（基础数学专业论文）四阶非奇异截断复矩问题.pdf

东北大学磺士学位论文摘要 四阶非奇异截断复矩问题 摘要 矩问题是一个从1 9 世纪开始研究的古典问题，但是基于研究的重要性， 现在被越来越多的人所重新认识。本文讨论c u r t o f i a l o w 所给出的四阶截断 复矩问题：给定复数列 y 置y ( 4 ) ：y o o , y o l ，y l o ，0 2 ，l q t , y 2 0 ，y 0 3 ，7 1 2 ，y 2 1 ，1 3 0 , y 蚪，y ”，y 2 2 ，y 3 1 ，y 柏 其中，0 ，y 一矗，找到一个正的b o r e l 测度p 使得以下式子成立， 如。p 1 z j d l z ( o s f + j s 4 ) ， 具体地得到了四阶非奇异截断复矩矩阵m ( 2 ) 的平坦延拓存在性的条件，也就 是说r a n k m ( 2 ) 一6 时的表示测度问题，在特殊情况下的解，并举例进行了验 证。 关键词四阶非奇异截断复矩问题，表示测度，平坦延拓，矩量矩阵，b o r e l 测度 i i 查兰苎量壁圭兰竺堡苎 ! ! ! ! ：! ! ! t h en o n s i n g u l a rq u a r t i cm o m e n tp r o b l e m a bs t r a c t m o m e n tp r o b l e mi s ac l a s s i c a lp r o b l e mw h i c hh a sb e e ns t u d i e ds i n c et h e 1 9 “c e n t u r y ，w i t ht h ei m p o r t a n c eo fb a s i cr e s e a r c h ，m o r ea n d m o r ea t t e n t i o nh a s b e e np a i dt om o m e n tp r o b l e m i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h eq u a r t i cm o m e n t p r o b l e ms u g g e s t e db yc u r t oa n df i a l k o w 1 7 g i v e nc o m p l e xn u m b e r s y 量y ( 4 ) ：y ，y 0 1 ，y l o ，y 0 2 ，y n ，y ，y ，y l z ，y 2 l ，y 3 0 ，y 0 4 ，h 3 ，7 2 2 ，y 3 1 ，y 柏 w i t hy o ，y f 一瓦，f i n dap o s i t i v eb o r e lm e a s u r ep s u c ht h a t m ，1 z 嘧肛( o s i + ，s 4 ) ， w ee x a m i n et h ee x i s t e n c eo ff l a te x t e n s i o n sf o rn o n s i n g u l a rp o s i t i v eq u a r t i c m o m e n tm a t r i c e s m ( 2 ) ，g i v ep a r t i ls o l u t i o n sf o rt h en o n s i n g u l a rq u a t i cm o m e n t p r o b l e mw i t hr a n km ( 2 ) 一6 a n de x a m p l e sa r ep r o v i d e d k e yw o r d s t h en o n s i n g u l a rq u a r t i cm o m e n tp r o b l e m ，r e p r e s e n t i n gm e a s u r e ， f l a te x t e n s i o n ，m o m e n tm a t r i x ，b o r e lm e a s u r e - i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：小v 7 日期：2 胛易； 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字目期： 东北大擎硝士学住话文第一章夺绍和预备知识 第一章介绍和预备知识 1 1关于矩问题 在概率论中，已知分布函数为f o ) ，对于连续随机变量亭的k 阶原点短 1 k ；j 二二x 2 扭( 曲，k o , 1 , 2 ，。假设已知它的若干阶原点矩，能否求出其分布函 数呢? 在物理学中，若有一根长为l 的细棒，其线密度为w ( x ) ，绕一端点旋转 则石”d 妒，胛一o ；1 , 2 ，分别表示该细棒的质量、静力矩、转动惯量等系 列量。我们考虑其逆问题，即若已知细棒的质量、静力矩、转动惯量簿一系 列量，能否确定其密度函数? 