（基础数学专业论文）关于半环上的矩阵.pdf

中文摘要 半环上的矩阵的研究理论是代数学的重要课题之一，它在最优化理论及图 论中有广泛的应用本文研究了半环上矩阵的分解、矩阵的周期和指标以及矩 阵的广义逆主要结果如下： 1 将有限分配格己上的矩阵分解为长度相同的有限链上的矩阵之和，从 而推广了有限分配格上的矩阵分解定理及有限链上的矩阵分解定理此外，我 们还进一步讨论了分配格上的矩阵的周期及指标，得到了一些有趣的结果 2 研究了半环上的矩阵的积和式，得到了积和式的一些性质并且讨论了 半环上的矩阵的幂序列，给出了一些有指标的矩阵的周期估计的方法及矩阵是 幂零的充分条件 3 研究了半环上的矩阵的广义逆，给出了矩阵的广义逆存在的充要条件： 同时，讨论了加法幂等元除半环上的上三角矩阵，得到了半环上的上三角矩阵 是正则及存在 2 卜- 逆的充分条件；还给出$ - - 阶矩阵是正则的充分必要条件 关键词 半环；分配格；矩阵指标；矩阵的周期；矩阵的m o o r e p e n r o s e 逆 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h et h e o r yo fm a t r i c e so v e rs e m i r i n g si sap r o b l e mo fa l g e b r a ，a n di th a s i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si no p t i m i z a t i o nt h e o r ya n dg r a p ht h e o r y t h ed e c o m - p o s i t i o n ，i n d i c e sa n dp e r i o d s ，g e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e so v e rs e m i r i n g sa r e s t u d i e di nt h i sp a p e r i tm a i n l ya c h i e v e di nt h ef o l l o x d n ga s p e c t s ： 1 am a t r i xo v e raf i n i t ed i s t r i b u t i v el a t t i c ec a nb ed e c o m p o s e di n t ot h e s u mo fs o m em a t r i c e so v e raf i n i t ec h a i nw h o s en u m b e ro fe l e m e n t sa r eo ft h e s a m ei sp r o v e d a sar e s u l t ，b o t ht h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fam a t r i xo v e ra f i n i t ed i s t r i b u t i v el a t t i c ea n dt h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fam a t r i xo v e raf i n i t e c h a i na r eg e n e r a l i z e da n de x t e n d e d f u r t h e r ，b yt h ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e m ，t h e i n d e xa n dp e r i o do fam a t r i xo v e raf i n i t ed i s t r i b u t i v el a t t i c ea r es t u d i e da n d s o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t sa r eo b t a i n e d 2 t h ep e r m a n e n to fm a t r i c e so v e rs e m i r i n g si ss t u d i e da n dt h ep r o p e r t i e s o fp e r m a n e n ta r eg i v e n a l s o ，w es t u d yt h ei n d i c e sa n dp e