（应用数学专业论文）boltzmann方程初边值问题的green函数方法.pdf

：乏 ? 0 王 二二k。0 1 煳柳 t h eg r e e n sf u n c t i o nm e t h o df o ri n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f b o l t z m a n ne q u a t i o n at h e s i sp r e s e n t e d b y s h i j i nd e n g t o t h ed e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s i np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s f o r t h ed e g r e eo f d o c t o ro fp h i l o s o p h y i nt h es u b j e c to f m a t h e m a t i c s s h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y a p r i l2 0 0 9 附件四 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：1 币硅 日期：m 7 年7 月2 1 日 j “、，1 附件五 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密囱。 ( 请在以上方框内打“”) 学位论文作者签名：7 p t 卞砖 日期：2 。7 年? 月) 2 日 指导教师签名： 嘞加产夕月z 珀 j l 、l 上海交通大学学位论文答辩决议书 所在 姓名邓师瑾 学号 0 0 4 0 7 1 9 0 1 5应用数学 学科 答辩答辩 指导教师王维克 2 0 0 9 - 0 9 - 2 2 上海交通大学数学系 同期地点 论文题目b o l t z m a n n 方程初边值问题的g r e e n 函数方法 、 投票表决结果：雯：! 丘：，九同意票数实到委员数应到委员数) 答辩结论：叼通过口未通过 评语和决议： 邓师瑾同学的博士学位论文主要研究了如何运用g r e e n 函数方法解决b r o a d w e l l 模型的 两种初边值问题和b o l t z m a n n 方程的边界层问题。 对于b r o a d w e l l 模型初边值问题，作者首先讨论了超音速边界情形与亚音速边界情形， 分别采用边界能量估计与初值问题g r e e n 函数相结合的方法以及通过逼近方法获得完全边 界信息并构造了初边值问题的g r e e n 函数，获得了非线性问题解的逐点估计。然后，对于 b o l t z m a n n 方程的边界层问题，作者将非特征情形下边界层的存在性与稳定性纳入统一框架 下，分别选取不同的g r e e n 函数加以处理，使用时间渐近方法重新证明了边界层的存在性 理论，给出了边界层的估计。最后，在证明存在性的过程中，同时获得了m a c h 数小于一l 时，边界层的稳定性。当研究m a c h 数大于一1 时边界层的稳定性时，成功使用常状态附近扰 动获得的线性方程所对应的基本解来表出边界层解，获得了非特征边界下边界层的稳定性 并得至0 了逐点收敛这度。 邓师瑾同学的博士学位论文选题具有一定的创新性，写作条理清楚，论证严谨，推理正 确。论文所得结果具有理论意义，论文表明作者具有较强的科研能力，扎实的基础理论知 识和系统的专业知识。答辩委员会经过讨论一致认为邓师瑾同学的博士学位论文是一篇 优秀的博士学位论文，建议授予邓师瑾同学理学博士学位。 秒( 79 年夕月z 2 一日 j 职务姓名职称单位 签名 笈 主席陈恕行教授复旦大学 僻地斫 口 辩委员尤释贤教授新加坡国立大学 程| 钮 委 委员张永前教授复旦大学 _ ，d 气一 贝 蔽印而 厶 委员王亚光教授上海交通大学 剃， 石 成 掀 口委员李亚纯教授上海交通大学 贝 签 委员 名 委员 秘书 徐恒敏副教授上海交通大学 s 拿妈钦 b o l t z m a n n 方程初边值问题的g r e e n 函数方法 摘要 本文主要以空气动力学方程为例，考虑了g r e e n 函数方法如何运用于解决初边 值问题及特殊的变系数问题上。本文的主要内容如下： 第一章为绪言。在这里，我们回顾了空气动力学方程的物理背景及研究历史， 并交代了将要研究的两个方程和相关的主要结论。 第二章中，我们研究了一个特别的离散b o l t z m a n n 方程( b r o a d w e l l 模型) 。分 别考虑了它的两种初边值问题。