实际上这就是矩问题：给一+ 个矩量序列 以) ；， 在区间f o ，m ) 找到一个正的有界非减函数妒 ) 使之满足： f oz ”d 妒( x ) 4 一。，l t 0 , 1 , 2 ，。 这个问题s t i e l t j e s n 2 1 于1 8 9 4 1 8 9 5 年提出并得到了解决。 矩问题是个从1 9 世纪开始研究的古典问题，但是基于研究的重要性， 现在被越来越多的人所重新认识。目前，矩闯题的研究把算子理论、概率论、 矩阵论结合起来，同时又与其他的研究方向相联系。在本文中，n 和c 分别 表示自然数集和复数集。 1 2 古典截断矩问题 根据预先给定的序列是否有限，矩问题可分为两大类：完全矩问题和截 断矩问题，其中截断矩问题是研究完全矩问题的基础。( 维) 截断矩问题 就是：对预先给定的有限复数序列y 。，y 1 一，y 。，其中y 。) 0 ， 我们要找到一 东北大擘颠士学位论文 第一章介绍和预静知识 个正的b o r e l 测度p ( f ) 使得在一集合k g c a ： n 。正一a u ( o ，i mo , 1 ，m 特别地，当k 一【o + 。) ，k - t e e ：斟一碍，k r ，k - a ，时分别称为s t i e l t j e s ， t o e p l i t z ，h a m b u r g e r ，h a u s d o r f f 截断矩问题f “，这些古典矩问题都已得到完 全的解决。 1 3c u r t o f ialk o w 截断复矩问题 1 3 1 问题的提出 给一个双下标有限复数序列 y ：y 0 0 , y o l ，y l o ，y 0 2 , y 1 1 ，y ，y o 2 。，y k 2 4 ，r h 4 j ，y 2 h o ， ( 1 a ) 其中y 0 ，7 j 。7 # ，找到支集在复平面c 上的b o r e l 测度，使得 r 。- f z z ：d # ( o s f + ，s 2 疗) ， ( 1 2 ) 这时p 叫做y 的表示测度。这个截断复矩f = l 题首先r c u r t o 和l 。f i a l k o w 提出， 并已经很好地建立起了一套理论。参见【5 】， 6 1 ，【7 】【8 】， 9 1 ，【1 0 】，【l l 】，【1 2 】， 【1 3 1 ，( 1 4 】，【1 5 ， 1 6 1 ) 1 3 2 矩最矩阵肘0 ) 的构造 对于n ，令册- m ( n ) 一o + 嘶+ 2 ) 2 。对于a e m 。( c ) ( r a m 复矩阵) ， 我们根据以下字典式函数序表示连续的行和列： j ，z ，云zz ，瑟，z - - 2 ，一，z 一，j - z 一一，三“。1 z ，z 4 ； 定义矩量矩阵m ( n ) 扣m ( ，i ) ( y ) f 。( c ) 如下：对于0 sk + 1 墨，i ，0g i + js n ，位于 第乏tz i 行、第j i z i 烈的元素是 东北大学硕士学位论支 第一章介绍和预备知识 m o ) m ，) 一n “。，+ 。 ( 1 3 ) 这类矩阵来自于b r a m h a l m o s 的关于满足t f l 丁，) 的循环算予丁的描 述，其中是t 的循环向量。 例如，如果以一1 ，即对= 阶矩最问题y ：y o o , t 0 1 y 1 0 ，y ，y n ，y 2 0 ，我们有 f 1 m 0 ) 一l y 1 。y 2 0l ly 。ly 。2 j 当n * 2 ，即对四阶矩量问题 我们有 y ：y o o ，y o l ，y l o ，y 昵，7 1 1 , r ，y 0 3 ，y t 2 ，y 2 1 ，y 3 0 , y e 4 , y t 3 , y 船 7 3 l ，y ， 吖( 2 ) 一 y o oy o l y l oy n y0 1 y y 2 0y 2 l y 1 1y 1 2 y y 0 3 1 3 3 基本性质及c u r t o - f ia ik o w 的主要结论 令只为z ，；的次数和小于或等于 的复多项式空间。 设p 只 则p o ，；) - 2 0 。+ 。n a q z 5 z ，令i ( z ，两- 。+ 细i f z l ；。，同时定义 刍；o 。，。，口，0 一，4 。一，口。) c 砷) 。 若芦为侄一y 的表示测度，则有 ，卵肛。( m ) ，g ) ， ( 厂，g 只) ； ( 1 4 ) 特别地，( m ( n ) ，) t 一，1 2 咖z0 ，于是m ( n ) zo ，所以可得到测度表示存在的 基本必要条件：如果y 有表示测度，则m 如) z0 。 定义1 1 a 是正定矩阵，五具有如下分块形式 h 院阮扎 东北太学项士擘位论文 第一章介绍和预备知识 j 。( ；三) ，c l c ( 表示共辗转鼍) ，r a n k a = r a n k j ，则称j 为 的平坦 延拓。 定理1 2 a 为n 阶正定矩阵，b a w ，矽m 。