（运筹学与控制论专业论文）抛物方程的能控性发展历程.pdf

箍要 这篇楚关于抛物方程的能控性发展历程的综述，它分为三部分。第一部分笃的是，热 方程的能控性我们考虑了带有约束条件的熟方程逼近能控性，在半直线上热方程的光零 2 控牲，秘热方程熬零精确能控性。第二部分霉熬是，撵物方程戆黥控牲我粕研究了含 有状态和梯度的非线性的项抛物系统的能控性，古蠢拉簧拉斯算予的分数阶的l d 抛物 方程韵零能控佼，帝裔一个强控稍的两个据物方程的麓系统的零能控性和具有双线往 控制抛物系统的精确能控。胜，第三部分写的怒：半线性热方程的能控性。扶半线性一维热 方程的逼近能控性写起，考虑了线性和半线髋热方程的能控性的一魑结果 关键谰：热方程、抛物方程、半线性热方程、邋近能控性、零能控性、精确能控一隧 a b s t r a c t t h i ss u m m a r i z ei sa b o u tt h ec o n t r 0 1 1 a b m t yd e v e l o p m e n tc o u r s eo fp a r a b 0 1 i ce q u a t i o nt h es u m m 盯i z ej sd 州d e di n t ot h r e ep 盯t s t h e6 r s tp a r tj st h ec o n t r o l l 8 b i l i t y o fh e a te q u a t i o n w ec o l l s i d e rac o n s t r 豇n e da p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e mf o r 七h e h e a te q u a 七i o n ，o nt h el a c ko fn u l l _ c o n t r o l l a b n i t yo ft h eh e a te q u a t i o no nt h eh a l “i n e ，8 n d m l he x a c tc o n t r o l l a b i l i t yo ft h eh e a te q u a t i o n ，t h es e c o n dp a r tj st h ec o n t r o l l a b m t yo f p a r 曲0 1 i ce q u a t i o n w es t u d yo nt h ec o n t r 0 1 1 a b i l i t yo fp a r a b o l i cs y s t e m sw i t han o n l i n e a rt e r mi n v o l v i n gt h es t a t ea n dt h eg r a d i e n t ，t h en u l l _ c o n t r 0 1 l a b i l i t yp r o p e r t yo fa1 一d p a r a b o l i ce q u a t i o ni n v 0 1 v i n gaf r a c t i o n a lp o v l 忙ro ft h el a p l a c eo p e r a t o r ，n u l lc o n t r o 儿a b i l i y o fs o m e8 v s t e m so ft w op a r a b 0 1 i c e q u a t i o n sw i t ho n ec o n t r o lf o r c e ，a n de x a c lc o n t r o l l a b i l - i t yo ft h ep a r a b o l i cs y s t e mw i t l lb i l i n e a rc o n t r 0 1 t h et h i r dp a r ti st h ec o n t r o l l a b i l i t yo f s e i i l i n e a rh e a te q u a t i o n f t o man o t eo na p p r o 妇n l a t ec o n t r o 】a b n j 锣f o ro n 争d i m e n s j o n a l h e a te q u a t i o n ，s o m er e s u l t so nt h ec o n t r 0 1 l a b i l i t yo fl i n e a ra n ds e m i l i n e a rh e a te q u a t i o n i e ，r w o l d s ：t h eh e a te q u a t i o n ，t h ep a r a b o l i ce q u a t i o n ，t h es e l u i l i i l e a re 小l a t i o n 、a p 一 ) 1 ( ) i l l l 曲e ( - ( ) t l t r 0 1 1 a b i l i t v ，n u l lc o n t r o l l a b i l i t y ，e x a c tc o n t r o l l a b j 】j 班 i i 独戗性声明 本太声明鼹墨交鲍学位论文是本人在静j l l l 摆鼯下进蛭数簪 究互傺及款褥的研究成累。