（基础数学专业论文）几类时滞反应扩散方程的周期解与行波解.pdf

里堕型兰垫查奎兰竺堑生堕茎垡笙茎 摘要 本文主要讨论了几类时滞反应扩散方程的周期解、平衡态解的存在唯一性及解的 渐近行为，最后研究了一类二阶时滞格微分方程行波解的存在性。 第一章给出了一些基本定义，并简要介绍了时滞反应扩散方程的主要研究方法以 及近期的一些基本结果。 在第二、三章中，我们分别讨论了两种群竞争、合作系统周期解的存在唯一性， 第二章着重讨论种迭代方法的应用，第三章着重讨论周期解唯一性。 在第四章中，我们分别讨论了一类时滞反应扩散方程在有时滞和无时滞的情况下 其平衡态解与周期解的存在性，并得到了解的渐近行为的一些结论。 在第五章中，我们讨论了无量纲d a p h n i am a g n a 方程在n e u m a n n 边值条件下的 h o p f 分支，得到了h o p f 分支的存在的条件，利用中心流形和规范型理论得到了分支 方向，分支周期解的稳定性的计算公式。 在第六章中，我们对一类从实际问题中抽象出来的二阶时滞格微分方程的行波解 进行了讨论，用单调迭代的方法讨论了耦合函数具有拟单调性时行波解的存在性，用 不动点的方法讨论了耦合函数具有指数拟单调性时行波解的存在性。 关键词：时滞反应扩散方程上下解周期解平衡态解s c h a u d e r 不动点定理 h o p f 分支中心流形格微分方程 第1 i 页 里堕型兰垫查查兰里塑竺堕兰堡笙苎 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eh a v ed i s c u s s e dt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o r so fp e r i o d i c s o l u t i o n sa n ds t e a d ys o l u t i o n so fs o m ek i n d so fr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t l ld e l a y s w ea l s oh a v ei n v e s t i g a t e dt h ew a v e f r o n ts o l u t i o no fak i n do fs e c o n do r d e rl a t t i c e d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i 血d e l a y s i nc h a p t e r1 ，w eg a v es o m ef u n d a m e n t a ld e f i n i t i o n sa n db r i e f l yi n t r o d u c e dt h em a i n m e t h o d so f i n v e s t i g a t i n gr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sa n ds o m er e c e n tf u n d a m e n t a lr e s u l t s i nc h a p t e r2a n d c h a p t e r3 ，w ew e r ed e v o t e dt or e s e a r c ht h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o fc o m p e t i t i v ea n dc o o p e r a t i v es y s t e m so ft w op o p u l a t i o n s w ep u te m p h a s i su p o nt h e a p p l i c a t i o no fm o n o t o n ei t e r a t i o nm e t h o di nc h a p t e r2a n dt h eu n i q u e n e s so fp e r i o d i c s o l u t i o ni nc h a p t e r3 i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t e dt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o r so fp e r i o d i c s o l u t i o n sa n ds t e a d ys o l u t i o n so fat y p eo fr e a c t i o nd i f l u s i o ne q u a t i o nu n d e