（微电子学与固体电子学专业论文）pg网的irdrop压降和热可靠性分析.pdf

摘要 摘要 随着芯片设计进入超深亚微米和纳米技术领域，芯片的集成度越来越大，布 线层数越来越多，p g 网的规模日益庞大复杂，p g 网上承载的电流也越来越大。 这将使p g 网的信号完整性和热可靠性问题更加严重，越来越引起人们的关注。 本文将重点研究m e s h 状p g 网的静态i r d r o p 压降和热可靠性，并用c 语 言编制可以快速求解p g 网节点电压和导线温度的源程序。在静态i r d r o p 压降 的研究中，本文使用p g 网系数矩阵的自动生成和压缩存储技术来减小内存占用， 提高求解速度，并分别使用c g ，b c g 和i c c g 法求解节点电压，比较了三种方 法的优劣。在热可靠性的研究中，本文研究了考虑温度因素的电迁移约束问题， 得出最大电流密度由电迁移效应和自加热效应共同决定的结论，并深入研究了自 加热效应引起的p g 网温度升高和分布情况。根据p g 网的结构特点，为p g 网 构建了从保守到精确的热学模型，考虑了通孔散热以及相邻导线的热耦合。通过 引入通孔调制因子归纳了通孔散热的作用，通过引入等效热传导系数包含了相邻 导线热耦合的影响，简化了温度的求解。为了搜寻p g 网上存在的热点，提出了 p g 网的温度求解策略。 经实验证明，该源程序能够快速精确地求解节点电压，并能够根据所选热学 模型求解导线温度，所得结果较好地反映了p g 网的温度分布情况。所提出的温 度求解策略缩短了热点的搜寻时间，为芯片设计节省了宝贵的时间。 关键词：静态i r - d r o o热可靠性电迁移效应自加热效应 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ec h i pd e s i g ni n t ot h eu l t r a - d e e ps u b - m i c r o na n dn a n o t e c h n o l o g yd o m a i n ， t h ei n t e g r i t ya n dm e t a ll a y e r so fc h i pi n c r e a s e ，p gn e t w o r kb e c o m e sl a r g e ra n dm o r e c o m p l e x ，a n di tc a r r i e sb i g g e rc u r r e n t t h i sm a k e st h es i g n a li n t e g r i t ya n dt h e r m a l r e l i a b i l i t yp r o b l e m so fp gn e t w o r km o r es e r i o u s ，s ot h a ti tb e c o m e s a na t t r a c t i v et o p i c i ni cd e s i g na r e a t h i st h e s i sf o c u s e so nt h es t a t i ci r - d r o pa n dt h et h e r m a lr e l i a b i l i t yo fm e s h - - l i k e p gn e t w o r k ，a n dm a k e sas o u r c ec o d ew i t hcl a n g u a g et oq u i c k l ys o l v en o d ev o l t a g e s a n dw i r et e m p e r a t u r e i nt h es t u d yo fs t a t i ci r - d r o p ，t h em a t r i xa u t o g e n e r a t i o na n d c o m p r e s s i o nt e c h n i q u ei su s e dt or e d u c em e m o r yo c c u p a t i o na n di n c r e a s et h es p e e do f s o l v i n gn o d ev o l t a g e s t h ea l g o r i t h m so fc qb c ga n di c c ga r eu s e dt os o l v en o d e v o l t a g e s ，a n dt h er e s u l t sa r ec o m p a r e de a c ho t h e r i nt h es t u d yo ft h e r m a lr e l i a b i l i t y , c o n s i d e r i n gt h ec o n s t r a i n to fe l e c t r o m i g r a t i o