（机械工程专业论文）平面啮合少齿数齿轮副齿形设计研究.pdf

中文摘要 少齿数齿轮传动是一种能在较小空间内实现大传动比的单级齿轮传动。本文 以齿数为2 的小齿轮齿形设计为研究内容，在分析渐开线少齿数齿轮齿廓变化特 点的基础上，探究了高承载能力少齿数齿轮的齿形设计方法。主要工作如下： 运用微分几何及齿轮啮合理论，建立了少齿数齿轮平面啮合传动的几何模型 及其啮合的数学模型，为齿轮副廓形设计研究提供理论基础。 提出了基于弯曲强度理论确定齿轮副齿形最小廓形界限，并依据齿轮啮合理 论确定齿轮副齿形的最大廓形界限，为齿轮副安全齿廓设计提出了齿形廓形界限 域的设计理论。 对平行轴渐开线双向变位齿轮传动的特点进行分析，并对其设计参数选择对 齿廓的影响进行了研究。在此基础上，对齿数为2 的少齿数齿轮的新型齿形的设 计进行了研究。 差阂= 少齿数齿轮传动齿形设计设计理论 a b s t r a ct g e a rs e tw i t hs m a l ln u m b e ro ft e e t hi sak i n do fs i n g l es t a g et r a n s m i s s i o n m e c h a n i s mt h a tc a nr e a c hb i gg e a rr a t i oi ns m a l ls p a c e t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e do i l t h et o o t hp r o f i l ed e s i g nf o rg e a rs e t sw i t hh i g hl o a dc a r r y i n gc a p a c i t yo nt h eb a s i so f i n v o l u t e st o o t hp r o f i l e t h em a i nc o n t e n t si n c l u d et h ef o l l o w i n g ： b a s e do nt h ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r y ，t h ep r i n c i p l eo fg e a re n g a g e m e n tk n o w l e d g e ， t h eg e o m e t r i cm o d e la n di t sm a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h ep l a n a rg e a rt r a n s m i s s i o na r e e s t a b l i s h e d i tp r o v i d e st h e o r e t i c a lb a s i sf o rt h eg e o m e t r yl i m i t so ft h eg e a rp a i r p r o f i l e t h ep r o f i l el i m i t e dd o m a i nr e s e a r c hi sp r e s e n t e do i lt h eb a s i so fs t r e n g t ht h e o r y a n dg e o m e t r i c t o p o l o g y t h em i n i l l l l l n t o o t hp r o f i l e so ft h ep a i r e dg e a r sa r e d e t e r m i n e do nt h eb a s i so fs 血e n g t ht h e o r yw h e nt h eg e a rs e t st r a n s l l i tt h em a x i l l u m t o r q u e t h e n , t h em a x i m u mt o o t hp r o f i l e so f t h ep a i r e dg e a r sa r ed e t e r m i n e db a s e do n t h et h e o r yo fg e a rm e s h i n g t h es p a c eb e t w e e nt h em a x i m u mt o o t hp r o f i l e sa n dt h e m i n i m u mi st h et o o t hp r o f i l el i m i t e dd o m a i n ，i tw i l lp r o v i d e dt h ev i s u a la p p r o a c ht o d e t e r m i n ei ft h ed e s i g n e dt o o t hp r o f i l ei ss a f e a c c o r d i n gt ot h et h e o