（光学专业论文）热等离子体中横模和纵模的色散关系研究.pdf

摘要 摘要 等离子体中波的色散关系由它的角频率与波矢量k 的关系决定。波要辐射 出来，只会在满足色散关系的模上得到能量，也就是说，满足色散关系的波是 一种源激发，才能给能量最大的贡献，因此研究等离子体中色散关系是非常重 要的。 本文所研究的问题主要包含两个部分：一是对非相对论性麦克斯韦分布电 子一离子等离子体中色散关系的数值研究；另一部分是对极端相对论性费米分布 正负电子对等离子体中色散关系进行解析和数值研究。 对非相对论性麦氏分布等离子体中色散关系的研究，首先从等离子体动力 论出发，分别对纵波和横波的色散方程进行了数值分析，结果表明：利用数值 计算的方法，可以弥补理论结果的不足，并且得到了不同条件下的色散曲线， 还可根据各段曲线的拟合式得到拟合后的色散关系。 随着强功率激光的出现，正负电子对等离子体的产生不可避免地要涉及相 对论效应。对于极端相对论性简并正负电子对等离子体的研究，同样从动力论 出发，得到纵波色散关系的解析结果。但是理论解析的色散曲线由于受到近似 的限制，出现了不连续性，进而采用数值求解的方法得到完整的色散曲线。 关键词：色散关系；数值计算；非相对论性；相对论性；麦克斯韦分布； 费米分布 i i a b s t r a e t a b s t r a c t t h er e l a t i o n s h i po fa n g u l a rf r e q u e n c y 国a n dw a v ev e c t o rkc a nd e t e r m i n et h e d i s p e r s i o nr e l a t i o n so fp l a s m a t h er a d i a t i o no fw a v em u s ta c c o r dac o n d r i o n t h e c o n d i t i o ni st h a tt h em o d e so fw a v ew h i c hs a t i s f i e st h ed i s p e r s i o nl a w sa t t a i ne n e r g y i no t h e rw o r d s w a v e so fs a t i s f y i n gt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n sa r eal 【i n do fs o u r t e x c i t a t i o na n dc a nb et h eg r e a t e s tc o n t r i b u t i o nt ot h ee n e r g y h e n c ei ti sv e r y i m p o r t a n to fs t u d y i n gt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n so f p l a s m t h ep a p e ri n v e s t i g a t e st h ep r o b l e mc o n s i s t so ft w op a r t s ：o n ep a r ti st h en u m e r i c a l s t u d yo fd i s p e r s i o nr e l a t i o n si nn o n r e l a t i v i s t i ce l e c t r o n - i o np l a s m a 、 ，i t hm a x w e l l d i s t r i b u t i o n , a n o t h e rp a r ti st h ea n a l y t i c a la n dn u m e r i c a ls t u d i e so fd i s p e r s i o n r e l a t i o n si nu l t r a - r e l a t i v i s t i ce l e c t r o n - p o s i t r o np l a s m aw i t hf e r m id i s t r i b u t i o n t h es t u d yo fd i s p e r s i o nr e l a t i o n si nn o