（基础数学专业论文）仿紧局部紧空间的映象.pdf

摘要 4 地4 盯d ，研思想的中心问题之一就是通过各类映射建立各类拓扑空间于度 量空间之间的联系从4 砌4 ，q 妒，幽f 在1 9 6 6 年发表历史性文献“映射与空间” 以来，尤其是在l 点d g 耐获得了度量空间闭映象的内部特征以来，拓扑学家对各 类度量空间闭映象的研究引起了极大的关注近些年来，局部紧度量空间的闭映 象得到了广泛的研究下面就是些相关的结论，它们是局部紧度量空间闭映象 内部特征的刻画对于正则空间x ，下述命题相互等价：( 1 ) x 是局部紧度量空 间的闭映象：( 2 ) x 是具有盯一遗传闭包保持七网络的正则的f ，锄“空间：( 3 ) x 是具有盯一遗传闭包保持紧尼网络的f 花曲d 空间；( 4 ) 工是度量空间的闭映象 且j 的第一可数闭子空间是局部紧的i ( 5 ) x 是具有点可数七网络的f ，舌如甜空 间，且它的每一第一可数的闭子空间是局部紧的本文将借助于弱紧t 网络对局 部紧度量空间闭映象的内部特征给出了一个新的刻画 对仿紧局部紧空间在紧覆盖映射下象的内部特征的研究也是一般拓扑学的 一个重要问题近些年来，仿紧局部紧空间在序列覆盖映射和序列覆盖紧映射 下象的内部特征已经得到了一些结果本文将借助于j i 覆盖，a 覆盖、岱覆盖 和翩覆盖的概念，建立了仿紧局部紧空白j 的几类序列覆盖c l 一映象的内部特征 本文分为四章 第一章，我们介绍相关的背景知识； 第二章，我们讨论局部紧度量空间闭映象的内部特征，其主要结果是： 定理2 3 4 空间x 是局部紧度量空问的闭映象当且仅当x 是具有点可数 的弱紧七网络的黝d 空间 第三章，我们探讨了仿紧局部紧空间几类序列覆盖c z 一映象的内部特征， 其主要结果是：( 见定理3 4 1 ，定理3 4 2 ，定理3 4 3 ，定理3 4 5 ，定理3 4 7 ， 定理3 4 8 ) 第四章，我们首先证明了具有局部可数弱基的正则空间是g 可度量的其 次，我们借助于紧覆盖映射、1 序列覆盖映射、紧映射、石映射和嚣映射，建立 了具有局部可数弱基的空问( 或具有由k 。子空间组成的局部可数弱基的空间) 和度量空间( 或局部可分度量空间) 之间的联系，并且证明了它们的内部特征是 相互等价的第三，我们证明了1 序列覆盖、商船映射保持具有局部可数弱基 的空日j 关键词：闭映射；c l - 映射：1 序列覆盖映射；嚣映射；岱覆盖；覆盖： 趼覆盖；研网；弱紧七网；弱基 h a b s t r a c t ac e n t r a lq u e s t i o no ft h ei d e ao f 爿z 咖聍d r 研 i st oe s t a b l i s ht h er c l a t i o n s h i p s b c m e e nv 枷伽st o p o l o 百c a ls p a c e sa l l dm e t r i cs p a c c sb ym e a n so fv a r i o u sm a p p i n g s i n c c 爿砌口甥“蜥fp u b l i s h e dt h ef a m o u sp a p c r m 印p i n g a l l ds p a c e s ”i n1 9 6 6 ， t o p o l o 舀s t sp a yd o s ea t t e n t i 伽t od o s e di l n a g e so fv 硎o u sm e t f i cs p a c c s i np a n i c i i l 缸 a 把i i l t c r c s t e di nt h eq u e s t i o na 矗e r j 硇积o b t a i n e dt h en j c ec h a r a c t c r i z a t i o no f d o s e di m a g c so fm e t r i cs p a c c h lr c i ：c n ty e a r s ，t h ed o s c di l n a g c so fl o c a i l yc o m p a d m e 埘cs p a c c sh a v e b e c ns t u d i e dc x t e n s i v e l y t h ef o l l o w i n ga r cs o m er c l a t e df 鹤u l t s ， w h i c hc h a r a c t 嘶z em ed c dm a p p i l l go rg a i nt h ed e c o m p o s i t i o l lt h e o r e m so f1 0 c a n y 鲫p a d m e t r i cs p a c e s t h ef o l l o w i n g 撇e q u i v a l e n tf o ra 亿g l l