（工程力学专业论文）弹体结构热振动特性分析.pdf

西北工业走学硕士学位论支 摘要 本文研究背景是弹体这类典型结构在高速飞行情况下，由于气动加热引起的 高温对结构气动热弹性分析，包括热刚度、热振动问题的研究。重点研究弹体结 构的热振动特性。 在计算气动加热及热振动方面，本论文提出了些解决方法。首先，这篇论 文介绍温度场和热应力场的有限元方法，建立了三维热传导模型计算有温度场产 生的热应力，计算热应力时运用了一种转化思维：将温度处理为“温度载荷”， 这样就能用弹性力学问题的处理方法来求解热应力。其次，将热应力作为结构的 “面内力”，而面内力产生附加的几何剐度矩阵，改变了结构的刚度，影响了结 构的固有频率。这一方法提高了热振动的分析效率；第三，简要的介绍了工程上 计算气动热的估算方法及热流密度计算的简化公式，在不考虑烧蚀以及质量引射 等影响下，本文计算了几种飞行条件下驻点和非驻点区的热流密度分布，作为本 论文算例的气动加热环境。最后，采用a n s y s 程序分析了合金材料、复合材料 的板、弹体结构的热振动特性。在不同的热载条件下，取得以下结论：升温导致 的材料机械性能下降都会降低结构固有频率，而温度梯度产生的热应力可能降低 也可能提高结构的固有频率；金属材料结构的固有频率受温度的影响要比复合材 料结构的固有频率受温度的影响要明显。 关键字：气动加热热流密度温度场热应力热振动 西北工业大学硕士学位论文 英文摘要 a b s t r a c t t h ea e r o t h e r m o e l a s t i ca n a l y s i so fm i s s i l es t r u c t u r ei n c l u d e st h et h e r m a ls t i f f n e s s ， t h e r m a lv i b r a t i o na n dt h e r m a lf l u t t e ra n a l y s i s t h i sd i s s e r t a t i o ne m p h a s i z e so nt h e r m a l v i b r a t i o n a n a l y s i so f t h ea e r i a lv e h i c l eu n d e ra e r o d y n a m i ch e a tc o n d i t i o n i nt h i s p a p e r ，s o m em e t h o d sa r ed e v e l o p e dt o s o l v et h er e l a t i v ep r o b l e m so n t h e r m a lv i b r a t i o no ft h ee l a s t i cs t r u c t u r e f i r s t l y ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di su s e dt o a n a l y z et h et e m p e r a t u r ef i l e da n dt h e r m a ls t r e s s ，a n dd i s c u s st h et h r e e d i m e n s i o n t h e r m a lc o n d u c t i v i t ym o d e t h et e m p e r a t u r ee f f e c tw h i c hh a sb e e nc a l c u l a t e di st a k e n a s t h e r m a ll o a d f o r c e do nt h eb o d y ，t h e ns u c ht h e r m a ls t r e s si ss e t t l e da sg e n e r a l e l a s t i c i t ym e c h a n i c sq u e s t i o n ；s e c o n d l y ，t h et h e r m a ls t r e s si st a k e na s s u r f a c ef o r c e f o r e e do nt h eb o d y ，a n dt h en e w s y s t e ms t i f f n e s si sf o r m e dw h i c hi n c l u d et h ee x t r a s t i f f n e s sm a t r i x ，t h e ni t c h a n g e st h en a t u r ef r e q u e n c yo ft h es t r u c t u r e t h i r d l y ，t h i s d i s s e r t a t i o nb r i e f l yi n t r o d u c e st h ee n g i n e e r i n ge s t i m a t i o nm e t h o do ft h