rd i f f e r e n t c o n d i t i o n s ( w i t hd e l a y sa n dw i t h o u td e l a y s ) r e s p e c t i v e l y i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i g a t e dh o p fb i f u r c a t i o np r o p e r t i e so fd a p h n i am a g n a e q u a t i o n b a s e do nc e n t e rm a n i f o l da n dn o r m a lf o r m ，w eg e tt h ef o r m u l a sf o rd e t e r m i n i n gt h e d i r e c t i o n so f h o p f b i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo f b i f u r c a t i o n a lp e r i o d i cs o l u t i o n s i nc h a p t e r6 w ed i s c u s s e d 也ew a v e f r o n ts o l u l i o no fak i n do f1 a a i c ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw h i c hd e r i v e sf r o md i v e r s ef i e l d s w eo b t a i n e dt h ew a v e f r o n ts o l u t i o nb yu s i n g s u p s u b s o l u t i o ni t e r a t i o nw h e nt h ec o u p l e df u n c t i o n sa r eq u a s i m o n o t o n e ，a n db ya p p l y i n g s c h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w ea l s oo b t a i n e dt h ew a v e f r o n ts o l u t i o nw h e nt h ec o u p l e d f u n c t i o n sh a v ead i f f e r e n tq u a s i m o n o t o n ep r o p e r t y k e y w o r d s ：r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hd e l a y s ；s u p - s u b s o l u t i o n ；p e r i o d i c s o l u t i o n ；s t e a d ys o l u t i o n ；s e h a u d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ；h o p fb i f u r c a t i o n ；c e n t e r m a n i f o l d ；l a t t i c ed i f f e r e n t i a ie q u a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：且娄盟整丛座芷邀友蕉曲周塑缝皇盈速筮 学位论文作者张目球吼沙。悔7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：且娄吐遂厦座芷邀左猩鲍屈塑缝生堑遗篮 学位论文作者签名： 8 蟒 日期： 炒侔化月夕日 作者指导教师签名： 耋墨! 日期： 砂。l f 年。l 月9 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 1 1 引言 反应扩散方程被广泛用于描述，解释或者预见各种自然现象，如来自物理、化学、生 物学等众多领域的数学模型均由反应扩散方程所描述，因而由着强烈的实际背景，以应用 为目的或以其他科学为背景的反应扩散方程的研究，不仅是传统应用数学的一个组成部 分，而且也是当代数学研究中的一个重要组成部分，它是数学理论与实际应用之间的重要 纽带和桥梁，近年来，对反应扩散方程的研究日益受到重视。数学上通常把如下半线性抛 物方程 詈= d ( x ，u ) a u + f ( x 心v u ) 称为反应扩散方程 7 2 】。