（计算数学专业论文）局部lagrange数值微分法研究.pdf

摘要 本文主要研究有关局部l a g r a n g e 数值微分法的一些关键性的理论问题： 公式的显式表示，余项的渐近估计，以及在插值数据有扰动的情况下，局部 l a g r a n g e 数值微分法的最大逼近阶 l a g r a n g e 数值微分法即为求导l a g r a n g e 插值多项式 l ( t ) ：= l ( t ；，瓦) ：= ：6 ( t ) ( t j ) = ( t ) 一r ( ) j = o 得到的逼近导数的方法，这里瓦= 南，t ，k ) 是一组互不相等的节点，而 蚺2 婴( 卜蛐，擀2 蕊 在以前，对于l a g r a n g e 插值，函数逼近论学者和计算数学学者有着迥然不同 的理解前者看插值的收敛过程是指插值次数n 趋向于无穷时的极限过程 但在后者看来，插值的收敛过程是指插值节点的间距h 趋向于零的极限过程 鉴于此，不妨称前一过程为整体的l a g r a n g e 插值，而把后一过程称作局部的 l a g r a n g e 插值 本文利用对称置换群的循环指标多项式将l a g r a n g e 数值微分公式l ( ) 显 式地表示出来而作为基于l a g r a n g e 插值的一种方法，l a g r a n g e 数值微分法也 有整体与局部之别至于整体l a g r a n g e 数值微分公式的余项估计问题己被人解 决，而本文则给出了局部l a g r a n g e 数值微分公式的余项估计，这里尤其需要注 意的是u ( ) ( z ) = 0 时的情形，因为在整体l a g r a n g e 数值微分法中是不存在这种 情况的之后，同样利用循环指标多项式可给出局部l a g r a n g e 数值微分公式余 项的显式表达式这样，就得到了一个包含计算公式和余项表达的完整的局部 l a g r a n g e 数值微分公式 在现实中使用局部l a g r a n g e 数值微分法时，还需要考虑到这样的情况：通 常用来作插值的数据f ( t 。) ( i = 0 ，1 ，n ) 不免会有误差，如果这些误差均不超 摘要 过正数e ，那么就相当于对取自函数集广( z ) 的函数，作插值而用l ( 1 ( 。；f 霸) 逼近，( ( 茁) ，这里 ，5 ( z ) ：= ( 厂l 存在z 的邻域u 使i 厂( t ) 一( t ) l ，v t 吩 插值数据的这种扰动，对七= 0 的情形并不会产生太大影响但是，当k 1 时， 由于分母上胪的作用，数据的e 被放大成e h ，一般说来，l ( 2 ( z ；，瓦) 对 ，( ( z ) 的收敛性就成了问题这就是通常所说的l a g r a n g e 数值微分法的不稳定 性显然，要得到稳定的l a g r a n g e 数值微分法，只要使截断误差与e h 保持同 阶并和它一起趋于零就行关于此，在以前的文献中有过定性的阐述而本文将 对它进行定量的展开，给出带扰动的局部l a g r a n g e 数值微分法的最高精度，即 当e _ 0 时 l ( ( ，5 ( z ) ，l ) ：= s u pl l ( 埘( z ；z 瓦) 一，( 砷( 。) i ，e ( z ) 趋向于零的最大阶从这个结论的证明过程中，不难发现根据扰动界e 和插值次 数n 确定参数h 的较为精确的方法，从而便逼近阶达到最大结合文中给出的显 式表达式，本文还提供了数值例子以验证本文的结论 在考虑一般的等距节点时，附录a 给出了l e b e s g u e 函数在这些节点上的 值，这为计算参数 提供了方便附录b 则列出低阶的完整的l a g r a n g e 数值微 分公式，以及达到最大逼近阶时 的计算公式 关键词：l a g r a n g e 数值微分法，局部估计，最高精度，循环指标，显式表示 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ef o l l o w i n gc r i t i c a lt h e o r e t i c a lp r o b l e m so nl o c a ll a - g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o na r es t u d i e d ：e x p l i c i tf o r m u l a s 1 0 c a le s t i m a t e f o rt h er e m a i n d e ra n dt h eh i g h e s to r d e ro fa p p r o x i m a t i o ni nt h ec a s et h a tt h e v a l u e so ft h ef u n c t i o na tt h e s ei n t e r p o l a t i o nn o d e sh a v ep e r t u r b a t i o n s l a