l a rs p a c c 石：( 1 ) xi sa d o s c di m a g eo fal o c a i l yc o m p a c tm e t r i cs p a c c ； ( 2 ) x i sa ，荡旃甜s p a c cw i t ha 仃一h e r c d i t a f i l yd o s u r c - p r e s e r v i i l g 七- n e t 、帕r k ；( 3 ) x i saf ) 语荫芒f s p a c ew “h 盯- h e 坨d i t a r i l yd o s u r c p r e s e r v i n gc o m p a d 七- n e m o r k ；( 4 ) x i sac 1 0 s c di m a g co fa m e 仃i cs p a c c ，柚de a c ho fi t sc l o s e d 丘陪t c o u n t a b l cs u b s p a c ci sl o c a l l yc o m p a c t ；( 5 ) xi sa 乃锄ds p a c cw i t l lap o i m c o u n t a b l e 七一n e 柳o r k ，孤de a c ho fi t sc 1 0 s e d f i i s t c o u n t a b l e 酬由叩a c ei s 删l yc o 釉p a c t h lt h i sp a p e r ，w c0 b t a i l l e dan e wc h 啪c t e 出a t i o fd o s e di m a g 鹊o fl o c a l l y m p a dm e t r i cs p a c c sb ym e 蛆s o fw e a k c o m p a c tk n e t 、) l ，0 r k s as n l d yo fj n l a g 伪0 fp a 强m p a c tl o c a l l y m p a c ts p a c c s 岫d e rc c n a i n c o m p a c t 枷v e r i n gm a p p i n gi s 柚i i i l p o r t a n tq u e s t i o ni ng c n e r a lt 叩o l o g y r c c e n t l y ，m e c h a r a c t e r i z a t i 伽sf o rc e n a j l i- i m a g c s 卸dc c r t a i ns e q u 朋c c - o o v e r i n gc o m p a d i n l a g c so fp a r a c 锄p a dl o c a l l y 姗p a c ts p a c c sh a v eb ns t l i d i e d l i it h i sp a p e r ，w ee s t a b l i s ht h ec h a r a c t e r i z a t i s0 fi m a g e so fp a r a i ：o m p a c tl o c a l l y m p a c ts p a c e su n d e rs o m es e q u e n c c 删e r i n ga ：一m a p p i l l g s 1 1 l i sp 印c fw 勰p a n e di n t of o u rc h 印t e r s 1 nt h ef i l 砒c h 叩t e r w ei n t m d u c e dt h eb a c k 伊o u n dl ( 1 l d w l e d g eo fr e l a t e d i l lt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d i e dt h cc h 删e r i z a t i o no fd o s e di m a g e so fl o c a l l y m c o m p a c tm e t n cs p a c e s ，t h em a i nr e s u l to b t a i n e di nt h es e c o n dc h a p t e ri s ： a s p a c e zi sac l o s e d i m a g co f a l o c a j l y c o m p a d m e l r i c s p a c c i f 彻d o n l y i f i t i s af 琵曲甜 s p a c cw i t hap o i n t c o u n t a b l ew e a l 【c o m p a c t 七n e 俩o r k j nt h et h j 砌c b 