（机械电子工程专业论文）汽轮机叶片的建模及插补算法研究.pdf

， i科j p ，h。趣 矿“。矗0 ， m事b目li。h；$，十 声明尸明 m q l l l l l l l l l l l lu l l l l l ll q q q l l l l l l1 1 1 1 1 1 1 1 眦 y 17 8 5 6 2 7 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文汽轮机叶片的建模及插补算法研究， 是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： 窟匿坠 日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播 学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 日期： 导师签名： 日期：缈型 驿咩虫学 盛卫 专l ( 参 0 i 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 为提高汽轮机的工作效率，汽轮机叶片的表面通常是设计成扭曲的变截面曲 面，叶片形状十分复杂，因此，汽轮机叶片的精确几何造型对保证叶片加工质量十 分重要。本文进行汽轮机叶片数学建模和数控插补算法研究，根据图纸数据对汽轮 机叶片进行基于n u r b s 曲线和曲面的反求计算，建立了汽轮机叶片的精确数学模 型。针对叶片高速高精度数控加工的要求，以叶片数学模型为基础，建立叶片截面 的n u r b s 曲线组，利用m a t l a b 编程仿真，验证了采用不同插补算法进行叶片 数控加工的适应性。 关键词：汽轮机叶片，n u r b s ，建模，插补算法 a b s t r a c t t oi m p r o v ee f f i c i e n c yo ft h es t r e a mt u r b i n e ，s t r e a mt u r b i n eb l a d ei su s u a l l y d e s i g n e dt od i s t o r t e d l yv a r i a b l ec r o s s s e c t i o ns u r f a c e ，i t ss h a p ei sc o m p l e x t h u s ， p r e c i s eg e o m e t r i cm o d e l i n go ft h es t e a mt u r b i n eb l a d eh a sb e c o m ev e r yi m p o r t a n tt o p r o c e s s i n g t h ep a p e rr e s e a r c ho nm a t h e m a t i c a lm o d e l i n ga n di n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m f o rs t r e a mt u r b i n eb l a d e ，a c c o r d i n gt ot h ed a t ao ft h es t r e a mt u r b i n eb l a d e ，t h et h e s i su s e s t h er e v e r s e t e c h n i q u e ，w h i c hb a s e so nt h er e v e r s e c a l c u l a t i o no fn u r b sc u r v e sa n d s u r f a c e s ，e s t a b l i s h i n gt h em a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h es t e a mt u r b i n eb l a d e t h er e s u l t so f f i t t i n ge r r o ra n a l y s i ss h o wt h a tt h em a t h e m a t i c a lm o d e li sa c c u r a t e f o rt h er e q u i r e m e n t s 0 fh i g h s p e e da n dh i g h a c c u r a c yc n c m a c h i n i n g ，e s t a b l i s h i n gag r o u po fn u r b s c u r v e s b a s e do nm a t h e m a t i c a lm o d e l s ，u s i n gt h em a t l a bf o rs i