n - r e l a t i v i s t i ce l e c t r o n - i o np l a s m ai sd e r i v e d f r o mt h ed y n a m i c so fp l a s m a t h ed i s p e r s i o ne q u a t i o n so fl o n g i t u d i n a lw a v ea n d t r a n s v e r s ew a v ea r en u m e r i c a l l ye v a l u a t e d t h er e s u l t ss h o w e dt h a t ：u s i n gt h e n u m e r i c a lm e t h o d ，t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sc a nm a k eu pf o ri n a d e q u a t e ，t h ed i s p e r s i o n c u r v e si nd i f f e r e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e d a c c o r d i n gt ot h ef i t t i n ge x p r e s s i o n so f s e p a r a t ep a r t so f t h ed i f f e r e n tc u r v e ，t h ef i t t i n gd i s p e r s i o nr e l a t i o n sa r eo b t a i n e d w i t ht h ee m e r g e n c eo fs t r o n gp o w e rl a s e r , t h ep r o d u c t i o no fe l e c t r o n - p o s i t r o n p l a s m ah a v ei n e v i t a b l yi n v o l v e st h er e l a t i v i s t i ce f f e c t t h es t u d yo fu l t r a - r e l a t i v i s t i c d e g e n e r a t e dp a i rp l a s m ai sd e r i v e df r o mt h ed y n a m i c so fp l a s m a t h ea n a l y t i c a l r e s u h so fl o n g i t u d i n a ld i s p e r s i o nr e l a t i o na r eo b t a i n e d b u tt h ed i s p e r s i o nc u r v e so f a n a l 舛ct h e o r yh a v et h ed i s c o n t i n u i t yd u et oa p p r o x i m a t er e s t r i c t i o n s u s i n gt h e n u m e r i c a lm e t h o d ，t h ef u l ld i s p e r s i o nc u r v e sa r eo b t a i n s k e yw o r d s ：d i s p e r s i o nr e l a t i o n ；n u m e f i c f l l ye v a l u a t e d ；n o n - r e l a t i v i s t i c ； u l t r a - r e l a t i v i s t i c ；m a x e l ld i s t r i b u t i o n ；f e r m id i s t r i b u t i o n 1 i i 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得南昌大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：廖幽刹签字日期：如7 年f 2 月i 叩日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌盍堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌盍堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 、 1、 学位论文作者签名：歹势卸制导师签名：彦二。