（机械工程专业论文）弹性全空间圆形孔洞对p波的散射.pdf

哈尔滨工程人学硕士学位论文 摘要 本文采用有限元法研究近场圆形孔洞对瞬态p 波的散射和动应力集中问 题。有限元法在数学上是将偏微分方程的初边值问题划归一组常微分方程的 初值问题( 在空间离散化之后) 或一组规则代数方程。然后，用n e w m a r k 直 接积分法进行求解，得到各节点和单元的位移、应力的时程解。用有限元模 拟波动问题，其首要问题是人工边界的设置问题，由于要从无限域中截取有 限区域来模拟无限域，所以要引入人工边界。其次是解决时空离散带来的各 种不利影响，以减少误差。还要考虑荷载的施加问题以及模型大小对解题的 影响问题。本文对要解决的问题建立了有限元模型，并用通用有限元分析软 件a n s y s 进行了计算，给出了部分节点的位移、应力时程解，并对结果进行 了讨论。本文的具体工作如下： 研究了全空间圆形孔洞对瞬态p 波的散射问题。阐述了有限元离散带来 的误差和解决办法。给出了有限元模型和计算结果，讨论了有限元横向边界 不同和孔径大小不同的情况下对位移的影响。 关键词：有限元法；p 波散射：动应力集中；a n s y s 程序 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a bs t r a c t t h ep r e s e n tt h e s i si n v e s t i g a t e st h es c a t t e r i n gp r o b l e m so fp - w a v eb yc i r c l e d c a v i t i e si nn e a rf i e l db yt h em e t h o do ff e m t h ef e mi sam e t h o do fw h i c h t r a n s f o r mt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l - c o e f f i c i e n te q u a t i o n si n i t i a la n db o u n d a r yv a l u e i s s u et oo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l c o e f f i c i e n te q u a t i o n si n i t i a la n db o t m d a r yv a l u e p r o b l e m ( a f t e rs p a c ed i s p e r s e ) o ras e to fr e g u l a ra l g e b r ae q u a t i o n t h e n ，u s et h e d i r e c ti n t e g r a lc a l c u l u sm e t h o do fn e w m a r kt os o l v es o l u t i o n ，a n dg e te a c h n o d ea n de l e m e n t sd i s p l a c e m e n ta n ds t r e s ss o l u t i o nv s t i m e t h e r ea r et w o p r o b l e m si ns i m u l a t i n gp w a v ei s s u eb yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h ef i r s ti s e s t a b l i s h i n ga r t i f i c i a lb o u n d a r yp r o b l e m ，b e c a u s eo fs i m u l a t i n gt h ei n f i n i t ef i e l d f r o mt h ef i n i t ef i e l di nw h i c hi n t e r c e p tf r o mt h ei n f i n i t ef i e l d ，s ow ei n t r o d u c e a r t i f i c i a lb o u n d a r y t h es e c o n di ss o l v i n ga l lk i n d so fd i s a d v a n t a g e o u si n f l u e n c e i ns p a c e t i m ed i s p e r s i n gt or e d u c ec v e o li na d d i t i o n a l ，t h ep r o b l e m so fl o a d s i n f l i c t i o na n dm o d e l ss i z es h o u l db ec o n s i d e r e d i nt h i sa r t i c l e ，w ef o u n dt h e f i n i t ee l e m e n tm o d e li na l l u s i o nt ot h ep r o b l e ma b o v e ，s