m u l a t i o n ，v e r i f y i n gt h e f l e x i b i l i t yo fc n cm a c h i n i n gf o rb l a d eb yu s i n gd i f f e r e n ti n t e r p o l a t i o na l g o r i t h m s t a n gy u e x i a ( m e c h a t r o n i c se n g i n e e r i n g ) d i r e c t e db yp r o lh a no i n g y a o k e yw o r d s ：s t r e a mt u r b i n eb l a d e ，n u r b s ，m o d e l i n g ，a p p r o a c h i n ga l g o r i t h m l l 华北电力大学硕士学位论文目录 目录 中文摘要 英文摘要 第一章引言l 1 1 选题背景1 1 2 国内外研究动态1 1 3 本论文研究内容：3 第二章n u r b s 曲线曲面及其矩阵表示形式。5 2 1n u r b s 曲线曲面的定义6 2 1 1n u r b s 曲线6 2 1 2n u r b s 曲面1 0 2 2n u r b s 曲线曲面及其矩阵表示形式1 l 2 2 1n u r b s 曲线矩阵表示形式的确定1 l 2 2 2 双三次n u r b s 曲面矩阵表示形式的确定：1 3 2 2 3 混合幂次n u r b s 曲面矩阵表示形式的确定1 4 第三章n u r b s 曲线曲面的生成1 6 3 1n u r b s 曲线的插值1 6 3 1 1n u r b s 曲线的节点矢量1 6 3 1 2n u r b s 曲线的边界条件2 0 3 1 3 反算n u r b s 曲线的控制顶点2 0 3 2n u r b s 曲面的插值2 3 3 2 1 参数方向与参数选取2 3 3 2 2 确定节点矢量2 3 3 2 3 反算控制顶点2 3 3 2 4 用蒙面法生成n u r b s 曲面2 3 第四章n u r b s 曲线曲面的插补算法2 5 4 1 插补原理2 5 4 2n u r b s 插补预处理2 6 4 3 实时插补轨迹计算2 6 华北电力大学硕士学位论文目录 4 3 1 恒定进给速度插补算法2 7 4 3 2 控制弓高误差的自动调节进给速度插补算法2 8 4 3 3 等弓高误差插补算法3 0 4 3 4 基于冗余误差控制的插补算法3 0 第五章程序设计与实例3 l 5 1 由坐标点组成的叶片图纸3 l 5 2 建立叶片的数学模型3 3 5 2 1n u i 姐, s 曲面u 向( 横向) 带权控制顶点和节点矢量3 3 5 2 2n u p 国, s 曲面v 向( 纵向) 节点矢量和总控制顶点3 5 5 3 拟合误差分析3 7 5 4 插补仿真3 8 第六章总结与展望j 4 6 参考文献4 7 致谢：。4 9 在学期间发表的学术论文- 5 0 i i 华北电力大学硕士学位论文 1 1 选题背景 第一章引言 随着科学技术的快速发展，对复杂形状零件的需求越来越多，精度要求也越来 越高。在复杂零件的生产加工过程中，刀具轨迹是空间自由曲线，线条复杂多变。 在加工之前必须要经过预处理，也就是要找到一个合适的数学模型来描述加工对 象。非均匀有理b 样条，又称为n u r b s ( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ) 曲线，可以 将包括直线、圆锥曲线、b e z i e r 曲线、b 样条曲线等不同阶次的连续曲线组合在一 起，用同一个数学方程来描述，现已被国际标准化组织确定为工业产品几何形状表 达的唯一形式，并已在c a d c a m 领域得到较为成功的应用。但是在数控加工领域， n u r b s 理论的应用却相对滞后。因此，在数控加工领域，研究基于n u r b s 曲线 曲面的数控加工技术对于提高加工自由曲线曲面的效率、精度、质量有着极其重要 的意义。 汽轮机叶片一般承受较大的工作应力和较高的工作温度，且应力和温度的变化 也较频繁和剧烈，此外还有腐蚀和磨损问题，因此要求叶片的加工精度非常高。同 时，为提高汽轮机工作效率，汽轮机叶片的表面形状通常设计成扭曲的变截面曲面， 形状复杂，汽轮机叶片精确的数学建模就成了加工的必要前提。汽轮机叶片数学建 模要求找到一种数学方法来描述汽轮机叶片曲面，既能有效地满足形状表示和几何 设计要求，又便于形状信息和产品数据交换。传统的数学建模方法在解决这类自由 型曲线曲面问题时往往力不从心，程序编制较为困难、缺乏灵活性，于是逐步被更 为方便快捷的n u r b s 理论代替。由此，利用n u r b s 理论研究汽轮机叶片的数学建 模，对于提高汽轮机叶片数控加工的质量和效率具有重要的实用工程价值。 