（应用数学专业论文）几乎弱θ空间和基亚紧空间.pdf

摘要 几乎弱否空间和基亚紧空间 作者简介：邓小彬，男，1 9 6 7 年7 月出生，2 0 0 4 年9 月师从于成都理 工大学曹金文教授、魏贵民教授，于2 0 0 7 年6 月获硕士学位。 摘要 本文用覆盖和映射的方法对几乎弱目加细空间、基亚紧空间和超 仿紧空间进行初步的研究，得出如下结论： 1 、空间x 是几乎弱口加细空间当且仅当x 是几乎离散弱0 可膨胀 的，并且x 的每个开覆盖彩= u 。：t 2 e a ) ，都存在x 的稠密子集d 和彩 的开加细= u 露，使得x d ，存在胛彩和口a ，有x ，并且 s t ( x ，够乇) 至u 口；。 2 、如果x = 1 c 。x 。是h 一仿紧空间，则x 是几乎弱口加细空间当 且仅当v f 【a 】“，兀。x 。是几乎弱o # n 细空间。 3 、如果x = 兀。，x 。是可数仿紧空f n j ，则下列各条等价： ( 1 ) x 是几乎弱臼加细的； ( 2 ) v f 【c o ”，兀。x 。是几乎弱o n 细的； ( 3 ) v n ，。x ，是几乎弱0 加细的； 4 、f ：x - - , 4 y 是一个完备映射，y 是基亚紧的，则x 是基亚紧的。 5 、空间x 是基亚紧的当且仅当存在x 的一个基掰，有使得x 的每 个定向开覆盖彩有一个点有限加细留7 ，且留c 留。 6 、得到了遗传超仿紧空间的一组等价刻画，然后，利用这组等价 刻画获得了这类空间的一个t y c h o n o f f 乘积定理。 关键词：几乎弱百加细空间；基亚紧空间；超仿紧空间；t y c h o n o f f 乘 积 成都理t 大学硕十学位论文 n e a r l yw e a k 万r e f i n a b l es p a c e sa n d b a s em e t a c o m p a c ts p a c e s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，t h e c o v e r i n ga n dm a p p i n g m e t h o d sa r ea p p l i e dt om a k e p r e l i m i n a r yr e s e a r c ho ft h en e a r l yw e a k 0r e f m a b l es p a c e 、b a s e - m e t a c o m p a c t 、 h e r e d i t a r i l yh y p e r p a r a c o m p a c ts p a c e s ，a n dw eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： ( 1 ) as p a c e x i sn e a r l yw e a k0r e f i n a b l es p a c ei f f 工i sn e a r l yd i s c r e t e l yw e a k 0r e f i n a b l ee x p a n d a b l ea n df o re v e r yo p e nc o v e r 铝= u 。：口a ) o f x ，t h e nt h e r e i sa d e n s es e td c xa n d a = u 。群o f o p e n r e f i n e m e n t so f us u c h t h a t f o r e a c hx dt h e r e a r e 聆a n d 口a w i t hz u 。a n ds t ( x ，眵二) c u 口。u ，； ( 2 ) l e tx = 兀mx 。b ei | - p a r a c o m p a c t ，t h e ni t i sw e a k 0r e f i n a b l es p a c e i f 兀。fx 。i sw e a k0r e f i n a b l es p a c ef o re v e r yf c o l 。； ( 3 ) f o rc o u n t a b l ep a r a c o m p a c ex = n 。x 。，t h ef o l l o w i n g sa r ee q u i v a l e n t ：x i sw e a k0r e f i n a b l e ；v f 【c o “，兀wx 。