当物理边界为超音速边界时，我们用初值问题的基 本解结合边界的加权能量估计获得了解的逐点描述。当边界为亚音速边界时，我们 运用一套迭代格式，用渐近方法获得边界的完整信息，并在初值问题基本解的基础 上构造了初边值问题的基本解。使用这一基本解的估计，再加上对非线性波相互作 用的考虑，我们获得了非线性方程解的逐点收敛速度。 第三章中，我们考虑了b o l t z m a n n 方程k n u d s e n 边界层问题。我们使用时间渐 近方法重证y 7 8 1 中获得的边界层的存在性理论，给出了边界层的估计。并在证明存 在性的过程中，同时获得了马赫数( 文中所提到的马赫数都是指我们定义的特定的 马赫数) 小于1 时，边界层的稳定性。这也是使用这一方法的一个优点。当研究马 赫数大于1 时边界层的稳定性时，尽管相应的线性方程是变系数方程，我们仍然使 用常状态附近扰动获得的线性方程所对应的基本解来表出非线性方程的解。这是由 于误差项足够小，又有快速的衰减，使得我们得以用处理非线性项的方法来处理该 误差项。不同的是，边界为超音速时( 指马赫数大于1 ) ，使用初值问题基本解；而 边界为亚音速时，使用初边值问题的基本解。我们最终获得了非特征边界下边界层 的稳定性，并得到了逐点收敛速度。 本文中所采用的g r e e n 函数方法也可以用于处理其他带耗散结构方程的初边值 问题。事实上，我们还用这一方法考虑了硬势情形下k n u d s e n 边界层的稳定性和多 维带阻尼项e u l e r 方程的初边值问题以及b r o a d w e l l 模型带有质量守恒边界条件的初 边筐问题。另外，考虑到初值问题g r e e n 函数的构造是用g r e e n 函数方法研究初边 i 上海交通大学博1 j 学位论文 值问题的基础，我们还构造了多维带松弛项守恒律方程初值问题的基本解。限于篇 幅，没有将其列于本文之中。详见 1 9 ，2 0 ，1 6 1 。 关键词：g r e e n 函数方法，初边值问题，b r o a d w e l l 模型，b o l t z m a n n 方程，k n u d s e n 边界层 一一 t h eg r e e n sf u n c t i o nm e t h o df o ri n i t i a l b o u n d a r yv a l u e p r o b l e mo fb o l t z m a n ne q u a t i o n a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，w et a k ek i n e t i ce q u a t i o n sa se x a m p l e st oc o n s i d e rh o wt h eg r e e n sf u n c - t i o nm e t h o di sa p p l i e dt ot h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n d e q u a t i o n sw i t hn o n c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s t h et h e s i si sa r r a n g e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e rl 。w er e v i e wt h ep h y s i c a lb a c k g r o u n do fk i n e t i ct h e o r ya n dt h eh i s t o r yo f s t u d yf o rb o l t z m a n ne q u a t i o n w ba l s oi n t r o d u c et h ep r o b l e m sw ew i l ls t u d ya n dt h em a i n r e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e ras p e c i a ld i s c r e t eb o l t z m a n ne q u a t i o n ，t h eb r o a d w e l lm o d e l w es t u d yt w od i f f e r e n ti n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ft h i sm o d e l w h e nt h ep h y s i c a l b o u n d a r yi sas u p e r s o n i co n