印t e f ；w es t u d i e dt h ec h 锄c t e r i z a t i o no f 洒a g c so f p a r a c o m p a c t 1 0 c a l l y m p a c ts p a c c s n d e rc c n a i ns e q u e n c e c o v 嘶n gc 一m 印p i n g s ，t l l em a i n r c s u l t so b t a i n e di nt h et h i r dc h a p t e ra r c ：( s e et _ l l e o r e m3 4 1 ，t h e o 佗m3 4 2 ，t 1 l c o r e m 3 4 3 ，t h c o r c m3 4 5 ，t h c o r c m3 4 7 ，t h c o r e m3 4 8 ) ht 置i ef o n hc h a p l e r f i r s l l y ，辆潆s h o wt l l a ta f c j 弘l 盯s p a c ew i t ha1 0 c a l l y u n t a b l e w e a k - b a s ej s 占咖e f j z a b l e s e c o n d l y ，w ee s t a b l j s ht 1 1 er c l a f i o n s h i p sb c 柳e e ns p a c c w i n lal o c 砌1 yc o u n t a b l e w e a l 【- b a s e ( r 鹤p s p a c e sw i t l la1 0 c a l l y u n t a b l ew e a l 【- b 鹤e 咖s i s t i n go fk o s u b s p a c e s ) 柚dm e t r i cs p a c c s ( r c s p 1 0 c a l l ys c p 袖l em e t r i cs p 撤s ) b ym e 锄so f m p a c t 。c 0 v e r i n gm a p s ，1 - s e q u e n c c c o v e f i l l gm a p s ，c o m p a dm a p s ， 石m a p sa n d 嚣m 印s ，柚ds h o wt l l a ta 1 1t h e s ec h m c i e r i z a t i o n sa r cm u t u a l l y e q u i v a l c n t 俐r m y w es h o wt 胁1 一s e q u e n c e c o v e r i 唱q u o t i e m ，姆m a p sp f e s e e s p a c c s 弼t l la1 0 c a l l yc o u n t a b l ew e a l 【b 嬲e k e yw o r d s ：a o s e d m a p s ；a l m a p 彤1 q u e n c c c o v 甜n g ；m 印s ；黜m a p s 岱一v e r s ；岱一c 0 v e 瞒趼一v e 珞；研一n e 脚o r k ；w e a l 【- 咖p a c t ； | i 一n e t w o r k s ；w e a i 卜b a s e s 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担 作者签名： 历么 日期：加7 年够月j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密团 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：老d 么日期唧年争月，日 导师签名：母a 已是日期：加9 年乒月夕日 1 1研究背景 第一章绪论 1 9 6 1 年，前苏联伟大的数学家彳z 聊一矗何在布拉格“一般拓扑学以及它 与现代分析和代数的关系”的国际学术会议上提出两类问题： a 什么空间类可以表示为“好的”空间类在“好的”连续映射下的象? b 什么空间类可以由“好的”映射类映入“好的”空间类? 彳蛔n 西够问题是用映射对空间进行分类的思想，这导致了空间和映射的 相互分类的方法1 9 6 6 年，著名的拓扑学家4 砌口粥讲蒯【1 l 发表历史性文献“映 射与空间”，对如何实施彳z 咖以咖研设想给出了一系列建设性的具体步骤，开创 了用映射研究空间的新纪元，成为了一般拓扑学发展的里程碑，推动着一般拓 扑学的发展，尤其是广义度量空间理论的迅猛发展 拓扑学的中心课题是确定和研究拓扑不变量爿庙研f 删，p d 砌粥加1 2 1 在 1 9 9 0 年指出：一般拓扑学致力于拓扑空间及连续性的研究，有三个主要的“内 在”任务，一是不同拓扑空间类的比较，二是确定类的研究，三是为上述目的及 应用的需要定义出新的概念和空问类实现任务一的联结空间的映射方法特 别重要，该方法是直接建立不同空间类之间的联系，任务二主要涉及空间类关 于运算的性质，而覆盖的方法对完成上述任务起重要的作用 那么，怎么样的空间类可以被视为是爿，删h 蚴问题中“好的”空间类? 