攮我艇j 露， 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中币包含其他人融经发液或撰写过的研究成果，也不包 含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研 究掰缓魏经薅委皴筠己在论文孛终了弱臻瓣说弱劳表示 垂 意。 学位论文作者始避日期：坐 学位论文版权使用授权书 本学德论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权 保黧劳囱潮家有关部门线撬稳送交攀疰论文数复馋秘磁鑫，兔谗论文搜褒霾嚣诺淹。本人授投乐趣 师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入商关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复 制手段保栉、汇编学位论文。 f 保密的学位论文强解密籍遥嗣本援投书) 学位论文作者签名：适盈! ；塾攒导教师签名；：i i ；二左 蟊 羯：3 鼗基：曼：黧麓；婆芝区! ，；巷 学侥论文体孝毕照岳去囊： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 引言 自1 9 6 0 年美国的卡尔曼发表控制系统的一般理论，提出能控性、能观测性和最 佳调节器概念，奠定了现代控制理论的基础开始它已经经历了，从热方程到一般线性抛 物方程再到半线性热方程的研究历程按照控制在系统中的位置来看，可以将控制分为两 类：边界控制和内部控制按着等时区域与目标的关系，人们主要研究三种类型的能控性： 精确能控性零能控性和逼近能控性+ 在有限维线性系统中，原系统的能控性等价于对偶 系统的能观性，系统的精确能控性与逼近能控相同偏微分方程主要研究的是抛物方程和 双曲方程而抛物方程能控性的研究是继双曲方程能控性之后进行的研究， e g o j 0 vhon t t o r i 叫他是最早为为热方程能控性的理论做出贡献的人，他做了很多 存在性的理论的，在热方程能控性的理论发展中起了决定性的作用近十年jll j o 峨vb 砒u ，f z u a z u 8a yk h a 口a l 。v 等人做了很多关于一般线性抛物方程和半线1 哇热方程能控性的工作 利用哈恩一巴拿赫定理车口毯姆格伦唯一性定理来构造泛函证明逼近能控也是零能控的而 热方程的边界能控性问题，通常是把控制问题转化为等价的矩问题，然后再利用具有实指 数的双正交序列解决相瘦矩的问题 卡菜曼不等式推动了，一般线性抛物方程的能控性的发展，它解决了一些用对偶原理 来证明线| 生抛物系统的精确能控性的问题到了九十年代，人们得到了索伯列夫空间情彤 的卡莱曼不等式，又利用系数正则性，结合索伯列夫空间的条件得到了线性抛物方程的卡 莱曼不等式，从而证明了含有一阶导数项且在无穷远次线性增长的半线性的抛物方程的 全局精确能控性因此说精确能控性是线性和半线性抛物方程的最好体现 半线性热方程是逼近能控性的体现，它分为边界上的和在边界内部的，应用的半线 性热方程的逼近能控性。变分法和不动点定理证明丁当非线性项全局李普希兹连续时，系 统在扩f l p 。) 空削的逼近能控性laf e r l l a n d e z 和e z u a z u a 用最优控制方法证明 了：在全局李普希兹连续假设下，系统是全局逼近能控的在全局定义的有界解存在咀及非 线性项在无穷远处比ls1 0 9 i ( 1 + is1 ) 增长得慢的前提下证明了：半线性热方程的零能控 性；并指出当非线性项在无穷远出与lsll o 酽( 1 + si ) ( 1 o 有一个控制函数u 三2 ( r o ( o ，t ) ) ，使得 z ”( z 出= 上蜘如， 0 】列 3 f 112 ) ( 11 3 ) ( 11 4 1 一般地来说，线性系统的逼近能控性的问题，可以转化为伴随系统的唯一连续性的问 题这个唯一性，可以根据霍姆格伦唯一性定理，或者由卡莱曼不等式，在柯西问题中分析 得到的可是，当约束条件( 1 1 4 ) 加在轨线上，那么这个唯一性的问题就不适合利用上述 的柯西问题来分析了 我们介绍一个新的域 n + 札= z r d ：z = z + u ( 。) ，z q ) 定理11 1 1 1 1 n 是则的一个有界的开集，a n e 2 ，r 0 是一个非空的开集，且r oca n 那么使得“i a 吼r n = o 和下面的唯一性 一= a ，在n + u 上 舞= o ，在a n + u 上 i c ( 11 5 ) 可= c ，在r o + 乱上 成立以及对每一个非零的特征值也同时成立的扰动集u 3 ，一( q ，彬) ，在w ，0 内是剩余的 ，0 = “i 矿3 ，。