ea e r o d y n a m i c h e a ta n ds u p p l i e st h es i m p l i f i e df o r m u l a s n o tc o n s i d e r i n gt h er e j e c t i o n ，t h ea b l a t i o n a n ds o m eo t h e rf a c t o r s ，t h ea u t h o r c a ! c u l a t e s t h e s t a g n a t i o nh e a t f l u xa n dt h e n o n s t a g n a t i o n f i e l dh e a tf l u xd i s t r i b u t i o no fs o m e f l ys i t u a t i o na st h ee x a m p l e a e r o d y n a m i ch e a te n v i r o n m e n t f i n a l l y , b yu s i n gt h ea n s y sp r o g r a m ，t h et h e r m a l v i b r a t i o nc h a r a c t e r so f t h ep l a t ea n dm i s s i l eb o d ys t r u c t u r e sw i t hd i f f e r e n tm a t e r i a l si s a n a l y z e d t h e c o n c l u s i o n so b t a i n e da sf o l l o w s ：f i r s t l y , t h es t r u c t u r e sf r e ef r e q u e n c yi s d e c r e a s e db yt h er e d u c t i o no ft h em e c h a n i c a l p r o p e r t y o ft h em a t e r i a lw i t ht h e i n c r e a s i n gt e m p e r a t u r e ；s e c o n d l y t h et h e r m a ls t r e s s p r o d u c e db yt h et e m p e r a t u r e g r a d i e n tm a y d e c r e a s eo re n l a r g et h es t r u c t u r e sn a t u r a lf r e q u e n c y ；t h i r d l y , t h ev a r i e t y o fn a t u r a l f r e q u e n c yo ft h ea l l o ys t r u c t u r e se f f e c t e db yt h eh e a te f f e c ta p p a r e n t l y h i g h e rt h a n t h a to ft h ec o m p o s i t em a t e r i a ls t r u c t u r e s k e yw o r d s ：a e r o d y n a m i ch e a t ，t e m p e r a t u r ef i e l d ，t h e r m a ls t r e s s ，t h e r m a lv i b r a t i o n i i 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 热振动研究背景 第一章绪论 本文研究的背景是对复合材料弹体这类系统的典型结构在高速飞行情况下， 由于气动加热引起的高温对这类结构气动热弹性分析( 如热刚度、热振动、热颤 振等问题) ，本文重点研究弹体结构的热振动特性。 在航天飞机、运载火箭、核反应堆体等许多工程领域中，大量的结构部件在 高温下工作。例如，导弹、航天器在高速穿越大气层飞行时，由于气流与飞行器 表面摩擦产生大量热量，使飞行器表面温度可达6 0 0 2 0 0 0 。c 左右 1 - 3 1 ，过高的温 度及温度的变化将导致结构部件内产生不均匀的热应力和热变形等现象，继而导 致飞行器外形，结构强度及结构刚度的改变，直接影响着结构的动态强度，工程 中由于温度导致的结构破坏时有报道。 气动加热在结构内部引起的载荷、应力对飞行器结构静变形与动态特性的影 响早已引起人们的注意，早在5 0 6 0 年代人们即提出来气动加热对气动弹性的影 响问题。当时人4 1 的研究一般停留在传统分析方法( 即不考虑热影响作修正的半 经验方法) 上。但随着飞行速度的不断提高，热气动弹性明显影响到飞行器的配 平特性、操纵特性、颤振特性和飞行器的控制特性。而且，这种影响多半是负面 的，因此，大致在二十世纪六十年代，人们认识到计及热影响是研究高速飞行器 结构气动弹性力学行为前提之一，这类结构的动力学分析与设计中必须计及温度 效应的影响。 