g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o ni s am e t h o dt h a tt h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a l l ( t ) ：= l ( t ；，b ) ：= 0 ( ) 坤，) = 仲) 一r ( ) i sd i f f e r e n t i a t e dt oa p p r o x i m a t et h ed e r i v a t i v e g r o u po fd i s t i n c tn o d e s ，a n d u ( t ) ：= 1 - d 一，) ，o ( t ) ：= i = 0 w h e r er = t o ，t l ，t 。 i sa u ( t ) ( t t j ) w 7 ( t j ) h o w e v e r ，e x p e r t si na p p r o x i m a t i o nt h e o r ya n dc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c sh a v e d i f f e r e n tv i e w so nt h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ：t h ef o r m e rt h i n kt h ec o n v e r g e n c e o fi n t e r p o l a t i o na sap r o c e s sa st h eo r d e r 礼o fi n t e r p o l a t i o na p p r o a c h e st oi n f i t y ， b u tt h el a t t e rt h i n kt h ec o n v e r g e n c eo fi n t e r p o l a t i o na sap r o c e s sa st h ed i s t a n c e hb e t w e e ni n t e r p o l a t i o nn o d e sa p p r o a c h e st o0 h e n c e ，t h ef o r m e rc 8 2 1b ec a l l e d t h eg l o b a ll a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，a n dt h el a t t e rc a d - b ec a l l e dt h el o c a ll a g r a n g e i n t e r p o l a t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o nl a g r a a l g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nf o r m u l al ( ) i se x - p r e s s e de x p l i c i t l yb ym e a n so fc y c l ei n d i c a t o rp o l y n o m i a l so fs y m m e t r i cg r o u p a sam e t h o db a s e do nt h el a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n ，n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o na l s o h a st h ed i f f e r e n c eb e t w e e n ：g l o b a l ”a n d l o c a l ”a sf a ra sg l o b a ll a g r a n g i a n a b s t r a c t n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o ni sc o n c e r n e d ，t h ee s t i m a t ef o rt h er e m a i n d e rh a sb e e n p r e s e n t e d f o rl o c a ll a g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n ，t h ee s t i m a t ef o rt h er e - m a i n d e ri so b t a i n e di nt h i sp a p e r h o w e v e r ，t h ec a s eo fu ( 。) ( z ) = 0i sr e m a r k a b l e b e c a u s ei td o