（机械制造及其自动化专业论文）混联机床运动学标定及其开放式数控系统研究.pdf

独创性申明 秉承祖i 茑优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学 位论文是我个人住导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所簧， 除特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我 一i 司工作的同志对本文所论述的工作的任何贡献均已往论文中作了明确的 说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担切相关责任 论文作者签名：象# 犁埽 箩月引只 保护知识产权申明 本人完全了解西安理工大学有关保护知识产杖的规定，即：研究生在 校攻读学位期问所取得的所有研究成果的知弘 产权属西安理工大学所有。 本人保证：发表或使用与本论文相关的成果时署名单位仍然为西安理工大 学。无论何时何地，未经学校许可，决不转移或扩散与之相关的任何技术 或成果。学校有权保留本人所提交论文的原件或复印件，允许论文被查阅 或借阅；学校可以公布本论文的全部或部分内容，可以采_ h j 影印、缩印或 其他手段复f | ；保存本沦文。 ( 加密学位论文解密之前后。以 ：中明同样适用) 论文作者签名：童钰潍导师签名： - 一1 5 0 动平氙敲z = 1 2 m ) 摆角巩 4 5 。4 5 。 分 岛 o0 支以7 59 8 6 8 。3 09 8 6 8 0 i 以 00 分 b 8 i5 6 0 8 。2 4 1 5 5 2 0 支 巩一3 82 4 8 7 。 5 70 3 6 3 。 2 岛 8 85 3 3 2 。一4 75 2 8 9 。 分 b - 8 l5 6 0 8 。一2 41 5 5 2 。 支吼3 82 4 8 7 。5 7 0 3 6 3 。 3 以 8 8 5 3 3 2 04 75 2 8 9 0 从上述例子，能得出以下s 关节安装角的设计原则：1 为了满足动平 台0 x 9 0 。和0 y 9 0 。，选用不同的安装角，能求出不同的被动关节角0 。3 ， 0 。4 ，0 2 被动关节角度达到的范围受结构的影响和刚度的限制；3 合 理的安装角选择要考虑加工工艺性。 2 3 4 速度分析 给定动平台移动速度v 及角速度，铰链点b ，的速度为： v 自= p + 。b ，( 2 - 2 9 ) 上式。b ，为向量b ，在坐标系。一x 。y 。z 。坐标系中的表示，又根据支链的 运动约束可知，第i 分支中的移动副轴线方向l i 与l 轴方向之间的夹角为 9 0 4 ，点e 的速度在l 轴方向上的投影一定为零，故有： ( v + x 。6 j ) u i = 0 ( f = l 2 ，3 ) ( 2 3 0 ) 上式啦表示巧轴方向上的单位矢量，将式( 2 3 0 ) 写成矩阵形式有： ， 式中： d = k 。“： f = h b “ o ( 2 - 3 1 ) hr “ x 岛 0 “ f 魄 。 西安理工大学博4 - 学位论文 式( 2 - 3 1 ) 即为动平台的速度约束方程。如果给定满足式( 2 - 3 1 ) 的动平 台速度，则支链角速度即被动关节b 1 的速度可由下式确定： f：一业竺兰：堡!：兰坐甜-oa t 2 一f 一 式中厶表示4 ，e 的长度，表示被动关节或l 上的运动坐标系 爿，一x m y 。三所的x m 的轴向矢量。 将点b ，的速度向支链方向单位矢量，投影，可得到支链驱动器的速度 为： l ，= 一十0 3 x 。b ，) ( f - l ，2 ，3 )( 2 3 2 ) 将式( 2 3 2 ) 写成矩阵形式有 上= 【g 日 ( 2 - 3 3 ) 上式中： g = 【，lf 21 3 r r “3 h ：【“b ，1 。b ：，：。6 ，3 r r 3 ” 式( 2 3 1 ) 和( 2 3 3 ) 构成了3 - r p s 并联机构封闭形式的速度公式，根据此 公式可方便地处理机构速度分析问题。例如，对于逆运动学分析，当给 定动平台的线速度时，动平台的角速度可由式( 2 3 4 ) 求得 = 一f 一1 d vf 2 - 3 4 1 进一步地，根据式( 2 3 4 ) 及( 2 * 3 3 ) ，可得支链驱动器的速度为 = ( g h f 。o ) v( 2 - 3 5 ) 当知道驱动器速度时，可以由下式来分析动平台的速度。 v = ( g h f 。1 d ) 。( 2 3 6 ) 2 3 5 加速度分析 屹= v + c b x 。b ，+ 国( c o x 。6 ，) ( 2 _ 3 7 ) ( t + 西。b i - fe o x ( 0 2 x 。岛) ) ，= 0 ( f = 1 ，2 ，3 ) ( 2 - 3 8 ) 【d f + = 。 任，。， 磷(#(ta溢xibo!：；=)-耄u 式( 2 3 8 ) 即为动平台加速度约束公式。对于给定的满足式( 2 3 9 ) 的动平台加 业垄! ：堡翌! ! 