上式与时间f 无关的解( 平衡解) 满足 一d ( x ，u ) a u = f ( x ，”，v u ) 与空问x 无关的解满足 _ d u ：，( ) 出 后面的两个方程是两种特殊情形，也将它们与反应扩散方程的耦合称为反应扩散方程组。 由于它们的耦合在很大程度上反应了“扩散”和“反应”的相互作用，也反应了各分量之间的 相互作用，因而为许多实际问题的数学模型的建立提供了条件。物理学、化学、生物学中 出现了大量的反应扩散模型，如物理学中出现的半导体方程 化学中酶的数学模型 生物学中的生态方程 百o n = d i v q x ( y v 门一”v v ) 一兄( 竹，p ) o 西, = d i v q x ( y v p + 朋v 矿) 一足( n ，p ) a v = - q ( p 一”+ d 、 j 砉= 船毗卅叫 i 考= 肚郴“口) - m 。叫】 面o u = “+ 洲( 刚) + j f ( “ ，s ) ，v ( ”) ) 西 害= v + v ( 刚) + f g ( “( ”) “础) ) 出 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 神经传导的f i t z h u g h - n a g u m o 方程 窘州1 训( 1 詈珈卅 以及其它模型如渗流方程、超导方程、液晶方程、反应器动力方程；生物现象中的众多 数学模型；医学中提出的各种方程；传导中以及污染问题中提出的对流扩散方程等。 7 2 】对不含时滞的反应扩散方程进行了较系统的介绍，还可见 1 3 ，2 8 ，7 7 。在反应项中引如 滞量，一定程度上更能反应客观事实，因为一个过程的发展有时不可避免的受到前面过程 的影响，见【3 2 ，4 1 ，6 6 ，7 1 。 1 2 研究方法及进展 一连续型 系统的周期性体现了系统在特定条件下的规律性变化，而这种规律性变化在自然界中 是普遍存在的，因而对从实际问题中抽象出来的数学模型周期解的研究显得非常必要，例 如，对传染病模型周期解的研究有助于人们及时采取预防措施。周期解理论也是反应扩散 方程理论研究中的一个基本而又重要的课题。 对反应扩散方程周期解的研究通常的方法有分支的方法，见 1 5 ，3 0 ，5 6 ，6 7 ；上下解方法， 见【1 8 ，1 9 ，3 5 ，4 1 ，7 1 ，7 4 】；算子半群的方法，见 3 6 ，7 2 ；拓扑度理论，见【5 0 ，6 0 。在这些方法 中，上下解方法是一种十分有效的方法，我们也将主要讨论这种方法为以后的需要，为此 先介绍几个基本概念。 ( 1 ) 单调性 向量函数f q ，石，地v ) 在赏”中的某个子集a 中是混合拟单调的是指，对每个i = l ， ， 存在非负整数口。，b 。，c ，d ，且a 。+ 6 。= n 一1 ，c + 一= ”，使得对a 中的每一”= ( “。， ”】。陋】6 。) 和v = ( 【v 】矿m 4 ) ，f ( t ，x ，“，v ) 关于 ”】q ，i v 。是单调增的，关于【“】“，【v 】是单调减的。如果 对所有的i 有b ，= d 。= 0 ，则称f ( t ，五，v ) 为单调非减的。 为研究方便，通常将时滞反应扩散方程写为如下形式 r ii o u = 坼+ z ( 五f ，蚱，胁l ，脚】 ，陋，l ，队k ) ( 2 ) 上下解 骂坼= ( ，x ) u l ( t ，x ) = 破( f ，x ) ，o ，x ) 卜f ，0 】o ( 1 2 1 ) 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 函数订，“称为方程( 1 2 1 ) 初边值问题的上下解如果盯“且 鲁逝州刈磊吲“她) 詈骂+ - ，：( r ，骂， 丝k ，【订】屯，【氅】c j ，【瓦】屯) e 巧吩b ，u _ e 巧破兰 上面定义中若关于初值的不等式换成 巧( r ，x ) 巧p + r ，x ) ，骘( t ，x ) 骂o + t ，x ) 则称为边值问题的t - 上下解。特别如果厂是拟单调的，则称为有序上下解，如果厂是混合 拟单调的，则称为耦合t - 上下解。 文献【4 1 对具有拟单调性的离散时滞反应扩散方程组( 1 2 1 ) 幂l j 用上下解迭代方法建立 了解的存在性定理。 定理1 1 如果( 1 2 1 ) 存在上解荇与下解d ，f 满足l i p s c h i t z 条件且在( i ，茁) 内混合拟单 调，则( 1 2 1 ) 在( d ，石) 内存在唯一解。 文献【7 4 】在【4 1 】的基础上用同样的方法得到了( 1 2 1 ) 周期解与拟周期解的存在性。减 弱了文献【1 8 ，1 9 】中对上下解的要求。 定理1 2 如果周期边值问题( 1 2 1 ) 存在有序丁上解磊与r 下解二，则( 1 2 1 ) 存在最大丁 周期解 与最小r 周期解u 满足“石，且对满足二庐石的初始函数庐，初边 值问题的解u ，当t - - - o o 时，满足“z ，。 