推时频分析方法的思想是，采用自适应滤 波算法来求解模型的时变参数，然后由时变参数得到信号的时变参数谱。因此，问 题的关键转化为研究自适应滤波算法学习和追踪一个非平稳随机过程的性能问题。 各类自适应滤波算法追踪时变过程的效率是不同的，主要需考虑算法的衡量准则、 收敛速度、跟踪效率、计算量、算法结构和稳定性等问题。 f t d p 是信号处理理论的一个重要应用领域。同时，作为一种特殊的振动形式， 颤振与机械( 包括飞行器) 的运行环境和可靠性密切相关，是人机与环境学科的一 个重要研究课题。传统的f t d p ，由于分析理论和实测信号的特点的限制，在实际应 用中均有失偏颇。因此。有必要开展相应的研究工作，这正是本文研究工作的应用 出发点。本文基于颤振信号非平稳性的特点、自适应时频分析方法的优点以及颤振 试验的原理提出并实现了两种新的f t d p 方案，重点研究了适用于连续变速颤振试 验的f b p 问题。分别应用数值仿真和某型飞机气弹模型低速风洞颤振试验的数据来 验证本文方法的有效性、可靠性和工程实用性。 最后，在总结全文的同时，对未来工作做了展望。 本文结合航空科学基金项目“颤振试验信号的时频共振与图像跟踪识别方法研 究( 0 1 a 5 3 0 0 1 ) ”3 6 ) 1 及型号项目“某型飞机机翼外挂风洞模型颤振试验亚临界 数据处理” 【3 7 2 “某型飞机部件全机低速颤振模型风洞试验任务书”k 3 8 目开题。 两北工业大学硕十学位论文 第二章相关理论基础 本章作为全文的的相关理论基础，主要介绍时频分析、自适应信号展开、随机 过程建模和自适应滤波四个方面的相关内容。 2 1 时频分析理论 2 1 1 线性和双线性时频变换 所谓线性时频变换是指信号的时频变换满足叠加性，下面简要介绍几种典型的 线性时频变换。 ( 1 ) 短时f o u r i e r 变换 为了研究信号的时间特性，加强在某个时间段的信号，而压缩在其它时间段的 信号，可以通过用中心在，的窗函数 o ) 乘以信号s ( ，) 来实现。令窗函数 o ) 滑动， 则信号s ( f ) 的短时f o u r i e r 变换定义为 s t f t ( t ，厂) ：仁+ o o h ( r ) + ( f 一仲一，2 万f f d f ( z 1 ) 这里有一个明显的事实：正是窗函数h ( f ) 的时移和频移使短时f o u r i e r 变换具有 了局域特性，它既是时间的函数，又是频率的函数。为了实现信号完全重构，考虑 d ( r ) | d t = 1 ( 2 2 ) 在式( 2 2 ) 所示的能量归一化条件下，可得出信号s ( f ) 的完全重构公式 5 ( f ) ：巴f 二s r f r ( f ，) 女( 卜r ) e 2 ”f7 d r d f 。 ( 2 3 ) 在实际应用中常用谱图( s p e c t r o g r a m ) 表示信号的时频能量，它定义为s t f t 的 模值的平方，即 s p e c ( f ，) = i s 玎r ( ，州2 ( 2 4 ) ( 2 ) g a b o r 变换 g a b o r 提出了一种同时用时间和频率表示一个时间函数的方法，这种方法被称为 g a b o r 展开，而g a b o r 展开的积分表示公式则被称作g a b o r 变换。虽然g a b o r 早在半个 世纪前就提出了临界采样的g a b o r 展开，但是如何确定g a b o r 展开系数却迟迟未有好 西北工业人学硕士学位论文 的方法。到了八十年代初，才b a s t i a a n s 提出了一种如下简单而有效的方法，人们 称它为b a s t i a a n s 解析法e 3 9 j 。 假设o ( t ，w ) 可以用g ( t ，w ) 作除法，并定义函数a ( t ，w ) 满足下面的关系3 4 l o ( t ，w ) = a ( t ，w ) g ( t ，w ) ( 2 5 ) 其中，爿( ，w ) 是t 和w 的周期函数( 以t 和q 为周期) ，并与它的系数口。构h - g f o u d e r 变换对；对信号q k ( t ) 和窗函数g ( f ) 以t 间隔采样，并定义以下两组f o u r i e r 变换对： o ( t ，w ) 与痧o + m t ) ；g ( t ，w ) 与g o + m t ) 。贝0 有 ( f ) = 疗。g 。( f ) ( 2 6 ) g 。( t ) = g ( t 一所丁) e l n f l t ( 2 7 ) 式( 2 6 ) 称为信号( ，) 的连续g a b o r 展开，系数口。称为g a b o r 展开系数，而g ，( f ) 习 惯上称作( m ，n ) 阶g a b o r 基函数。 g a b o r 展开之所以具有理论意义与应用价值，在于这样一个事实：g a b o r 基函数 g 。( ，) 可以构造出使它们相对于时间和频率都具有比较好的局域化性能。 