（基础数学专业论文）有限元方法若干问题研究.pdf

郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反学术道德 的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 2 学位论文作者( 签名) 彳f 确 2 0 0 6 年6 月4 日 摘要 众所周知，要求区域q 的剖分满足正则性条件或拟一致假设是传统有限元分析的基 础性条件【1 】，即鍪墨c 或= h c ，这里k t h 是一个单元，而矗是q 的一个凸剖 分簇，满足uk = q ，h k 是单元k 的直径，触是包含在单元k 内最大圆的直径； k 6 t h h = m a x h k ，h = 咖 h ) 然而，一方面，有些问题定义在窄边区域，如电机中转子与 定子之间的间隙模型、关节处的软骨组织模型，由复合材料做成的薄板等模型，在对此类 问题使用数值方法去计算它们的近似解时，如果采用正则性剂分，剖分将非常密，由此产生 的计算量非常大，甚至数值处理无法实现因此实际处理此类问题时，通常的技巧是采用 各向异性单元剖分另一方面，有些椭圆边值问题( 例如：奇异摄动问题、对流扩散问题等) 的解具有各向异性特征，即沿某个方向解变化非常剧烈，而沿另外方向解变化平缓在这 种情况下，一个明显能够反映这种解的各向异性特征的处理技巧就是突破上述限制，在解 变化剧烈的方向采用细网格，在解变化平缓的方向使用粗网格来反映解真实变化的状态 当处理上述两类问题时，如果对区域剖分采用各项异性网格这一处理方式，比值警或 可以非常大甚至趋于无穷，传统有限元分析方法中的若干性质和处理技巧就不能使用如 对于非协调有限元进行相容性误差的估计时，若使用传统的边界估计技巧，将会出现因子 等黧，当f 为单元k 的长边时，这个因子将趋于无穷大，无法保证收敛性，需要探索新 的途径和边界估计技巧又如，s o b o l e v 插值理论，在各向异性网格情况下不能直接使用， 因而插值算子在各项异性网格下的适定性、稳定性、以及l b b 条件( 混合有限元方法的关 键点之一) 等方面的研究是十分艰巨的工作t a p e l 等于f 2 ，3 】中提出一个各向异性判别定 理，但是它用起来不方便陈绍春教授等在文 4 】中概括了【2 , 3 l 的结果并提出了一个使用 更方便的各向异性判别定理，并把它应用于若干问题的l a g r a n g e 型和h e r m i t e 型协调元， c r o u z e i x - r a v i a r t 型矩形元、类w i l s o n 元a c m 元，c a r e y 元等非协调元的收敛性研究 ( 见【4 ，一，1 1 ，3 9 ，4 1 】) 上述的模型问题和这些成果都表明，传统有限元方法中对网格剖分的 正则性假设是不必要的，有时甚至是不合适的所以近年来，各向异性有限元的研究成了一 个热点，并出现了一系列有影响的文章( 参见【2 ，一，1 1 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，6 5 ，一，7 0 】) 有限元方法研究特征值问题是另一个倍受关注的课题t j f i x 1 2 】，k i s h i h a r a 1 3 、 i b a b u s k aa n dj o s b o r n 1 4 、b m e r c i e r 1 5 】、杨一都 16 】、吴冬生【17 】和刘会坡f 18 】等专 家学者都对此问题进行过研究，在他们的文献里要么得到了最优误差估计【1 2 ，一，1 5 ，1 8 ，要 么得到了超收敛结果【1 6 ，1 7 】但是就我们所知，这些学者的成果仍然是在对网格的正则性 条件或拟一致假设下得到的，很少涉及各向异性网格用非协调元格式求解特征值问题的 3 关键点之一在于求精确解与有限元近似解的驴模的误差估计这对某些各向异性有限元， 如c r o u z e i x - r a v i a r t 型等非协调有限元来说，不是一件容易的工作就我们所知，此前没 有见到相关的报道，而本文解决了这一问题本文的第二章到第六章，主要研究了若干类 具有各项异性特征的有限元对平面上二阶椭圆问题、四阶椭圆问题及s t o k e s 特征值问题的 逼近通过运用一系列新颖的技巧，对特征值问题的l a g - r a n g e 型，h e r m i t e 型协调有限元 或c r o u z e i x - r a v i a r t 型、w i l s o n 元或类w i l s o l l 元，c a r e y 元等非协调元逼近得到了与传 统有限元网格剖分下相同的最优误差估计，从而拓宽了有限元的应用范围特别要指明的 是，林群院士等在文献【7 l 】中利用流函数方法将求解s t o k e s 特征值问题转化为四阶椭圆特 征值问题，给出了相应的混合方法的超收敛性研究，而把从原始变量出发的有限元方法作 为一个悬而未决的问题( 见文献f 7 1 】) 留给了读者，而本文的第六章重点之一就是给出了这 一问题的非协调各向异性有限元方法的理论分析 有限元的超逼近和超收敛性分析在实际工程计算中占有十分重要的地位，一直是数值 分析家们研究的重要内容之一不仅一般椭圆方程、s t o k e s 方程、抛物方程、扩散对流反 应方程等的精确解与有限元解之间误差的超逼近和超收敛( 包括整体超收敛与点态超收敛) 的成果很丰富【5 ，7 ，9 ，1 9 ，2 0 ，4 2 ，4 9 ，5 0 ，5 1 ，5 8 ，6 3 ，6 4 】，而且对特征值超收敛性的研究也多见报道 【1 6 ，1 7 】我国的林群院士、陈传淼、朱起定、严宁宁、张书华等教授在此方面取得了具有国 际领先水平的结果但如前所述，这些结果都是在对网格的正则性条件或拟一致假设下得 到的，有关各向异性网格下的研究则较少涉及( 尤其是非协调元的超逼进性质和整体超收敛 性分析等) 其中本文在2 2 3 