( c ) ，c m ，( c ) ，定 义j 4 ( ；尝) ，则r a n k a = r a n k j 当且仅当c i 陌_ 矽( c 不依赖于的选取) ， 此时，记a t 口；b ) 。 定理l 。扩1 令m ( n ) 0 ，如果，g ，艮只。，且f ( z ，z ) 一0 ，则( 磨) ( z ，z ) 一0 。 这个定理叫结构定理，用符合( r g ) 表示。 命题1 4 “1 当m ( n ) o ，以下命题等价： ( i ) 存在一个延拓膨o + 1 ) 0 ， ( i i ) 存在一个平坦延拓肼o + 1 ) ， ( i i ) 存在平坦延拓膳0 + k ) ，对任何k 1 ， ( i v ) m o ) 满足条件( r g ) 。 定理1 5 q 如果m 0 ) 0 ，且膨如) 是平坦的，即r a n k m ( n ) - f a n k m ( n 1 ) ， 则y 有唯一的表示测度，并且是r a n k m ( n ) 一原子的。 定理1 6 门亨r a n k m ( n ) 一原子表示测度当且仅当m o ) 苫0 ，并且m ( n ) 存在平坦延拓，即m ( n ) 存在延拓m ( n + 1 ) 满足r a n k m ( n + 1 ) - r a n k m ( n ) 。 命题1 7p s i 如果是y 的表示测度，p 只，则 p ( z ，z ) 一0 s u p p f z o ) 扣乜c ：p ( z ，z ) m 0 ，。 推论1 8 1 6 如果p 是y 的表示测度，则 c a r d s u p p 弘皂r a n k m o ) 。 下面的定理给出了求表示测度的方法。 定理1 9 6 1 令m 是一个秩有限的正定无穷矩量矩阵，令r ：= r a n k m ，则存 东北大学硕士学位论文 第一章介绍和预备知识 在唯一的一组常数，口，- l 使得z 7 一a ，+ c t ，_ 1 z 1 ，且有唯一的r 一原予表示 测度_ p 0 8 ：。+ + p ，- 1 6 。，其中z oo - ，z ，q 是多项式z 一 。+ + 口，- 1 z “) 的r 个不同的根，密度p o ，n _ 1 由v a n d c r m o n d c 方程； 矿0 n ，：，- 1 ) ( p o ，一一，p ，_ 1 ) r 崔o ，y 一1 ) 7 确定。( 此处( ，4 ) 7 表示( ，+ ) 的转鼍) 引理1 1 0 旧 令m 0 ) 是矩量矩阵，p 最，如果p ( z ，z ) - o ，则p ( z ，z ) 。0 。 命题1 1 1 叼如果r a n b ( n + 1 ) _ r a n m ( n ) ，则m ( n + 1 ) | ( m 0 ) ；b + 1 ) ) 中对 于任何非负整数p , q ，s ，其中p + q r + s ；n + 】，m ( m x ，j ) 一m o ，x p , q ) 成立。 引理1 1 2 q 假设a ，b ，c 和a 满足，b ；a w ，c = 矽a w ，令k ，k 表示 彳的列，+ 17 o , j + ，表示b 的列，v m ，v 一，v m + p 表示a 的列r 假设 j 毒0 ，则 ( i ) 如果存在常数4 t ，a 。满足= d a r k - o ，则：l a i k = 0 。 ( i i ) 如果a 是a 的平坦延拓，且：口；k 一0 ，则：p a ；k o 。 1 3 4 正定矩阵的判定 我们知道正定矩阵的行列式判别法为： 设爿m 。( c ) ，且4 为a 的k 阶顺序主子式，1 s t en 。 ( i ) 若a 0 ，贝u a 苫o 且d e t a k 0 ， ( i i ) 若d c t a 0 ，则a 0 因此对 m 。( c ) ，a ，0 ( 即正定可逆) 当且仅当d e t a i 0 。 1 3 5 二阶截断复矩问题和四阶奇异截断复矩问题 东北托学硕士学位论文第一章夼铝和预备知识 二阶矩量问题已得到完全的解决【“，即：y 有表示铡度当且仅当 肘( 1 ) 惫0 。 四阶奇异截断复矩阃题也就是r a n k m ( 2 ) c 6 时的表示测度问题，有如下 结论： 栅- 1 3 嘲假酬划玑且m ( 3 ) 。( 馏料其嗍缈咧3 ) ， c ( 3 ) t m ( 2 ) w ：- 鸱) “，则以下各情况r 有r a n k m ( 2 ) 原子表示测度：( c o l 。( ：) 表示矩阵m ( 2 ) 的列空间) ( i ) p ，z ，三，z2 在c o l 。( 2 ) 中线性相关。 ( i i ) u ，z ，z ，z2 是c o l 。 2 ) 的一个基，勃e ，除了y c 4 以外的矩量 都是实数 ( i i i ) ，z ，z ，z 2 是c o l _ i i f ( 2 ) 的一个基，- z z e ，满足q l c 2 2 。 ( i v ) 弘z ，乏z2 ，z 2 是c o l 。( 2 ) 的一个基，_ z ci , z ，三，存在y 。