（理论物理专业论文）轨道简并hubbard模型的对称性和bethe+ansatz中多粒子散射研究.pdf

a b s t r a c t i nt h ep r e s e n tr e p o r tf o raf i n a lr e v i e wo ft h ep o s t d o c t r a lw o r k ，w ei n v e s t i g a t et h es y m m e t r i e so ft h es p i n - o r b i t a ld e g e n e r a t eh u b b a r d e l e c t r o n sa n d s e r i o u s l yl o o kj n t ot h em u l t i p a r t i c l es c a t t e r i n g i nt h ea p p r o a c ho fb e t h e a n s a t zr e s p e c t i v e l yf o ro n e - d i m e n s i o n a ls u ( 4 ) f e r m i o n s ，s u ( 2 ) s u ( 2 ) s p i n - e x c h a n g et w o ，b a n de l e c t r o n sa n dt h ek o n d oi m p u r i t yi nt h ec o r r e l a t e dd e c t r o n s f i r s t l yf o rt h eh u b b a r dm o d e l o fn f o i do r b i t a ld e g e n e r a t ee l e c t r o n s ，w e s h o wa n d c l a r i r yt h a tt h es u d ( 2 n ) a n ds u ( 2 n ) s y m m e t r i e s h o l dr e s p e c t i v e l y f o rt h em o d e lw i t hu n i f i e do n - s i t ei n t e r a e t i o na n dt h a tw i t hp a r t l ya t t r a c t i v e i n t e r a c t i o n sa ne x t e n d e dl i e b m a t t i st r a n s f o r m a t i o ni sg i v e nt om a pt h e s e t w os y m m e t r i e si n t oe a c ho t h e r b u tt h es u b s y m m e t r ys 吩刨( n ) os 叫( n ) i sf o u n dt ob ep o s s e s s e db yt h et w or o o d e l sa n db o t hf o ra r b i t r a r yc h e m i c a l p o t e n t i a l “，b ye x c l u d i n gm o r e t h a nt w oe l e c t r o n so nt h es a x n es i t e sw ef i n d t h es ( 2 n ) pa n ds 巩( 2 札) ps y m m e t r i e sb o t he x i s ti ne a c hk i n do ft h et w o m o d e l s ，8 0w eh a v ea ne n l a r g e ds y m m e t r ys ( 2 n ) pxs 玩( 2 n ) p u n d e r t h i se x c l u s i o n ，a r l o t h e ru n d e r l y i n gs y m m e t r y ( s u j 8 ( 2 ) p s 吮8 ( 2 ) p ) o f s 呱o ) ( 2 ) _ p s 叫。) ( 2 ) p ) i sa l s of o a n df o rt h eu n i f i e d um o d e lw i t h c h e m i c a lp o t e n t i a l 肛= u ，a n dc o n s e q u e n t l yt h i sm o d e lh a st h es y m m e t r y s ( 2 n ) p s 巩( 2 n ) px ( s 沈8 ) ( 2 ) p s 矾印( 2 ) p ) 圆( s 昵哪( 2 ) p s 叫o ( 2 ) p ) t h el m d e r l y i n gs y m m e t r yi s v a l i df o rt h ep a r t i a l l ya t t r a c t i v e m o d e lw i t hc h e m i c a lp o t e n t i a l “= 一u r e s p e c t i v e l y f o r t h e o n e - d i m e n s i o n a ls y s t e m s o f s u ( 4 ) f e r m i o n s a n d s u ( 2 ) s u ( 2 1s p i n e x c h a n g et w o b a n de l e c t r o n sw ed i s c u s sc a r e f u l l yt h em u l t i p a r t i c l es c a t t e r i n ga tas a m ep o s i t i o ni nt h ea p p r o a c ho fb e t h ea n s a t z w e w o r ko u tt h ec o n d i t i o n sr e q u i r e db ys c a t t e r i n g so ft h t e ea n df o n re l e c t r o n s a tas a m ep o s i t i o na n dp r o v ee x p l i c i t l yt h a tt h e yc a nb es o l v e db yt h et w o p a r t i c l ec o n n e c t i o ne q u a t i o n si nt h eb e t h ea n s a t z t h ec o n f i g u r a t i o n sw i t h i n m o r et h a nf o u rp a r t i c l e sa to n es p a t i a lp o i n ta r ee x c l u d e di nt h et w om o d e i s b yp a u l ip r i n c i p l e t h e r e f o r et h eb e t h e a n s a t zi sv a l i df o rs p i n - e x c h a n g et w o - b a n de l e c t r o n sw i t h o u tt h ee x c l u s i o no fm u l t i - p a r t i c l es a x a e - p o s i