节，利用b r a m b l e - h i l b e r t 引理和t a l o y 展开等技巧，对一类 c r o u z e i x - r a v i a r t 型有限元在各向异性网格条件下关于特征值的超收敛性进行了分析，得到 了特征值的超收敛结果；在2 3 3 节，6 4 节，得到了特征值问题相对应的源问题的超逼近 与超收敛性结果；特别是，我们分别在第七章对一类粘弹性方程在各向异性网格条件下、第 八章对一类扩散对流反应方程在正则网格下等这些目前尚未涉及的问题的超收敛性进行了 系统地分析由于后验插值算子( 尤其是适用于各向异性网格) 的构造及其验证十分复杂和 困难，且这些成果在以往文献中大多未曾见到，故本文的成果是相关领域前沿性的结论 作为本文的最后一节，我们给出c a r e y 有限元对一个椭圆边值问题逼近的一个数值算 例，这个方程的真解具有各向异性特征的，即在边界方向变化迅速数值实验的结果表明我 们理论分析与实际计算结果吻合，c a r e y 元的确可以用于具有各向异性特征问题的数值算 法 综上所述，传统的要求有限元满足正则性条件或拟一致假设是不必要的，各项异性有限 元在实际问题中更具有重要理论意义和应用价值，该文成果正好丰富和发展了这方面有限 4 元研究的理论与内容 关键词：特征值问题；各向异性有限元；超收敛；s t o k e s 方程；粘弹性型方程及扩散对流 反应方程 5 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n ta p p r o x i m a t i o nt h e o r yr e l i e so nt h e r e g u l a ro rq u u s i - u n i f o r ma s s u r e p t i o n ，i e ，t h e r ee x i s t sac o n s t a n tc 0 ，s u c ht h a tf o ra l le l e - m e n tk ，h k p k c ，o r c ，w h e r eh = m k a x h a ：，h = n 要g n h r ，h ra n d 腑a r et h ed i a m e t e r a n dt h es u p r e m u mo ft h el a r g e s ti n s c r i b e dc i r c l ei nkr e c p e c t i v e l y h o w e v e r ，t h ed o m a i n c o n s i d e r e dm a yb en a i t o wo ri r r e g u l a r f o re x a m p l e ，i nm o d e l l i n gag a pb e t w e e nr o t o ra n d s t a t o ri na ne l e c t r i c a lm a c h i n e ，o ri nm o d e l l i n ga c a r t i l a g eb e t w e e naj o i n ta n dh i p ，i fw es e e k t h e i ra p p r o x i m a t es o l u t i o nw i t hn u m e r i c a lc a l c u l u sm e t h o d so nt h ed o m a i nb ye m p l o y i n gt h e r e g u l a rp a r t i t i o n ，t h ec o m p u t i n gc o s tw i l lb ev e r yh i g ho rc a nn o tb ed e a l tw i t h ，i ti sb e t t e r t oe m p l o yt h ea n i s o t r o p i ct r i a n g u l a t i o ni nt h ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，s o - l u t i o n so fs o m ee l l i p t i cb o u n d a r yp r o b l e m sm a yg e n e r a t es h a r pb o u n d a r yo ri n t e r i o rl a y e r s ， t h a tm e a n st h a tt h es o l u t i o nv a r i e ss i g n i f i c a n t l yi nc e r t a i nd i r e c t i o n e x a m p l e si n c l u d ed i f f u - s i o np r o b l e m si nd o m a i n sw i t he d g e sa n ds i n g u l a r l yp e r t u r b e dc o n v e n t i o n - d i f f u s i o n - r e a c t i o n p r o b l e m s i ns u c hc a s e si th a db e t t e rr e f l e c tt h i sa n i s o t r o p yi nt h ed i s c r e t i z a t i o nb yu s i n g a n i s o t r o p i cm e s h e sw i t has m e l lm e s hs i z ei nt h ed i r e c t i o no ft h er a p i dv a r i a t i o no ft h es o l u - t i o na n