（运筹学与控制论专业论文）切换广义系统的稳定性分析及保性能控制.pdf

l at h e s i si no p e r a t i o n a ll k s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s t h e s t a b i l i t ya n a l y s i sa n dg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lo fs w i t c h e ds i n g u l a rs y s t e m b yz h a n gh o n g y a n s u p e r v i s o r ：c e p r o f e s s o rz h a n g x i u h u a n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y j u l y2 0 0 8 | j 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢 = 正 思。 学位论文作者签名：劲q 冯鹰 日 期：弘口8 聋7 目 f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 作者和导师同意网上交流的时间为作者获得学位后： 半年口一年口一年半口 学位论文作者签名：嗽鸡7 往 签字日期： 叩8 军1 同 两年口 导师签名： 签字日期： 毒、_-、 ，0-i， 垮i-r， ，-， 东北大学硕士学位论文 摘要 切换广义系统的稳定性分析及保性能控制 摘要 切换广义系统是混杂系统中的一个重要类型，由于是由子系统构成的系统，而子系 统又是广义系统，所以切换广义系统是一类很复杂的系统，研究它就比较困难，需要考 虑很多问题。在本篇论文中研究了一些比较简单的切换线性广义系统，我们考虑的都是 正则无脉冲的，且在切换时刻无跳跃。 稳定性是系统的一个重要特性。一个系统要能正常工作，它首先必须是一个稳定的 系统，切换系统可以看作是由一组子系统以及作用在其中的切换规则构成的。切换系统 子系统的稳定性不等价于整个系统的稳定性。文中主要考虑了自治切换广义系统。我们 主要是利用找到一个公共l y a p u n o v 函数使得整个系统满足一定的条件，则系统就是稳定 的，文中还分析了二次稳定性，对于二次稳定性选用二次正定函数，它相似于公共 l y a p u n o v 函数。第二章考虑了连续切换广义系统的稳定性，第三章考虑了离散切换广义 系统的稳定性，各给出了一个算例，通过算例说明了判别稳定性方法的有效性。 具有范数有界的不确定系统的鲁棒镇定问题已得到了广泛的研究，取得了许多有意 义的结果。但是，对于一个实际系统，仅仅具有稳定性是不够的，还需要考虑其它的一 些性能。本文以保性能控制理论和切换系统相关研究为基础，研究了子系统的系统矩阵 和输入矩阵都含有不确定项的切换广义系统的保性能控制问题，利用公共l y a p u n o v 函 数方法，得到了切换广义系统状态反馈保性能控制存在的充分条件。给出了在任意切换 条件下，保性能控制存在的充分条件的线性矩阵不等式的形式，并给出了控制器的参数 化表示和性能指标，推导出了不含有控制输入的自治系统存在保性能控制的条件。第四 章考虑了连续切换广义系统的保性能控制，第五章考虑了离散切换广义系统的保性能控 制。 关键词：稳定性；切换广义系统；公共l y a p u n 0 v 函数；性能指标；保性能控制 i i i ，1 _“j- it，- 霜 1 f 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h e s t a b i l i t ya n a l y s i sa n dg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo f s w i t c h e d s i n g u l a rs y s t e m a b s t r a c t s w i t c h e ds i n g u l a rs y s t e mi sas p e c i a lc l a s so fh y b r i ds y s t e m ， i ti s c o m p o s e do f s u b s y s t e m s ，a n ds u b s y s t e m sa r es i n g u l a rs y s t e m s t h es w i t c h e ds i n g u l a rs y s t e mi sac l a s s0 f v e r yc