e ，g r e e n sf u n c t i o nc o m b i n e dw i t ht h eb o u n d a r ye n e r g ye s t i m a t e y i e l d st h ep o i n t w i s ed e s c r i p t i o no ft h es o l u t i o n i ft h eb o u n d a r yi ss u b s o n i c ，w eh a v et o a p p l ya n i t e r a t i o ns c h e m et og e tt h ef u l lb o u n d a r yi n f o r m a t i o n w ea l s oc o n s t r u c tt h eg r e e n s f u n c t i o nf o ri n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m e s t i m a t e sf o rs u c hag r e e n sf u n c t i o nt o g e t h e r w i t hc o n s i d e r a t i o no fn o n l i n e a rw a v ec o u p l i n gr e s u l ti nt h ep o i n t w i s ec o n v e r g e n c er a t eo f t h es o l u t i o nf o rt h en o n l i n e a rp r o b l e m i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yp r o b l e m so fk n u d s e nl a y e rf o rt h e b o l t z m a n ne q u a t i o n b yu s i n gt h et i m ea s y m p t o t i cm e t h o d ，w er e g a i nt h ee x i s t e n c et h e o r y w h i c hh a sb e e no b t a i n e di n 【7 8 】a n da l s og e tt h ee s t i m a t ef o rb o u n d a r yl a y e r o n eo ft h e a d v a n t a g e so fc h o o s i n gt h i sm e t h o di st h a tw ec a ng a i nt h es t a b i l i t yo ft h eb o u n d a r yl a y e r w h e nm a c hn u m b e ri sl e s st h a n li nt h ep r o o fo ft h ee x i s t e n c e v c h e nm a c hn u m b e ri sl a r g e r t h a n - 1 w eu s et h eg r e e n sf u n c t i o nf o re q u a t i o nw h i c hi sl i n e a r i z e da r o u n dt h em a x w e l l i a n t os t u d yt h ee q u a t i o n sw i t hn o n - c o n s t a n tc o e f f i c i e n t s s i n c el i n e a r i z a t i o na r o u n db o u n d a r y l a y e rc a nb ec o n s i d e r e da st h ec o m b i n a t i o no fl i n e a r i z a t i o na r o u n dt h em a x w e l l i a na n da s m a l lt e r mw h i c ha l s od c c a y se x p o n e n t i a l l yo ns p a t i a lv a r i a b l e ，w et r e a tt h ee x t r as m a l l i 上海交通人学博，i ：学位论文 t e r mb yu s i n gt h em e t h o dw h i c hw et a k et ot r e a tt h en o n l i n e a rt e r m w h e nm a c