e sn o te x i s ti ng l o b a ll a g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n t h e n ， t h er e m a i n d e ro fl o c a ll a g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o ni sa l s oe x p r e s s e de x - p l i c i t l yb yc y c l ei n d i c a t o rp o l y n o m i a l so fs y m m e t r i cg r o u p h e n c e ，ac o m p l e t e f o r m u l af o rl o c a ll a g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n ，i n c l u d i n gt h er e m a i n d e r ， i sp r e s e n t e d d u r i n gu s i n gl o c a ll a g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n ，t h ef o l l o w i n gs i t u a t i o nm u s tb en o t e d ：t h ed a t af ( h ) ( i = 0 ，1 ，n ) u s e di nt h ei n t e r p o l a t i o n u s u a l l yc o n t a i ne r r o r si f i sap o s i t i v en u m b e rw h i c hb o u n d st h e s ee r r o r s ，t h e n i ta m o u n t st oi n t e r p o l a t i n g ，5 ( z ) f r o maf u n c t i o ns e t 丁a n du s i n g 工( ( z ；工) t oa p p r o x i m a t e ，( 。) ( 写) ，w h e r e ，。( 。) ：= f an e i g h b o r h o o duo f ze x i s t sw i t hl f ( t ) 一，( t ) l 茎e ，v t u ) t h e s ep e r t u r b a t i o n sh a v e1 i t t l ei n f l u e n c ei nt h ec a s eo f = 0 b u ti nt h ec a s e o f 七1t h ep e r t u r b a t i o n o fa n yd a t u mc a nb ea m p l i f i e dt oe - h d u et ot h e e f f e c t ，o ft h es m a l ld e n o m i n a t o rh oi ns u c hac i r c u m s t a n c e ，t h ec o n v e r g e n c eo f u s i n g 工( ( 。；，r ) t oa p p r o x i m a t e ，( ( z ) i si nq u e s t i o n ，w h i c hi st h ew e l l k n o w n i n s t a b i l i t yo ft h el a g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nc l e a r l y , i fo n ew a n t st o o b t a i nt h es t a b l el a g r a n g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o na sl o n ga st h et r u n c a t i o n e r r o ri sk e p tt h es a m eo r d e rw i t he h oa n dt e n dt oz e r ow i t ht h e1 a t t e ra tt h e s a m et i m e w i t hr e s p e c tt ot h i sp r i n c i p l e ，t h e r ei saq u a l i t a t i v ee x p o s i t i o ni ns o m e l i t e r a t u r e s i nt h i sp a p e r ，aq u a n t i t a t i v ea n a l y s i si s d e v e l o p e d ，a n dt h eh i g h e s t p r e c i s