( n ，f ) ：“= o 在a n r o 上 我们得到了下面的一个推论 推论11 1 n 是删的一个有界的开集，a n e 2 ，r o 是一个非空的开集，且r oca n ，形 变u 1 1 7 3 ，”( n 剃) ，使得在n + u 内，谱的唯一性( 1 1 5 ) 成立，那么热方程的对偶方程 吼+ 妒= 0 ， 器= o ， 扯f2 + “内更强的唯一性也是成立的 在n ( o ，丁) 内 在如( o ，t ) 上 定理1 1 2 1 】n 是州的一个有界的开子集，a n e 2 ，r oca n ，使得谱的唯一一连续性 成立，那么当v 丁 o 时，问题( 1 1 1 ) 一( 1 14 ) 是逼近能控的 此外，如果m 是解析的，这个控制可以写成b a n g _ b a n g 的形式 因此，我们下面定义b a n g - b a n g 能控性 定义1 1 1 如果u ( z ，) = 士弘+ c ，有“r 和一个与x 无关的函数c = c ( t ) ，在f o ( o ，t ) 内，几乎处处成立时，那么我们就称控制v 是b a n b a n g 4 1 2 热方程的零能控性 我们在半直线上考虑，带有狄利克雷边界控制的线性热方程它的零能控问题就是：恰 当的选择l 2 的边界控制条件，使得初值可以在有限的时间内达到o 这个结论就是存在一 个有界的域，保证了属于负的索伯列夫空间的阶数的每一个初值，在任意小的时间内，达 到o t o ，我们在半直线上考虑线性热方程系统 fu t ( z ，) 一“。z ( z ，t ) = o “( o ，t ) = ( ) iu ( z ，o ) 磊u 。( 七) o n 0 t t o 0 t 0 z o u = u ( x ，t ) 是状态量，v = v ( t ) 是控制 ( 1 22 ) 当n 。= ( “o ，) d 时，控制问题转化为分析序列 o 。 m l ，i 2 ( o ，s ) 设o 。= n 。妒，m ( o ) ，和，( s ) ；o ( s ) e 一显然，当且仅当，工2 ( o ，s ) 时，o l 2 ( o ，s ) 成立，有 ，( 8 ) 扩5 d 8 = a 。，v m 1 j 0 5 ( 1 2 3 ) 定理1 2 1 【2 】 ( a ) 假设系数 a 。) ，使得| j o ，和o o 有 o m l 岛e 6 m ，v m 1 如果( 12 3 ) 满足s o 和，铲( o ，s ) 那互溉要条件是s “卯( ，) o ，川 棚e 蜮蚋 ( b ) 假设系数 n 。) ，使得j o ，和j 岛 o 使得 d m l c 台e 6 m ，v 门它1 那么，( 1 2 3 ) 对s o 和，l 2 ( o ，s ) 成立的必要条件是：当v m 1 时， 有q 。：o ( c ) 当d o 时，且s 6j 序列 o ，n 使得 凸e 5 m m i 。m i 伤e 6 m m ， v m 1 这罩的0 1 ，仍 o 是常数，和矩的问题( 1 2 3 ) 有一个带有s “p p ( ，) 【o ，州的解，工2 ( o ，s ) 根据定理1 2 1 ，为了表示零能控的初值的充要条件是序列 f ( m ) ，。扑那么我们就可 以用指数s 2 的整函数f 来表示，使它满足下面的条件 。哪”) o ，s 6 存在着非平凡的初值u o 在时间s 内和使得 p o mm a 薪s i i 岛薪，v m 1 ( 1 2 4 ) 成立：这里的正常数g l ，q o ，这时能找到带有8 u 卯( ，) 互 o ，卅的一个控制，2 ( o ：s ) 6 推论1 2 1 在有限时间内，由五2 边界控制和使得 n m i s 岛e 6 m ，v r n l 成立的系统( 1 2 1 ) ，当w o 时，没有非平凡的初始值u o 是零能控的 此外，对于v 6 o ， 丁 一一1 ，存在着关于系统( 1 2 1 ) 非平凡初值n o ，带有l 2 控 制，在t 时间内，在 o ，司内成立，和使得傅里叶系数 n 。) 