o l v e dt h ee q u a t i o nb yt h e g e n e r a lf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r ea n s y s ，g a v es o m en o d e sd i s p l a c e m e n t a n ds t r e s ss o l u t i o nv s t i m e ，d i s c u s s e dt h er e s u l t o u ra n a t y t i cw o r k si nc o n c r e t e a r em a i n l ya sf o l l o w s ： s c a r c r i n go f d y n a m i cp - w a v ep r o b l e ma r ei n v e s t i g a t e db yc i r c l e dc a v i t i e si n t h ew h o l es p a c e n l ce l l o ra n ds o l u t i o nb r i n g i n gf i o mf i n i t ee l e m e n td i s p e r s ea r e e x p a t i a t e d t h ef i n i t ee l e m e n tm o d e la n dr e s u l ta r eg i v e r lt h ei n f l u e n c eo l l d i s p l a c e m e n to f d i f f e r e n tf i n i t ee l e m e n tm o d e l sl a t e r a lb o u n d a r ya n dt h ec a v i t i e s r a d i u sf i r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：f e m ；s c a t t e r i n go fs h - w a v e ；d y n a m i cs t r e s s c o n c e n t r a t i o n ；a n s y sp r o g r a m 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：垒互建! 围 日期：2 0 0 5 年6 月6 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 选题的目的和意义 地震是一种常见的自然灾害。由板块构造运动引起的构造地震，是地壳 岩石中长期积累的变形在瞬时内转化为动能的结果。我国地处于欧亚大陆板 块、太平洋板块和印度洋板块之间，地震活动非常频繁，该区是世界上最大 的一个大陆浅源强震活动区 1 】。我国大部分地区为地震设防区，根据地震烈 度分布资料，在全国三百多个城市中，有一半位于地震基本烈度为七度乃至 七度以上的地震区，2 3 个百万以上人口的特大城市中，有7 0 属七度和七度 以上的地区，象北京、天津、谣安等大城市都位于八度的高烈度地震区。令 世人震惊的日本阪神地震，其起因是界面破坏，位于震源区域的浅软地层与 其下的硬质岩层之间发生了突然的断裂、滑动【2 j 。同时，震区内以地铁为代 表的地下工程结构遭受严重的破坏，其程度超过唐山大地震对煤矿井道的破 坏。专家认为，这是由于日本的地下工程结构在施工过程中多数采用全场开 挖的方式，回填土与原有土体的力学性质明显不同，从而形成了一个界面， 而且地铁等地下结构就位于界面处，在地震力下容易破坏；唐山大地震中的 矿井通道都是采用掏挖方式构筑而成的，周围土体的性质没有改变，仍然属 于较为均匀的介质【3 1 。所以，重视地震灾害的危害性并将这一思想贯穿于地 上、地下结构的建设及设计中是理所当然的。随着结构建设规模的不断加大， 结构的抗震设计及其安全性评价愈来愈成为工程设计人员所十分关心的重要 问题。 地下结构在水利水电、公路、铁路交通运输以及城市建设中获得广泛应 用，地下结构在地震时的安全对于人民生命财产的保障以及城市生活的正常 运行有着极为重要的意义 2 1 。长期以来，我国的地下结构抗震设计主要按静 力法进行结构分析。但静力法无法反映地下结构与地层的协调振动特性。过 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 去的几十年中，对地下结构问题作了大量的研究，对一些问题求得了解析解， 对实际工程起到了重要的指导作用。然而，要用解析表达式准确描述复杂的 动力模型，较全面地反映实际地下结构中的波动特性存在许多困难。为此， 近十多年来人们已把注意力集中到数值计算，尤其是有限元法，并已取得了 初步成果 4 - 9 。然而迄今为止，从实用角度用有限元法全面研究稳态及瞬态激 励下地下结构中的波动问题的研究还较少。本文采用有限元法研究了近场含 圆形孔洞凸起对瞬态s h 波的散射问题。 1 2 课题的国内外发展、研究状况 1 2 1 近场波动数值模拟综述 波动是波源( 或散射体) 及其邻近区域中的波动。近场波动问题包括散 射问题和波源问题两类【1 0 l 。