dal a r g em e s hs i z ei nt h ep e r p e n d i c u l a rd i r e c t i o n w h e nd e a l i n gw i t ht h ea b o v et w o c a s e s ，w es u b d i v i d ed o m a i nq i na n i s o t r o p i cm e s h e s ，a n dt h e ne i t h e r 篆o r 篆m i g h tb ev e r y l a r g eo r e v e nm o r ei n f i n i t ea n dt h ea b o v er e g u l a ra s s u m p t i o no rq u s i u n i f o r ma s s u m p t i o ni s n ol o n g e rv a l i d ，t h e r e f o r es o m eb a s i ct h e o r i e sa n dt e c h n i q u e so ft h ec l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n t m e t h o d sa r en o tf i t f o re x a m p i e ，w h e nt h ec o n s i s t e n c ye r r o ro fn o n c o n f o r m i n ge l e m e n ti s e s t i m a t e dw i t ht r a d i t i o n a lt e c h n i q u e ，篇鬻i sp r e s e n t e da n dm i g h tb ei n f i n i t ei ffi sl o n g e d g e n e ww a y so rt e c h n i q u e sm u s tb ee m p l o y e di no r d e rt oo b t a i nc o n v e r g e n c ei ns u c hc a s e o nt h eo t h e rh a n d ，t h es o b o l e vi n t e r p o l a t i o nt h e o r yc a l ln o tb ed i r e c t l yu s e d ，h e n c et h e r e s e a r c h e so nt h ep o s e d - w e l la n dt h es t a b i l i t ya n dl b b c o n d i t i o n ( o n eo ft h ek e yp o i n t sw i t h m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s 、o fi n t e r p o l a t i o no p e r a t o ra r ev e r yd i f f i c u l t t a p e le ta 1 【2 ，3 】 p r e s e n t e da na n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o nt h e o r e mt h a tc a nb eu s e dt oc h e c kt h ea n i s o t r o p yo f a ne l e m e n t b u ti t i sn o tc o n v e n i e n ti np r a c t i c a lc o m p u t i n g s c c h e ne ta 1 1 4 1s u p p l i e da n i m p r o v e do n ew h i c hi sm u c he a s i e rt ob eu s e dt h a nt h a to f 【2 ，3 】，a n dt h e ni tw a su s e dt o c h e c kt h ea n i s o t r o p yo fl a g r a n g et y p e ，h e r m i t et y p e ，c r o u z e i x - r a v i a r tt y p e 、q u a s i - w i l s o ne l e m e n t 、a c m se l e m e n t 、c a r e ye l e n e n t ，a n ds oo n ( r e f e rt o 【4 ，一，1 1 ，3 9 ，4 1 1 ) 6 t h ea b o v em o d e l sa n dr e s u l t ss u g g e s tt h a ti ti sn o tn e c e s s a r yt or e q u i r em e s h e st os a t i s f y r e g u l a rc o n d i t i o ni nc l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s t h e r e f o r e ，t h er e s e a r c go na n i s o t r o p i c 丘n i t ee l e m e n t si sb e c o m i n gah i g h l i g h ti s s u ei nt h e o r e t i c a la n a l y s i sa n de n g i n e e r i n gp r a c t i c e s a n dt h e r eh a v eb e e nal o to fi m