满足( 1 2 4 ) 的条件是零能控的 7 第二章抛物方程的能控- 陛 2 1 带有非线性项的抛物系统的逼近能控性 我们目前讨论了，在r 的有界域内，带有狄利克雷边界条件的拟线性抛物方程的 能控性我们也分析了具有分布控制和边界控制的能控性的问题，证明了如果是非线性 项，( g v 口) 比i ll 0 9 3 2 ( 1 + igi + lv gi ) + lv 口i1 0 9 1 2 ( 1 + igl + ! v i ) 在无穷远处，增长 的慢，那么系统既是零能控的，又是逼近能控的 nc 豫是一个有界的连通开子集，a n c 2 ，dc n 是一个非空的开子集，1c0 2 是一 个j 怍空的相对开子集，假设t o ，q = n ( o ，丁) ，= a n ( o ，丁) ，p 1 ，+ 。) ，我们 存p ( 0 ) ，内考虑范数，用来表示 我们来考虑下面的抛物系统 认一+ ，( ，v ) = 们i o = 0 ( - 0 ) = 0 0 ) 仉一y 十，( 可，v ) = o = p l ， ( - 0 j = 0 0 ) 在q 内 在上 在n 内 在q 内 在上 在f 2 内 f 2 1 1 1 f 2 12 1 f r 盹。一碾是一个局部的利普希茨连续函数1 。和1 ，表示的是，p 和j 的特征函数，假 设”o 7 1 ”( q ) n 础) ，在上面( 2 11 ) 和( 2 1 2 ) 中， l o 。( o ( o ，t ) ) l * ( 7 ( o i 、) ) 这篇沦文主要是分析( 211 ) 和( 21 2 ) 的能控的性质，( 21 1 ) 在t 时，是零能控的，如果 列孑每一个蛳w 1 ，”( n ) n 础( f 2 ) ，ju l o 。( o ( o 丁) ) ，使得，对应着初边界问题( 2 1 1 ) 允 许有一个解g o ( 【o ，丁】；l 2 ( q ) ) 满足 g ( 。，丁) = o，在n 内 8 ，f、【，、【 另一方面( 2 1 1 ) 是逼近能控的，在工2 ) 内，t 时刻，如果对于帅w 1 ，。( n ) n 础( q ) ，和抛 l 2 ( n ) ，以及垤 o ，存在一个控制 l 。( 。( o ，t ) ) 使得，对应着初边界问题( 2 1 1 ) 和下 个方程，具有一个解伊( 【o ，t ；l 2 ( n ) ) i if ( ，丁) 一抛l 胁se 定理21 1 【4 】假定f 是局部利普希茨连续，“o ，o ) = o ，淝。谚鹄等丽= 。 i ( s ，p ) i 一。l o g o o ( 1 + i8 i + i 口| 1 聚。驴= 。 那么( 21 1 ) 在t o 的上是零能控 这个结果以前至少在两种情况下进行研究：一种是在全局利普希茨连续函数f 中进 行的，例如：当9 l ”( r 豫。) 和g l 。( 豫豫。) 时，这里的f 在无穷大处，带有次 线性的函数，对应的能控性的结果是很容易证明的，这个结论的证明见【4 0 1 另一种是 当gio ，9 = 9 ( s ) 满足g ( o ) = o 和 i 概抵2 。 这个证明是在【1 4 中证明的定理( 211 ) 是( 2 11 ) 的逼近能控性，在这种情况下f ( o o ) 不 一定为0 定础12 12 h 丁 o ，假设，r r 一腿是一个局部的利普希茨连续函数证明下方 s ，罂。面可可而 ， l z 1 孙仙肘圳= 。 ) ，糖。可可卉可丽i z l 差( s 0 + 地p 。+ 却) 圳= 。 ( 2 t 存( s o ，p o ) k 内，对于每个紧集c r r 。一致的，那么( 2 1 1 ) 在t 时是逼近能控的 这个定理一般有两个结果：一个是f 是局部的利普希茨连续函数，例如：0 ，a s ，a ，d p ( 1 曼i 5 ) 是一致有界的另一个是逼近能控性的一般结果，当g io ，g = 9 ( s ) 时 l 概黜= 。 9 成立 定理2 1 3 【4 】r o 时，满足定理( 2 1 1 ) 的所有假设条件，那么( 2 1 2 ) 在t o 的时 间上是零能控的 定理2 1 4 1 4 1 t o 时，假设f 是局部的利普希茨连续函数，证明( 2 1 3 ) 和( 2 14 ) 成 立，那么( 2 1 2 ) 在t 时，是逼近能控的 2 2 抛物方程的零能控性 下面研究的是：带有拉普拉斯算子( 一) 。的分数阶的抛物方程的零能控性如果n l 2 ，那么函数f 在2 内，没有属于负的索伯列夫空间阶数的初值。在一些时间内达到o 与它形成了对比是：当a 1 2 时，存在着相反的结果，尤其n ：1 时，符合热方程能控的 条件我们考虑的一般能控问题 定理2 2 1 【6 】 1 2 假设f 的傅里叶系数满足 r ” = ，( z ) s i n ( n z ) 如o ，v n 1 j 0 和附加的条件对于 o 时，有 1 骢磐i ie ”一。 