7 气 一 i 签字日期：加1 年1 2 - 月呻日签字目期：州7 年。，二月日 第一章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 等离子体是继气体、液体、固体后的第四种物质的聚集态。在绝对温度不 为零的任何气体中，都有一定数量的原子电离，即除中性粒子外，还存在带电 粒子电子和离子。但是，只有在带电粒子的密度达到其建立的空间电荷限 制着自身运动时，带电粒子才对气体的性质产生显著的影响。随着密度的上升， 这个限制变得越来越重要。当密度足够大时，正负带电粒子之间的相互作用， 使得在与气体体积线度可相比拟的体积内维持宏观电中性；这时，宏观电中性 的破坏会引起强电场的出现，从而能很快恢复电中性。正是这样密度的电离气 体称为等离子体。这个名词是美国物理学家朗缪尔在1 9 2 3 年提出来的“1 。 最常见的等离子体是高温电离气体，如电弧、霓虹灯和日光灯中的发光气 体，又如闪电、极光等。金属中的电子气和半导体中的载流子以及电解质溶液 也可以看作是等离子体。在地球上，等离子体物质远比固体、液体、气体物质 少。在宇宙中，等离子体是物质存在的主要形式，占宇宙中物质总量的9 9 以上。 如恒星( 包括太阳) 、星际物质以及地球周围的电离层等，都是等离子体。 由于正离子和电子的空间电荷相互抵消而维持的宏观电中性，是等离子体 的特性。但是，只是在平均的意义上在足够大的体积内和足够长的时间间 隔内才存在这样的抵消。因此，人们说等离子体是准电中性的介质。 等离子体的主要特性是粒子间存在长程库仑相互作用，等离子体的运动与 电磁场的运动紧密耦合，存在极其丰富的集体效应和集体运动模式“。 等离子体物理学以等离子体的整体形态和集体运动规律、等离子体与电磁 场及其它形态物质的相互作用为主要研究对象。 等离子体物理研究的几个相对独立的领域包括热核聚变能源研究( 高温等 离子体) 、空间等离子体物理( 无碰撞等离子体) 和天体等离子体物理( 各种极 端参数条件下的等离子体) 、气体放电和电弧的工业应用( 低温等离子体及其与 物质相互作用) 以及涉及强流带电粒子束的现代高科技应用( 非中性等离子体 及其与强静电场、强电磁波场的相互作用) 。 第一章绪论 1 2 等离子体的理论描述方法 等离子体的理论研究方法大致可以分成宏观描述和统计描述两大类。宏观 描述是流体描述，它包括磁流体力学( 把等离子体当成导电流体介质来描述) 和双流体力学( 把不同种类的带电粒子特别是电子和离子分别用不同的导 电流体来描述) 。磁流体理论适于描述随时间和空间变化的一些等离子体行为， 如在给定电、磁场中的平衡位形，低频的稳定集体运动( 磁流体力学波) 和不 稳定集体运动( 宏观或磁流体力学不稳定性) 。双流体理论可以描述高频波及各 种粒子的输运过程。 统计描述是以各种粒子的速度分布函数的时间演化方程为手段的理论途 径。它包括描述无碰撞等离子体中波和粒子相互作用的v l a s o v 波动理论和碰撞 等离子体中碰撞过程的动力学理论。 此外，也可以直接对大量带电粒子的集合作轨道描述，由于存在多粒子间 的相互作用，此问题只能用计算机求解。但在许多情况下，可以先忽略粒子问 的相互作用，这时多体问题就简化成单个试探粒子在给定电磁场中的轨道运动。 这虽然是电动力学的问题，但由于在日地空间或实验室装置中的电磁场位形往 往非常复杂，故在等离子体理论中专门发展了一些有效的简化方法( 如强磁场 中的导心漂移近似，高频电磁场中的振荡中心近似等) ，统称单粒子( 或试探粒 子) 轨道理论。在许多等离子体物理问题中，试探粒子的轨道描述往往可以对 等离子体的行为做出更严格的零级近似。 与统计描述相比，等离子体的流体描述和单粒子描述均属于近似描述，前 者不考虑同一流体元中不同粒子间运动的差异，后者忽略了粒子间的相互作用。 因而它们都不能用来研究涉及波粒子相互作用的现象，也不能揭示因粒子体系 分布函数在速度空间中偏离平衡态所引起的不稳定性。然而这并不是说一切问 题都只能采用统计描述去解决。统计描述虽然严格，但比起前两种描述来，数 学上要复杂得多，而且也缺少流体或单粒子模型的物理直观性。