r ya b o v e ，t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n dt h ep a r a m e t e rs e l e c t i o no f t h ep r o f i l es h i f t e di n v o l u t e sg e a ri nt w od i r e c t i o n sa r ea n a l y z e d t h e nt h ed e s i g n m e t h o d sf o rg e a r sw i t hn e wk i n d o fp r o f i l e sa r es t u d i e d k e y w o r d s ：g e a r s e t sw i t hs m a l ln u m b e ro ft e e t h ，t o o t hp r o f i l ed e s i g n ， d e s i g nt h e o r y 第一章绪论 1 1 课题研究的背景及意义 第一章绪论 齿轮传动作为机械传动装置中最重要的一部分，具有传动比变化范围大、传 递效率高、结构紧凑等优点，被广泛应用在各种机械设备中。随着机械传动装置 向着小型化、轻量化方向发展趋势的日趋明显，在满足设计要求以及工作条件许 可的情况下，齿轮传动的小型化、轻量化受到越来越多的人的关注。 通常人们采用蜗杆传动、少齿差齿轮传动以及谐波齿轮等单级传动比较大的 装置来实现这种要求。普通单头蜗杆传动的效率为7 0 左右，带自锁的只有5 0 左右，而且造价较高；在少齿差齿轮传动中，渐开线齿轮传动对误差极为敏感且 效率低，摆线齿廓的制造成本较高而且对零部件的加工精度要求较高，活齿少齿 差传动效率低且制造复杂，而且它们都是内齿轮传动，应用场合有限：谐波齿轮 存在传动功率小、效率低、寿命短等缺点。总之，这些单级传动比大的齿轮装置 都存在一些不足，这使得它们的应用都受到一定的限制。而平行轴少齿数齿轮机 构可以很好地应用于对机械装置小型化、轻量化要求较高的场合。 1 】 平行轴少齿数齿轮通常是指齿数介于2 8 之间的齿轮。这种齿轮机构可以在 传动比一定的情况下大幅减小传动装置的体积，或者在体积一定的条件下获得很 大的传动比。平行轴少齿数齿轮传动副实体造型如图1 1 所示。 1 i 图1 - 1少齿数齿轮传动副实体造型【2 】 目前，平行轴少齿数齿轮已经在航空航天、军工、精密仪器设备等领域有一 定的应用，其中以渐开线齿廓的少齿数齿轮应用较为广泛。然而，由于小齿轮齿 数非常少，传统的渐开线齿廓的优点没有充分体现出来，反而存在许多缺点，导 致其应用受到很大限制。渐开线少齿数齿轮的齿廓如图1 2 所示。 第一章绪论 4 2 e 乓0 r x - 2 - 4 图1 - 2 渐开线少齿数齿轮 图1 2 所示为齿数为2 的渐开线少齿数齿轮的齿廓形状随径向变位系数x ，增 加的变化情况。其法向模数m n = 1 5 ，法向压力角口。= 2 0 。在图1 - 2 ( a ) 中小齿轮 齿根部分出现了根切现象。 从上图可以看出，与普通齿轮相比，渐开线少齿数齿轮传动一般具有以下特 点： 1 、由于小齿轮齿数较少，齿根部分出现了根切现象。为了避免根切，小齿 轮需采用大的变位系数，这样又引起齿顶变尖和齿顶高缩短等问题，严重影响齿 轮的承载能力； 2 、小齿轮端面重合度严重降低，为了满足重合度的要求实现齿轮的连续传 动，少齿数齿轮采用大的螺旋角和齿宽。这样不但使得齿廓间的相对滑动加剧， 而且应用传统的加工方法对其加工时难度较大且效率较低； 3 、小齿轮的齿根圆比较小，其整体扭转刚度、强度较差。为了提高少齿数 齿轮传动中小齿轮的扭转刚度，一般采用齿轮轴的形式： 2 第一章绪论 4 、为了提高整体啮合刚度，减少因边缘接触和局部啮合而造成齿轮工作时 的振动和冲击，提高齿轮的寿命，一般要对齿廓曲线进行修形。 3 】 渐开线少齿数齿轮传动具有上述诸多缺点，但同时少齿数齿轮传动具有传动 比非常大、传动效率较高且节省空间等优点，具有很好的应用前景。目前国内外 对少齿数齿轮的齿形设计理论和制造关键技术的研究还比较少，使其推广应用受 到很大限制。因此，对少齿数齿轮齿形设计方法以及制造关键技术进行进一步的 深入研究仍然是非常必要的。 本文在对廓形界限域研究的基础上，首先对少齿数渐开线双向变位齿轮的传 动特点及设计参数选择进行了研究，然后对新齿形的设计方法进行了探索。本文 的研究对提高少齿数齿轮的强度及传动性能具有一定的理论意义和实用价值。 1 2 国内外少齿数齿轮传动研究发展状况 齿轮传动作为应用最广泛的传动形式之一，经历了漫长的发展过程。随着齿 轮设计制造技术的不断进步以及生产力水平的不断提高，齿轮传动从最原始的木 质直线齿轮到后来的铸造原始圆弧齿轮、最早应用于钟表业的摆线齿轮以及到应 用最广泛的渐开线齿轮，再到后来的圆弧齿轮、双鼓形齿齿轮、非圆齿轮等。 随着齿轮传动装置向着小型化、轻量化方向的发展，少齿数齿轮传动越来越受到 人们的关注。近年来，国内外学者对各种齿形的少齿数齿轮传动进行了一定的研 究。 