i o nf o rt h el o c a ll a g r a z l g i a nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nw i t hp e r t u r b a t i o n s ( i e t h eh i g h e s to r d e ro fa p p r o x i m a t i o nt h a t l ( ( ，8 ( ) ，咒) ：= s u pi l ( 2 ( z ；z ) 一，( ( z ) 托f s ( z ) a b s t r a c t a d d r o a c h e st oz e r oa se _ 0 ) i sp r e s e n t e d d u r i n gt h ep r o o f s ，am e 乞h o d 叭 d e t e r m i n i n gt h ep a r a m e t e rhb yp e r t u r b a t i o nb o u n d ea n do r d e no fi n t e r p o l a _ t i o ni sp r o v i d e dt om a x i m i z et h eo r d e ro fa p p r o x i m a t i o n i nt h ei a s t ，n u m e n 。a 【 e x p e r i m e n t si sg i v e nt ov e r i f yt h e s ec o n c l u s i o n s i nt h ea p p e n d i x ，s o m ec o m p l e t ef o r m u l a s f o rl o c a ll a g r a n g i a nn u m e n c “ d i 任e r e n t i 矾i o na n dd a t a 缸el i s t e d ，b yw h i c h t h ea p p r o x i m a t e dd e f t v a t i v ec a nb e c o m p u t e dd i r e c t l y k e y w 。r d s ： n 1 l 1 e r i c 出d i f f e r e n t i a t i 。n ，l o c de s t i m a t e ，h i g h e s tp r e c i s i 。n ，c y c l e i n d i c a t o r ，e x p l i c i tr e p r e s e n t a t i o n 第一章绪论弟一早珀化 数值微分问题是一个在实际的工程和科学研究中经常碰到的问题，例如，图 像处理过程中的不连续点的确定问题【3 7 j ，化学分析中的实验数据的波峰分离 问题【4 8 】，数学物理方程中的反问题 4 9 】其处理方法多种多样，而本文则主要研 究利用l a g r a n g e 插值处理数值微分问题的相关课题由于所采用的方法是在 l a g r a n g e 插值的基础之上展开的，故下文将首先介绍有关此方面的内容，然后 再谈一下数值微分问题的研究现状 1 1l a g r a n g e 插值 插值问题是数值逼近中一个古典又基本的问题，它在散乱数据的插 值，曲线曲面的拟合，数值积分公式的构造，常微分方程数值解方法的构 造以及有限元方法等方面都有广泛的应用通常插值可简单概述为：记 霸：= ( t o ，t ，t 。) c a ，b 是由区间 a ，b l 上n + 1 个不同的点t o ，t 1 ，k 所 组成的节点组，函数，在其上有函数值，( 屯) ，i = o ，l ，札，寻求一个函数( 也 被称为插值函数) 使得在瓦上的函数值与，( 屯) 相同而一般来说，最简单的莫 过于选择多项式函数作为插值函数，在诸多的逼近论书籍( 如文献 2 6 】) 中，我们 都可以找到如下的定理以说明多项式作为插值函数的存在性和唯一性： 定理1 1 1由n + 1 个不同的点t o ，t 1 ，t 可以唯一确定一个几次多项 式 l 。( t ) ：= l ( t ；，) ：= 岛( t ) ，。，) ( 1 1 ) j = 0 满足 k ( t ，) = f ( t j ) u = 0 ，1 ，n ) ： 第一章绪论2 并且有余项 ，+ 1 ) f f l 忍( ) ：= 弛) 一上n ( 。) 2 磷“( 。) 其中， u ( t ) ：= u ( 以咒) ：= ( 一t 。) ( ) ：= i i ( t t ) ， i = 0 ，0 绀划她) = = 端， 而( t ，t o ，t 。) 表示含有t ，t 1 ，t 。