nd e p e n d i n go nt h et e m p e r a t u r e ，t h e m a x i m u mc u r r e n td e n s i t yi sd e t e r m i n e db yt h ee l e c t r o m i g r a t i o na n ds e l f - h e a t i n g e f f e c t s a l s oa l li n - d e p t hs t u d yo ft h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o no fp gn e t w o r kc a u s e d b yt h es e l f - h e a t i n ge f f e c ti sp r e s e n t e d a c c o r d i n gt ot h ep gn e t w o r ks t r u c t u r e ，t h e t h e r m a lm o d e l sf r o mt h ec o n s e r v a t i v et ot h ep r e c i s ea r ed e v e l o p e d ，t a k i n ga c c o u n to f t h ec o o l i n gt h r o u g hv i s a ，a sw e l la st h et h e r m a lc o u p l i n go fa d ja c e n tw i r e s w i t h i n t r o d u c i n gv i am o d u l a t i o nf a c t o r , t h ec o o l i n go fv i a si sc o n t a i n e da n di n t r o d u c i n g e q u i v a l e n tt h e r m a lc o n d u c t i v i t y , t h ee f f e c to fa d ja c e n tw i r e si si n c l u d e d i no r d e rt o s e a r c hf o rh o ts p o t so fp gn e t w o r kq u i c k l y , as t r a t e g yt os o l v et h et e m p e r a t u r ei s p r o p o s e di nt h i st h e s i s t h ee x p e r i m e n tp r o v e st h a tt h es o u r c ec o d ec a l ls o l v et h en o d ev o l t a g e sq u i c k l y a n dp r e c i s e l y , a n dt h ew i r et e m p e r a t u r ei sa c q u i r e db yp r o p o s e dt h e r m a lm o d e l s t h e r e s u l t s s u i t a b l yd e m o n s t r a t et h et e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n o fp gn e t w o r k t h e a l g o r i t h ms t r a t e g i e sf o rs o l v i n gt e m p e r a t u r er e d u c et h es e a r c ht i m ef o rh o ts p o t s ，a n d s a v ev a l u a b l et i m ei nt h ec h i pd e s i g n k e yw o r d s ： s t a t i ci r - d r o p t h e r m a lr e l i a b i l i t y e l e c t r o m i g r a t i o ne f f e c t s e l f - h e a t i n ge f f e c t 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后应遵守此规定) 太 答名为弛豸 本人签名：望：坠至 导师签名：二孬l 扯 导师签名：z 乏囱 日期： 日期： 第一章绪论 第一章绪论 1 1p g 网的研究意义 随着半导体工艺技术的不断进步，芯片的设计规模越来越大，特别是进入 0 1 8 1 t i n 以下后，已经可以在一个芯片上实现几亿个晶体管的设计规模。到目前为 止，电路的规模可达几百万门甚至几千万门。