定理1 3 如果周期边值问题( 1 2 1 ) 存在有耦合r 上解石与丁下解五，则( 1 2 1 ) 存在最大 r 周期拟解“与最小r 周期拟解型满足五些“嚣，且对满足二石的初始函数庐， 初边值问题的解u ，当t 斗o o 时，满足些“u 。 随后文献 4 3 4 7 及其参考文献对反应项具有分布时滞( 有限和无限两种情形) 的情形， 区域为有界和无界的情形以及非线性边界问题应用并1 4 1 1 相同的方法建立了解的存在性定 理。 5 7 将定理1 2 成功用于具有无限分布时滞的情形。这些基本定理的建立为研究具体的 数学模型奠定了基础，见 5 7 ，5 8 ，7 0 ，7 4 。 具有空间空扩散的种群间的竞争、互惠、 程，由于生存空间，食物等竞争因素的影响， 的地方向低密度的地方扩散。 食饵捕食系统是三类比较典型的反应扩散方 生物群体自然地按照各自的扩散率从高密度 其中对竞争系统的研究尤为突出，见【2 ，3 4 ，3 5 ，4 1 ，4 2 ，5 7 ，5 8 ，7 0 ，7 4 ，7 6 】，其中关于两种群竞 争模型均为如下方程的特例 第3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 瓦d u = ”+ 埘q 一6 1 “一c lf v ( f _ f ( j ) ，x m “( r ，s ，x ) 害_ v + 帆却巴f 妒巾) m 眦 瑚 ( 12 2 ) 娑= _ o u = 0 ，( 舢) r + 弛 d h 册 u = ，v = ，( f ，z ) r 一q 对食饵捕食系统可见 3 8 ，4 9 ，6 1 ，6 2 】及参考文献。目前对于合作反应扩散模型，没有太多 文献，见【6 1 】， 6 1 1 对如下两种群合作模型正周期解的存在唯一性进行了研究 百a u = “+ 甜( f ，x ) 【日一施( f ，x ) + 删( f ，x ) 】 詈= v + v ( 埘一卯( 船) + 扣( “) 】 【= v = o , r + a q 扩展了 4 8 】中常系数情形的结论。【4 1 讨论了常系数的下述模型解的存在性 瓦o n = “+ ( r ，功 q 一6 l “( r ，x ) + c 。v ( t - r , x ) 】 - - 窑= a v + v ( ，州q - 6 l v 亿咖q “( i - - r , x ) 但是不能排除所论解是平凡解的情形。上述模型是如下方程的一个特例 o 西u _ _ l = a u l + u i q 一6 l 坼+ ：。州f 一) + 二“：( m ( s ) ，x m h 如，叫) 鲁= 咄地【 + ：。州r f ) + ：= 州( 咄z m 段，蹦) ( 1 2 3 ) 县= b 2 u 2 = 0 ，( f ，x ) r + 讹 甜= 庐，v = 沙，( r ，x ) 一f ，o 】n 对单种群研究较多的是l o g i s t i c 模型及各种变形模型，见【9 ，5 6 ，6 3 - 6 5 1 【9 】研究了如下 无量纲d a p h n i am a g n a 模型 詈= 缈圳踹， ( 1 2 4 ) 在d i r i c h l e t 边值条件下平凡解及平衡态解的性质。 1 l 】讨论了，= 1 时波前解的存在性， 6 3 】 考虑了更一般模型 f1 0 y ( t 厂, x ) = 砂m 咖悯y m x 丽k 而( x ) - 丽y ( t , x ) 毋( r ，x ) = o i y ( o ，砷= ) l 以及相应的时滞反应扩散方程 第4 页 f 堕= 们棚竹胁) 踯m k ( x 咄) - a 膊y ( t , 啪x ) - 似b y ( 删t - rx 一) 丽 嚣蔼 b y = 兰+ y ( x ) y ，( x ) “( a q ) 且在边界上非负。 砸一砸m 一：。嚣暑舞糕， o讲u(，x，一“。，x，=，：”o，x，r一：。i?：i!；i：；：然，czs， 二离散型 格动力系统是无穷个定义在格上的微分或差分方程组成的系统，这类方程在形式上是 连续模型的离散。但实际上这些系统广泛来自于粒子物理、图象处理、材料科学、神经病 学和生理学等。关于这方面的综述及近来的结论可参阅【1 ，2 3 ，2 4 。 其中研究最多的格微分方程是单个的空间离散f i s h e r 方程( 单稳态) 及n a g u m o 方程( 双 稳态) ： 兰：d ( 摊1 2 + x n + 1 ) + ，( 矗) ，玎e z “l 其中d 是一个正常数，是满足某些性质的l i p s c h i t z 连续函数。 对双稳态方程【3 ，4 ，2 4 ，2 7 分别进行了较为详尽的讨论。 5 首先利用截断方法和拓扑度 的同伦不变性对f i s h e r 方程行波解的存在性进行了讨论。 邹幸福和吴建宏 6 7 】研究了单稳态时滞格微分方程 ! 