（计算数学专业论文）谱galerkin方法求解volterra积分微分方程.pdf

摘要 本文主要讨论光滑核的第二类v o l t e r r a 积分微分方程的数值解 法。该方程中积分项的出现，表明该问题的带记忆性质如何快速高 效地求解这类问题一直是相应的算法设计的重点近年来，由于谱 方法具有谱收敛精度，人们开始关注用谱方法来求解这类方程本 文主要讨论谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程的收敛性分 析首先，本文介绍了谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法，然后严格证明了该方 法在玩和l 意义下具有指数收敛性质。接下来，本文还介绍了伪 谱j a c o b i g a l e r k i n 方法。该方法的主要思想是采用离散带权内积近似 带权内积。同样地，我们证明了该方法在l ：，和l 意义下仍具有指 数收敛性质另一方面，数值例子的运算结果表明这些方法不仅具 有运算快的特点，而且的确能达到谱收敛精度 关键词： 第二类v o l t e r r a 积分微分方程，谱j a c o b i g a l e r k i n 方法，伪 谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法，谱收敛 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yd i s c u s s e st h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rv o l t e r r ai m e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h es e c o n dk i n d w i t hs m o o t hk e r n e lf u n c t i o n t h e i n t e g r a li t e my i e l d st h em e m o r i a lp r o p e r t yo ft h ep r o b l e m h o wt or e s o l v e p r o b l e m so ft h i sk i n dm o r ee f f i c i e n t l ya n dr a p i d l yp l a y saf u n d a m e n t a lr o l ei n d e s i g n i n gt h ec o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m s i nr e c e n ty e a r s ，l o t so fs c h o l a r sp r e f e r t ou s et h es p e c t r a lm e t h o d ，w h i c hh a st h ep r o p e r t yo fs p e c t r a lc o n v e r g e n c e a c c u r a c y , t od e a lw i t he q u a t i o n so ft h i sk i n d i nt h i sp a p e rw eu s es p e c t r a l g a l e r k i nm e t h o di nd e a l i n gw i t hv o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e m i a le q u a t i o na n da n - a l y z ei t sc o n v e r g e n c ep r o p e r t y f i r s ta n df o r e m o s t ，w ei n t r o d u c et h es p e c t r a l j a c o b i - g a l e r k i nm e t h o d t h e nw ep r o v et h ee x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c ep r o p e r t y o ft h i sm e t h o di nt h es e n s eo f 珑a n dl t h e o r e t i c a l l y n e x tw ei n t r o d u c e t h ep s e u d o - s p e c t r a lj a c o b i - g a l e r k i nm e t h o d t h ei d e ao ft h i sm e t h o di st h a t w ec o u l du s et h ed i s c r e t ei n n e rp r o d