满足 c l l _ c 2 2 。 文【7 】作者推广了上述结论。 定理1 1 4 1 7 假设肘( 2 x y ) 0 。 ( 1 ) 令r a n k m ( 2 ) 一4 ( i ) 如果u ，z ，云z2 ) 是c o l ，( 2 ) 的一个基，则可能肘( 2 ) 没有表示 测度。即m ( n ) 的非负性，不能保证y 一定有表示测度。 ( i i ) 如果 f ，z ，z ，z2 是c o l * f 2 ) 的一个基，z z t 1 , z ，z ，班l i m ( 2 1 有唯一的表示铡度。 东北大学硕士擘往论文第一章介绍和预每知识 ( 2 ) 令r a n k m ( 2 ) 一5 ，如果p ，z ，e , z2 ，z 2 ) 是c o l 。c z ) 的一个基， _ z ，则m ( 2 ) 有表示测度。 定理1 1 5 m 如果m ( 2 ) - 0 ， ，z ，z ，z 2 在c o l 。( 2 ) 中线性无关，且有式子 乏2 。御+ 彪+ c - z + d z 2 , d _ o ，则如下命题等价： ( i ) y 4 存在一个4 一原子表示测度。 ( i i ) m ( 2 ) 有平坦延拓m ( 3 ) 。 ( i i i ) 存在r c 使得y 2 3 一a y 2 1 + b y 2 2 + c y 3 1 + d y 2 3 。 在论文【7 】中有如下例子： m ( 2 ) 一 10 01 oo o0 1o 01 o o o0 11 12 o1 01 10 o1 oo 1l 21 12 r a n k m ( 2 ) 一4 ，而y 没有任何表示测度。 引理1 1 6 t 7 1 令a e c ，c e r ，b 0 。如果i a b + c o ，则复数方程 阡一扫k a i c 有解。 1 3 6 矩问题与算子理论之间的关系 矩问题与算子理论之间的关系可通过如下定理说明， 定理1 1 4t e l ( 口) 是正常算子当且仅当 ，r rz + 丁 t t 岍丁 定理1 1 7 假设a ：p k ，习一c 满足 0 ， v n 1 。 查苎叁兰堡主兰竺堡墨 墨= 主坌塑童至鱼堑堡 ( i ) a 如( z 月2 ) z 0 ， ( i i ) a 他扛) | 2 一孕0 2 ) 0 ， 则在三僻) 中存在一个h i l b e r t 空间h 和一个压缩算子r ，有一个循环向量满 足a 伪) - ( h ( r ，丁协。，) ，v h p z ，_ 】。 定理1 1 8 令a ：f f i r # 塌。复数矩阵，在d ( d c c ) 上有正的b o r e l 测度肛使 得y 口一正三2 d p ( z ) 当旦仅当存在一个a ：p 【z ，：】一c 的线性函数( 定义为 a g 。z - ) ) 满足 ( i ) a d p ( z ) 1 2 一k p q ) 1 2 ) z o ： ( i i ) a 如。( z ) + _ p 。( z ) + z - - 2 p ：。) + + 孑- - n p 扛o ) 1 2 ) z o 坳，。) p p 】讹j v 。 东北大举硕士擘往论文第二章四阶非奇舟截断复矩问题的解 第二章四阶非奇异截断复矩问题的解 四阶非奇异截断复矩闯题就是在m ( 2 ) 中，i , z ，三，z 2 , 瑟，三2 线性无关，即 r a n k m ( 2 ) - 6 时的表示测度问题。有如下结论： 命题2 1当m ( 2 ) 0 时，m ( 2 ) 有平坦延拓m ( 3 ) _ ( 2 ) ，_ 8 ( 3 ) ) ，当且仅 当c l l 薯c 2 2 ，c 2 1 崔c 3 2 。 证明：必要性：显然。 充分性：令m ( 3 ) t ( 葛三曷) t 因为m ( 2 ) ，叭所以m ( z ) 可逆， 即存在使n ( 3 ) 一m ( 2 ) w ，据定理1 2 ，r a n k m ( 2 ) = r a n k m ( 3 ) ，当且仅当 c ( 3 ) 一w m ( 2 ) wm c uc 1 2 c 2 lc 2 2 c 3 1 c 3 2 c 4 】c 4 2 因c ( 3 ) t c ( 3 ) ，c i z c ，1 s f ，s 4 ，又由命题1 9 ，有p + q r + s ，3 时， m ( ，计- m 和，。力成立，即一c 4 2 ，c 2 l - c 4 3 ，c l l c 4 4 ，c 2 2 一c 3 3 ，所以只需c l l c 2 2 ， c 2 】一c 3 2 即可。证毕。 我们引入记号。对挥尢矩阵a ，令汹k 表示矩阵a 的左上角k 阶予矩阵， 1 s 七s 栉。若1 c c s 行，我们令弘】h ，。 表示由行和列位于枷i ，n t ) 的 元素而构成的k 阶子矩阵。 