o m p l e xs y s t e m ，i ti sm o r ed i f ! f i c u l tt os t u d yt h e m ，w em u s tc o n s i d e rm a n yp r o b l e m s i n t h i sp a p e r ，w es t u d ya 虹n do fs i m p l es w i t c h e dl i n e a rs i n g u l a rs y s t e m s ，t h e ya r er e g u l a ra n dn o i m p u l s e ，a n dt h e r ei sn os t a t ej u m p a ts w i t c h i n gt i m e s t a b i l i t yi sa ni m p o n a n tc h a r a c t e r ：i s t i co ft h es y s t e m as y s t e mc a nb ea b l et ow o r k n o 姗a l l y i tm u s tb eas t a b l es y s t e m s w i t c h e ds y s t e mc a nb ec o n s i d e r e da st h a tc o n s i s t so fa 伊0 u po fs u b s y s t e m sa n dt h es 、 ，i t c h i n gs i g n a l t _ l l es t a b i l i t yo fs u b s y s t e m sa r en o te q u i v a l e n t t ot h es t a b i l i t yo ft h ee n t i r es w i t c h e ds y s t e m w em a i n l yc o n s i d e rt h ea u t o n o m o u ss w i t c h e d s i n g u l a rs y s t e m s w ef i n dac o m m o nl y a p u n o vf u n c t i o nt om a k et h ew h o l es y s t e ms a t i s f y s o m ec o n d i t i o n s ，s ot h es y s t e mi ss t a b l e w ea l s ob a s eo nt h eq u a d r a t i cs t a b i l i t y ，t ot h e q u a d r a t i cs t a b i l i t y ，c h o o s e aq u a d m t i cp o s i t i v e d e f i n i t ef i l n c t i o nw h i c hi ss i m i l a rt ot h e c 0 m m o nl y a p u n o vf i l n c t i o n w es t u d yc o n t i n u o u ss w i t c h e ds i n g u l a rs y s t e m si nt h es e c o n d p a r ta n dd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m si nt h et h i r dp a n w bg i v ea ne x a m p l ei ne y e r yp a r t ，a n d i n d i c a t et h a tt h ed i s c r i m i n a t i o nm e t h o di se f f e c t i v e t h er o b u s ts t a b i l i z a t i o np r o b l e m0 fu n c e r t a i ns y s t e mw i t hn o m - b o u n d e dh a sb e e n s t u d i e de x t e n s i v e l y ，锄da c h i e v e dm a n ys i 印i f i c a n tr e s u l t s b u tf b fap r a c t i c a ls y s t e m ，0 n l y h a v i n gs t a b i l i t yi sn o te n 伽g l l ，w en e e dt 0c o n s i d e ro t h e rp e 由瑚a