汽轮机叶片采用n u r b s 理论建立数学模型能精确描述其几何外形，但在数控加 工中，大多数插补采用的是线性和圆弧插补。而针对n u r b s 曲线，已经提出了许多 插补算法思想。针对汽轮机叶片高速高精度加工的要求，选择适当的插补算法对汽 轮机叶片的数学模型进行插补仿真，为进一步提高汽轮机叶片数控加工的质量和效 率提供理论依据。 1 2 国内外研究动态 n u r b s 理论的研究与应用经历了很长的时间。1 9 7 5 年，首先提出了非均匀有 理b 样条这个概念。8 0 年代初，t i l l e r 论述了有理b 样条曲线曲面的具体应用。随 华北电力大学硕士学位论文 后，p i e g l 等人系统地探索了有理b 样条曲线曲面的构造和形状调整问题，并系统地 论述了n u r b s 方法。至8 0 年代后期n u r b s 发展为曲线曲面造型方法中最为流行 的技术。非有理与有理b e z i e r 曲线曲面形式和非有理b 样条曲线曲面形式都被统一 在n u r b s 形式中。1 9 9 1 年国际标准化组织o s o ) 颁布的关于工业产品数据交换的 s t e p 国际标准，把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法乜1 。与此同 时，一些著名的商品化c a d 软件系统纷纷开发和推出了。n u r b s 功能。在国内，对 n u r b s 方法的研究始于上世纪7 0 年代末。北京航空航天大学对n u r b s 方法作了 系统的研究，发表了大量论著；施法中撰写了有关n u r b s 的专著 0 ，其余 w t2 0 ，为防止分母为零、曲线不退化为一点且拥有好的凸包性，顺序k 个权因子不 同时为零。d f o = 0 ，1 ，2 ，n ) 为控制顶点，与权因子w j ( i = 0 , 1 ，2 ，n ) 一一对应，顺序相 连形成控制多边形。眠七m 是由节点矢量u - 阻o ，墟is s h “+ ：】按德布尔一考克斯递推 公式( 2 2 ) 推导的k 次规范b 样条基函数。 - 仁觏一菇m l ) 。i ：等i 4 ) + 瓦口= = ：i + k + 了l - - 瓦u i m 4 ) ，七l ( 2 2 ) 规定旦= o o 对于n u r b s 曲线，在大多数实际应用中，节点矢量两端的节点值分别取为0 与1 。且通常将两端节点的重复度取为k + 1 ，即h o - - u l = - - t = o ，h 。+ 1 - - u m = = h 。收+ 。= 1 。因此有曲线定义域“帆，u m 】l i n t 【0 1 1 。此时，若权因子m ，w n 一。o ，n u r b s 曲线首末端点就是首末控制顶点，曲线在首末端点处分别与控制多边形的首末边相 切。 6 华北电力大学硕士学位论文 2 1 1 2 有理基函数表示 上述用有理分式表示的n u r b s 曲线方程可被改写成如下等价形式n 0 一。 p o ) = 荟讯j o ) 屯 ) = 掣 荟嵋 ) ( 2 - 3 ) 这里r i ) ( f - 0 , 1 , ，刀) 称为k 次有理基函数，它具有与k 次规范b 样条基函数 m j ) 类似的以下性质。 ( 1 ) 普遍性：若所有权因子w ，= 1 ( j = o ，1 ，n ) ，则r ) 退化为札，to ) ； 而若节点矢量仅由两端的k + l 重节点构成，则足j ) 退化为b e r n s t e i n 基函数即： 。，、f 垦上1 1 1 ) ，当【，_ 【堕：墨础 勉_ 1m ，其它百磊 im 乒 ) ，其它 ( 2 ) 局部支撑性质：可表示为足。 ) = 0 ，u 圣m ；，u m + 。】。 ( 3 ) 规范性：可表示为尺j o ) = 1 ，“m ；，“m + 。1 。 ( 4 ) 非负性：即r 上0 ) 0 。 ( 5 ) 可微性：在节点区间内，当分母不为0 时，r 。o ) 是无限次连续可微的， 在节点处是k 一，次连续可微的，这里，是该节点的重复度( 出现次数) 。 ( 6 ) 若岷= 0 ，则r j ) = 0 ；若雌- - - + o o ，则足 o ) = l ：若w ，- - + o o ，( j - f ) ， 则尾上o ) 2 0 。 上述有理基函数的性质导致下述n u r b s 曲线的几何性质n 0 1 ： ( 1 ) 局部性质。k 次n u r b s 曲线上参数为h 心，u m 】cu i ，u 柚】的一点p ) 至 多与k + 1 个控制顶点d j 及相联系的权因子w ，j 一i 一七，f k + 1 ，f ，有关，与其它顶点 及权因子无关。另一方面，若移动k 次n u r b s 曲线的一个控制顶点d ；或改变所联 系的权因子毗将仅仅影响定义在区间阮，u m 】ck ，u m 】上那部分曲线的形状，对 n u r b s 曲线的其它部分不发生影响。 ( 2 ) 强的凸包性质。定义在非零节点区间m 。，n 】c 帆，h m 】上的那一曲线段位 于定义它的七+ 1 个控制顶点噍彬噍4 彬，喀的凸包内。整条n u r b s 曲线位于所有 定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有的权因子大于零保证凸包性质成 华北电力大学硕士学位论文 立。 ( 3 ) 变差减少性质。将莱思与里森费尔德对于非有理b 样条曲线的简单证明 用于n u r b s 曲线同样成立。 ( 4 ) 在仿射与透视变换下的不变性。 ( 5 ) 在曲线定义域内具有与有理基函数同样的可微性，或称为参数连续性。 ( 6 ) 非有理与有理贝齐尔曲线和非有理b 样条曲线是n u r b s 曲线的特殊情况。 ( 7 ) 若嵋- - + o o ， 帅”协 当口阻f ，m “】 其它 ( 8 ) 如果某个权因子m 等于零，那么相应那个控制顶点喀对曲线根本没有影 响。 2 1 1 3 齐次坐标表示 从四维欧氏空间的齐次坐标( h o m o g e n e o u sc o o r d i n a t e s ) 到三维欧式空间的中心 投影变换n 仉n 1 f 口yz 1 巨一y 墨1 ，若w o 日缸x yz 枷一 在从原点通遗【zyz j 若w 。o llw wwl l 的直线上的无限远点， 这里三维空间点byz 】称为四维空间那个点yzw 】的透视像，它是四 维空间点【x yzw 】在w - 1 超平面上的中心投影，其投影中心就是四维空间的坐 标原点。因此，四维空间点py z q 与三维空间点byz 】被认为是同一点。 在计算机辅助几何设计( c a g d ) 里，描述形状的空间曲线与曲面都必须用到 三维欧氏空间。然而，无法用图形或实际的模型去表达上述从四维空间到三维空间 的投影变换关系。为了理解这种变换的几何关系，降低一维，考察从三维欧氏空间 的齐次坐标到二维欧氏空间的投影变换。 fby 卜 x 1 wy w 】，若w 一0 h 【xyw 】) = 在从原点通过瞄y 】若w 一0 l 的直线上的无限远点 l 如图2 - 1 所示，以d 为原点，x ，y 和w 表示三维空间的坐标轴。工仍是二维空 间的坐标系，其中x 轴与y 分别平行于x 轴与y 轴，原点0 位于三维空间的点 【z yw 】一【00 1 】处。现在1 4 - , 1 投影平面上任意一点p 决定了一条直线西，每 条通过d 点且不位于朋平面上的直线都决定了这样一点。直线西也能由0 点及该 8 华北电力大学硕士学位论文 直线上另一个任意点p 所决定。p 点的坐标yw 】就称为p 点的齐次坐标或称 为带权点。显然，p 点沿着直线o p 的位置完全是任意的，只要它异于d 点就可。也 就是说，如果p 和q 是直线西上的两个不同点，那么它们的坐标都是p 点的齐次坐 标，或者说p 和q 在w 一1 平面上的投影都是p 。当p n p 时，则有 p 1 i r ai xy1 】，即p - p y 卜i x 明。由于。点不对应于w 一1 平面上任一点，因此， 【00o 】不表示二维空间里的点。若区别于o 点的j 5 c 点在x y 平面上，直线薇也就 不会与夥平面相交，或者也可以说在无限远处相交。因此异于点d 的w 一0 的点 y0 】都表示一个无限远点，它位于从二维空间原点o 通过点【xy 】的直线上 的无限远处。因此，三维空间w 一0 的点r 可以用二维空间具有零权因子的一个方向 矢量，- y 】表示，以此作为r 的“投影点 。反之，的带权点r 就是【xy0 】。 q x 图2 1 投影变换图 现在可以来构造平面n u r b s 曲线的几何模型。如果给定一组控制顶点 t = 而y ； ( f = 0 工，刀) 及相联系的权因子嵋( i = 0 工，1 ) ，那么，就可以按下述 步骤定义k 次n u r b s 曲线： 1 ) 根据所给控制顶点d ；( f = 0 ，1 ，疗) ，确定带权控制顶点： d l = 【m 盔m 】= 【嵋而m ) ，jw j 】 i = o 工，忍 2 用带权控制顶点皿( f 一0 a ，拧) 定义一条三维的k 次非有理b 样条： p ( u ) = 罗q ； ) | 3 ) 将它投影到w = l 平面上，所得透视像即x y 平面上一条k 次n u r b s 曲线： p 咿h p ) = 娶竺 薹嵋m 上o 三维空间的n u r b s 曲线可以类似的定义。即对于给定的一组控制顶点 9 华北电力大学硕士学位论文 d 。= 【ty jz ，1 ( f - o , 1 , ，n ) 及相联系的权因子( i 一0 工，n ) ，则有相应的带权控制 顶点d l - - w , d lm 】= 【嵋毛m y lw i z im 】( f = 吼，刀) ，定义了一条四维k 次非有理 b 样条曲线p ( 口) ，然后，取它在第四坐标w = l 超平面上的中心投影，即得到三维 空间里定义的一条k 次n u r b s 曲线p ) 。