hn u m b e e i sl a r g e rt h a n1 ，t h eg r e e n sf u n c t i o nf o rc a u c h yp r o b l e mi sa p p l i e dw h i l ew h e nb o u n d a r y i ss u b s o n i c ，w ew i l lu s et h eg r e e n sf u n c t i o nf o ri n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m f i n a l l y , w e p r o v et h a tt h eb o u n d a r yl a y e ri ss t a b l ew h e nb o u n d a r yi sn o tc h a r a c t e r i s t i ca n dg e tt h e p o i n t w i s ec o n v e r g e n c er a t e i nf a c t , s u c hm e t h o d sc a na l s ob eu s e dt ot r e a tt h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o r o t h e rs y s t e m sw i t hd i s s i p a s i v es t r u c t u r e t h es t u d yf o rk n u d s e nl a y e rf o rh a r d p o t e n t i a l m o d e la n dh a l f - s p a c ep r o b l e m so fm u l t i d i m e n s i o n a le u l e re q u a t i o n sw i t hd a m p i n ga n dt h e c o n s t r u c t i o no ft h eg r e e n sf u n c t i o nf o rt h ec a u c h yp r o b l e mo ft h ec o n s e r v a t i o nl a w sw i t h r e l a x a t i o nc a nb ef o u n di n 1 9 ，2 0 , l 6 】 k e yw o r d s ：g r e e n sf u n c t i o nm e t h o d ，b o u n d a r yw e i g h t e de n e r g ye s t i m a t e ，i n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，b r o a d w e um o d e l ，b o l t z m a n ne q u a t i o n ，k n u d s e nl a y e r 一一 目录 摘要 i a b s t r a c t ( 英文摘要) i l i 目录 第一章绪论 1 1 1 物理背景 1 1 2 相关工作2 1 3 本文结构和主要结论6 1 3 1b r o a d w e l l 模型6 1 3 2b o l t z m a n n 方程9 第二章b r o a d w e l l 模型的两种初边值问题1 3 2 1 引言1 3 2 2 本章预备知识1 7 2 2 1b r o a d w e l l 模型初值问题的g r e e n 函数1 7 2 2 2 波的相互作用1 8 2 3 带超音速边界的初边值问题2 2 2 4 带有距音速边界的初边值问题2 9 2 4 1 一个特别的问题3 0 2 4 2 初边值问题g r e e n 函数的构造3 8 2 4 3 非线性问题4 0 第三章b o l t z m a n n 方程的k n u d s e n 边界层问题4 6 3 1 引言4 6 3 2 本章预备知识5 8 3 2 1 基本记号和宏观微观分解5 9 3 2 2 迎风逆风分解和能量估计6 l 3 2 3 关于碰掩算子的g r a d 引理6 2 3 2 4b o l t z m a n n 方程初值问题和初边值问题的g r e e n 函数6 5 v 上海交通大学博一i 二学位论文 3 3k n u d s e n 边界层的存在性( 时| b j 渐近方法) 7 0 3 3 1 阻尼方程的g r e e n 函数7 2 3 3 2 边界能量估计7 5 3 3 3 非线性波8 2 3 4 波的相互作用8 5 3 5m 1 时k n u d s e n 边界层的稳定性9 0 3 5 1 边界推进9 1 3 5 2 非线性项9 3 3 6 1 m 0 是粒子 碰撞的平均自由路径( 或为表示平均自由路径与空间某个特征长度之商的k n u d s e n 一2 一 第一章绪论 数) 。