1 9 6 3 年，i e g a r r i c k 4 1 正式把计及热效应的气动弹性联系扩大成气动热弹性力 学，并用弹性力、惯性力、空气动力和热力为四个定点的四面体表示气动热弹性 力学的研究范围。但此后很少看见这方面的研究，究其原因，不外乎：( 1 ) 当时 飞行速度不太高，可以从选材和隔热等途径解决气动加热问题；( 2 ) 缺乏梁一肋 一蒙皮复杂组合结构的结构分析方法；( 3 ) 非线性分析技术不够成熟；( 4 ) 计算 机容量小和计算效率低；( 5 ) 缺乏计及热效应和压电效应的应力应变关系。 直到8 0 年代，气动热弹性力学才重新发展起来，并取得了有实用价值的研究 成果。例如参考文献 5 】研究了普通超音速飞机在气动加热作用下的静态、动态气 动弹性特性，参考文献 6 综述了气动热弹性近年的发展盛况。文献 7 给出了围外 某些气动热弹性分析和试验结果，详细的总结和分析了热对气动弹性特性的影响 里些三些查兰竺主兰堡垒墨墨二兰竺丝 趋势，给出了一定的结论。目前气动热弹性力学正与主动控制技术相结合，从而 形成一门新学科，即“气动伺服热弹性力学”。它包含了气动弹性力学、气动热弹 性力学和气动伺服弹性力学，是当前气动弹性力学的最高形式。随着飞行速度的 提高和智能材料的开发，气动伺服弹性力学已经成为国际上的热门研究课题。 利用计及热效应的刚度矩阵进行结构模态分析，并将得到的模态分析结果用 于气动弹性分析和气动伺服弹性分析，则这三种分析就是热振动分析，热弹性分 析和气动伺服热弹性分析。因此，进行气动热弹性分析的关键使准确的预测在气 动热环境下结构热刚度的变化规律，即首先进行结构在气动热环境下热振动的分 析。 1 2 热振动研究现状 温度对结构振动特性的主要影响表现在；一方面降低了结构的材料的弹性模 量，另一方面，在结构内部产生了不均匀的热应力，最终改变了结构刚度特性。 因此，热振动理论研究的基础是热弹性力学。热弹性力学研究弹性体内温度的变 化与对热应力和热应变的影响建立相应的理论模型及分析计算方法。涉及热传 导、弹性力学和计算方法等内容。目前热弹性力学【8 】的理论研究正日趋完善。 在五六十年代，研究者主要结合具体构件较多的研究了温度与热应力关系。 例如梅兰和帕尔库斯的由于定常温度场而产生的热应力和帕尔库斯单独写的 非定常热应力反映了五十年代热应力的研究成果。 七十年代，热应力研究在理论方面更进一步。不少学者从连续体力学理论出 发，即从质量守恒、能量守恒、熵不等式、自由能和构造理论基本定律和理论出 发，建立热传导方程、热弹性材料本构方程、热弹性运动方程及其它基本方程， 并对数值分析方法展开了研究。其中求解结构的温度场分布的主要方法有：差分 法、有限元、有限体积法【9 。1 l 】等，特别是应用有限元法分析结构的温度场与热变形 之间的相互影响成为可能。由于计算机的迅速发展和广泛使用，热应力的数值方 法也得到了迅速发展，取得了质的飞跃。热应力的计算可以用数值方法，特别是 用有限元法进行分析，应用有限元法时须将构件离散成为许多单元，从而使复杂 形状和非均质的构件的、温度场、热变形及热应力等计算成为可能。 伴随着热弹性力学发展的日趋完善，以其为基础的热振动的研究也不断展开。 温度对振动特性( 或颤振等特性) 的影响归根结底是通过对结构刚度的影响来实 现的。因此为了进行热振动分析，首先要解决热刚度的分析问题。加热可从两方 面削弱结构刚度，一是减小材料弹性模量，二是温度梯度产生的内应力导致刚度 2 里! ! 圭些查! 堡主兰竺丝墨墨二兰竺堡 变化。刚度削弱通常会导致结构固有频率下降并改变频率间的差距，从而影响结 构的振动特性和气动特性，因此必须计及温度对刚度的影响。文献 1 2 1 中介绍了一 个将热效应引入到有限元分析中的方法，列出了此法计算热效应堆刚度矩阵影响 的步骤。 目前热振动方面较多的成果集中在矩形板、圆形板和椭圆板的热振动基本方 程的建立与求解上，方程建立多从麓量角度出发，用h a m i l t o n 原理或直接从力平 衡来建立。求解方法则多用有限元、有限差分或基于g a l e r k i n 方法。关于受热层 合板的弯曲、振动及稳定性方面的研究进展，其静态的、线性热弹性的分析已日 趋成熟，n o o r 1 3 】和r e e d y “】等人均已给出了详尽的综述，已有大量文献。但对非 线性热动态响应研究很少。非线性热弹耦合振动就是研究温度场与应变场耦合时 弹性体的非线性振动问题，研究的难度较大，一般研究只局限与小挠度线性范围 内。但随着温度变化幅度的增加，线性耦合理论和非线性耦合理论的差别达到不 可忽略的程度ic h a n g wp 【1 5 1 6 1 与戴德成等人【1 7 - 1 8 1 在矩形板的热弹耦合振动方面做 了很多工作。树学锋等 1 9 1 建立了极坐标下的非线性热弹耦合自由振动基本方程， 并在极坐标下用轴对称的非线性耦合自由振动基本方程，运用伽辽金法求解方程 得到方程的数值解，文中研究了温度场中圆板的非线性热弹耦合自由振动问题。文 中由非线性振动方程、协调方程及热传导方程出发，运用伽辽金法求解，将热弹 耦合和非热弹耦合情况进行对比，发现给定初始位移较小时，热弹耦合效应使固 有频率降低。