（基础数学专业论文）混合态可分的必要条件.pdf

摘要 本文主要研究h i l b e r t 空问7 - 1 = h 1o 赶2 上的密度态空间v ( n ) 的子空间： 混合态空间 口( “) = 4 ：a = 亍l t g z ( n ) ，t r ( a ) = 1 ，r a n k ( a ) = ) ， 1 ) ， 文中给出了其上元素可分的一个必要条件，即 设a 口) ( 1 ) ，则a 是可分的必要条件是在a 的特征向量张成的州 中的子空问中至少有k 个线性无关的可分的元素 这个结论是下面命题的直接推论 对于a s ( 爿1o “2 ) ，存在爿上的一组标准正交基e l ，e 2 e 。使得 a = a l e l 砖+ a 2 e 2 砖+ + a k e 碡 且笔l = l ，a 。 0 是a 的特征值，i = 1 ，2 ，矗由于a 是可分的，存 在，j = q ob ，a j h 1 ，如h 2 使得a = t l 万。+ 2 如7 + + t , h 万，且 ；1 t i = 1 ，t j 0 ，j = 1 ，2 ，2 ，其中 ，矗，f 中极大线性无关组不妨设为 ，l ，2 ，8 则k = 8 且e l ，e 2 8 k 与 ，2 ，厶可以相互线性表出 关键词：混合态，可分态，密度态，h i l b e r t 空间， 摘要 a b s t r a c t 2 i n t h i se s s a yw em a i n l yc o n s i d e rt h es u b s e to ft h es p a c e 口f 州1o ft h ed e n s i t y s t a t e so nt h eh i l b e r ts p a c e7 - = h 1 7 - 1 2 ，i e t h es p a c eo fm i x e ds t a t e s ： 口( 州) = 1 ) an e c e s s a r yc o n d i t i o ni sg i v e nf o rt h es e p a r a b l es t a t e si nt h es p a g eo fm i x e ds t a t e s i nt h ef o l l o w i n gc o r o l l a r y ： i fa 口。( h ) ( 1 ) i sas e p a r a b l es t a t e ，t h e nt h es u b s p a c eo fm g e n e r a t e d b yt h ee i g e n v e c t o r so fac o n t a i n sa tl e a s tks e p a r a b l ev e c t o r s t h ea b o v er e s u l ti sac o r o l l a r yo ft h ef o l l o w i n gp r o p o s i t i o n ： f o ra s ( h 1 爿2 ) ，t h e r ee x i s t sa no r t h o n o r m a lb a s i se 1 ，e 2 e nf o rm ，s u c h t h a t a a l e l 百；+ a 2 e 2 虿；+ - + a k e k 百2 ， 墨1 凡= 1 ，a n d 九 0 ，i = 1 ，2 ，ka r et h ee i g e n v m u e so fa s i n c ea i sa s e p a r a b l es t a t e ，t h e r ea r e 办= a jo 吩，q 凡1 ，b 州2 ，j = 1 ，2 ，l ，s u c ht h a t a = t 1 7 _ + t 2 ，2 万+ - + 亡l 五7 7 ，a n d ；1 白= 1 ，t ， 0 ，w h e r e ，2 ，si s t h em a x i m u mi n d e p e n d e n ts e to fh ，j 2 ，if it h e nk = sa n du pt oa l lo r d e r i n g e l ，8 2 e ka n d ，2 ，- ，五c a r lb el i n e a r l yr e p r e s e n t e db ye a c