2 1 类型i 考虑 东北大学硕士拳位论文第二章四阶非奇异截断夏矩问题的解 m ( 2 ) = 1o ol 0 0 00 10 o o 0 0 o o 1o 0a o0 0 0 l0 o 0 00 0o a0 o4 ( a ，o )( 2 1 ) 由于d e t t a ( 2 ) = 一a 2 + 口3 一口2 ( 口一1 ) ，又d c t ( m ( 2 ) 5 ) = 一n + 口2 ， 所以口，1 时m ( 2 ) 0 。因此，我们有 定理2 2 形如( 2 1 ) 的m ( 2 ) ，当且仅当a ，1 时，m ( 2 ) 0 。 下面我们考虑m ( 2 ) 的平坦延拓。由于 m 圆= 鞠 w m ( 2 ) 。1 b ( 3 ) 10 01 oo 0 o 1o o o o o 0o 1o 0a o o 0o 1o 0 o o o o0 疗o o口 0 o o y n 4 y n 5 o a o y 3 2 y 2 3 y 1 4 1 0 o o 口 y i y 3 2 y 2 3 o 0 o y 5 0 y 4 l 7 3 2 o o o+ o o。k+ o 4 ok。 。 。 。 o o o坛k+。 。 。 o 0 0 o o 口 + l o 0 o 口o # $ o o o 口o o + $ 0 o 1 o o o 十 o l o o o o l d 0 0 1 0 $ 东北大学硕士学位论文 第二章四阶非奇异截断复矩问题的解 从而 其中 由于 量k 上艮j = ；址 1 一al a1 8 o o r 2 3 4 h 4 一l + d r 嘣 口 d o y 3 2 口 ，2 3 1 + n 盟 口 o 口 y 4 l 口 y 3 2 1 + 口 y 2 3 4 c ( 3 ) 一w m ( 2 ) w w b ( 3 ) 上l 上00 1 一n y 3 2 1 一a 上乱 l 一口 n 4 1 一a a0 0 口 oo “1 1 4 o 0 r 5 0 口 y 札 一l + d y 3 2 口 羔望! ! ! 丝k 口- 1 + a 4 堕1 3 l 且 口- 1 + a o 垃猃 一z 3 2 痒一1 + aa 垃氇丝 a一1 + 口 n c l lc 1 2q 3c 1 4 c 2 1 c 2 20 2 3c a q 1c 3 2c 3 3c ” c 4 1c 4 2 c 4 3c 4 4 0 o o y 2 3 r 1 4 y 0 5 o n 0 y 3 2 y 2 3 y 1 4 ”幽龃器学， n 3 一n 4 + ( 1 一知) i y 。1 2 + ( 1 一n ) h 1 2 c 2 2 一1 = 疆f 一 一鲣丝掣挚， 一畦挚， 0 0 口 y 4 1 y 3 2 y 2 3 o o o y 5 0 y 4 1 r 3 2 东北走学硕士学位论文 第二章四阶非奇异蕺断美矩问题的解 c “一c 。一| y 。1 2x ( 1 一a ) 一口3 一a 4 一口| y 。1 2 + l y 。1 2 ， c 2 1 _ c 3 2 尊- y 2 3 2 + ( a - 1 ) r a 5 r 4 1 雌和一2 ) 4 r 弛， 易知方程组c 1 1 * c 控，c 2 l - c ，2 有解。如当ty 2 3t 。，y 。警就是方程 的解。 定理2 3 形如( 2 1 ) 式的m ( 2 ) 在d ，l 的条件下有平坦延拓m ( 3 ) ，于是有 6 原子表示测度。 例1 在( 2 1 ) 中，若取口一2 ，则由定理2 2 和定理2 39 ；1 1 ，m ( 2 ) 0 ，且m ( 2 ) 有 平坦延拓m ( 3 ) 。若取y 2 3 - h 。一0 ，= 2 + 2 i ， 刚 m ( 3 ) 一 1o 0 0l00o oo o10o0 0 o2 0o 0 0l0 o o0o 2o o oo 2o oo0 02 2 f 1o 0 02000 00 o 0 o 00 22 + 2 i0 00 $ 十+ $十 $ 根据线性相关性，我们容易得到： y 2 4 蕾( 1 + f ) y 4 1 ，y 1 5i ( 1 + f ) y 3 2 ，y 0 6i ( 1 + f ) y 2 3 ，y 笛墨o + o r 4 2 ，y 1 6e 0 + 0 2 y 5 0 ， y 0 7 霉( 1 + f ) y 2 4 ，y 拍口( 2 + 2 ) r 3 2 ，y 1 7 善( 2 + 2 ) y 2 ，y 明宣( 2 + 2 ) r 1 4 a 据定理1 7 和引理1 1 0 有 暑( y ， o ，y 0 1 ，y 2 0 ，y i l ，r 0 2 ) r 群0 ，0 ，0 ，o & o ) r z 一( y n 1 ，y ，y 2 1 ，y 1 2 ，y ) 7 一( 0 ，1 , o ，0 ，o ，0 ) 7 z 2 = ( y 0 2 ，r 1 2 ，y 0 3 ，y 2 2 ，n 3 ，y 0 4 ) 7 * ( o ，0 ，0 ，2 ，0 ，0 ) 7 z 3 ；( y ，y 1 3 ，y “，y 2 3 ，h 4 ，y 0 5 ) 7 ；( 0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，2 + 2 i ) 7 ， ，1 2 查苎苎苎堡主兰竺丝查 苎三主曼坠矍主墨塾堑墨丝苎苎! ! ! l z 4 矗( y 0 4 ，y 1 4 ，y 蛞，y 弘，y 1 5 ，y 嘶) r 置( o ，0 ，2 + 2 i ，0 ，0 ，o ) t ， z 5 膏( r 帖，r 坫，y 嘶，y 2 5 ，h 6 ，y 0 7 ) 7 # ( 2 + 2 i ，0 ，o , o ，4 + 4 ，o ， z 6 - ( y 惦，y 1 6 ，y 口7 ，r 2 6 ，y 1 7 ，r 嘴) 7 掣( o , 4 + 4 ，0 ，0 ，0 ，o ) 7 。 