i sn e a r l yw e a k0 r e f i n a b l e ；v n ， 兀mx ，i sw e a k 0r e f m a b l es p a c e ； ( 4 ) l e tf ：x 辛yb ep e r f e c tm a p p i n g ，i fy i sb a s e m e t a p a r a c o m p a c e ，t h e n xi sb a s e m e t a p a r a c o m p a c e ； ( 5 ) as p a c exi sb a s e m e t a c o m p a c ti fa n do n l yi ft h e r ei sb a s e 留o fx ，丽t h l 历l = ( x ) ，s u c ht h a te v e r yd i r e c t e do p e nc o v e ro fx h a sap o i n t f i n i t er e f i n e m e n t b a s e 厨。，留c 留s u c h t h a tx i n t ( s t ( x ，留) ) f o r a n y x x ； ( 6 ) o b t a i n ag r o u po f e q u i v a l e n t c h a r a c t e r i z a t i o n s o f h e r e d i t a r i l y h y p e r p a r a c o m p a c ts p a c e s ，w eo b t a i nat y c h o n o f fp r o d u c tt h e o r e m sb yt h eo n eo f c h a r a c t e r i z a t i o n s k e y w o r d s ：n e a r l yw e a k0r e f m a b l es p a c e ；b a s e m e t a c o m p a c t ；h e r e d i t a r i l y h y p e r p a r a c o m p a c ts p a c e s ；t y c h o n o f f p r o d u c t i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本入在导师指导下进行的研究工作及驳得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛整理王_ 大堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 ，l 学位论文作者导师签名：桷 学位论文作者签名 唧d 、弼 、 州年f 日c 3r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛壑堡王盍堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向围家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛叠堡至盔堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 。呻年，月，乎 同 第1 章引言 第1 章引言 1 1 国内外研究现状 度量空白j 和紧空间是两类应用很广的基本空间，仿紧空间则是它们两者的和 谐推广。无论从理论或应用的角度而言，仿紧空自j 都是拓扑学的一个基本而重要 的组成部分。它在几何拓扑，流形和泛函等数学分支中有重要的应用。仿紧空间 理论在其自身发展的同时，深刻地影响并有力地推动着数学的发展。经过几十年 地研究，对仿紧空间及很多广义空间都有了许多重要的成果。 1 9 9 9 年e g r a b n e r 等在( n e a r l ym e t a c o m p a c ts p a c e 中定义了几乎亚紧 ( 亚l i n d e l o f ) ，空间给出了它的一个刻画，得到了几乎亚紧空间是紧空间地两 个充分条件。同时他们又提出了四个问题，引起了大家对诸如“几乎一”空间的 研究，山东大学博士许玉铭进而给出了几乎次亚紧空间的定义。我的导师曹金文 老师先后对几乎仿紧空间，几乎次亚紧空间进行了研究，得出了类似的刻画，并 对这些空间的乘积性做了较全面的研究。 2 0 0 3 年，国际著名的数学家j o h nj o h ne p o r t e r 在国际著名数学杂志 t o p o l o g y a n d i t sa p p l i c a t i o n s 2 0 0 3 年第1 2 8 期上发表了论文 b a s e p a r a c o m p a c ts p a c e s ( 基仿紧空间) 。