p o r t a n tr e s u l t s 【2 ，一，1 1 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，6 5 ，一，7 0 1o ns u c ha s p e c t i nr e c e n ty e a r s t h er e s e a r c h e so ne i g e n v a l u ep r o b l e m sw i t ht h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sh a v eb e e nr e - c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n j f i x 【1 2 1 ，k i s h i h a r a 【1 3 、i b a b n s k aa n dj o s b o m 1 4 】、 b m e r c i e r 1 5 】、y d y a n g 【1 6 】d s w u 【1 7 】a n dh p l i u 【1 8 】h a v eb e e ns t u d y i n go ns u c h a s p e c ta n dd e r i v e do p t i m a le s t i m a t e so rp r e s e n t e dh i g ha c c u r a c yi nt h e i rw o r k sr e s p e c t i v e l y a sw ea l lk n o w m o s to ft h er e s e a r c h e sw e r ed o n eo i lt h em e s h e ss a t i s f y i n gt h er e g u l a rc o i l - d i t i o n ，b u tf e wa r et r e a t e do nt h ea n i s o t r o p i cm e s h e s o n eo ft h ek e yp o i n t si st h ee r r o r e s t i m a t eo fl 2 一n o r mb e t w e e nt h ee x a c ts o l u t i o na n dt h ef i n i t ee l e m e n ts o l u t i o no fe i g e n v a l u e p r o b l e m s t h ew o r ki sn o te a s yf o rs o m ef i n i t ee l e m e m t s ，f o re x a m p l e ，c r o u z e i x - r a v i a r t t y p en o n c o n f o r m i n ge l e m e n t ，a n di tw a sn o tr e p o r t e di np r e v i o u sl i t e r a t u r eo ns u c ha s p e c t ， b u tt h ep r o b l e mi ss o l v e di nt h i sp a p e r t h em a i na i mi sf o c u s e do nt h ea p p r o x i m a t eo fs o m e e i g e n v a l u ep r o b l e m sf o re l e m e n tf i n i t em e t h o d s o na n i s o t r o p i cm e s h e sf r o m2 n dc h a p t e rt o 6 t hc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，e l e m e n t si n c l u d el a g r a n g ee l e m e n t ，t i e r m i t et y p e ，c r o u z e i x - r a v i a r tt y p e 、w i l s o no rq u a s i - w i l s o ne l e m e n t 、c a r e ye l e m e n t ，a n ds oo n b ye m p l o y i n g as e to fn o v e lt e c h n i q u e s ，w eh a v eo b t a i n e dt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ef o re i g e n p a i r ，s ot h e a p p l i c a t i o ns c o p ei se n r i c h e d e s p e c i a l l y , q l i ne ta 1 p r e s e n t e dt h ee i g e n v a l u ep r o b l e mo f t h ep r i m i t i v ev a r i a b l e sp r o v i d e dt h es o - c a l l e db bc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o na sa no p e np r o b - l e mf o rr e a d e r s 7 1 ，a n dt h e y s o l v e ds u c hp r o b l e ma s s o c i a t e dw i t ht h es t o k e se q u a t i o nb y t h es t r e