非线性项q ( f ) 揭示了粒子相互碰撞的作用。 iq ( f ) 三b ( f ，f ) ， b ( 9 ， ) ( ) 兰三上。s 。 l ( 一夕( ) ( ) 一九( ) 9 ( ) + 夕( f 7 ) ( g ) + ( 7 ) 夕( g ) ) g ( ，p ) 埏，d i 2 ， lf = f 一【( f 一6 ) q 】q ， ig = 6 + 【( 一q 】q 这里，q s 2 ， u = i f 一i ，c 0 80 = 三( f 一。) q u ，6 和7 ，分别是两个粒子碰撞前后的速度。函数q 被称为碰撞核，由两个碰撞粒 子相互作用的势来决定。最典型的例子就是硬球碰撞情形，它指两个粒子只有在互 相碰撞时才相互作用，此时 ， q ( v ，0 ) = q o v ic 0 8 0 l ， 9 0 是一个硬球的表面面积。 t s c a r l e m a n 在1 9 3 2 年证明了该方程空间变量齐次情形时初值问题解关于时 间的整体存在性，【6 】。这是b o l t z m a n n 方程第一个解的存在性定理。1 9 6 5 年g r a d 在 2 9 1 中构造出空间变量非齐次情形时m a x w e l l i a n 附近的局部解，之后s u k a i 于t 9 7 4 年在g r a d 工作的基础上构造了m a x w e l l i a n 附近的整体解，【7 4 。此后，对 b o l t z m a n n 方程的研究有了许多重要进展。 在二十世纪中，对b o l t z m a n n 方程的研究主要是在l 和l 1 框架下进行的。 一方面，g r a d 格式得到了推广，被用以构造各种初值及初边值问题的整体解， 从而得到了l 框架下的结果，详见 7 4 ，7 5 ，6 5 ，6 9 ，7 6 ，2 】。另一方面在1 框架 下，d i p e r n a l i o n s 2 2 构造了整体己1 解。他们所得到的是“大解 ，对于初值不需 加上小性的要求。之后，许多数学家推广发展了这一方法，见【l ，2 1 ，7 3 ，8 1 。 在近十年来，人们开始使用能量方法在l 2 框架下考虑b o l t z m a n n 方程。事 实上，刘太平、杨彤和尤释贤 5 3 ，5 5 1 及郭岩【3 4 】提出的宏观微观分解，揭开了 b o l t z m a n n 方程研究新的一页。能量方法的使用不仅可以解决常状态( 即m a x w e l l i a n ) 附近的扰动，也町以用来考虑各种波( 例如激波、边界层) 的稳定性，并被用以 一3 一 上海交通大学博士学位论文 考虑v l a s o v p o i s s o n ( m a x w e l l ) 一b o l t z m a n n 方程及带外力的问题，见 5 5 ，5 4 ，7 8 ，7 9 ，2 3 ， 2 4 ，8 0 ，8 7 - 8 9 。 而关于初边值问题及边界层问题，s o n e 教授等人在 7 1 ，7 2 中通过形式的渐近展 开和数值计算得到了系列结果。对于b o l t m a n n 方程边界层从分析角度进行研究的文 章有【3 ，1 3 ，2 7 ，7 8 ，7 9 。 不过我们在本文中对初边值问题的研究并不想使用上述的三种框架，我们想要 知道关于解更多的信息。在解方程最开始的历史上，人们试图给出解的公式，例如 波动方程的k i r c h o l o f f 公式。但是随着研究的方程越来越复杂，人们意识到给出解的 公式有时是很难做到的，于是人们开始构造出许多空间，发展出各种方法，从侧面 来了解方程解的性态。例如能量方法。尽管我们无法解出方程，但是能量方法可以 给出解的l 2 的信息。甚至通过使用s o b o l e v 嵌入不等式，我们还可以得到解的l 估计。然而，不论是l 2 或l 估计，我们都已经损失了一部分关于空间变量的信 息。如果我们能够逐点地描述出解的形状和大小，这就达到了与写出解的公式相似 的效果。非常幸运地，g r e e n 函数方法使这一切成为了可能。 g r e e n 函数方法将微分方程转化成了积分方程，从而获得了解的显式表达。对于 初值问题而言，原方程的解可以用g r e e n 函数与初值的卷积及g r e e n 函数与非线性 项的卷积再关于时间做积分表示出来。以一个非线性热传导方程为例， 饥一= 牡4 若将它的g r e e n 函数记为g ，则g 由以下问题决定： 而非线性问题的解可以表示为 ggt。z-，。g，x：x=6。