整个金属互连线系统也变得同趋复 杂，除了互连线本身日益变细外，金属布线的层数也由0 2 5 9 m 工艺的四层发展 到0 1 i t m 工艺的八层至十层。当晶体管特征尺寸大于0 3 5 9 m 时，门延迟远大于 互连线延迟，进行芯片设计和验证时忽略了引线电阻、电容和电感引起的寄生效 应，不考虑互连线延迟，将互连线视为理想导线。但是，随着特征尺寸的减小和 多层布线技术的广泛应用，超大规模集成电路( v l s d 的布线密度不断增大，互连 线的平均长度迅速增加，单位长度的电阻增加，并且电路工作频率也在不断提高， 金属互连线系统会遇到很多问题：寄生r l c 效应，信号延迟及串扰，功耗，散热 以及可靠性问题等。为了提高集成电路的性能，在金属互连问题上采取的主要措 施有以下几个方面： 1 ：采用低介电常数材料代替传统的s i 0 2 以减小寄生电容； 2 ：采用低电阻率材料作为传输线来代替传统的a l 金属以减小电阻； 3 ：对金属互连的几何参数进行优化以满足电特性及热特性等方面的要求。 随着金属线尺寸的变细和低介电常数材料的采用，v l s i 电路中由于金属布线 而产生的热问题也变得尤为突出。由于传输线上的焦耳热必须通过电介质传导到 硅衬底以避免器件的误操作甚至失效，采用介电常数低的材料通常也具有较低的 热导率，这就意味着金属互连系统存在着严重的散热问题。因此，必须对金属互 连系统存在的热问题进行建模和数值模拟分析，从而得到比较贴近实际的金属连 线温度分布，最终得到与该温度分布相关的电路性能分析以及可靠性诊断结果， 以便在集成电路芯片投片前进行最后的调整和修改。 电源地线网( p o w e r g r o u n d ) 作为芯片的供电网络，是两条几乎涉及整个芯片 的全局线网，实现了从芯片各压焊点到芯片内部各功能模块的供电，其电性能、 热可靠性和御线面积会对整个芯片产生直接的影响。在布线中首先要考虑电源 地线网的布线，然后再考虑时钟线、信号线的布线。因此在芯片的布图规划和布 局完成之后，总体布线之前就应进行电源地线网络布线。随着芯片设计的规模越 来越大，p g 网的结构日益复杂，平均长度越来越长。电流流经电源地线网时会 产生电压降，过大的电压降会导致电源电压波动、噪声容限减小、门延迟增加、 2 p g 网的i r d r o p 压降和热可靠性分析 开关速度降低、逻辑功能失效等一系列不良后果。由于p g 网要为各功能模块供 电，流经p g 网的电流比较大，而且p g 网一般布在金属层的最上面两层，远离 紧接散热器的衬底，不容易散热，由自加热效应产生的功耗会使p g 网的温度升 高。如果p g 网上形成热点，那么热点处的导线寿命减小，可能提前熔断。这将 使p g 网不能为电路模块提供稳定合格的电压，使芯片的逻辑功能发生错误，甚 至提前失效。p g 网能否为各电路模块提供稳定合格的电压且不存在热点将直接 关系到电路的性能和可靠性。因此，p g 网的电特性和热特性的分析研究显得尤 为重要。 1 2p c 网研究的主要内容和困难 国内外对p g 网的研究越来越深入，主要集中在信号完整性和可靠性两个方 面。在信号完整性方面，主要是对p g 网节点压降的分析研究。通过建立p g 网 的等效数学模型，求解节点电压，并对全部p g 网节点的电压降进行分析和验证， 找到可能引起p g 网信号完整性问题的节点，以便通过重新布线或进行线宽优化 等方法解决这些问题。其中i r d r o p 压降的研究已经成为p g 网分析的热点和难 点。由于p g 网规模巨大，有数百万到上亿个节点，通用的电路模拟工具( 如h s p i c e ) 根本不可能完成如此庞大的线网分析，并且网络中存在很多非线性开关器件，网 络中电压和电流的分布都依赖于控制器的指令，这些问题都给p g 网电压降的分 析带来了很大的困难。目前p g 网r d r o p 分析方法主要是在求解速度、求解精 度和内存占用三个方面折中。 在可靠性方面，主要集中在电迁移问题的研究上。在传统的p g 网设计中， 都会设定一个最大电流密度，以使导线满足电迁移约束。最大电流密度的设定没 有考虑温度对电迁移约束的影响，而是假设整个p g 网的温度为衬底温度。然而， 随着超深亚微米和纳米技术时代的到来，p g 网的功耗越来越大，p g 网相对于 衬底温度的升高己不可忽略，而且温度分布极不均匀。此时，必须仔细研究温度 对电迁移约束的影响，这就是p g 网的热可靠性分析。由电迁移约束设定的最大 电流密度是温度的函数，需要根据各导线的电流密度计算出各导线的温度，然后 根据温度分布计算出各导线所允许的最大电流密度。因此，最大电流密度是由电 迁移效应和自加热效应共同决定的，求解p g 网的温度分布成为热可靠性分析的 关键。为p g 网构建合适的热学模型是求解导线温度的关键，也是热可靠性分析 中的热点和难点。热学模型的构建必须考虑每根导线的周围环境，需要考虑通孔 的散热作用以及相邻导线的热祸合，才不至于使求得的温度过于保守。在多层布 线技术广泛应用的情况下，p g 网热学模型的构建越来越复杂。