双线性形式的时频分布，主要是w i g n e r - v i l l e 分布及具有更一般形式的c o h e n 类 分布。所谓双线性形式，是指所研究的信号在时频分布的数学表达式中以相乘的形 式出现两次。 ( 3 ) w i g n e r - v i l l e 分布 w i g n e r 于1 9 3 2 年首先提出的w i g n e r - v i l l e 分布概念匝6 日，可以说是最早提出的时 频分布，而其它的双线性时频分布都可以看作是w i g n e r - v i l l e 分布的加窗平滑形式。 在已提出的各种时频分布中，w i g n e r - v i l l e 分布具有最简单的形式，并具有很好的性 质。 信号x ( ，) 的w i g n e r - v i l l e 定义为厦4 0 畋( r ，c 0 = x ( t + r 2 ) x * ( f _ f 2 ) e - j n r d r ( 2 8 ) 吼( f ，q ) 5 j 1 ，。f x ( n + o 2 ) x ( q 一形2 ) e 7 e t d o ( 2 - 9 ) 在式( 2 8 ) 中，f 是积分变量，是时移。 西北工业大学硕士学位论文 i 对比式( 2 8 ) 和式( 2 9 ) 可见，w i g n e r - v i l l e 分布在时域和频域有着非常明显 的对称形式。若令 o ，f ) = x ( t + z 2 ) x ( t - r 2 ) ( 2 ，1 0 ) 则有 畋( f ，q ) = ( 船) e - j f 2 r d f ( 2 1 1 ) 这是普通的f o u r i e r 变换式，只不过它依赖于时间t 。( f ，r ) 称为瞬时自相关。 ( 4 ) c o h e n 类分布 为了解决w i g n e r - v i i i e 分布的交叉性问题，出现了一系列其它形式的时频分布， c o h e n 研究发现，这些分布只是w i g n e r - v i l l e 分布的变形而己k 1 0 日，可以用一个统一 的形式表示，目o c o h e n 表示。1 9 6 6 年，c o h e n 给出了时频分布的更一般表示形式k 9 日， 见式( 2 1 2 ) 。该式中共有五个变量，郎，f ，q 。o 和“，g ( o ，f 1 称为时频分布 的核函数，也可以理解为是加在原w i g n e r v i l l e 分布上的窗函数。给出不同的 g ( 0 ，r ) ，就可以得到不同类型的时频分布。 c x ( t ，q ：g ) = 上j m ( “+ 莎 - f ) g ( o , r ) e - l ( 8 + n r - u e ) d u d r d o ( 2 1 2 ) 令g ( 0 ，r ) ：1 ，则 e ( q ：g ) = 去j x ( “+ r 2 ) z 一2 ) e 叫“d u d r d o = 卜( ，+ 刁2 ) x + ( f r 2 ) e - m d f = 暇( f ，q ) ( 2 1 3 ) 这一结果表明，当核函数取最简单的形式，即d o ，f 1 = l 时，c o h e n 类分布变为 w i g n e r v i l l e 分布。也就是说，w i g n e r - v i l l e 分布是c o h e n 类的成员，且是最简单的一 种。g 订的选取将对时频分布的性质产生重要的影响，占f ) = 1 就意味着该核函 数是( 只f ) 平面的二维全通函数。m - y - ( o ，r ) 平面模糊函数的互项远离平面的原点， 而w i g n e r v i l l e 分布的g r ) 是全通函数，故对互项无抑制作用，因此，w i g n e r - v i l l e 分布也就存在着较大的交叉项。为了有效抑制交叉项，应该选择f 只订平面上的二维 低通函数来作为g ( 鼠力。以( 口，r ) 和g ( 只r ) 在( 只f ) 域相乘，其结果对应的是二者各自 的二维变换在( f ，嗡域的卷积。4 暇f ) 的二维f d u r i e r 变换是取( 哟，4 9 g ( t ，g 为 g ( o , g 的二维f o u r i e r 变换，那么 c ，( f ，q ) = i l h 盯矽；( ”，f ) g o 一“，q f ) d ”d f 2 1 4 ) 西北工业大学硕士学位论文 式( 2 1 4 ) 有两重含义，一是任意信号的e ( t ，q ) 都可以由该信号的w i g n e r v i i i e 分布和加权函数g ( f ，q ) 作二维线性卷积得到。前已述及，已知的其余所有时频 分布都可以由c o h e n 的统一表示形式所得到，那么也就是说，己知的所有分布都可以 f l j w i g n e r - v i l l e 分布来表示。第二个含意是，w i g n e r - v i l l e 分布本身可能为负值，且有 交叉项存在，那么它和g ( t ，蹦作卷积运算，可在某种程度上减少负值和交叉项的影 响。