h u a n g 和t a u c h e r t 2 0 1 对受热反对称角铺层板的几何非线性问题进行了 分析，但局限于静态。c h a n d r a s h e k h a r a 【2 1 则对受热层合板的非线性静、动态响应 进行了分析，但基于一阶理论。k a n t l 2 2 j 等人虽基于高阶理论但略去了剪切应力在 层合板上下表面为零的条件。上述文献均未考虑横向正应变的影响。文献 2 3 2 4 1 则综合考虑横向正应变合横向剪应变的影响，给出了非线性热动态分析的高阶计 算模型和c o 类有限元公式，并对复合材料层合板的非线性热动态响应进行有限元 数值分析。参考文献 2 5 1 采用了改进的l p 法及伽辽金原理研究正交异性矩形板非 线性的固有热振动，并讨论分析了温度、长宽比等因素对正交异性矩形板非线性 固有热振动频率的影响。参考文献1 2 6 2 7 基于能综合考虑温度效应以及横向线应 变和剪切应变的高阶计算模型，研究受热复合材料层合板的非线性振动，推导了 非线性有限元方程并给出了相应的数值分析方法。这方面的工作对后来的科研工 作者有很高的参考价值。 此外，圆柱壳结构的热振动的研究远没有板研究的深入。文献【2 8 】根据复合材 料圆柱壳的非线性热弹耦合振动，应用伽辽金原理及改进的l p 法得到了复合材 料圆柱壳在热状态下的固有振动近似解，并讨论分析了温度、长径比，厚径比对 苎! ! 三兰苎芏塑主兰堡丝圭堡二主竺丝 复合材料圆柱壳模型的非线性热振动固有频率的影响；于文芳等【2 3 0 j 人利用温度 场和应变场耦合时短圆柱壳的非线性热弹耦合振动的热振动方程和能量方程对短 圆柱壳在热弹耦合温度场中的自由振动进行了分折。这些圆柱壳方面成果表明热 振动发展趋向了较为复杂壳单元的研究领域，为进行复杂结构的热振动分析提供 了参考依据。 另外，在航空航天等许多工程领域中，随着超音速航天飞行器的发展，导弹 及各种飞行器结构在气动热环境下不可避免受到热载的影响。因此分析气动加热 对飞行器的热振动特性已成为必然。c o n l e y 和s p a i n l 3 【j 对一由梁、肋和蒙皮构成的 铝质盒式机翼模型进行了热振动试验和分析。分析采用有限元法完成，且计及材 料性能变化与热应力两种效应，并分析了模型由环境温度升至最热状态而后冷却 到环境温度时的前四阶固有频率的变化。数值与实验结果表明，温度对各阶模态 影响的规律各不相同，升温可以降低结构的固有频率亦可以提高结构的固有频率； s p a i n ，s o i s t m a n n 和l i n v i l l e 【3 2 】等人计算了两个不同材料制造的一航天飞机的全机 模型在马赫数6 的飞行条件下，气动加热对前5 阶固有频率的影响。结果显示升 温导致材料机械性能降低使结构的固有频率降低，而温度梯度导致热应力则提高 的结构的固有频率。两种效应的综合效果使结构的前五阶固有频率降低。由于升 温导致频率发生变化，同时改变频率间的差距，而频率问的差距与飞行器结构的 颤振临界速度和颤振临界动压有直接关系。文献 3 1 】中对航天飞机的钛一铝模型进 行了计及热效应与否的颤振分析。结果表明，气动加热明显降低颤振f 临界动压。 作者建议若温度明显缩小频率间的差距( 特别是低阶频率) ，则即使温度不高，也 应进行热颤振分析。 1 3 热振动分析的思路 解决热振动问题，一般有两类方法： 第一类是直接法，即直接利用热振动方程球解温度场和应变场耦合的热弹藕 合振动 1 3 - 2 0 】，求解方法多用有限元、有限差分或基于c e l e r k i n 方法。这种方法的 优点是温度场、应力场计算仅需一次，精度较高，缺点是比较费时。 第二类方法为间接法，首先求解结构温度场稳态分布，其次将温度场等效为 热载荷，利用常规有限元方法求解结构应力场。该方法的优点是计算规模小，计 算效率高，缺点是精度低。 在间接法考虑热载荷效应时，应计及下列因素： 1 高温时材料的机械性( 弹性模量e ) 随温度的变化而发生改变，从而引起 西北工业戈擘硕士学位论支第一章绪论 的结构整体刚度的变化。 2 弹体结构在约束情况下产生的附加热应力引起结构中的许多部件( 如壁板 等这些子结构) 刚度特性发生变化 3 初始变形对温度效应的影响 但在实际工程计算中，未必全面考虑这些因素，而是根据具体情况，考虑其 中一部分，通常是前两个效应起着基本作用。 1 4 本文所做工作 气动加热引起的高温对弹体类结构振动特性的影响有着重要的工程意义。涉 及的内容非常广泛，包括热刚度、热振动及热颤振等问题的研究。为了深入研究 热对结构振动特性的影响，本文以弹体结构为研究对象，具体研究其固有频率在 气动热环境下的变化规律。计算内容具体包括： 1 建立弹体结构的三维热传导力学分析模型； 2 分析气动热环境，根据工程估算计算各种飞行状态下弹体的气动热分布， 包括驻点热流密度和弹体的热流分布，给出某些点的离散值。 3 分析气动加热后结构内部温度场、热应力分布； 4 在弹体结构的温度场分布、热应力分布基础上，研究由温度因素导致热载 荷对导弹结构振动固有频率的般规律； 结果表明，加热引起的材料性能的变化降低结构的固有频率，温度场产生的 热应力有可能降低也可能提高结构固有频率。