1 2 1 渐开线齿廓少齿数齿轮传动研究发展状况 渐开线齿廓以其加工经济方便、易于互换且效率高等优点，获得了广泛应用。 但它也有一些缺点，主要包括：齿面接触应力较大、齿根齿顶滑动率大、磨损严 重、齿数少时加工产生根切等。 早在2 0 世纪8 0 年代，日本学者a i s h i b a s h i n 。 5 1 等就对渐开线齿廓的小齿轮 齿数为2 4 的大传动比的少齿数齿轮副的设计制造及承载能力进行了研究。该研 宄在考虑齿轮根切、齿顶变尖、齿廓间相对滑动、齿面接触应力以及接触线长度 的基础上，对齿轮的加工方法进行了研究，并对实验结果作了详细的分析。结果 表明，在满足不出现根切情况的条件下，小齿轮变位系数的选择并非越小越好。 当小齿轮的变位系数在根切极限值附近时，齿廓间滑动急剧增加，容易产生点蚀 失效。 国内较早从事少齿数齿轮研究的有陕西理工学院 6 1 - 】，他们通过多年的研究 基本形成了渐开线少齿数齿轮传动机构学的理论基础，包括推导出节点外啮合条 第一章绪论 件、找出了齿面接触强度的应力计算点、解决了齿面滑动计算问题、建立了齿面 接触强度计算公式、对变位系数的选择进行了初步研究、解决了齿根过度曲线的 干涉问题、利用普通滚齿机、提出了少齿数齿轮副的双向变位、解决了加工问题、 解决了少齿数齿轮传动精度计算问题等。他们在专利c n9 3 2 1 3 7 6 6 0 中将少齿数 齿轮( z = 2 至3 ) 引入助力器中，采用一级齿轮传动使小型汽油机的高转速减至 人力车转速1 5 0 2 0 0r m i n ，结构简单，性能优越。 西安重型机械研究所的蒋军【1 2 】等在专利c n9 4 2 0 8 6 4 9 x 中提出双向变位齿 轮的设计方法。该方法不仅解决了少齿数齿轮传动过程中的根切问题，而且提高 了齿项的厚度，使得少齿数齿轮副的传动效率和使用寿命大大提高。齿轮变位是 通过改变标准刀具对齿轮毛坯的径向位置或改变标准刀具的齿槽宽而切制非标 准渐开线齿形齿轮的方法。在切制轮齿时，改变标准刀具对齿轮毛坯的径向位置 称为径向变位；改变标准刀具的齿槽宽称为切向变位。双向变位是将径向变位和 切向变位结合起来，即在传统的径向变位的基础上引入切向变位，以减小因径向 变位而引起的齿项变尖，使齿轮具有良好的综合性能。 在制造方面，贵州群建齿轮有限公司采用改进的滚齿机床、剃齿修形工艺、 珩齿工艺、成形磨齿工艺等先进技术，开发出一种渐开线少齿数齿轮( 齿数少于 5 ) 传动机构。它具有体积小、造价低、结构简单、传动效率高、承载能力大等特 点。 山东大学吴俊亮【l3 】等学者提出了用花键铣床加工少齿数( 2 至5 ) 、小直径 圆柱斜齿轮的新方法。该方法比传统滚齿机加工效率提高l o 倍以上，而且由于 采用了高速研磨技术使得齿轮精度达到了7 级以上，表面粗糙度达0 4 ，噪音降 到7 0 分贝以下。 1 2 2 其它齿廓少齿数齿轮传动研究发展状况 圆弧齿轮由于采用凸凹啮合，其接触应力比渐开线齿轮小好多倍，但其只能 制成斜齿轮且对装配误差较敏感，在现实中应用较少。在上世纪8 0 年代初，日 本学者a i s h i b a s h i t l 4 】【1 5 】对小齿轮齿数为3 、大齿轮齿数为2 7 、中心距8 4 3 2 m m 的圆弧齿的少齿数齿轮副的齿廓方程、传动性能、制造方法以及齿轮材料的选择 进行了较深入研究。实验结果表明，圆弧齿的少齿数齿轮的传动效率较同样大小 的渐开线齿轮提高4 左右。 为了提高齿轮的强度，日本学者y o s h i ot e r a u c h i l l6 】等在8 0 年代初提出了渐 开线摆线复合齿廓，它集中了渐开线和摆线的优点于一体，使得齿轮的接触 强度以及弯曲强度都有所提高。在齿廓滑动方面，渐开线齿廓在节点为纯滚动， 滑动率为0 ，而在齿顶和齿根滑动率达到最大值。而摆线齿廓在齿顶和齿根滑动 4 第一章绪论 率是不变的。除节点外，摆线齿轮的相对曲率半径以及卤根厚均大于渐开线齿轮。 因此，渐开线齿廓的缺陷在齿顶与齿根附近，而摆线齿廓的缺陷在节点附近，其 在齿轮齿数较少时表现的尤为明显。所以，渐开线摆线复合齿廓在齿廓两端 采用摆线，在中间采用渐开线。 日本学者小守勉【1 。7 】- 1 9 在上世纪8 0 年代末9 0 年代初提出了l o g i x 齿轮。该齿 轮的齿廓由许多微段渐开线组成，采用对称的凸凹啮合形式，并且这些微段渐开 线的结合点在啮合点的相对曲率为0 。这些微段渐开线的结合点称为零点。在啮 合过程中，这些零点的间断啮合可使齿廓间的相对滑动变小，使齿廓间的相对运 动以滚动摩擦为主，这样就使得齿轮的寿命大大提高。研究表明，在相同条件下， 其齿面接触疲劳强度是渐开线齿轮的3 倍，弯曲疲劳强度是渐开线的2 5 倍。它 可以制成少齿数齿轮，但其设计制造较复杂且加工精度要求较高，目前还没有应 用的报道，其端面齿廓形状见图1 3 。 m - - - 6 。- = - 3 图1 - 3l 0 9 i ) 【齿轮端面齿廓 1 9 8 7 年中国纺织大学的闻智福【2 0 】在专利c n8 6 1 0 0 5 4 4 a 中提出了抛物线齿轮 及其滚刀的设计方法。