怎样的映射类可以看成是问题中“好的”映射类? 自然，度量空间是我们研究 问题的开端，而商映射，伪开映射，双商映射，开映射和闭映射的确是达到了“好 的”映射的要求研究度量空间类在上述映射以及在附加纤维可分性或紧性等 条件时，这些映射的映象或逆映象的内在刻画，在林寿的专著广义度量空问与 映射和度量空间和函数空间的拓扑中便可以看出，这些方面的研究工作 已经获得了许多相当满意的结果2 0 世纪7 0 年代后，拓扑学者们又不断发现 了一些好的映射，如序列覆盖映射，序列商映射，子序列覆盖映射以及1 序列覆 盖映射和2 序列覆盖映射度量空间在这些“好的”映射下象空间的内在特征 也已经得到了详尽的描述( 参见文献 3 一 8 ) 探讨各类度量空间映射的内部特征是一般拓扑学的中心问题1 9 6 6 年，n 南卯l9 1 首先研究了可度量化空间闭映像的内在特征，提出了遗传闭包保 持集族的概念1 9 8 5 年，l 下醣甜1 1 0 1 利用这一概念与网络的结合，获得了度量 空间闭映象的内部特征( 即：拓扑空间x 是度量空j 日j 的闭映象当且仅当x 是具 有盯一遗传闭包保持七网络的正则的n 砒订空问) 以来，许多的拓扑学家对各 类度量空间闭映象的内部特征引起了广泛的关注近些年来，局部紧度量空间 的闭映象得到了广泛的研究例如： t 柚a l 【a 【l l l 证明了空间x 是局部紧度量空间的闭映象当且仅当x 是度量空 间的闭映象且x 的第一可数闭子空间是局部紧的；并且获得了如下的结论：在 拓扑空间x 中，下述命题相互等价：( 1 ) x 是度量空间的伪开s 一映象，并且每一 闭度量子空间是局部紧的；( 2 ) x 是局部紧度量空间的伪开s 一映象；( 3 ) x 是 局部紧度量空间的闭s 一映象；( 4 ) x 是具有点可数紧度量子空间的弱拓扑的 f r a c h e t 空闻 李招文和李进金1 1 2 1 研究了局部紧度量空间的商s 一映象，伪开s 一映象，闭s 一 映象的特征 李招文和李进金1 1 3 1 借助于商映射，伪开映射和闭映射建立了局部紧度量空 。阃和几类具有某些特定性质_ l ，l 七一系之间的联系，并获得了双商嚣一映射保持局 2 部紧度量空间 i f l 4 1 证明了局部紧度量空阉的闭映象等价于具有仃一遗传闭包保持的紧女 网络的黝甜空间 s 上咖1 证明了局部紧度量空间的闭映象等价于具有点可数七网络且它的 每一个第一可数的闭子空间是局部紧的f ，触甜空间 本文第二章将继续这个方面的讨论，借助于这些年发展起来的具有特定性 质的集族理论和具有点可数弱紧七网路的空间，对局部紧度量空间闭映象的内 部特征给出了一个新的刻画 利用映射建立各种拓扑空间之间的联系也是一般拓扑学研究的重要课题 之一m i c h p 1 ”利用多种映射建立了仿紧局部紧空间的映象理论 y a k a i 川研究了仿紧局部紧空间的七系结构林寿，李进金f 冽研究了拓扑空 间中七系之间的关系，获得了空间x 是五空间，且具有点可数( 或盯一遗传闭包 保持) 的可度量的t 系当且仅当x 是具有点可数( 或口一遗传闭包保持) 的紧七 网络的七空间李进金眇1 建立了仿紧局部紧空间的各类序列覆盖l 一映象和紧 覆盖商l 一映象的特征 本文第三章我们利用。覆盖、甜覆盖和铆覆盖的概念，建立了仿紧局部紧 空间的几类序列覆盖c l 一映象的内部特征 本文第四章中我们证明了具有局部可数弱基的正则空间是g 可度量的 其次，我们借助于紧覆盖映射、1 序列覆盖映射、紧映射、石映射和嚣映射，建 立了具有局部可数弱基的空间( 或具有由k 。子空间组成的局部可数弱基的空 间) 和度量空间( 或局部可分度量空间) 之间的联系，并且证明了它们的内部 特征是相互等价的第三，我们证明了1 序列覆盖、商嚣映射保持具有局部可 数弱基的空间 3 1 2 预备知识 本文所讨论的空间之满足五分离性的j 下则的拓扑空间，映射指连续的满映 射阿列夫空间记为k 空间，阿列夫零空间记为k 。空间表示实直线的自然 数子集，定义为u o ) 定义1 1 1 设映射，：j y ( 1 ) 厂称为闭映射，若，是z 的闭子集，则，伊) 是y 的闭子集 ( 2 ) ，称为完备映射，若厂是闭映射且每一，。1 0 ) 是x 的紧子集 ( 3 ) ，称为紧覆盖映射，若对于y 中的任一紧子集k ，存在x 中的紧子集 使得，( ) 一k ( 4 ) ，称为序列商映射1 2 l l ，对l ，中的收敛序列s ，存在x 中的收敛序列l 使 得厂( 工) 是s 的子序列 ( 5 ) ，称为序列紧覆盖映射，对y 中的收敛序列s ( 含有它的极限点) ，存在 x 中的序列紧子集使得，仁) = s ( 6 ) ，称为强序列覆盖映射嘲，若y 的每一收敛序列( 包含它的极限点) 都 是x 的某一收敛序列( 包含它的极限点) 在，下的象 ( 7 ) ，称为序列覆盖映射1 ，若对于y 中的序列咒一) ，那么存在 厂1 ( y 。) 