两种效应的综合效果有时降低结构 的固有频率，有时也会提高结构的固有频率。 西北工业大学硕士学位论文第二章温度场和热应力场的有限元法 第二章温度场和热应力场的有限元法 进行热振动分析之前，首先要计算温度场及应力场。由于结构的形状以及变 温条件的复杂性，依靠传统的解析方法要精确地确定温度场往往是不可能的，这 必须依赖于有效的数值分析方法。通常，求解结构的温度场分布的方法主要有： 差分法、有限元、有限体积法等p ”j 。 本文基于有限单元法推导求解结构温度场和应力场分布。下面简要描述基于 小变形假设的结构热振动分析的一般步骤。 2 1 温度场有限元法 2 1 1 热传导偏微分方程 考虑均匀的各向同性的固体，若取出一无限小的多面体d x d y d z ( 图2 1 ) 在单 元时间内从左界面出咖流入的热流量为目。a y d z ，经右界面流出的热流量 g 。d y d z ，则流入的净热流量为：( q ，一g 。) d y d z z 图2 1 单元体热流量 在固体的热传导中，热流量g ( 单元时间内通过单元面积的热流量) 与温度梯 度。o t 成正比，但热流方向与温度梯度方向相反，即 出 6 西北工业大学硕士学位论文第二章温度场和热压力场的有限元法 a 7 1 q ，2 一k = 一 式中k d j i ( m ho f ) 】为导热系数。 显然，热流量吼是x 的函数，将热流量按泰勒级数展开， 。弧+ 誓出：一老罢一七窑 眈出0 。 于是，沿x 方向流入的净流量为： ( q x - q x + , 盘) 撒“窘出纰 ( 2 1 ) 并取前两项得 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 同理，沿y 方向和z 方向流入的净流量分别为霎；出咖出及七霎；威咖出 o y 设由于内热源作用，在单位时阆内单位体积中发出的热源为q ，则在体积 & a y a z 内，单位时间内发出的热流量为9 出咖出。 在时间d r 内，微元体由于温度上升所吸收的热量为： c p 竺d 硫西位( 2 4 ) 刁f 式中c k g l 。c ) 】比热，r h 】时间，所培m3 密度。 根掘热量的平衡原理，温度升高所吸收的热量必须等于从外界流入的净热量 与内部热源释放的热量之和，即 c 磋d r d x d y d z 出岛十等+ 乌+ q a x a y a z a r c o t o z d f 1 c v 。 。 简化后，得固体中热传导偏微分方程【3 3 6 1 如下： i o t 叫窑+ 窑+ 窑) + 旦 ( 2 一- 5 )= 口 彳+ 百+ 了) + 2() d f出咖出。 c p 式中a m2 h 】，口= k c p 2 1 2 初始条件和边界条件 由上可知，热传导偏微分方程式( 2 5 ) 建立了物体的温度与时间、空间的关 系，若要确定温度场，还必须要知道初始条件合边界条件，即定解条件。初始条 件是在初始瞬态时物体内部的温度分布规律( 一般认为已知) ，边界条件( 图2 2 ) 是物体表面与蜀围介质之间的温度褶互作用的规律。 ( 1 ) 初始条件 西北工业大学硕士学位论文第_ t - 章温度场和热应力场的有限元法 在初始瞬时，温度场是坐标( x ，y ，z ) 的已知函数t o ( x ，y ，z ) 即 当r = 0 时 t ( x ，y ，z , 0 ) = t o ( x ，y ，z ) 在多数情况下，初始瞬时的温度分布可以认为是常数，即 t ( x ，y ，z ，0 ) = 瓦= 常数 ( 2 ) 边界条件 边界条件可以概括为四类，即 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 图2 2 温厦场的边界条件 s l ：第一类边界条件，物体边界上的温度是时间的已知函数，即r ( f ) = l ( r ) 已 知，式中l o c 】是已知边界温度。 s 2 ：第二类边界条件，物体边界上的热流量是时间的已知函数即 一a 娶= q ( f ) ，式中q ( f ) 【可m ： 是己知热流量，叩为边界外法线方向。 口r 凡是热流量从物体向外流出者q ( r ) 都取正号，向物体流入者取负号。若边界 是绝热的，则有婴：o 。 d r l s 3 ：第三类边界条件，当物体和流体( 例空气) 接触时，经过物体边界表面的热 流量是g ：一 娶。第三类边界条件假定经过物体边界的热流量等于物体表面 a r l 温度t 和流体温度( 例气温) l 之差成正比，即 一挈：fl(tf,j 一) ( 2 - 8 2 - 8 )一=一。)lj o r l 式中f l k j l m h 。c 】为表面散热系数。当表面散热系数趋于无限时，t = l 即 转化为第一类边界条件。当表面散热系数p ：o 时，娶：0 ，又转化为绝热条件。 o r 第三类边界条件表示了固体与流体( 例空气) 接触时的传熟条件。 曼些兰些苎兰堡主兰堡笙查箜三兰墨垦堡堂苎墨垄堡竺互坠垄查 s 4 ：第四类边界条件，当两种不同的固体接触时，如果接触良好，则在接触表面 上温度和热量都是连续的，边界条件如下： 互2 正 挈：丑婴 ( 2 - 9 ) u r l u n 第四类边界条件是指固体的接触面上的换热条件。 