p g 网规模巨大， 导线数量众多，为每根导线逐一构建精确的热学模型是不现实的，会占用很多时 第一章绪论 间，延长芯片设计周期。而保守的热学模型虽然能够广泛适用于每根导线，但是 求得的温度过于保守，会占用更多的芯片面积。因此，热学模型的构建需要在时 间和面积之间折中。 总之，p g 网信号完整性和热可靠性的研究已经成为芯片开发中的热点和难 点，而且在国内外科学家的共同努力下取得了很大的进展。 1 3 本论文的主要工作 本论文在广泛研究国内外的最新研究成果的基础上，对m e s h 状p g 网的信 号完整性和热可靠性进行了深入的分析和研究。在信号完整性方面，重点分析研 究了静态i r d r o p 压降。建立了p g 网的等效数学模型，研究了系数矩阵的自动 生成和压缩技术以及超大规模线性方程组的求解方法。在热可靠性方面，研究了 电迁移效应和自加热效应以及p g 网温度分布的求解方法。本文的结构安排如下： 1 第二章首先介绍p g 网的拓扑结构以及影响信号完整性的主要噪声源，然 后对p g 网的i r d r o p 噪声进行了深入的分析研究。 2 第三章主要研究p g 网节点电压的求解方法。介绍了p g 网的化简方法和 系数矩阵的压缩存储技术，分析比较了c g ，b c g 和i c c g 三种求解节点电压的 算法。 3 第四章首先分析p g 网的热可靠性，深入研究了电迁移效应和自加热效 应，然后介绍p g 网热学模型的构建方法，最后提出缩短热点搜寻时间的温度求 解策略。 4 第五章为实验结果，本文用c 语言编制了可以求解p g 网节点电压和导线 温度的源程序，并使用该源程序对一个使用i t r s ( i n t e m a t i o n a lt e c h n o l o g y r o a d m a pf o rs e m i c o n d u c t o r ) 1 0 0 n m 工艺实现的l o x l 0m e s h 状p g 网进行了节点 电压和导线温度的求解，对求解结果进行了分析。 第二章p g 网的信号完整性分析 2 1p g 网的基本拓扑结构 p g 网有三种基本拓扑结构：树( t r e e ) j g 、n ( m e s h ) 状和带回路的一般图结构。 l 树状结构 0 4 56t 图2 1 树状结构 图21 所示为树状结构，根节点0 代表电压源压焊点伊a d ) ，叶子节点( 4 、5 、6 、 7 ) 代表各电路单元的电源引脚，其它节点( i 、2 、3 ) 代表分支点。电流从根节点流 入各分支点，最终流入各叶子节点，为各电路单元供电。 2 网状结构 图22 网状结构 网状结构如图2 2 所示，不同金属层的供电线水平垂直交错，交叉处通过通 孔连接，构成一个网状结构。最上面的供电线与电源p a d 连接，通过隔层通孔为 集成在村底中的电路模块供电。由于每个交叉节点至少有4 条支路同时供电因 此m e s h 状p g 网的可靠性比较高。m e s h 结构比t r e e 结构要复杂的多，但它能 保证稳定可靠的供电电压，本文主要对m e s h 状p g 网进行分析研究。 第二章p g 网的信号完整性分析 3 带回路的一般图结构【4 3 】 i2 匿= = 1 5 1 8 1 1 2 1 。3 二二_ | p1 气 1 6 1 ；1 7 ” 3 1 5 9 6 1 8 图2 3 带网路的一般图结构 带回路的一般图结构由手工布线产生，布线灵活，节省芯片面积，但是没有 一定的规律，难以分析处理，往往用在对布线面积有较高要求的场合。 2 2 影响p g 网信号完整性的主要噪声源 图2 4 所示为p g 网的结构模型，v d dg r i d 为电源网格，g n dg r i d 为地线 网格，p a c k a g e 为封装引脚。由于p g 网上寄生r l c 效应的存在，在电源p a d 和 电路模块之间存在着电压降损失a v ，各电路模块并不能获得理想的电源电压 v d d 和v s s 。 矿 v 图2 4 p g 网的结构模型 造成电压降a v 的主要原因可以表示为：a v = 职+ l d i d t ，其中，r 和l 分 别为金属互连线的阻抗和电感。因此，影响p g 网信号完整性的主要因素有两个： i r - - d r o p 和l d i d t 噪声。通常的集成电路设计中，i r d r o p 噪声发生在芯片内部， 而l d i d t 噪声多数发生在封装引脚处。 1 i r - - d r o p 噪声 当电流流经互连线时，由于互连线阻抗的存在，互连线上会产生一定的压降 瓜，称之为i r d r o p 压降。由于p g 网为全局网，平均长度大，而且承载着较大 n lliliiljj 鳓 ”k ：l 瓣 6 p g 网的i r d r o p 压降和热可靠性分析 的电流，因此p g 网上的i r d r o p 压降较为严重。i r d r o p 既是全部问题，又是局 部问题。它的局部性表现在：当某一区域的门同时开关时，在那个区域就会产生 很大的电流，从而导致很大的i r d r o p 压降；另一方面，如果电源网格上某处的 电阻很大，也会在该处产生很大的i r d r o p 压降。 