p ( u ) 称为p ( u ) 的齐次曲线。三维n u r b s 曲线方程与二维曲线方程是一致的，仅仅其中矢量维数不同罢了。 2 1 2n u r b s 曲面 类似于n u r b s 曲线，一张kxz 次的n u r b s 曲面也有三种等价表示。 2 1 2 1 有理分式表示 一个k x l 次n u r b s 曲面可定义为n “n 3 ： p 阱孥垒竺竺! 4 ， 荟荟啦似) ，o ) 其中，控制顶点d “( i 。o 工，m ；j 0 , 1 ，以) 呈矩形阵列，形成一个控制网格。 m ，是与顶点d u 联系的权因子，规定四角顶点处用正权因子，即w o , o 、，o 、w o 一、 一 0 ，其余m ，z o ，且顺序七x 1 个权因子不同时为零。m ， ) ( i - o 工，m ) 和n o ) ( f o 工，n ) 分别为沿u 向的k 次和沿，向的z 次b 样条基函数，同样由德布尔一考 克斯递推公式( 2 - 2 ) 决定。“向和 ，向的节点矢量分别为： u = u o ，比l ，“一+ “l 】， 陆【，o ，h ，“l 2 1 2 2 有理基函数表示 p o ， ，) 2 荟善d t ，r - i ；，j i l l ，) ( 2 - 5 ) 这里r ；，jo ，y ) 是双变量有理基函数 1 0 , 1 1 ： 、 似，v ) ：兰：! 丝苎坐鲨型尘! 。(2-6)r纠t 、 ；j j i l l ，v ) 。i 旦二型二l 荟荟珂r ) 以d ) 注意到它不是两个单变量函数的乘积，所以一般地n u r b s 曲面不是张量积曲面。 2 1 2 3 齐次坐标表示 p o ，l ，) 2 h ( p ( “， ，) = h 薹善4 ，m ) 川，o ) ( 2 7 ) 筋箭 ” 一 1 0 ，华北电力大学硕士学位论文 一 其中皿，f = 【m ，d u 嵋，f 】称为控制顶点d 的带权控制顶点或齐次坐标。可见，带权 控制顶点在高一维的空间里定义了一张量积的非有理b 样条曲面以砧，y ) 。h ) 表示 中心投影变换，投影中心取为齐次坐标的原点。p ( u ，w ) 在w = l 超平面的投影( 或 称透视像) n p ( u ，w ) ) 便定义了一张n u r b s 曲面u 0 u 1 由上述等价方程表示的n u r b s 曲面，通常在确定两个节点矢量u 与v 时，就 使其有规范的单位正方形定义域o ( m ) 2 2 + ：3 + ： 3 a “3 “2 2 ：3 ： 3 ( a l + 3 ) 2 a 2 + ：鼙+ ： o 0 o 吨t r a n - m , s - m 4 4 ，一1 m ( a 1 + 3 ) 2 i ) 躐 d ，- ( 嵋或，+ l d j “，嵋+ 2 d i + 2 ，嵋+ 3 d i + 3 ) r 彬一( m ，m + l ，m + 2 ，毗+ 3 ) r 2 2 2 双三次n u r b s 曲面矩阵表示形式的确定 ( 2 - 1 4 ) n u r b s 曲面的矩阵表是根据n u r b s 曲线的矩阵表示形式拓展而得。只是 n u r b s 曲线由一个特征多边形定义，而n u r b s 曲面有一组特征多边形定义，该组 特征多边形的顶点称为特征网格。 给定空间0 + 1 ) 仰+ 1 ) 个控制顶点噍，o ；0 上，n ；j o 工，朋) ，它们构成双三 次n u r b s 曲面的特征网格，则相应的双三次n u r b s 曲面方程为： 其中： i = o ，1 ，n 3 ； j = o ，l ，m - 3 ； u r 1 l v r 1 l “2 l ，2 口3 】 ，3 】 w i 。j d t 。j w i n j d i j + 2 ，d i + 2 。j w i + 3 , j dt 矗。j ， ， i、u m i d i i m ：y l 觑j “d4 面赫 o 兰u 士1 o 兰v 墨1 w i 。j n d t 。j n 嵋+ l m d f “m 嵋+ 2 。j + l d j + 2 。，+ l m , 3 d + l d 帆，+ l m ，+ 2 d j ，+ 2 m 扎+ 2 d i 礼j + 2 嵋+ 2 ，+ 2 d i + 2 ，+ 2 毗+ 3 ，+ 2 d f + 3 。卜2 嵋，+ 3 d i ，+ 3 嵋+ 1 + 3 d “l j + 3 嵋+ 2 ，j + 3 d “2 ，+ 3 m + 3 ，j + 3 d i + 3 ，j + 3 ( 2 - 1 5 ) 彤， m j 雌， w m 1 w i + 乏j m + 3 ， 小l l 小2 l m 3 l 册4 l m ，m 嵋+ u “ m + 2 , j + 1 雌+ 3 , j + l m n 朋忿 历花 所4 2 ( m ) 2 2 + 2 3 n 一3 m l l j ，1 1 3 m 历 小船 m ，卜2 m 咄卜2 m + 2 , 1 + 2 m + 3 , 1 + 2 朋i 胁2 4 m 3 肌“ 0 - m l l - m ”) ( 3 m l l - m 2 3 ) 锄l l 一( 3 ，l l l + 小3 3 ) m 。