o ( 22 1 ) 如果在时问1 1 o 内由控制函数9 l 2 ( o ，丁) ，当m ，” o 时，有 挪么初始状态铲= 。，n 。s i n ( n z ) ，是零能控的 此外，当它成立时，这个控制昏可以在a “( o ，t 】) 内选取，m 1 定理22 1 的应用，例如在l 2 ( o ，”) 内的初值，在2 o 的一段时间内，是零能控的 与这个结果形成了聪比的是：o 兰1 2 没有属于负的索伯列夫空问上的初值，带有一个e ： 控带0 的g ，在有限时间内达至0o 1 0 定理2 2 2 i qos l 2 ，假设f 的傅里叶系数满足( 2 2 1 ) 那么具有当芦 o ，时，存在着常 数吼 o 使得 o 。1 sc 0 b “h v n l 这些性犀都成立的非平凡初状态= 。1 8 i n ( n z ) ，由一个控制g l 2 ( o ，t ) ，不能在时 间丁 o 时，达到o 研究带有一个强控制的一些线性抛物系统的零能控性时，我们加了一些关于零能控 性质的充分条件，来说明它是成立的线性和半线性抛物方程的零能控性，已经研究了1 0 多年在这项工作的研究中，l e b e a u 和r o b b i a n o 有很大的贡献，他们是在有限域ncr n 内考虑的热方程他们证明了由局部控制引起的零能控的问题主要利用卡莱曼估计来证 明的 qc 邸， r o ，u 是一个开集，满足口cnu o l 2 ( q ) j ，l 2 ( q t ) 使以下方程 满足在n 内，“( t ，) ；o 毗；u + ，x u u = 0 在q t = ( 0 ，t ) q 内 在t = ( o ，t ) a f 2 上 “( o ，) = “o 二2 ( n ) f u r s i k o v 和i m a n u v i l o v 证明这个问题的结果 三u = ，x 。在q t 内 “= o 在r 上 “( o ，) = “o 驴( f 2 ) l 是股线性二阶导的抛物方程，主要利用全局卡莱曼估计，满足上面方程的结果 r n a n d c z c a r a 和z u a z u ab a r b u 利用了定点法和全局卡莱曼估计，得出了一些超线性结 果ba i h t 用两个局部强控制，证明了局部精确能控性的结果最近又给出了，只出一个强 局部控制证明的局部精确能控性和精确能控性的结果目前，热方程在无界域上，得不到 能控性那么我们来看看带有一个强控制的两个抛物方程零能控性 定理22 3 1 3 4 】m 3 是个实数，o ；o 那么j 一个常数 o ，依赖n ，u ，d ，r ，o ，b 使得，l 2 ( q ) 满足1 ；e 蜘”，1 1 l 。( o ) o ，_ cn 是一个小 的非空开子集q = n ( o ，t ) ，= a q ( o ，t ) 推论2 t 2 4 存在由山( ) = 厂如。( o ，t ) iv g1 2d z 出所给的函数 ，它的不灵敏控制是v 定理2 25 【3 4 】假设m 2 口是常数，且 | | ul i l 2 ( o ，t ；h z ( n ) ) 墨g | | 垅“1 1 弘( 。) ， v “日2 ( n ) n 瑶( n ) ，g = g ( n ) 。 成立那么存在一个控制v ，使得下面方程组的解 篆爰微2 ) + 儿 在0 内 在q 内 在上 在n 内 定理226 删满足m 1 口是常数，和 | i i i l 2 ( o ，丁；h z ( n ) ) e | | p 4 1 “i i l 2 ( o ) ”，v u 嘲( n ) 那么存在一个控制v ，使得下面方程组的解 i 轨一p + 印+ e 可p = 磊( t ，z ；d ) 如)在q 内 jm 一q + 蛔+ k v g = p 1 ( t ，z ；d ) ( p 口3 )在q 内 i p = q = o 在上 i p i t = o = p o ， 口i 扛o = q o在n 内 满足在n 上p i b t 5q t ：r o 1 2 2 3 抛物方程的精确能控性 一般地来说，如果在时间t o 时，在给定的h 空间，选择适当的控制时，则系统是精 确能控的在h 空间内，从给定的时间【0 ，t 】区间内的初始状态，到给定的终止时刻，则系 统是逼近能控的一般的线性抛物系统，附加了的局部分布控制后，那么它既是逼近能控 的，又是零能控的目前最早研究双线性能控的人是b a ue ta 1 他研究的是，关于无限维双 线性系统的能控性k h a p a l ”讨论的是，由双线性控制决定的，具有双线性项的抛物系统 的非负的逼近能控性他还讨论了带有满足牛顿定律的反作用项的抛物系统的双线性零 能控 f 玑一9 = u ，在q 丁内 口= g ，在r 上( 2 3 1 ) i ( z ，o ) = 如，在n 内 q 丁= q ( o ，r ) ， 丁= a n ( o ，t ) ，u l 。