在此文献中首先提出了比仿紧空 间结构更复杂更为重要的“基仿紧空间”的概念，同时对其性质进行了初步地研 究，并且提出了关于“基仿紧空间”的四个开问题； q u e s t i o n1 ： a r ep a r a c o m p a c tg o s p a c e sb a s e p a r a c o m p a c t ? q u e s t i o n2 ： a r es t r a t i f i a b l es p a c e sb a s e p a r a c o m p a c t ? q u e s t i o n3 ： a r ep r o t o m e t r i z a b l es p a c e sb a s e p a r a c o m p a c t ? q u e s t i o n4 ： a r ec o n n e c t e dp a r a c o m p a c ts p a c e sb a s e p a r a c o m p a c t ? 1 2 选题依据 本论文的题目为几乎弱0 空间和基亚紧空间。到目前为止，拓扑学已经 对一些基本空间得到了许多漂亮的等价刻画，并且对这些空间的性质( 如乘积性 等) 都有了很好的研究。1 9 9 9 年e g r a b n e r 等人首先引入了几乎亚紧空间的概 念，并得出了相应的刻画，对几乎亚紧空间的相应的性质进行了较全面的研究。 成都理l ：人学硕十学位论文 在2 0 0 3 年，国际著名的数学家j o h ne p o r t e r 在国际著名数学杂志 t o p o l o g ya n d i t sa p p l i c a t i o n s 2 0 0 3 年第1 2 8 期上发表了论文b a s e p a r a c o m p a c ts p a c e s ( 基仿紧空间) 。在此文献中首先提出了比仿紧空间结构更复杂更为重要的“基 仿紧空间”的概念，同时对其性质进行了初步的研究，并且提出了关于“基仿紧 空间”的四个开问题；从此引起了对“几乎一基一”俩类空间的的探索和研 究。本论文试图对“几乎弱p 空日j ”，“基亚紧空间”进行研究。 1 3 本论文的主要结论 本论文对几乎弱口加细空间，基亚紧空间和超仿紧空间的研究，得出结论： l 、( 1 ) 空间x 是几乎弱口加细空自j 当且仅当x 是几乎离散弱口可膨胀的，并 且x 的每个开覆盖彩= u u ：口人) ，都存在x 的稠密子集d 和彩的开加细 = u ，使得x d ，存在n e 国和口a ，有x ，并且 s t ( x ，) u 口；。 2 、如果x = 兀。e a x 。是| 人| 一仿紧空间，则x 是几乎弱口加细空间当且仅当 v f 【a 】”，兀。f x 。是几乎弱p 加细空间 3 、如果x = 兀。x ，是可数仿紧空间，则下列各条等价： ( 1 ) x 是几乎弱p 加细的； ( 2 ) v f 【】“，n 。x ，是几乎弱口加细的； ( 3 ) v n 缈，兀。x ，是几乎弱口加细的 4 、f ：x j y 是一个完备映射，y 是基亚紧的，则x 是基亚紧的。 5 、空间x 是基亚紧的当且仅当存在x 的一个基b ，有使得x 的每个定向开覆 盖彩有一个点有限加细留，且历c 劈。 6 、得到了遗传超仿紧空间的一组等价刻画，然后，利用这组等价刻画获得 了这类空间的一个t y c h o n o f f 乘积定理 2 第2 章预备知识 第2 章预备知识 2 1集合的基数与序数 集x ，y 称为等势，如果存在由艇0 j ，上的一一对应映射。对每一集x 给以一 个基数l 彳i ，使i x l - i y i 当且仅当x ，l r 是等势的。有限集的基数定义为这集的元素 个数，称为有限基数，相反情况称为无限基数。所有自然数所成集的基数记 作k 。，即i 1 = k 。：所有实数所组成集r 的基数记作c ，即i r i = c 。一个集是可 数的，当且仅当它是有限集或具有基数k 。 关于基数的和与积规定如下：两个基数耽疗的和m + n 规定为集x u y 的基 数，这里阻i = 埘，m = 珂且x n y = 巾。m ，r l 的积舢规定为集x x y 的基数，这 里l x j = 坍，i y i - 甩。对每一个m ，2 “规定为集x 的一切子集所成集族的基数，可 以证明2 = c 。更一般地规定栉”为所有肖到y 内的映射所成集的基数，这里 i x i _ i n ，i y i = 丌。可以证明： 卅i + ”2 = 拧8 i 拧”2 ，加1 栉，) 4 = 群拜，( 疗”。) 啦= n m z m 2 关于两个基数大小规定如下：设m ，疗是两个基数，i x l = 所，l y i = 以，规定 m n ( 或，l 坍) ，如果存在由艇0 ，内的单映射。由c a n t o r b e r n s t e i n 定理： 所n 及一研jm = 珂。k 。是最小的无限基数，两个基数，如果至少有一个是 无限基数，则它们的和或积等于其中非较小的一个( 在积的情况这两个基数都异 于零) ，特别有挪+ 掰= 历搠= 辨，掰k 。 如果m n 且肌胛，则规定小 n ( m d 于行) 。可以证明，对每一个基数m ， 有m 2 ”，特别有k 。 c ，最小的不可数基数记作k 。 2 2 拓扑空间和映射 定义2 2 。