伴随着附加边界条件和初始条件，热传导偏微分方程才有唯一解。 2 1 3 三维温度场微分方程 在一股三维问题中，瞬态温度场的场变量( x ，y ，z ，f ) 在直角坐标系中应满足 的微分方程是： 胪警一去( t 警) _ 杀( t 警卜瑟0 0 ( 。k ：c 瑟o f k ， 一艘= 。c 在q 内，( 2 - 1 0 ) 边界条件是 2 ( 在s ，边界上) t 缸一q 铷吐知= g ( 在啦界上) t 髻时七，等矿也n z = h ( 丸嘲( 在啪界上) 式中p 材料密度( 蚝m 3 ) ； c 材料比热( j k g k ) ： t时间( s ) ； t ，k y ，也 分别是材料沿x ，卫z 方向的热传导系数( w m 2 k ) ； n 。”，订： 是边界外法线的方向余弦； 庐= ( r ，f ) 是s 边界上的给定温度： g = q ( f ，)是s 2 边界上的给定热流量( w m 2 ) ； h 放热系数( w m 2 k ) 丸= 丸( s ，f ) 在自然对流条件下，丸是外界环境温度；在强迫对流条件下， 9 西北工业大学硕士学位论文第二章温度场和热应力场的有限元法 砬，是边界层的绝热壁温度。 边界应满足s ，+ s ：+ s = s 其中s 是q 域的全部边界。 当在一个方向上，例如z 方向温度变化为零时，方程( 2 1 0 ) 就退化为二维问 题的热传导微分方程： 肛掣一导( 尼，掣) 一昙( 七，掣) 一艘：o ( 2 - 1 1 ) o to x眈甜。跏 若只在z 方向有变化，方程( 1 ) 就退化为一维问题，一维热传导方程： 昙( 庀：娑) = o ( 2 1 2 ) 如果边界上的矽，q ，以及内部的q 不随时间变化，物体内各点温度也将不 再随时间而变化，即娑：0 这时瞬态热传导方程就退化为稳态热传导方程了。三维稳态热传导方程： 去( t 警) + 熹( b 等) + 亳任，警) + 艘= 。c 在q 内， c 。砌， 求解稳态温度场问题就是求满足稳态热传导方程及边界条件的场变量妒，妒只 是坐标的函数，与时间无关。 2 1 4 稳态热传导有限元的一般格式 求解稳态温度场，即求解如下偏微分方程： 窘+ 窘+ 窘= 。 协，。， 苏2a v 22 根据变分原理，该问题等价为下述泛函的极值问题。设函数t ( x ，y ，z ) 在 边界上满足t = t b ，并能使下列泛函i ( t ) 达到极小值，t 则为欲求的温度场。i ( t ) 泛函表达式为 咿) = 三班( 罢) 2 + ( 琴) 2 + ( 警) 2 协城 现把求解域剖分为有限个单元，设单元节点为i ，j ，m ，p t ，t ，l 一，0 ，单元内任一点温度丁8 ( z ，弘z ) 用结点温度表示为： i o ( 2 1 5 ) 节点温度为 西北工业大学硕士学住论文 第二章温度场和热应力场的有限元法 t 。( x ，y ，z ) = n 丁 。 n 】= n ，n ，。，一，。 ( 2 1 6 ) 丁 8 = 瓯，丁，l ，一，l 】2 式中 n 】为形函数矩阵，是坐标x ，y ，z 的函数，可通过结点坐标求解；f r 。为节 点温度矩阵。 把单元e 作为求解区域r 的一个子域r ，在这个子域上的泛函为 以7 1 ) = i 1 缈瓦o t ) 2 + ( 孑) 2 + ( 詈) 2 】妣脾 ( 2 _ 1 7 ) 对上式求微分，得到 写笋2 缈瓦o t 面at 面o t ) + 瓦a t 瓦0c 矽。t + 笔毒( 鼍) 妣纰c z m ) 由上式知，在单元e 内 i o t ： i o n , i a n j 了d n m a n 删 暇戚僦。xo x 旦r 堡、：c 3 n _ _ 1 j a z 、苏7 融 ( 2 - 1 9 ) 竺： 0 t , 将上式代入( 1 ) ，得到 3 。 0 t , 8 i 2 喝 e i e a t = 嚣卅卅。( 2 - 2 0 ) 式中肪。】为单元热传导矩阵，由式( 1 ) 中元素4 可计算如下： = 缈警警+ 警警+ 警警，蚴出 沼z - ， 将各单元的旦a t y 加以集合，对于求解区域的全部结点，得到 丽a ：【刎；o ( 2 2 2 ) 一= l n l ( ，= i i ( ，- a q 、 式中f ) = 【一，疋，t 】。为包含全部结点的结点温度矩阵，【h 】为热传导矩 西北工业大学硕士学位论文第二章温度场和热应力场的有限元法 阵，其元素由与结点i 有关的各单元的集合而成，即 日，= h 。 ( 2 2 3 ) 式中表示对与结点i 有关的各单元求和a 另在第一类边界上结点的温度为 已知边界温度，在此条件下求解方程组( 2 2 2 ) ，即可求得全部结点温度，各单元 内部任一点温度可由式( 2 1 6 ) 插值值而得。 2 2 热应力场的基本理论 2 2 1 热应力的基本概念 导热的必要条件是存在温差，物体的温度分布构成温度场，它可以用坐标和 时间来描写：单有温度的变化在物体内并不产生热应力，若当温度变化所引起的 变形受到约束时，即使没有外力的作用，在物体内也会产生应力。也就是说，当 物体由于约束存在，在温度发生变化的情况下，就要发生应力的变化。