i r d r o p 压降减小了门的噪声容限，同时降低了门的驱动能力，增加了门的延 迟。一般情况下，5 的电压降会引起1 5 以上的延迟，这出现在关键路径( c r i t i c a l p a t h ) 上是相当可怕的事。i r d r o p 压降已经成为p g 网信号完整性分析的最主要 问题。 2 l d i d t 噪声 造成电压降a v 的另一个原因是封装引脚上的电感。由于封装引脚电感效应 的存在，瞬态电流的变化会在芯片外部和芯片内部的电源电压之间产生一个电压 差l a i d t ，这就是l d i d t 噪声。电感l 在最近几年并没有明显的变化，一般在1 0 n i l 和2 0 n h 之间，但d i d t 一直在增加，同时供电电压一直下降，因而l d i d t 压降对 整个电压降的影响也很大，而且是一个动态的现象。 2 3p g 网的ir - d r o p 分析 2 3 1p g 网i r d r o p 分析的模型 进行i r - d r o p 分析时，首先要根据p g 网的拓扑结构建立p g 网的等效电路 模型，选用适当的方法压缩化简后，利用改进节点法( m n a 法) 建立p g 网的等效 数学模型，即建立求解p g 网节点电压的线性方程组。 i r d r o p 分析有两类：瞬态i r d r o p 分析和静态i r d r o p 分析。瞬态i r d r o p 分析时，由于p g 网的非线性，一般先用模拟仿真软件对需要供电的电路模块进 行非线性模拟，得到电路模块的等效时变电流源模型，并利用参数提取工具提取 p g 网的寄生r l c 参数。将各电路模块等效为独立时变电流源，将供电电压源等 效为恒定电压源，将金属连线和通孔等效为由电阻、电感和电容构成的线性无源 网络，整个p g 网就成为一个含恒定电压源和独立时变电流源的r l c 线性网络， 如图2 5 所示。 第二章p g 网的信号完整性分析 7 图2 5p g 网的r l c 模型 可用改进节点方程( m n a 方程) 来描述p g 网的时域特性： g x ( f ) + c x o ) = 6 0 ) ( 2 - 1 ) 其中，g 为节点电导矩阵，c 为由电容和电感形成的导纳矩阵，x ( t ) 为节点电压， b ( t ) 是由独立时变电流和流经电压源的电流生成的矢量阵。式( 2 1 ) 是非线性的，需 要将其转化为线性方程组。设h 为固定时间步长，用后向欧拉方法可将式( 2 1 ) 转 化为一阶差分方程组： ( g + c h ) x ( ，) = 6 0 ) + c h x ( t - h ) ( 2 - 2 ) 式( 2 2 ) 就是对p g 网进行瞬态分析的线性方程组，即p g 网的等效数学模型。可 见，瞬态i r d r o p 分析时，p g 网是电阻一电感一电容( r l c ) 模型。由于电感效应 主要发生在封装引脚处，在芯片内部并不严重，因此瞬态i r d r o p 分析经常忽略 电感效应，将p g 网等效为电阻一电容( r c ) 模型，如图2 6 所示。 静态i r d r o p 主要分析由峰值电流或平均电流引起的p g 网上的电压降，峰 值电流下的i r - d r o p 分析是最坏情况分析，而平均电流下的i r d r o p 分析是瞬态分 析的基础，其分析结果作为瞬态分析的初始解。静态i r d r o p 分析时，所有的电 容都视为开路，所有的电感都视为短路，p g 网等效为个含有独立恒定电流源 和恒定电压源的纯电阻网络，如图2 7 所示。静态i r d r o p 分析可用下式描述： g z = b ( 2 3 ) p g 网的i r d r o p 乐降和热可靠性分析 图2 6p g 网的r c 模型 p l y 图2 7p g 网的纯电阻模型 由于p g 网规模巨大，有数百万到上亿个节点，而且网络中存在多个非线性 开关器件，因此式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 实际上是描述p g 网电特性的超大规模线性方程 组，即p g 网的等效数学模型，对p g 网的i r d r o p 分析就是要快速求解超大规 模线性方程组。本文主要研究在各电路模块同时工作且吸纳峰值电流的情况下 m e s h 状p g 网的静态i r d r o p 压降，这是一个最坏情况分析，其分析方法也完全 适用于平均电流下的i r d r o p 分析。 2 3 2w g 网模型的特点 m e s h 状p g 网的电导矩阵g 有以下特型2 9 】： 1 规模较大。p g 网规模巨大，结构复杂，节点数众多，而电导矩阵g 的阶 第二章p g 网的信号完整性分析 9 数与p g 网的节点数相等。 2 非奇异。所求方程组是针对实际问题的，因此该方程组一定有解，且解是 唯一的。 3 稀疏。