使得在x 中一厂1 ( y ) ( 8 ) ，称为1 序列覆盖映射吲，若对于) ，y ，存在x ，一1 ( _ ) ，) 满足条件：如果 在y 中儿一) ，那么存在x 。，“( y 。) 使得在x 中石。一工 ( 9 ) ，称为子序列覆盖映射，若对于y 中含有极限点的收敛序列s ，存在 x 中的紧子集( 含极限点的收敛序列l ) 使得，) 是s 的子序列 ( 1 0 ) ，称为伪序列覆盖映射俐，若对于y 中含有极限点的收敛序列s ，存 4 在x 中的紧子集l 使得，仁) ；s 易验证， 完备映射 扎 1 序列覆盖映射紧覆盖映射 h 序列覆盖映射一序列商映射伪序列覆盖映射 廿 伪序列覆盖映射子序列覆盖映射子序列覆盖映射 定义1 1 2 设置是一个空间。p 是z 的子集 ( 1 ) 设x 中的序列 卜工，称纯 终于尸( 常驻于尹) ，如果存在册使 得 x u x 。：挖之肌 cp ( 存在 毛 的子序列 使得 善 u 工：七cp ) ( 2 ) 尸称为x 中的点x 的序列邻域”，若x 中的序列纯卜工，则序列 终 于p ( 3 ) p 成为x 的序列开集i “，若p 是p 中每一点的序列邻域 ( 4 ) 工称为序列空间，若x 的每一序列开集是工的开集 ( 5 ) x 称为l | 空间，若爿c x 使得对于x 的每一紧子集鬣。有k n 一是k 的闭子集，则爿是石的闭子集 ( 6 ) x 称为，酗e f 空间“，若x 彳cx ，则存在爿中的点组成的序列 使 ；导在j 中 毛，收敛于茗 定义1 1 3 设矽是空间x 的子集族f ” ( 1 ) 矽称为x 的点有限集族，若对于任意的x x ，集族 pc 矽，x p 是有 限的 5 数的 ( 2 ) 矽称为x 的点可数集族，若对于任意的x ，集族 p c 舻，z p 是可 ( 3 ) 矽称为x 的紧有限集族，若对于x 的每一紧子集k ，集族 p 矽，p n k _ a 是有限的 ( 4 ) 矽称为x 的紧可数集族，若对于x 的每一紧子集k 。集族 p 舻，pnk - 彩) 是可数的 ( 5 ) 矽称为x 的离散集族，若对于每一x x ，存在工在x 中的开邻域u 使得 集族 p 矽，p n u ，力 至多只有一个元 定义1 1 4 设矽是空间x 的覆盖 ( 1 ) 矽称为x 的网络l 丝l ，若x 的每一开子集是驴的某子集族的并 ( 2 ) 舻称为x 的七网络l ，若对于x 的每一紧子集k 及x 中包含k 的开子 集矿，存在矽的有限子集族册使得足cu 9 icy ( 3 ) 矽称为x 的岱网络，若z 中序列 ，收敛于x ，且y 是x 在x 中的邻 域，则存在p 矽使得序列怯 是终于尸的且| p c y ( 4 ) 矽称为x 的。网络3 ”，若z 中序列 k ) 收敛于x ，且y 是x 在z 中的邻 域，则存在p 护使得序列慨) 的某子序列是终于p 的且p c y 定义1 1 5 设舻是空间x 的覆盖 ( 1 ) z 称为由p 所决定的( 或关于矽具有弱拓扑) ，若爿c x 使得对于每一 p 矽，爿np 是p 中的闭集( 开集) ，则4 是x 的闭集( 开集) ( 2 ) 矽称为x 的j i 系( 础系) ，若x 由矽决定且驴中的元素都是紧子集( 紧 可度量子空间) 6 2 1 引言 第二章局部紧度量空间的闭映象 在本章中，我们介绍具有点可数七网络空间的闭映射性质，该问题的探讨 源于g r p 恕j j l 口g p ，m f 出口口f ，砌h d 七口2 4 1 关于具有点可数覆盖空问运算性质的研究 他们证明了完备映射保持具有点可数七网络的空间，并且提出问题：度量空间 的闭映象是否具有点可数的七网络? 利用七网络对度量空间闭映象的刻 画，工f d g p d 肯定回答了这一问题 寻求各类度量空间在一定映射下的象的内部特征是一般拓扑学的一个重 要问题局部紧度量空间是一类重要的拓扑空间度量空间的商映象是局部 紧度量空间的商映象冽然而，度量空间的闭映象不一定是局部紧度量空间的 闭映象实际上，任何一个非局部紧的度量空间不是局部紧度量空间的闭映 象 自从彳，| l 口玎g e f 政“哪提出研究各类度量空间的闭映象以来，激发了许多 研究者探讨各类度量空间的闭映象的内部特征近些年来，各类度量空间的闭 映象的内部刻画得到了一定的研究例如， ( a ) l 凡g e d 1 0 证明了空间x 是度量空间的闭映象当且仅当z 是具有盯一 遗传闭包保持七网络的正则的劂甜空间； ( b ) l f l l 4 证明了局部紧度量空间的闭映象等价于具有口一遗传闭包保持的 ( c ) t 柚a l 【a l “证明了空间x 是局部紧度量空间的闭映象当且仅当x 是度 7 量空间的闭映象且x 