，+ 3 + 1 朋 m + 2 , j + 3 嵋+ 3 ，朋 ( a 抛) 2 酲：雹+ ： 3 a i + 3 j + 2 2 + ：3 + ： 3 ( a j + 3 ) 2 2a 3 z - a i + 2 z - t i + 2 吨t ( r o l l - - m 4 3 - m 4 4 ) _ i m ( a 3 ) 2 ： ( 朋) 2 鼙+ ：辞+ 。 0 - m l l - m 1 3 ) 一3 m l l ( 3 m i l - m ) 锄l l 一( 3 m l l + 册) 一所l l ( m ) 2 2 3 “j + 2 z - a j + 2 3 a j + 3 a + 2 钙+ ：譬+ ： 3 ( a 朋) 2 衅+ 2 譬+ 3 ( m u - m 4 s - m 4 4 ) 一1 m ( a * 3 ) 2 ： 2 2 3 混合幂次n u r b s 曲面矩阵表示形式的确定 0 0 0 ( f + 3 ) 2 2 朽3 柏 0 o 0 ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 在实际应用中，还存在一种特殊的曲面，这种曲面在其横向是圆锥曲线，在其 纵向为自由曲线。圆锥曲线必须用二次n u r b s 曲线才能精确表示，纵向的自由曲 线一般用三次n u r b s 曲线表示。因此，这类曲面用2 x 3 次混合n u r b s 曲面表示， 既可使横向的圆锥曲线得到精确表示，又可表示纵向的自由曲线，从而更好的满足 了工程设计的需要。， 给定空间( n + 1 ) ( m + 1 ) 个控制顶点锄o = 0 ，1 ，n ；j = o ，1 ，m ) ，它们构成2 x 3 次 1 4 i m 孔 弘 小 m 小 胍 b 嚣 格 历 肌 m m 圪 担 驼 旺 胍 小 肌 小 i 2 3 i 胁耽鹏肌 2 一 柑 。一辞堕 华北电力大学硕士学位论文 混合n u r b s 曲面的特征网格，则相应的2 3 次混合n u r b s 曲面方程为： ，y)一面un丽,d歹syvt (2-18)p(u ，y ) 。面丽万 基中：u 一1 口1 1 2 球3 】，y 一【1 yy 2 v 3 ，肌同( 2 - 1 1 ) 式，肌同( 2 1 4 ) 式， d ；i = w i j d t 。j w i , l , j d j 氐l m + 硝d “2 ，j m + 3 。j d j + 3 j 嵋， w “1 。i m + 2 m + 3 ， w t 。j “d t 。j 1 啦“j + 1 d j 扎j “ 嵋+ 2 j “d j + 2 ，“ m + 3 ，+ 一j + 3 ，“ 嵋，j + 2 d i ，+ 2 m 吐卜2 d i + l , j + 2 嵋+ 2 j + 2 d f + 2 ，+ 2 + 3 ，+ 2 d i + 3 ，+ 2 得到n u r b s 曲线的矩阵表示形式后，就可以通过选择合适的节点矢量和权因 子，用矩阵形式拟合曲线，有利于自由曲线的设计，便于分析计算，方便工程应用。 2 2 2 2 + + + 一 研 引 缈以咖咖 n 卜 卜 冉 斯 副 缈咖咖以 华北电力大学硕士学位论文 第三章n u r b s 曲线曲面的生成 我们在理论上可用简单的数学式子来描述直线、圆弧和其它一些特殊曲线，但 在实际工作中，如机翼、船体、汽轮机叶片形状的设计都是根据风洞试验、水池试 验或其它的一些试验进行的。这时，所碰到的各种曲线并不是按数学表达式子给出， 而是依靠一些离散的型值点来描述曲线大致走向的。为了进一步分析它们的几何性 质，或者为了加工出这些曲线，常常要将这些离散的型值点连续化，并且用数学方 程描述它，这一过程称为曲线的拟合。n u r b s 曲线曲面拟合是n u r b s 曲面造型 的重要内容，也是逆向工程的关键技术之一。 曲线拟合有两种实现方式，一种是由设计人员输入曲线控制顶点来设计曲线， 此时曲线的生成是曲线正向计算过程；另一种则是由设计人员输入曲线上的型值点 来设计曲线，此时曲线的生成就是所谓的曲线反算过程。在工程实践中，常常是给 出一组离散的型值点，要求构造通过该组型值点的曲线，即所谓的曲线插值。对于 形状设计，n u r b s 曲线插值方案有其重要的实际意义。通过给定位于曲线上的一 些点，反算出n u r b s 曲线的控制顶点，作为曲线设计的初始控制顶点，要比直接 给出不位于曲线上的控制顶点，显然更适合设计员的意愿。因为，在设计员头脑里 直接考虑的是曲线的大致形状，而非控制多边形的大致形状。