令z 6 霉岛j + n z + 地z 2 + 6 4 2 3 + 岛z 4 + z 5 。由于 ( ，q ，6 2 ，屯，轧，) 7 一u ，z ，z 2 , z 3 , z 4 , z 5 ) 。z 6 10000 2 + 2 i 010 00 0 000 02 + 2 i 0 002 000 1000 04 + 4 00 02 + 2 i0 0 一( 0 ，4 + 4 i ，0 ，0 ，0 ，o ) 7 ， 0 4 + 啦 0 o 0 o 解方程，一( 4 + 4 ) z ；o 得： 2 l 一0 ，。2 * 一1 - i ，南- - 1 2 6 0 0 7 + 0 6 4 2 0 4 i ，。4 0 2 2 1 2 3 + 1 3 9 6 8 ， z 。一0 6 4 2 0 4 1 2 6 0 0 7 i ，z 6 - 1 3 9 6 8 + 0 2 2 1 2 3 。 根据定理1 7 及计算机工具软件m a t h c m a t i c a 可得 p o 一0 5 ，n - 0 1 ，p 2 - 0 1 ，p 3 - 0 1 ，p 4 - 0 - 1 ，p 5 。0 1 。 因此，所求6 原子表示测度为： p 皇p 0 6 + 卢1 6 + , 0 2 6 + p 3 也，+ , 0 4 6 h + 成6 巧。 2 2 类型i i 考虑 东北大学硕士学位论文第二章四阶非奇异截断复矩问题的解 m ( 2 ) 1 1o 0 0 olo o 0 010 o00a 1o0o 000y 0 4 10 00 00 0 y 4 0 口0 04 ( a ，0 )( 2 2 ) 因为d e t m ( 2 ) = y * y 4 0 a 7 0 4 7 帅一- 口2 + n 3 篮( n x x a 2 一f y f 2 ) ， d e t ( i m ( 2 ) 1 s ) = a 2 一口， d e t ( m ( 2 ) 】) t a ， d o t ( m ( 2 ) ，) 一1 。 我们容易得到 定理2 4m ( 2 ) 是正定可逆的当虽仅当口，m a x , 1 ，b ，。】) 。 又由 我们得到： 所以 m ( 3 ) - m 一( 警暑考譬) ，口圆l c 2 ，矽，c ；膨c z ，。 w = m ( 2 ) 4 b ( 3 ) 1 4 o o o如+ + 。 + o o口+ 。 。 o口o肠。 + 。 。 o o o+。 + o 0 o o 口女 。 l o o o n o o o o口o 。 。 十 o o 1 o 0 o $ t o 1 o 0 0 o十 t)口l o 查些苎兰塑主! 垒塑墨 苎三主! 坠斐查墨苎堑墨丝塑苎苎塑 100010 ol0oo0 oolo0o 0 00口0r 10 00口0 0 00 y*0口 y 1 4 i 一口 o 0 口y 2 3 一r 蛄y 柏 a 一y “y y h 1 一口 口y 部一y o i y y 2 3 1 一d 0 o o y 2 3 y “ y n s 0 4 0 y 3 2 y l 一 口0 0a 0 0 口 y 4 1 7 3 2 y 为 竺墼二丛! 强竺! 塑二! 签兰塑 口2 一y 0 4 y 4 0 口2 一r “r 4 0 y 2 3 1 一口 4 扎4 一y 0 4 y 3 2 y 3 2 1 一n 0 y 2 3 一y w y 4 l 口2 一y 0 4 y 。口2 一，蚪y 柏4 2 一，k y 4 。 求出的共轭转置矩阵矽代入 其中 c ( 3 ) 一矽+ m ( 2 ) w w + b ( 3 ) = c 1 1c 1 2 c 2 1c 2 2 c 3 1c 3 2 c 4 i0 4 ： o 0 o h o y 1 y 4 1 1 一口 o o a y s o y 3 2 7 4 0 d + 一y o y 4 0 y 4 l 1 一 口y 3 2 一y y 卯 口一y “y 柏 c 1 3c 1 4 c 2 3c 2 4 c 3 3c 3 4 c 4 3 c 4 4 c 1 。警+ 型坐c 型业堕逝堑生迪， l 一4 a 一y “y ” 。，。上逝+ 。：+ 鱼业虻堡磐坦丑& 1 必， 1 一席 a 一y 0 4 y 4 0 c ，。! 逝+ 堡娅虻塑挚匕整鲤丛删， 1 一口 a 一一y 0 4 y ” c 3 2 ；警+ 型堕_ 警赴型堕趔。 上一口 口。