n c e s i nt h i sp a p e r o nt h e b a s eo fg u a r a j l t e e dc o s tc o n t r o l t h e o r i e sa n dr e l e v a n tr e s e a r c h e so fs w i t c h e ds y s t e m s ，w e s t u d yt h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r i d b l e mo fs w i t c h e ds i n g u l 缸s y s t e mw i t hu n c e r t a i n i t e m si n t h es y s t e mm a t r i c e sa n di n p u tm a t r i c c s b yl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o d ，w eg e tt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo fs w i t c h e ds i n g u l a rs y s t e mw i t hs t a t e f e e d b a c k n e s u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t i n gg u a r a n t e e dc 0 s tc o n t r o lu n d e ra r b i t 删了s w i t c h i n gl a w si sg i v e n ， t h ec o n d i t i o ni nt h ef 0 珊o fu la n dt h ep a r a m e t e r i z e di e p r e s e n t a t i o na n dp e r f b n n a n c ei n d e x a r es h o w n 1 bt h ea u t o n o m o u ss y s t e mo fn oc o n t r o l i n p u t ，w ed e r i v et h ec o n d i t i o n0 fe x i s t i n g g l l a r a n t e e dc o s tc o n t r 0 1 w es t u d yg u 猢t e e dc o s tc o n t r 0 10 fc o n t i n u o u ss w i t c h e ds i n g u l a r s y s t e mi nt h ef o u n hp a na n dg l l a r 柚t e e dc o s tc o n t r o l0 fd i s c r c t cs w i t c h e ds i n g u l a rs y s t e mi n t h ef i f l hp a n v 7l， ， l 妯yw o r d s ：s t a b i l i t y ；s w i t c h e ds i n g u l a rs y s t e m ；c o m m o nl ，y a p u n o vf h n c t i o n ；p e r f b r m a n c e i n d e x ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l f 气 ；r 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i i a b s t r a c t v 第1 章绪论1 1 1 混杂系统及切换系统的概述1 1 1 1 混杂系统简介1 1 1 2 切换系统介绍1 1 1 2 1 切换系统的分类2 1 1 2 2 切换系统的相关定义2 1 1 2 3 切换系统的研究情况3 1 2 广义系统概述4 1 3 切换广义系统的研究内容及研究情况5 1 4 保性能介绍6 1 5 本文的内容结构7 第2 章连续切换广义系统的稳定性9 2 1 引言9 2 2 连续切换广义系统稳定性分析9 2 2 1 连续自治切换广义系统的稳定性分析1 1 2 2 2 不确定连续切换广义系统稳定性分析。1 4 2 2 3 含有控制输入的连续切换广义系统的稳定性分析1 6 2 3 数值算例。1 6 2 4 结束语1 7 第3 章离散切换广义系统的稳定性1 9 3 1 引言。