竺兰：! ! 上坐兰生。 又根据支链的微分运动关系，点b ，的加速度还可写为 t 蜊= l , 1 ，+ 面小x i 。+ 甜，( ，l ，) r 2 4 0 ) ( 2 - 4 1 ) 上式l ，表示支链矢量，将式( 2 3 7 ) ；n ( 2 4 1 ) 的右侧分别点乘矢量， 且因( 西。l 。) - i ，= 0 ，可得支链驱动器的加速度为： z ，= ( 帝+ c b x 。包+ m ( 国。6 ：) ) 一( c o 小( 缈巾x l ，) ) o = 1 ，2 ，3 ) ( 2 - 4 2 ) 将式( 2 4 2 ) 写为矩阵形式 z = 【g 日+ 式中 ( 2 4 3 ) 西安理_ r - 大学博士学位论文 l ( c o x ( 国。b 1 ) 一l ( 国1 l 1 ) ) ，l 置z j ( c o ( f o x 。b 2 ) 一c 0 4 2 ( c o 2x l2 ) ) f 2 l ( c o ( o j 。6 3 ) 一。( 国。，l ，) ) 屯j 式( 2 - 3 8 ) 及( 2 4 2 ) 构成3 一r p s 并联机构封闭形式的加速度公式。据此可 方便地求解机构加速度分析问题。以机构逆运动学分析为例，给定动平 台的线加速度，可由式( 2 3 8 ) 求得动平台的角加速度为 c b = 一f 一1 d i f 一1 r 2 4 4 ) 最后，根据式( 2 4 2 ) 可求得支链驱动器加速度为： z = ( g 一日f 一1 d ) v 一肼一1 + k( 2 4 5 1 当知道驱动器加速度时，可以由下式来分析动平台的加速度。 t = ( g 一胛一d ) 叫( 点+ 胛一1 r 一叼( 2 4 6 ) 2 4 运动学分析算例 利用上述讨论的3 一r p s 并联机构的运动学，包括机构的位置正解和逆 解、速度分析、加速度分析，采用计算机仿真方法，考察机构从某一位 姿运行到另一位姿时，动平台的位置，速度，加速度随机构输入量的关 系。给定3 一r p s 并联机构结构参数及并联连杆杆陡的理论值如下： r 2 7 5 9 6 7 m m 、，2 2 8 6 8 7 m m 、巳，= 0 。、0 = 1 2 0 。、0 a , = 2 4 0 。、0 & = 0 。、 巴，= 1 2 0 。、护= 2 4 06 、1 0 0 4 m m l i 1 5 0 0 m m ( i = l ，2 ，3 ) 。当机构一分 支以匀速1 1 7 l m m s ，二、三分支以匀速9 3 6 5 m m s 从l l 一1 1 9 5 5 8 9 m m ， l 2 = 1 2 0 6 6 6 4 m m ，l 3 = 1 2 0 6 6 6 4 m m 运行至0 l l = 1 1 6 3 0 9 9 m m ，l 2 = 1 3 8 4 6 0 m m ， l 3 = 1 3 8 4 6 0 ，动平台的位姿、速度和加速度如图2 3 图2 8 所示。从图中 可看出，动平台从一位姿运行到另一位姿时，驱动器以匀速驱动杆长， 而动平台的速度和加速度却变化非常明显，所以在做3 一r p s 并联机构的控 制时，不仅要进行位姿规划，还要进行速度规划，有时甚至加速度规划。 23 - r p s 并联机构的运动学分析 i x 轴方向位置分量x m2y 轴方向位置分量y m3 z 轴方向位置分量z m 图2 3 动平台中心位置图 o j 暑 。 蜊 剖 缨 d = 产 帚 r 芒 三 妄 划 删 茸 舒 = 督 x 轴方向速度分量v ；2 y 轴方向速度分量v v3 z 轴方向速度分量v ： 图2 - 4 动平台中心位置线速度图 时间f 秒】 x 轴方向加速度分量口，2y 轴方向加速度分量乱3z 轴方向加速度分量如 图2 4 动平台中心位置线加速度图 西安理工大学博士学位论文 恺 若 拍 出 ! 蔷- 嚣 时间f 秽1 姿态角o2 姿态角b3 姿态角y 图2 - 6 动平台姿态图 时间( 秒) 动平台角速度u 、2 动1 卜台角速度u 。3 动平台角速度u ： 图2 7 动平台角速度图 时间r 秒) 动平台角加速度西。2 动平台角加速度面，3 动平台角加速度西： 图2 - 8 动平台角加速度图 23 一r p s 并联机构的运动学分析 2 5 本章小结 本章主要对混联机床的并联机构进行运动学分析：以3 一r p s 并联机构 为研究对象，首先建立3 r p s 并联机构的运动学模型，分析其运动性质： 对3 一r p s 并联机构的位置f 解的封闭解法进行详细论述，给出位置正解的 计算公式；为了达到机构合理设计的要求，通过对3 r p s 并联机构被动关节 角的分析求解，合理地选用s 关节的安装角，可以避免s 关节摆角范围过大 造成的结构限制和刚度的限制；同时对动平台的速度和加速度进行分析， 给出理论公式：在以上基础上编制相应的程序，对动平台的位姿、速度 和加速度进行运动学仿真，为以后的控制提供理论基础。 3 3 - r p s 并联机构的奇异位姿的研究 i i 3 3 - r p s 并联机构的奇异位姿的研究 3 1 引言 并联机构的奇异点，也称并联机构的特殊位形，一般是指机构的瞬 时运动无法确定或机构无法运动的点。