每个供电节点一般只与几个电阻相连，因此该矩阵各行各列上仅有 几个非零元素，绝大部分都是零元素。存储矩阵g 时，可以只存储非零元素，这 样可以节省内存空间，而且只需处理非零元素，可以加快运算速度。 4 实对称。电阻是没有极性的，节点a 到b 与b 到a 的电阻相等，反映到 系数矩阵g 中就是g i j = g 洳即g 为对称阵。 5 弱对角占优。 6 正定。根据定理，满足4 和5 的矩阵就是正定阵。 7 g x = b 的b 阵中，有几个求解点就有几个非零元，而且对应节点就是所要 求其电压的节点，也是求其与参考点之间的电阻的那个节点。这是因为只有求解 节点有假定的电流输入，而其他节点输入电流都为零。 根据系数矩阵g 的这些特征可以把求解问题简化，并选择适当的算法来求解 p g 网的节点电压。 2 3 3p g 网i r d r o p 分析的步骤 p g 网i r d r o p 分析的步骤如下： 1 利用模拟仿真软件对各电路模块进行模拟分析，得到各电路模块的等效电 流源模型，并用寄生参数提取工具( 如s t a r r c x t ) 提取p g 网的寄生参数； 2 根据p g 网的拓扑结构，建立p g 网的等效电路模型，并利用适当的方法 化简p g 网； 3 为p g 网建立等效数学模型，即利用改进节点法( m n a ) 建立求解p g 网节 点电压的线性方程组； 4 根据p g 网系数矩阵的特征，选用合适的方法求解节点电压，并根据电压 降约束条件寻找出可能使电路发生逻辑错误的坏点。 2 4 本章小结 本章主要对p g 网的信号完整性进行了分析概述。 首先，介绍了p g 网的三种基本拓扑结构：树状、网状和带回路的一般图结 构。 其次，研究了影响p g 网信号完整性的两种主要噪声源：i r d r o p 和l d i d t ， 并解释了这两种噪声的产生原因。 l o p g 网的i r d r o p 压降和热可靠性分析 最后，重点分析了其中的i r d r o p 压降。描述了i r d r o p 压降的瞬态分析模型 和静态分析模型，归纳了模型的特点，并介绍了p g 网i r d r o p 分析的步骤。 第二章p g 网节点电压的求解 第三章p 6 网节点电压的求解 3 1p g 网的化简 化简p g 网的等效电路模型，可以减小所求解方程组的规模，降低电压求解 的难度。此外，对网络进行分析时，有时只需分析网络的一部分，因此只需求解 该部分网络的节点电压，并不需要求解全部的节点电压，在这种情况下应该将不 需要分析的网络部分化简掉。本节主要介绍p i g 网的串并联压缩和y 一形电路 的转换方法。 1 网络的串联压缩 - n n 图3 1 串联压缩前 图3 1 中，在交叉节点n 1 和n n 之间，电阻r l 一碥1 串联，电流源1 1 1 1 1 分布在 2 个交叉节点和n 一2 个中间节点上。如果只需求解交叉节点n l 和n n 的电压，那 么可以将节点n l 和n n 之间的电路串联压缩，将串联电阻用一个等效电阻r s 来代 替，并将中间节点上的电流源等效到交叉节点上，由此可得到化简后的等效电路， 如图3 2 所示。 r n r n + 2 图3 2 中的等效参数值为： 一 ： 图3 2 串联压缩后 n - i r = r i i = l ( 3 1 ) 1 2 p g 网的i r d r o p 压降和热可靠性分析 2 网络的并联压缩 r 1 。艺尺 小善等， 。兰q 。荟争， - n n r n lr n ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) 图3 3 并联压缩前 图3 3 中，电阻r l r k 并联，可以将它们并联压缩，压缩后并不会影响交叉节 点n 1 的电压值，并联压缩后的电路如图3 4 所示。 r sr k + l r k + 2r k + 3 r n 一1 r n 等效电阻r s 为： -_ n n 图3 4 并联压缩后 去2 百1 + i 1 + + 瓦1 圭i = 1 1 1 击 ( 3 - 4 ) = + + + 一 f 3 4 r蜀恐r- r 、7 r ，= t ( 3 5 ) y 二 智尺f 3 y - 形电路的转换 图3 5 所示为y 一形电路的转换方法，通过y 一转换可以压缩掉y 形电路中 的x 节点，这一转换是没有误差的等效转换。理论上，y 一转换能消除所有连接 度3 的无源节点。 第三章p g 网节点电压的求解 1 3 a y 一转换的公式为： b a r a 图3 5y _ 形电路的转换 r a b 盟等出 耻盟学 = 盟半 r a b 3 2p g 网系数矩阵的存储 c c ( 3 6 ) p g 网的系数矩阵是超大规模稀疏矩阵，因此只需存储非零元素值和索引信 息，即每一个非零元素在矩阵中的地址。这样做的优点有： 1 节省内存空间，使得超大规模稀疏矩阵能存储在有限的内存中。 2 只需对非零元进行操作，涉及零元的操作可以不执行，从而提高了求解速 度。 