的第一可数闭子空间是局部紧的； ( d ) 林寿n 5 1 证明了局部紧度量空间的闭映象等价于具有点可数网络且 它的每一个第一可数的闭子空间是局部紧的f r 瑟矗甜空间 在本章中，我们讨论了具有点可数弱紧七网络的空问，证明了局部紧度量空 间的闭映象等价于具有点可数的弱紧t 网络的m e f 空间，由此给出局部紧度 量空间闭映象内部特征一个新的刻画 对空间x 的两个子集族3 和m ，我们记惑 m 一 s n r ：s ，r 9 t 2 2 定义及相关引理 定义2 2 1 设x 是一个空间，驴是x 的子集族，则 ( 1 ) 驴称为x 的紧七网络”i ，若矽是x 的t 网络且舻中的每一个元素都是x 的紧子集 ( 2 ) 矽称为x 的弱紧七网络，若矽是的七网络且矽中的每一个元素的闭包 都是x 的紧子集 显然，空间z 的紧七网络是x 的弱紧尼网络，空间z 的弱紧七网络是x 的七 网络 定义2 2 2 1 3 3 l 对空间x 的子集4 及x 的子集族矽，矽称为爿的极小覆盖， 若矽覆盖爿，且对于每一尸矽，矽 p 不是爿的覆盖 引理2 2 3 ( 1 ) x 具有点可数的七网络舻如果点石x 有可数局部基，那 么对x 的每一个邻域u 存在矽的有限子集趼使得茗( u m ) c u 巩c ，1 ( 2 ) z 是具有点可数的七网络的可数紧的七空间，那么z 是紧度量空间l ” ( 3 ) x 是具有点可数的七网络的紧空间，那么x 是可度量的 ( 4 ) ( m j s c c n k o f s 引理) 如果矽是工的点可数覆盖，那么工的每一非空子集 8 仅有至多可数个由舻的元组成的极小覆盖 2 3 主要结果及证明 引理2 3 1 【圳设，：x y 是完备映射，若y 是第一可数空间，如果 ，卜1 ( j ，) 是z 的第一可数子集，那么x 是第一可数空间 证明对于每一x x ，记y - ， ) 设 ，； ，。，是y 在y 中的可数局部基， 且 哆，。，是x 的开子集族，使得 巧n 厂。( y ) ，。是x 在，- 10 ，) 中的可数局部基 对于每一f ，令f f ) 一，。1 ( y ) 、k ，则e o ) 是z 的紧子集，所以存在x 中不相 交的开子集彬和g ，使得x 彬且e ( 石) cg ，于是，- 1 ( y ) ck ug 。由于，是 闭映射，存在五 r ，使得，- 1 ( u ) ckug ，从而( 工k ) n ，。( u ) cg ，不 妨设每一形，c 且。c 缈，往证 缈，n 厂。( u ，) ，。，是x 在x 中的可数局 部基 设z 中的序列“ ，使得每一石，暇n ，。，) 若是序列“的一个聚 点，由于，缸，) 夥，于是在y 中序列 ， ) 收敛于y ，所以石。厂。( ，) 如果 - 工，则存在以，使得x 圪，于是善o g 。，从而有无限个f ，使得 工。矽。ng 一d ，矛盾因而，- 工，即序列“) 仅能以z 为惟一的聚点 若序列“) 不收敛于x ，那么存在子序列 ) 在z 中离散，由于，是逆紧映射，不 妨设每一x 。隹，1 ( _ ) ，) ，于是 厂( ) ) 。在y 中离散，与序列 ，( 工。) ) 。收敛于 y 相矛盾，故x 是第一可数空间 引理2 3 2 i 吲空间x 是局部紧度量空白j 的闭映象当且仅当x 是具有点可 数七网络的黝甜空间，且它的每一第一可数的闭子空间是局部紧的 下面我们介绍具有点可数的弱紧豇网络空间的相关结果 引理2 3 3 设x 是具有点可数七网络的露空间，那么x 具有点可数的弱紧 七网络当且仅当j 的每一第一可数的闭子空间是局部紧的 9 证明必要性设x 是具有点可数七网络的七空问，是x 任意的第一可数 的闭子空间对石e ，令矽是x 点可数的弱紧七网络，令飒= p ne ：p 舻 ，那 么9 t 是e 的点可数的弱紧七网络，从而观是e 的点可数的t 网络因为e 是x 的 第一可数的闭予空间，那么，对任意的x ，点x 都有可数局部基由引理 2 2 3 ( 1 ) ，对x 的任意邻域u ，存在m 的有限子集巩使得 x ( u 飒。) 6cu 蹰 u 那么，存在矽的有限子集舻使得猊一 尸n ：p 矽 因为矽中的每一个元素的闭包是紧的，则有u f n ：p 矽) 是e 的紧子集， 且有工( u p n e ：p 矽) ) 。，所以e 是局部紧的 充分性设x 是具有点可数七网络的七空间且x 的每一第一可数的闭予空 日j 是局部紧的不失一般性，假设矽是空间x 的点可数七网络，它关于有限交是 封闭的用反证法，要证x 是具有点可数的弱紧七网络，往证：若x 不具有点可 数的弱紧七网络，则存在x 的某第一可数的闭子空间c ，它是非局部紧的 设k 是x 的紧子集，因为舻是空i 日jx 的点可数七网络，由引理2 2 3 ( 4 ) ，由 矽中的元组成k 的有限极小覆盖族至多是可数的，记为 芦。：f 对于每一 玎，让3 。一；乞卢，且s 。_ u 。，那么 s 。