拿：d g ( x ，) o ) 一2 9 ( x 。) o ) + g ( x n + 1 ) ( f ) ) + 厂( 矗。一f ) ，h z ( 1 2 5 ) a l 其中d d ，f o 是常数，f ：( 卜f ，o 】，胄) 哼r 满足拟单调条件或弱拟单调条件。他们利用单 调迭代方法和上下解技术建立了( 1 2 5 ) 波前解的存在性。 随后，1 0 对不含时滞的单稳态格微分方程 旦= d “：。一2 “? + “：。】+ ，( ) 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 利用【5 ，6 7 中方法讨论当m 取不同正值时波前解的存在性。 6 则采用全新的截断方法和迭代方法对不含时滞的单稳态格微分方程 1 l = 。 = d 【g ( 一j ) 一2 9 ( ) + g ( + 1 ) + 厂( “。) 进行了全面的分析，得到了行波解的存在唯一性。【2 9 】则采用不同的方法得到唯一性。 8 】 对渐近行为进行了分析。 最近 7 ，2 4 1 在很一般的动力系统框架下，研究了行波解集合的全局结构，并给出了其 存在性，唯一性和单调性。 【1 7 利用上、下解技术和s c h a u d e r 不动点定理建立了( 1 2 5 ) 波前解的存在性，放宽了 6 7 】 中对上解的限制，使得在构造上下解时比以前容易些。 另一类较重要的格微分方程为格神经网络( c e l l u l a r n e u r a ln e t w o r k s ) 模型，简记为c n n 。 c ! 竽= 一去( r ) + 4 9 ( ( 嘞+ 羔。4 【g ( ”。( 嘞+ g ( “。( 嘞】+ ， 该模型是电路神经网络的替代模型，首先由l o c h u a ，l y a n g 提出，近年来c n n 方 法广泛应用于图像与信号处理、机器人等众多领域， 2 0 ，2 1 及其参考文献对该模型及其变 形模型的行波解的存在性进行了研究。 一阶格微分方程组在数学、物理、生理学、图象处理等领域也有广泛的应用，【1 4 】利 用上下解及s c h a u d e r 不动点方法讨论了一阶对滞格微分方程组 r l 鲁= ：l a j g ( “州) ( ，) 一2 9 ( u ) ( f ) + g ( 。) ( r ) + i ( u n t ，v m ) 兰 l 等= ：，口肚( v n + j ) ( f ) 一2 9 ( v , ) ( f ) + g ( v 。) ( ，) 】+ 以( l i n t , v n t ) 当：( 村。) 分别具有拟单调性和指数拟单调性时的行波解的存在性。 二阶格微分方程组在粒子物理、生物物理学、神经网络等领域也有广泛的应用，见 【1 2 ，2 5 ，3 l ，4 0 ，5 5 ，这些方程可抽象为如下方程组 霹( r ) + 2 。 毋( 0 ) ( f ) + 岛( “：! ，) ( ，) 一2 9 。( ( o + ，t 。0 ，以) = o ( 1 2 6 ) 1 3 本文研究内容 本文的结构安排如下： 在第一章里，我们简要介绍了时滞反应扩散方程周期解及时滞格动力系统行波解的研 究方法与近期的些结果。 在第二章中，我们将用上下解迭代的方法讨论具有无穷分布时滞的两种群竞争系统 ( 1 2 2 ) 周期解的存在唯一性。 在第三章中，我们将重点讨论方程两种群合作系统( 1 2 3 ) 周期解的唯一性问题。 在第四章中，我们将讨论一类单种群生物模型( 1 2 5 ) 平衡态解及周期解的存在性及系 统的渐近行为。 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 在第五章中，我们将讨论d a p h n i a m a g n a 方程( 1 2 4 ) y = 1 时在n e u m a n n 边值条件下的 h o p f 分支性质。 在第六章中，我们将对一类从实际问题中抽象出来的格微分方程( 1 2 6 ) 的行波解进行 讨论。 第7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章具有无穷时滞的两种群竞争系统的周期解 本章我们将用上下解迭代的方法讨论具有无穷分布时滞的两种群竞争系统 周期解的存在唯一性。 詈地州”忡c 胂_ f ( 巩巩肿，删 瓦a v = v + v 【q 一6 2 v c 2f “o f ( s ) ，x m 鲍( f ，j ，x ) 】 娑= _ o u = o ，( ，r + 触 o no n u = 庐，v = 缈，( f ，x ) r 一q 2 1 引言及引理 文 5 1 ，5 3 ，5 7 】中，出现了如下形式具有时滞的单种群生物模型 塑地m 亿纠郇埘_ 6 ( m “) _ c n x ) r 妒邵俐】( 2 ) 型：o 【锄 其中口，b ，c 为正的r 周期函数，q 为r ”中的有界区域，其边界是c 2 的。 