1 设有集x ，设夕是x 的子集所成的集族满足： ( i ) m 彳x z ( i i ) 如u i 。顶f = 1 , 2 ，胛) ，贝0 n 2 1u ，历 ( i i i ) 如u ，e 。歹( y f ) ，贝u u u ，：t f ： 这里指标集r 是无限集，则称( x ，。刃是拓扑空间。矿是这空间的拓扑，矿的元素 称为开集。在没有必要指出x 上的拓扑矿时，通常简单地用z 表示拓扑空间。 定义2 2 2 设空间x 是拓扑空间，z x ，如果x 的子集u 包含着某一开 集，这开集包含着点x ，则称u 是x 的邻域；如果u 是开集，则称u 是点x 的开 邻域。 定理2 2 3 设彩( z ) 是点x 的所有邻域所成集族，则满足： 3 成都理j ：人学硕十学何论文 ( n 1 ) x 铌z ( x ) ， ( n 2 ) 女口u 钇“x ) ，贝0 x u ， ( n 3 ) 如u 吧f ( x ) ，v = ) u ，贝0 v t i 留( x ) ， ( n 4 ) 如u ，v 彩( x ) ，贝0 u n v c 2 够( x ) ， ( n 5 ) 如u 彩( 工) ，则存在集矿使j v c u 及对任何x v ，v 彩一) 定理2 2 4 拓扑空间x 中的子集u 是歼集当且仅当u 是它的每一点的邻 域。 设对集z 的每一点x 确定了一个子集族彩( x ) 满足条件( n 1 ) 一( n 5 ) ，我们称 彩( x ) 的元素为点x 的领域，然后利用定理2 5 2 5 定义开集，由( n 1 ) ，( n 4 ) 及 ( n 3 ) ，所定义的开集族满足拓扑空间的定义1 的( i ) ，( i i ) 及( i i i ) ，从而x 形 成拓扑空间。这里是以领域作为原始概念，由此出发定义拓扑空间。 下面我们导向闭集概念。 定义2 2 5 拓扑空间的子集f 称为闭集，如果工一f 是开集。 定理2 2 6 拓扑空间工的所有闭子集f 形成的集族f 满足下列条件： ( f 1 ) m j 彳x j 可 ( f 2 ) 如f 矿( i = 1 2 ，h ) ，则u ：lf 劈 ( f 3 ) 如一j 趸y f ) ，贝0 n e ：y f ) j 这里指标集是无限集。 定理2 2 7 设莎是集j 的子集族满足( f 1 ) 一( f 3 ) ，则矿正好是拓扑空间 ( x ，历中所有闭集形成的集族，这里。庐 x 一凡f 纠。 定义2 2 8 设( x ，历是拓扑空间，x c x ，对x 中每一开集ue z 置 u = u n x ，容易验证这些x 的子集u 所成的集族矿7 满足( i ) 一( i i i ) ，所以 矿7 = u ：u = u n x ，u 坊形成z 上的拓扑，称为关于夕的相对拓扑，拓扑 空间( j ，矿7 ) 称为拓扑空间( x ，。力的子空间。 定理2 2 9 设f c x ，则f 。是子空间x 1 的闭集当且仅当存在x 中的闭集 f 使f = f n z ，从而a c x 关于x 。的闭包j = n x 。 定义2 2 1 0 设有拓扑空间( 置，。彳) ，作直积集x = 兀墨，给x 以如下的 拓扑国野这拓扑澎似集族 一 几：乒，i = 1 2 ， 为开基，容易验证满足( i ) 一( i “) 对于无限拓扑空间情况，可作如下处理。 定义2 2 1 1 设有一拓扑空间 ( x ，巧) 阿，r 是无限集，作直积 x = 兀。x ，设0 是艇峪，咿r ) 上的投影映射。我们要求给x 以使每个投 影只都成为连续映射的最粗拓扑，为此我们给出集族 4 第2 章预备知识 ：w = l - 1 ( ) ，矿，咿r ) 作为x 上拓扑彩r 侑q 次开基，也就是这集族的元素的有限交形成5 绷q 开基，因此 这些开集族： 兀。：矿，且除有限个，外= x ，) 满足( i ) 一( i i i ) ， 容易验证目沙是使投影映射p r ( ，r ) 都连续的x 上的最粗拓扑，这拓扑9 绷为 积拓扑也称为t y c h o n o f f 拓扑。空间( x ，) 称为空间族 ( t ，。巧) 时的积空 间。 定义2 2 1 2 拓扑空间x 中的开集族彩称为这空间的开基，如果每一开集 可以表示为铭中元素的并。开集族寥，称为这空间的次开基，如果彩中元素的有 限交形成这空间的基。 定理2 2 1 3 集族彩是开基当且仅当对每一开集v 及每一点z 矿，存在 u 铝占，使x u c v 。 定理2 2 1 4 彩是拓扑空间x 的开基，则彩满足： ( b 1 ) o 泓 ( b 2 ) 如u l ，u 2 泓及石u ln 【，2 ，则存在以使x u 3c - u in u 2 。 ( b 3 ) u u u 留研= z 相反地，设x 是一集，彩是x 的子集所成集族满足( b 1 ) 一( b 3 ) ，置。矿为彩中集 的并集所形成的集族，则。少满足( i ) 一( i i i ) ，从而j 是拓扑空间以彩为开基。 