r i o d so fm a t r i c e so v e r s e m i r i n g s ，a sar e s u l t ，t h ee s t i m a t i o no fp e r i o d so fs o m em a t r i c e sa n da s u f f i c i e n t c o n d i t i o nf o rm a t r i c e st ob en i l p o t e n ta r eg i v e n 3 t h eg e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e so v e rs e m i r i n g si ss t u d i e da n dan e c - e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rm a t r i c e st oe x i s tg e n e r a l i z e di n v e r s ei sg i v e n a l s o ，t h eu p p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e sa r es t u d i e d ，a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ru p - p e rt r i a n g u l a rm a t r i c e so v e rs e m i r i n g st ob er e g u l a ra n dt oe x i s t 2 l i n v e r s ea r e g i v e na n dan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r2 2m a t r i c e st ob er e g u l a ri s g i v e n 1 1 k e y w o r d s s i m i r i n g ；d i s t r i b u t i v el a t t i c e ；i n d i c eo fm a t r i x ；p e r i o do fm a t r i x ；m o o r e - p e n r o s ei n v e r s eo f1 2 1 a t r i c e s n l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 墨差蓑妻霉：薹茎于盟指导教师签名：燮学位论文作者签名：么显鱼盗指导教师签名：垫型二玉 沙l 。 年多月f 口日力伊年月i oe i 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：杏稿 b 卜年6 月f 。日 西北大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 半环理论自从于1 8 9 4 年d e d e k i n d 在代数数论的原著中提出以后，在2 0 世纪6 0 年代又得到了发展，到了8 0 年代半环理论已经十分丰富，应用十分 广泛，成为一门重要的代数学分支半环上的矩阵是半环理论的重要研究 课题之一在1 9 6 4 年，r u t h e r f o r d 在不用行列式的情况下给出了交换半环 上c a y l e y - h a m i l t i o n 定理的证明【1 】从那以后，许多数学工作者对半环上的矩 阵理论进行了深入、细致的研究，截至目前已有很多关于半环上的矩阵理论的 专著，如文献【1 - 7 】1 9 9 9 年，g o l a n 在其著作【8 】中研究并整理了半环及半环上 的矩阵半环上的矩阵理论在很多领域有着广泛的应用，例如：最优化理论、图 论 许多学者对一些特殊半环上的矩阵的幂序列进行了研究，并得到了许多成 果，如文献【9 1 8 】矩阵分解定理对模糊矩阵及分配格上的矩阵的幂序列周期和 指标的研究起到了重要的作用，如文献【1 9 】在文献【2 0 】中，赵宪钟教授将模糊 矩阵的分解问题转化为有限链l m ：【o ，1 ，m 一1 ) 上的矩阵的分解问题，并将 有限链l m 上的矩阵分解为有限链l k ( k m ) 上的矩阵之和，从而推广了模糊 矩阵的分解定理受有限链上的矩阵分解定理的启发，我们提出了这样的问题， 就是我们能否把有限分配格上的矩阵分解定理作类似推广，即将有限分配格l 上的矩阵分解为有限短链上的矩阵之和? 