ho t h e r k e yw o r d s ：m i x e ds t a t e s ，s e p a r a b l es t a t e s ，d e n s i t ys t a t e s ，h i l b e r ts p a c e 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：1 每液 日期：晦4 月拥 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学 位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：訇凌 日期：o | 6 年乒月鹚 序言 h 是n 维h i l b e r t 空间，其上有h e r m i t e 内积。并且“可以分解成两个h i l b e r t 空间爿1 ，州2 的张量积7 - 1 = 甜 h 2 ，d ( h ) 是h 上的密度态空间 口( h ) = a ：a = t t ，t ( h ) ，t r ( a ) = l ， d ( m ) 是口) 中秩为k 的元素的集合。当k = 1 时是纯态的集台；当k l 时是 混合态的集合 u ( n ) ，u ( n 1 ) 与u ( u 1 ) 分别是h ，爿1 和h 2 上的酉群矿( h ) ，“( h 1 ) ，“+ ( 爿2 ) 分别是其上李代数u ( 丸) ，u 1 ) ，u ( m 1 ) 的对偶，也分别是h ，州1 和h 2 上h e r m i t i a n 算子的集合 由张量积映射 o ：h 1 h 2 h = 7 - 1 1 7 - 2 诱导出s e g r e 嵌入： s e g ：u + ( 咒1 ) 乱+ ( “2 ) _ 钍+ ( 爿) d ( “) ，9 ( n 1 ) ，口( h 2 ) 分别是u ( 爿) ，矿( 咒1 ) ，( 爿2 ) 的子集而凸包c a n v ( s e g ( 口( ? 1 1 ) 口( 爿2 ) ) ) 中的密度态是可分的 本文的主要结果是： 定理2 6 若a z 妒( h ) ( k 1 ) ，则a 是可分的必要条件是在a 的特征向量张 成的h 中的子空间中至少有k 个线性无关的可分的元素 它给出了混合态可分的一个必要条件，而找到一个判断混合态是否可分的充分 条件却是相当困难的 1预备知识 m 是一个n 维h i l b e r t 空间， ( z ，”) h 是其上的h e r m i t e 内积，满足 ( 1 ) 关于y 复线性； ( 2 ) 关于z 共轭线性 7 - t a 是h 的实化空间，则咒r 可以看成是一个k h l e r 流形r 、，9 ， ) ，复结构j 就是复向量空间h 的典型复结构，黎曼度量g 和辛形式w 分别是h e r m i t e 内积 ( z ，g ) 咒的实部和虚部 u ( 咒) 是作用在w 上的保持h e r m i t e 内积的酉变换构成的酉群设“+ ) 是 实李代数“( h ) 的对偶，任意a ，bei t * ( 冗) ，定义 a ，b 】= m ，b i 一，其中【a b 】一= a b b a ，则矿( h ) 配有运算 a ，b 1 后也构成一个李代数并且t t * ) 上有标准 的内积( j 4 ，b ) 。= ；t r a b 在州上固定一组标准正交基e 1 ，e 2 ，e t l 后，我们可以将爿上的h e r m i t e 内 积( z ，) 州看成是e “上的标准的h e r m i t e 内积 ( 。，6 ) 伊= _ 6 k ； k = l 并且将酉群u ) 看成u ( n ) ，u ( h ) 的李代数u ) 看成“( n ) ，“+ ) 看成i t * ( n ) “+ ( n ) 是n n 的h e r m i t e 矩阵的集合，可以看成为一个舻维的实流形， u + ( n ) 刍( a i j ) 一( ( n “) ? ，( a i j ) i 勺) c 掣 设 p ( n ) = a t t = ( n ) ：a = 亍t ，t g z ( n ) ) + p ( n ) = ae p ( n ) ：r a n k ( a ) = 七) ， p ，( 礼) = a =( 吼，) 易：lp ( 钆) ： r a n k ( a ) = k ，d e t ( o ，。) ，。