这实际上是对w i g n e r - v i l l e 分布作平滑，平滑的结果正是e ( f ，q ) 。 2 1 2 分数阶f o u r i e r 变换和r a d o n w i g n e r 变换 若两个函数g ( t ) f f 铂g ( w ) 是f d u r i e r 变换对，用算子符号表述，则可以将它们简写 作g = f g 。容易验证，f 2 9 ( t ) = f 露( f ) = g ( - f ) 和f 4 9 ( t ) = g ( t ) 。f ”表示算子f 连 续使用了行次。令口= p ，r 1 2 ，并且定义算子r 。= r 刚2 ，记作f 9 。考虑当口为x 2 整数倍和非整数倍( p 为整数和非整数) 时，x ( f ) 的广义f o 戚e r 变换( f r f t ) 定义 为匿1 1 日 ，( ) = ，9 【x ( r ) ( “) = 足p ( r ，“h ( t ) d t ( 2 1 5 ) 其中，变换核取 f 。! ：；：；。 ；h 2 口一m m 口+ ，c m 口) ，矿c r 聍石 k p ( r ，“) = 6 ( t “) ，矿 口= 2 n n ( 2 1 6 ) l 万r + “，矿口= 2 丹+ 1 沙 函数x ( f ) 具有角度口= p x 2 的广义f o 嘶e r 变换简记为 足。x ( 甜) = f ，x ( 却) = j 。( ) 广义f o u r i e r 变换具有以下最基本的性质： ( 1 ) 广义f o u r i e r 变换为线性算子； ( 2 ) f o 【x ( f ) 】= f 1 x ( ，) 】_ r ( f ) ( 恒等变换) ： ( 2 1 7 ) 西北工业大学硕士学位论文 ( 3 ) f 1 【x ( f ) 】：f 5 i x ( t ) 】= x 0 控制着高斯波形的形状，即尺度参数。通 西北工业大学硕十学位论文 帚矍求小扳包具有单位琵重，卑位能量的葡新小缓包由p 式定义 鼠胁叩( ，) = 丽1 e x p 吒1 ( t - t ) 2 e x p ( - ，2 坑f ) 2 丽1 唧( _ 圭( 考专) 2 】e 嘶z 荆) 汜z s ， 其中，a t = b 。将高斯小波包加以推广，便得到高斯线调频小波包( g a u s s i a n c h i r p l e tp a c k e t ) g f 1 ，oq ( “) 2 丽1 e x p ( 【一圭( 2 例e x p ( 胁( q t 2 + 脚 ( 2 2 6 ) 其中，q r 代表线性调频斜率，l o g ( 廿) 为对数时宽。调频斜率g 可正可负。 把高斯部分了彘e x p ( 卜1 t - t , 2 + 砷】看作一复包络，并对线性调频信号 e x p ( j 2 t c ( q t 2 + l o 的幅度进行调制。则小波可以看作是调频斜率为零的线调频小波， 线性调频波则是窗函数无穷大的线调频小波。 基于上面定义的线调频小波，可得短日寸 f o u r i e r 变换和小波变换的内积表示法 s t f t ( t ，厂) = ( s ( “) g ，0 n 。( “) ) w t ( t ，口) = ( s ( “) ，6 f l g 驰a 。( “) ) 略作推广，则可得到c h i r p l e t 变换的内积表示 g c t ( t ，) = ( j ( “) ，g “蛳”，。o ) ) 2 志“咖十圭瞄) 2 卜胁c 肌妇协c z z ， 由于它是利用高斯线调频小波包得到的变换，故称作高斯线调频小波变换 ( g a u s s i a nc h i r p l e tt r a n s f o r m ) 。函数g 被称作线调频母波，即产生线调频小波的 母礅变换融1 丑1 ( 百u - t j 、2 卜胁( 扣姆2 ) 可视为三个核函数的输核 西北工业大学硕士学位论文 函数e x p l 圭【专) l 相当于小波变换中的高斯小波核函数，而e x p u 2 疵) 是f o u r i c r 变换的核函数，e x p ( j 2 7 r q u 2 ) 则为解线调的核函数。 从非平稳信号表示的角度讲，s t f t 是一种时频表示，w t 是一种变型的时频表 示时间一尺度表示，它们都是非平稳信号的二维平面表示。相比之下，c h i r p l e t 是非平稳信号的四维空间表示。因此，c h i r p l e t 变换不仅可以提供分析短时f o u r i e r 变 换和小波变换的统一框架，而且还能针对具有某些特殊性质的非平稳信号，提供新 的信号表示的设计思路与方法口1 9 习。本文提出的自适应高斯线调频小波信号展开 ( a d a p t i v ec h i r p l e ts i g n a le x p a n s i o n ，a c s e ) 方法就是其中一种。 2 2 自适应信号展开理论 张成h i l b e r t 空l 司的任意信号集称为完备的基集，集合内的每一个信号称为基函 数。