的最小闭区间 ( 1 2 ) ( 1 1 ) 式即是我们常说的l a g r a n g e 插值公式，而有时我们还会用到以差商形 式表示的n e w t o n 插值公式 k ( t ) = f ( t o ) + ，t 1 和余项 r ( ) = f i t ，t o ，如p ( ) ，( 1 3 ) 其中，f t o ，t ，t i 表示函数，在节点t o ，t l ，t i 上的i 阶差商 由上可以看出，所得到插值公式形式简单，易于理解但在其使用与研究方 面，函数逼近论学者与计算数学学者有着迥然不同的理解通常，我们可以用插 值公式来近似地计算函数值，而用余项来估计误差界限但如果所得的误差界 限过分地大，导致计算的精度不够高，那么自然地便想方设法去改善它，从而变 更插值公式从逼近论的角度来看，一个很简单的想法就是：增加节点的个数， 从而同时提高插值多项式的次数，使得插值多项式能够在b ，q 上一致收敛于， 即使下式成立： l i r am ，蛏l f ( t ) 一l 。( t ) i = 0 n 一。蚝1 ，圳 但上式并不是对任意的连续函数，都成立的，1 9 1 6 年b e r n s t e i n 就给出一个例 子 勺 一 0 “伽 第一章绪论 3 例1 1 1 ( 参见【5 ) 函数，( t ) = l t l 在 一1 ，1 1 上取n + 1 个等距节点 t o = - 1 ，t 。= 1 构造礼次插值多项式l 。( t ) ，当n 增大时，除了一1 ，0 ，1 三点外， 在 一1 ，1 】中任何点处k ( t ) 都不收敛于i t l 人们或许会认为造成这样的事实是由于节点的等距分布的确，节点集中 于插值区间两端点的附近通常逼近效果会好点，像c h e b y s h e v 节点就具有这样 的性质尽管如此，f a b e r 曾证明 4 1 1 ：无论如何规定插值节点，都将存在某个连 续函数，其插值多项式不一致收敛这是因为对于插值多项式来说，若节点组 写c 0 ，1 ( 实际上，对于一般的区间 a ，6 也有类似的结果) ，则其l e b e s g u e 常数 k ：。吲m a x 。】丢限。) | 随着n o 。，a 。也趋向于无穷实际上，e r d 6 s 已经证明【4 0 】：存在一个常数c ， 使得对于任意的n ，有 k 二l o g n a ； 以及 a 。 二l o g 他+ 4 与这些“反面”结果的背景相对照，w e i e r s t r a s s 逼近定理就显得更引人注意： 存在某个多项式序列，它在一个有界闭区间上一致收敛于一个预先指定的连续 函数而由上面的例子1 1 1 ，我们知道这样的多项式序列不可能通过在固定节 点组上的插值来得到其实，逼近论学者多认为l a g r a n g e 插值是w e i e r s t r a s s 逼 近定理的一种不甚成功的实现而若我们仍然想以插值的方式来达到一致收敛 的目的，那么就必须牺牲一批自由度，用以克服多项式的刚性( 当多项式的阶数 过大时，多项式会产生剧烈的摆动也就是增加一个点后，摆动加大) 这便导出 所谓的h e r m i t e - f e j 6 r 插值： p ( ) ：= m 。) 1 2 ( t t 。) ( 如) 拟t ) ， 并且，多项式p ( t ) 满足 p ( 屯) = f ( t o ，( t 。) = 0 ( i = 0 ，1 ，n ) 第一章绪论 4 总而言之，在逼近论学者看来，插值的收敛过程是指插值次数n 趋向于无穷 时的极限过程，我们不妨将它称为整体的l a g r a n g e 插值但在计算数学学者看 来，即使不考虑随着n 的增大计算量的增加，但由于计算过程中不可避免地出现 舍入误差，从而在n 趋向于无穷的过程中，舍入误差将淹没所有有效数字，因此 高次代数插值在计算上毫无价值关于此，我们可以看个例子 例1 1 2 在区间 一1 ，1 1 上，分别以间距2 n ( 礼= 2 0 ，6 0 ，1 0 0 ) 取得一系列 等距的以升序排列的节点，即t o = - 1 ，t 。= 1 而这些节点上的函数值，则取自 正弦函数f ( t ) = s i n t 那么，在得到l a g r a n g e 插值多项式l 。( t ) 后，再计算它在 点z = 4 - ( 1 9 4 i ) 2 0 ，( i = 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 上的值以作为s i n z 的近似表1 1 列出 近似值l 。( z ) 与精确值s i n z 之间的差距这里，计算中所采用的最小有效精度 约为1 0 一“ zn = 2 0n = 6 0n = 1 0 0 o 9 56 6 5 0 2 4 e 1 42 2 5 3 5 2 e 一42 0 6 4 2 3 e + 6 0 7 5 2 1 0 9 4 2 e 1 55 2 0 2 2 4 e 一1 1 12 8 1 2 5 e 一5 0 5 54 4 4 0 8 9 e 1 693 2 5 8 7 e 一1 582 2 0 2 0 e 1 2 0 3 5 55 5 1 1 2 e 一1 74 4 4 0 8 9 e 一1 6 1 8 8 7 3 8 e 1 5 一o 1 51 、6 6 5 3 3 e 一1 61 9 4 2 8 9 e 一1 61 _ 1 1 0 2 2 e 一1 6 0 1 5 11 1 0 2 2 e 一1 6 33 3 