j 0 ， 。，= i ，i k ) c l ，n 地 命题1 1 设a = ( o 。) 乙：1ep ( n ) ，满足( 。) 。j 有逆( 0 7 5 ) 。卧那么矩阵a 可由 ( o ) ，j 工i = l ，n 通过下面的公式唯一决定： = 。柚”写 一一一照一塑鱼塑塑3 证明：参见文献 1 】l 豫群u ( n ) 在州上的作甩燧喻密顿的，并鼹诱导了一个动量映射： p ：样一妒f n ) z 一| x ) ( i - 若纛赶上弓l 入轹壤瑟交基襄，设嚣= ( l ，。) 。，受 z 茹| 出( 瓦丽，瓦) ， 耩戳，蠢弘( 。罐。) 一p ( g ) 设p ( h ) = a ：a = 尹正t 鲥( h ) ) ，则p ( n ) 可以嵌入到矿( h ) 中去 n 维h i t b e r t 空间7 - 上的密度态的集合口州) = a p 讲) ：t r ( a ) 一1 是 矿泓) 孛翡一争凸子集，是一个鑫然鳇滚形屡织褰阕，其中懿分屡是鑫密度i 蒸懿羲 诱导的，因此，秩为k 的密度态嶷问d ( 咒) 是一个实维数为2 n k k 2 一l 的光滑 流形，即有如下命蹶 命蘧1 , 2 莰为k 秘密度惑垒阖p 濞) ，k 一1 ，n ) 戆护f 竭孛实续数鸯 2 n k 一驴一1 的光滑连通子流形切空间死伊州) 由t i e r m i t e 算子t 组成。其中 ? 满足t r ( t ) = 0 ，鼠对所有2 ，y k e r ( a ) ，有( t x ，y ) = 0 证氍；参觅文献f 1 1 愆义1 3 集合口1 何) = a 口m ) ：r a n k ( a ) = 1 ) 的_ 元素称为纯卷，集合 口( “) d 1 暇) 的元素称为混合态其中，口( “) 一 a 口( 刊) ：r a n ( a ) ：，k l 孵元素馥鸯秩淹是的涅含悫。 税笼中定义等价关系： 一仁寺存在0 r ，使得z ：e t o 剪并 且把茹所在的等价类记作h 则有芦( ) 一“( ) 设s h 怒州中的单位球 s 预备知识 4 s n = z 丸：l l z i | 2 = 1 ) ，易知，肚( 岛t ) = 口1 ( “) = i z ) ( z i ：i i z 2 = 1 ) ，所以， 有c p ”1 型s _ h 一兰口1 ( “) 即通过动量映射p ，纯态口1 ) 可以与复射影空间 c p 一1 看成一致同时由文献1 1 知，通过动量映射p ，我们还可以将“上的k a h l e r 结构搬到口1 ) 上去，所以_ d 1 ) 也是一个k a h l e r 流形 命题1 4 口( h ) 的极点集恰是纯态的集合口( 咒) 由命题1 4 知，d 忧) 中任一元素都是口1 ) 中元素的凸组合， 下面来看复合系统和分离性。 设h i | b e r t 空问m = 州1o 爿2 ，其中d i m t l l = n l ，d i m ? - ( 2 = n 2 ，显然d i m t l = 定义1 5 由张量积映射 o ：m 1 h 2 一h = h 1 。h 2 诱导复射影空间上的标准嵌入 s e g ：p 爿1 p m 2 _ p h = p ( h 1 圆h 2 )( 1 ) ( i 。1 ) ( z 1 i ，l z 2 ) ( z 2 1 ) 一l x lo x 2 ) ( z 1oz 2 i 其中p 钾1 竺口1 ( m 1 ) ，p 彬兰d 1 ( 州2 ) ，p h 竺口1 ( 咒) ，这个将复射影空间的积嵌入 的张量积的复射影空间的映射，叫做s e g r e 嵌人；像集s e g ( p “1 p h 2 ) 的元素 称为分离纯态 u ( 州1 ) 与c ，( h 2 ) 分别是h 1 和咒2 上的酉群对于任意x 1 z 2 ，y l 0 9 2 h 1 固州2 ， p 1 u ( h 1 ) ，p 2 u ( 州2 ) 有 u ( “1 ) u ( h 2 ) _ + 矿( 爿) = u ( “1o 州2 ) ( p 1 ，p 2 ) ”p 1 p 2 ， 其中p 1 圆矿( z 1o 。2 ) = p 1 ( z 1 ) 固p 2 ( 。