在奇异点和奇异点附近，机构的 精度、网9 度以及运动学和动力学性能都变得很差，甚至机构会遭到破坏。 因此在实际应用中，应对并联机构的奇异点进行分析和计算，以避免或 远离机构的奇异点。对于串联机构而言，由于各个关节的独立性，它的 奇异点比较容易分析，串联机构前向运动学的雅可比矩阵降秩的点就是 它的奇异点，此时串联机构的末端执行器失去一个或几个自由度。对于 并联机构而言，它的关节并不一定都独立，而是满足一定的约束方程。 因此，它的奇异点分析和计算要复杂得多。由于并联机构奇异点对机构 性能有重要的影响，它受到越来越多研究者的重视。 在六自由度的机构中，通常动平台的线速度和角速度与六个驱动速 度之间的关系，用6 6 的雅可比矩阵来表示。然而如何用最好的方法来 表示少自由度机构的并联机构的雅可比矩阵，是个值得研究的问题。一 种常用的方法是直接导出输入和输出速度之间的关系，从而得到速度雅 可比矩阵，称之为导出法。尽管这种方法对于满秩自由度的平面或空间 并联机构是有效的。对于少自由度机构，却不一定正确。例如：用这种 方法针对3 一t p t 并联机构推导出的3 3 的雅可比矩阵就不能推算出所有 可能出现的奇异位姿 4 4 , 4 5 。d ig r e g o r i oa n dp a r e n t i c a s t e l l i 在文献【4 6 】中分 析了3 - t p t 并联机构的动平台的奇异位姿，提出在结构奇异时驱动装置不 能控制动平台的移动速度，在约束奇异时3 t p t 机构将产生转动自由度， 约束奇异指的是机构失去了对动平台不期望运动的约束。p a r ka n dk i m 在文献f 47 】提出用微分几何的方法来分析驱动奇异。 西安理工大学博士学位论文 本文提出了用螺旋理论的方法来构造包括结构奇异和约束奇异信息 的雅可比矩阵，同时也给出了用导出法创建的速度雅可比矩阵，应用这 两种不同的方法对实际的6 p m 2 机床的3 一r p s 并联机构奇异位形进行分 析。 图3 13 - r p s 并联机构简图 3 2 导出法 3 2 1 一阶影响系数和速度的求解 机构如图3 1 所示：当动平台上参考点m 的绝对速度为v 及绝对角速度 为。，三个驱动器的输入速度为厶，之，岛；方向矢量为f l ，2 ，3 。 平台上球铰中心点的速度n 可以表示为： v ，= p + 。l卢l ，2 ，3 ( 3 - 1 ) 式中n 为动平台上中心到球铰中一t l , 的矢量在定平台坐标系中的表示。 而各分支的输入杆伸长的线速度，是速度矢量v 。在f ，方向的投影 l = v ，f - 1 ，2 ，3 式中，= 忆| 将式( 3 一1 ) 代入式( 3 2 ) ，得 f 3 2 1 33 一r p s 并联机构的奇异位姿的研究 厶= v + ( 1 i 。t ) c o f _ 1 ，2 ，3 将上式表示的三个方程综合写成矩阵形式 三= 卟+ 【f 。b p 。】= h 1 1r 2 ，2 勺。1 3 t r 孤3 b ：，0 5 z r ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 3 2 2 约束方程 由于本机构是三自由度机构，v 及“的六个分量中只有3 个是独立的， 这3 个可以任意给定，而其它的3 个非独立的分量须符合一定的约束关系。 下面来建立此运动约束方程。取动平台上球铰处的速度矢量叶在轴线上 y ，的投影，它等于相对移动运动在“。上的分量，即 0 + 。1 ) “，= 厶f ，- “，= ，c o s o ：，i = 1 ，2 ，3 ( 3 5 ) 式中，口，角为第i 分支中的移动副轴线方向，。与转动副轴线y 。之间的夹 角。当口，= 9 0 。时， o + ( c ，x ，j ) “。= o ( 3 - 6 ) 将式( 3 3 ) 代入式( 3 5 ) 0 + 1 ) “，= 卜f ，+ gx l ，) - m 】c o s 吼 将它展开写为关于动平台速度和角速度的显式表达 ( ，c o s o ： ，一“av = h t t j ) 一_ ，c o s a ，】 f - 1 ，2 ，3 妇 矿 也k k “，b b k k k 。；，。l f | 仃b 西安理工大学博士学位论五 m 。】一k 抄= 。卜【，叩帖( 3 7 ) p 一= 【f lc o s & 11 2c o s l 2 2 ，3c o s a 3r 阻 = 1 1 “2 u 3 r k 。】= h “l 您“2 如“3 r p - hx l 】c o s & lr 2 ，2c o s a 2r 3x 1 3 c o sc z 3 r d = 【。 - k 】 吲= b 。】一【。 【d 】i = l a p( 3 8 ) 小罔妒俐伽怿- r 2 即罔吃= 嘲叶剥 当= 口2 = 哟= 9 0 。，且“l ，u 2 ，的处于定平台x 。y 。平面内时，在起 始位置上下平台平行时写出矩阵 d 】和 b 】。 3 3 - r p s 并联机构的奇异位姿的研究 ，、卜。