给定输入波动，研究散射体及其附近介质的动应 力反应称为散射问题【1 1 4 3 】，孔洞、夹杂和裂缝的动应力集中，地上和地下结 构在天然和人工地震波的作用下的反应，水下声波与水中障碍体的相互作用 以及水波与近海结构的相互作用等皆可归为散射问题范畴。给定波源( 或动 载) 研究波源附近区域的波动称为波源问题【1 4 - t 6 。破坏性地震在震源附近几 十至几百公里范围内产生的强烈地震动，建筑结构和地基基础在动载作用下 的反应及地震勘探中的波动问题等属波源问题范畴。近场介质常为非均匀、 各向异性并可能具有非线性，因此这两类近场波动问题通常是开放体系中复 杂的三维波动问题。除简单情形外，传统的解析方法对他们难以奏效。自计 算机问世以来，解析方法与计算机数值计算技术相结合的方法，例如，离散 波数和快速傅里叶变换、边界元和摄动技术等获得很大的发展，增强了处理 近场波动问题的能力。近年来，一种返朴归真的研究方法越来越受到国内外 研究者的重视。这就是采用有限元或有限差分将连续问题转为离散问题，并 运用计算机直接进行波动数值模拟。这是因为，有限区域内的介质无论在几 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i i i i i i i i ；i i i i i i i i i ； 何上和力学性质上多么复杂，其中的波动在原则上可以用时空离散技术加以 模拟。此研究方法和计算机技术的结合可称之为波动计算机仿真。这一称呼 有两层含义：第一，波动的物理过程( 即介质内一点的扰动只能在邻近时刻 传递到邻近的质点) 可以用适当的离散方法直接模拟；第二，若用计算机图 形仿真技术显示模拟结果，则可借助直观形象为近场波动正、反两问题的研 究提供启示。波动计算机仿真可视为研究近场波动规律的一种实验方法。这 种数值试验类似于原型和物理模型试验，但是，在模拟复杂近场波动的能力 上、在模型制作、参数选取和变动的灵活性上，较之实物模型试验皆具有无 比的优越性。同时，取得准确而完整的数据无需任何“测量”工具，并可灵 活而直观地显示实验结果。此方法已应用于很多学科领域。这些应用研究表 明：在许爹睛况下研究者能够判断数值模拟结果的合理性，大大推进了研究 工作；但是，在另一些情况下则完全得不到合理的结果，或难以判断结果的 合理性。出现问题的原因在于这一模拟方法尚未建立在健全的理论基础上。 研究还表明，这一数值方法的应用受到计算量过大的限制。尽管计算机技术 已达到很高水平，使用并行运作技术处理大型波动数值模拟在原则上以不存 在技术困难，改进算法以合理地降低c p u 时间消耗和对容量的要求仍然至关 重要，对于工程应用尤其如此。为了使这一具有极大潜力的研究手段广泛的 用于科学研究和工程设计，需要解决用有限离散网格中的波动模拟无限连续 介质中有限域内的波动所出现的新的波动理论问题，并在此基础上制定高效 算法。近场波动数值模拟的基本问题是近场区域内波动的离散模拟和近场区 域边界的处理。 1 2 2 近场波动数值模拟的研究进展 近场波动数值模拟的一个基本问题是近场区域的波动的离散模拟。区域 离散模拟的基本方法包括有限差分法和有限元法。b o o r e ( 1 9 7 2 ) 用有限差分 法模拟两维山体对竖直向上入射的s h 波的反应，发现当地震波长不超过山 3 哈尔溟工程大学硕士学位论文 体的半宽时，山顶出现显著放大。s m i t h ( 1 9 7 5 ) 用有限元法研究了类似的问 题，但入射波包括s h 、p 和s v 波，亦得到类似结论1 1 7 1 。b o o r e 等( 1 9 8 1 ) 用有限差分法、o h t s u k i 等( 1 9 8 3 ) 用有限元法研究了s v 波竖直向上作用于 地表阶跃地形【1 。h a r m s e n 等( 1 9 8 1 ) 、o h t s u k i 等( 1 9 8 4 ) 模拟了竖直入射 的p 波和s v 波对充填盆地的作用l 1 9 - 2 0 l 。v i d a l e 等( 1 9 8 8 ) 研究了1 9 7 1 年s a n f e m a n d o 地震是在充填盆地中激起的面波1 2 ”。h i l l 等( 1 9 8 4 ) 、l e v a n d e r 等 ( 1 9 8 5 ) 研究了体波入射情形的有限差分模拟【2 2 1 。f u y u k i 等( 1 9 8 0 ，1 9 8 4 ) 用有限差分法研究了阶跃地形对波的散射，m c l a u g h l i n 等( 1 9 8 9 ) 则研究了 斜坡地形产生的散射 2 3 - 2 4 1 。o h t s u k i 等用有限元数值模拟研究了向下阶跃地形 对入射瑞雷波的放大效应。廖振鹏等( 1 9 8 1 ) 用有限差分法模拟小尺度三维 轴对称地形对垂直入射s 波和p 波的放大效应【2 引。c h e n g ( 1 9 9 4 ) 用有限差 分和局部人工边界条件相结合的方法研究了各向同性和各向异性介质中井孔 波的传播，并利用计算机实现了对这一波动的三维模拟 2 6 1 。谢小碧等( 1 9 8 8 ) 研究了两维非均匀介质中p s v 波的有限差分模拟1 2 7 1 ，邵秀民等( 1 9 9 5 ) 则 将有限元和多次透射边界结合起来模拟各向同性和异性介质中的地震波动 口8 】，p e n g ( 1 9 9 4 ) 则将波动数值模拟方法用于分析井孔对井下测量结果的影 响【2 9 1 。