0 6 7 e 1 62 7 7 5 5 6 e 1 6 0 3 522 2 0 4 5 e 一1 64 4 4 0 8 9 e 一1 62 1 0 9 4 2 e 1 5 o 5 51 1 1 0 2 2 e 一1 63 9 9 6 8 0 e 一1 5 1 0 9 2 4 0 e 1 1 0 7 516 6 5 3 3 e 一1 52 7 6 0 0 3 e 一1 17 2 6 7 2 6 e 6 09 511 6 4 6 2 e 一1 32 1 4 0 0 9 e 一48 0 2 6 1 8 e + 5 袁11 在点z 上的计算误差 由表11 显然可以看出，随着节点的增多，计算误差并不如想像中的减小， 并且在某些点上甚至已经增大到1 0 6 这样的规模，已失去其价值 虽然计算数学学者对l a g r a n g e 的看法与逼近论学者不同，但他们仍认为 第一章绪论 l a g r a n g e 插值是计算方法最基础的工具而这里的l a g r a n g e 插值主要指的是插 值节点取在待插点充分小的邻域内的低次代数插值也就是说，计算数学学者看 待插值的收敛过程是指插值节点的间距h 趋向于零时的极限过程，而l a g r a n g e 插值多项式就可认为是函数，在某点z 的渐近展开式鉴于此，我们将它称为 局部的l a g r a a l g e 插值因为对于局部的l a g r a n g e 插值来说，插值节点的个数不 再是我们考察的重点，故在下文中出现的r ，厶在不引起歧义的情况下，将被 简记为r ，l 总之，无论是整体的l a g r a n g e 插值，还是局部的l a g r a n g e 插值，都有各自 的研究对象和适用范围而二者在数值微分中的使用，也产生了不同的结果 1 2 数值微分法 数值微分不仅是许多数值分析课本 2 0 , 2 3 , 7 3 1 的基本内容，而且在诸多的应 用科学领域( 2 5 , 6 9j 中也是一个非常有用的工具，如下面就是一个对光电响应的数 据进行分析的例子 例1 2 1 ( 参见文献 7 8 )莱一实验的目的是确定光落在植物细胞上的强 度与各种物质被摄取的比例之间的关系，从而可以得到关于光合作用的更多信 息由于没有办法直接测量摄取比率，所以测量的是经过一段时问后各个物质没 有被吸收的量，并将它们看作是时间的函数于是，摄取率就可以认为是这些函 数的导数的相反数 在实际科学研究中，主要以两种方式来使用数值微分方法计算导数：一种 是需要我们去计算函数，在其定义域内某点z 处的导数值，而其变量与，之间 的关系通常以一种离散的方式( 如表格，仪器测量) 给出，或者是直接给出，的 解析表达式，但这个函数的导数是难于计算的；在另一种情形下，我们经常使用 数值微分公式来衍生出可用于求解常微分方程和偏微分方程的数值方法另 外，由于用于插值的函数值可能来源于测量，或者另一个早先计算过的问题的 解 5 0 】，因此不可避免地这些数据都带有一定程度的误差而且从计算的角度来 第一章绪论 6 看，在计算过程中，还有三个可能的误差来源：数值方法所产生的截断误差，运 算传播误差以及有效数字消失，引起相对误差增大吵而众所周知求解数值微 分是一个不适定问题1 92 | ，也就是说，函数值的微小扰动都会导致被计算出的导 数值有巨大的误差因此，如何克服这种不稳定性也就成为数值微分方法研究 的一个主要课题 1 2 1 研究现状 在过去的几十年中，有大量的数值方法被研究以构造不同的数值微分方法， 常见的有：自动微分( a u t o m a t i cd i f f e r e n t i a t i o n ) 3 0 , 4 4 , 4 5 , 8 2 】，正则化( r e g u l a r i z a - t i o n ) 方法 1 7 ，3 4 ，6 6 ，93 i ，有限差分方法 5 9 - 6 5 1 ，基于插值的方法 2 3 , 2 5 , 3 5 , 3 9 , 4 3 , 7 0 , 7 3 】 自动微分是一种精确的微分方法，它利用机械式的链式结构计算，可以得到 函数的导数其中被求导的函数是以计算机程序表示的，这也就是说，对于自动 微分，函数的解析表达式必须是己知的，而这大大限制了自动微分的适用范围， 毕竟实际中，更多的情形下我们的数据是以离散的形式得到的 用于数值微分的正则化方法通过引入一个正则化参数以控制算法 的稳定性，此方法在计算带有扰动的函数的一阶导数时，是非常有效 和稳定的正则化方法可以粗略地分为三类：参数正则化( p a r a m e t e r r e g u l a r i z a t i o n ) s 4 , 8 5 】，磨光正则化( m o l l i f i c a t i o nr e g u l a r i z a t i o n ) 7 5 - r 7 】，变分 正则化( v a r i a t i o n a lr e g t f l a r i z a t i o n ) 6 7 , 9 2 】然而由于正则化方法执行的效果往 往依赖于正则化参数选取的好坏，但此参数的选取并不是一项简单的工作，并且 