s 旷“1 m u l x b l y o l 0 一，ol p 卜憾蒜r l u 2 一怯u 2 x 1 9 2 y 州搿。- 0 ；5 。0 j 陆i r lx u l - r lx ic 。s 口l 1 聪i qx u 摊! r 3 x 1 3 c o s i ：z 3 00；11 l 均jlj 一+ 0 z 2 0 一害一三吩+ ：= o 拿喙一h + z = o 这个齐次线性方程组未知变量喙，v r ，“z 有非零解的条件是其系数 行列式的值为零。但经计算，系数行列式值不为零。由此看来在起始位 形，约束条件决定了忙矿严u f o 。这表示不能任意给定喙，n ，u z ， 可以任意给定或赋值的只是眩，。，。r 3 个变量。在此3 自由度机构求解 时，对于平台运动的6 个参量是不可以随意选取其中3 个参数给定数值， 而必须按机构所处的不同形位，确定不同的约束运动，决定可以赋值的 变量。 对于一般的情况，在g - ，v r ，吃及u ，“r ，u 为个分量中由机构位 形决定的约束方程所允许的运动若为移动分量和转动分量的混合组成， 这时就要重新改写方程( 3 4 ) 和方程( 3 8 ) ，方程( 3 8 ) 是上述分量的齐次线 性方程组，我们可以重新结合写为矩阵方程，让允许的3 维运动记必 = 扫。g o ，心r ，另3 个记以扫= 7 ，这样方程( 3 4 ) 和方程 ( 3 - 8 ) 分别写成如下形式 k p = 只b( 3 9 ) = 瞳。p 十医：k f 3 1 0 、 l “t 。“，( “t ) ：| k - i “：。( 吱“：) ：i l “3 ，“3y( 。“3 ) = l i ( - 。“】) ，( - “1 ) y“i ：l 阪】= f ( ，2 u 2 ) ，( 屹“：) ，“：j l ( “3 ) ；( “3 ) ，“3 ：l 阮】 卜 ，( 1 ) 爿 l ，2 ，2 y( 砭，2 ) ：j kb ( r 3 ，3 ) ：j i ( _ ，。) 。( 1 ，) ，：i k ：】_ | ( 1 2 ) ，( r 2 1 2 ) ，：i i ( 巧1 3 ) ：( _ 。1 3 ) ，：j 将方程( 3 - 9 ) 代入方程( 3 1 0 ) 消去毋 = 峪。e l - 1 阪】+ k ：咖( 3 - 1 i ) 或= q 1 4 ( 3 - 1 2 ) 以上的g ：是3 x 3 的一阶影响系数矩阵，只与机构的结构参数和位形 有关，与运动参数无关，当影响系数矩阵的行列式值为零时，机构将处 于奇异位形。方程( 3 1 2 ) 表示了机构速度分析反解。对于机构速度分析正 解，即己知3 个输入线位移，求运动平台的速度和角速度，可按机构具 体位形运动性质计算，即： 痧= 院】上( 3 1 3 ) 3 3 螺旋理论法 3 3 1 线矢量和旋量 在分析空间机构的众多数学方法中，旋量是一个十分有效的工具， 3 9 3 3 一r p s 并联机构的奇异位姿的研究 首先，它集6 个标量于一体，或说集两个矢量于一体，一个旋量就可以同 时表示矢量的方向和位置；表示刚体的速度和角速度：表示刚体力学中 的力和力矩。这样一个含有6 个标量的旋量概念，就易于应用于空问机构 的运动分析和动力分析。它还易于与其它方法如矢量法，矩阵法，影响 系数法之间的相互转化。特别是旋量法是上述方法中唯一明确给出作用 线在空间位置的方法，这对应一些需要考虑作用线位置的情况就特别有 意义。 线矢量，如果空间一个矢量被约束在一条空间位置确定的直线上， 这个被直线约束的矢量称线矢量，用对偶矢量表示为( s ；s 。) ，其中j 称 对偶矢量的原部，s 。称对偶矢量的对偶部。s 为上述空间矢量，s 。= r s 称线矩，具有长度单位，r 是由原点至空间直线上任一点的矢径，当s s = l 为单位线矢，s 。表示了该线矢在空间的位置。可以看n s s 。= o ，这是线矢 量的特点。 旋量在一般的情况下，对偶矢量的原部与对偶部不是正交的，这些 不正交的对偶矢量称为旋量，记为( s - s 。) ，s s 。0 。当s s = i 为单位旋量， 比值 竺：h r 3 1 4 1 s s 是原点不变量，称为旋量的节矩，具有长度单位。当h = 0 ，为线矢量；当 = 一，为偶量，记为( 0 ；s ) 。旋量可以经由下面的变换 0 ；s 。) = 0 ；s 。一h s + s ) = 0 ；s 。+ h s )( 3 - 1 5 ) 得到一个作用线位置r s = s 。，即表示该旋量的轴线位置，或写为线矢量是 ( s ；s 。一h s l 。若旋量的两矢量表示为标量，称p l u c k e r 坐标，记为 ，m ，n ；p ，q ，尺) 。旋量的部分也可以以对偶标记结合起来，记为 s = 5 + s 。( 3 - 1 6 1 如前所述，两矢量的对偶结合( s ；s 。) ，s s 。0 ，称为旋量或螺旋s ， 用以表示物体的螺旋运动或物体受到的力螺旋。当s s 。= 0 ，旋量退化为 4 0 西安理工大学博士学位论天 线矢量，线矢量是旋量的特殊情况。线矢量在几何上表示直线矢在空间 的方向和位置，在物理上表示转动或作用力，s 。