对于具体的等 离子体问题进行理论处理时，究竟采用何种描述手段为宜，要根据问题的具体 情况而定。阿尔文采用磁流体描述预言了理想导电流体处于磁场中会产生沿磁 力线传播的横波；朗道用动力学描述证明了l a n g m u i r 波传播时，共振电子会吸 收波的能量而引起波的无碰撞衰减，即有名的朗道阻尼。这是等离子体物理学 发展史上最成功地采用适当的理论描述解决实际问题的两个范例 2 1 。 2 第一章绪论 1 3 等离子体动力论描述 等离子体动力论是等离子体非平衡态的统计理论，即等离子体的微观理论， 这是严格的理论。与气体不同，由于等离子体包含大量带电粒子，其间的主要 作用是长程的集体库仑作用，因此需要重新建立粒子分布函数随时间的演化方 程，它是等离子体动力论的出发点。已经建立的在不同条件下适用的等离子体 动力论方程有伏拉索夫方程，福克尔普朗克方程，朗道方程等。等离子体动力 论适宜于研究等离子体中的弛豫过程和输运过程。等离子体弛豫过程是从非平 衡的速度分布向热平衡的麦克斯韦分布过渡的过程，可用各种弛豫时间来描述。 输运过程是稳定的非平衡态有物质、动量、能量流动的过程，包括电导、扩散、 粘性、热导等，用各种输运系数描述。输运过程是受控热核聚变研究的重大课 题，尤其是其中出现的不能用碰撞理论解释的反常输运现象。等离子体动力论 还适宜于研究等离子体中种类繁多的波和微观不稳定性问题。只有动力论才能 给出在无碰撞情形由于粒子对波的共振吸收所导致的朗道阻尼。起源于空间不 均匀性或速度空间不均匀性等原因的微观不稳定性是宏观理论无法研究的，只 能由动力论给出。动力论还可以讨论等离子体中的涨落效应。等离子体动力论 是严格的理论，由动力论方程可以导出磁流体力学的连续方程、动量方程和能 量方程，指明各种不同形式的磁流体力学方程的近似条件和适用范围。 和动力学理论相比，流体理论实际上是动力学理论对粒子速度分布做某种 平均后的结果，这种近似不能有效处理粒子热运动对波动过程产生的影响。当 波的相速度接近粒子热速度的时候，这种理论完全失效，尤其是在高温等离子 体中。由于库仑碰撞截面随粒子相对速度的增大而迅速减小，动力学方程中的 碰撞项可以忽略，简化为伏拉索夫方程，这种情况下流体力学近似就不再适用 了。 在等离子体伏拉索夫理论中，等离子体粒子产生的微观场由粒子在该空间 点产生的平均场所代替，且计算的是等离子体粒子的分布函数，以便与该平均 场自恰。以这种模型建立起来的伏拉索夫方程能够在远小于两体碰撞的时间间 隔内正确描述等离子体的行为。等离子体理论的许多进展都是建立在求解线性 化的伏拉索夫方程的基础上的，并以此考察作为平衡态附近扰动而传播的小振 幅等离子体波的性质。 3 第一章绪论 1 4 数值计算 计算等离子体研究是从一定的物理模型出发，用计算机作数值计算或模拟， 以揭示等离子体的某些性质和运动规律，是计算物理的一个重要分支由于等离 子体是自由度十分巨大的体系，物理现象极为丰富又极为复杂，因此作为一种等 离子体物理研究途径的计算等离子体物理显得愈来愈重要在计算机科学和技 术迅速发展的推动下，计算等离子体物理渗透到了等离子体物理研究的所有领 域，例如在磁约束等离子体研究、空间等离子体现象的研究、惯性约束聚变的研 究以至于低温等离子体物理的基本体制、应用原理和产品设计等领域中计算机 的数值计算和粒子模拟都成为不可缺少的研究手段0 1 。 在现有的等离子体理论中，无论磁流体力学方程或动力论方程，都是非线 性的偏微分方程，包含很多参量，难于严格求解析解。即使可以得到解析解，但 在求解过程中，不可避免地采用经过大大简化的物理模型，其结果往往是许多过 程和效应都被掩盖了，或者也可以说由于物理模型往往过分简化以至无法精确 和全面地包罗各种效应。借助于计算机的数值计算，往往可以避开对物理模型 的简化，得出比解析解更加完善的数值结果因而数值计算在等离子体研究中的 作用越来越大，已经成为与实验研究和理论研究相配合的重要研究方法。 1 5 等离子体波 等离子体是德拜球内带电粒子数目很多的电离气体，其特征是带电粒子 问的相互作用以长程的库仑力为主，它使媒质保持准电中性，并在其中形成各 种集体运动。等离子体中的波就是其中粒子与自洽电磁场耦合在一起的各种集 体运动模式。在热力学平衡态下，波是非增长型的；当媒质处于非平衡态时( 如 空间不均匀、分布函数为非麦克斯韦分布等) ，某些波可能随时间增长，称为 波的不稳定性。