u c tw i t hw e i g h tf u n c t i o nt os i m u l a t et h e i n n e rp r o d u c tw i t hw e i g h tf u n c t i o n t h ee x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c ep r o p e r t yo f t h i sm e t h o di nt h es e n s eo f 玩a n dl o oi sa l s oo b t a i n e dt h e o r e t i c a l l y o nt h e o t h e rh a n d ，t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h e s em e t h o d sn o to n l yd e a lw i t h p r o b l e m sr a p i d l y , b u ta l s oa t t a i nt h es p e c t r a lc o n v e r g e n c ea c c u r a c yi n d e e d k e yw o r d s ：v o l t e r r ai n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so ft h es e c o n dk i n d ，s p e c - t r a lj a c o b i - g a l e r k i nm e t h o d ，p s e u d o - s p e c t r a lj a c o b i - g a l e r k i nm e t h o d ，s p e c - t r a lc o n v e r g e n c e i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：1 知，辊讪d 勺年6 月矿日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在到年解密后适用本授权书 ， 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打“ 刀) 作者签名：甲钮乱 白期：一译6 月 罗日 导师签名：触：锰( 韵日期：乙口呷年占月留日 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 1 引言 v o l t e r r a 积分微分方程模型常出现在物理和工程实际问题中，如 具有记忆性材料的热传导，多孔结构粘弹性体的压缩，核反应堆中 热交换等。该方程中积分项反映了物理过程的记忆或者反馈性质由 于该方程的带记忆性质，使得它与传统的常微分方程和偏微分方程 有着本质的区别。因此，该方程的数值求解也更为困难如何快速 高效地求解这类问题一直是相应的算法设计的重点。在较长的一个 时期内，有关这类发展方程数值理论和方法的研究要落后于通常的 常微分方程和偏微分方程从而求解这类方程的数值方法研究显得 尤为重要 近几十年来，很多学者对积分微分方程的数值方法研究做了大 量的研究工作c m c h e n ，v t h o m 6 e 和l b w a h l b i n 【9 】在时间方向 用向后欧拉格式，空间方向上采用有限元方法，并用内积求积技巧 离散积分项，得到了解的正则性条件及其误差估计x ud a 【4 4 】考虑 e u l e r 和c r a n k - n i c o l s o n 格式，并采用一阶、二阶卷积求积，得到带权误 差估计y p l i n 2 5 】和张铁【4 5 】【4 6 】研究发展型积分微分方程的有限 元r i t z - v o l t e r r a 投影方法j m s a n z - s e r n a 3 4 】研究了空间方向带弱奇 异核的偏积分微分方程，时间方向采用向后e u l e r 格式，并用一阶卷 积求积逼近积分项，导出了关于光滑和非光滑的初始值相应的误差 估计【2 8 】时间方向采用分片常数和分片线性间断有限元方法( d g ) ， 空间方向采用有限元方法，而且允许变时间步长【1 】1 考虑了间断有 限元方法，稀疏求积公式，得到问题的先验估计和后验估计，并给出 了自适应算法h s l o a n 和v t h o m 6 e 3 5 】时间方向采用一阶及二阶向 后差分，空间方向采用分片线性元，利用卷积积分得到最优阶误差 界t a n g ，t 3 7 考虑时间方向用c r a n k - n i c o l s o n 格式，空间方向采用 多项式样条配置法求解带弱奇异核k ( t ，s ) = 一s ) 一( o n 1 ) v o l t e r r a 积分微分方程。在适当的网格下，相应的配置逼近具有仇+ 1 一a 的超 收敛阶。