= r xs ，称直线的线矩。 对有n 个回转副的串联式机器人，第i 个运动副的轴线& ，则末端手部的运 动为 0 9 n 5 。= q 墨 ( 3 1 7 ) ，= l 上述n 个螺旋组成的螺旋系| d = 【s i5 2 s 胡的相关性，可以用6 h 的矩 阵的秩，表示，机器人的自由度w 则为 w = ，( d ) 当w 6 时，机器人手部则丧失一定数量的自由度。为研究这种受约 束的状态，引进反螺旋的慨念。螺旋s l 的反螺旋是这样定义，当5 z 与s ， 的互易积为零s ：。蜀= 0 符号“。”表示两螺旋作互易积，称s 2 是5 1 的反螺 旋，它们之间是互逆的，这里反螺旋用5 7 表示。对应螺旋系，若存在能同 时满足下列方程组 s 。s ，= 0i = 1 ，2 ，n( 3 - 1 8 ) 的sr ，则5 是此螺旋系的反螺旋。若螺旋以p l u c k e r 坐标表示 置= ( ，m i ，n j ；f ，q ，r ，) 5 = ( r ，m ，n ；p ，q ，r7 ) 工：p 7 + 肘f q 7 + f r 7 + 置r + q f + r f n 7 = o f = 1 , 2 ，- 玎 ( 3 - 1 9 ) 3 3 2 应用螺旋理论创建的雅可比矩阵的分析 拥有f ( o f 运动副间隙引起的系统动态误差问题 基于可变形假设的机构动态误差 原始误差为受力后产生的弹性变形。 这样的误差分类方法便于在标定中确定需标定的参数、在误差补偿中 确定可补偿的参数。 4 3 误差分析及建模 分析并联机床的误差时，可以采用机器人学中运动精度的分析方法对 平台终端精度进行分析，一般将平台的终端误差分成下面几种”： 位置误差：术端执行器参考点的实际位置与理想位置的偏差。 姿态误差：末端执行器上参考坐标系的实际达到的姿态与该参考坐标 系的理想值的偏差。 位姿误差：位置误差与姿态误差的总称。 位姿速度误差：末端执行器上参考点的实际位姿速度与理想位姿速度 的偏差。 位姿加速度误差：末端执行器上的参考点的实际位姿加速度与理想位 43 - r p s 并联机构的运动学标定 姿加速度的偏差。 4 3 1 位姿误差的分析与建模 自从9 0 年代s t e w a r t 平台引入机械加工业中以来。5 ，研究其精度的方 法一般为通过对输入输出运动学方程求导建立误差模型( 微分法) ，然后 分析该误差模型，以获得最终的精度分析结果。一般将误差划分为铰链 点误差和杆长的驱动误差两类”“，然后分别研究这两类误差对于终端位 姿的影响。 微分法一般建立在理想模型的运动学方程之上。但铰链本身具有制造 和安装误差，不能将其视为一个单独的点，虎克铰、球铰的回转轴线不 可能理想地交于一点，轴线间也不可能是理想的垂直情况，因此将此类 关节看作是一个理想的点来研究，这样的方法具有一定的局限性。该方 法还假设杆的轴线通过理想的关节点，但在实际安装和加工当中，杆的 轴线也不会理想地通过关节点。a j p a t e ke e h m a n n 。6 ”考虑了铰链点 的误差，并用矢量表示法建立了比较精确的误差模型，但未对模型进行 分析，更未求解误差的矢量方程，仅是在对理想运动学模型微分的基础 上，进行了误差分析。 4 3 26 p m 2 并联机床的并联机构3 一r p s 的位姿误差的分析与建 模 如果不考虑力和温变等因素的影响，动平台终端运动精度主要受到机 构结构误差的影响。3r p s 动平台中心的位置误差d p = ，a y 。，a z 。】和 姿态误差d 臼2 妇，够，j y 主要是由t 下平台结构误差( 6 r ，巧口，毋，船且) 和杆长误差配，所决定的。其中，上下平台结构误差( a r ，a o d ，毋，船r ) 将直接导致转动副和球面副产生坐标位置误差翩，和d 晟。假定上述参数误 差足够小，则对式( 4 1 ) 进行全微分得式( 4 2 ) 三，= p 卅+ r e a 。 i 2 1 ，2 ，3 ( 4 - 1 ) 西安理工大学博士学位论文 江? j + & j l j = 韶。+ 6 r b | + 6 b | r 一6 , t j ( 4 2 ) 旋转矩阵的摄动矩阵可以写成如下形式： 0 一影妒l 积= r 疵r = l 彩06 岱l r ( 4 - 3 ) l 一妒阮0 将上式代入( 4 2 ) ，可以得到： 6 l ，f ，十三，6 1 = a 巴+ 咫n r 日+ 8 b ，r 一5 a ，= 6 r + 6 q ( 艘，) + 船，r 一5 a ( 4 - 4 ) 上式包含了支链矢量方向随时间的变化，需要从中将支链长度的变化 分离出来。方程( 4 4 ) 两边同时乘支链单位矢量，得： 6 l ，= l , r 6 巴+ ，7 6 q ( 月b ，) + f ，7 6 b 。r i f 6 a ( 4 - 5 ) 对上式中的向量4 ，和占，进行微分并整理得： 爿，船。+ b ，渺。+ c 。6 ：。+ d ，6 + e ，6 p + f 6 丫= g ， f - 1 ，2 ，3 ( 4 _ 6 ) 式( 4 - 6 ) 中爿。