2 ) 由州上的h e r m i t i a n 内积与爿1 爿2 上的 i 预备知识 h e r m i t i a n 内积的关系 = h 1 爿2 5 可证出p 1 圆p 2 是酉的 在有一定记号的混淆下，我们记这个群嵌入为： s e g ：u ( 州1 ) u ( m 2 ) _ u ( h ) ， 这样就引出了在其李代数上的相应的嵌入： s e g ：钮( m 1 ) u ( “2 ) _ t 上( h ) 以及对偶上的相应嵌入： s e g ：“4 ( m 1 ) + ( 秆2 ) 一“。( 州)( 2 ) 显然( 1 ) 式的s e g r e 嵌入是( 2 ) 式的s e g r e 嵌入限制在纯态上得到的 定理1 6 ( 2 ) 式的嵌入将吵1 ) p f ( h 2 ) 映入p “( h 1 固7 4 2 ) ，并将砂1 ) 口( 咒2 ) 映入口h 1 固7 - 1 2 ) ， 证明：参见文献 1 1 将象集s e g ( 9 。( 州1 ) 口( 7 _ ( 2 ) ) 记为s 。t 2 1 0 爿2 ) ；将分离纯态的集合s ( “1 咒2 ) 简记为s 1 ( “1o h 2 ) 定义1 7 象集s e 9 ( d m l ) x 口( 何2 ) ) 的凸包c o n v ( s e g ( 7 ) ( 咒1 ) z ) ( 7 t 2 ) ) ) 记 为s ( u 1 7 - 2 ) ，其中的元素称为分离态( s e p a r a t es t a t e s ) ；而集合5 1o , h 2 ) = v ( n 1 圆? - 1 2 ) s ( n 1 固7 - 1 2 ) 中的态不能分离，称为纠缠态( e n t a n g l e ds t a t e s l 定理1 8 分离态的集合s ( n 1 圆h 2 ) 是分离纯态的集合s 1 ( m 1 h 2 ) 的凸包， 并且s l m l 固h 2 ) 恰恰是5 ( h 1 圆爿2 ) 极点的集合 证明：参见文献1 1 。 引理2 1 设z = 2 主要结果 z l lz 1 2 z 2 1z 2 2 2 l n n 是m n 矩阵( m 0 ，i = l ，2 ，f 证明，由定理1 8 可知，s 1 ( m 1o h 2 ) = s e g ( 7 ) 1 ( 州1 ) d 1 ( 咒2 ) 是s ( h 1o 咒2 ) 极点的集合，因此存在，l 万s 1 饥1 爿2 ) ，i = l ，2 ，l 满足条件 引理2 4 对于任意a d ) ，都有h 中的一组标准正交基e l ，e 2 使得 a = a l e l 苟+ a 2 e 2 鹂+ + a k e k 砘 其中笔1a 。= 1 ，a ； 0 是a 的特征值，i ：1 ，2 证明：分别取特征值 ；的单位特征向量岛，i = 1 ，2 ，k ，并扩充为w 上的标 准正交基e l ，e 2 ，e 。，则u = ( e l ，e 2 e n ) 是酉矩阵，因此 一圭墨堕墨8 a 一( 8 l ，e 2 、，) 0 = a l l 麓+ a 2 钮秀十a 女e 女 0 苟 迸 命题2 5 对于a s 1 0 “2 ) ，存在丸上的一组标准正交撼e l ，e 2 e 。使得 a = l 芒l 藉；+ 五2 e 2 秀+ + a 敏莲 且l 凡= 1 ，气 0 是a 的特征值， = l ，2 ，女；由于a 是可分的，存 在以一吩 吩，哟h 1 ，如“2 使得a = l 万+ 屯五万十+ 赴五万+ 且 骂：l 知= 1 ，每 0 ，j = 1 ，2 ，l ，其中矗，盎，五串较大努l 瞧无关玺不妨设为 ， ，正证明， k = s 且e l ，8 2 e k 与 矗，正可以栩瓦线性表出 诳明；首先证明k = s ， 记矗2 尊l ，盎2 乳，支= 野，势将魏，函，热扩充纛珏上静一缀基魏，瓤，蟊 函+ 1 蜘，则设 ( e l ，。2 ) = ( g l ，9 2 ，- ，蛳) 廖一( 9 1 ，口2 ，。，鼽) b i l6 1 2t b l 6 2 16 2 2 ， 如 k l t - k 女 一塑圭垦堕墨9 ( ，2 ) = ( g l ，9 2 ，一，如) g ( 9 1 ，9 2 ，g 。) 显然：r a n k ( b ) = k ，r a n k ( c ) = s 记a + t 5 + i c l 。+ 1 c 1 。+ 1 + ，1 l o s + l c 2 l e l l + u s = l 0 c 1 s + 1c 1 s + 2 0 c 2 s + 1c + 2 c s s + 1 0 o c s 。