1 9 3 2 离散切换广义系统稳定性分析1 9 v i i 东北大学硕士学位论文 目录 3 2 1 离散自治切换广义系统的稳定性分析2 0 3 2 2 不确定离敞切换广义系统稳定性分析2 3 3 2 3 含有控制输入的离散切换广义系统稳定性分析2 3 3 3 数值算例2 5 3 4 结束语2 5 第4 章连续切换广义系统保性能控制2 7 4 1 引言2 7 4 2 不确定连续切换广义系统保性能控制研究2 7 4 2 1 不确定连续切换广义系统保性能控制介绍2 7 4 2 2 不确定切换广义系统存在保性能控制条件2 8 4 2 2 1 方法一2 8 4 2 2 2 方法二。3 0 4 2 3 保性能控制器的设计3 2 4 2 3 1 保性能控制器的设计一3 2 4 2 3 2 保性能控制器的设计二3 3 4 3 自治切换广义系统保性能存在条件3 3 4 4 数值算例。3 4 4 5 结束语3 5 第5 章离散切换广义系统保性能控制3 7 5 1 引言3 7 5 2 不确定离散切换广义系统保性能控制研究3 7 5 3 自治切换广义系统保性能控制存在条件4 2 5 4 结束语。4 3 第6 章总结与展望4 5 参考文献4 7 j i 炙谢5 1 - v i i i 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 混杂系统及切换系统的概述 1 1 1 混杂系统简介 混杂动态系统，简称混杂系统。它是由连续时间过程或离散时间过程组成，并受逻 辑或决策系统的影响。1 9 6 6 年，h s w i t s e n h a u s e n 【1 l 在i e e ea c 发表的文章标志着混杂 动态系统理论研究的开始。而此后的二十年间没有多大进展，八十年代末以来，开始混 杂动态系统的建模及基本理论的研究。1 9 9 6 年，i f a c 大会上发表了一篇混杂动态系统 的综述文章，尤其是i e e ea c 在1 9 9 8 年4 月发表了一期混杂动态系统的专刊【2 】，标志 着混杂动态系统的研究已取得阶段性的成果。近十年来，混杂动态系统的研究有了较大 的发展，取得了大量的研究成果。 混杂系统是一类复杂系统，它广泛存在于公路交通运输、航空调度系统、工程技术、 机器人系统、化学工程、电力系统等许多领域。由于混杂系统有广泛的实际应用背景而 却难以用传统的控制手段来处理，所以它是当今控制领域研究的热点问题之一。 a m t s a k l i s 【2 】在正e ea c 的混杂动态系统专刊的引言中给出了混杂动态系统的三种类型， 其中之一即是切换系统。切换系统是混杂动态系统中的一类重要模型。 1 1 2 切换系统介绍 切换系统( s w i t c h e ds y s t e m s ) 是混杂动态系统的一种。系统的动态可由有限个子系统 或动态模型描述，同时有一个切换法则，使之在子系统之间进行切换1 2 l 。切换系统的一 个显著特点是在切换瞬间系统的连续状态不发生跳跃现象，可知切换系统的模型比混杂 动态系统模型简单一些，但是，必须说明这一模型的简化并没有限制它的模型能力和适 用范围。因为，实际应用中许多系统都可以归结为切换系统如自动化工业，飞机空中交 通控制，电力系统网络的切换等，而且有些情况下，连续动态变量的选取决定了是否存 在状态的跳跃或不连续。 切换系统可以看作是由一组连续微分方程子系统以及作用在其中的切换规则构成 的。切换系统在切换的过程中，每一时刻系统的状态只符合其中一个系统的规律，即切 换规则确定每一时刻系统切换到哪一个子系统，系统的状态就在相应时刻切换到相应的 东北大学硕士学位论文第l 章绪论 子系统。 1 1 2 1 切换系统的分类 从不同的角度，切换系统有下面几种分类方法。 按照切换系统所包含的时间状态变量类型，切换系统可分为以下两类： ( 1 ) 连续切换系统；( 2 ) 离散切换系统。 按照切换系统是否含有非线性连续时间( 或离散时间) 动态，切换系统可分为： ( 1 ) 线性切换系统；( 2 ) 非线性切换系统。 按照在切换时刻连续时间( 或离散时间) 状态是否发生变化，切换系统可分为： ( 1 ) 含状态跳变的切换系统。这类切换系统在切换信号变化时，不仅其动态行为模型 会发生改变，其状态也会按照一定规律发生跳变；( 2 ) 不含状态跳变的切换系统。这类切 换系统在切换时刻，切换系统的时问状态是连续的。 按照有无外部输入量，切换系统可分为： ( 1 ) 自治切换系统。这类切换系统没有任何外部输入；( 2 ) 非自治切换系统。这类 切换系统含有外部输入。 1 1 2 2 切换系统的相关定义 定义1 1 ( 切换系统数学定义) 形如 麟2 蹴：器 m 1 ， iy o ) = g 口，) 0 0 ) ，“o ) ) 、7 的系统，如果在切换时刻系统状态轨迹连续，就称其为切换系统。