该方法将一对齿轮的齿面分别设计成凸凹啮合形状，其中 小齿轮的凸齿廓在节圆外，大齿轮的凹齿廓在节圆内。该齿轮的最少齿数为3 ， 在相同条件下较渐开线齿廓齿轮的承载能力提高2 5 倍。 上世纪9 0 年代初，洛阳矿山机械研究所的杨宏琰【2 1 等人在分析少齿数大传 动比齿轮传动经常出现的齿面严重磨损、大齿轮断齿等各种损伤的基础上，把重 合度、有效啮合线的方向和位置引入原始设计参数，有效地减少了损伤。它的实 质在于，以小齿轮齿数和加工方法所确定的重合度来取代传统中的变位系数，并 通过选择合适的啮合角来使得有效啮合齿廓关于节点对称分布且远离基圆、大小 齿轮过渡曲线处齿厚相等。 上世纪9 0 年代末华中理工大学的刘延林【冽在专利c n 9 3 1 0 8 3 6 1 3 中提出了一 种适用于极少齿数齿轮传动，其端面齿廓由圆的包络线、圆弧及长幅外摆线组成。 第一章绪论 该齿廓克服了渐开线和长幅外摆线的交点即奇异点，已成功地应用在容积式流量 计中。 1 9 9 8 年，美国加利福尼亚大学的s h i h h s it o n g 2 3 1 【2 4 1 在其博士论文中提出用 偏差函数法设计共轭齿廓的方法。两个共轭齿廓啮合时之所以发生滑动是因为其 啮合点偏离了对应节圆上的节点，这个偏移量用一个关于齿廓角度的函数即偏差 函数表示。因此，偏差函数法最基本的思想是选择合适的偏差函数来形成共轭齿 廓。该方法提供了新的设计共轭齿廓的思路而且适用于所有类型的节曲线，应用 范围比较广泛，为少齿数齿轮齿廓设计拓宽了思路。 1 9 9 8 年，日本学者f u j i w a r a 2 5 等把摆线应用在齿数为4 5 的少齿数齿轮中。 它克服了渐开线少齿数齿轮因避免根切而采用大变位系数使得强度降低的缺点 以及l o g i x 齿轮设计制造复杂的缺点，具有较好的整体效率，干涉较少，但它的 接触应力较大且对制造误差较为敏感。传动简图如图l 一4 所示，其中1 代表摆线 齿小齿轮，2 代表摆线齿大齿轮。 图1 4 摆线少齿数齿轮 2 0 0 5 年，台湾学者c h i e n f ac h e n a 2 1 等利用齿轮径向变位结合齿条型刀具齿 廓修形的方法提出了无根切、高接触率以及高强度的齿轮副。他们首先利用经过 修形的齿条形刀具加工出小齿轮，然后以小齿轮为成形刀具加工出配对齿轮，避 免了奇异点的发生。该方法与仅径向变位的小齿轮的端面齿廓比较见图1 - 5 。 t i ) 。0 3御勺。 l 5 - 0 7卿乓一o 一 一 八 ，、 图1 5 少齿数齿轮端面齿廓 6 第一章绪论 近年来，陕西理工学院李鹏心6 1 等把少齿数齿轮传动和粉末冶金的优点结合起 来，进行了基于粉末冶金的少齿数齿轮传动研究，为少齿数齿轮传动的研究和应 用提供了新的思路。用粉末冶金法可以较容易制造出具有不规则廓线的齿轮，而 且粉末冶金材料具有一定的连孔间隙，浸油后具有一定的自润滑性，从而使齿轮 的耐磨性得到提高。 武汉理工大学的厉海洋【27 】教授采用逆向思维的方法，将齿轮啮合中要避免接 触的过渡曲线作为齿廓，开拓了一个全新的研究领域点线啮合齿轮传动。点 线啮合齿轮传动的小齿轮是一个变位的渐开线短齿制斜齿轮，大齿轮的上部分齿 廓为渐开线的凸形齿廓，下部分齿廓为过渡曲线的凹形齿廓。因此，在啮合传动 时既有接触线为直线的线啮合，又同时存在凹凸齿廓接触的点啮合。在受载变形 后就形成一个面接触，有效地降低了接触应力。该类型齿轮在实际中的成功应用 为少齿数齿轮的设计提供了新的思路。 1 - 3 本文研究的主要内容 齿轮机构在传动的过程中，首先必须满足强度要求。从前面文献可以看出， 对于不同齿廓的齿轮，当齿轮齿数较少时，都存在强度降低的问题。为了提高强 度，首先必须增大齿廓端面面积，这样又使配对齿轮的强度有所降低。而前面文 献在对齿轮强度进行研究的时候，仅对单个齿轮进行研究，而没有把齿轮副作为 一个整体进行研究，这是不合理的。本文在进行少齿数齿轮副齿形设计时，为了 获得较高的承载能力和良好的啮合性能，将把大、小齿轮作为一个整体来考虑。 主要研究内容包括： 1 、运用微分几何及齿轮啮合理论、图形学知识，进行少齿数齿轮副平面传 动几何模型及其啮合的数学模型的建立与联动求解的研究，为确定齿轮副廓形几 何实体极限提供理论基础，为齿形设计及参数优化提供理论依据： 2 、基于材料力学强度理论和几何拓扑学，研究传递最大转矩时，少齿数齿 轮的最小廓形界限，并依据齿轮啮合理论，确定齿轮副齿形的最大廓形界限，形 成齿轮副的廓形设计界限域，为设计合理的齿轮副提供技术支撑； 3 、齿形的设计方法研究。首先对平行轴渐开线双向变位齿轮传动的特点以 及基于界限域参数选择进行研究，在此基础上探究新齿形的设计方法。 第二章平面啮合齿轮副廓形界限域 第二章平面啮合齿轮副廓形界限域 在进行齿轮设计时，首先必须满足齿轮传动的强度要求，特别是弯曲强度的 要求。通常情况下，齿轮弯曲强度的大小可以粗略地通过端面齿廓面积的大小来 判断。当大齿轮齿廓面积增大时，小齿轮齿廓面积将减小，大小齿轮的强度相互 制约。所以，为了使齿轮传动机构的整体强度达到最大，必须选择合理的参数来 协调大小齿轮的齿廓大小。 