5 l 】研究了系数d ，b ，c 为正的常数情形下解的渐近行为， 5 3 】对一般情形进行了研究， 5 7 考虑了周期边值问题 ( 2 1 1 ) 周期正解的存在唯一性以及该正解对初边值问题解的吸引性。【7 0 1 5 u 用迭代方法结合 周期抛物特征值问题研究了如下有限分布时滞的两种群周期l o t k a v o l t e r r a 竞争模型周期 拟解的存在性与吸引性 鲁= 4 u i + u i 【q 却，一鼽m ，x ) d s ，1 ( 郇删 鲁= 4 u 2 + d 2 q 一岛也一屿。_ f ( 疵巩耻 列 ( 21 2 ) b l u 1 】= 岛【“2 】= o ，( f ，工) r + x m 虬= 谚，o ，x ) 【一f ，o 】q 其中岛为正的t 周期函数，对每一se - 1 ，0 】，“是f 周期的，且对固定的( f ，x ) 在 - l ，0 1 上是 非减，有界的，f ( s ) c ( 【一l ，o 】，【一r ，o 】) ，q 同上，a 1 ，4 为一致强椭圆算子。且“= ”。或者 骂坼= 警+ ，( x ) 砷，( 砷c l + a ( a q ) 且在边界上非负。 d p 但是所给的充分条件没有明显揭示问题系数之间的内在联系以及系数对解的性态的影 响。 5 9 ，7 4 讨论了下列时滞周期系数的竞争一竞争一互惠模型 第8 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 等却 舢却叫一 鲁却”删- 州h ) 一 鲁枷地+ 酬- 一南 堕：o 咖 本章中我们将 5 9 1 所采用的方法用于如下形式的两种群周期l o t k a v o l t e r r a 竞争模型。 瓦0 u = “+ 埘q 一6 l “一c lr v ( 卜f ( s ) ，x m m ( ，蹦) 詈= v + v h 一6 2 v c 2r 一r ( n x m 鸬( 啪一】 ( 2 1 3 ) 娑= _ o u = 0 ，( ) r + 抛 册砌 “= ，v = ，( r ，x ) r 一o 其中1 9 1 t4 ，q 为正的丁周期函数，对每一j 【o ，。) ，, u i 是，周期的，且对固定的( ，聋) 在 o c o ) 上是非减，有界的， i _ d ，“( f ，s ，x ) 0 ，宴o ，( ) r + x 铀 l l册 a ( t ，x ) 瘴( r + t ，x ) ，f o ，x ) f o + ，x ) ，o ，砷r 一q 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 詈螂埘旷咿q 肌叫吐x m 郇 捌 害螂州旷妒c ：r 琊叫吐x m 舭，删 昙o ，芸o ，( ) e r + m 咖 佣 f i ( t ，石) 面( f + t ，x ) ，口( f ，z ) 哥( f + t ，x ) ，( ，x ) r x q 由第一章定理1 2 ，我们有 引理2 1 如果( 2 1 3 ) 存在有序r 上解( 莳，铲) 与丁下解( 五，口) ，则( 1 2 3 ) 存在最大丁周期解 ( 云，；) 与最小t 周期解( 坚，旦) 满足丝+ 云玎，口! ；矿，且对满足 万，p 妒s 矿的初始函数( 庐，p ) ，初边值问题的解( “，v ) ，当，一o o 时，满足 一 一 一u “s “，! v v 。 定义 弓= 杪( f ，x ) ：厂c ( r + q ，r + ) ，o + t ，x ) = ，( f ，工) 对v 厂b ，记 厶：= m a x f ( t ，工) ，兀：= m i n f ( t ，x ) 引理2 2 t 2 1 a u ( t , x ) ：“( f ，x ) + “( f ，x ) ( 口( r ，砷一6 0 ，x ) “( f ，x ) ) ，( r ，x ) r + q a ，t 、 ( 2 1 4 ) 丝粤：o ，( ，砷r + 施 o n 有唯一的正周期解”可，x ) c 2 1 1 w ”( f i “o ，卅) ，且满足( 争t “( 詈) ”，对任意的非负又 不为零的初值，方程( 2 1 4 ) 相应的解对都一致地趋于“。 引理2 3 1 删设口。，饥弓若边值问题 o u _ = ( t _ , 一x ) ：“o ，x ) + “( f ，x ) ( q ( f ，x ) 一6 l o ，x ) “( f ，x ) ) ，( ，x ) 胄+ x q o t o u - ( t , x ) ：0 ，( f ，x ) 丑+ 铀 o n 有解“，则当口l a 2b l b 2 时有u 2 。 2 2 主要结果及其证明 定理2 1 假设旷半( 胁t 一半( f ”成立贝! j 存在序列 移( ( ，x ) = 。= 每，v m 矗。