本文采用按行索引的一维存储结构来存储p g 网的系数矩阵g ，使用一维实 型数组s a 来存储每行的非零元素和对角元素，在实型数组s a 中为每行分配r 个 存储单元，并将对角元素作为起始存储值，该行的其他非零元素按列标的大小依 次存储，不足的部分填零：使用一维整型数组i i a 来存储对应元素的列标。 下面的例子说明了这种p g 网系数矩阵的存储方法，考虑矩阵： g = 5o1oo o6 ooo 0 3 7 20 o 0 oo5 0o 07 8 为每一行分配3 个存储单元，则总共需要1 5 个存储单元来存储矩阵g ，矩阵g 的压缩存储结构如下表： 1 4 p g 网的i r d r o p 压降和热可靠性分析 表3 1 系数矩阵的一维存储结构 位址 l2 3 4 567 891 01 11 2l31 41 5 s a51o6oo732 o5o 87o m j a 13e2ee32445e87e 其中，e 为e m p t y ，表示该存储单元为空。 这样仅用两个数组就实现了p g 网系数矩阵g 的压缩存储，使用对角元素作 为每行的起始存储值，提高了查找速度，进而提高了计算速度，而且方法简单便 于编程。实型数组虽然会牺牲一些存储单元，但换来了计算速度的提高，体现了 内存占用与计算速度的折中。 3 3 求解p g 网节点电压的方法 根据前面给出的p g 网等效数学模型，可以将p g 网节点电压的求解归结为 超大规模线性方程组g x - b 的求解，线性方程组g x = b 的求解方法主要分为两大 类：直接法和迭代法。 直接法是忽略求解过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得线性方程组 精确解的方法。迭代法则是将求解转变为求一个向量序列极限的过程，而这个向 量序列是由具有同一形式的所谓迭代过程产生的。例如，根据线性方程组g x = b ， 设计出一个迭代公式，首先任意选取一个初始向量x o ，将x o 代入迭代公式，求出 x l ，再将x l 代入同一迭代公式，求出x 2 ，如此反复迭代，就得到一个向量序列： x o ，x l ，x k ，。如果： ! i m 五2 z ( 3 - 7 ) 则x 木就是原方程组的解。 直接法会破坏系数矩阵的稀疏性，使得存储量大为增加，并且程序较复杂， 它只适用于低阶方程组的求解；迭代法适用于高阶方程组的求解，占用的存储空 间较小，程序较简单，但是计算量较大。对于p g 网静态i r d r o p 分析问题，由 于方程组往往是上百万阶的，因此求解p g 网线性方程组只能采用迭代法。下面 将主要介绍p g 网静态i r d r o p 分析中常用的c g 法，b c g 法和i c c g 法。 3 3 1 最速下降法 最速下降法是c g 法的基础，因此先讨论最速下降法的基本思想是非常必要 的。为了求解线性方程组g x = b ，首先构造二次泛函f ( x ) ： 第三章p g 网节点电压的求解 f ( x ) = - g ( x ，g x ) - ( b ，x ) ( 3 - 8 ) 在式3 8 中，符号( ，) 代表向量的内积运算。那么，求解方程组g x = b 的问题可 以转化为求解函数f ( x ) 极小值的问题，即求解v f ( x ) = 0 。如果f ( x 宰) 为f ( x ) 的极 小值，则x 宰就是方程组g x = b 的解。迭代法首先将方程组的求解转换为泛函极 小值的求解，然后使用迭代的方法去求极小点。 最速下降法是以负梯度方向作为每次迭代的搜索方向，f ( x ) 的负梯度方向可 以表示为： 一v f ( 工) = b g x( 3 - 9 ) 负梯度方向一vf ( x ) 是函数f ( x ) 在点x 处下降最快的方向。设x k 是x 奉的近似 值，则可利用最速下降法使x k 沿着负梯度方向逼近x 宰。在一v f ( x k ) 方向上把x k 移动一定的步长k v f ( x k ) ，得到x k + l ： 讫+ l = 一以v f ( x i ) ( 3 1 0 ) 选取合适的步长因子k ，使f ( x k + 1 ) 取极小值，x k + l 即为更接近的近似值。札的选 取公式为： 五。万( r k , 丽r k ) ( 3 - 1 1 ) i 兀u ，ll 其中： r k = 一w ( 也)( 3 1 2 ) 设x o 为初始猜测值，将其带入迭代公式( 3 1 0 ) 便可得到x 1 ，再将x l 代入迭代 公式得到x 2 ，依次反复迭代，便可得到点列x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，x k ，这个点列沿 负梯度方向逐渐逼近极小点x 母。假设为迭代精度，当0r k0 时，此时相应的 x k 即为所求的解。 最速下降法往往在最开始的几步迭代中表现出优越性，但在极小点附近收敛 得很慢，从表面上看，这似乎与“最速下降”矛盾，其实不然。因为梯度是函数的 局部性质，方向一v f ( x k ) 只是最优点x k 处的最速下降方向，从局部看在一点附近 下降得快，但从整体上看可能要走许多弯路。