齿轮机构在传递一定功率时，根据材料力学基本知识可以求出相啮合大、小 齿轮的最小齿廓，然后依据齿轮啮合原理便可求出彼此的最大齿廓。齿轮的最大 齿廓与最小齿廓之间的区域称作齿轮的廓形界限域。为了使设计的齿轮齿廓满足 强度要求，必须使它们在强度域范围内。平面啮合齿轮副廓形界限域的提出将对 齿轮副合理齿形的设计提供支持。 本章运用微分几何原理及齿轮啮合理论、图形学理论，建立平面啮合齿轮传 动的几何模型及其啮合的数学模型，在此基础上，探究了齿轮副廓形的界限域。 2 1 平面传动几何模型及其啮合数学模型的建立 在平面传动几何模型的基础上，应用运动学法建立其啮合数学模型，为齿轮 副廓形界限域的研究提供理论基础。 2 1 1 平面传动几何模型的建立 平面外啮合齿轮传动几何模型如图2 - 1 所示，其节圆均为圆，节圆半径分别 为n 、r 2 ，角速度分别为1 、2 。 其中： s = ( p ji , 1 ，k ) 为平面固定坐标系，k 轴为其回转轴； s 1 = ( d 1 ；i l , j 1 ，k 1 ) 为与齿轮1 端面相固联的动坐标系，k 1 轴为其回转轴， 妒】为齿轮1 的转角； s 2 = ( d 2 ；i 2 , j 2 ，k 2 ) 为与齿轮2 端面相固联的动坐标系，j c 2 轴为其回转轴，妒2 为齿轮2 的转角。 第二章平面啮合齿轮副廓形界限域 图2 1 平面传动几何模型 2 1 2 平面传动啮合数学模型的建立 齿轮啮合数学模型建立的主要方法由运动学法、齿廓法线法、包络线法。运 动学法以其广泛的适应性获得了广泛应用。下面将利用运动学法建立齿轮平面传 动的啮合数学模型。 已知齿轮1 的齿廓在坐标系s 1 ( 0 1 ；i 1 ，歹1 ) 中的方程为 f t l = z 1 1 + y d l l j ：c 1 = i 1 ，1 为简化计算，取1 = l r a d s ，则 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 由于齿轮1 的齿廓方程在在坐标系s 1 ( o l ；i 1 ，j 1 ) 中给出，所以啮合方程也在s 1 中给出较为方便。两齿轮啮合点的相对运动速度为： h h 一= 巍似甜饥 1 7 1 220 ) 1 2 t 1 + m 2 n = ( 1 + i 2 1 ) k lx ( x l l l + y l j l ) 一i 2 1j ：c 1 a ( s i n q 0 1 i 1 + c o s q 0 1 ，1 ) = 一) ，1 ( 1 + f 2 1 ) + a i z l c o s q h i l + i x l ( 1 + i 2 1 ) 一a i 2 1 s i n 自0 1 u 1 ( 2 3 ) 其中： n 为两齿轮间的中心距： 9 1 为在啮合过程中齿轮1 的转角。 在啮合点处的切矢量为： 在啮合点处的法矢量为： n t = 戈1 1 + 兜j 1 t k l t 豇1 i ( 一戈j 1 + 隽i 1 ) 1 仅1 2 + 吱2 ，) = ( 2 4 ) ( 2 5 ) 齿轮副在啮合过程中，要使两相互啮合的齿廓彼此既不脱离，又不相互嵌入 对方，而实现连续传动，两齿轮在啮合点的相对运动速度1 7 1 2 在公法矢n 上的投 影为0 ，故啮合方程可表示为： v 1 2 n = y l a i 2 1 c o s c p l 一( 1 + i 2 1 ) y 1 一x l x l ( 1 + i 2 1 ) 一a i 2 1 s i n 自0 1 = 0 ( 2 6 ) 其中，啮合方程可变为： 当 1 c o s 妒1 + 矗s i n 自0 1 ) = 时，式( 2 7 ) 可变为： ( 1 + i 2 1 ) ( x l x l + 兜) ，1 ) t a n6 ：睾 y 1 a 2 1 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第二章平面啮合齿轮副廓形界限域 妒，2a c 。s ( ! l a i 箫) + 占c 2 9 ， 2 1 ( 戈1 2 + 兜2 ) 乏 2 1 3 大齿轮齿廓方程求解 由齿轮啮合原理可知，将啮合方程与齿轮1 的齿廓方程联立求解，可得齿轮 1 上啮合点的坐标。只要把啮合点的坐标变换到坐标系s z 中即可得齿轮2 的齿廓 方程。 坐标系s 1 和坐标系s 2 的关系见下表： 表2 - 1 坐标系是到坐标系是的坐标变换 一 新旧坐标 z 1 y 1原点坐标 一 z 2 妒1 + 妒2 芸+ ( 妒1 + c p 2 ) o , s i m p z ，r ) ，2 i 一( 妒1 + 妒2 ) 妒1 + r p 2 - - a c o s 自0 2 因此，坐标系是到坐标系是坐标变换矩阵心1 可表示为： 故齿轮2 的齿廓方程为 - s i n ( r p l + 妒2 ) c o s ( 钆+ 妒2 ) o ( 2 1 0 ) ( z 2 ，y 2 ) 7 = m 2 1 ( z 1 ，y 1 ) 7 舻a c o sf 坠型掣1 + 占 z ，n 1 2 + 蜣2 ) 乞( 2 1 1 ) 训 1 ；1 )、，统仡 + + 1 1 0 晒m陀博 一 = 扎 m 第二章平面啮合齿轮副廓形界限域 大齿轮齿廓曲线求解步骤： ( 1 ) 先确定小齿轮齿廓上的一点的坐标，然后依据齿轮啮合原理求出该点成为 啮合点时，小齿轮需要转过的角度妒1 ； ( 2 ) 然后把啮合点的坐标利用坐标变换矩阵从坐标系5 l 变到坐标系s 2 便可得大 齿轮齿廓的坐标。 