其中x o ) 彤是系统 状态向量( n 维) ，) ，( f ) r ”是输出向量，h o ) r p 是系统输入向量。，f ( ，) ：尺”r p _ r “， g ，( ，) ：r ”尺”呻尺“是系统的局部模型，称为子系统。仃o ) 扎2 ，) 是切换律，像集 是由自然数构成的集合，称为系统的切换序列，设切换律是右连续的，即l i 啦盯( s ) = 仃o ) ， f 尺+ 。表示系统包含的子系统个数。 定义1 2 ( 切换线性时变系统数学定义) 形如 僻二芝怒二乏篇 n 2 ， iy 0 ) = c 口( ，) o 沁o ) + d 。( ，) ( f ) “p ) 、 7 的系统称为切换线性时变系统。其中4 ( ，) p ) 彤”，见( ”o ) 尺胁，巴( ，) o ) 尺“， j d 卯1 0 ) 尺，工o ) r ”，y o ) r “分别是系统的状态向量和输出向量。其它变量意义和 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 定义1 1 中相同。 定义1 3 ( 切换线性系统定义) 在定义1 2 中，如果设彳。( ，) ( f ) ，b 。( o o ) ，g ( ，) o ) ，d 。( ，) ( f ) 均为常系数矩阵，则式( 1 2 ) 所描述的系统就称为切换线性系统。 定义1 4 ( 切换序列定义) 对于一个切换线性系统，把切换时刻按照时间由近到远 的顺序排列成一个序列，称该序列为切换时刻序列，用气= f 。， ，f ：表示。切换信号( f ) 在切换时刻是右连续的，把它在切换时刻的取值按照气的顺序排列成一个序列，称为切 换信号序列。用吼= 仃o 。) ，仃o 。) ，o ：) ，表示，且有d 纯) 1 ，2 ，) 。把气与吼组合在 一起，形成一个二元组序列，称为切换序列，用s ( f ) = ( f 。，仃o 。) ) ，o 。，盯o 。”，( f ：，口o ：) ，) 来 表示。 定义1 5 系统若形如 戈= 彳。z ， f = 1 2 ，( 1 3 ) 则称其为自治线性切换系统，其中爿。r ，石尺“是系统的状态变量，为子系统个 数。 定义1 6 序列s = ( f ，4 。) ，( f ：，4 ：) ，( f ，4 f ，) ，( f ，4 ) 】被称为线性切换系统的切换 序列。其中f ，表示系统( 1 3 ) 的切换时刻，j 取自然数；鸣似，4 ，4 a ) ，( f ， ) 表 示在f ，s fs f 时问内，系统( 1 3 ) 将沿j = 4 x 子系统运行。切换序列与系统( 1 3 ) 共同决 定着系统( 1 3 ) 的运行状态。 1 1 2 3 切换系统的研究情况 在控制工程和控制理论中，稳定性【4 3 ，4 2 舶j 问题一直是一个基本的和重要的问题，是 控制系统的一种结构属性，是系统分析与设计的前提条件，也是实际系统正常工作的基 本保障。与一般系统相比，切换系统具有一种特殊性质，即其子系统的稳定性不等价于 整个系统的稳定性。如果切换系统选择不同的切换序列，其系统稳定性可以得到截然不 同的结果。也就是说，即使每个子系统都存在l y a p u n o v 函数，仍需对切换序列进行限制 才能保证整个切换系统的稳定性，如果切换序列选择不当，也是可以导致整个系统的不 稳定；但是相反的，即使切换系统的每个子系统都不稳定，但是通过构造一个适当的切 换序列仍然可能使整个切换系统稳定，从而实现了一般系统不能实现的性能。因此，与 通常的系统相比，切换系统具有一定的特殊性，这些特性增加了对切换系统分析的难度。 人们采用多种方法从各个角度对之进行了广泛的探讨，获得了许多有意义的结论。 3 东北大学硕士学位论文第l 章绪论 w p d a y a w a l l s a 等人在文献【3 】、j l m a n c i l l a a g u i l a r 等人在文献f 4 】给出了切换系统的 逆l y a p u n o v 定理，因此切换系统在任意切换下均渐近稳定的充分必要条件是它的予系统 具有公共l y a p u n o v 函数。对于线性切换系统，文献【5 】指出，如果它对于任意切换律均是 渐近稳定的，则公共l y a p u n o v 函数可以取成准二次型或分段二次型。针对仅含两个子系 统的线性切换系统，文献【6 】利用矩阵束条件研究了这利，系统存在公共的二次型l y a p u n o v 函数的充分必要条件。文献【7 】利用线性矩阵不等式方法研究了系统的公共二次型 l y a p u n o v 函数的计算。 1 2 广义系统概述 近二十多年来，人们已经发现很多实际问题中存在着广义系统的形式，如电路网络、 电力系统、航空工程、化工过程、核反应、神经网络等系统，以及社会系统( 如决策理 论) 、经济系统( 如多部门经济的动态投人产出模型) 和生物系统等等。