实际上，在最速下降法中，相邻两 次的搜索方向是正交的。因此，在极小点附近，最速下降法产生的点列逼近极小 点的速度越来越慢。 3 3 2c g 法 c g 法的基本思想是：把共轭与最速下降法相结合，利用已知点处的梯度构 1 6 p g 网的i r d r o p 压降和热可靠性分析 造一组共轭方向，并沿着这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。因此c g 法可看作是最速下降法的改进。 c g 法是全局收敛，收敛速度较快，而且具有二次终止性，对于n 阶正定对 称矩阵g ，c g 法理论上最多迭代n 次就收敛，若g 的条件数c o n d ( g ) 很小，迭 代次数将远小于n 。c g 法每次迭代只需存储若干向量，内存占用较小。但是，由 于计算误差的存在，c g 法并不能保证算法有限步终止，有时需迭代n 次后重新 开始迭代。 c g 法迭代步骤为： 1 赋初值x o ，k - - 0 ： 2 计算r o = 6 6 x o ； 3 计算i l r o l l ，若怖i l ，停止迭代。否则，p o = r o ，肪= 0 ，k = 1 ； 4 计算 2 赢p k - i x k2 x t l + 口a p i i r k2r k l 一口t 和 一l 5 计算i l r k l l ，若帆i | 冬，停止迭代。否则，转4 。 3 3 3i c c g 法 i c c g 法即不完全c h 0 1 e s k y 分解共轭梯度法，将不完全的l u 分解和c g 法 结合起来。i c c g 法先对方程组的系数矩阵g 和右端项b 进行预处理，降低系数 矩阵g 的条件数，然后将预处理后的系数矩阵代入c g 算法中进行运算。当g 为 对称矩阵时，l u 分解为l l t 分解，即g = l l t 。i c c g 算法适于求解大型有限元 方程组，该方法需要的迭代次数少，收敛快。 i c c g 法迭代步骤为： 1 赋初值x o ，k = 0 ； 第二章p g 网肖点电压的求解 1 7 2 计算= 6 一血o ，p o = ( l l r ) 。1 ，o ； 3 计算l l r o l l ，若i | ，停止迭代。否则，转4 ； 4 计她= 学 x k + i2x k + qk p t 5 计算t l l r k + i l l ，若i | r k + 1 | i ，停止迭代。否则，转6 ； 6 计算屈= 爿筹等 p = ( 口) 一，“1 + 反p 7 k = k + 1 ，转4 。 3 3 4b c g 法 b c g 法以c g 法为基础，采用了两组共轭向量作为搜索方向，具有运算量小， 收敛快等突出优点，而且不需要求逆矩阵，节省了内存。当系数矩阵为非对称阵 且求解节点数较多时，b c g 法的收敛速度更快。 b c g 法的迭代步骤为： 1 赋初值x o ，k - - o ； 2 计算r o = b a x o ，p ：= 菇= p o = r o ； 3 计算i l r o l l ，若i l r o l l _ _ 6 ，停止迭代。否则，转4 ； 4 计算铲器 t l = r k + 一口i a7 p ：噍+ l 2 一口i 5 计算l i r k + l i i ，若i l r k + t l l _ _ ，停止迭代。否则，转6 ； 6 计算孱= 锗 p g 网的i r d r o p 压降利热可靠性分析 p = r k + l + 鼠p p k + + 。= 以。+ 反p ： 7 k = k + 1 ，转4 。 3 4 本章小结 本章首先介绍了p g 网的化简方法，研究了串并联压缩和y - 形电路的转化。 通过压缩p g 网可以简化网络，减小所求解方程组的规模，降低电压求解的难度。 其次，研究了p g 网系数矩阵的压缩存储方法。根据p g 网系数矩阵的特点， 提出了按行索引的一维存储结构。将系数矩阵压缩到两个一维数组中，一个数组 为实型数组，存储系数矩阵中的非零元素和对角元素；一个数组为整型数组，存 储对应元素的列标。系数矩阵的压缩存储可以减小内存占用，并提高求解速度。 最后，重点研究了p g 网节点电压的求解方法。介绍了直接法和迭代法，并 对c g ，b c g 和i c c g 三种迭代算法进行了重点研究，给出了三种算法的思想和 迭代步骤。 第四章p c 网的热可靠性分析及温度求解 1 9 第四章p 6 网的热可靠性分析及温度求解 4 1 电迁移效应和自加热效应 4 1 1 电迁移效应 随着芯片集成度的提高，p g 网所承载的电流密度越来越大。在较高的电流 密度作用下，导线中的金属原子将会沿着电子运动方向进行迁移，这种现象就是 电迁移( e m ) 。电迁移能使p g 网在工作过程中产生断路或短路，从而引起芯片失 效，其表现为：( 1 ) 在导线中形成空洞，增加了电阻；( 2 ) 空洞长大，最终贯穿导 线，形成断路；( 3 ) 在导线中形成晶须，造成层间短路；( 4 ) 晶须长大，穿透钝化 层