由于时间离散必须保留前面所有的值，从而需要大量内存 为了克服这些困难，y q h u a n g 2 3 】提出了一种累加格式，使得存储 量和工作量均能大大减少【3 0 】是【2 3 】在带弱奇异核的偏积分微分 硕士学位论文 方程上的具体应用，并采用变步长进行时间离散q y h u 2 2 l 运用 了“几何网格”，使得工作量减少石东洋【3 3 】用有限元方法研究非 线性抛物积分微分方程的各向异性高精度分析y m l i n 2 6 1 研究了 时间方向带o z 阶( 0 a 1 ) 弱奇异核的偏积分微分方程，时间方向 采用差分方法，空间方向用谱方法，积分项通过内积求积技巧进行 离散，得到了解的正则性条件及误差估计而且用数值例子验证了 数值解的收敛阶为o ( a t 2 n + n 一) b y g u o 【1 9 】介绍了两种解初值 问题的数值格式：l e g e n d r e - g a u s sc o l l o c a t i o n 方法以及将c o l l o c a t i o n 方 法和区域分解方法结合而成的一种新方法，而且给出了相应的谱精 度分析h b r u n n e r 和d s c h s t z a u 【5 1 采用间断有限元方法求解带弱 奇异核的第二类v o l t e r r a 积分微分方程的初值问题由于方程在初始 点t = 0 附近奇异，从而在几何网格上运用h p - v e r s i o n 间断有限元方 法，得到了高阶的指数收敛性质 近几年来，谱方法求解积分方程或者微分方程开始引起学者们 的关注谱方法是一种既经典又广泛使用的数值方法它尤其适合 于解非常规则，几何区域维数非常大的情形甚至能更好地控制受 扰动和不稳定现象影响的数值问题的解j s h e s t h v e n1 2 7 ，s g o t t l i e b ， d 。g o t t l i e b ，t t a n g ，j 。s h e nf 3 1 】f 3 2 】，b 。y ，g u o 【1 7 】和l l 。w a n gf 1 8 等关 于谱方法做了大量的研究工作谱方法的最大魅力在于它具有“无 穷阶”的收敛性，即如果原方程的解无限光滑，那么用适当的谱方 法求得的近似解将以。的任意次幂速度收敛于精确解，这里是 所选取的基函数的个数谱方法和伪谱方法已广泛应用于力学，大 气、海洋等领域的科学计算将这些方法应用于求解积分微分方程， 有望克服由积分项带记忆性所带来的困难，从而得到指数收敛性 与本文所讨论的积分微分方程密切相关的第二类v o l t e r r a 积分方 程有很多数值方法，如c o l l o c a t i o n 方法、p r o d u c ti n t e g r a t i o n 方法等， 见【4 】然而，该方程谱逼近解的研究工作很少见到g n e l n a g a r 【1 5 】 给出了求解非线性v o l t e r r a - h a m m e r s t e i n 积分方程的c h e b y s h e v 谱方 法。然后，在多倍精度运算下，【1 6 】运用c h e b y s h e v 谱方法求解第一 类的p r e d h o l m 积分方程然而并没有从理论上严格证明该方法具有 高精度收敛性质 3 9 】用谱方法求解该方程，但是大多数数值计算 并没有达到谱收敛最近，t t a n g 和x x u ( 3 8 】采用谱l e g e n d r e 配置 2 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 方法求解该方程不仅直观地从数值结果上观察到谱收敛，而且首 次从理论上给出了谱精度收敛的严格证明受此启发，y p c h e n 和 t t a n g 1 3 在求解带弱奇异核( t s ) 一 惫( t ，s ) 的第二类v o l t e r r a 积分 方程时，采用改进的谱c h e b y s h e v 配置方法【1 4 】将【1 3 】中的方法推 广到带广义弱奇异核( t s ) a k ( t ，s ) ( - 1 0 ，使得 p a ( t ) p ，1 6 ( t ) i p ，t 【0 ，t i ( 1 - 5 ) 本文将采用谱g a l e r k i n 方法和伪谱g a l e r k i n 方法的数值格式求解( 1 4 ) 式数值结果表明这些方法能高效快速地求解第二类v o l t e r r a 积分微 分方程，而且从理论上严格证明了其具有指数收敛性 本文结构安排如下； 第二章将介绍一些基本知识 第三章通过对第二类v o l t e r r a 积分微分方程作变换，提出谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法。