有了曲线与初始控制 顶点后，设计员就可以根据需要，对已有曲形形状不满意之处，通过调整初始控制 顶点，进行形状修改，以最后获得满意的结果，并把调整后的控制顶点等信息存储 下来。 曲线反算过程一般包括以下几个主要步骤：确定插值曲线的节点矢量；确定曲 线两端的边界条件；反算插值曲线的控制顶点n 是蠊1 。 3 1n u r b s 曲线的插值 n u r b s 曲线的插值可表述为：根据给定的型值点b 及其权因子h i ( i = 1 ，2 ，n ) ， 计算负荷条件的k - 1 阶连续的七次n u r b s 曲线，其控制顶点和权因子分别为研和 坳( | = 1 ，2 ，m ) 。 3 1 1n u r b s 曲线的节点矢量 为了使一条七次n u r b s 曲线通过一组型值点只o = 1 ，, - - - , n ) ，反算过程一般使 曲线的首末端点分别与首末型值点一致，内型值点将依次与七次n u r b s 曲线定义 域内的节点一一对应，即一对应节点值啦谗j 。因此，n u r b s 曲线将有尼一l 段，所 求的七次n u r b s 插值曲线将由( n + k 1 ) 个控制顶点西( f = o ，1 ，n + 1 ) ，节点矢量u 华北电力大学硕士学位论文 在首末点处具有k + l 阶重复度，相应的节点矢量为： u 一阻o ，“l ，“2 ，h 一+ 5 】 曲线的定义域为 砧m 3 ，“刖2 】一【0 ，1 】 u o l l l 。1 2 一u 3 0 “ + 2 。h + 3 。“刖“。“ + 5 。1 为确定与型值点p ( = i ，2 ，n ) 相对应的参数值“2 ( i 1 ，2 ，n ) ，需要对型值点进 行参数化处理。通常对型值点实行参数化有如下方法n 以，1 4 - 1 7 ： 3 1 1 1 均匀参数化( 又称等距参数化) 法 使每个节点区间长度( 用向前差分表示) a ；= “m 一“；a 正整数( f = o ，2 ，n 一1 ) ， 即节点在参数轴上呈等距分布，为处理方便起见，常取成整数序列 u jt i i - o ，1 ，刀- 1 这种参数化方法仅适合于型值点多变形各边( 或称弦) 接近相等的场合。否则， 在相邻段弦长相差悬殊的情况下，生成插值曲线后弦长较长的那段曲线显得较扁 平，弦长较短的那段曲线就鼓得厉害，甚至出现尖点或打圆自交的情况。 3 1 1 2 向心参数化法 p o 一0 “唑- l + 慨+ ，| l 2 f - 1 , 2 ，n 这是美国波音公司的李( l e e ，1 9 8 9 ) 提出的。他假设在一段曲线弧上的向心力 与曲线切矢从该弧段始端点末端的转角成正比，加上其他一些简化假设，导出如上 的参数化法。 3 1 1 3 福利( f o i e y ，1 9 8 9 ) 参数化( 又称为修正弦长参数化) 法 i 一1 ，2 ，咒 七；一1 + 吾龋+ 再委兰宝子粤， 0 = m i n o 一卸f 1 p 帆pl ，要) i a p q i ；i p 。i 一0 由上可见，采用了修正弦长后，修正系数毛21 。与前后邻弦长i 卸m l 及慨i 相 卸 七+ d o 毒 i 卜卜 中其 华北电力大学硕士学位论文 比，若与前后邻线夹角的外角瞑一，佛( 不超过a t 2 时) 越大，则修正系数k 。就越大， 因而修正弦长即参数区间。一一k t i 卸；d i 也就越大。这样就对因该曲线段绝对曲率偏 大，与实际弧长相比，实际弦长偏短的情况起到修正作用。修正弦长就较接近实际 弧长。从插值曲线的光顺性来看，一般来说福利参数化法取得的效果最好。 3 1 t 4 累积弦长参数化( 或简称弦长参数化) 法 该方法使每个节点区间长度与对应曲线上的两点之间的弦长对应起来，该方法 如实反映了型值点按弦长的分布情况，一直被认为是最佳的参数化方法。它克服了 型值点分布不均匀情况下采用均匀参数化所出现的问题，在大多数情况下能够获得 比较满意的结果，所得到的插值曲线具有较好的光顺性。 对于开曲线包括非周期闭曲线一般两端点取重复度k + l ，以使具有同次贝齐 尔曲线的端点几何性质，便于人们对曲线在端点的行为有较好的控制，且通常地将 曲面的定义域取成规范参数域，既使u 【l i k ，t i n + 1 】= 【o ，1 】。于是u0 = u l - - - - u k = 0 ， u t + 1 = u n + 2 - - u n + k + 1 = 1 。剩下的需要确定的就只有u k + l ，u k + 2 ，e n 那些内节点。 对于插值曲线，相对于均匀参数化来说，积累弦长参数化是比较合理的，它使 顺序连接的两个数据点的参数值之差与其距离成比例。里森费尔德( r i e s e n f e l d ) 方法就是基于这种思想，该方法把控制多边形近似看作为样条曲线的外接多边形， 并使曲线的分段连接点与控制多边形的顶点或边对应起来，然后使其展直，并规范 化，得到节点矢量参数序列。 一 令控制多边形的各边长依次为l 产id i - d i j | ，江1 , 2 ，”，n 总的边长为lt 罗厶。 