随着社会的发 展和研究的深人，广义系统涉及的领域也将越来越广泛。 从7 0 年代末期开始，广义系统成了控制界的一个热门课题1 3 4 ，3 5 ，3 6 1 ，如今，广义系统 已成了控制理论的重要研究领域之一。但是，由于国际上对广义系统研究的时间比较短， 而且多是仿照微分系统的有关结论，因而广义系统的成果显得非常零碎和分散，也尚未 形成一套系统的理论。由于广义系统本身的复杂性，许多广义系统的相关问题还未得到 根本解决。因此，对广义系统的研究不仅具有广泛的实际意义，而且其理论价值也具有 广阔的发展前景。 连续时间的线性时不变广义系统一般可以表述为如下的微分代数方程： 黑二东娑 ly o ) 一c x o ) + d h o ) 、7 其中，x o ) 彤，蹦o ) r ”，y o ) r ，f 尺分别表示系统的状态向量、输入向量、输出向量 和时间变量。 e 尺“”，爿彤”，b 尺“4 ，c 尺h 4 ，d 尺“”皆为定常矩阵， m 厅翘一qs 刀。当，一，l 时，广义系统退化为正常系统。 线性时不变离散广义系统一般可以表述为如下的差分方程： 蕊：器溢 5 ， i y ( 七) = c 又( 七) + 啦( 七) 、 7 其中，工 ) 彤，h ) 尺”，y ) r 7 ，七分别表示系统的状态向量、输入向量、输出向 量和时间变量。e 彤”，彳彤”，b 彤“，c r 胁，d r h 胂皆为定常矩阵， 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 ，鲫旭，口s ，l 。当，。，l 时，广义系统退化为正常系统。 广义系统与j 下常系统有许多区别，从而使广义系统出现了正常系统所不具有的一些 状态。广义系统的动态阶为g = 加放( e ) ( 一般小于系统的维数) ；广义系统的齐次初值 问题可能是不相容的，即可能无解，或即使有解也不一定唯一，故通常要求广义系统是 正则的( 此时，对于给定的允许初念，方程的解才存在且唯一) ，而正常系统的齐次初 值问题的解是存在且唯一的。 广义系统作为客观系统的更为自然的表示，具有比正常实际系统更多的特征，并广 泛存在于工程系统中。随着计算机技术的发展及其在控制中的广泛应用，目前广义系统 的研究已经取得了一定的进展，许多j 下常系统的结论被相继成功的推广到广义系统。 1 3 切换广义系统的研究内容及研究情况 切换线性广义系统【1 5 ，3 8 ，4 2 ，4 9 】是一类重要的切换系统，来源于电路网络和经济系统等。 由于切换行为的存在，在电路网络中经常出现状态不一致现象，这可能导致切换瞬问网 络变量的不连续性和脉冲电压电流的存在。因为需要同时考虑稳定性、正则性、脉冲消 除和状态一致性，切换广义系统的分析与综合更为复杂。 连续时间切换线性广义系统描述如下： r 2 铝发f ) ( r ) ( 1 6 ， 其中：工o ) 彤为状态变量；切换律盯( f ) ：尺+ 呻= 扎2 ，) 为分段常值函数；“；尺” 为控制输入变量；巨，4 尺为定常矩阵，尽为具有适当维数的定常矩阵，巨为奇异 阵，d c 科为一致初始状态。 定义1 1 切换序列是一个有限或无限的二元组的集合，即 万= 晚，毛) ，( 0 ，0 ) ) ( 1 7 ) 其中：正整数ms 表示切换序列的长度，当m ( 1 9 ) 任意给定初始时f 【i j 及例始状念，切换序列( 1 9 ) 和微分方程( 1 8 ) 就完全描述了系 统( 1 8 ) 的运行轨迹，即u j ，) 意味着在，sf 为分段常值函数， 为全部切换模式总数。蹦； ) r ”为控制输入变量；巨，4 r 为定常矩阵，垦为具 有适当维数的定常矩阵，e ，为奇异阵。 离散时间切换广义自治系统如下描述： e 。( 女) x ( 七+ 1 ) = 以。产 ) ( 1 1 1 ) 对于切换广义系统目前研究的不是很多，孟斌和张纪峰老师有一些相关研究”1 ，尹 玉娟和赵军老师对脉冲切换广义系统做了许多研究，主要是研究了自治系统的稳定性。 由于切换广义系统的特殊性，我们一般都研究正则的自治系统。对于切换广义系统保性 能方面的研究更是比较少。 1 4 保性能介绍 控制理论自2 0 世纪5 0 年代末产生以来得到了飞速的发展，在许多领域中得到了成 功的应用。现代控制理论的研究大多是基于对象的一个数学模型，根据系统的性能要求， 通过对被控对象的数学模型进行分析来设计系统的控制器，进而将所得到的控制器应用 于被控对象来保证闭环系统具有所期望的性能，对于线性系统而言，保性能控制是一个 有效的控制方法。保性能控制是指在容许不确定范围内保证系统渐近稳定且二次性能指 标有界。自1 9 7 2 年c h a n g 和p e n g l l o 】提出参数不确定系统保性能控制问题以来，不确定 系统的保性能控制取得了很大的进展。 