并从理论上分析谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法解的存在唯一 性，然后着重分析该方法的谱收敛性质 第四章通过对第二类v o l t e r r a 积分微分方程作变换，提出伪谱 j a c o b i g a l e r k i n 方法并从理论上分析伪谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法解的 存在且唯一性，然后给出了该方法谱收敛性的理论证明 第五章用数值例子证实了谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法和伪谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法的谱收敛性质 第六章总结本文的工作，并讨论一些后续工作 4 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 2 预备知识 本章给出将要用到的一些定义和基本结论首先，在j = 【一1 ，1 】 上，定义q 为次数不超过次的多项式空间，即 q = 唧钆【o ( z ) ，1 ( z ) ，( z ) ) 其中咖( z ) 是j 次j a c o b i 多项式，j = 0 ，1 ， 接着我们定义投影算子凡，使得它满足 ( i ： n u ，) 。= ( 让，咐) 埘，v v n q ( 2 - 1 ) 此外，记h 为关于n 阶j a c o b i g a u s s 或者g a u s s - r a d a u 点所对应的插 值算子与此同时，在区间j 上，定义带权函数空间如下， 圪( j ) = 钉：v , - j 测，k ( ，) 一1 下面引入m 次可微带权函数空间h 2 ( i ) 如下，即 h r ( i ) = 口：d 屉u 圪( ，) ，0 七m ) 在此空间上，定义范数”0 衄( ，) 如下，即 训即( d = ( 渺u 慨2d ) i 1 ，讹四( n ( 2 - 3 ) ；0 其中d u = 象 5 硕士学位论文 以下四个引理参见【s 1 引理2 1 如果u h y ( i ) ，m 1 ，有如下估计 i i u p n v l 三( o c n m l i d m u 0 l o ( j ) ， f i 钉一i n v l s ( z ) c n m | | d m v l l 三( o ， i i 口一p l i l * ( ，) c n 一m l i d m 训l 圮( j ) ， i i u h v l i l * ( j ) c n 一”l i d m v i i 圮( j ) 其中u ( z ) 为j a c o b i 权函数 引理2 2 如果u 叼( nm 1 ，有如下估计 i 一r 钞，j | 玛( d c n l 一m i j d m 秽吃( ，) ， i l t ，一如i i 工三( ，) c n l - m l i d m u i i 工己( d 引理2 3 如果口h s ( 0 ，m 1 并且妒q ，则有 i ( 钉，) u 一( ，妒) ，。i c n m l i d m l l l 三( ，) i l i i 工己( j ) 记l e b e s g u e 常数为l ( a ，卢) = m a x ，e ：。i h j ( z ) i ，其中b ( z ) u = 0 ，1 ，) 为阶j a c o b i - g a u s s 或者g a u s s - r a d a u 点所对应的第歹个 插值基函数根据【2 9 】，得 引理2 4 ( 1 ) 当- 1 o t 一；时，l n ( a ，p ) = o ( 1 v 。+ ) 。 引理2 4 的两种特殊情况为： 引理2 5 对于l e g e n d r e 多项式，l e b e s g u e 常数满足 l n ( o ，0 ) = o ( n 1 2 ) 引理2 6 对于c h e b y s h e v 多项式，l e b e s g u e 常数满足 l n ( 一言，一言) = o ( 1 0 9 n ) 6 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 下面的引理参见【4 0 】 引理2 7 对有界函数u ( z ) ，存在不依赖u 的常数c ，使得 s u 。p i i e j ；。 ( z j ) 玛( z ) i l l 毛( ，) c i l u i l 。 引理2 8 ( g r o n w a l l 不等式) 如果有一个非负可积函数e ( ) 满足 础) a 耶) d s + g ，一1 t 1 其中a ( t ) 是一个可积函数，那么 i l 刀( ) i i 珑( ，) c l i g i i , ，w ) ，p 1 特别地， e ( ) 0 工一( ，) c | i g o l m ( j ) 7 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 3 求解第二类v o l t e r r a 积分微分方程的谱g a l e r k ! - 方法 3 1 谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法介绍 本章将用谱j a c o b i g a l e r k i n 方法逼近第二类v o l t e r r a 积分微分方 程的解由于谱方法的特点是从整体上来逼近解，所以考虑在区间 0 ，t 】上求该方程的近似解。 