和局不表示向量，而表示占埔占且的系数，对3 一r p s 并联机 构的约束方程进行全微分得： n y = q x ，= 0 s r ( n ，一o y ) ( 4 7 ) _ y 。= 一 ，f d 4 6 a + e d 6 p + 6 y = 0 a s 6 x 。+ d s 6 0 c + e 5 6 p + 巧6 y = g 5 ( 4 - 8 ) b 6 5 + d 6 6 + e 6 6 p + 圪6 7 = g 6j 联立式( 4 6 ) 和式( 4 8 ) ，可得3 一r p s 并联机构的误差模型如式( 4 9 ) ： 43 - r p s 并联机构的运动学标定 a 1b 1 a 2b 2 a 3b 3 00 4 0 0 b 6 c d 巨e c ，d ：b 五 c ，d 3 岛e 0 d 4e 4 只 0 d 5e s 巧 0 d 6e 6e 西! 。 旁。 昆。 妇 6 8 西 利用本文提出的误差模型， 采用计算机仿真方法，即可考察 误差源对动平台位姿误差的影 响。给定3 一r p s 并联机构结构参数 及并联连杆杆长读数的理论值如 下：r = 7 5 9 6 7 m m 、r = 2 8 6 8 7 r a m 、 0 = 0 。、气= 1 2 0 。、= 2 4 0 。、 = 0 。、气= 1 2 0 。、= 2 4 0 。、 1 0 0 4 5 m m z 。1 5 0 0 m m ( i = i ，2 ， 3 ) 。当机构口= 1 0 。，口= 1 0 。， 乙= 1 i o o m m 时，参数误差占斤和 万，对动平台位置误差的影响见 图4 2 ，随着参数误差j 卉绝对值 的增加动平台位置误差万岛的绝 对值也随之增大，两者之间近似 呈线性关系，随着参数误差占， 绝对值的增加动平台位置误差 占届的绝对值也随之增大，两者 之间近似呈线性关系。值得注意 言 曼 毒 剁 黪 陆 莹 啦 需 冒 量 毒 删 媸 肛 g 坚 鲁 g 1 g 2 g 3 0 g 5 g 6 ( 4 - 9 ) & ：jj j j 、 譬! 。- - ；。- - ：一- 五- t - 。- 一：j 0 嚣孑 。寸： 汰 。! 谶= j = = j = = j ：，： ：、 参数误差6r ( m ) 2 - l 一 。_ -_ ： _-穷 - 。_。_ _，掣，掣一-_ 上一 ， 一一一3 ： ： ： 参数误差6r ( m m ) 】孵由方向误差分量西2y 轴方向误差分量匆k 3z 轴方向误差分量d 如 图4 2 参数误差对动平台位置误差的影响 的是结构参数误差万胼口万，对动平台的位置误差的影响刚好相反。 西安理工大学博士学位论文 4 4 运动学标定 4 4 1 标定 产生机床误差的原因有许多种，不同的误差有其自身的作用规律，针 对不同的误差及其作用规律有相应的提高机床精度的方法。如进行运动 学标定、实时误差补偿等。运动学标定主要针对机床( 机器人) 的结构参 数等静态误差，通过准确测量机构终端实际位姿和关节变量的值，得到 这些关于机构位姿冗余信息之间的矛盾，用最优化方法求出使这个矛盾 最小的机构结构参数，从而提高机构结构参数的精度。 准确地讲，标定是指在不改变机器人机械结构和控制系统的前提下， 通过定位软件补偿误差以提高其精度的过程。它涉及到识别出关节传感 器读数和末端执行器实际位置之间一个更精确函数关系的过程”“。 对虚拟轴机床来讲，标定非常重要。由于并联机构的运动学正解要比 逆解困难得多，所以虚拟轴机床的控制方法是根据要到达的位姿通过运 动学逆解计算支链的长度，再控制支链长度以完成动平台的运动。这样 机床的运动精度就在很大程度上依赖机床结构参数的准确性。前面的精 度分析指出，结构参数的误差会反映到终端的运动上去；同时，由于机 床结构特点所致，其结构参数尤其是定平台的结构参数很难保证十分准 确，所以标定问题就变得十分重要且迫切，是提高虚拟轴机床精度必不 可少的一个步骤。一般来讲，标定应分为运动学建模、测量、识别和误 差补偿四个步骤进行。 运动学建模( k i n e m a t i cm o d e l i n g ) 在这一步要选择和确定合适的函 数形式，建立满足标定要求的运动学模型。首先，该模型必须包含一组 足够数量的的参数能够完全满足机器人运动描述的需要，而且，一个正 确的模型应当包含最少数量的独立的误差参数满足误差补偿的需要：其 次，机器人几何结构上的微小变化应当能够反映到模型参数的变化上。 测量( m e a s u r e m e n t ) 即从实际的机床( 机器人) 中测量涉及模型输入输 43 - r p s 并联机构的运动学标定 出的物理量。对于一个成功的标定而言，选择有效的、合适的测量装置 是非常重要的。理想情况下，它能够在一个较大的作业空间内测定机器 人的位姿，同时测量装置的精度要比机器人的定位精度高十倍以上，并 且是以非接触式测量为好。 识别( i d e n t i f i c a t i o n ) 机床( 机器人) 运动学模型参数的确定通常被 视为一种非线性二乘优化问题。可以用两种方法求解，第一种方法是一 种最小二乘法，用一种线性误差模型，采用迭代求解：第二种方法是非 线性最小二乘方法，问题被视为求解一个非线性回归模型。 