定义2 2 1 5 设x 是拓扑空间x 中的一点，点x 的邻域所成的集族留( x ) 称 为点x 的邻域基，如果对x 的每一个邻域u ，存在y 劈( 工) ，使x v c u 。 定理2 2 1 6 设留( x ) 是拓扑空间x 中点x 的邻域基，则满足下列条件； ( n b i ) 劈( 工) 中， ( n b 2 ) 如u j 汐( x ) ，贝0 x u ， ( n b 3 ) 如u 历( 工) 及v 留( 石) ，则存在掰( x ) ，使形c u n v ， ( n b 4 ) 如u 历( x ) ，则存在集v 使x 矿c u ，且对每一x v ，存在 w 劈( x ) 满足矿r - v 。 在定义拓扑空间时，可以用邻域基代替整个邻域族。 定理2 2 1 7 设x 是一集，对每一x x 确定一由x 的子集所成的集族历( 工) 满足条件( n b l ) 一( n b 4 ) ，置锁x ) = 阢v c u ，对某些v 历( 工) ，则钡x ) 满 足条件( n 1 ) 一( n 5 ) ，这样x 是拓扑空间以锁x ) 为点x 的邻域族，以毋( x ) 为点石 的邻域基。 定义2 2 1 8a 是拓扑空间x 的子集，所有包含集a 的闭集的交称为集彳的 闭包，也就是包含a 的最小的闭集，记作爿。集一的每一点称为集4 的接触点。 由上述定义可知，拓扑空间z 的子集一是闭集，当且仅当a = a ；子集u 是 开集当且仅当工一u = x u 。 成都理l ：人学硕+ 学伉论文 定理2 2 1 9 满足如下条件： ( c 1 ) 中= 西。 ( c 2 ) a 3 a ， ( c 3 ) 4 u b = a u b ， 一 一 ( c 4 ) a = a 。 ( ( c 1 ) 一( c 4 ) 称为k u r a t o w s k i 闭包公理) 定理2 2 2 0 点x a 当且仅当点x 的每一邻域与相交。 定理2 2 2 1 集u 是点z 的邻域当且仅当x 硭并一u 。 在离散空间x 中，爿的任何子集a 的闭包就是a ，也就是彳= 爿，所以离散空间 的任何子集都是闭集，也同时都是开集。在平凡拓扑空间，任何非空子集a 的 闭包是空间x ，也就是a = x ( a ) ，a = 中( 4 = ) 。 定理2 2 2 2 设j 是一集，对x 的每一子集彳，规定一集a 使其满足 ( c 1 ) 一( c 4 ) ，定义x 的子集u 为开集当且仅当满足条件： x u = x u 则如上定义的开集族满足拓扑空自j 的定义( i ) 一( i i i ) ，从而x 成为拓扑空间。 相对于闭包概念，下面引进内核概念。 定义2 2 2 3 设一是拓扑空间x 的子集，一切包含4 内的开集的并称为集彳 的内核，也就是包含一内的最大的开集，记作a o ( 或i t a ) 。 由上述定理可知，拓扑空间x 的子集a 是开集，当且仅当a o = a 。 设爿是拓扑空间x 的子集，点x 称为集4 的内点，如果4 是点x 的邻域，也 就是存在工的一个开邻域u ( x ) c a ；集4 的一切内点所成集显然是开集，从而就 是集彳的内核。 关于内核与闭包间的关系有下面定理。 定理2 2 2 4 设a 是拓扑空间x 的任一子集，则有a o xxa 。 定理2 2 2 5 内核满足如下条件： ( 1 1 ) x o = z 。 ( 1 2 ) a oca ， ( 1 3 ) ( a n b ) o = a on b o ， ( 1 4 ) ( 4 0 ) o = a o 定理2 2 2 6 设a 是拓扑空间x 的任一子集，则有a = x 一( z 一4 ) o 。 定义2 2 2 7 点j 称为集a 的聚点或极限点，如果x a 一 工 ；集a 的所有 聚点所成集称为集彳的导集，记作4 4 。 定理2 2 2 8 点x 属于4 4 当且仅当点x 的每一邻域包含集a 的异于工的一个 点。 6 第2 章预备知识 定理2 2 2 9 集a a 。的点称为集爿的孤立点，点x 是空间x 的孤立点，当 且仅当 x ) 是一开集。 定理2 2 3 0 导集满足如下条件： ( d 1 ) a = a u a 4 ， ( d 2 ) 如a c b ，则彳。c b 。， ( d 3 ) ( 一u 口) 4 = a 4u b o ， ( d 4 ) u ，。r 爿；亡( l i y e l 彳，) 4 定义2 2 3 1 拓扑空间工的集族红 ：口a ) 称为拓扑空间x 的覆盖，如 果x = u 虬：口a ) ；如果铭中的元素都是开集( 闭集) ，则称为开( 闭) 覆盖； 当指标集么是有限集( 可数集) 时，则称为有限( 可数) 覆盖；如果彩的子集族彩 仍是覆盖，则称彩是彩的子覆盖。 定义2 2 3 2 拓扑空间x 称为紧空间，如果石的每一开覆盖具有有限子覆 盖。 定义2 2 3 3 拓扑空间z 称为局部紧的，如果每一工x 具有一个紧的邻域。 定理2 2 ，3 4 局部紧空问的闭子空间是局部紧空白j 。 