本文在第二章对此问题进行了探讨， 将有限分配格l 上的矩阵分解为长度相同的有限短链上的矩阵之和，从而推广 了文献【1 9 】中有限分配格上的矩阵分解定理及文献【2 0 】中有限链上的矩阵分 解定理而且还进一步讨论了分配格上的矩阵的周期及指标，得到了一些有趣 的结果 在第三章我们继续对半环上的矩阵的幂序列进行了研究，给出了矩阵有指 标的等价条件及对某些矩阵的周期估计的方法幂零矩阵作为一类特殊的有指 】 第一章绪论 标的矩阵是一类重要的矩阵自2 0 世纪6 0 年代，许多学者对一些特殊半环上 的幂零矩阵进行了研究，如文献【2 1 2 6 】在前人研究基础上，给出了半环上的矩 阵是幂零的充分条件 广义逆矩阵特别是正则矩阵在矩阵理论中扮演着重要的角色近来，许多 学者对半环上的正则矩阵进行了研究，如文献f 2 7 - 3 a 本文在第四章也对半 环上的矩阵的广义逆进行了探讨，给出了矩阵的广义逆存在的充要条件；讨论 了加法幂等元除半环上的上三角矩阵，得到了半环上的上三角矩阵正则及存 在 2 卜逆的充分条件；还给出了二阶矩阵是正则的充分必要条件 l - 2 预备知识 定义1 2 1 n 设s 是装有两个二元运算“+ ”和“”且包含0 和1 的集合 如果满足 ( 1 ) ( s ，+ ，0 ) 是交换幺半群，其中0 为加法幺元素； ( 2 ) ( s ，1 ) 是幺半群，其中1 为乘法幺元素； ( 3 ) ( v a ，b ，c s ) o ( 6 + c ) = a b + a c ，( b + c ) 口= b a + c a ； ( 4 ) ( v a s ) o a = a o = 0 ， 那么称( s ，+ ，0 ，1 ) 是半环，简记为s ，其中加法幺元素0 称为半环s 的零元， 而乘法幺元素1 称为半环s 的单位元为方便起见，如果没有特殊说明本文中 的s 指半环 对任意的a ，b s ，若a b = b a ，则称s 为交换半环；若a b = 0 蕴含a = 0 或b = 0 ，则称s 为整半环 对任意的a s ，若存在a 一1 s 满足a a 一1 = a - l a = 1 ，则称a 为可逆的； 若s 中的任意非零元均可逆，则称s 为除半环 若对任意的a s ，均有a + a = a ，则称s 为加法幂等元半环显然，布尔 代数、模糊代数、坡均为加法幂等元半环对任意的a ，b s ，若a + b = 0 蕴 含a = 0 ，b = 0 ，则称s 是反环对任意的a ，b ，c s ，若a + b = a - fc 哥b = c ， 2 西北大学硕士学位论文 则a 是可消的；若s 中任意元素都可消，则称半环s 是可消的 设s 是半环对a s ，若a 0 且存在正整数k ，使得a 七= 0 ，则称a 为s 中的幂零元 定义1 2 2 【8 l设s 是半环，是s 上的偏序关系若对任意的a ，b ，c s 满 足： ( 1 ) 若a b ，则a + c b + c ； ( 2 ) 若a b 且0 c ，则a c b c ，c a c b ， 则称( s ，+ ，) 是偏序半环若s 是偏序半环，且对任意a s 有0 a ，则 称s 是非负半环 设s 是半环，记s 上全体nxn 矩阵构成的集合为m n ( s ) 根据文献【8 】 中结论，我们知道若s 是半环，则m n ( s ) 是半环，其中m n ( s ) 的零元记为0 ， 单位元记为， 定义1 2 3 1 8 设s 是半环对任意的a = ( a i j ) ，b = ( b i j ) m n ( s ) ，称 a + b = ( a i j + ) 为a 与b 的和 a b = ( ) ， 为a 与b 的积，其中c 巧= ：lo 识a b 简记为a b 定义1 2 4 设s 是半环对任意的a m n ( s ) ，令a 1 = a ，a 七= a k - x a ( k 2 ) ， 称 a 忌) 七2 1 为a 的幂序列；若存在正整数k 和d ，使得a 七= a 七+ d ，则称最小 的正整数k 和d 为a 的指标和周期，分别记为i ( a ) ，p ( a ) ；此时，称a 有指标； 若存在正整数k 使得a k = o ，则称a 是幂零矩阵 可见，幂零矩阵是一类特殊的周期为1 的有指标的矩阵 3 第二章有限分配格上的矩阵分解定理 第二章有限分配格上的矩阵分解定理 有限分配格是一类特殊的半环，其上的二元运算分别记为“v ”和“a ” 本章将研究有限分配格上的矩阵通过建立新的映射将有限分配格上的矩阵分 解定理进行了推广 2 1 有限分配格到有限链的映射 定义2 1 1 【3 5 】设l 为格对任意的a l ，若a = xvy 蕴涵x = a 或y = a ， 则称a 为l 的一个并既约元 例2 1 1若l 7 2 为7 2 