2 2 齿轮副廓形界限域的研究 2 2 1 基于强度分析的齿轮副廓形界限域的研究 基于强度理论和几何拓扑学，本节将研究在齿轮副传递最大转矩时，齿轮副 最小廓形界限的确定方法。然后依据齿轮啮合理论，确定齿轮副彼此的最大廓形 界限，形成齿轮副的廓形界限域。基于强度分析和几何拓扑学的齿轮副廓形界限 域的研究，将为确定轮齿轮形副几何实体极限以及最优齿廓曲线的寻找提供依据。 在进行齿轮强度域设计时，主要考虑齿轮的齿根弯曲强度。1 8 9 2 年，w l e w i s 首次提出从材料力学的角度计算齿轮弯曲强度的方法。由于轮缘刚度较大，故轮 齿可看作宽度为b 的悬臂梁，应用等强度梁概念，将载荷全部作用在齿轮齿顶时 的时候作为齿根弯曲应力的计算点。该方法以齿面法向载荷作用线和齿形中心线 的交点作为抛物线的顶点，作抛物线与齿根过渡曲线相切，连接两切点的端面即 为危险端面。该方法奠定了齿轮弯曲应力计算理论的基础。由于w l e w i s 提出 的内切抛物线法求危险断面比较复杂，目前应用比较广泛的是h h o f e r 提出的 3 0 。切线法。 在依据材料力学理论计算齿轮强度时，只考虑齿根厚而不考虑齿廓具体形状。 因此，对于非凹形齿廓，以三角形齿廓的面积最小。为便于理论推导，本文假定 齿轮齿廓都为非凹形，所以把齿轮的最小齿廓看作三角形。本文在研究齿廓界限 域时由于齿轮齿廓为直线而且由于没有进行实验研究而无法获得相关实验修正 系数，因此在进行齿根强度分析时，暂且把轮齿看作简单的悬臂粱模型，其齿根 处为危险截面，其弯曲应力可表示为： 第二章平面啮合齿轮副廓形界限域 m 唧2 面 b s 2 w = 6 其中： m 为齿根的最大弯曲力矩； 为抗弯截面模量： 6 为齿宽； s 为齿根厚。 为了安全考虑，设计时需要满足下式： 即 a f 一 第二章平面啮合齿轮副廓形界限域 二二_ 二二二 把式( 2 1 5 ) 代入上式，可得 化简，得 2 ( r 。- r e ) t a nc r 蜊6 m 艺1 ( 2 - 1 6 ) t a n p 切 式( 2 1 6 ) 表示半齿形角与齿轮传递转矩的关系。因此，在抗弯截面模量、 齿宽6 不变的情况下，半齿形角与齿轮传递转矩相对应。所以，当c 【取 f3 m ! _ 1 时，即可求得大齿轮的最小廓形。然后，应用齿轮啮合原理即可求得小齿轮的最 大廓形。 2 2 2 齿廓最小廓线方程韵建立 求解齿廓最小廓线方程的示意图如图2 3 所示。以两轮间圆弧的中点与圆心 笋连线为少轴，过圆心且与y 轴垂直的为z 轴。因此轮齿中心线与y 轴的夹角为 z 上图中： 口半为齿形角； 德 7 冷 蜒7 图2 - 3 齿廓最小廓线方程的建立 1 4 第二章平面啮合齿轮副廓形界限域 表2 - 3 求解参数及参考公式 叁墼鱼整 符号 计算公式 传动比 i 2 1 i 2 1 = z 1 z 2 端面模数 m t m t ：m 。c o sp 端面齿顶高系数h 。t h a t = h 。c o s # 端面顶隙系数 c r c t ：岛c o s 卢 大齿轮分度圆直径d 1 d 2 ：7 n t z 2 大齿轮齿顶圆直径d a l d 。2 = d 2 + 2 r u t h a t 大齿轮齿根圆直径d f l d f 2 = d 2 2 m t ( h 。+ c t ) 小齿轮分度圆直径d 2 d 】：7 n t 而 小齿轮齿顶圆直径d a 2 d a l = 2 a d f 2 2 c c m t 小齿轮齿根圆直径 df2 d f l = 2 a d 。2 2 c t 7 n t 型整丝 坚 丝三丝纽1 - _ _ - - _ _ - _ _ l _ _ _ - _ _ _ _ l _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ - ：二二二_ 二上上_ = 二1 2 3 1 小齿轮的最大廓形 由齿轮齿廓界限域的定义可知，小齿轮的最大廓形可由大齿轮的最小齿廓经 联动求解得到。大齿轮的最小廓形为三角形，见图2 - 3 ，其齿廓方程可表述为： 铲邓t n ( 习 舻p 扣习+ 面r a l s i 霸n a l 口12a t an 。，m 。- i n 俘k z l 1 吣邗硐 s l nia 1 + 亨一i r f l ( z 1 2 + ) ，1 2 ) 享1 图“修正前后齿廓滑动情况比较 从上图可以看出，修正后，新齿廓由于齿顶高的增加而使齿顶部分远离节圆， 从而使齿顶的相对滑动速度稍微增大，其它部分变化不大。因此，通过增加齿顶 高和使齿顶变厚的方法来提高齿轮强度时，一般会使齿廓间的相对滑动速度增大。 4 3 本章小结 本章通过采用修正系数以及指数函数的方法对新型齿廓的设计方法进行了 探索。