no, 牡( z ，t ) = g ( z ，z ) 幸u ( z ，。) 一tg ( x ，t - - s ) 奉t 1 4 ( z ，s ) d s 显然，如果我们知道g r e e n 函数的详细信息，就可以得到非线性问题解的估计。 在 5 9 1 中刘太平和y a n n iz e n g 用g r e e n 函数方法研究了一维双曲抛物耦合方程。 在那里他们详细地构造了一维n a v i e r - s t o k e s 方程的g r e e n 函数，从而获得了非线性 一4 一 第一章绪论 问题的逐点估计。刘太平和王维克又将其发展到高维情形。在 6 0 1 中，他们构造了奇 数维n a v i e r - s t o k e s 方程的g r e e n 函数。之后关于使用g r e e n 函数方法解决带阻尼项 的e u l e r 方程和n a v i e r - s t o k e s 方程的初值问题有了许多工作，见 8 2 ，8 3 ，8 5 1 。 可以看到在整个g r e e n 函数方法当中，g r e e n 函数的构造是一切的基础。然而从 以前的工作中，我们知道这件事并不容易。事实上，在构造g r e e n 函数的过程中， 主要使用的是f o u r i e r 变换。由于在频域中，偏微分方程变成了常微分方程，我们总 可以将解写出来，并获得解在频域空间的性质。问题是，逆f o u r i e r 变换绝非易事。 我们通常只能通过f o u r i e r 变换及逆f o u r i e r 变换的性质来推断解在z 空间会具有怎 样的形式和性质。而高维问题和复杂的方程都会使得整个构造过程变得更困难。 尽管b o l t z m a n n 方程结构非常复杂，刘太平和尤释贤充分利用了方程的特殊性 质，设计了针对b o l t z m a n n 方程的特别办法，通过波粒分解和高低频分解以及加权 能量估计获得了一维情形初值问题g r e e n 函数的清晰描述，【5 6 。之后，他们又根据 方程的对称性，构造了三维情形初值问题的g r e e n 函数，【5 7 】。 我们已经提到构造g r e e n 函数使用的主要是f o u r i e r 变换。于是我们自然会问如 果碰到初边值问题和变系数情形，g r e e n 函数是否还是适用的呢? 事实上，g r e e n 函 数作为目前几乎是唯一的可以得到解的逐点估计的工具，人们自然不想放弃它。为 了处理初边值问题和变系数情形，尽管未必已形成一套系统的理论，不过已有一些 工作。 关于初边值问题的工作如下： 在【4 8 】中，尤释贤等人研究了b r o a d w e l l 模型带有超音速边界的初边值问题。他 们借用 5 6 1 中的思路，得到了初值问题g r e e n 函数的估计。之后，在初值问题的基础 上，他们进一步通过波粒分解和边界能量估计，构造了初边值问题的g r e e n 函数， 从而获得了非线性问题解的逐点估计。在他们所考虑的情形当中，由于波的主体部 分被切断在考虑的区域之外，而所提的边界条件又带有耗散的机制，所以他们最终 获得的结果是解关于时间变量和空间变量都以指数衰退的速度收敛到平衡状态。在 这一问题中，由于边界项可以直接通过能量方法估计出来，所以边界的存在并没有 增添太多的困难。 在此之后，刘太平和尤释贤考虑了b o l t z m a n n 方程带亚音速边界的初边值问 题。由于边界项已不再可能直接通过能量方法获得，他们设计了一套迭代格式，构 造了一串序列来获得边界项的近似估计。在此基础上，通过仔细地分析边界项与 g r e e n 函数中奇异部分的相互作用，他们构造出了初边值问题的g r e e n 函数。并考虑 5 上海交通大学博上学位论文 了非线性问题，证明了解逐点收敛到常状态，获得了收敛速度。 关于变系数情形的工作如下： 在【8 4 】中，王维克和杨彤考虑了高维带阻尼项e u l e r 方程平面扩散波的稳定性。 他们主要采用的是近似g r e e n 函数的办法。 1 3 本文结构和主要结论 本文主要分为两个部分。第一部分是通过g r e e n 函数的办法来研究b r o a d w e u 模 型的初边值问题，相应结果发表于 1 7 ，1 5 】；第二部分是用g r e e n 函数考虑b o l t z m a n n 方程边界层的稳定性问题，相应结果发表于【1 8 】。 1 3 1b r o a d w e l l 模型 在第二章中，我们先后用初值问题g r e e n 函数和构造初边值问题g r e e n 函数的 办法来研究两个不同的边界问题。我们之所以研究b r o a d w e l l 模型的原因是，它是 b o l t z m a n n 方程的简化的离散化的模型。