首先，考虑带初值的第二类v o l t e r r a 积分微分方程 f ! 1 2 + 面( z ) + j ：i ( t ，s ) 石( s ) d s = 氕z ) ，t 【o ，t i ( 3 - 1 ) i 面( o ) = 0 其中，在区间【o ，刀上灭亡) 连续且核函数磊( t ，s ) 光滑为了把区间 【0 ，t 】变换到标准区间j = 【一1 ，1 】上，可作变量代换 江坐望，z 【_ 1 ，1 】( 3 - 2 ) 则有z = 攀一1 ，z j 然后将( 3 - 2 ) 式代入( 1 ) 式的积分项中，则有 z 。矾一如) d s ：z 掣石( 掣郧 ( 删 令t ( z ) = 面( ! 学) ，厂( z ) = 衍! 2、j ，z ，必有五d u = i t ：p t ( i 广+ x ) ，x 从而 ( 3 - 1 ) 式变换到标准单元上的形式如下， 弘m + z 掣菇( 掣酬s = ，( 巩蚓- 1 1 】邝4 ) 对于积分项的数值计算，我们一般在g a u s s 点、g a u s sl o b a t t o 点或者 g a u s 8r a u d a 点上离散积分项，从而有必要把积分区间【o ，婴笋】变换 到标准区间，上于是可作变换 s ：塾掣，丁【1 ，z 】( 3 - 5 ) 硕士学位论文 将( 3 - 5 ) 式代入( 3 - 4 ) 式中，且令k ( x ，丁) = 石( 三学，华笋) ，得 弘m + 吾仁一嘶肛m h 【_ l 1 j ( 3 - 6 ) 目前为止，第二类v o l t e r r a 积分微分方程已经变换到标准区间j 上，成为( 3 - 6 ) 式所以，带初值的第二类v o l t e r r a 积分微分方程在标 准区间上可写为 剐支+ 心( z ) + 吾，南( 刊u ( 7 - ) 打= m ) ，z - 1 , 1 】( 3 - 7 ) iu ( - 1 ) = 0 定义多项式空间p n 如下，即 p = 铭：珏q n , 珏( 一1 ) = o ) ， 接下来将具体介绍谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法求解该积分微分方程的 数值格式定义内积 ( 刚) u = z 心) 巾) ) 如 不妨设( 3 - 7 ) 式的谱逼近解为u n ，显然有u n p 类似g a l e r k i n 方 法的处理过程，近似解笛满足下面的弱形式，即 9个，2 景( u ，( z ) ， ( z ) ) + ( u ( z ) ，t ，( z ) ) 。+ 寺( 七( z ，下) t 上( 丁) d 下，u ( z ) ) u 工4j 一1 = ( ，( z ) ，移( z ) ) w ，、9 协p 一。( 3 - 8 ) 不妨令 “( z ) = 奶奶( z ) ( 3 - 9 ) 其中如取为区间卜1 ，1 3 上的歹次j a c o b i 多项式，0 歹n ，u ( z ) 取为 【一1 ，1 】上的i 次j a c o b i 多项式a ，0 i n 将( 3 - 9 ) 式代入( 3 _ 8 ) 式得 n n mn，z 兰t 善( 呓舭j = o ( 蜥鸠十j = o ( 小”胤郴碱旃吡胁j = 0 _ ，一l ( 3 - 1 0 ) 1 0 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 最后，可将( 3 - 1 0 ) 式简写为下面的矩阵形式 其中 ( a + b + c ) u = f ( 3 - 1 1 ) - d = 【色o ，色l ，色】r ， a ( i ，j ) = 季( 蟛，也) 。， b ( i ，j ) = ( 咖，九) 。， c ( i ，j ) = 萋( j 厂- z 1 七( v ) 奶( 丁) 打， f ( i ) = ( 厂，晚) u 特别地，当w ( x ) = 1 时，上述方法称为谱l e g e n d r e - g a l e 出n 方法 当叫( z ) = 南( z 【一1 ，1 】) 时，上述方法称为谱c h e b y s h e v - g a l e r k i n 方 法 3 2 谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法收敛性分析 本小节着重分析谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法的谱收敛性质为简单起 见，基于( 3 7 ) 式，只考虑如下问题 u ，( z 一让( z ) + f - 2 lk ( z ，7 _ ) u ( 丁) d 7 - = ，( z ) ，。