( q t ) 是控甫0 ，9 g ( 芝；) ， o 2 ( q ) 定理231 【7 】假设目2 ，”( n ) ，在瓦上，目 o 和在n 上，几乎处处p o 9 e ( 1 ；) ，在t 上9 = 日，那么j t ( 日) o ，使得如l 2 ( n ) ，存在一个双线性控 制t 工”( q r ) ，使得系统( 2 3 1 ) 对应的解在g ( o ，丁】；l 2 ( n ) ) n 2 ( o ：丁；h 1 ( q ) ) 上，满足 g 扛，t ) = p 0 ) ，在q 内，丁t ( 日) 显然目o 是在定理23 1 中的必要条件，如果目= o 这个零状态就成了解映射的固 定点与t l 的选择有关，那么o l 2 ( n ) ，m e n s z i 蜘( z ) o ) o 系统( 23 1 ) 不能达到。 如果在t 上是= o 那么系统( 23 ，1 ) 就变成了 在q t 内 在t 上 在n 内 如果o o 工2 ( n ) ，那么由最大值原理得，上面方程的解，满足在0 丁内，( z ，) o 关 于u 的选择注意到存在个常数c o ，使得在萄彳内口兰c o ，因此我们不能让系 统( 2 3 1 ) 从o 如到p 0 蠹 第三章半线性热方程的能控性 3 1 半线性热方程的逼近能控性 考虑半线性热方程的逼近能控性，首先从一维的半线性热方程来考虑 岩：袅+ f ( 卅吣) 丽2 百十上+ 吣j 如果非线性函数是一致有界的，那么b 在一般的条件下，对于每一个给定的终点时间丁 o ， 系统是逼近能控的这个结果可以延伸到，带有一维控制的一般的一维半线性热方程或带 有半线性边界条件的一个边界控制的热系统 我们来考虑半线性热方程系统 掣= 掣州砌池硼十6 。 t 丁，。 删 可( t ，0 ) = 掣( t ，f ) = o 可( 0 ，z ) = f ( z ) o o 是一个任意给定的热传导的终止时间，6 x = l 2 ( o ，2 ) f b 是一个已知 元素，在l 2 ( o ，丁) 内的实值函数u ( ) ，是热系统的控制函数，在( 31 1 ) 内，f ( ；) 是一个满足 一些假设的非线性函数 如果在( 3l1 ) 内f ；o ，那么它就变成了一个线性的控制系统 掣= 掣州蝴) 剐 o 时定义f 3 1 2 ) 的能达集 o oh = 譬 n = 1 ，2 ，使得 ”。1 k 。，竹= 1 ，2 我们带着方程( 3 1 1 ) 来考虑，假设非线性函数f ( ；) ，满足下面的假设 假设( f ) ( 1 ) f ( ；o ) = 0 ( 2 ) 当一个非线性算子映射x 到x ，f ( ；) 是利普希茨在y 上： | | f ( ；掣1 ) 一f ( - ；咎2 ) i i x 尬i 剪l 一2i i x 可1 ，如x 是正的常数 ( 3 ) | | 户( z 1 ) ( ) 一声。( 邑) ( ) l l 殳= | | f ( z 1 ) ( ) 一f ( 面) ( ) i l 曼 o ”n 一有限维非线性控制系统” 掣+ 似归内( 删吣) 。 o 与y 无关的常数，那么在假设( b ) 的条件下，n 一有限的非线性系统( 3 1 3 ) 的能 达集肠( ) ，包含了关于整数 o 和终止时刻丁 o 的集合3 这个定理建立了关于n - 有限的非线性系统( 3 1 3 ) ，用它可以立刻证得最初的半线性 系统( 3 1 1 ) 是逼近能控的 1 5 定理3 1 2 f 8 】在系统( 3 1 1 ) 内的非线性函数f ( ) ，满足假设( f ) ( 1 ) ( 3 ) ；那么半线性热 方程( 3 1 1 ) 在假设( b ) 的条件下，在终止时刻t o 时，是逼近能控的 5 3 2 半线性热方程的零能控性 我们在有界的区域内或无界的区域内，关于线性和半线性热方程的能控性得到了一 些结果联系一下e f e r n a n d e z c a r a 和sm i c u 两人所做的工作 直线 考虑酞“的一个光滑的区域n ，竹1 ，如果n 不是有界的实际上我们假设r n 为半 ，：r r 是一个局部利普希茨函数是一个非空的开集ucn ，t o 考虑半线性热方程 在n ( o ，r ) 内 在a q ( o ，丁) 上 在n 内 f 32 1 1 l t 一( x ，t ) 是状态1 。是u 的特征函数，在u 内，1 。；1 ，和在扒内，l 。；o ，”= ”( rt ) 是控制我们假设系统u 是有界的，当f 2 是无界时，这个假设就是最小控制量，因此它需 要个控制系统假设 ，( 0 ) = o f 3 22 1 在假设( 3 2 2 ) 下uio 是系统( 3 21 ) 的平衡解当( 3 2 2 ) 成立时，( 32 1j 满足n ) l ，三o 零能控的问题：u o 工2 ( q ) ，找到一个控制 工2 ( o ，t ) ) ，使得全体定义在n ( o ，丁) 上的- 贝0 系统( 3 2 1 ) 的解u ，满足 ( z ，t ) 墨。