a mf u n c t i o na n dt h ev o r t i c i t ya n dr e p o r t e das u p e r c o n v e r g e n c ef o re i g e n v a l u ew i t h m i x e dm e t h o d ，h o w e v e r ，o n eo ft h em a i na i m so ft h e6 t hc h a p t e ro ft h i sp a p e rp r e s e n t sa n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re i g e n v a l u ep r o b l e m so fs t a t i o n a r ys t o k e se q u a t i o n s o na n i s o t r o p i cm e s h e s t h es t u d yo fs u p e r c l o s ep r o p e r t ya n ds u p e r c o n v e r g e n c ew i t hf i n i t ee l e m e n tm e t h o d si s a n o t h e ri m p o r t a n tb r a n c hi nn u m e r i c a lm a t h e m a t i c sa n dp r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，a n dh a v e b e e nr e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n t h ep r o b l e m sa r ed e a l tw i t hn o to n l yf o re l l i p t i c b o u n d a r yp r o b l e m ，s t o k e se q u a t i o n ，e v o l u t i o ne q u a t i o na n dd i f f u s i o n - c o n v e c t i o n - r e a c t i o n m o d e l ，b u ta l s oe i g e n v a l u ep r o b l e m ，t h e r ea r em a n yp a p e r so nt h e m ，s u c ha s5 , 7 ，9 ，1 6 ，1 7 ， 7 1 9 ，2 0 ，4 2 ，4 9 ，5 0 ，5 1 ，5 8 ，6 3 ，6 4 ，a n ds oo n al o to f s c i e n t i s t s ，i n c l u d i n gq l i n ，c m c h e n ，q d z h u ， n n y a n ，s h z h a n g ，h a v em a d et h ea d v a n t a g eo ft h ew o r l di nt h i sa s p e c t b u tp r e s e n t e d a sa b o v e ，r e g u l a rc o n d i t i o no rq u a s i - u n i f o r ma s s u m p t i o np l a y sav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h e e r r o re s t i m a t e s ，a n dt h es i m i l a rr e s u l t sa r eh a r d l yd e a l tw i t ho na n i s o t r o p i cm e s h e s d ot h e s e r e s u l t ss t i l lh o l df o ra n i s o t r o p i cm e s h e s ? b ye m p l o y i n gb r a m b l e - h i l b e r tl e m m aa n dt a l o y e x p a n s i o n ，w ea l s oo b t a i nt h es u p e r c o n v e r g e u c er e s u l tt oe i g e n v a l u ef o rac l a s so fc r o u z e i x - r a v i a r tt y p ee l e m e n to na n i s o t r o p i cm e s h e si n2 2 3s u b s e c t i o n w eo b t a i nt h es u p e r c l o s e p r o p e r t ya n ds u p e r c o n v e r g e n c er e s u l t sf o rs o u r c ep r o b l e m sc o r r e s p o n d i n gt oe i g e n v a l u eo n e i n2 3 3a n d6 3 t h e s es u p e r c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sa r ea l s op r e s e n t e dc o m p l e t e l yb o t hf o r ac l a s so fv i s c o e l a s t i c i t yt y p ee q u a t i o n so na n i s o t r o p i cm e s h