【一1 ，1 】( 3 - 1 2 ) iu ( - 1 ) = 0 本节将以( 3 - 1 2 ) 式为研究对象，证明谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法解此方程 具有指数收敛性质首先，定义积分算子k ， 酬z ) = 【地s ) 心) d s ，z 【1 ，1 】( 3 - 1 3 ) 将( 3 - 1 3 ) 式代入到( 3 - 1 2 ) 式得 t 正7 + 让+ k u = ， z 【- 1 ，1 】( 3 - 1 4 ) 1 1 硕士学位论文 从而求解( 3 - 1 2 ) 式的谱j a c o b i g a l e r k i n 方法即为：在空间p 上找解 钍，使之满足 ( 乱k ( z ) ，u ( z ) ) u + ( u ( z ) ， ( z ) ) 。+ ( k u ( z ) ，u ( z ) ) u = ( ，( z ) ， ( z ) ) “， p ( 3 - 1 5 ) 由第二章中投影算子p 的定义可知， 让+ u n + p n k u n = p n f ( 3 - 1 6 ) 定理3 1 当n 足够大时，谱j a c o b i - g a l e r k i n 解u n 存在且唯一 证明由于p n 是有限维的，所以证明唯一性即可从而只需证明：当 ( 3 - 1 6 ) 式右端为零时，有u = 0 因此考虑下式 然后对( 3 - 1 7 ) 式变形得 u 知+ u n + p n k u n = 0 ( 3 - 1 7 ) 峨= - - u n p n k u n = - - u n + ( k u l v p n k u n ) 一k u n ( 3 - 1 8 ) 对( 3 - 1 8 ) 式两边积分得 u ( z ) = u ( 一1 ) - f u n d s - - f k u n d s + g u 一p k 珏) d s ( 3 - 1 9 ) 由于u p ，则有u ( 一1 ) = 0 。从而( 3 - 1 9 ) 式可写为 u ( z ) 一z u n d 8 - - 一；k u n d s + f ( k 让一p k u ) 瓠( 3 - 2 0 ) 对( 3 - 2 0 ) 式两边取绝对值得 l 牡i = l - 一u n d s - - 2 一k u n d s + 仁( 一p ) d s i l 【u d s i + i 仁k 札d s i + l 仁( k 乱一p k u ) d s l 【i d s + i 仁k u d s i + i 仁( k u 一p u 1 ( 3 - 2 1 ) 1 2 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 考虑到本文主要讨论光滑核的情形，故( 3 - 2 1 ) 式右端第二项有如下 估计 i ，g 州s i 小( s 州u n 驯删s c 仁m 懒 c i u n ( s ) d s ( 3 - 2 2 ) 将( 3 - 2 2 ) 式代入( 3 2 1 ) 式得 ，z，z i 心i 舛- ， u n i d s + l ，( k u 一p n k u n ) d s l ( 3 - 2 3 1 ) ，一1 ，一 另一方面，由g r o n w a u 不等式知，( 3 - 2 3 ) 式中u n 的最大模估计满足 i l u n i l l * ( d c l i ( k u n 一户l k u ) d s i l l * ( f ) ( 3 - 2 4 ) ( 3 - 2 3 ) 式中的右端项有如下估计 ，z ii _ - ( k u 一p n k u n ) d s il l 。( ) 5 supj-i(zeigun-pnkunlj - - i ) d s i l k u n p n k u n i d s c k u n p n k u n ii l = ( i ) c n 一 i i 七( z ，z ) u ( z ) + lk x ( x ，s ) u n ( s ) d s ii l o ( z ) sc n 一ll u n ii l ：t ( 1 ) ( 3 - 2 5 ) 最后，将( 3 - 2 5 ) 式代入( 3 - 2 4 ) 式后，如果n 充分大，则必定有u n = 0 口 定理3 2 若让叼( n 则有如下误差估计 i i u 一i i l 一( ，) c n 吉一m l i d ”u i i l 己( r ) ( 3 - 2 6 ) 证明显然，对于方程( 3 - 1 2 ) ，其准确解钍满足( 3 - 1 4 ) 式另一方面， 该方程的谱j a c o b i - g a l e r k i n 解u 满足( 3 1 6 ) 式将( 3 - 1 4 ) 式与( 3 - 1 6 ) 式相减，可得 u 一让+ 钍一u nq - k u p n k u n = f r ， ( 3 - 2 7 ) 1 3 硕士学位论文 令e = 仳一u ，则( 3 - 2 7 ) 式可写为 其中 宅七e 七k u p n k u n = 一p f k u r