在n 内 结论： ( a ) 为了保证了系统( 3 2 1 ) 的局部适定性所以在吐必须要有一些最小的假设条件 1 6 f 3 2 3 1 假设 ，( s ) i 兰c ( 1 + is l p ) ，s r ，g o p l + 4 n ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 对于每一个“o l 2 ( n ) ，和 上2 ( o ，) ) j o o ，“o l 2 ( n ) ，u 工2 ( o ，t ) ) ，存在一个唯一的，完 全定义在系统( 32 1 ) 解u g ( o ，卅：c 2 ( 锄) 于是就有两个相似问题的讨论 问题l 当n 是有界的，半线性热方程是零能控的 问题2 当n = ( 0 ，o 。) 在一维空间内，兰0 线性热方程是零能控的 1 7 更精确地说：n 是r “的一个有界的光滑的域，n 1 ，u 是n 的非空的开子集t o 那么对于o 上2 ( q ) ，了 l 2 ( o ，t ) ) ，使得 f 毗一u ： 1 。 = o ， i 札( z ，o ) = 乱。( z ) ， 的解u 满足( 32 1 ) 关于半线性热方程的零能控性 在n ( o ，t ) 内 在a n ( o ，t ) 上 在f 2 内 定理3 2 1 9 】存在光滑的非线性，使得f ( o ) = o 和( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 以及 i ，( s ) i isl o g p sl ，si o 。 p 2 在v 丁 o 时，系统( 32 1 ) 不是零能控的 ( 3 2 9 ) 定理3 2 2 9 】f 是一个局部利普希茨函数，使得f ( o ) = o ，以及( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 成立假设 尚翼尚= 。 那么，对于每一个t o ，系统( 3 2 1 ) 是零能控的 关于热方程在射线上是无零能控的 主要讨论一维的控制问题 0 z 。 0 丁 0 z o ( 3 2 1 1 ) ， t 0 0 “ = “u b = 卜 l 0 o 帆啦 ，l，l 为了，使问题的形式更准确的描述，我们必须清楚的确定系统( 3 2 1 0 ) 的解我们决 定用移项法，来分析问题在g ( 【o ，卅；日一1 ) ( r + ) 内证明， o z o 。0 t 0tr 0 o ，序列 口。 。1 1 找到 l 2 ( o ，s ) 有 r o 上”( s ) e d s 2 v m 1 ( 32 。l ) 它证明了( 321 4 ) 仅有一个非平j 、l 解 l 2 ( o ，t ) 时，当系数 n 。； 。1 1 增长指数在无 穷远的距离增长的快时，有下面的定理成立 定理3 ，2 4 【9 s o ，假设 1 i 。也犁：o m _ e m d f 3 2 1 5 1 成立，v d o ，如果( 3 2 1 4 ) 含有一个非平凡解， l 2 ( 0 ，s ) ，那么它的必要条件是：对 于v m 1 ，时，有o 。= 0 定理3 24 说明了：当 。) 是控制数据的傅里叶系数，且初值为g 。o 的紧支集，序 列 n 。) 。! l 是有界的，对于v 6 o 时，定理3 2 3 的结果立即成立 1 9 ； 妒一t + 帆妒以 参考文献 f ljho f t e g aa n dez u a z u a ，0 nac o n s t r a i n e da p p r d m a t ec 。n h o l l a b i l i t yp r o b l e mf u rt h el l e a t e q u 毗i o na d d e n d 帅1j o u r n a lo f0 p t i m 也e o r y 卸da p 讲l c b t l o n sv 0 1u 8 ，n 0 ，1 ，p p1 8 3 - 1 9 0 ，j u l y2 【) 0 3 ( 2 】sm l c ua n dez u a z u a ，o nt h e1 a c ko fm i l 卜c o n t r o i l a b i l i t yo fh 脯t8 q n a t i o no nt h eh 们 l m ep r e p r j n t m a u c m1 0 3 8 引xz h a n g ，ar e m a r ko nn u l le x a c tc o n t r 0 1 | a b m yo ft h eh e te q u 晶t j o nf u l lt e x t ，f h l lt e x t 吖a i l a b l eo n t h ep u d l l 曲e rs i t ep u b h 8 h e rs i t e s o u r c e s i a mj o u r n a lo nc o u t r o la i i d0 p t h n i 铀t i 。