具有如下性质： 第1 0 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( 1 ) 0 o 于是由引理2 2 知( 2 2 2 ) 有唯一正周期解( 甜“，v 1 ) 7 ，且满足 q：_学c,ma2一；。m；：半c1la2l；i ： 钆岛 吃：半c2m。im列吣半_c2lall守a 2 m 凡 = 二生v ( 1 ) 坠二_ 一= 扎 “2 f 叱l吐 由引理2 3 有 0 o 所以( 2 2 3 ) 有唯- - j e t 周期解( “”，v 2 ) 7 ，且满足 喁：! ：兰坐! 鲋弘竺：互c l l “2 l 坐生堑：一 强= 世一”卜。l 一茎! 生= x 1 6 l 盯屯岛l 川 以：兰：互c 2 m a l m ! ! 竺v ( 2 ，a ：c z 刍l a ；1 lt ：r d 竺堑：心 以= 兰l 一sv ”s 卫l 一s = 盐= 心 又因为 口。一c lf v o r ( ，z ) 哦“! 甄一c 1r v 1 ( f r ( s ) ，z ) 以“! q ， 吒一乞r “。( f f o ) , x ) d d 6s a 2 一岛f u ( 1 ) ( t r ( s ) ，x ) 吐鸬勤： 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 0 q 1 u 2 ) u o 一 0 呸v ( 1 ) v ( 2 ) sv ( o ) 苁 再( “”，v 2 ) 7 将延拓成r 上的周期解进行下次迭代 旦竽= “。，+ “口， q 一6 l 。( 3 ) - - c l f v c 2 ) ( f r 。) ，x ) 吐h ( ，晶功】 警岫“3 ) q 却一c lf 川h 以职，) 】 ( 2 圳 _ o u ( 3 ) ：掣：o ，( ) 。彤。a q 册o n 同前面分析一样( 2 2 4 ) 有唯一的正周期解( “，v 3 ) 7 满足 喁甜( 3 ) 乃，g f 2 v ( ”携 由于 o a t - c l f v ( f f o ) ，石) 吐h - a 1 一q f v 2 o r ( s ) ，x ) 以h - g a l 一q f v m o f ( j ) ，x ) 以hs q ， o a 2 一c 2 f u ( o ) ( 卜f ( s ) ，x ) 以鸬甄一岛r “( 卜r ( j ) , x ) d j t 2 翅一巳r u 0 ) ( f f ( j ) , x ) d , a 鲍 从而 0 q u ( 1 ) “( 3 ) “( 2 ) s “( o ) 一 0 呸v 1 js v ( 3 ) v ( 2 ) v ( o ) 儿 对( “，v 4 ) 7 同样有 0 q u ( 1 ) u ( 3 ) u ( 4 ) “( 2 ) u ( o ) 蔓h 0 v ( 1 ) v ( 3 ) v ( 4 ) v ( 2 ) v ( o ) 托 如此继续并由归纳法可得周期序列 u ”( f ，x ) e 。= “”o ，功，v ”( r ，x ) ：。满足定理第一条 性质。 ( 2 ) 因序列单调有界，故 型( f ，x ) = l 嘲u 2 ”1 ( r ，x ) ，疗o ，z ) = 1 吨u 2 ”( f ，x ) m u m - u 满2 = o a u 2 ”一1 u 疗u 2 ” y 且极限函数垡( f ，x ) ，u ( t ，x ) 满足下面关系 詈= 万+ 研q 一岛万一c lf v ( 卜- f ( 踉吐h ( f ，s 工) - - 署= a v + 可q 唧一q 脾叫咖m 化蹦) 】 ( 2 2 5 ) 婴= 娑= o ，( “) 胄+ x o x a o n o n 第1 3 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 詈= 趣埘q 一6 1 丝一c 1f _ v v ( ( 咄巩聃，蹦) 】 詈= 业叫q 吨1f 出叫n 抛舭 瑚 ( 2 2 _ 6 ) 譬= 亍o v = 0 ，( r ，x ) r + 铀 册o n 即g ( t ，x ) ，型( r ，工) 是边值问题( 2 2 3 ) 0 0 , 习期拟解，1 丰t ( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 知( 玎，d ，也，可) 是( 2 2 3 ) 0 0 t 周期解。 ( 3 ) 由引理2 1 只需证明似，y ) ，( 垡，t t ) ，( u ( 2 r e + 1 ) ，u 2 ”) ，0 ) 分n ( 2 2 _ 3 ) 是丁上下解， 按定义验证即可，证明从略。 前面，我们通过迭代的方法得到了周期边值问题( 2 2 3 ) 的周期拟解u ( t ，x ) ，型( ，x ) ，通 常情况下，周期拟解不是方程的周期解，如 r y ( t ，石) = 塑( f ，x ) ，则周期拟解是周期解，接 下来我们给出周期拟解是周期解并且周期解唯一的一个充分条件。 