误差补偿( e r r o rc o t a p e n s a t i o r ) 即在机器人定位软件中实现识别出 的模型。一般情况下，标定结果不能直接用于控制软件的修正，因为为 了减少计算负担，在机器人的控制中用的是只有很少几个参数的理想模 型。有两个基本方法来解决这个问题，其一是使用简化了的标定模型， 在这个模型中只有那些在控制系统中能够得到修正的参数才被确定；另 一种方法是使用复杂的标定模型，补偿时离线计算位姿，然后在名义位 姿上将结果传递到控制软件。 通过提高零部件精度来提高并联机床的总体精度，要受到目前加工水 平和制造成本的限制，因此对机床参数进行运动学标定，以提高机床整 体精度，也受到了广泛的关注和重视。 采用上述误差模型进行运动学标定，实际应用中或者要求专用的精密 仪器，或者要求达到很高的检测精度，实现起来比较困难。根据测量输 出不同，本文利用内部传感器所获信息的自标定方法，需要在被动关节 上安装传感器( 如在r 关节和s 关节上安装编码器) 进行测量。 4 4 2 利用内部传感器所获信息的自标定方法 自标定方法一般是在被动关节上安装传感器。这种方法的思路是用名 义结构尺寸算出的被动关节角值同测量出的被动关节角值的差来求解结 构误差。可以通过下面一个简单的例子来说明这种方法的思路。如图4 3 西安理工大学博士学位论文 所示，一个四连杆平面机构，爿，b ， c 是被动转动关节，堤主动平移关 节，娓移动量，b ，c 为连杆长度， d 是未知的常量( 即结构误差) 。通a 过安装在关节爿上的传感器能测出a 角的变化( 即口角) ，a a 是常量，为 初始值。由三角关系能得到下面两个方程 c b c o s ( 口+ 口) 一( d + a d ) c o s f l = 0 图4 3 匹连杆平面机构 ( 4 - 1 0 ) b s i n ( c ￥+ 口) 一( d + d ) s i n = 0 ( 4 - 1 1 ) 式中6 ，c ，a d ，a a 和b 都是未知量。当平移关节d 改变它的长度时， 口，0 ，和d 的值也随之变化。通过测量四组不同位置下的口值，应用上 述方程可以形成含有6 ，c ，5 d ，口和b ，i = 1 ，4 的8 个未知量的8 个方 程。为了求解方便，由三角余弦定理，可以得到方程： c o s f + 口) = ( d f + d ) 2 一b 2 一c 2 2 b c ( 4 - 1 2 ) 由上述方程消去b ，对于n 次测量i = l ，。，n ，定义函数f 表示测量值口 ，( m ，口，b ，c ，d ，) = 口； ( 4 - 1 3 ) 给定一组主动关节角值缸) ，能得到一组相应的被动关节角值杠，；， 这样通过数值解法能求解出b ，c ，a d ，d 。 由第二章3 一r p s 运动学j 下解，我们能推导出被动关节的表达式 qp=强aqj(4-14) 式中吼( nx1 ) 表示主动关节向量，诉( r x1 ) 表示被动关节向量， p ( px1 ) 表示名义结构参数向量，弄表示求解被动关节的函数表达式。 因此，给定名义结构参数向量p 和主动关节向量( 驱动量) g n ，能得到 被动关节向量吼。 通过安装在被动关节上传感器( 如在r 关节和s 关节上安装编码器) ，被 一 43 - r p s 并联机构的运动学标定 动关节实际值弗能获得。理想情况下吼和吼应该相等。而实际情况下， 由于误差的影响这是不可能相等的。这样可以定义测量残差p 为实测的关 节角值和计算的关节角值。 e 2 qp q 。 ( 4 1 5 ) 由于被动关节初始偏置角是未知的，所以不能直接使用上述公式，在 本文引入相对测量残差的概念。在饱置和椎置用下述公式来表示 8 ，2 9 一( 口月+ a q p ) r 4 1 6 ) 气2 9 计一( 香皿+ g ，) f 4 1 7 、 这样相对测量残差用式来表示： 。业2 8j 一。2 ( g w q 础) 一( 口一i 小) r 4 i s ) 接f 来， l t d p 表示结构尺寸误差，p c 表示名义结构尺寸。公式 ( 4 一】4 ) 可以写成以结构尺寸为自变量的函数表达： 2 ( p 。) f 4 1 9 、 缸。( 户。+ 咖) f 4 - 2 0 1 假如6 ，9 足够小，对式( 4 2 0 ) 进行泰勒级数展开，可以忽略二次项和 j p z jp t 矿1 + j ，d p 式中j ，v g 。表示雅可比矩阵。 e = ；p qd 兰j r d p 把式( 4 2 2 ) 代入式( 4 1 8 ) 得 e2 ej e k2 t j q j p k ) d p = j k d p 通过上述方法，就能建立结构参数误差模型。 对于待标定3 一r p s 的机构，如图2 1 的3 一r p s 机构示意图 ( 4 2 3 ) 如果不考虑 屯 到得 0式 去减 屯式 西安理工大学博士学位论文 力和温变的影响，其动平台的终端位姿精度主要受到结构误差的影响。 考虑到误差补差时，仍用到第二章所推导出的运动学模型，其结构误差 主要有以下因素构成： 定平台上3 个铰点 a ，= o 。