最近，廖振鹏等( 1 9 9 4 ) 用有限元透射边界的方法模拟了稳态s h 波 动问题，并对固定圆柱引起的s h 波散射作了数值分析p o 】，杨光( 1 9 9 4 ) 用 有限元透射边界的方法研究了地下隧道工程的地震动分析p 1 1 。高峰等用有限 元法分析了三维隧道模型的地震反应【3 2 】。黄菊花等用波动有限元的方法研究 了成层地基中的波动问题【3 3 】( 1 9 9 9 ) 。余胜春等用有限元法对爆破振动荷载 作用下的墩体结构作了研究( ”j 。陈波，吕西林等用有限元法和振动台试验法 模拟了结构地基的相互作用，比较7 2 者的结果【3 5 1 。 1 2 3 近场波动数值模拟的工程应用 波动数值模拟除在地震和爆破工程中有广泛应用外，在声学、空气动力 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 学、水动力学、电机工程、气象学、环境科学以至等离子物理等不同的学科 领域都有应用。 1 3 本文主要的研究内容 本文采用有限元法研究近场含圆形孔洞j一对瞬态p 波的散射问题。 有限元法在数学上是将偏微分方程的初边值问题划归一组常微分方程的初值 问题( 在空间离散化之后) 或一组规则代数方程。然后，用n e w m a r k 直 接积分法进行求解，得到各节点和单元的位移、应力的时程解。用有限元模 拟波动问题，其首要问题是人工边界的设置问题，由于要从无限域中截取有 限区域来模拟无限域，所以要引入人工边界。其次是解决时空离散带来的各 种不利影响，以减少误差。还要考虑荷载的施加问题以及模型大小对解题的 影响问题。本文对所要解决的问题建立了有限元模型，并用通用有限元分析 软件a n s y s 进行了计算，给出了部分节点的时程解和孔边动应力集中系数， 并对结果进行了讨论。 本文的具体工作如下： 第一章概述了波动数值模拟的基本概念、研究状况和基本方法以及在工 程中的应用。 第二章阐述了有限元的基本原理和波动有限元的基本求解策略，简单介 绍了有限元分析软件a n s y s 。 第三章阐述了有限元离散后带来的影响，给出了解决办法。 第四章以含圆形孔洞-为例分析了瞬态p 波散射问题。给出了有限 元模型和计算结果，讨论了有限元横向边界不同和孔径大小不同的情况下对 位移的影响，还讨论了不同情况下位移和应力的变化。 最后，总结了本文的工作，并展望了本文的解题方法和应用前景。 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章波动有限元及有限元分析软件a n s y s 简介 2 1 引言 有限元法是五十年代末出现的、处理固体力学问题的一种数值方法。到 了七十年代中期形成了完备的理论，而后人们又对其在各种领域的应用进行 了研究。而今该方法已经在航空、航天、造船、建筑等领域得到了广泛的应 用；在机械、化工、海洋、水利、核能、地质、生物等领域的应用也在发展 中。从力学领域来说，有限元除了用来求解一般的线性静力学问题外，在求 解动力、非线性和各种场问题等方面也有了一定发展f 3 6 1 。 2 1 1 有限元基本概念 固体力学中的有限元法是建立在分割原理或能景原理基础之上的。工程 实际中的很多固体力学问题可归结为两种描述：微分方程和能量原理。但是， 其中一部分可归结为求解微分方程边值问题，而另一部分( 即复杂结构) 则 不可能。而且，即使是边值问题部分，除特别简单的情形之外，一般也很难 求得其解析解，而在工程实际中一般只要求具有足够精度的近似解就可以满 足工程需要。采用有限元法，无论对哪一部分都可以用统一的计算格式求出 满足工程精度要求的近似解。建立有限元计算格式的理论基础是分割原理和 能量原理【3 7 】。 2 1 2 有限元法求解步骤 有限元法的分析过程如下： 1 结构的离散 根据计算精度的要求及计算机的容量，合理选择单元的形状、数目及网 格方案。离散和集合是有限元( f e m ) 的精髓，它把求解区域化成许多小的 互相连接的子区域或单元组成。由于单元的划分是任意的，且可按各种不同 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的方式组合在一起，所以能灵活地用来表示十分复杂的几何形状。即它把连 续体分成有限个单元，其性态由有限个参数来表征，而后求解其作为单元集 合体的整个结构，它所遵循的条件与原问题完全相同。这种近似是传统的数 学近似和工程上的直接近似。在f e m 中，离散包括两方面的内容，其一是结 构化分为单元；其二是单元组集。 2 选择位移插值函数 为了能用节点位移来表示单元内任一点的位移、应变和应力，可假设单 元内任一点的位移是坐标的某种简单函数，成为位移插值函数，即 d = 占。 ( 2 1 ) 式中：d 单元内任一点的位移列阵 坑单元的节点位移列阵 形函数矩阵 3 单元分析 由弹性力学可导出 s = b 坑 ( 2 - 2 ) 盯= d b 坑= 躐 ( 2 - 3 ) 式中：占单元应变 仃单元应力 b 几何矩阵 d 弹性矩阵 s 单元应力矩阵 利用最小势能原理或虚功原理建立单元的有限元方程 k e 6e=ft(2-4) 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 式中：足，：f b r d 跏单元刚度矩阵 f 等效节点荷载列阵 4 计算等效节点载荷列阵只 将作用在连续体上的各种力依据等效原则移置到节点上。 