正则化方法在用于计算高阶导数时有一定困难，因此正则化方法的使用是局限 于一定范围内的 至于有限差分方法，它实际上与基于插值多项式的数值微分法有着极大的 联系，尤其像中心差分方法，它可以直接就通过对插值多项式求导得到它们都 有共同的优点：程序简单，计算速度快在基于插值多项式的数值微分法中，最 常见到的是l a g r a n g e 数值微分法，即将l a g r a n g e 插值多项式求阶导数后，得 到 ，( 2 ( t ) = l ( ( t ) 十r ( ( t ) ( k = 1 ，2 ，n ) ，( 1 4 ) 第一章绪论 7 再以 n l 砷( t ) = 巧2 ( z ) 巾，) ( = 1 2 柚) ( 1 5 ) j = o 逼近待计算点z 处导数值，( ( z ) 的方法，余项r ( ( z ) 则给出此近似值的截断 误差正如我们在1 1 节中所提到的，l a g t a n g e 插值由于理解的不同，有整体和 局部之分于是，与之相应地，l a g r a n g e 数值微分法也有整体与局部之别整体 的l a g r a n g e 数值微分法主要考虑在整个区间上，以多项式l ( 2 ) 作为均匀逼近 ，( ) 的工具【8 9 j ；而局部的l a g r a n g e 数值微分法则更强调它的点态逼近效果客 观地说，局部的l a g r a n g e 数值微分法更接近于我们使用此方法的目的然而，无 论是局部的还是整体的l a g r a n g e 数值微分法，都可用于微分方程的数值求解， 从而分别衍生了差分方法和谱方法( s p e c t r a lm e t h o d s ) 1 9 】 1 2 2 问题的提出 在使用局部的l a g r a n g e 数值微分法用于计算近似导数值时有一点是非常 重要的，即节点间距h 的选择因为当节点间距h 过大时，截断误差变大，自然 计算效果差，但过小时，数据的微小扰动就会导致最终得到的结果与精确解之间 相差甚远i s 6 ，如例1 2 2 所示这也是不稳定性在局部的l a g r a n g e 数值微分法 中的体现( 关于此点的详细解释，可参见后文的2 1 3 节) 例1 2 2 在本例中，我们将展示用三点二阶的数值微分公式 ，( z 十h ) + f ( x h ) 一2 f ( x ) ，面_ 一 用于计算函数f ( t ) = s i n ( t ) 在z = 7 r 4 处的二阶导数值时，其误差随着节点间 距h 的变化情况 由于计算机的精度有限，在计算的过程中我们实际使用的数据都是带有一 定扰动的，而在此例中，数据扰动的上界是l o 一1 6 由图l1 我们可以清晰地看出 随着h 的逐渐增大，误差并不随之增大，反而会先变小再增大 由于l a g r a n g e 数值微分法无论在科研还是实践中都有着非常广泛的应用， 因此对它进行深入的研究还是非常有必要的对于带扰动的l a g r a n g e 数值微分 第一章绪论 8 图1 1 误差随着节点间距h 的变化情况 法，f 1 5 ，4 6 ，4 7 1 曾经讨论了在某些特殊情形下该方法的收敛性质，关于这些结果 的详细说明，可参见下文的2 1 3 节而本文将先于第二章中给出局部l a g r a n g e 数值微分法余项的渐近表示，并且当插值节点处函数的数据有界为的扰动时， 进一步给出根据扰动界e 和插值次数札确定节点间距 ( 也可称为步长参数) 的 方法，使逼近阶达到最高在第三章中，我们首先对f a ad ib r u n o 公式进行了 推广，得到广义的f a ad ib r u n o 公式，之后，再利用f a ad ib r u n o 公式，以对称 群的循环指标多项式显示地表示出完整的局部l a g r a n g e 数值微分公式，解决 了f 6 5 ，7 2 1 等文献中未完成的问题 第二章l a g r a n g e 数值微分法 本章首先给出局部l a g r a n g e 数值微分法所产生的余项的渐近表示，之后则 着重讨论在插值数据有扰动的情况下，此数值微分方法收敛的最高精度，从中我 们可以看出扰动界，插值次数与节点间距( 步长参数) 三者之间的关系由于本 章主要研究局部l a g r a n g e 数值微分法的收敛情况，故在不产生歧义的情况下， 一般都不再用“局部”二字来加以说明了 2 1l a g r a n g e 数值微分法的稳定逼近 要研究l a g r a n g e 数值微分法的收敛性，自然不可避免地需要对截断误差有 深入的了解，即对l a g r a n g e 数值微分公式的余项r ( ) 进行讨论 2 1 1 l a g r a n g e 数值微分公式的余项 在第一章中我们看到了l a g r a n g e 插值的余项有着非常干净漂亮的表现形 式，如以l a g r a n g e 形式表示的( 1 2 ) 式，或以差商形式表示的( 1 3 ) 式并且，如 果记 彬( e ) = ，ff ( r - 1 ) 在e 上满足l i p s c h i t z 条件) ( r = l ，2 ，) ， 那么由f 1 2 ) 式还可以得到如下的精确估值： m 。