的所有正约数构成的整除格，则l 7 2 的并既约元集合 为 1 ，2 ，3 ，4 ，8 ，9 】 我们在下面会多次用到这个例子 设( l ，v ，a ，0 ，1 ) 为有限分配格，为l 上的偏序关系我们会发现如下事 实：若j 为l 的所有并既约元的集合，则j 有有限个极大元若m 是，的极大 元，则0 与仇之间存在一条极大链，假定为0 = x 0 x l x 2 x n = m ， 也就是说，在，的哈斯图中，对任意的1 i j n ，都有巧覆盖觑于是可 以将j 看作一些有限链的并集，即j = u 1 啦! ，其中残) + 1 是0 与j 的一 个极大元间的一条极大链，即z g z f z z 9 ) z 辫l z 黝， f 是0 与厂的极大元间的极大链的条数因为o 与j 的一个极大元间的极大 链可能不唯一，所以z 与，的极大元的个数可能不相等 例2 1 2 l 是一个有限分配格( 如图1 ) ，并且j = a o ，a l ，a 2 ，a 3 ，0 5 ) 可 见0 5 是j 中的极大元，知是j 中的极小元但是，从，的哈斯图( 如图2 ) 中，我们发现j 有两条从a o 到0 5 的极大链，即，正1 ) ：a o n l 口2 0 5 和2 ) ：a o n 1 n 3 0 5 4 西北大学硕士学位论文 a 4a 3 定义2 1 2 对任意的o l ，1 t l ，定义从l 到喽) + 1 的映射，( ) 如下： ，c t ，c 口，= 耋：三三二参二n 芝z 辫。r n 。一l ， 例2 1 3 设l r 2 为有限分配格，= 1 ，2 ，3 ，4 ，8 ，9 ) ，矗1 = l ，2 ，4 ，8 ) ，2 ) = 1 ，3 ，9 ) 则有 ，( 1 ，= ( ：2 2 3 l4 46 28 8 9 l ：苫：7 8 2 ) ， 产) = ( ：2 3 4 3 68 19 9 孑苫2 3 43 9 6 7 9 2 ) ， 由计算可看出，l 7 2 中元素的像在该元素的正下方 引理2 1 1 3 5 1 设l 为分配格，为厶的所有并既约元的集合若p z 且p v 警1x i ( x i l ，l i m ) ，则存在i o ，1 i o m ，使得p x i o 命题2 1 1设l 为有限分配格，为l 中所有并既约元的集合，且j = u 名1 喽) + 1 那么对任意的口，b l 和任意的正整数t ，1 t z ，有 ( i ) 若a b ，则) ( q ) 产( 6 ) ； ( i i ) ( 口vb ) = ，( ( 口) v ( 6 ) ； ( 溉) ，( ) ( nab ) = ，( ) ( o ) a ，( t ) ( 6 ) 证明 ( i ) 对任意的a ，b l ，若a b ，根据定义2 1 2 ，很容易验证，( ) ( 口) ) ( 6 ) 5 第一二章有限分配格上的矩阵分解定理 ( i i ) 如果nvb z 辫，那么由定义2 1 2 有，( t ) ( ov6 ) = z 黝由引理2 1 1 ， 有n z 黝，b z 兽由厂( 。) 的定义，知道，( t ( n ) v ，( ( 6 ) ：z 辫 如果口vb z ) 并且nv6 芝z 辫1 ( o r m 一1 ) ，那么由定义2 1 2 ， 有，( ( ov6 ) = z 又由引理2 1 1 ，有n z 或者b z 妒，和n 芝 z 耸1 ，b 芝z 辫1 通过，( ) 的定义，知道，( t ( o ) = z 或者，( t ( 6 ) ：z t ) ，并 且厂( 2 ) ( o ) z 辫1 ，( ) ( 6 ) z 辫1 于是，( t ) ( n ) v ，( t ( 6 ) = z ) ( i i i ) 若nab z 黝，则由定义2 1 2 有f c o ( av6 ) = z 黝由oab z 黝， 有o z 辨，b z 黝由，( 。) 的定义，有，( t ( q ) a ，( f ) ( 6 ) = z 黝 若口ab z ) 和nvb 芝z 辫l ( o r m 一1 ) ，则由定义2 1 2 ， 有，( 。) ( a 八6 ) = z ) 由于q z 9 ，b z ，) ，和。芝z 辫1 ，或者b 芝z 辫1 由f ( o 的定义，有，( 。( o ) = z ) 或者厂( 。( 6 ) = z ) s of c o ( a ) ay c 0 ( b ) = z ) 证毕 注：由命题2 1 1 可以看出，( ) 是个保序映射，并且是有限分配格l 到有 限链喽) + l 的同态映射 定义2 1 3 对任意的1 t l ，定义m n ( l ) 到m 几( 磋) + 1 ) 的映射弘) 如下： 芦( a ) = 五， 令a = ( 薹荸) m 。