5 整体分析 将单元刚阵组装成整体刚阵k ，形成有限元基本方程 k y = f( 2 5 ) 式中：y 结构的节点位移列阵 f 结构等效节点荷载列阵 6 边界条件 为了消除( 2 5 ) 式中刚度矩阵芷的奇异性，引入位移边界条件使( 2 5 ) 式可解。 7 求解结构平衡方程，得到未知的节点位移 结构平衡方程式( 2 5 ) 是一组联立的线性方程组，求解它的方法很多， 大致可以分为两类：直接法和迭代法。 直接法以高斯消去法为基础，求解效率高。在方程组的阶数不是特别高 时( 例如不超过1 0 0 0 0 阶) ，通常采用直接法。当方程组的阶数过高时，由于 计算机有效位数的限制，直接法中的舍入误差，消元过程中有效位数的损失 将会影响方程的求解精度，此时一般用迭代法。直接法又称高斯消去法、三 角分解法以及以上述两法为基础的适用于更大方程组求解的分块解法和波前 法。迭代法又称高斯赛德尔迭代和超松弛迭代两种基本算法。 本文采用的是波前法求解方程组，具体论述将在后面章节给出。利用上 述方法可将式( 2 5 ) 求解，得到节点位移。 8 求解单元应力或节点应力。 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 求得位移后，将位移代入式( 2 2 ) 和( 2 3 ) 即可得出单元和节点的应 变和应力。 2 2 波动有限元的求解方法 动力学问题在国民经济和科学技术的发展中有着广泛的应用领域。最经 常遇到的是结构动力学问题，它有两类研究对象。一类是在运动状态下工作 的机械或结构，例如高速旋转的电机、汽轮机、离心压缩机等，他们承受着 本身惯性及与周围介质或结构相互作用的动力荷载。如何保证他们运行的平 稳性及结构的安全性，是极为重要的研究课题。另一类是承受动力荷载作用 的工程结构，例如建于地面的高层建筑和厂房，石化厂的反应塔和管道，核 电站的安全壳和热交换器，近海工程的海洋石油平台等，它们可能承受强风、 水流、地震以及波浪等各种动力载荷的作用。这些结构的破裂、倾覆和垮塌 等破坏事故的发生，将给人民的生命财产造成巨大的损失。正确的分析和设 计这类问题，在理论和工程实际上都是具有意义的课题1 3 6 】。 动力学研究的另一重要领域是波在介质中的传播问题。它是研究短暂作 用于介质边界或内部的荷载所引起的位移和速度的变化，波如何在介质中向 周围传播，以及在界面上如何反射、折射等的规律。对其研究在结构的抗震 设计、人工地震勘探、无损探伤等领域都有广泛的应用背景，因此也是近2 0 多年来一直受到工程界和科技界密切关注的课题。 本文从以下几个方面对波动有限元的求解思想进行阐述，特别对波动问 题中人工边界的处理作了详细的说明。 2 2 1 波动有限元计算原理 1 弹性动力学问题的基本方程 三维弹性动力学的基本方程是 平衡方程盯+ ，= p u ，+ ， ( 在v 域内) ( 2 6 ) 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 几何方程白= 兰( ，+ ，) 物理方程= d 州, r l a 边界条件”。= u ， f 2 r f n j = i 初始条件“。( x ，y ，z , o ) = u 。( x ，y ，z ) “叫( x ，y ，z ，0 ) 盅u 吖( z ，y ，三) ( 在v 域内)( 2 7 ) ( 在v 域内) ( 在s 。边界上) ( 在s 。边界上) ( 2 - 8 ) ( 2 9 1 ( 2 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) 其中p 时质量密度；是阻尼系数；“和材。是“，x 4 t 的二次导数和一次导 数，即分别表示f 方向的加速度和速度。 2 动力问题有限元求解的基本步骤 下面以三维实体动力分析为例，阐述有限元法求解的基本步骤 1 区域的离散化 在动力分析中，因为引入了时间坐标，我们所处理的是四维 问题。在有限元分析中一般采用部分离散的方法，即只对空间域 进行离散，因此步骤和静力分析相同。 2 构造插值函数 由于只对空间域进行离散，所以单元内位移“，v ，w 的插值表示是 u ( x ，y ，z ，f ) = j ( y ，z ) u ，o ) i - 1 n v ( x ，y ，z ，r ) = n t ( x ，y ，z ) v 。( r ) r i l w ( x ，y ，z ，) = m ( x ，y ，z ) o ) 或u = n a 8 ( 2 1 4 ) 其中 1 0 ( 2 1 3 ) 哈尔滨工程人学硕士学位论文 f “( 工，y ，z ，r ) l u = v ( x ，y ，z ，f ) ，n = 【n 。n ：n 。】 1 w ( x ，y ，z ，f ) j n ，= m i ( f = 1 , 2 ，n ) 侄 h r ，j 1 ，a 。= v i r f j o _ l ，2 ) 1w f r f j j 其中a 8 和a 。是时间的函数。 3 形成系统的求解方程 平衡方程( 2 6 ) 式及力的边界条件( 2 1 0 ) 式的等效积分形式可表示如 下 f 赢。( 仃+ z p u i - 删。) 一国， f n 厂f - ) d s = 0 ( 2 - 1 4 ) 对上式的第一项f 出。0 o ，d y 进行分部积分，并代入物理方程，则从上式可以 得到 f ( 出p p 州+ 国。p u 。