：忍) 是k 在z 中递减的网 我们断言：存在某一个删，瓯是x 的紧子集 事实上，倘若对于每一万j v ，如果i 不是石的紧子集，由引理2 2 3 ( 2 ) ， 则最不是x 的可数紧子集由 4 中的定理1 2 4 ，空间x 是可数紧空间当且 仅当x 的局部有限集族是有限的，而离散集族是局部有限集族，因此空间不 是可数紧的空间当且仅当x 的局部有限集族是无限的故s 含有一个无限的 闭离散子集见定义 c=k u ( u 。 ，d 。) ， 并且赋予c 具有x 的子空间拓扑，那么在c 里不存在k 的可数紧邻域由于x 是紧的，所以c 不是石的局部可数紧子集，故c 不是x 的局部紧子集定义 ，：c c ，k 是自然商映射， 那么，是完备映射并且有c k 是第一可数的( 事实上，c k 是可度量的) 由于c 是x 具有点可数的七网络的子空间，且对任意的y c k ，- 1 【y ) 是c 的 紧子集，由引理2 2 3 ( 3 ) ，所以，- 1 ( ) ，) 是c 的可度量子集，从而，。o ，) 是第一可 数的从引理2 3 1 。我们知道c 是x 的第一可数的囟子集，即证得了c 是x 的 非局部紧的第一可数的闭子集，矛盾因此，存在某一个肼，使得s 。是z 的 紧子集置 m - p 矽：p 是x 的紧子集 ， 设f 是j 的开子集且足c 秽取露掰使碍蜀cs 。cf 这就证明 瓯是9 t 的有限子集且有kcu9 。cu 因此玳是空间工的弱紧| 网络 由引理2 3 2 和引理2 3 3 ，我们有下面的定理，这是我们这一章中的主 要结果 定理2 3 4 空间x 是局部紧度量空问的闭映象当且仅当z 是具有点可数 的弱紧七网络的f ，鼬甜空间 注2 3 5 在文献 1 2 中，我们证明了空间x 是局部紧度量空间的闭s 映 象当且仅当x 是具有点可数的紧忌网络的七空间 1 1 第三章仿紧局部紧空间的c l 一映象 3 1 引言 利用映射建立各种拓扑空间之间的联系是一般拓扑学研究的重要课题之 一m i c h a e r l 6 1 利用多种映射建立了仿紧局部紧空间的映象理论y t 柚a l 【a f 叼 研究了仿紧局部紧空间的七系结构林寿，李进金研究了拓扑空间中七系之 间的关系，获得了空间x 是l 空间，且具有点可数( 或口一遗传闭包保持) 的可 度量的七系当且仅当x 是且具有点可数( 或盯一遗传闭包保持) 的紧七网络的七 空间李进金【1 9 1 建立了仿紧局部紧空间的各类序列覆盖l 一映象和紧覆盖商 一映象的特征本章中，我们利用岱覆盖、甜覆盖和研覆盖的概念，建立了 仿紧局部紧空问的几类序列覆盖c l 一映象的内部特征 3 2 相关定义 定义3 2 1 设映射，：x y ，称为c l 一映射”，对任一y 1 ，存在y 在 y 中的开邻域y 使得，1 ) 是x 的紧子集 定义3 2 2 设矽是空间z 的覆盖，p c x ( 1 ) 舻称为x 的七覆盖，若对于j 中的任一紧子集k ，存在矽的有限子族 矽c 矽使得k c u 矽 ( 2 ) 驴称为z 的岱覆盖( 岱覆盖) ，如果对于j 中的任一个收敛序列 饥 一茗，存在尸舻使得饥 终于p ( 常驻于p ) ( 3 ) 矽称为x 的研覆盖例，若矽中的任一元都是j 中某点的序列邻域且对 于任一z x ，存在工在z 中的序列邻域p 矽 3 3 相关引理及证明 我们可以很容易的证明引理3 3 1 和引理3 3 2 ： 引理3 3 1 设m 是仿紧局部紧空间，：m x 是c l 一映射，则 ( 1 ) m 存在局部有限开覆盖9 使得对于每一r 飒，r 是m 的紧子集 ( 2 ) 设矽一 ，( r ) ：月9 t ，则矽是由x 的紧子集组成的紧可数覆盖 引理3 3 2 设矽是由空间x 的紧子集组成的紧可数覆盖， ，z o 驴， ，：m x 是自然映射，则m 是仿紧局部紧空间且，是c 己一映射 引理3 3 3 设矽是空间x 的紧可数覆盖，那么矽是x 的七系当且仅当x 是 七空间且矽是x 的由紧子集组成的七覆盖 证明必要性设矽是空间x 的紧可数覆盖，且驴是x 的七系，显然x 是七空 间对于x 的任一紧子集k ，若不存在有限子族矽c 舻使得kcu 矽 对 于每一x k ，记 p 矽：x p 一 只( x ) ：，l ， 取五k ，那么存在k 的一个无限子集d 一 j 。：以 使得每一 x 。+ ，k u 。( 工j ) 因为k 是紧的，所以d 具有一个凝聚点，不妨设工是 d 的凝聚点，并且令l - d 石 ，那么l 不是x 的闭子集因为矽是x 的七系， 存在p 矽使得p n l 不是x 的闭集，因此p 包含l 的一个无限子集，设p 一只) ， 那么存在，l ，f ，使得石只( 工) ，矛盾故矽是x 的七覆盖 充分性设p 是七空间z 由紧子集组成的七覆盖如果x 不被矽所决定，那 么存在f c j 且对于每一p 矽，f n p 是x 的闭集，但f 不是x 的闭集因为工 是七空间，存在紧子集c 使得f n c 不是x 的闭集又因为矽是x 的女覆盖，存 在有限子族矽c 舻使得ccu 矽。