一方面该方程是一个常系数带阻尼项的方 程，具有简单的结构，另一方面它仍然保留了许多b o l t z m a n n 方程特有的性质。所 以，对它的研究将有助于我们对b o l t z m a n n 方程的理解。 b r o a d w e l l 模型满足的方程是 其中， = a | c f + v o = f = q ( f ) 1 0 i v = l0 0 i | 00弘睁( 一鞋，) ( 1 3 1 ) 当f 为常数且满足q ( f ) = 0 时，显然f 是方程的解。这样一族常数解被称为平 衡态。在本文当中，我们选取特定的平衡态 m = ( 丢，_ 1 石1 ) 2 进行研究。非线性碰撞算子o ( f ) 在该平衡态附近进行线性化，我们可以得到相应的 一6 一 线性化算子 第一章绪论 1 l 2 一石 根据这个线性化算子我们可以得到被称为“宏观微观分解”的投影算子( p o ，p 1 ) 。它 们满足： ppo。ll：=llp：o-lpo。, c 3 2 ， 计算矩阵p o v p o l , 鼢g 。( p 0 ) 的特征根，我们会发现它们正好是宏观流体的声速： o r 眈) = 一丽1 ，丽1 ) ( 1 3 3 ) 实际上，我们所研究的初边值问题中，物理边界的速度正需要与这两个特征根 进行比较。也就是说，将物理边界记为z = b t ，则击 b 1 时是一种情形，被称 之为带有超音速边界的初边值问题。若一1 b 一丽1 ，边界仍然是超音速边界，但 此时的问题已经不同于第一种超音速边界情形；而一去 0 ， f ( x ，0 ) = m + w o ( z ) ， ( 1 3 5 ) ( 1 0 0 ) f ( b t = ( 1 0 0 ) m 一7 一 、il-、 1 1_l l 一 - l 一 1 0 = 划l 卜 即 烈 即 一+) ：0 i ) 0 1 卜 o 们咆卜h 上海交通人学博士学位论文 其中初值的扰动满足：对于任意z 0 ， i l w o ( z ) l i c c e 一 ( 1 3 6 ) 定理1 1 ：存在充分小的常数e 0 使得当初始值w o ( x ) 满足( 1 3 6 ) 时，( 1 3 4 ) 的解 f ( x ，t ) 满足 ”fcz，幻一m“ce(竺兰三掣+e一陋l+幻，c) f 万丽1 丽而，距( 一击汁撕，击卜相， 0 ， z ( o ，一去t + 以) u ( 击一v ：，o o ) ， 这里”0 由下式定义： l l g l l = ( i g j ( x ，t ) 1 2 ) ， j = l 而c 是一个绝对常数。 定理1 2 ：存在充分小的常数e 0 使得当初始值w o ( x ) 满足( 1 3 6 ) 时，( 1 3 5 ) 的解 f ( z ，t ) 满足 1fcz，t，一miice(!兰三喾+e一“叫+。c) mj 弼赤丽_ 似寤卅) m 3 渤 | 0 ， z ( 击一以，c o ) 这两个结论是类似的，但证明的过程采用了不同的方法。对于第一个问题，我 一8 一 第一章绪论 们使用【4 8 中所构造初值问题g r e e n 函数给出了解的显式表达。在表达式中来自边界 的一项需要完整的边界信息，而我们通过加权能量方法得到了这些信息。于是我们 可以从解的表达式、g r e e n 函数的估计和非线性波的相互作用中，得到解的估计。 然而对于第二个问题，上述方法是失效的。原因是我们无法直接通过加权能量估计 来获得完整的边界信息。所以我们将构造初边值问题的g r e e n 函数，用它来给出解 的表达式。这样在表达式中将不出现来自边界的项，这是因为所有的信息都包含在 初边值问题的g r e e n 函数中。而构造初边值问题的g r e e n 函数需要借助初值问题的 g r e e n 函数。我们首先设计一种分解( 被称为波粒分解) 将g r e e n 函数分为奇异部 分( 粒子) 和具有正则性的部分( 波) 。其中奇异部分满足的是带完全阻尼项的双 曲问题，可以直接通过特征线法得到。而对于具有正则性的部分，我们用初值问题 的g r e e n 函数来给出显式表达。尽管表达式中含有来自边界的项，尽管用能量方法 无法直接得到边界估计，我们设计了一套迭代格式，通过迭代的办法估计出了边界 项，从而获得这一部分的逐点估计。于是我们给出了初边值问题g r e e n 函数的详细 描述，这样就能够得到解的估计。细节的部分请参见第二章第四节。 1 3 2b o l t z m a n n 方程 在第三章中，我们研究的是b o l t z m a n n 方程的k n u d s e n 边界层问题。由于研究 的是边界层的稳定性，线性方程的系数不可能是常系数。这就使得构造线性问题的 g r e e n 函数非常困难。我们第一次尝试使用常状态附近扰动获得的线性方程所对应的 g r e e n 函数来考虑非常状态波的稳定性。