+ 融，i t u 叫) d r = f i s u f , a v + 面；于d s 。0 ( 2 _ 1 5 ) 将位移空间离散后的表达式( 2 1 4 ) ，( 取，“。= “，“2 = v ，蚝= w ) 代入上式， 并注意到结点位移变分商的任意性，就最终得到系统的求解方程( 又称运动 方程) 。 m i i ( t ) + c a ( t ) + k 且( 力= q ( f ) ( 2 1 6 ) 其中i i ( ，) 和i ( f ) 分别是系统的结点加速度向量和结点速度向量，m ，c ，k 和q ( t ) 分别式系统的质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵和结点荷载向量，分别 由各自的单元矩阵和向量集成 哈尔滨工程大学硕士学位论文 m = m 8 ，c = e c 。，k = k 。，q = e q 8 ( 2 1 7 ) m 。= f _ 。n d v ，k 。= b d b d v ，c 。= 似7 n d v ( 2 _ 1 8 ) 分别是单元的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 q 。= n 7 掰矿+ n 7 t 据 ( 2 1 9 ) 是单元荷载向量。 如果忽略阻尼的影响，则运动方程简化为 m ( t ) + k a q ) = q ( t 、 ( 2 2 0 ) 如果上式的右端项为零，则上式表达的是系统的自由振动方程。 4 求解运动方程 运动方程( 2 1 6 ) 或( 2 2 0 ) 式的求解方法在第三章中有详细阐述。 5 计算结构的应变和应力 一经从( 2 1 6 ) 或( 2 2 0 ) 式解得结点的位移向量a ( n ，则可利用( 2 7 ) 和( 2 - 8 ) 式计算所需要的应变占( r ) 和应力c r ( t ) 。 从以上各步可以看出，和静力分析相比较，在动力分析中，由于惯性力 和阻尼力出现在平衡方程中，因此引入了质量矩阵和阻尼矩阵，最后得到的 求解方程不是代数方程组，而是常微分方程组。其它计算步骤和静力分析是 完全相同的。 关于二阶常微分方程组的解法，原则上可利用求解常微分方程组的常用 方法求解，但是在有限元动力分析中，因为矩阵阶数很高，用这些常用算法 一般是不经济的，所以只对少数有效的方法有兴趣。这些方法可以分为两类： 直接积分法和振型叠加法。 直接积分法是直接对运动方程进行积分。而振型叠加法是首先求解一无 阻尼的自由振动，即求解右端为零的( 2 2 0 ) 式，从数学上看这是一矩阵特 1 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 征值问题，然后用解得的特征向量，即固有振型对运动方程( 2 1 6 ) 式进行 变换，如果阻尼矩阵是振型阻尼矩阵，则变换后的运动方程，各自由度是互 不耦合的。最后对各个自由度的运动方程进行积分并进行叠加，从而得到问 题的解答。这两类方法本质上是等价的，采用何种方法主要取决于求解具体 问题的计算效率。第三章中对求解的方法进行了具体阐述。 2 2 2 波动有限元中的人工边界 用有限元法求解波在无限域中的波动向题，首先必须从无限域中截取出 研究区域，设置人工边界，以吸收到达边界处的应力波。迄今为止，借助于 各种数学力学原理，人们已构造出许多种人工边界，比如粘滞边界( v i s c o u s b o u n d a r y ) 、吸收边界( a b s o r b i n gb o u n d a r y ) 、透射边界( t r a n s m i t t i n gb o u n d a r y ) 和统一边界( u n i f i e db o u n d a r y ) 等。在实际应用中，由于粘滞边界物理意义 清晰，处理方法简单，对瞬态波吸收效果好，且易于实现，因此广为使用。 此法是由l y s m e r 等人提出的，他们分析了波在边界的反射现象，提出若边界 反作用应力仃( 法向) 、r ( 切向) 与沿边界法向速度分量西及切向分量速度西之 间存在下列关系，则可认为这种边界为无反射作用的粘滞边界。 盯= a p c b ，r = 幼打 ( 2 - 2 1 ) 其中a ，b 是无量纲参数；p 为介质密度；k 为介质中纵波波速；矿。为介质 中横波波速【3 3 1 。 由于a n s y s 有限元分析软件本身的限制，本文不对模型进行人工阻尼 边界处理。廖振鹏1 川指出，如果人工边界足够大，则结构的动力反应在给定 的时间内可以完全避免人工边界的影响，对结果的影响不大，可以不必进行 无反射边界处理，只需加刚性边界即可。本文中具体的边界施加方法在算例 中有详细说明。 1 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 2 3 波动有限元网格尺寸 从物理意义上讲，连续体离散化将引起不利的效应，如频散、截止频率、 高频振荡等。它们都将使波的传播性质发生变化。由有限元离散而带来的不 利效应对结果的影响在第三章中有具体阐述。理论和实践证明，当划分的网 格尺寸足够小时，如对于一维问题，单元网格尺寸h ( 1 厅1 8 ) k ( a 为波 长) 时，用有限元离散模型代替连续截止模型求解引起的误差通常可忽略不 计。二维和三维离散模型中波的传播问题，除了一维离散模型的频散、截止 频率外，随着维数的增加还将引入新的问题。