a ，爿。y = 0 c o s g a ，r s i n s 。爿，：r 的结构参数误差( d p 。，d r ， d a 。) ，动平台上3 个铰点e = 砖e ，b 。，= ec o s o s , rs i n y 的结构参 数误差( d ，d r ，d b ) ，对应的3 根杆回零后的长度误差分别为彳伽 a l 2 。，a l 3 。这样待识别的误差d p 包含1 7 个。引入以上设定的结构误差， 采用第二章的3 一r p s 并联机构的运动学正解，同样可以得到如下的运动学 正解的约束方程组： 。：m 鱼 ， a l x l2 + 6 1 x l + c = 0 a 2 。2 一+ b 2 。2 + 0 2 = 0 吼屯+ 6 3 屯+ c 3 = 0 ( 4 2 4 ) f 4 - 2 5 、 ( 4 2 6 ) 式中口，6 1 ，q 是方程( 4 2 4 ) 的系数，本身含有_ ；，反，岛是方 程( 4 2 5 ) 的系数，本身含有；a 3 ，b ，屯是方程( 4 - 2 6 ) 的系数，本身 也含有x ，岛表示转动副的被动关节角值。对方程( 4 - 2 4 ) ，( 4 - 2 5 ) ，( 4 - 2 6 ) 取全微分并进行整理，能得到： 慨喂嚷j r = 矿7 - ” ( 4 _ 2 7 ) 对于上述机构，p 为】7 个待求的结构误差，采用安装在定平台上转 动副的角度编码器测出相对的转角，每次测量可得一组方程( 4 2 3 ) ，此 参数误差模型含有3 个方程式，需测6 组r 关节的相对转角得1 8 个方程方能 解出所有1 7 个未知数d o 侧，由所求的侧修正设计的结构参数理论值， 通过再次实验得到新的陬峨绲f ，代入结构误差模型式( 4 2 3 ) ，求 得新的“1 ，如此反复迭代直到。，；足够小，这时得到的修正结构参数就 6 0 43 - r p s 井联机构的运动学标定 是按照上述理论得到的标定结构参数。 上述迭代过程结构参数的初始值选择设计结构参数，设计结构参数的 值同真实结构参数值相差越小，迭代过程次数越少。6 p m 2 中的3 - r p s 并联 机构装配完之后中的三根杆长的初始值( 回原点后的杆长) 不再是设计 值，所以需要通过实验方法来确定三根杆长的初始值。同时测量工作空 间中，组成方程数的测量位姿不一定是最优，且有可能线性相关，雅可 比矩阵存在严重病态，实际上解不出上述全部未知数；即使可以解出， 解出的值同假定的初值相差甚远。通过分析发现原因是雅可比矩阵的放 大作用，因此采用矩阵重构的方法，重新构成一个条件数较好的雅可比 矩阵，由此解决雅可比矩阵的放大作用。 4 4 2 13 - r p s 并联机构杆长初始值的确定 杆长的初始值是由并联机构回零运动所确定的。在此系统中采用电机 编码器的c 通道同精度为0 0 2 m m 霍尔传感器组合获得回零标志。采用双重 触发的优点在于：一个编码器的索引通道除了精确和可重复之外，在大多 数的应用中并不是独立的，因为电机可能转动不止一转。回零传感器是独 立的，但是却并不是精确的，也不是可重复的。通过使用两者的组合，就 能够从开关处得到独立性，而从索引通道中得到精确性和可重复性。 速度 置参数 图44 阿零运动过程示意图 p m a c 的回零运动利用了内置在d s p g a t ei c 上的硬件位置捕获功能。因为 对于实际的捕获来说，不要求软件的动作，因此它将是令人难以置信的迅 6 1 西安理工大学博士学位论文 捷和准确( 延迟小于1 0 0 钠秒) 。这意味着不论电机的速度如何，捕获总是十 分准确的，因此让回零运动减慢从而获得一个准确的捕获的操作是没有必 要的。如图4 4 ，在回零运动中，一旦p m a c 确认硬件触发已经发生，它将采 取一系列相应的动作。读入在捕获时刻的位置，通常是硬件捕获寄存器， 并且用它和回零偏置参数( 一般取为零) 来计算新的零位置，然后计算新的 零位置的轨迹，接下来减速和反向，停在新的零位置。 如图4 5 ，l o - 1 0 0 4 5 m m 为磁座位置中心对上磁缸中心时的杆长设计尺寸 ( 三杆一样长) ，彳，为开关信号( 磁信号) 发生的区域，d 。为回零触发信号 到磁缸位置中心的距离。机构回零之后，式( 4 2 8 ) 表示修正后的初始杆长 k 。 l o = l d + a l h ( 4 2 8 ) 圈4 5 回零运动位置示意图 位置 上罐| 勺获得采用如下方法：通过p m a c 卡上的位置捕捉寄存器，可以分别 得到磁信号发生的有效距离加回零触发信号发生的位置，由式( 4 2 9 ) 能得到d 。 a l = 越r 2 一皿 ( 4 - 2 9 ) 按照上述方法，通过实验得到三杆初始杆长的修正值分别是 l o = 1 0 0 76 6 m m ，三2 。= 1 0 0 7 8 3 r a m ，l 3 。= 1 0 0 7 6 8 m m 。 4 4 2 2 矩阵重构方法 为了解决雅可比矩阵存在的严重病态的问题，采用矩阵重构的方法 鹭 “2 ，即在测量过程中以测6 个位姿的情况为一组，测n 组，然后从这几组 的值有8 一= ，肿咖，其中j z