这时物体 处于一种有内部应力的状态。结构由于温度改变而引起的内部应力称为热应力。 引起热应力的根本原因是在约束作用下且有温度的变化。用位移法分析结构热应 力，应先安温度场的改变计算热变形，进而计算热应力。产生热应力的约束条件 大致可以分为：外部变形的约束：相互变形的约束；内部各区域之间变形的约束 三种情况。 2 2 2 平面热应力 一个平面结构受热有温度改变时会发生形状变化，平面内各点都有一定的位 移。假设点沿x ，y 轴的位移分别为“，v ，则应变与位移的关系为 h = g ， = 旦 oi 瓠i o 旦( 2 - 3 0 ) 叙l l vj aal 砂缸l 西北工业大学硕士学位论文 第二章温度场和热应力场的有限元法 式中 占) 为总的应变，是受力与热膨胀两部份之和，即 扛) - 斜。+ 协， ( 2 3 1 ) 式中和 。为弹性应变， 占 ，为热应变。以a t 表示温升，各向同性的线膨胀系 数d ，则平面的热应变为 忙l = o r a a t o 7 ( 2 3 2 a ) 对于三维热振动问题，热应变为： ，= a a t a a ta a t0 0 o 】7 ( 2 3 2 b ) 弹性应变 s k 是由弹性应力引起的，应力与弹性应变的关系为 p = 【d 斟， ( 2 3 3 ) 而 p ) 。= 叠 一扛 ( 2 3 4 ) 故应力与总应变的关系为 p ) = d 】( 转 叠 ，) ( 2 3 5 ) 其中【d 】为平面问题弹性系数矩阵。 用有限元法分析平面热应力问题，可用同样的单元，用同样的形函数以节点 温升和节点位移差值出单元内部的温升r 和位移，即取 r = c ，r t 丁，。 ： = t ，t 占，。( 2 - 3 6 ) 式中， n 8 为单元节点温升列阵， 回。为单元节点位移。 由于结构受热发生的热应变叠k 不会贮存有弹性能，则弹性能只能由弹性应变 叠 。而引起，因而e 单元的弹性能为： 西北工业大学硕士学位论文第二章温度场和热应力场的有限元法 u = j 1f 。 占 。7 。】 占 。d 矿 = 丢。( 一，) 7 【d 】( h h ，) d v ( 2 - 3 7 ) = 三。 占) 7 d 】 s ) d 矿+ j 1 f 。 占 ，7 d 】 占 rd v - j l 。 7 。 s ，d 矿 而总应变扫) 与单元节点位移 万) 。的关系为； 和 一 明) 8 ( 2 3 8 ) 将上式代入式( 2 - - 3 7 ) 得到： c ，= ； 占。 7 【t 】 j 一 d 。) q ) ，。+ c ( 2 - 3 9 ) 式中 削。= f 。 b i t d b d v 为单元刚度矩阵： q ，2 = f 。 冽7 d 船b d 矿为单元受热膨胀而引起的相当载荷，简称热载荷； c = 圭f 。扛 ，7 d 1 扛k d v 只与温升事关。 若平面结构只受热而不受外载荷作用，没有外力作功，对所有单元势能求和， 并变分可得 k l f i ) = 碍 ( 2 4 0 ) 式中k 】 七。为结构总刚度矩阵。 r t 为全部单元热载荷的迭加，是结构由于受热膨胀而引起的等效为节点载荷 列阵。 2 2 3 热应力静态分析计算步骤 总的说来，热应力静态有限元分析过程可分为如下六个三骤： 1 结构离散化。将分析的结构划分成有限单元体，形同单元体在结点处连接 成单元集合体，以替代原来结构。单元的形状、单元的数目和划分方案等 1 4 西北工业大学硕士学位论文第二章温度场和热应力场的有限元法 问题按实际结构和计算要求决定。 2 选择位移模式。首先对单元中位移分布作出一定假设，从而单元内任一点 位移、应变和应力公式可用结点位移来表示，即 厂 = n ( 万 。 ( 2 4 1 ) 式中 力是单元内任一点位移列阵， j r 为单元结点位移列阵， 为形 函数矩阵。 3 分析单元的力学特性。它包括下面三部分内容，即 1 ) 、利用几何关系，导出用结点位移表示单元应变的关系： 2 ) 、利用物理关系，导出用结点位移表示单元应力的关系： 3 ) 、利用虚功原理，导出单元上结点力和结点位移间的关系式，求单元刚 度矩阵； 4 计算等效结点力。弹性体离散后，假定力是通过结点从一个单元传递到另 一个单元。在实际的连续体中，力是从单元的公共边界传递到另一个单元 的。因而，这种作用在单元边界上的表面力以及作用在单元上的体积力、 集中力、还有初应变、初应力等都需要等效移植到结点上去，也就是用等 效结点力来替代所有作用在单元上的力。移置原则是作用在单元上的力或 初应变、初应力与等效结点力在任何虚位移上的虚功都相等。 5 集合所有单元的刚度方程建立结构平衡方程。集合过程包括两方面的内 容：一是单元刚度矩阵集合成结构的刚度矩阵：二是将作用于各单元的等 效结点列阵集合成总的载荷列阵。 6 代入边界条件求解未知结点位移，进行单元应力分析。当物体各部分温度 发生变化时，物体将由于热变形而产生线应变a ( v v o ) 。如果物体各部分 的热变形不受任何约束时，则物体上有变形而无应力。但当物体由于约束 或各部分温度变化不均匀时，热变形不能自由伸缩，则在体中产生应力， 即热应力。当弹性体的温度场 n 已知时就可以求得弹性体各部分的热 应力。 