定理2 2 在定理2 1 的条件之下， ( 1 ) 如果 q “+ 皆( r 圳”+ 皆( r 吐跳锄。c g i + c 1 l o l 2 ( f d , k 6 ) z a 2 m + 券( f 以胁+ 券( f ”逊射叭r 以砒 成立，则u ( t ，x ) = 望( f ，x ) 。 ( 2 ) 如果 ，) 是( 2 2 3 ) 的r 上下解，且 q 。+ 鱼乒( f 吐h ) 。+ 鱼乒( f 吐段k 26 l 。a 。+ c 】。口：( f 以“) 。 呸。+ 鱼乒( f 鸬h + 鱼乒( r 吐h ) 。2 6 2 。+ 0 2 i , a , ( f f d j u o 。 则周期边值问题( 2 2 3 ) 位于( 口，) 内有唯一正周期解u ( r ，x ) ，且对任意u o ( o r ，) ，( 2 2 3 ) 初边值问题相应的解u ( t ，x ) 满足 u ( t ，x ) _ u + ( r ，工) ，r o o 证明 由( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 有 a o - ：_ - 一u _ ) = a o 一d + q ( 盯一出一6 l ( 玎+ 丝) ( 玎一缈 + c l 丝i ( 可。一f ( s ) ，工) 一! ( f f o ) ，x ) ) 吐“- - c , ( u 一些) i ! p f ( s ) ，x ) 或“ 从而由g r e e n 公式及玩u ，v ，旦的周期性有 第1 4 页 o = r 上( 咖) 掣姗 = 一f 上i v ( 玎一dj 2 d x d t + f q ( 玎一少2 一岛( 盯+ 盟) ( 盯一翌) 2 a x d t + r q 丝( _ 一些) r ( - ( f r ( s ) ，z ) 一z ( t r ( s ) ，功) 以h c 出 一f 【c , u o - 一u d 2f v _ ( t r ( s ) ，x ) 以h 西眺 a l m + 券( r 以“k + 券( f 以砒嘲卅哦( f 。 r l ( 咖) 2 拗 i 司样有 o = r l 】( 矿叫掣蚴 铂”+ 等( r 吐砒+ c l m a l m ( 。p d ， m - 2 咖z 啦( f 吐础 r ( 吨舳西 于是 o = “( 万一少掣+ ( _ 叫掣蝴 地”+ 皆( f 以心h + 券( f 圳m - 2 咖z 嘞q ( r 以砒) rl ( 吨) 2 拗 鹄一c | 2 m 6 l a 。l 业( f 圳”+ 哿( f 嗄鸬) m - - 2 飞姒r 捌。) r l ( 咖舳西 在定理条件2 _ t ，若要上式成立只能虿= 丛，矿= 旦，从而盯也z ) = 型( ，茁) 。 用同样的方法可以证明在定理条件之下位于( a ，力内的正周期解是唯一的，事实上只 需将上述证明中的周期拟解换成对应于区间 ，y ) 的一对最大最小周期解。于是由引理2 1 可得剩余结论，证毕。 附注本章中我们用文【5 7 ，5 9 】发展的方法研究了方程( 2 1 3 ) 周期解的存在性与吸引性， 前面已经提到，该方程包含了一些特殊的模型，因而处理方程( 2 1 3 ) 的方法可以用于特 殊模型，定理2 1 ，2 2 给出了方程周期解存在的一个便于应用的准则，因为只涉及到方程 系靳。 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章具有混合时滞的两种群合作系统的周期解 本章主要讨论合作系统 鲁= a u l + u l a l 却。+ ：= 。d j u 2 ( ) + z , t 。姒，x m 州舢】 a a u _ _ 3 _ 2 = a u 2 + u 2 【吒一6 2 “：+ ：e t u l ( f 一) + ：，( ( s ) ，抛鸬胁，x ) 】 昼= 垦“2 = o ，( r ，x ) r + a q “= 庐，v = y ，o ，z ) 卜f ，o q 周期解的唯一性，其中q ，包，4 ，p ，p ，f ：= m a x r , ，r j ，其它要求同第二章。 3 1 引言及引理 对竞争系统有大量的文献进行了研究，见第一章。对合作模型，目前尚无太多研究。 最近文【6 1 研究了如下形式的两种群周期合作模型边值问题周期正解的存在唯一性。 - - 害= a u + u 州印棚俐瑚 i o v = v + v ( r ，x ) 【d ( f ，z ) + 丘( r ，工) 】 “= v = 0 r + 抛 本章中我们考虑如下具有时滞的两种群周期l o t k a v o l t e r r a 合作模型周期边值问题周 期正解的存在唯一性以及该解与初边值问题解之间的关系。 鲁= a u 。+ u t q