+ 2 o 0 00 000 0 + t t c l l 西 十f c 2 f 百“ t ，+ l c l l 嚣“1 + - + 如o l l 磊f t 。+ 1 c 2 s + 1 蟊卧1 + - + 如c 2 j 己z t s + l c 8 日+ 1 c 1 s + l + + t t c s t s u - 一t s + t s + l c s s + l 瓦s + l + + t l 。“矗f q 国 o l l 0 岛 o o 0 o 0 0 0 o 如 一l ! 。圭墨堕墨l o 一方面： 蠢= l e i 麓+ a 2 e 2 秀+ * t + a k e 女砭 a l ( g l ，9 2 ，t - ，乳) + a k ( g l ，砌，如) = g l ，9 2 ，热) k ， b l l6 1 2 l 如2 k lk 2 ( k ，酝，b ) l 或l + ( 6 - * ，k ，k ) 晰1 。m，擘2，孙，ba分f霎1 岔 蘸 瑗菇 鼓 m ； 凇 渺 蟊曩； 爵 ，fiji1。l-。-|iiill。|ffi i 2 ，珥 “ 秘珏 l 2 * 一6 h 6 一 一“ 2主要结果 另一方面 a = t 1 育+ t 2 ，2 五+ + t 。 i + t s + l + 1 爵+ + t t ，1 7 7 t l g l 抒+ t 2 9 2 五。+ t + t 。乳五 + l ( 9 l ，啦 + t f ( g l ，9 2 = ( g l ，虫 0 0 c s s + l 0 0 【o l s + 1 】如s + l ( i “，如f j 一，磊f ，0 啦) = ( g l ，9 2 ，一，如) g 雪i 菇 菇 互 酏 科 爵 雪i 磊 + 1 1 一l 一童矍婪墨 1 2 而 = ( g l ，乳，t ，乳) g t 刁。 其中 根据上简的证明可以 b 氏b c f 0 b a 富：c r - c 1f 溉 儿 瓶h 瓶 压 瓶， 、l，；， 硪鲑! 鼓到 得 b 、；，；j c 瓜、 镢t ， 厩 一2 压 m 厢 r|f1、一m 洒 ，i，l。 l，l，ii； 再而 压 邓 压 猡 ，。，。，。*，|1嘶 a l ! 妻矍堡墨1 3 由推论22 以及a 1 ，霸非退化可得 = r a n k ( b ) = r a n k ( b a l ；= r a n k ( b a l 孺丽) - r a n k ( b a - b 6 夸嚣雀每= = 篡, g 。2 z i 棚 口a 拶一e z 学。= f ：。0 ) b 懑 或一。 所以t ( 支兰蓉? 。) 一( 詈：) 显然d - - 仇t = 戗，d 瑷一m ：0 瞧予r 8 # 女( g 一女又援据攫论2 2 ：r s 蠢g 一，t 鳓k ( d ) 琴褥：d 女 邋豫， 玩 ， t；|， 晚 艮 ，il，l， | l 越 藓；卜； 磁 腓，” 九二 瑗万 蕊 圾c ；，。甏 、 = 、瑗万 瓿 艮 仇 艮 ，ff，i | j f i l ! 塞矍竺里1 4 继而鼠非退化由d 非退化且d - - u 。tk = 0 可知百：一k = 0 ，因此b 。一k ：0 。，岛，一，氏，=治，船，、，酝，(：)=t轰，盎，t，矗，最， ( ， ，一， ) = ( e t ，e 。，一，e * ) 壤 邵， ，最，蠡霹掰l ，句，线缝表离。 定理2 6 设a 伊( 嘲，则a 是可分的必要条件是在a 的特征向量张成的h 中的子空间中至少有k 个线性无关的可分的元素 羲骥：建伊僻) ，存在鞋上弱一錾葫；撞燕交萋l ，包# 。获褥 a = a l e l 葶i 十a 2 e 2 秀q - 十a 砭 置兰l 气= l ，是o 是a 弱黪纭餐， = i ，2 ，奄，e i ，2 。是a 静褥缓是 量；义由于a 是可分的，存在矗一 岛，码h ，q m = 使得 a = t ，l 万+ t 2 是7 + + 奄，f 万， 且毯。l 21 ， 0 ，= l ，2 ，? ，其中 ，矗，五中极天线性无关缎不妨设 为 ，如，t 正由命题2 5 可知一s ，且e ，。 与 ，如，正可以相甄线 性裘趱+ 这就说明a 蛇特征良量8 l ，如赣张戚懿篾中酶子空阅中至少有k 个线 缝无美游可分的元素 ，南， 命蹶2 6 绘出混仑态a 可分的必要条件，但摄判断一一个混合悫是否可分。也靴 是给毽混会态琴分翡突分条 孛帮楚一个嚣难翡麓鞭。当奠秽2 ( 嘲嚣雩，羯断滋含 态是否可分的充分条件已经