一y 蚋r 4 0 令y 1 4 一y 2 3 0 ，贝qc 2 l - 0 - c 3 2 ，并且 - 1 5 东北大学硕士学位论文 第二章四阶非奇异截断复矩问题的解 c 1 1 嘞一上a 2 - 1 v 。i n l l 一口3 一。i 1 2 ， 所以当a i y f 时，方程组c l l c 2 2 ，c 2 1 - c ，2 有解。于是我们有 定理2 5 形如( 2 2 ) 式的m ( 2 ) 在n ，m a 】【“l l 的条件下有正的平坦延拓 ( 3 ) ，于是有6 一原子表示测度。 例2 在( 2 2 ) 中令口一2 t i ，不妨设n 。一y 。一0 ，y 。一2 + 云，类似于例l 我 们可得到： 求得 ，_ z 5 皇 1 o o 0 1 0 ，z 一 0 1 0 o 0 o 。z 2i 2 + 云 o 一4 2 + 2 i o 0 6 + 8 4 - 云) 3 ( 4 1 0 压) 3 o o 0 2 o i ，z 6 鼻 z 3 皇 0 0 o o 2 + 2 l 一施+ 复 0 6 + 8 4 五) 3 ( 4 1 0 压) 3 o o 0 ( 岛，如，札，屯) 叠( ，z ，z 2 ，z 3 , z 4 , z 5 ) _ 1 2 6 ，z 4 暑 y 0 0 y o l y 0 2 y 0 3 y 0 4 y o s i o 2 + 复 o o 4 2 + 2 1 0 o 0 2 + 4 2 一阵警，堕学，o ，等笺紧，二里萼坐，署砉凳，7 运用数学工具软件m a t h e m a t i c a 求得原子和密度为 z 。一一1 4 2 2 5 4 + 0 6 8 8 3 1 ， 二- - 1 2 5 4 0 5 9 7 2 1 吼， z ，一0 2 8 4 4 1 l + 1 6 8 6 8 2 i ， 毛- 0 3 1 5 0 3 0 8 7 2 1 16 f ， z 。一1 0 7 5 5 3 + 0 4 5 0 2 2 3 ， 磊一2 6 0 5 0 1 3 6 8 9 3 7 i ， 1 6 p o 一0 0 9 6 0 3 7 3 p l 一0 1 9 8 7 9 6 ， n 一0 0 7 2 2 3 1 4 以一0 3 5 8 7 7 6 ， p 。一0 2 7 4 1 6 6 ， p 5 0 。 东北大学硕士学位论文第二章畸阶非奇异截断蔓矩问题的解 因此，存在6 - 原子表示测度： 肛_ p 0 6 h + p 1 气+ p 2 6 + p 3 t + a 也+ p 5 6 毛。 引理2 7 令m ( 2 ) ，0 ，则m ( 2 ) 有平坦延拓m ( 3 ) 当且仅当存在y 。， y ，。，e c ，满足 ( i ) ( _ 。，死，瓦，歹，歹。_ 0 5 ) m ( r 。，y 。，y 。，y 。) 7 - - 6 ，：，r 。，7 ，r ：，歹：，f ，。) m ( r l ：，y 。，y ，歹：，y ：。，y 。) 7 ， ( i i ) ( _ 。y ，沁y 。，歹。，歹。) m ( r 。，y 。，y 。，y 。) 7 = ( 2 ，y 1 3 ，y 2 2 ，y 。4 ，r 2 3 ，f ) 朋( 2 ，y 2 2 ，y i ，歹2 3 ，y 2 3 ，y 。4 ) 7 ， 此处m if d e t m ( 2 ) ) m ( 2 ) 4 证明：据命题2 1 ，当m ( 2 ) ) 0 时，肘( 2 ) 有平坦延拓m ( 3 ) 扣似( 2 ) b ( 3 ) ) 当且仅当c 1 1 一c 2 2 ，c 2 1 一c 3 2 ，而 c l l _ ( y 3 0 ，y 3 l ，y 柏，n 2 ，y 4 l ，t 5 0 ) m ( 2 ) - 1 2 3 ， c 拉l ( y 2 。，y ，如。，y 2 3 ，r 越，y 。) f ( 2 ) 一1 5 2 2 ， c 2 1 _ ( y 2 l ，y 牡，y 3 1 ，y 2 3 ，y 3 2 ，y 1 ) 肘+ ( 2 ) - 1 2 3 ， c 3 2 一( y 。2 ，y ，3 ，y 2 2 ，r 。4 ，y 2 3 ，y 3 2 ) f ( 2 ) 一1 乏2 2 ， 而又z 3 暑( y ，n 3 ，y ，y 2 3 ，y 1 4 ，y ) 7 ，乏2 2 _ ( y 1 2 ，y 2 2 ，y 1 3 ，y 3 2 ，y 2 3 ，y ，。) 7 代入即得证。 2 3 类型i i i 考虑 1 7 璺些垄鲎塑主鲎竺堡圭 苎三主竺坠斐壹墨苎堑墨篷坚墨塑堑 j l f ( 2 ) 一 lo0o1 o o1o0o0 o ol0oo o o o工wo 10owxw 0o o0wz ( z o )( 2 3 ) 定理2 8 形如( 2 3 ) 式的m ( 2 ) 在x ，o ，x ( x 一1 ) 2 1 - 1 2 条件下，存在正的平坦 延拓m ( 3 ) 。 证明：首先考虑m q 2 ) 的正定性。