由于等离子体中带电粒子间独特的长程相互作用；电子与离子 质量相差悬殊，电荷相反，它们对电磁场有很不同的响应：在磁场中带电粒子 的运动以及它们对波的响应的各向异性等等因素，使得等离子体中波动的模式 比中性气体要丰富和复杂得多。有由空间电荷分离而造成的静电波，也有因电 磁感应而生成的电磁波；当等离子体中存在磁场时，由于磁力线的扰动和磁场 与等离子体的冻结效应可以产生各种磁流体波；如果等离子体密度、温度空间 不均匀以及磁场弯曲和不均匀，则会引起粒子的漂移运动，这种运动可以激发 4 第一章绪论 出各种漂移波。 自从1 9 2 6 年朗缪尔( l a n g m u i r ) 发现等离子体振荡以来，人们对等离子体 中波的激发、传播和衰减等问题进行了大量的研究。天体物理的早期研究中用 磁流体力学解释太阳黑子的成因以及研究天体的各种电磁讯号；无线电物理中 研究电磁波在电离层中的传播和反射；微波技术中研究微波的产生、放大和传 播等工作都促进了对等离子体波的研究。在受控热核聚变研究中，等离子体的 稳定性、利用波加热等离子体以及等离子体基本参数的诊断等都与等离子体波 密切相关。因此研究等离子体波无疑在理论和实验上都是非常重要的。 等离子体波的特性由等离子体本身的性质和它所处的物理条件决定。等离 子体是由带电粒子所组成的气体，因此其中的波和热压强也和电磁力有关，即 在等离子体中存在着三种力一一热压强梯度、静电力和磁力起着准弹性恢复力 的作用。这意味着，等离子体中除热压强引起的声波外还会产生各种模式的静 电波( 纵波) 、电磁波( 横波) 以及它们的混杂波。此外，由于电子和离子的 质量相差很大，它们各自在波动过程中所起的作用有很大不同。最后，在有限 大小的等离子体、空间不均匀的等离子体、各向异性以及速度空间不均匀的等 离子体中又有各自的特征性波动现象。因此，一般说来等离子体中波的形态是 极其多样复杂的。 等离子体波按扰动波场的幅度可大致分为线性波和非线性波。非线性波一 般指大振幅的扰动，如激波和孤立波等。描述非线性波的方程是一组非线性偏 微分方程。线性波是小振幅扰动。它用线性微分方程组描述。等离子体线性波 理论是研究等离子体中非线性波及其他理论分支的基础，可见对等离子体线性 波的研究是极其重要的“。 具有与等离子体相同数目自由度的由耦合振子所构成的系统，有着大量的 可能的振荡形式，波状扰动，即电场e = e 。e x p i ( k x c o t ) 】将在等离子体中传播。 频率和波数之间的关系满足从等离子体方程得到的色散关系“1 。 由此可见，等离子体中存在的线性波必须满足色散关系，而色散关系完全 确定给定条件下等离子体中可能存在的波的全部性质。因此，研究等离子体波 的问题归结于求色散关系。 5 第一章绪论 1 6 论文的主要工作 等离子体中的色散关系不但可以研究波的不稳定性问题，还可以研究波的 传播和衰减问题。本文中，我们对非相对论性麦克斯韦分布的传统电子一离子等 离子体中波的色散关系进行数值计算，并比较和分析数值结果与解析结果。还 研究了相对论性费米分布的正负电子对等离子体中的纵波，得到其色散关系的 解析结果和数值结果。 在第二章，我们从等离子体动力论方程出发，基于非相对论性麦克斯韦分 布纵波的色散方程，对其数值解进行了研究。首先由等离子体色散函数的数学 近似得到三种纵波的色散关系，与流体理论得出结果相一致。然后我们用数值模 拟的方法计算无数学近似的色散关系。在仅考虑电子热运动忽略离子热运动时 数值模拟纵波的色散曲线上存在一部分与理论上的朗缪尔波较为吻合。这说明 我们采用的数值模拟方法是可行的。我们进一步研究同时考虑电子和离子热运 动时纵波的色散关系，可以得到电子温度与离子温度之比和电子质量与离子质 量之比不同时的色散曲线，还可根据各段曲线的拟合式得到拟合后的色散关系。 在第三章，同样从等离子体动力论方程出发，对无磁化、无碰撞、各向同 性等离子体中横振荡的色散关系进行了数值模拟。首先也列出了色散关系的解 析解高频电磁波，然后数值计算横波的色散方程。我们得到了非相对论性 等离子体横振荡色散关系的数值解。进一步完善对于等离子体横振荡色散关系 的研究，弥补了横振荡色散方程在某些情况下无解析解的不足。 第三章中还列出了取一定7 = r 和z 值时横振荡色散关系的参数表，可根据所, 考虑的不同条件查阅参数，代入一般式即可得到色散关系。 在第二章和第三章中，我们研究的均为经典等离子体，即电子离子等离子 体。正负电子对等离子体在早期的宇宙和脉冲星、超新星残余、活动星系核等 天体物理领域非常重要，并且正负电子对等离子体可能具有与传统的电子一离子 等离子体较为不同的物理性质。