西北工业大学硕士学住论文第三章热振动理论及算法 第三章热振动理论及算法 温度对振动特性的影响归根结底是通过对结构刚度的影响来实现的，加热可从两 方面削弱结构刚度，一是减小材料弹性模量，二是温度梯度产生的内应力导致刚度变 化。通常采用线弹性理论分析。 但对于实际工程问题，一般热应力作为结构的面内力将引起结构附加的刚度矩阵 ( 称为几何刚度矩阵) ，当热应力( 或温度) 变化较大，结构附加刚度矩阵显著改变 了结构整体刚度特性。当热应力或( 温度) 超过一定温度，结构发生大位移、小应变， 即结构局部刚化或软化。究其原因，结构材料特性由于温度而发生蠕交：另一方面， 对薄板类应力一应变的关系也为非线性，故小变形理论假设不能满足实际工程需要， 必须考虑温度引起的材料非线性和几何非线性问题。 本文研究结构加载为热载荷。考虑到薄板单元应用的广泛性和普适性，下面以板 单元为例，简要描述仅考虑几何非线性影响，结构热振动分析的有限元步骤。 3 1 几何非线性理论 在涉及几何非线性问题的有限单元法中，通常采用增量分析方法【3 6 4 8 1 。本文采用 能量变分原理建立非线性有限元方程。 对任一个单元，单元的总应力、总应变分别为盯、占。微元体d v 和一个单元体矿 中贮存的应变能为： d u = 二口7 e c l v ：二e t d e x t v 22 ( 3 - 1 ) 以2 p u 2 ；p 7 m v = ；房7 d m y 单元内的动能为e 巨= 兰p ( 之) 2 ( 3 - 2 ) 设节点给予单元的作用力为c ，它在相应的单元节点位移d 。上所作的功为 睨= c7 也 ( 3 - 3 ) 西北工业大学硕士学位论文第三章热振动理论及算法 于是，单元总能量为动能、势能和外力所作的功的和为 对式( 3 - - 4 ) 变分，即 n 。= v 。+ 乏一睨 ( 3 - 4 ) 占( 圭 ，。+ p ( 之) 2 ) d 矿一( 7 嗄) = o ( 3 5 ) 由单元平衡的充分必要条件铘。= o ，可建立单元动力学方程。 应用应力一应变的本构关系，对上式分项积分并整理可得单元动力学方程一般形 式【3 鲥o m 。1 遗+ k ( 8 砬= f k ( 8 k k o ( 。) + k 。( 。) + k 扣 ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) 式中m “、足“分别为单元质量矩阵和刚度矩阵。剐度矩阵由三部分组成。它们分别 为： k 。”与单元节点位移无关，称小位移刚度矩阵( 线性刚度矩阵) 。 k 。”与已知应力有关，称初应力刚度矩阵或几何刚度矩阵。 置。扣1 与单元节点位移有关，称为几何刚度矩阵或初位移刚度矩阵。 式( 3 7 ) 是单元的全量平衡方程。它是在物质坐标系中建立的。经过组装得整体 平衡方程： m d + k d = p ( 3 - 8 ) 值得说明的是，将温度场产生热应变、热应力作为初应变、初应力处理，热振动 有限元与常规有限元无本质区别。 西北工业大学硕士学位论文 第三章热振动理论厦算法 3 2 板单元的几何刚度矩阵 考虑几何非线性问题。薄板振动变形的应变由三部分组成，中而内的位移而 产生的应变、板的弯曲而产生的应变、面内力产生的挠度w 在板中面引起的附加应变。 薄板的应变一位移关系为：( 图3 1 ) zw 图3 1 板单元 = 尝一z 万0 2 w + j 1 【掣0 w 2 3 瓦1 万+ j 【面) q = 雾一z 萨0 2 w + j 1 ( 事0 w 2 ( 3 - 9 ) q 2 瓦”萨+ j 3 。9 o uo va 。wo w o w 2 面+ 瓦- 2 z 丽十一o x o y 各向同性薄板的弯曲应变能为【4 l l ： w = 詈 皆nc 警卜2 矿0 2 w 矿0 2 w 删1 _ 似丽0 2 w r 卜 ，。， + 扑“五_ ) 0 w2 + c r y t ( o w o y ) 2 + 2 r j 芸考卜 式中d 2 赤，是板的厚度。以f 、o j 、是板中面内力。上式右端第二大 项代表由于板中面内初始应力o x 、盯。、f 。，而产生的应变能，可用矩阵表示如下： i c a w 柩 l 砂 置瑚 以 、hp， 伽一曲挑一砂 西北工业大学硕士学位论文第三章热振动理论及算法 用形函数 】及板单元结点弯曲位移瞬 表示板的挠度如下： w = k ( 3 一1 1 ) 记 其中 渺) = a2 w 出2 0 2 w 良2 a 2 w a x a v 别衙 ja 2 n ii 阱_ 1 等 ia 2 n l 融砂 f 却 斟_ g 蚓 b l 万j 耕 妊吲 l 面j 将( 3 4 ) 带入( 3 - 2 ) ，得到板单元弯曲应变能 式中 w ：；拓f 阮瞬 + 丢活j 7 k 。 砩 阪】= t t s l 7 【d p 妇 k 。】_ 0 lo 0 1 羔 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 斗蛔 t s ， 这样，可以看出：k 】是通常的薄板的弯曲刚度矩阵， 阵。根据式( 3 - l o ) ，几何刚度矩阵也可以表示如下： k 。j = 仃；k