通过新齿廓的端面形状可以看出，其整体抗弯强度较原齿廓有一定的增加， 但齿面间的相对滑动状况并未明显改善。因此，为了在提高齿轮弯曲强度的同时 并改善齿廓间的相对滑动情况，一方面需进行新齿形设计理论的研究，另一方面 需研究新型抗磨材料。 第五章总结与展望 5 1 全文总结 第五章总结与展望 平面啮合少齿数齿轮传动是一种能在较小空间实现大传动比的传动，其中小 齿轮的齿数一般为2 至8 。本文针对少齿数齿轮传动过程中存在的齿顶高缩短以 及齿廓滑动严重而造成齿轮副承载能力低以及难以广泛应用等问题，研究了小齿 轮的齿数为2 的齿形设计，主要研究容包括： 首先，运用微分几何、齿轮啮合原理以及图形学理论，建立少齿数齿轮平面 啮合传动的几何模型及其啮合的数学模型，为确定齿轮副廓形几何实体极限奠定 基础： 其次，进行基于强度分析和几何拓扑学的齿轮副廓形界限域的研究，研究传 递最大转矩时，齿轮副最小廓形界限。依据齿轮啮合理论，确定齿轮副彼此的最 大廓形界限，形成齿轮副的廓形界限域，为齿轮副安全齿廓曲线的设计提供依据； 最后，对平行轴渐开线双向变位齿轮传动的特点进行分析，并对其设计参数 选择对齿廓的影响进行了研究。在此基础上，对齿数为2 的少齿数齿轮的新型齿 形的设计方法进行研究。 5 2 课题展望 本文对少齿数齿轮传动进行了一定研究，但要实现少齿数齿轮传动在实践中 的推广应用，还需要许多进一步的工作要做： 1 、进一步研究齿轮强度理论，为精确确定齿轮的强度域提供理论基础与指 导： 2 、进一步开展基本齿形的设计方法研究，将承载能力高、相对滑动小、润 滑条件好、动态性能稳定等啮合性能和可加工性的设计要求转化为对齿形、和齿 轮整体的几何设计要素，为齿形优化提供几何条件依据： 3 、开展最优齿形设计标准的研究，即如何恰当处理大小齿轮齿形几何设计 要素的指标权重问题，使两齿轮的承载能力和啮合性能达到最优； 4 3 第五章总结与展望 4 、探索齿廓曲线坐标与大、小齿轮齿数、中心距、重合度等齿轮传动基本 参数的关系，为少齿数齿轮副的新齿形设计提供参考； 5 、开展啮合性能和承载能力研究。利用p m e 、a n s y s 、m a t l a b 等软件工具， 对新廓线齿形的少齿数齿轮副的承载能力、润滑条件以及动态性能进行分析评价， 为进一步改进齿轮的廓形提供依据。 参考文献 参考文献 1 柳青松，刘晓斌，高瑞春少齿数齿轮传动 j 兰州工业高等专科学校学 报，1 9 9 8 ，5 ( 1 ) ：1 - 4 2 c h i e n - f ac h e n a t o o t hp r o f i l ed e s i g nf o rt h em a n u f a c t u r eo f h e l i c a lg e a rs e t sw i t h s m a l ln u m b e ro ft e e t h j i n t e r n a t i o n a lj o u r n a lo fm a c h i n et o o l sa n d m a n u f a c t u r e ，2 0 0 5 ，4 5 ：1 5 3 1 1 5 4 1 3 王宁侠，等少齿数渐开线圆柱齿轮机构的研究 j 机械科学与技术，2 0 0 0 ， 1 9 ( 6 ) ：9 4 1 - 9 4 3 4 a i s h i b a s h i h ，y o s k i n o ，i n a k a s h i m a d e s i g na n dm a n u f a c t u r i n gp r o c e s s e sa n d l o a dc a r r y i n gc a p a c i t yo fc y l i n d r i c a lg e a rp a i r sw i t h2t o4p i n i o nt e e t hf o rh i 曲 g e a rr a t i o s ( 1s tr e p o r td e s i g na n dm a n u f a c t u r ea n ds r y f a c ed u r a b i l i t yo fg e a r s w i t h2t o3p i n i o nt e e t h ) 【j t r a n s a c t i o n so ft h ej a p a ns o c i e t yo fm e c h a n i c a l e n g i n e e r s ，1 9 8 1 ，4 7 ( 4 1 6 ) ：5 0 7 - 5 1 5 5 a k i r ai s h i b a s h i , h i d e h i r oy o s h i n oa n d1 w a on a k a s h i m a d e s i g n m a n u f a c t u r i n g p r o c e s sa n dl o a dc a m ，i n gc a p a c i t yo fc y l i n d r i c a lg e a rp a i r sw i t h2t