na r d l l v ev 0 1 u m e 4 0 i s s u el2 u o lt a b l eo fc o n t e n t s 【4 】ad o u b o v a ，ef e r n a n d e z c a r a ，mg o n z a l e z b u t g o s 衄dez u a z u a ，o nt h ec o n t r 0 1 1 a b i i n y0 f p a r a b o l i 。s y s t e m sm t han o n l l n e a rt 自r ml r l v 0 i v i “gt h es t a t cb n dt h eg r a d l e n 七 s l a mj c o n t 呻】0 1 ) 一 t j m 、r 0 1 4 1 ，n o3 ，p p 7 0 88 1 92 。0 3 r 别i i f h c t o r i n ia n dd lr u s s e i l ，u j i i 如r mb o u n d so i lb i o r t h o g o j l a lf u n c t i o n sf o rr e a ie 。p o n e f l t j a l sw l 【h a n 卵雌c 毗i o nt ot h ec o n t r o h e o yo fp a r a b 0 1 i ce q u 扯i 。n s ，q u a n e r l yj a p p lm 扯h ，3 2 ( 1 目7 4 ) 4 j 一 6 1s 。r i nm l c ua 士l dez u a z u a 0 nt 1 1 ec o n 七r o l l 如i l i yo fa 如a c t i o n a lo r d e rp a r a b 。ll ce q u a t l o nd e c e m b e r 82 0 0 4 7 p l n g 1 ，z h o ”g c h e “g z h o u ，h a n g g e x n c tc o n t r 。l 】a b i i i t yo ft h ep a m b 0 1 i 。s y s t e mw i 曲b i l i n c 扎r c 。：n r 0 1 a p p l i e dm a 也e m 眦l c sl e c t e r s ( i np r e s s ) 1 8 。h xz h o uan o t eo n8 p p r o x j j n a t ec o n t r d l l a b i j i t y 妇s e m m n e a ro i l e - d l m e n s i o n a li 璀a ce q u a c i o n a p 吐m 扯ho p 机m8 ( 1 9 8 2 ) ，p p ，2 7 5 2 8 5 ez u a z u as o n l e 嘲u l t s do p e “p m b l e m so nt h ec o n t r 0 1 l a b 此yo f1 l n e a ra n ds e n l i i i n e a rh e 觚。q 旧一 t 1 0 n 1 0s e b a s t i a na n i t a d a n i e lt a t a r u n u uc o n t r o l l a b i l i yf 。rt h ed i 目s i p a t i v es e m m n e a rh e a te q u a o i o na p p 【 h i a 山o p l l m4 6 ：9 7 1 0 5 ( 2 0 0 2 ) 1 1 】0y ue m a n u l l o v 、b o u n d a r y c o n t r 0 1 l a b m yo f p a r a b 0 1 1 c8 q u a 伽n s r u s s l a n i a 妇s u n y s4 8 ( 1 9 0 3j n d1 9 2 一l 9 4 【圳c f a b r e ，jpp u e l ，e z u a 乱l a ，a p p r o x j m a 钯c n n t r 0 1 1 a b i l i t yo ft h es e m l l l n e a rh e a t