c l 7 2 ，那么 1 ) c a ，= ( 三三三) ，2 ，c a ，= ( 三三三) 6 西北大学硕士学位论文 命题2 1 2 设l 为有限分配格j 为l 中所有并既约元的集合，且j = u 名1 啦! 则对任意的a = ( a i j ) ，b = ( ) m n ( l ) 及任意正整数亡，1 t f ， 有 ( a b ) = f 。( a ) ，( 。) ( b ) 证明 ，2 ( a b ) f ，j 】= = v ，( a i k ) a ，( ) = ( a ) f 2 ( b ) k ，外证毕 k = l 推论2 1 1设l 为有限分配格，为l 中所有并既约元的集合，且j = u 名1 啦! 则对任意的正整数k 及任意的a m n ( ) ，有 严) ( a 七) = ( 弘( a ) ) 七 2 2 矩阵分解定理 在这一节，首先将有限分配格上的矩阵分解为一些有限链磋j + 1 ( 1 t z ) 上的矩阵之和；其次，将有限链喽) + 1 ( 1st z ) 上的矩阵分解为识l ( 1 t f ) 上的矩阵之和；再次，给出了有限分配格上的另一矩阵分解定理；最后，讨 论了有限分配格上矩阵的周期和指标 为给出本节的主要定理，还需要下面的两个引理： 引理2 2 1 1 9 设l 为有限分配格j 为l 的并既约元的集合对任意的q l ， n = v p 正p q p 由引理2 2 1 及，( ) 的定义，立即可得： 引理2 2 2 设l 为有限分配格，j 为l 中所有并既约元的集合，且j = u ：1 缘1 那么对任意的o 厶v 名1 ，( t ( 口) = o 7 巧 l u八 塘 o o ， n v 脚 = 幻 b 诸 o n v 汹 0 ，j 第= 章有限分配格上的矩阵分解定理 证明 对任意正整数t ，1 t z ，都有o ，( 。) ( o ) 又对任意的p j ，p a ， 由定义2 1 2 ，存在正整数t ，1 t f ，使得厂( 。) ( o ) p 从而，对任意 的o l ，v ：1 ，( 2 ) ( o ) = v p j p 口p = n 证毕 于是由引理2 2 2 ，我们立即可得： 定理2 2 1 设l 为有限分配格，为l 中所有并既约元的集合，且j = v ：1 襞) + 1 若a = ( 口巧) m 礼( l ) ，贝o a = v 。弘( a ) 注：定理2 2 1 ，表明有限分配格上的矩阵可分解为有限链( 1 t f ) 碟) + 1 上的矩阵之和 类似于f 2 0 】中的定义，下面我们来定义有限链鹾1 1 - q 之间的映射 规定h = f 尚 定义2 2 1 对任意的1 s h ，定义从缘1 到i ( k t 的映射妒臻1 ，七如下： 激蛐瞄1 = 悸 i f 尼一1 ) 8 定义2 2 2 对任意的正整数s ，s h ，如果s h ，定义从到段1 的映 射砂蹴卅如下： 矽跺。+ 。c z ，= 三藿。，。一，+ ；，0 1 = i i 。七一1 ， 如果s = h ，定义从到磷) + 。的映射妒跣+ 。如下： 砂蹴t + 1 ( z = 0 = i 1 i r ， r i 0 ，与假设矛盾证 毕 3 2 半环上矩阵的幂序列 本节我们将给出有关半环上矩阵的指标和周期的一些结论 通过下面的两个定理，我们给出了矩阵有指标的等价条件 定理3 2 1令a ，b m n ( s ) ，如果b = c a c ，其中c m n ( s ) 是可逆矩 阵，那么a 有指标当且仅当b 有指标并且在这种情况下，i ( a ) = i ( b ) ，p ( a ) = p ( b ) 证明 ( 1 ) 必要性：若a 有指标，则a ( a ) = ( a ) + p ( a 1 于是有， b i ( a ) ：c a i ( a ) c 一1 = c a i ( a ) + p ( a ) c 一1 ：b ( a ) + p ( a ) 因此b 有指标，且i ( b ) i ( a ) ，p ( b ) p ( a ) 另一方面，a = c b c ，b i ( b ) = b ( b ) + p ( 引于是有 a ( b ) ：c 一1b i ( b ) c ：c 一1b i ( b ) + p ( b ) c ：a ( b ) + p ( b ) 因此，i ( a ) si ( b ) ，p ( a ) p ( b ) 从而i ( a ) = i ( b ) ，p ( a ) = p ( b ) ( 2 ) 充分性：若b 有指标，a = c b c 类似于上面的证明，易证a 有指 标且i ( a ) = z ( b ) ，p ( a ) = p ( b ) 证毕 定理3 2 1 推广了文献【1 8 】中的定理3 3 引理3 2 1 【1 8 】设s 是半群如果a s 有指标，那么a 七= a k + d 当且仅 当k2i ( a ) 和p ( a ) l d 1 4 西北大学硕士学位论文 定理3 2 2 设s 是加法幂等元半环如果a m n ( s ) 有如下形式： a = ( 三兰) ， 其中b m n ，( s ) ，c m n 。