e si nt h e7 t hc h a p t e ra n df o r d i f f u s i o n c o n v e c t i o n - r e a c t i o no nq u a s i - u n i f o r mm e s h e si nt h e8 t ho n er e s p e c t i v e l y b e c a u s e i ti sv e r yc o m p l e xo rd i f f u l l tt oc o n s t r u c tp o s t p r o c e s s i n gi m p o l a t i o no p e r a t o r s ( e s p e c i a l l yu s e d o na n i s o t r o p i cm e s h e s ) ，a n dm o s to fp o s t p r o c e s s i n gi m p o l a t i o no p e r a t o r sh a v en o tb e e ns e e n i np r e v i o u sl i t e r a t u r e s ，t h er e s u l t so ft h i sp a p e ra r ec r e a t i v eo ns o m eb r a n c h e s a tl a s t ，t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e nt oi n v e s t i g a t ea ne l l i p t i cb o u n d a r yp r o b l e mw h o s e s o l u t i o ng e n e r a t e ss h a r pb o u n d a r yo ri n t e r i o rl a y e r s t h ec a r e ye l e m e n ti se m p l o y e d ，t h e r e s u l td e m e n s t r a t e st h a tt h et h e o r ya n a l y s i sc o i n c i d e sw i t ht h ec a l c u l a t e dr e s u l t sa n dt h e c a r e ye l e m e n ti sf i tt ob eu s e do ns u c hp r o b l e m s i naw o r d ，t h er e g u l a r i t yo rq u a s i - u n i f o r ma s s u m p t i o ni nc l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d s i sn o tn e c e s s a r yf o rm e s h e s t h e r e f o r e ，t h ea n i s o t r o p i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sa r em o r e u s e f u li np r a c t i c a lc o m p u t i n g s ，t h er e s e a r c h e so ft h i sp a p e re n l a r g ea n dd e v e l o pt h et h e o r y o ft h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s k e yw o r d s ：e i g e n v a l u ep r o b l e m s ；a n i s o t r o p i cf i n i t ee l e m e n t ；s u p e r c o n v e r g e n c ep r o p - e r t y ；s t o k e se q u a t i o n s ；v i s c o e l a s t i c i t ya n dd i f f u s i o n - c o n v e c t i o n - r e a c t i o ne q u a t i o n s 8 1预备知识 有限元方法是求解偏微分方程的个非常有效的手段，它最初由r c o u r 柚t 于1 9 4 3 年首次用基于三角形网格制分的分片线性多项式来求解d i r i c h l e t 问题，这是有限元方法的 雏型二十世纪5 0 年代由航空工程师们所发展，随后在固体力学，弹性力学、流体力学等 领域得到广泛应用有限元方法是古典变分( m t z - g a l e r l 【i n ) 方法与分片多项式插值结合的 产物世纪6 0 年代，我国科学家冯康先生【4 3 ，4 4 】与外国科学家几乎同时独立的奠定了有 限元的数学理论经过5 0 来年的发展和研究，有限元方法已经成为一门理论完善、倍受关 注，应用广泛的数值计算方法 1 1椭圆特征值问题有限元方法的基本理论 设x ，y 都是实h i l b e r t 空间，f 是x ycx 上的一个自共轭紧算子，f 是 一簇定义在x cx 上的自共轭紧算子，满足 。l i m i f f i = 0 ， ( 1 1 ) _ 0 。 