保性能控制包括状态反馈保性能控制、输出反馈保性能控制、弹性保性能控制等。 状态反馈保性能控制是人们研究最多的一种保性能控制，也是研究成果最为丰富和成熟 的一种设计方法，但是由于构造状态反馈控制器需要知道系统的全部状态信息，这在实 东北大学硕士学位论文第l 章绪论 际工作中实现起来是相当困难的。 对于不确定切换广义系统，由于不仅要保证闭坏系统的鲁棒稳定性和满足性能指标 的要求，还要使闭环系统是正则无脉冲的，而且由于切换的存在需要保证系统在切换时 刻的连续性，因此，切换广义系统的保性能控制问题要比正常系统的复杂得多，目前此 方面的相关结果还不是很丰富。 1 5 本文的内容结构 本文根据切换系统和广义系统的相关知识，以l y a p u n o v 函数理论为基础，分析了 切换广义系统的稳定性及不确定切换广义系统的保性能控制问题。具体内容安排如下： 第1 章绪论，简单介绍了切换系统、广义系统以及保性能的一些相关知识，这些都 是本文研究内容的理论依据，在这一章也给出了切换广义系统的一些基础知识。 第2 章研究了连续切换广义系统的稳定性，给出了系统二次稳定的条件，推导出了 具有状态反馈的系统稳定的条件，并给出了不确定自治系统稳定的条件。最后给出一个 算例来说明定理中方法的有效性。 第3 章研究了离散切换广义系统的稳定性，给出了系统稳定的条件，推导出了具有 状态反馈的系统稳定的条件，并给出了不确定自治系统稳定的条件。最后给出一个算例 来说明定理中方法的有效性。 第4 章研究了连续不确定切换广义系统的反馈保性能控制存在的条件。根据系统稳 定性定理和给定的性能指标，推导出满足性能指标的系统反馈保性能控制存在的条件， 并给出了线性矩阵不等式的形式。 第5 章研究了离散不确定切换广义系统的反馈保性能控制存在的条件。根据系统稳 定性定理和给定的性能指标，推导出满足性能指标的系统反馈保性能控制存在的条件， 并给出了线性矩阵不等式的形式。 最后在总结与展望中简要总结了全文的工作，并提出了一些未深入研究的问题。 东北大学硕士学位论文第2 章连续切换广义系统的稳定性 第2 章连续切换广义系统的稳定性 2 1 引言 稳定性是系统的一个重要特性。一个系统要能正常工作，它首先必须是一个稳定的 系统，即系统应具有这样的性能：在它受到外界的扰动后，虽然其原平衡状态被打破， 但在扰动消失后，它有能力自动地返回原平衡状态或者趋于另一新的平衡状态继续工 作。换句话说，所谓系统的稳定性，就是系统在受到小的外界扰动后，被调量与规定量 之间的偏差值的过渡过程的收敛性。可见，稳定性是系统的一个动态属性。 切换系统的稳定性分析是目前切换研究中的一个热点，主要集中于l y a p u n o v 稳定 性的判定。由于“切换的引入，使切换系统的稳定性发生了很大的变化。例如，尽管 每个子系统稳定，但不恰当的切换又会导致整个切换系统不稳定；再如，每个子系统不 稳定，但通过恰当的切换又能使整个系统稳定。因此，切换系统的稳定性不等同于子系 统的稳定性。 切换广义系统的二次稳定性是一种理想的系统性能。对于一般线性广义系统，渐近 稳定性和二次稳定性是等价的。而对于线性切换广义系统，渐近稳定性却不一定能保证 是二次稳定性。线性切换广义系统的这种特殊属性主要是由于切换信号的作用造成的。 这一章对连续切换广义系统的稳定性做了分析，分析了系统在任意切换律下都稳定 的条件，用区间矩阵的方法对自治系统的二次稳定性作了详细的分析，根据结论推导了 不确定系统稳定的条件，还推导了含有输入的系统稳定的条件。 对于连续线性广义系统： 戥o ) 一彳z o ) + 口“o ) ( 2 1 ) 其中，z o ) 彤，“o ) r p 分别为状态变量和控制输入变量，4 尺“”为定常矩 阵，b 为适当维数的定常矩阵。 一般的，m 刀地一， 万。为确保系统( 2 1 ) 解的存在性和唯一性，我们恒假定系统( 2 1 ) 是正则的，即d e t 一彳) ，0 。 2 2 连续切换广义系统稳定性分析 如下定义的连续时问切换线性广义系统： 东北大学硕士学位论文第2 章连续切换广义系统的稳定性 p ( f ) 2 皇o ) + 晰叩，( ( 2 2 ) i z 纯) = 、7 其中：z o ) 彤为状态变量；切换律口( f ) ：r + 一= 1 ，2 ，) 为分段常值函数；“。尺” 为控制输入变量；巨，4 尺“”为定常矩阵，e 为具有适当维数的定常矩阵，垦为奇异 阵，dc 彤为一致初始状态。 定义2 1 切换序列是一个有限或无限的二元组的集合，即 万= 纯，f 0 ) ，( ，0 ) 】 其中：正整数ms 表示切换序列的长度，当m 时称切换序列刀是有穷的；否则称 为无穷的。对于任意给定的尼n 2 ， ，屯 1 ，2 ，) 为激活子系统的指标。 