即c u cnp ：p 矽 从 而，fnctu ( ，np ) nc ：p 矽 是x 的闭集，矛盾因此x 是由矽所决定 的，故矽是x 的七系 引理3 3 4 刎设，：x y 是商映射，若空间x 关于覆盖矽具有弱拓扑，则 空闻y 关于覆盖，汐) - ，( p ) ：p 矽) 具有弱拓扑 引理3 3 5 设矽是空间x 的紧可数甜覆盖，则对于x 中的任一收敛序 列一x x ，存在有限子族p cp 使得 工 u ( 善： cu 矽 引理3 3 6 4 1 设，：z y 是序列覆盖或序列商映射，若，是序列空间，则 ，是商映射 引理3 3 7 4 1 设，：x y 是紧覆盖映射，若y 是七空间，则，是商映射 引理3 3 8 眇1 设是z 是序列空间，：x y 是子序列覆盖映射，则，是序 列商映射 3 4 主要结果及证明 定理3 4 1 对于拓扑空间x ，下列条件等价： ( 1 ) z 是仿紧局部紧空间的紧覆盖c l 一映象 ( 2 ) x 具有由紧子集组成的紧可数七覆盖 证明( 1 ) ( 2 ) 设，：m x 是紧覆盖c 己一映射，其中m 是仿紧局部紧空 间，那么我们只需要证明引理3 3 1 中的矽是z 的露覆盖因为，是紧覆盖映 射，对x 的任一紧子集k ，存在j l f 的紧子集l 使得，仁) - k ，m 是肼的局部有限 开覆盖，历以存在有限子族m 。c 孤使得c u 孤，故有 k c ，( u 况) 一u 厂( r ) ：尺沉) cu 厂( 瓦) ：r m c 矽， 即得证 ( 2 ) 一( 1 ) 设舻是由空间z 的紧子集组成的紧可数七覆盖，那么。我们只需 1 4 要证明引理3 3 2 中的厂是紧覆盖映射对于x 中的任一紧子集k ，因为舻是 x 的七覆盖，存在有限个元 只矽：fs 以，使得kcu 。只令 l = o knp f ：fs ，l ， 则l 是肘中的紧子集且厂犯) 一k ，即证得，是紧覆盖映射 定理3 4 2 对于拓扑空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是仿紧局部紧空i 日j 的紧覆盖商c l 一映象 ( 2 ) x 是仿紧局部紧空间的商c 一映象 ( 3 ) 工具有紧可数七系 证明( 1 ) j ( 2 ) 是显然的 ( 2 ) 一( 3 ) 设肘是仿紧局部紧空间，：m 一工是商c 己一映射由引理 3 3 1 ( 1 ) ，m 存在由紧子集组成的局部有限覆盖9 l 一 瓦：r 孵 ，于是我们 有，肘由m 所决定由于，是商映射，由引理3 3 4 ，我们知道x 由矽= 厂( 撒) 所决定又因为，是c l 一映射，由引理3 3 1 ( 2 ) ，矽是由x 的紧子集组成的紧 可数覆盖，故矽是x 的紧可数七系 ( 3 ) ( 1 ) 设矽是空间x 的紧可数| i 系，由引理3 3 3 ，那么是七空间且p 是由x 的紧子集组成的覆盖由定理3 4 1 ，x 是仿紧局部紧空间的紧覆盖 c 一映象，再由引理3 3 7 ，我们证得x 是仿紧局部紧空间的紧覆盖商c l 一映 象 定理3 4 3 对于拓扑空间x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是仿紧局部紧空间的序列覆盖c l 一映象 ( 2 ) j 具有由紧子集组成的紧可数岱覆盖 证明( 1 ) 一( 2 ) 设，：m x 是序列覆盖c l 一映射，其中膨是仿紧局部紧 。空间，那么我们只需要证明引理3 3 1 中的舻是x 的岱覆盖对于工中的收 1 5 敛序列毛一工x ，由于，是序列覆盖映射，存在儿，1 纯) 使得在m 中 ，。一y 厂。o ) 。因为m 是仿紧空间，设孤是膨的开覆盖，于是存在月m 使 得y r 又因为r 是肘的开集，故r 是点y 的序列开集，从而尺是点y 的序列 邻域，所以存在坍使得当n2 小时， ) ，) u y 。：疗苫聊crc 尺，因此 工 u 工。：玎乏坍 c ，( 只) 矽，即证明了舻是x 的岱覆盖 ( 2 ) 一( 1 ) 设舻是由空间x 的紧子集组成的紧可数a 覆盖，那么我们只需 要证明引理3 3 2 中的，是序列覆盖映射对于z 中的收敛序列一z z ， 由于矽是x 的甜覆盏，存在p 矽使得序列 终于p 当以充分大时，我们可 以取y ，- 1 ( 工。) np ，则在m 中y 一y ，1 0 ) np ，即证明了，是序列覆盖 映射 推论3 4 4 对于拓扑空问x ，下列条件等价： ( 1 ) x 是局部紧度量空间的序列覆盖c 一映象 0 ( 2 ) ，称为姆映射1 3 8 1 ，若对每一y y ，存在y 在y 中的开邻域y 使得，“) 在x 中是可分的 度量空间上的每一个紧映射是石映射 定义4 1 4 对拓扑空间x ， ( 1 ) 空间x 是c o s m i c 空间，如果它具有可数网络 ( 2 ) 空间x 是k 。空间1 ，若它具有可数七网络，并且它等价于具有可数岱 网络的空间 ( 3 ) 空问x 是k 空间，若x 具有盯局部有限t 网络 定