k u n = k u p n k u + p n k ( u 一 t l n ) = k u p n k u + k ( u u n ) 一【k ( u u n ) 一p n k ( u u ) 】 = ( f u 一“) 一r ( ，一u 7 一u ) + k ( u t l ) 一【k ( u u n ) 一p n k ( u u ) 】 = f p j v f 一( 钍7 一p n u ) 一( u p n u ) + k e 一( k e p n k e ) 将( 3 - 2 9 ) 式代入( 3 - 2 8 ) 式得 ( 3 - 2 8 ) ( 3 - 2 9 ) e ，+ e 一( 让一p n u ) 一( u p n u ) + k e 一( k e p n k e ) = 0 ( 3 - 3 0 ) 对( 3 - 1 8 ) 式两边积分得 e ( z ) = e ( 一1 ) 一仁e d s + f ( u p u ) d s + ( 一p 让，) d s 一【k e d 8 + f ( 肛r 酬妞 ( 3 - 3 1 ) 由于u p ，则有u n ( 一1 ) = 0 另一方面，准确解满足u ( - - 1 ) = 0 由此可知，e ( 一1 ) = 0 从而( 3 - 3 1 ) 式可写为 e 0 ) = 一 + e d s + 仁c u p 让冲+ 仁c 让，一 卜e - p n 蜊z 1 4 动 3 如 p k 1【 一 sd n ， u 艮 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 对( 3 - 2 0 ) 式两边取绝对值得 i e i = l 一e d s + f ( u 一珊 灿+ f ( u ，一p 让，) d 3 一【e d s + ( k e p l v k e ) d x i i ed s | + l 仁( u p u i + l 仁( 廿，一p u ，) d s i + l 【k e d s l + i ( k e p n k e ) d x f 仁l e l d s + l 仁( u p n u 灿l + i ( 。一p ) d s l + lf 1 k e 酬 + i ( k e 一尸k e ) d x ( 3 - 3 3 ) 有 仁k ed s l 【愀啦) e ( t ) l d t d s c f 1 厂霉1l e ( t ) | 批 c 仁| e ( s 凇s 将( 3 - 3 4 ) 式代入( 3 - - 3 3 ) 式得 l e i c fi e i d s + l 仁心一风u ) d sj + l ( u ，一p n u ) d s + i ( k e p r k e ) d s ( 3 - 3 5 ) 由g r o n w a l l 不等式知，( 3 - 3 3 ) 式中误差e 的最大模估计如下 ，2，z i i e i i 二一( d c ( i ( 乱一p l v u ) d s l l l * ( o + | i ( t 1 7 一p n u ) d s l l l * ( o j 一1 j 一1 + | i ( k e p n k e ) d s l l t 叩) ) ( s - s 6 ) 接下来，我们只需逐个分析( 3 3 6 ) 式右端项的估计其中第一项有如 硕士学位论文 下估计 ，zp r i g i f 上。( 毯一即) d a ，) 2s x u e p il上。(u-聃)dsxei ，一1- ，一l ，1 l u p n u d s c ii u p n u i l = ( o ( 3 - 3 7 ) 另一方面，由引理2 1 知， i i 乱一p n u i l 一( i ) c n 一m l i d m u i l 圮( j ) ( 3 - 3 8 ) 将( 3 - 3 8 ) 式代入( 3 - 3 7 ) 式中，显然有 ii u p n u ) d s ll l 。( ，) c n 一m li d 仇训i l 三( ，) ( 3 - 3 9 ) ( 3 - 3 6 ) 式右端第二项的估计如下 i i ( t 一，i 乱7 ) d s | l 二。( ，) c n 一m li d m + 1 t i i 圮( d ( 3 - 4 0 ) ( 3 - 3 6 ) 式右端最后一项有如下估计 ，zp r i g i i 上l ( k e - p n k e ) d s 慨d 2 s u p l丘(ke-pnke)dsxei 1 i - ，一l ，1 l k e 一尸k e d s c i i g e p n k e i i l = ( 1 ) c n 一壶ii k ( x ，x ) e ( x ) + k x ( z ，s ) e ( s ) d s ( j ) c n 一引 e ll l 一( o ( 3 - 4 1 ) 最后，将( 3 - 3 9 ) 式、( 3 - 4 0 ) 式和( 3 - 4 1 ) 式代入到( 3 - 3 6 ) 式中，如果充 分大，则有如下误差最大模估计 e l i l 。