因此，分析瞬态波传播问题时， 应使单元网格划分的足够小，据a n s y s 软件资料3 9 1 介绍，单元网格尺寸为 h ( 1 2 0 ) k ( 2 - 2 2 ) 时，用有限元模型代替连续介质模型分析动力问题引起的误差通常可忽略不 计。 2 2 4 波动有限元时域积分时间步长的选取 瞬态分析求解的精度取决于积分时间步长的大小，时间步长选取过大， 将损失高频部分，使精度降低，严重时导致计算发散。太小的时间积分步长 则浪费计算机的资源，且累计误差也将影响计算精度。对于n e w m a r k 积 分法，建议步长取a t 玉1 ( 2 0 f ) ( f 为结构的响应频率) 。尤其对于应力波传 播问题，时间步长应当小到当波在单元之间传播时足以捕捉到波。刘晶波7 1 针对二维矩形单元证明了对集中质量有限元，时间步长应满足下式： a t h c 。( 2 - 2 3 ) 其中，h 为单元网格尺寸，g 为波速。 1 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 3 有限元分析软件a n s y s 简介 4 0 】 a n s y s 软件是美国a n s y s 公司研制的大型通用有限元分析( f e a ) 软件。 能够进行包括结构、热、声、流体、电磁场等学科的研究。在核工业、铁道、 石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木 工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等领域有着广泛的应 用。 2 3 1a n s y s 在有限元软件中的地位 在世界各地的各行各业，a n s y s 获得了广泛的应用，并取得了成功。在 波音公司的7 4 7 客机上，在k i d st o y s 公司的儿童滑梯上，在m o t o r o l a 公司 的s t a r t a c 手机上，在壳牌润滑油油桶上，在阿尔斯通公司的高速列车上， 在三大汽车公司的各类汽车上，甚至在w i l s o n 公司的i n v e x 高尔夫球杆上， 都有a n s y s 立下的汗马功劳。a n s y s 在全球有5 9 0 0 多个商业客户，学校 用户有l o 万个。 可以说，a n s y s 用户的成功就是a n s y s 公司的成功。多年来，它一直 在有限元分析( f e a ) 软件排名中名列第一，它是第一个通过i s 0 9 0 0 1 质量认 证的分析设计类软件，也是通过美国机械工程师协会( a s m e ) 、美国核安全局 m q a ) 及近2 0 种专业技术协会认证的标准分析软件。 a n s y s 在中国也得到了日益广泛的认可和应用。他是唯一被中国铁路机 车车辆总公司选为实现“三上”目标的有限元分析软件，在各厂所中广泛用 于机车提速及高速机车的研制，它是第一个通过中国压力容器标准化技术委 员会认证并在全国压力容器行业推广使用的分析软件。目前，中国1 0 0 多所 理工院校采用a n s y s 软件进行有限元分析，4 5 所理工院校1 1 5 门课程以 a n s y s 作为标准教学软件。而且，a n s y s 公司也为院校免费提供教育版软 件、广泛提供有限元学习、研究、应用的交流和咨询。 1 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 3 2a n s y s 的发展 1 9 7 0 年，j o i l l ls w a n s o n 博士洞察到计算机模拟工程应该商品化，于是在 宾州匹兹堡创建了a n s y s 公司。其开发的第一个程序及提供了线性结构分 析及热分析功能，它只是一个批处理程序，且只能在大型计算机上运行。但 3 0 年来，a n s y s 取得了巨大的成功。他不断融入了新的技术，不断满足用 户的要求，从而使程序不断向前发展。他不断加入越来越多的单元类型，考 虑了非线性、子结构等新技术。7 0 年代末，a n s y s 引入了交互式概念，大 大提高了用户对程序的使用效能；其前处理器和后处理器的概念，使得用户 在建模和结果处理上都非常方便。a n s y s 的使用简单有效，即便是新手也很 容易理解并完成自己的分析。a n s y s 在跟踪有限元学科及其应用发展的同 时，也适应计算机技术的发展，能够在多种工作平台、多个操作系统上完全 兼容，其并行处理技术也大大提高了分析的效率。 目前，a n s y s 已经发展到了6 1 版。与以往版本相比，该版本在结构、 耦合场、概率设计、a n s y s l s d y n a 、高频电磁场分析、计算流体力学、 可用性、系统增强、界面和命令输入等方面有较大的提高。 2 3 3a n s y s 的功能和特点 用a n s y s 可以完成的功能如下： 1 建立计算模型或者输入结构、产品、组件或系统的c a d 模型。 2 应用施加荷载或者其他设计条件 3 研究模型的物理响应，比如应力水平、温度分布或者电磁场等。 4 对产品进行优化设计，以降低产品的费用。 