在这里，我们充分利用了边界层本身也是 常状态附近小扰动这一性质，将非线性碰撞算子在常状态附近展开后剩下的是非线 性项和边界层的小扰动与未知函数的耦合项。这样，我们就能直接使用之前常系数 情形时构造的g r e e n 函数。由于边界层扰动的小性并且关于空间变量具有快速的衰 退，而且经过我们验证这个衰退速度足以弥补在时间变量上损失的衰减，所以可以 将该小扰动与未知函数的线性耦合项当作非线性项来处理。 所谓k n u d s e n 边界层垂的稳定性，是指边界层附近的小扰动是否会随着时间趋 于o ? 扰动函数就是下列初边值问题的解： a t w + f 1 如w l w = l 6 w + r c w ) ， w ( o ，f ) i e - 0 = 0 ， ( 1 3 9 ) w ( z ，0 ，) = w o ( z ，f ) ， 一9 一 上海交通人学博士学位论文 其中 而初始值w o ( x ，) 满足： m ，m 1 2 w ) ， ( 西一m ，m 1 2 w ) ， ( m 1 2 w ) ， s u pi w o ( z ，荨) i ( 1 + ) 3 ee _ t ，其中e 1 e r 3 这一章的主要结果如下： 定理1 3 ( 朋 一1n i m l l ，0 时边界层的稳定性) ：当m - 1 且i m i 0 ，1 时，k n u d s c n 边界层西是非线性稳定的，即若e 充分小时，( 1 3 9 ) 的解w ( x ，t ，) 满足： 纠吣 钏鲰妾薷坝e 刈，g +ce一二三：二j二：二。入32，。，c3-。， 其中( a l ，入2 ，a 3 ) = ( t 1 1 一c ，u 1 ，t | 1 + c ) ，而常数c 0 是一个绝对常数。 这里的m 为本文定义的特殊的马赫数( 与马赫数的区别是：a 4 有可能为负 数，本文将不加区别地称之为“马赫数”) ，详细定义见第三章。该定理将分为 朋 1 和0 i m l l 的证明，我们采用了下列 方法：我们首先做出解在l 模下充分小的假设。这使得我们可以进行边界能量估 计。不过，我们不是通过能量方法来验证先验假设，而是将能量估计中得到的边界 数据与g r e e n 函数g t 相结合，然后获得解的关于解衰退速度的假设。不过g r e e n 函 数q 对边界项的作用是非常微妙的。我们必须小心处理其中的奇异部分。我们会 用到波粒分解将g r e e n 函数姣分成几部分，分块来处理由慢粒子引起的奇异性。在 考虑线性和非线性波的相互作用之后，我们就可以验证提出的关于解衰退速度的假 一1 0 一 卧唱叼 1 伦 堆 叫 叫 卅 删 圳 朝 忙忙 舭 舭 l l r ，、【 第一章绪论 设。而这个经过验证的用g r e e n 函数办法和边界能量估计结合得到的关于解衰退速 度的假设也证明了之前提到的先验假设的正确性。这样无需做高阶能量估计，我们 就获得了非线性问题解的逐点估计。0 l m i o = = b + ( f ) i - o ， 【如，o ，) = f 0 ( 咄) 这个方程解的稳定性再加上l i m t - + f ( z ，t ，) 是下列问题的解 j 1 以妒一l 矽= 一7 p 吉 1 砂+ r ( 妒) ，y o ， 【妒( o ，t ，) l f - o = b + ( ) l l o ， 这一事实就导出了边界层的存在性： 定理1 4 ( 存在性) ：对于给定的m = m 1 ，u ，卅，t = 托1 ，0 ，0 ) 和马赫数满足的条件 朋( 三u 1 v f 丽) g - 1 ，0 ，1 ) 可知，存在映射 霍： h ( ) b 。1 8 u p ( 1 + ) 3 i h ( 钏 0 使得对于任意h m 一1 ( o ) n s u p s ( 1 + ) 3 l h ( f ) i 6 ) ，连接边界数据 f b 1 0 = ( m + i 1 2 h ) i e l o 和m a x w e l l i a nm 的k n u d s e n 边界层中存在，且圣满足： 当z 0 时， s u p ( 1 + l i ) 3 m 一1 2 i 垂一m i 6 e 一1 王c ， 上海交通大学博一 ：学位论文 其中 d = 集合u 一俪7 u l ，u l + 厕) n r + 中元素的个数 当m 一1 ，算子p o + 为零。所以从上面定理的证明过程中，我们可以直接得到 m 一1 情形下边界层的稳定性： 定理1 5 ( a , t 一1 时边界层稳定性) ：当朋 一1 时，定理1 4 中给出的k n u d s e n 边 界层西是稳定的，即( 1 3 9 ) 的解w ( x ，f ) 指数收敛到o 。 一1 2 一 巨麓篓 亿， 凇= 一睡卜唯隧，) 那么我们可以将b r o a d w e l l 模型写成类似b o l t m