因此，在第四章中，我们研究了极端相对论性 简并正负电子对等离子体中纵波的色散关系。首先由伏拉索夫方程和费米分布 函数的相对论性修正形式推导出相对论性对等离子体中纵波的色散关系。然后 对等离子体中的纵波进行解析研究。由于解析上色散曲线的不连续性，数值求 解色散方程，得到了弥补这一缺陷的数值解。 在最后一章中，我们对所做的工作做了一个总结。 6 第二章非相对论性麦氏分布等离子体纵振荡的色散关系 第二章非相对论性麦氏分布等离子体纵振荡的色散关系 2 1 引言 从2 0 世纪六七十年代开始，随着对激光聚变过程的深入分析，激光与等离 子体相互作用“1 的研究得到广泛而迅速的发展。等离子体波、不稳定性、波一 粒子相互作用是等离子体物理研究的一些重要方面。等离子体中色散关系“8 1 是 研究等离子体波及其不稳定性的基础机。 f f c h e n “研究了非相对论性等离子体振荡的色散关系。他从等离子体流 体理论出发，得出了小于离子振荡频率大于电子振荡频率的纵波，也因此忽略 了这一频段闻可能还存在的其它纵波；并且等离子体流体理论不完全适合于无 碰撞等离子体的研究。 r s c h l i e k e i s e r “2 “川对各向同性的平衡等离子体中纵波的色散关系做了详细 的研究，从动力学的伏拉索夫方程和麦克斯韦方程的协变形式出发，得到了适 用于非相对论和极端相对论的解析表达式，但是其不足之处在于为了得到解析 表达式，对方程的展开使用了解析近似的方法，从而忽略了部分解的存在。 本章从等离子体动力论方程出发，基于麦克斯韦分布纵振荡的色散方程，首 先列出了由等离子体色散函数的数学近似得到三种纵波的色散关系，与流体理 论得出结果相一致。由于色散函数按照其宗量远大于1 ( 高频场) 与远小于1 ( 低 频场) 进行近似使得失去了一定频段的纵波，因此接着我们对等离子体色散函数 的处理上，不采用数学近似“1 的方法，而是直接将原色散函数代入色散方程 中，再对其进行数值求解，得到了除朗缪尔波、离子声波、离子等离子体波外 的其它纵波。 2 2 麦氏分布等离子体纵振荡的色散关系 考虑等离子体中电子和离子均满足麦氏分布，则粒子的分布函数可表示为： f o ( p ) = 一s o ( 2 ，r m j d 沪p ( - 篆) ， ( 2 1 ) 7 2 z l 口 式中心为电子( 口= p ) 或离子( 口= f ) 的密度，乃为粒子温度，p o 为粒子的动 量。 7 第二章非相对论性麦氏分布等离子体纵振荡的色散关系 ( 2 1 ) 式中的分布函数满足以下归一化条件 - 厂地叫) d p 击2 m ，吼 ( 2 2 ) 其中n ( r ，t ) 为该种粒子的数密度。 等离子体中粒子分布函数，一般满足波尔兹曼( b o l t , 丑n a n n ) 方程 筹+ v 筹+ f 嚣= ( 差b ( 2 3 ) 对于无磁化、无碰撞等离子体，那么上式的碰撞项为零， 馐) 。= o 。 ( 2 4 ) 因此，在此情况下有 羞+ v 筹+ f - 等= o ， ( 2 s ) 其中，f 为洛伦兹力， f ：c i e + 一v b l ， ( 2 6 ) ( 2 5 ) 式就是伏拉索夫( v l a s o v ) 方程。 伏拉索夫方程是非常复杂的非线性方程组，在时空坐标系中目前还难以求 得感兴趣问题的解。通常我们总是把分布函数展开为收敛的幂级数，并在傅里 叶空间研究等离激元与荷电粒子间的相互作用，得到问题中的控制方程；最后 通过逆傅氏变换获得在时空坐标系中的感兴趣问题的非线性方程。 从等离子体动力论出发，联立伏拉索夫方程和麦克斯韦方程，可以得到等离 子体纵介电常数“”： 卅莩警，志似警丽d p ( 2 ，) 选择k 的方向为x 轴方向，对于非相对论情况，其中粒子取麦氏分布 船。w ad p y 矿d p 。踽一， ( 2 8 ) 进而可以得到电子纵介电常数： 爿+ 古薏【1 - z ( 彘) 1 ， ( 2 9 ) 相应地也同样可以得到离子纵介电常数： 8 兰三童j ! 塑翌笙丝耋垦坌塑竺童王堡塑薹茔丝鱼墼羞墨 掣= - + 寺1 专, 7 2f 咽彘) 1 ， 其中色散函数是( 式中，p 为取主值的记号) ： 荆= 去p 箬一t 去盯7 ， 在z 1 时， z ( 曲z ，+ 专+ 专一佩f 7 ，z ， 在z 1 时， 烈z ) 2 ，一“元霸2 x 2 一 纸 z 2 1 3 即可满足朗缪尔波的条件。