( s ) ( n 1 + n 2 = 几) 是非零矩阵且0 是零矩阵，那 么a 有指标当且仅当b 和c 有指标在这种情况下，p ( a ) = f c m 【p ( b ) ，p ( c ) ) 肚( 蔷品叼0 。) 必要性：若a 有指标，则a i ( a ) = a i ( a ) + p ( ，并且 因此b ，c 有指标由引理3 2 1 知，p ( b ) l p ( a ) ，p ( c ) i p ( a ) ，于是t c m p ( b ) ， 充分性：假若b 和c 有指标令k = ( b ) + t ( c ) ，l = z c m 切( b ) ，p ( c ) ) 扛k + o lc d b 州一诗k + 0 2 。c d b 蠡+ 烈 如果i k - 4 - l i ( b ) ，那么k - 4 - l i i ( b ) 于是由引理3 2 1 有， 如果i k + l i ( b ) ，那么i 2 + ( c ) 于是由引理3 2 1 有，c d b 七+ 一= “d b _ i c “一i = c i + t d b k + 2 z 一( 件n 因为i + l k + 2 1 ，所以c 件。d b 七+ 纵一( 件) 1 5 第章半环上矩阵的积和式和矩阵的幂序列 如果i f + i ( c ) ，那么i f t ( c ) 于是由引理3 2 1 有，c d b 知+ 2 。一i = c i - i d b 七+ 2 2 一= c i - i d b k “一( 一n 因为i z k + z ，所以c i 一。d b 七+ l - ( 扛。) 是 等式左边的一项 如果i k i ( c ) = i ( b ) 由引理3 2 1 有， c d b j c + 2 z 一= c d b ( k + t t ) + f = c i d b 七+ f i ，而c i d b k + t i 是等式右边的一项 由于半环是加法幂等元半环，所以等式成立于是有a k + t + l = a k + 2 1 + 1 因 此s 有指标，并且p ( a ) i i 因此有p ( a ) = f 彻 p ( b ) ，p ( c ) ) 证毕 定理3 2 2 推广了文献【1 8 】中的定理4 2 下面将对某些矩阵的周期进行估计 引理3 2 2 对任意正整数n ，存在矩阵a m n ( s ) 使得a 有指标且p ( a ) = n 证明定义矩阵a = ( a i j ) m n ( s ) 如下： a i i + l ：= 1 ，1 i n 一1 ， a n l ：= 1 a i j ：= 0 ，其它 那么a 有如下形式： a = 010 0 0 01 0 0 00 1 100 0 通过计算，a ，a 2 ，a n 互不相同且a n = i 因此a = a n + 1 ，即i ( a ) = 1 ，p ( a ) = n 证毕 引理3 2 2 推广了文献 1 8 】中的引理4 1 定理3 2 3 设s 是加法幂等元半环令n = n 1 + 几2 + + n r 且对任意 的i ( 1 i r ) 有t l i 1 那么存在矩阵a m n ( s ) 使得a 有指标， 且p ( a ) = l c m n l ，r t 2 ，几，) 1 6 西北大学硕士学位论文 a ：厂三量i ；三、， a = ( 三：知) ，其中b m - 一c c s ，有p c b ，= 七，厶一七是n 一后阶单位矩阵 第四章半环上矩阵的广义逆 第四章半环上矩阵的广义逆 本章讨论了半环上的分块矩阵的广义逆，以及一类特殊半环一加法幂等元 除半环上的上三角矩阵，得到了上三角矩阵正则及存在 2 ) 一逆的充分条件，以 及二阶矩阵正则的充分必要条件 4 1 半环上的矩阵的广义逆 定义4 1 1 【8 】设s 是半环对a m m n ( s ) ，若存在x m n m ，满足下列条 件： ( 1 ) a x a = a ；( 2 ) x a x = x ；( 3 ) ( a x ) t = a x ；( 4 ) ( x a ) r = x a 则称x 为a 的m o o r e p e n r o s e 逆，简称m p 逆，记作a + 如果 存在xe m n m ( s ) 满足上面的等式中第i 个，则称x 为a 的一个 i ) 