定理2 2 3 5l 局部紧空间x 是t y c h o n o f f 空间。 定理2 2 3 6 局部紧空间在连续开映射下的象是局部紧空间。 定义2 2 3 7 拓扑空间称为可数紧空间，如果x 的每一可数开覆盖具有有限 子覆盖。 定理2 2 ，3 8 拓扑空间x 是可数紧空间当且仅当每一具有有限交性质的可 数闭集族的交不空。 定义2 2 3 9 空间j 的覆盖织 u 。) 。月称为局部有限的，如果对每一x x ， 存在x 的邻域u 神使u ，) n 虬o ，仅对有限个盯a 成立；覆盖萨 ) 肚。称为 是覆盖彩= 【，。) 。的加细覆盖，如果彰t p 的每一元素总包含于彩中的某一元素 u 。内 定义2 2 4 0 拓扑空间x 称为仿紧的，如果j 的每一开覆盖具有局部有限的 加细开覆盖。 定义2 2 4 1 设基数k 耋，空间x 是k 一仿紧的，如果它的每个势堇珊的开 覆盖有局部有限开加细。 定理2 2 4 2 仿紧空间的闭子空间是仿紧的。 定理2 2 4 3 设x 是紧空间且l ，是仿紧空间，则x y 是仿紧空间。 定理2 2 4 4 空间工是可数仿紧的当且仅当z 的每个可数上升开覆盖有仃一 局部有限开的强加细。 定理2 2 4 5 对任意空间工，下列各条件等价： 7 成都理l ：人学硕十学位论文 ( i ) x 是女一仿紧的； ( i i ) x 的每个势三缈的定向开覆盖有局部有限开加细； ( i i i ) x 的每个势三国的定向开覆盖有局部有限的收缩； ( i v ) x 的每个势三国的定向开覆盖有局部有限闭加细； ( v ) x 的每个势三国的良序歼覆盖有局部有限开加细； ( v i ) x 的每个势三缈的良序开覆盖有局部有限的收缩； ( v i i ) x 的每个势薹珊的良序开覆盖有盯一局部有限开的强加细； 定理2 2 4 6 对任意空间x ，下列各条件等价： ( i ) x 是仿紧的； ( i i ) x 的每个定向开覆盖有局部有限开加细； ( i i i ) x 的每个定向开覆盖有局部有限的收缩； ( i v ) x 的每个定向开覆盖有局部有限开加细； ( v ) x 是可数仿紧的且x 的每个开覆盖有盯一局部有限开加细； ( v i ) x 的每个良序开覆盖有局部有限开加细； ( v i i ) x 的每个良序开覆盖有局部有限的收缩； ( v i i i ) z 的每个良序开覆盖有盯一局部有限开的强加细。 定义2 2 4 7 拓扑空间石到拓扑空白j l ，内的映射厂称为连续的，如果y 中开 集v 的逆象厂_ 1 ( 矿) 是x 中的开集。 在给出下列定理前，复习一下集在映射厂下的象和逆象的关系： 厂- 1 ( 厂( 彳) ) 3 a ，f ( f - 1 ( 曰) ) c b 。当是满映射时，后式f ( f 1 ( 曰) ) = b 。 定理2 2 4 8 下列论断是等价的： ( i ) 艇0 】，内的映射厂是连续的， ( i i ) y 中闭集，的逆象厂。( f ) 是闭集， ( i i i ) 对每一bc1 i , 厂“( b ) 3 厂- 1 ( b ) ， ( i v ) 对每一a 亡z ，( 彳) c f ( a ) ， ( v ) 对每一x 彤受厂( x ) 的每一邻域y ，存在x 的邻域【，使又u ) c - v 。 定义2 2 4 9 设拓扑空间x 到拓扑空间】，上的连续映射厂是一一对应的， 且逆映射是y 到x 上的连续映射，则称，是同胚映射或拓扑映射。在此情况， 空间z 与空间y 称为同胚的。 在拓扑学中，同胚的空间看作是等同的，没有区别。 定义2 2 5 0 拓扑空间x 到拓扑空问y 内的映射称为闭映射，如果x 中每 一闭集f 的象厂( f ) 是】，中的闭集；称为歼映射，如果z 中每一开集u 的象 f ( u ) 是j r 中的开集。 容易看到厂是同胚映射当且仅当厂是一一对应的连续闭( 开) 映射。 8 第2 章预备知识 定理2 2 5 1 下列论断是等价的： ( i ) 艇y p q 的映射是开映射， ( i i ) 对确每一子集4 ，f ( a o ) c ( ( 彳) ) o ， ( i i i ) 对y 的每一子集b ，厂- 1 ( 曰) cf 。1 ( b ) ， ( i v ) 每一点x x 的开邻域拶的象苁u ) 包含着f ( x ) 的某一开邻域。 定理2 2 5 2 下列论断等价： ( i ) 艇0 】，内的映射是闭映射， ( i i ) 对盖的每一子集a ，f ( a ) 3 f ( a ) 。 下面的定理在论述连续闭映射保持某些拓扑性质时很有用处。注意这里的映 射是“到上”的，也就是满映射。 定理2 2 0 3 设厂是拓扑空间z 到拓扑空间y 上的连续映射，则下列论断等 价： ( i ) 厂是闭映射， ( i i ) 对每一子集ecy 及x 中的开集u3 f - 1 ( e ) ，存在x 中开集v 使 ，_ 1 ( e ) cv 匕u 及v = f - 1 ( ，( 矿) ) ，厂( y ) 是y 中开集。 ( i i i ) 对每一y 场拔中的开集u3 f 1 ( y ) ，存在z 中开集v 使 ，- 1 ( y ) c v c u 及v = ，。1 ( ，( 矿) ) ，厂( 矿) 是y 中开集。 定义2 2 5 4 设 x 寸y ( 1 ) 厂称为有限到一映射，若每一。( ) ，) 是x 的有限子集。 ( 2 ) 称为紧映射，若每一厂“( y ) 是彤的紧子集。 ( 3 ) 称为5 映射，若每一，。( y ) 是彳的可分子集。 ( 4 ) ，称为商映射，若厂1 ) 是x 的开子集，则( ，是y 的开子集。 ( 5 ) 称为伪开映射，若愀的开子集且，- 1 ( y ) c v ，则( y ) 是y 在y 中的邻 域。 ( 6 ) ，称为几乎开映射，若对于y y ，存在x e f 。( y ) 使得如果u 是x 在x 中 的邻域，则厂( 是y 在y 中的邻域。 ( 7 ) 厂称为完备映射，若厂是闭且紧的映射。 易验证 开映射j 几乎开映射 u 有限到一闭映射j 完备映射j 闭映射j 伪开映射j 商映射 定义2 2 5 5 设映射 x 寸y ，则 ( 1 ) 厂称为紧覆盖映射，若】，的任一紧子集是z 中某紧子集在厂下的象。 ( 2 ) 厂称为序列商映射，若 y a 是】，中的收敛序列，那么存在 y 。 的子序列 9 成都理i ：人学硕十学位论文 y 。) 和x 中的收敛序列 x ， 使得每一x l ，。( y 。) 。 ( 3 ) ，称为序列覆盖映射，若 y 。) 是，中的收敛序列，那么存在工中的收敛序 列 x 。 使得每一工。f 。1 ( y 。) 。 ( 4 ) 厂称为伪序列覆盖映射，若y 中的任一( 含极限点的) 收敛序列是x 中菜紧 子集在厂下的象。 ( 5 ) 厂称为子序列覆盖映射，若 y 。 是y 中的收敛序列，那么存在工中的收敛 序列，那么存在z 中的紧子集彤使得，( k ) 是 儿) 的子序列。 ( 6 ) f 称为1 序列覆盖映射，若对于y 瞎瓠f 。( y ) 满足：如果r 中的序 列 y 。 收敛于y ，那么存在x 中收敛于点x 的序列 矗) 使得每一z 。f 1 ( y 。) 。 ( 7 ) ，称为2 序列覆盖映射，若对于y 场b 厂1 ( ，) 满足：如果j ，中的序列 儿 收敛于y ，那么存在工中收敛于点x 的序列 z 。) 使得每一工。f 。( y ) 。 2 3 符号说明 为了统一起见，本文采用了通用的记号和术语。 以且表示直线，9 和，分别表示异的自然数子集，有理数子集和单位区间。 有三种含义。一是尺的子集u o ，二是第一个无限序数，三是最小的无限 基数，它的确切含义在上下文中是不会混淆的。 两个集4 ，b 的并，交及差分别表示为： 4 u b = 工：工4 或x b ， a n b = x ：工爿血b ) ， a 一曰= 膏：x 彳目芒b 。 这里”，”分别表示”属于”，”不属于”。空集用中表示，a n 口= 中表示集a 与集b 不相交；a b ；o 表示ac 7 b ，也就是x a jx b 。符号”j ”表示” 蕴含”。符号”表示”当且仅当”。a c b 时称为a 是口的子集。如果a c b 且 a b 称为a 是b 的真子集，空集是任何集的子集。 以集为元素的集称为集族，或简称为族。集族 爿， 阿，或写作 4 ，：，f ， 这里r 是指标集。由集组成的序列 a 。，a ：，以，) 为集族的特例，这时可表示为 彳。 。，或写作 a 。：n n ，这罩指标集是自然数集，或省去指标集记为 a 。) 或 彳。 二。集族的并，交可表示为u 心a ，。n ，e ra r ；在集的序列情况下则为 u 。a 。( 或u ：la 。) ，n 。a 。( 或n = = ，a 。) 。 对于空间彳，岁和f 均表示z 上的拓扑。对于集和z 的子集族胡x x ， ac 7 _ x ，记 ( 彦f 蚋= p 乡弓x p ， ( 功j 2 p 舅p n a ， l o 第2 章预备知识 泸l 。= p n 彳：p 伊 ， s t ( x ，功= u ( 刃， s t ( “，功= u f p 扔p n a 中 ， 驴”= 亡弱鲵有限的 若矗0 ) 歇中的一列点， 表示盖的子集 x n ：露 ，0 。) 表示笛 卡儿积z 。中的第h 个坐标为x 。的序列。像通常一样， x 。) 表示x 中的第珂项为 x 。的序列。对于j 中有多个下标的序列，如 x 。 ，分别记 x 。) 。和 z 。) 。为固 定肌关于珂和固定行关于m 的序列。若空间x 的序列 工。) 收敛于点x ，记 【】= x ) o x 。：n n 。对于空间x 的子集族泸及映射f ：x 专】，分别记 的c l ( 功= e 1 ( p ) ；p 驴 及轳在的象f ( 刃= 苁p ) ：p 毋。对于积空间 兀。x 。及m n ，以石。：兀。以斗x 。及表示i l ，x 。在第m 个坐标上的 投影映射。 