这意味着只要矿满足此条件，数值解与解 析解可视为几乎吻合的。 0 00 10 2o 30 40 5o6 图2 4 仅考虑电子热运动时k 与y 的关系图 14 1 2 1o no8 0 6 0 4 0 2 0o0 10 20 3 r o 4n 50 6 图2 5 仅考虑电子热运动时的纵振荡色散关系 下面对数值模拟色散曲线中不同于朗缪尔波的部分进行拟合，可得色散关系 如= 0 1 6 8 7 6 w 一0 3 5 9 4 1 k v n + 3 7 8 7 9 ( k v a ) 2 。 ( 2 3 1 ) 同时考虑电子与离子两者的热运动时，对方程( 2 2 8 ) 直接进行数值求解， 1 4 箝 鲫 黔 侣 伸 o o v 第二章非相对论性麦氏分布等离子体纵振荡的色散关系 也同样可先解出取不同参数= 玛m 。= 码( 4 2 9 2 ) 与正z 值时k 与v 的关 系，然后再得到其色散曲线( m p 为质子质量) 。 图2 6 是为1 ，乃z 分别为1 0 0 ，3 0 0 和5 0 0 情况下数值模拟纵振荡k 与矿 的关系图。 v 。o12356 k 7891 01 11 2 3 图2 6 同时考虑电子和离子热运动，为i ，t , 取不同值时k 与v 的关系图 图2 7 是为i ，t , 分别为1 0 0 ，3 0 0 和5 0 0 情况下数值模拟纵振荡的色 散关系。将数值模拟的曲线与离子声波和离子等离子体波进行比较，可以看出 图中曲线已经超出了国。，的限制，并且与仅考虑电子热运动等离子体中色散关系 的数值解情况相同，也出现了迂回的那一部分，这些都是直接对原色散函数进 行数值计算的结果。 图2 8 分别是z t , 为1 0 0 ，t 为1 ，2 和3 情况下数值模拟纵振荡足与矿的 关系曲线。 图2 9 分别是z t , 为1 0 0 ，u 为l ，2 和3 情况下数值模拟纵振荡的色散关 系。三条色散曲线变化趋势相同，但对应于相同的k 值，更大的曲线q 值反 而更小。 1 5 第二章非相对论性麦氏分布等离子体纵振荡的色散关系 o o n0 0 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 - 101 23 4 5678口1 0 1 1 1 21 3 k 图2 7 同时考虑电子和离子热运动，为1 ，瓦z 取 不同值时数值色散曲线 o123458 k 图2 8 同时考虑电子和离子热运动瓦r , 为1 0 0 ， 取不同值时数值k 与y 的关系曲线 1 6 5 o 5 0 5 o 呲 雌 洲 删 第二章非相对论性麦氏分布等离子体纵振荡的色散关系 012345 k 图2 9 同时考虑电子和离子热运动，正z 为1 0 0 ， 取不同值时数值模拟纵振荡的色散关系 由理论上低频场的结果，色散曲线分为两段，它们分别由不同的色散方程表 示。对于长波支，k 1 ；对于短波支，k 1 。观察数值模拟色散曲线，它有 类似于理论结果的情况。那么对其进行拟合，也必须以k 的取值范围分段采取 不同拟合式的方法。 对色散曲线进行拟合，进而得到相应的色散关系。足处于不同取值范围， 则取不同的色散关系拟合式： 对k 小于1 范围内的曲线取拟合式：q = u ，+ 且加。，参数为4 ，蜀。 对于足大于1 但小于k 。范围内的曲线取拟合式： = u ”+ 马脚n + q ( 七v n ) 2 ，。+ d # v n ) 3 ，：。+ e # v n ) 4 u ，参数为 如，b 2 ，c 2 ，d 2 ，e 2 。 对于图中在j 0 。处迂回的曲线取拟合式：屿= + b 3 加。+ g ( 女v 。) 2 u 。， 参数为4 ，b ，g 。 下面对图2 7 中u 为l ，r t , 分别为1 0 0 ，3 0 0 和5 0 0 情况下数值模拟纵振 荡的色散曲线作拟合。 t t , = 1 0 0 ： 4 = 0 0 0 2 6 2 ，旦= 0 0 1 4 8 7 ， 4 = 0 0 1 2 6 2 , 岛= o 0 0 5 8 8 , c 2 = - o 0 0 1 1 2 ，d 2 = 9 4 7 0 1 2 x 1 0 - 5 , 易= - 2 7 2 4 4 8 x 1 0 - 6 ， 1 7 嘲 蟛 呦 蛳 m 瞄 咖 o o o o o o o 第二章非相对论性麦氏分布等离子体纵振荡的色散关系 一3 = 0 0 0 8 8 8 ，b 3 = 一o 0 0 1 2 4 ，c ，= 1 3 1 7 7 1 0 4 ， r , = 3 0 