m a x + l ( x , t o 揣谁= 黜 皿- ， ，。u ，n ，t 。) i j ；i i j ：。可1 i ：2 2 。莉 ( 2 1 ) 其中当函数f ( x ) = x 一1 时，上式右端达到最大 但( 1 4 ) 式的余项月( 8 ) 就要复杂的多其中尤其需要指出的是，专著 1 ，4 曾 认为当u ( 2 ( z ) 0 时r ( 8 ) 具有l a g r a n g e 形式，即 州班勰州咖( ( 叫“h _ ) ， ( 2 2 ) 第= 章l a g r a n g e 数值微分法 1 0 其中七：1 ，2 ，n 但b r o d s k i i 在【2 1 】中指出( 2 2 ) 式实际上是错误的造成这 一错误的原因是最终未能避免把式中的当作与z 无关的【8 3 】f 1 ，4 1 中这一基本 公式的错误严重影响了紧接着推导的一系列公式的科学性 对于l a g r a n g e 数值微分公式余项的研究，除了上面提到的文献外，在许多 著名数学家的专著中均有涉及，例如较早有h o p f 的5 2 1 ，之后有k a n t o r o v i c h 的 5 8 而我们更常见到的是文献 1 3 ，9 1 】中所出现的由( 1 3 ) 式利用l e i b n i z 法 则推出的：当下述差商都存在时成立着 r ( 。) ( z ) 矧，紫如 p = 0： t 一尝掣， ( 2 3 ) h 1 面= 了f 悼。j 或者，在( z ，t o ，t 。) 上的直到n + + 1 阶导数都存在的情况下，上式也可写 成 州垆七! 圭v = 0 筹黑糊， a ， 其中= 1 ，2 ，n ；而当z 位于区间( o ，t 1 ，t 。) 之外时，r ( ( 嚣；，e ) 才表 示为( 2 2 ) 式但是由( 2 3 ) 式和( 2 4 ) 式不仅难以得到类似于( 2 i ) 式那样的精 确估值，而且也难以用，的n + 1 阶导数来对r ( ( = 1 ，2 ，n ) 作出较粗略 的上限估值 为了得到类似l a g r a n g e 插值余项的较为精确的估值，我们见到一些零星的 结果：在 5 1 中，作者将( 2 3 ) 式中的，k ，z ，o ，t 。 再次用l e i b n i z 公式展 开，得到一个较为复杂的可用，的n + 1 阶导数表示的r ( ) 以及由此而来的一 些上界估计；2 4 ，3 3 ，6 8 】通过r o l l e 定理得到一个形式上漂亮的结果 ( 2 5 ) 需要注意的是( 2 5 ) 式中的已是与，b 有关的量，显然这些量是不能显式表达 的，因此从实用的角度来说，意义并不大 为此，王兴华给出了一个简单而实用的数值微商的余项公式： _ i ：c l篇 第二章l a g r a n g e 数值微分法 定理2 1 1 ( 参见 6 ，7 )设0 m 茎n ，函数，( ) 在( z ，t o ，k ) 上有 礼+ m + 1 阶有限导数则 删。) 刊善，k 卫，妣 p + 1 夺 制，巴名，如 j ：一、一一 l s + l4 - 或者写成 r ( ) ( z ) 纠搿 。+ m 搿( 川十m ) ，( 2 6 ) u ( 2 一”) ( z ) ( k v ) ! 州塞篙黑铆c z 其中矗( z ，t o ，t 。) 注2 1 1 在此余项公式出现后的不久，d o k k e n 和l y c h e 曾经在 3 9 】中也 提出了一个余项公式 r ( z ) 刊，b 名，如 ”2 0 v - l - i 矧( ) 但实际上，这个公式不过是( 2 6 ) 式中置m = 0 后所得到的结果至于更加特殊 地七= n 的情形可见更早的文献 5 2 】 借助于定理2 1 1 ，我们可以给出一些常用的微分公式余项的表达，例如，对 于等距节点以= t - b i h ( i = 0 ，1 ，n ) ， 6 中给出了在这些节点处的二阶微分公 式的余项 r ”( t ) = ( 一1 ) ”1 黼( 宴；一喜抄v 州k ， ( - 1 心热 ( i ( j = ；) 篙篇 “脚 第二章l a g r a n g e 数值微分法 1 2 除了i = 0 ，n 2 ，n 处，上式并未出现于其它文献如果将它应用于f 5 8 1 中第三 章的一个二阶微分方程的某些差分格式，则可将其余项表示的更为漂亮 ( 2 6 ) 式除了用于表示余项r ( ) 之外，更主要的优点在于当它取m = 0 时有 r 忙( z ) 刊，旺o ，如 ”= u + 1 个 。锱( x - - t n _ 。) ( k = 0 ，1 ，礼) 这与( 1 3 ) 式同样地可以只用，的礼+ 1 阶差商来表示r ( m ，去掉了( 2 3 ) 式中存 在的缺点 另外，( 2 6 ) 式还有一个优点：当u ( 2 ) ( z ) = 0 时我们可取m = 1 ，这对于估 计下文所出现的馏收敛”的公式有很大帮助这也是f 2 6 ) 式引进任取m 的主 要目的，就求数值微商的本身目的而言，使u ( ) ( z ) = 0 的公式是特别受到注意 的此外，当