o4p i n i o n t e e t hf o rh i g hg e a rr a t i o s ( 2 n dr e p o r t ，b e n d i n ga n dt w i s t i n gd e f l e c t i o n so fp i n i o n a n ds u r f a c ed u r a b i l i t yo f g e a rp a i r s 谢也4p i n i o nt e e t h ) j b u l l e t i no f t h ej s m e ， 1 9 8 3 ，2 6 ( 2 1 2 ) ：2 9 1 - 2 9 8 6 王保民，张国海，李鹏渐开线少齿数圆柱齿轮传动研究现状综述 j 陕西 理工学院学报( 自然科学版) ，2 0 1 0 ，2 6 ( 3 ) ：1 - 4 7 张国海，王保民，蒋学全少齿数齿轮传动接触强度的研究 j 机械设计， 2 0 0 4 ，2 1 ( 8 ) ：1 6 1 8 8 张国海，王保民，蒋学全少齿数齿轮机构相对滑动的研究 j 陕西工学院学 报，2 0 0 4 ，2 0 ( 2 ) ：l 一3 9 何宁，蒋学全少齿数渐开线圆柱齿轮加工 j 重型机械，1 9 9 2 ，( 4 ) ：5 3 5 7 1 0 王保民，蒋学全少齿数渐开线齿轮副啮合区域的研究 j 陕西工学院学 报，2 0 0 1 ，1 7 ( 4 ) ：1 3 4 5 参考文献 1 1 张国海少齿数渐开线齿轮副点蚀失效的理论研究 j 机械，2 0 0 3 ， 3 0 ( 4 ) ：3 6 3 8 1 2 蒋军，张国海，王保民少齿数圆柱齿轮副双向变位的研究 j 陕西理工 学院学报( 自然科学版) ，2 0 0 5 ，2 1 ( 1 ) ：卜4 1 3 吴俊亮，等少齿数圆柱斜齿轮加工新技术及理论计算 j 山东大学学报 ( 工学版) ，2 0 0 6 ，3 6 ( 4 ) ：4 8 5 l 14 a i s h i b a s h i ，h y o s h i n o d e s i g nm a n u f a c t u r ea n dl o a dc a r r 徊gc a p a c i t yo f n o v i k o vg e a r sw i t h3 - 5p i n i o nt e e t hf o rh i g hg e a rr a t i o s ( 1s tr e p o r t ，d e s i g n m a n u f a c t u r ea n dp o w e rt r a n s m i s s i o ne f f i c i e n c y ) j t r a n s a c t i o n so ft h ej a p a n s o c i e t yo f m e c h a n i c a le n g i n e e r s ，1 9 8 4 ，2 7 ( 2 2 9 ) ：1 5 2 1 - 1 5 2 8 15 a k i r ai s h i b a s h i ，h i d e h i r oy o s h i n oa n dh i d e h i r oh i r a i d e s i g n ，m a n u f a c t u r ea n d l o a dc a r r y i n gc a p a c i t yo fn o v i k o vg e a r sw i t h3 5p i n i o nt e e t hf o rh i g hg e a r r a t i o s ( 2 n dr e p o r t c o n t a c tb e h a v i o ra n dl o a dc a r r y i n gc a p a c i t yo ft h eg e a r s ) b u l l e t i no f t h ej s 姬，1 9 8 5 ，2 8 ( 2 3 8 ) ：7 0 1 - 7 0 9 1 6 y o s h i ot e r a u c h i , k a z u t e r un a g a i v i u r a ，h i r o m i t s us a g o o nd e s i g na n d p e r f o r m a n c eo fi n v o l u t e - c y c l o i dc o m p o s i t et o o t hp r o f i l eg e a r j 】b u l l e t i no f t h e j s m e ，1 9 8 2 ，2 5 ( 1 9 9 ) ：1 1 8 - 1 2 6 1 7 李荣刚，等少齿数l o g i x 齿轮的齿形设计 j 机械科学与技术，2 0 0 3 ， 2 2 ( 3 ) ：3 7 8 3 8 0 1 8 f e n gx i a n y i n g ，w a n ga i q u n ，l i n d al e e s t u d yo nt h ed e s i g np r i n c i