这里算子范数h 按通常的范数定义又设f 有可列个非零实特征值，记为 n ，屹， 且l i m = o o ， 地) 对应的特征向量的全体构成x 的一组基，记为 哟) 设是代数 重数为m 的f 的一个非零特征值由( 1 1 ) ，恰有晶的m 个非零特征值( 计及重数) ，记 为m ，地一， ，收敛于v 1 4 , 1 5 不失一般性，假设的代数重数为1 ，其对应的特征向 量记为u 且是上述基中的一个元素则恰有晶的1 个非零特征值，记为，收敛于( 下 同) ( u t ) 称为f 的特征对，( 蜥，u h ) 称为r 的特征对 定理1 1 1 设( ，t ) 是f 的特征对，( 蜥，u h ) 是死的特征对则有 一h = 器乎 z ， 证明：记u h = ( ，) 嘶则有 j = l ( f u h 一晶“ ，f u ) = ( ( 钍 ，嘶) 吻嘶一( u h ，u i ) u j ，u ) = p p 一地) ( 让 ，u ) ； ( f u ，r 让 ) = p ( u ，“ ) 9 整理即得( 1 2 ) 定理1 1 1 证毕 考虑下列特征值问题 ， i 求a o ，0 钍k n = 1 ，满足 l 口( 地口) = a b ( u ，”) 这里口( ，) 是y y 上连续的、具有y 一椭圆性( 强制f t ) 的双线性型， 上连续的双线性型 设k 是一个有限维空间( 1 3 ) 的逼近形式为 i 求h o ，0 让 k ，i i 钍 n = 1 ，满扈 il l h ( u h ，口) = ；a b ( u h ， ) v v k ， ( 1 3 ) b ( u ，口) 是x x ( 1 4 ) 这里a h ( ，) 是kxy h 上连续的、具有y 一椭圆性( 强制性) 的双线性型 设 n m ：。为有限维空间k 的一组基，则7 h ，u h y h 是基函数 m ) 翟1 的线性组合： mm 缸 = e q i 魁，v h = 屈， ( 1 5 ) 一 t = 1 i = l 把( 1 5 ) 代入( 1 4 ) ，由于a h ，b 的双线性及是任意的，即卢= ( 卢，卢) 的任意性，得 a a 7 = a n b a 7 ( 1 6 ) 其中 a = ( ) ，a q = o ( m ，n j ) b = ( b q ) ，幻= b ( n i ，n j ) 这是一个线性方程组，其系数矩阵a = ( a o ) 飘。与一般的椭园边值问题有限元方法的刚度 矩阵相同因此，求解离散特征值问题( 1 4 ) ，实质上是求方程组( 1 6 ) 的特征值问题 容易验证，与( 1 3 ) 和( 1 4 ) 等价的算子形式分别是z 求a o ，o “k j | 钍| 10 ，n 2 1 ，满足 ( 1 7 ) if u y 且f u = u ， 和 材p0 ? 于y h , l i 讥| l 叩= 1 ，满足 ( 1 8 ) lf h 札 y h 且晶u = v h u h ， 1 0 其中a p = 1 ，a h = 1 因此( 1 3 ) 和( 1 4 ) 可以分别表示成 求a 0 , 0 t v l i 训| o 皿2 1 满足 ( 1 9 ) la ( f u ，t ，) = 6 ( t ，口) v v e 和 求h o o 碥，i i | l 岬2 1 满足 ( 1 1 0 ) la h ( f h u h ，移) = b ( u h ，钉) 讹玩 这样一来，特征值问题及其有限元近似又纳入了抽象的算子特征值问题及其近似【1 4 一圳由 于特征值问题( 1 3 ) 与其对应的逼近( 1 4 ) 的误差估计最终归结为相应边值问题与其对应的 逼近的误差估计，我们首先考虑下列一般的算子问题；v ，x f f ka ( f f ，v ) = b ( f ， ) ，v v y ； 晶f ，a h ( r ， v ) = b ( f ， ) ，v v k 我们进一步假设( 1 1 ) 对上述的算子逼近问题成立则定理1 1 1 仍然成立这样， 特征值逼近就归结为 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 3 ) 的 a 一a ：a ( f u ，h 。- f 。h u h , 、f u ) ( 1 1 3 ) l r u r h u h ) 由于大量的数学物理问题都可以表示为形如( 1 1 1 ) 的变分形式，所以说对( 1 1 1 ) 的有限 元方法研究是特征值问题有限元方法研究的前提 关于变分问题( 1 1 1 ) 的解的存在唯性，我们有 l a x - m i l g r a m 定理1 1 2 【1 】若( ，) 为l ，y 上的连续、强制的双线性泛函，6 ( ，) 为 xxx 上的连续的双线性泛函则变分问题( 1 1 1 ) 存在唯一解( t ，= ) 廿y l a x - m i l g r a m 定理对变分问题( 1 1 1 ) 的解存在唯一性给出了明确的回答，但是如何实际 计算出这一精确解，直接从这一定理中找不到答案只有少数非常简单的数学物理问题用 分析方法可求出其精确解其主要困难在于y 是一个无限维空间一个自然的想法就是能 否将( 1 1 1 ) 中的无限维空间y 用一个有限维空间玩来代替，即用有限维空间逼近无限维 空间y ，化( 1 1 1 ) 为离散变分问题( 1 1 2 ) ，求出其近似解呢? 这就是g a l e r k i n 方法的基本思 想，是求解变分问题近似解最有效的方法之一 关于离散变分问题( 1 1 2 ) 解的存在性，只须有限维空间玖是h i l b e r t 空间，双线性泛 函a h ( ，) 于k 碥上有定义，并且满足l a x - m i l g r a m 定理条件，根据l a x - m i l g r a m 定理 立即可知离散变分问题( 1 1 2 ) 的解在k 上是存在唯一的 1 1 用缸 代替( 1 1 2 ) 中的a ，再把( 1 5 ) 代入( 1 1 2 ) ，得 m mm n h ( m ，n j ) 邵j = b ( f , n j ) 卢j ， i = ij = 1 i = 1 类似于( 1 6 ) ，有 a a 7 = b ， ( 1 1 4 ) 其中，b = 帆，厶，m ) t 称为荷载向量， = b ( f ，批) 0 = 1 ，2 ，m ) 这样，求解离 散变分问题( 1 1 2 ) 最终也成为求解线