何 节点矢量分别确定如下； 1 ) 偶次n u r b s 曲线的节点矢量 里森费尔德假定偶次n u r b s 曲线的所有n k 个分段连接点对应于控制多边形 上除两端各k 2 条边外其余n - k 条边的中点，将其展直，规范化，以二次n u r b s 曲线为例，如图3 1 所示，图中，n u r b s 曲线段的界限用小圆表示，称为结点，以 便与节点相区别。其分段连接点与控制多边形的对应关系如图3 3 所示。 应用重节点端点条件时，二次n u r b s 曲线首、末端点通过特征多边形首、末 顶点，中间结点分别处于各对应边的中部位置。计算时，将多边形各边展直作为参 数轴，以各结点对应边的中点作为中间节点，构成节点矢量。设定点数为n + l ，二 次n u r b s 曲线段总数为n 1 ，相应的应有n 1 组基函数。如图3 3 所示，图中 l 以= 1 ，2 , - - - , n ) 为多边形边长，二为边长的总和。l i + l 2 2 ，弛2 + 工s ) 2 ，l 州2 + l 一 分别表示各节点区间的长度。由此，为构成该n 1 组基函数所需的节点矢量，二次 n u r b s 曲线的节点矢量为 1 8 华北电力大学硕士学位论文 十o ，华，半，半学1 】 工 i 图3 - 1 二次n u r b s 曲线及其控制多边形图3 2 三次n u r b s 曲线及其控制多边形 图3 3 二次n u r b s 曲线基函数的节点矢量 图3 4 三次n u r b s 曲线基函数的节点矢量 2 ) 奇次b 样条曲线的节点矢量 里森费尔德假定奇次n u r b s 曲线的所有n k 个分段连接点对应于控制多边形 上除两端各( k + 1 ) 2 条边外其余n k 条边的中点，将其展直，规范化，以三次n u r b s 曲线为例： 与二次n u r b s 曲线类似，应用重节点端点条件时，三次n u r b s 曲线首、末 端点通过特征多边形首、末顶点，中间结点的位置则与多边形顶点对应。因此，将 多边形各边展直作为参数轴，与结点相对应的顶点作为节点，构成节点矢量。设定 点数为n + l ，曲线共有n 2 ，相应的应有n 1 组基函数。所用节点矢量如图3 2 ，图 3 4 所示，图中厶+ 如，l 3 ，l 2 ，l 树+ 厶分别表示各节点区间的长度。由此， 构成所需基函数的节点矢量为： 1 9 华北电力大学硕士学位论文 u -。，。，。，。，学，半，擎，l1 3 1 2n u r b s 曲线的边界条件 在确定了节点矢量之后，就可以给出以控制顶点为未知矢量的线性方程组，因 方程数小于未知顶点数，故必须补充两个合适的边界条件给出的附加方程，才能联 立求解。常用的边界条件及对应的附加方程有如下几种： 1 ) 切矢条件。切矢条件在力学上相当于梁的端部固定的情况，因此具有固定 的切线方向。这样首末端就有如下附加方程，其中p ：与贰为给定的首末端切矢。 id l d 。- 每戍 k 二一d 州垒 e l j 2 ) 自由端点条件。自由端点条件在力学上相当于铰支梁，在端点不受力矩作 用，因此具有零曲率。这可由端点二阶导矢取零矢量保证，这样首末端就有如下附 加方程 f d o d l t d 。+ 2 一d 稃+ 。 3 ) 闭曲线条件。闭曲线条件是指曲线首末端点重合且保证二阶连续，由此可 获如下附加方程： p o d 。+ l l d l - d m 3 1 3 反算n u r b s 曲线的控制顶点 下面以三次n u r b s 曲线为例，推导出用矩阵形式求解三次n u r b s 曲线控制 顶点的方程表达式。 给定型值点p i ( i = o ，1 ，n ) ，型值点对应的权因子h i ( i = o ，1 ，n ) ，节点矢量 u = 【o ，0 ，0 ，0 ，u l ，u 2 - - , 1 ，1 ，1 ，1 1 ，边界条件采用切矢条件，d i ( i = 0 ，1 ，n + 1 ) 为所求控制顶 点。由( 2 9 ) 式： p ”吐矗掣篱嚣掣 1 ) 由于取两端点重复度，一4 ，于是三次n u r b s 曲线的首末控制顶点就是首末数 据点，即：p j - - d o ，己= 巩+ j 。根据插值要求应有： 华北电力大学硕士学位论文 由于： 令 可得： 解。 f p o ( o ) - 置 p f ( 1 ) 一p i “( o ) 一层+ 2 ln 之( 1 ) = 只 1 0 f o ，1 ，2 ，以一3 ) 陛1 一糕23 一蕊( a i 2 ) 2 p ；+ i p i 仰一掣盎等瓮意笔铲 ( 3 - 2 ) 酾( a i + 3 ) 2 嗽廿蕊( a i + 3 ) 2 一蹉m m + 蹉嘲+ ： ( “。) 2 u i + i2 苞葱 + ( 1 一瓦( a i + 瓦3 ) 2一掣) m “衅+ 2 筵+ 2 7 ”1 + 瓦( a i 鬲+ 2 ) 2 筐+ 2 z