由于 d e t m ( 2 ) = 一h i 叫2 一x 2 + 工3 o ， d c t ( 【m ( 2 ) k ) = 工2 一x l 叫2 ，0 ， d e t ( 【i i f ( 2 ) 】。) = x 0 ， 解不等式得到石，o , x ( x - 1 ) ，2 1 w 1 2 。 据命题2 1 只须证得：r a n b ( 3 ) r a n m ( 2 ) ，c 1 1ac 2 2 ，c 2 1 一c 3 2 。 由于m ( 2 ) 正定可逆，昆然存在矩阵w e m 。( c ) 使褥m ( 2 ) w t _ 8 ( 3 ) ，即 ；肘( 2 ) 。占( 3 ) 。 下面我们证明存在y 2 3 ，y 使之满足c 1 1 ；c 2 2 ，c 2 1 - c 3 2 。不防令y 2 3 = 0 ， y ，。一z ，y 0 5 一y 。由于 f ( 2 ) o ，则 ，z ，z ，z 2 ，_ z ，孑2 ) 线性无关，所有它是c o l 。 2 ) 的基。 所以存在唯一的做，k ：，k 3 ，k 。，k 5 ，k 6 ) ，( 1 a ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，f 6 ) 使得： 求得 f ( 2 ) 皓。，k ：，七，k 。，k s ，k 。尸= fz 3 】= ( o ，w ，0 ，0 ，z ，y ) 7 m ( 2 ) 1 1 , z ：。ll 。l ，z 。y = 【动2 】- ( 0 x ，w , 0 ，0 ，z ) 。 1 8 + 东靶大擘硕士学位论文第二章四阶非奇异裁断复矩问题的解 ( t ，如，k 3 ，k 。，k 5 ，k 6 ) r = 【m ( 2 ) 】。1 ( 0 ，w , o ，0 ，z ，y ) = 磕w x y - x 2 z ，w ，o ，丽w 2 y - w x y ，裔x z z - w a y ，呜竽， ( 1 l ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，毛) 7 = i m ( 2 ) r ( o ，而w , o , o ，z ) 7 ，沈品2 z一诺杞( x 2 一工一i 叫2 ) z 、 i 丽硒pw d e t m ( 2 ) d e t m ( 2 ) 丽南产卜 丽： c 1 1 骨( r 3 0 ，y 3 1 ，y 4 0 ，y 3 2 ，y 4 1 y 5 0 ) 如，k 2 ，忌业4 ，岛，k 6 ) 1 ；( o ，w ，0 ，0 ，z ，y x k l ，k 2 ，k 3 ，七4 ，k 5 ，k 6 ) 1 制2 + _ ( 继半m - ( x 。z 吐z 蔫- w x y ， c 2 2 。( y 2 l ，y ，y 3 1 ，y 2 3 ，y ，y 1 ) ( f 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，乇y - ( 0 ，z ，；，0 ，0 ，z x l , ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，f 6 ) 十2 + x 2 + 訾d e t m ， f c 2 1 = ( y 2 1 ，y 2 2 ，y 3 1 ，y 2 3 ，r 3 2 ，y 4 1 ) 砖l ，t 2 ，k 3 ，屯，k 6 ) 1 = ( o t w ，0 ，0 ，；kk 3 w k 如，k 6 ) 7 一眦+ ( ( - 1 w r - d 。x 。+ 肘x l b z y ，- w x z ) ；， d e t 肘l z c ，：一( y 1 2 , y 。，y 。，y 1 4 ，y 2 3 ，y 3 2 ) ( f 1 ，? 2 ，f 3 ，f 4 ，屯，f 6 ) 7 = ( o , w ，x ，z ，o , o x ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ) 7 。2 眦+ ! ! ：。 d e t m ( 2 ) 由c ：，* c ，：我们可毗得到： w x d e t m ( 2 ) + w 2 2 2 + 眦 炉i 面丽西一。 将y 代入c 1 ，= c ：，进一步化简得到： 查些查兰罂主竺竺丝查 苎三主! 坠些立墨塾塑墨丝竖墨塑竖 盯+ 品2 愆2 + w 2 , , n , 2 - - x 2 d c t ( 眦( 2 ) 】5 ) 盯+ d e t m ( 2 ) x 2 1 w 2 。0 。( 2 4 ) 我们考虑形如 l 毛| 4 + a 0 + i 毛2 一曰i 毛1 2 + d 一0 ( 一，b ，d e c ) 的复数方程。 如果_ - o ，令z 2 1 毛2 + 才，由( 2 5 ) z 4 i 根据引理1 1 6 ，令 z 2 1 2 砟：一刁t t l - d 。 a i ，b x 2 d e t ( 【( 2 ) 姚d 。d e t m ( 2 ) x 2 晰 考虑i a i b + t a l 2 一d 是否非负。由