逆，并且记a i ) = 【x m n m ( s ) ，x 是a 的 一逆) ，i 1 ，2 ，34 ) ， 记a i l ，i p ) = a i l na i 2 n na i p ) ，其中i l ，i p 1 ，2 ，3 ，4 用a ( i l , i 2 , - - - , i p ) 表示a i l ，i 2 ，i n 中的元素 特别的，若a 存在 1 ) - 逆，我们称a 是正则的 定义4 1 2 i s 设s 是半环对a m n ( s ) ，若存在b m n ( s ) ，使得a b = b a = i ，则称a 是可逆矩阵 由定义可知，若矩阵可逆则必存在m p 逆，反之不成立 命题4 1 1令a6 m m ，n ( s ) 下面两条等价： ( 1 ) a 存在m p 逆( 2 ) a t 存在m p 逆 证明若a 存在m p 逆，则存在x m n ，m ( s ) ，使得 ( 1 ) 似a = a 对式子两边同时转置，有( a x a ) t = a r ，即a t x t a r = a r ( 2 ) x a x = x 对式子两边同时转置，有( x a x ) r = x t ，即x r a t x r = x 7 】8 西北大学硕士学仲论文 ( 3 ) ( x a ) r = x a 存在x r ，使得( a t x 丁) t = x a = ( x a ) t = a t x r ( 4 ) ( 似) r = a x 存在a 丁，使得( x t a t ) t = a x = ( a x ) 丁= x r a t 证 命题4 1 2 令a m m ，n ( s ) ，b m p ，q ( s ) 若a ，b 存在m p 逆，则分块矩 ( 。a o l o l o b 0 ) 也存在m p 逆 ( 。ao ) o ( ob 0 卜 玲0 。爿 若x 是4 的m p 逆，y 是b 的m p 逆，则易验证 推论4 1 1 7 和0 言) 分别为( 三o ) o ( ob 0 ) 的m p 逆 若a i i m m 。m ( s ) 存在m p 逆，则 若a t m n 。( s ) 是方阵且可逆，则上面的分块矩阵也可逆 4 2 加法幂等元除半环上的矩阵的广义逆 通过下述定理说明整的反环与加法幂等元除半环之间的关系 1 9 也存在m p 逆 、夕 d y x d 明 毕 证 证 、l， d o ； 一 。 一 d 如 ； d m o ； o ，j-。一 第网章半环上矩阵的广义逆 引理4 2 1 【8 】设s 是半环若s 是加法幂等元半环，则s 是反环 定理4 2 1 设s 是半环若s 是加法幂等元除半环，则s 是整的反环 证明由引理4 2 1 可知s 是反环下面证明s 是整的若对a ，b s 有a b = 0 假设a ，b 均为非零元，根据除半环定义，存在a ，b - 1 s ，使 得a a 一1 = a 一1 a = 1 ，b b 一1 = 6 1 b = 1 给a b = 0 两边均乘以a - ，得a - l a b = a - l o = 0 ，从而a - 1 a b = 0 ，l b = 0 ，b = 0 与假设矛盾从而得到，若a b = 0 ， 则a = 0 或b = 0 于是s 是整的反环证毕 通过下面的定理，给出了加法幂等元除半环上一类构成正则半群的矩阵 定理4 2 2 设s 是加法幂等元除半环记m 乎( s ) = a = ( a o ) m 3 ( s ) i a i 歹= o ( i j ) ，a j o ( i 歹) ，a 2 3 = o ) ，则( m 爹( s ) ，) 是正则半群 证明 1 。封闭性对于任意的a = ( a o ) ，b = ( b i j ) m 爹( s ) ，令a b = c 根 据矩阵的乘法定义知， c i i = a i i b i i ( 1 i 3 ) ，c 1 2 = a l i b i 2 + a 1 2 5 2 2 ， c 1 3 = a l i b i 3 + a 1 3 b 3 3 ，c 2 1 = c 3 1 = c 2 3 = c 3 22 0 由于s 是整的，且a i i 0 ，b i t 0 ，所以0 又由s 是整的，知 a l i b i 2 0 ，a 1 2 b 2 2 0 ，a l i b i 3 0 ，a 1 3 b 3 3 0 ， 并且s 是反环，所以c 1 2 0 ，c 1 3 0 从而a b m 矿( s ) 2 。结合律由m n ( s ) 是半环知结合律成立 3 。