0 ： 4 = 0 0 0 2 1 4 ，蜀= 0 0 1 5 6 4 ， 4 = o 0 0 8 5 7 ，恳= o 0 1 1 3 3 ，c 2 = - 0 0 0 3 3 3 ，d 2 = 4 7 2 9 3 7 x 1 0 - 4 ，与= _ 2 4 0 4 2 4 x 1 0 4 ， 4 = 0 0 0 5 4 9 ，马= - 0 0 0 1 1 l ，c s = 3 5 0 7 4 5 x 1 0 4 t 霉= 5 0 0 ： a = 0 0 0 2 2 6 , b l = 0 0 1 5 3 9 ， 4 = o 0 1 0 4 4 ，垦= 0 0 0 8 6 2 ，c 2 = - o 0 0 2 1 2 , 皿= 2 4 2 9 3 2 x 1 0 - 4 ，易= - 9 7 2 7 0 3 x 1 0 - 6 ， 4 = 0 0 2 3 0 4 ，岛= - 0 0 0 4 5 8 ，c 3 = 4 0 0 4 6 7x1 0 。4 。 图2 9 中r , r , h1 0 0 ，为2 和3 情况下数值模拟纵振荡拟合色散关系的 参数为： = 2 ： = o 0 0 1 4 6 ，b j = o 0 1 1 3 5 ， 4 = o 0 0 1 8 9 ，垦= 0 0 1 5 6 1 ，c 2 = - o 0 0 6 9 2 ，d 2 = o 0 0 1 5 9 , e 2 = 一1 3 8 0 2 6 x 1 0 4 ， 4 = 0 0 0 2 5 7 ，b ，= - 5 4 6 8 6 9 1 0 - 4c j = 6 3 7 4 0 4 1 0 ， t = 3 ： a = o 0 0 1 2 4 ，b i = 0 0 0 9 2 1 ， 4 = 0 0 0 1 7 ，马= o 0 1 2 4 4 , c 2 = - o 0 0 5 4 5 ，d 2 = o 0 0 1 2 5 ，易= - 1 0 8 1 9 6 x 1 0 。4 ， a ，= o 0 0 2 3 6 ，b 3 = - 6 7 0 1 9 9 1 0 ，c ，= 5 5 8 4 1 6 1 0 。 2 4 小结 本章从等离子体动力论出发，基于非相对论性纵振荡的色散方程，由于方 程中等离子体色散函数只在一定条件下存在解析解，和多数文献相同地给出了 高频场和低频场情况下纵波的色散关系，即所熟知的朗缪尔波、离子声波和离 子等离子体波。 为了弥补理论分析的不足，对由原色散函数表示的等离子体纵振荡色散方 程直接进行数值计算，得到非相对论性等离子体纵振荡的色散曲线。按照此方 法，可以得到电子温度与离子温度之比和电子质量与离子质量之比不同时的色 散曲线，还可根据各段曲线的拟合式得到拟合后的色散关系，这有利于研究不 同情况下等离子体非相对论性纵振荡的色散关系。 1 8 第三章非相对论性麦氏分布等离子体横振荡的色散关系 第三章非相对论性麦氏分布等离子体横振荡的色散关系 3 1 引言 众所周知，等离子体中波的色散关系由它的角频率与波矢量k 的关系决 定。等离子体中色散关系是研究等离子体波及其不稳定性的基础溉“。利用色散 关系，不但可以研究波的不稳定性问题。”，还可以研究波的传播和衰减问题“1 ， 由此可知研究等离子体色散关系是非常有意义的。 近年来，非相对论情况下的等离子体中色散关系就已经从解析上得到了广 泛研究。e e c h e n “从等离子体流体理论出发，导出了朗缪尔波、离子声波、离 子等离子体波和高频电磁波的色散关系；h m a u s e “”和r s c h l i c k e i s e r “3 “矧从动 力学理论的相对论性修正形式出发，对等离子体振荡做了详尽地研究，得出了 各向同性热平衡等离子体中色散关系；a e a l e x a n d r o v “”从等离子体动力论出发， 得出了由等离子体色散函数1 表示的色散方程，由于此色散函数是带有复数变 量的，较为复杂，因此对色散函数的研究主要集中在对其进行解析近似的处理 上乜7 4 捌。以上这几种方法用于研究非相对论性等离子体中色散关系均存在一定 的局限性。 等离子体流体理论不适合于研究无碰撞等离子体，因为用流体方程来描述 等离子体的条件是：粒子密度足够大，这时频繁的碰撞能使一团有宏观小、微 观大空间尺度的粒子在平均碰撞时间的时间间隔中基本上不离散；r s c h l i c k e i s e r 等人对出发方程即线性伏拉索夫方程和麦克斯韦方程进行修正，再将结果从相 对论性延伸到非相对论性，这与直接从原方