5 傲数值模拟试验 a n s y s 包括1 0 0 多个单元，提供了对各种物理量的分析功能，可以将其 应用到如下学科： 1 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 结构分析 热分析 高度非线性瞬态动力分析 流体静力学和动力学 电磁场分析 声学分析 压电分析 多场耦合分析 设计灵敏度及优化分析 a n s y s 的如下特点使得其在有限元分析软件中具有领先地位： 1 唯一能实现多场及多场耦合分析功能的软件。用户不但可用其进行诸 如结构、热、流体流动、电磁等的单独研究，还可以进行这些类型的相互影 响研究。例如：热结构耦合，磁结构耦合以及电磁流体热耦合等。 2 唯一实现前处理后处理、求解及多场分析统一数据库的一体化大型 f e a 软件。 3 唯一具有多物理场优化功能的f e a 软件。 4 强大的非线性分析功能 5 多种求解器分别适用于不同问题及不同的硬件配置。 6 支持从微机、工作站到巨型机的所有硬件平台，以及所有平台之间的 并行计算。 7 度持异种、异构平台的网络浮动，在异种、异构平台上用户界面统一、 数据文件全部兼容。 另外，a n s y s 软件还有以下功能： 多种自动网格划分技术。 可与大多数的c a d 软件集成并有接口。利用a n s y s 提供的数据接口， 1 7 哈尔滨二r = 程大学硕士学位论文 可精确地将在c a d 系统下生成的几何数据传入a n s y s 中，并对其分网求解。 这样就不必因为在分析系统中重新建模浪费时间。 多层次多框架的产品系列。产品系列由一整套可扩展的、灵活集成的各 模块组成，因而能够满足各行业的工程需要。也因此，用户只需要购买自己 需要的模块即可，从而节约开支。 良好的用户开发环境，a n s y s 综合应用菜单、对话框、工具条、命令 行输入、图形化输出等多种方式，从而使应用更加方便。 方便的二次开发功能：用宏、参数语言设计、用户可编程特性、用户自 定义界面语言、外部命令等功能，可以开发出适合你自己的应用程序。 2 3 4 结构分析模块简介 由于本论文要使用的是结构分析模块，所以单独详细介绍一下这个模块。 结构分析模块是有限元分析方法中最常用的一个模块，这里的结构并不单指 建筑工程里的结构如桥梁、建筑物等，还包括船舶工程、航天航空、机械工 程中的结构。 结构分析模块中又有以下几种分析模块： 1 静力分析：分析结构在静力作用下的应力、应变。 2 模态分析：用于确定设计结构或机器部件的振动特性( 固有频率和振 型1 ，即结构的固有频率和振型，他们是承受动态载荷结构设计中的重要参数a 同时，也可以作为其他动力学分析问题的起点，例如瞬态动力分析、谐响应 分析和谱分析。 3 谐响应分析：任何持续的周期载荷将在结构系统中产生持续的周期响 应( 谐响应) 。谐响应分析适用于确定线性结构在承受随时间按正弦( 简谐) 规律 变化的载荷时的稳态响应的一种技术。分析的目的是计算出结构在几种频率 下的响应并得到一些响应值( 通常是位移) 对频率的曲线。从这些曲线上可以 找到峰值响应，并进一步观察峰值频率对应的应力。 1 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 4 瞬态动力分析：瞬态动力分析( 亦称时间历程分析) 适用于确定承受任意 的随时间变化载荷的结构的动力学响应的一种方法。可以用瞬态动力学分析 确定结构在静载荷，瞬态载荷和简谐载荷的随意组合作用下的随时间变化的 位移，应变，应力和力。 5 谱分析：谱分析是一种将模态分析的结果与一个已知的谱联系起来计 算模型的位移和应力的分析技术。谱分析替代时间一历程分析，主要用于确定 结构对随机载荷或随时间变化载荷( 如地震、风载、海洋波浪、喷气发动机推 力、火箭发动机振动等) 的动力响应情况。 6 屈曲分析：所谓屈曲分析，也叫分叉变形分析，指以中心的变形模式无 限制扩展，也就是说，在分叉点，对同一变形，对应着两种状态( 分叉) ，如 力状态。其理论基础是弹性稳定性的线性化模型。曲屈分析是一种特殊的分 析类型，主要用于解决结构受到突然作用力时的失效。 2 3 5a n s y s 的计算分析过程 a n s y s 计算分析过程主要由三部分组成，即建立模型、加载求解及结果 评价。 在建立实体模型时，由于通过布尔运算、拷贝、搭接、粘接等方法进行， 所以可对任何复杂的结构进行建模且耗时少。对于有限元建模，文献 4 h 有 很好的介绍。例如要建立一个比较复杂的结构模型，即结构上有一些槽、孔 等，那么先建立一个简单的大模型，然后分别建立一些小模型，再用大模型 分别减去各小模型，剩下的便是要建的复杂模型。有对称性的模型，可先建 立- - d , 部分，然后对称拷贝即可。模型建立后，单元划分更是方便，只须在 相关的线或面上定出单元长度或要划分的比例，程序将会自动形成单元及节 点。也可以用自适应网格划分自动生成单元。单元库非常丰富，有1 0 0 多种 不同的单元供选择，宪全可以满足一般工程计算的需要。加约束和施加力也 很方便，只需在要加载的节点用鼠标点击就可完成。对于复杂的或多种载荷 1 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 并存的情况，通过建立多裁荷步完成。后处理可对计算过程中的任一步，整 个过程或沿某个路径的结果进行打印显示还可以显示变形图及对应幅值随 时间或频率的变化曲线。如对一个随机载荷引起结构的响应，在用图形显示 出某节点位移时间历程后，可直接进行计算分析得到其速度和加速度的频谱 图。 2 4 本章小结 本章介绍了波动有限元的求解方法，