正则性对给定的a = ( a o ) m ( s ) ，假设存在x = ( ) m 争( s ) ， 使得a x a = a 记a x a = c = ( ) 根据矩阵乘法定义可知， c i i = a i i x i i a i i ( 1 i 3 ) ， c 1 2 2a l l x l l a l 2 + a l l x l 2 a 2 2 + a 1 2 x 2 2 a 2 2 ， c 1 3 2a l l x l l a l 3 + a l l x l 3 a 3 3 + a 1 3 x 3 3 a 3 3 ， c 2 1 5c 3 12 c 2 32c 3 22 0 西北大学硕士学位论文 若a = c ，则c i i = a i i ，从而可令x i i = a i i 由s 是加法幂等元除半环可知， a l l x l l a l 2 + a l l x l 2 a 2 2 + a 1 2 x 2 2 g 2 2 a l l a l l l a l 2 + a l l x l 2 a 2 2 + a 1 2 a 2 # a 2 2 a 1 2 + a l l x l 2 a 2 2 + a 1 22a 1 2 + a l l x l 2 a 2 2 若c 1 2 = n 1 2 ，则可使x 1 2 = o 膏口1 2 口2 - 2 1 同理可令x 1 3 = o 膏n 1 3 0 者，使得c 1 3 = a 1 3 于是存在x m ( s ) ，使得a x a = a 证毕 为给出n 阶正则上三角矩阵的性质，我们还需要给出下面的引理 引理4 2 2 设s 是反环，若墨1a i = 0 ，则a i = 0 ( 1 i 扎) 证明( 1 ) 当几= 2 时，根据反环定义可知命题成立 ( 2 ) 假设当佗= k 时成立，即若警1a i = 0 ，则a i = 0 ( 1 i 忌) 当佗= k + 1 时，由加法的结合律可知，若酱a i = 0 ，则警l 啦+ a k + 1 = 0 由反环定义知，笔1a i = 0 且a k + l = 0 从而= 0 ( 1 isk + 1 ) 证毕 定理4 2 3 设s 是加法幂等元除半环，a = ( a o ) 为n 阶上三角矩阵， 且a i j o ( i 歹) 若存在x = ( z 巧) ，使得a x a = a ，则x 也为上三角矩阵， 且x i i 0 证明记a x = c = ( ) ，a x a = b = ( ) ，则c a = b 根据矩阵的乘 法定义，有= 是1a i k x k j ，b i j = ：1 ( e l la i k x k ，n 巧) 由于a 为上三角 矩阵，a r j = o ( r j ) ，a i k = o ( i 七) ，所以b i j = ；：1 ( 怎t a i k x k r o 巧) 又 由于b i j = a i j = o ( i j ) ，即b i j = ；：1 ( ：t a i k x k r a r j ) = o ( i 歹) 由引 理2 得a i k x k r a r j = o ( r j r ) 所以x 为上三角矩阵 下面证明x i i 0 由上面的计算结果可知，b i i = ；：1 ( 怨i a i k x k r ) 由于s 是整的，所以只有当a i k 0 ，x k r 0 ，a r i 0 时，a i k x k r a r i 0 由于ax 为上三角矩阵，所以只有当i k r i ，即i = r = k 时， 有a 诸0 ，z h 0 ，a 俺0 即b 瓿= a i i x 越a “= a 税0 所以x i i 0 证毕 对于上三角矩阵a ，若o ( i j ) 不成立，则定理4 2 3 中x 不是上三 2 1 第网章半环上矩阵的广义逆 角矩阵下面举一反例 例4 2 1 设s 是加法幂等元除半环，若给定a = ( 1 鼍2 三三) m 3 c s ，c 其中。“。 c 1 i 3 ，。铝。c l t 3 ，则存在x = ( 口圣三) ，使得a x a = a 通过下面的定理，给出一类特殊的正则矩阵 定理4 2 4 设s 是加法幂等元除半环，a = ( a i j ) 为s 上的n ( 3 扎4 ) 阶 _ l = - - 角矩阵r 0 ( i j ) 若a i j = a i u 一1 ) 口a - + 11 ) 。一1 ) a ( i + 1 ) j ，其中j i 2 ， 则a 为正则矩阵 证明( 1 ) 当n = 3 时， 对于给定的a = ( 1 鼍! 兰) ，令x = ( 1 2 三3 ) ，其 中x i i = a i i 记似a = b = ( b i j ) 根据矩阵乘法及加法幂等元除半环的定义， 经计算可得 幻= o ( i j ) ，b i i = a i i x i i a i i = a i i a i ia i i = a i i