在研究稳定性的问题时，常限于研究自治系统。在一般情况下，切换广义自治系统 可表示为如下方程 p 黧0 产 其中：z o ) r 4 为状态变量；切换律仃( f ) ：r + 呻为分段常值函数； 定常矩阵，厂口咒地， ，l ；dc 尺“为一致初始状态。 对于切换律口o ) ，有切换序列 ( 2 3 ) e j ，爿j 尺”为 万一伽o ；( f o ，气) ，( f l ，f ，) ，o ，f ，) ，i j ，j ) ( 2 4 ) 任意给定初始时间f 。及初始状态x 。，切换序列( 2 4 ) 和微分方程( 2 3 ) 就完全描述了系 统( 2 3 ) 的运行轨迹，即p j ，) 意味着，sf ，+ l 时系统( 2 3 ) 的第f 个子系统处于激活状 态，因此当f 【f ，+ 1 ) 时，切换广义系统( 2 3 ) 的轨迹由第f ，个子系统产生。我们假设在 任意切换信号下系统( 2 3 ) 的解是右可微的，在任何有限时间区间【0 ，丁】仅有有限次切换。 定义2 2 对于一个给定的f ，如果存在常数标量墨c 使得d e t g 。e 一4 ) 0 ，子 系统( e ，4 ) 是正则的。如果每个子系统假，4 ) ( f ) 都是正则的，则切换广义系统( 2 3 ) 是正则的。 定义2 3 对于一个给定的f ，如果系统( 巨，4 ) 是正则的且对所有的毛c 有 d e g ( d e t ( s ，巨一4 ) ) = 朋咒蝎，则称系统( e ，4 ) 是无脉冲的。如果每个子系统( 巨，4 ) ( f ) 都是无脉冲的，则称切换广义系统( 2 3 ) 是无脉冲的。 定义2 4 对于切换广义系统( 2 3 ) ，如果对于任意切换律系统都是正则稳定无脉冲的， 1 0 东北大学硕士学位论文 第2 章连续切换广义系统的稳定性 则称系统( 2 3 ) 对于任意切换律是允许的。 注2 1 从定义2 1 2 3 我们可以看出，切换广义系统( 2 2 ) 的稳定性住受限等价变换下 是保持不变的。 后面的分析中我们都假设巨是相同的。 因此连续时间切换广义系统可以描述为： 严o ) 2 毫j ? + b 印心( f ) ( f ( 2 5 ) ix o o ) = x o 、7 连续时间自治切换线性广义系统描述为： l 厨o ： ) 石o ( 2 6 ) l 石( f o ) = 石o 、7 其中：x o ) 彤为状态变量；切换律仃( f ) ：尺+ 一为分段常值函数；e ，4 r “为定常 矩阵，朋，z 舾= ， o 及按段常值的切换函数仃一d o ) ，使得正 定二次函数y o ) = z r e r 饱x 沿系统轨线的导数 丢y ( 凰) 一。，觇乒o ( 2 7 ) 则称系统( 2 5 ) 是二次稳定的。 下面我们利用区间矩阵法来推导系统( 2 6 ) 二次稳定的条件。 2 2 1 连续自治切换广义系统的稳定性分析 构造矩阵 彳“一【口善】。柚t 【m i n 口0 1s fs ) 】。， 彳肼一【口孑】。= 【m a x 口0 ，1 s f 墨) 】。 东北大学硕士学位论文 第2 章连续切换广义系统的稳定性 区削矩阵 【么，彳肼】= 弘= k 盯l 口嚣s 口灯s 口孑，七，j 一1 ，2 ，甩) 其中，么“，么肘分别为4 0 = 1 ，2 ，) 中各元素的下界和上界元素组成的矩阵，称之为区 间矩阵的界阵，显然4 【彳”，彳肘】o 引理2 1 【2 9 1 设 4 剐“，彳彳= 丢( 彳”+ 么肼) 却扎。，。= 丢( 么m 一叫山 则 4 = 彳+ f f g g = 1 ，) ( 2 8 ) 其中， f ；【瓜1 一，瓜l 一，瓜一，瓜 ：， g 叫瓜一，瓜一，瓜一，瓜取， ；= 枇g 瞄1 ，一，9 0 ，g ：l 一，二】。：。：，p ，( j 一1 ，以) 为，l 咒单位矩阵的第_ 列，对于任 意的七，_ ( 1s 七，_ s ，z ) ，恒有i 籽i5l ；墨，。 引理2 2 ( s c h u r 补引理) 对于对称矩阵4 。，爿，2 r = 彳：，式( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 和( 2 1 1 ) 是等 价的。 院钟 亿9 ， 彳l l o ，彳2 2 一彳2 l 彳0 彳1 2 o ( 2 1 0 ) 4 2 2 o ，4 l 一么1 2 4 丢4 2 l 0 ，使得不等式 么r 髓+ e r 以+ e r p g r g 咫+ f f r 0 ，使得式( 2 1 2 ) 成立，令 管p e 七e jp a + e ? p g ，g p e 七f f t | 一q 。 其中q 为正定矩阵。 因为 0s ( f r x 一f g f 匿x ) r ( f r x 一f g 垡