未定义的以文献【1 】蒋继光的 为准。 成都理i ：人学硕+ 学位论文 第3 章主要结论 3 1 几乎弱否加细空间 自1 9 9 9 年e g r a b n e r 等人在文献 4 】中首先引入了几乎亚紧空间的概念，并对 上述空自j 进行了初步研究，目前几乎没有人对这类空间进行更深入地研究本节对 几乎弱口加细空间进行了研究，获得了几乎弱口加细空间的一个等价刻划，并讨 论了一族空间的t y c h o n o f f 积空间的几乎弱口加细性。 本节中所讨论的拓扑空间均为h a u s d o r f f 空间，以下简称空间，并且用( 彩) 。 和( 。1 分别表示集族妙彩：u f l a 和集合4 的开邻域系；特别地，( 彩) ，和 ( ，) 分别表示用心) 和啦 ) ；s t ( a ，彩) = u v 彩：u f 3 a ，特别地， s t ( x ，彩) 表示s f ( 缸k 彩) ；a 表示集合的闭包，h 表示集合a 的基数；c o 表示非负 整数集或最小无限基数；l a r 。= 扩c a ：腥非空有限集 ，栉国， s = 瓴，仇) b r 。，记s o 玎= 瓴，体；行) 本节所涉及的其它有关概念，记 号和表示方法都依照文献【1 】 定义3 1 1集族汐是定向的，如果v s ，s 7 泸，存在t 驴，使得 s u s c t ，设( 人，) 是一个定向集，集族彩= ：a a 是定向上升的，如果 v 口，a ，当口时有c u 口 定义3 1 2 m 设旯是一个基数，并且旯2 ，空间x 称为五一仿紧的，如果x 的每个势五的开覆盖有一个局部有限的开加细 定义3 1 3 空间x 称为是几乎弱口加细空间当且仅当x 的每个开覆盖铭 都存在x 的一个稠密子集d 和彩的开加细劈r = u 劈公，使得v x d ， i ) 声在胛执、有l o r d ( x ，) 缈； i i ) u 形：疗m j 在d 上点有限 定义3 1 4 空间x 称为几乎离散弱口可膨胀的；如果x 的每个离散闭集族 e ：口胛 ，存在x 的稠密子集d 和x 的开集族2 u 鬈，使得 v n 缈，v 口a ，有ec k 。，并且vx d ，存在甩m ，使得 i ) 1 蔓o r d ( x ，) ： i i ) u 形：刀m 在d 上点有限 引理3 1 5 。1设a 是一个基数，空间x 是五一仿紧的，a 是一定向 集，i a l 2 a ，如果 h a ：口a 是x 的一个定向上升覆盖，则存在x 的定向上升 开覆盖 k a ：口a ，使得对口a 有瓦c 日。 引理3 ，1 6 几乎弱口加细空间的闭子空间是几乎弱口加细的 证明：设，是几乎弱口空间的闭子集，且f 是f 的开覆盖，u 孝，j g ( u ) 开 第3 章主要结论 于，使得u = g ( u ) n f ，从而 g ( u ) ：u f u x f 是x 的开覆盖，故存在一 个x 的稠密子集d 和 g ( u ) ：u f u x f 的开加细= u 。，使得 v x d ，存在疗0 ，( 1 ) j o r d ( x ，) ；( 2 ) u ：疗国 在d 上点有限的 令磁= f i r = 伊n 吒。：盯a ，圪。，圪。n f 中 ，则。嬲是f 的开 加细v x d n f ，显然d n f = 万n 尹= z n f = f 即d n f 稠密于f ，故 存在行国，满足： ( 1 ) j o r d ( x ，磁) ； ( 2 ) u 磁：栉国 在d 上点有限 事实上，鬣= n f ，有l n f l = i i ，从而，o r d ( x ，磁) ；并且 v x d n f ，则x d 且工f ，由石d ，x u 对有限个露成立，从而工u 磁 是对有限个甩成立，即 u 磁：n e 珊 在d n f 上点有限 下面是本节的主要结果： 定理3 1 7 空间x 是几乎弱口加细空间当且仅当x 是几乎离散弱0 可膨 胀的，并且x 的每个开覆盖彩= 玑：口a ) ，都存在x 的稠密子集d 和彩的开 加细= u 一，使得了d ，存在行国和口a ，有工，并且 s t ( x ，) u 口；。 证明：( j ) 是显然的下面，我们证明( 乍) 设铝是x 的任一开覆盖，v u 彩，令m ( u ，彩) = x u u 彩：u 【厂 则 ( 1 ) m ( u ，彩) ：u 彩) 是x 中的闭集族，并且对u 彩，当m ( u ，彩) 妒时， 有u u 彩：m ( u ，彩) n u 庐) = u 由此定理中的条件可以合并为下面的条件： ( 术) x 的每个开覆盖，都存在x 的稠密子集d 和彩的开加细 = u ，使得v x d ，存在聆和口人，有x u 。，和 s t ( x ，髟) 亡u 口。u 口，集族 u 铭：s t ( m ( u ，彩) ，) 是有限的，并且 u ：n ) 在d 上点有限 我们把满足上面条件的纩= u 。称为鼋z 的一加细 下面，我们证明x 是几乎弱0 加细的 设彩是x的势为n = a的任一开覆盖，记