( j ) c n 一m l i d u l l 圮( ，) 口 为了得到误差带权三2 模估计式，我们需要假定q 和p 满足一些 条件 1 6 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 假定( a ) 假设o l 和卢满足如下条件： ( i ) - 1 - 1 ，p = 0 定理3 3 若u 叼( ，) ，且q ，p 满足假定( a ) ，则有如下误差估计 ii 钍一u j v li l 己( o c n l - m li d m “ik ( 珍 ( 3 - 4 2 ) 证明对于( 3 - 3 5 ) 式，由g r o n w a l l 不等式知， i l e l l 圮( d c ( i l 上l ( u p 牡) d 5 i b ( j ) + i i 上1 ( u 7 一p u 7 ) d s i 慨( d + ( k e p n g e ) d s l l l $ ( 1 ) ) ( 3 - 4 3 ) 接下来，我们只需逐个分析( 3 - 4 3 ) 式右端项的估计当口和满足 假定( a ) 时，由【1 8 】知，右端第一项有如下估计 i l ( 乱一p n u ) d s i i l 己( x ) c i i u p u l i l s ( x ) ，一l 另一方面，由引理2 1 知， i i 一p u l i l 三( ，) c n m l i d ”钆| l 圮( f ) 将( 3 - 4 5 ) 式代入( 3 _ 4 4 ) 式得 i i ，。( u - - 昂u ) d s l l c n i i d m u 慨珍 ( 3 _ 4 4 ) ( 3 - 4 5 ) ( 3 - 4 6 ) 同样地，当a 和p 满足假定( a ) 时，由【1 8 】和引理2 2 知，( 3 - 4 3 ) 式右 端第二项估计如下 ，霉 f f ( 札一风乱7 ) d s f i 工毛( d c l l u 一r 札7 i i l 乞( i ) c n l - m li d m u ll l 毛( 0 ( 3 - 4 7 ) 同样地，( 3 - 4 3 ) 式右端最后一项估计如下 ，卫 j i 上1 ( k e - p n k e ) d s f k 己( j ) e | k e 一尸k e l l 圮( 珍( 3 - 4 8 ) 】7 硕士学位论文 另一方面， ，z i k e p n k e li l $ ( i ) c n 一1i 七( x ，z ) e 白) + ( z ，s ) e ( s ) d s ll l $ o c n _ 1 h ( 珍 ( 3 - 4 9 ) 将( 3 4 9 ) 式代入( 3 - 4 8 ) 式得 i * f l g ii ( k e p n k e ) d s ll l 三( 1 ) c n 。1 圮( 珍( a - 5 0 ) 最后，将( 3 - 4 6 ) 式、( 3 - 4 7 ) 式和( 3 - 5 0 ) 式代入到( 3 - 4 3 ) 式中，如果充 分大，则有如下误差带权l 2 模估计 e i h ( ，) c n l - m i f d ”缸i i l 己( 珍口 1 8 谱g a l e r k i n 方法求解v o l t e r r a 积分微分方程 4 求解第二类v o l t e r r a 积分微分方程的伪谱 g a l e r k i n 方法 4 1 伪谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法介绍 前一章研究了求解第二类v o l t e r r a 积分微分方程的谱j a c o b i - g a l e r k i n 方法然而，( 3 8 ) 式中( ，) u 为带权连续内积从减少计算量的角度 考虑，可用带权离散内积( ，) u ，近似带权连续内积，这就是本章伪 谱j a c o b i g a l e r k i n 方法的主要思想在( 3 - 8 ) 式的基础上，下面将具体 介绍伪谱j a e o b i - g a l e r k i n 方法 首先，定义带权离散内积( ，) u ， ( u ，t ，) 州= u ( x m ) 钉( z m m = 0 对于带权连续内积( ，) 。，可用带权离散内积( ，) u ，近似它 ( 钍， ) 。( u ，u ) n = ：让( z m ) t ，( z m ) “ n m = 0 其中【茁。) 墨：o 和 叫m ) 篇：o 为+ 1 阶j a c o b ig a u s s 或者g a u s s - r a d a u 点 和对应的j a c b i 权 显然，如果u v p 删，则( 缸，钉) 。= ( 让，口) 。，n 作如下线性变换 丁( z ，口) ：堕型掣，口【- 1 1 】 则( 3 8 ) 式中的积分项可改写为 【讹u n ( r ) d r = 孚州z , o ) ) u n 础舢p j 一1 二 ，一1 记七( z ，r ( z ，口) ) = z + 2 lk (