t i o ns c a t t e r - i n g s u n l i k et h ed e g e n e r a t eh u b b a r dm o d e l ，t h eb e t h e - a n s a t zw a v eh m c t i o n i sc o n f i r m e dt ob et h es o l u t i o n so ft h es p a t i a l l yc o n t i n u o u ss y s t e ma n dt h e d e f i n i t i o no ft h eb e t h e - a n s a t zw a v ef u n c t i o nc a nb ee x a c t l ye x t e n d e dt ot h o s e c a s e so fm o r et h a nt w op a r t i c l e so c c u p y i n gas a m ep o s i t i o n ， l a s t l yw ef i n dt h eb e t h ea n s a t zb o u n d a r yc o n d i t i o n so ft w oe l e c t r o n s o nt h ei m p u r i t yf o rt h eo n e - d i m e n s i o n a ls y s t e mo fak o n d oi m p u r i t yw i t h 6 一f u n c t i o ni n t e r a c t i n ge l e c t r o n s i t ss h o w nt h a tt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s c a nb ef u l f i l l e db yt h ec o n d i t i o ne q u a t i o no fo n ee l e c t r o no nt h ei m p l m t y b e s i d e st h ec o n f i g u r a t i o n sw i t hz e r oa n do n ee l e c t r o no nt h ei m p u r i t y lt h e b e t h ea n s a t zc a nb ea i s oe x t e n d e dt ot h ec o n f i g u r a t i o n sw i t ht w oe l e c t r o n s s c a t t e r i n go nt h ei m p u r i t y 1 v 1 1i n t r o d u c t i o n r e c e n t l yc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nh a sb e e nd i r e c t e dt ot h es t u d i e so nc o r r e 。 l a t e de l e c t r o n si nt h e p r e s e n to fo r b i t a ld e g r e eo ff r e e d o mw h i c hi sr e l e v a n tt o t r a n s i t i o n a l - m e t a lo x _ i d e s 1 ，2 ，3 ，4 ，5 】，c 6 0m a t e r i a l s 6 a n da r t i f i c i a lq u a n t m n d o ta r r a y s t j a p a r tf r o mt h en u m e r i c a l 8 】a n dp e r t u r b a t i v e 9 1w o r k st h e o t i e sb a s e do ns y m m e t r i e sw e r ep r e s e n t e df o ro n e - d i m e n s i o n a lm o d e l so ft h e s e s y s t e m s a ns u ( 4 ) t h e o r yd e s c r i b i n gs p i ns y s t e m sw i t ho r b i t a ld e g e n e r a c y w a sp r o p o s e d 1 0 ，1 1 】f o rat h e o r e t i c a lu n d e r s t a n d i n go ft h eo b s e r v e du n u s u a l p r o p e r t i e s t h eg r o u n d s t a t ep h a s ed i a g r a m sf o rt h es y s t e mw i t has y m m e - t r yb r e a k i n go fs u ( a ) _ s u ( 2 ) 3 u ( 2 ) w e r ed i s c u s s e di nr e f f 9 ，1 2 1 f o r t h e2 - f o l do r b i t a ld e g e n e r a t eh u b b a r dm o d e lar e c e n tp a p e r f l 3 p r e s e n t e dt h e s u ( 4 ) t h e o r ya n ds h o w e dt h eu n d e r l y i n gs ( 4 ) s y m m e t r yo fs p i n - o r b i t a l d o u b l ea n da c h a r g es g ( 4 ) s y m m e t r yw i t ha ne x t e n d e dl i e b m a t t i st r a n s f o r m a t i o nm a p p i n gt h o s et w os u ( 4 ) g e n e r a t o r si n t oe a c ho t h e r o nt h e b a s i so fe l e m e n t a r yd e g e n e r a t ep e r t u r b a t i v e t h e o r 弘i tw 8 sa l s os h o w nt h a t t h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a ni s e q u i v a l e n tt ot h es o ( 6 ) a n ds u ( 4 ) h e i s e n b e r g m o d e l sr e s p e c t i v e l ya t h a l f - f i l l i n g a n dq u a r t e r - f i l l i n gw i t h s t r o n gc o u p l i n g i nr e f 1 4 1 ，t h eo n e d i m e n s i o n a ls u ( 4 ) h u b b a r dm o d e li s e x t e n s i v e l ys t u d l e do nt h eb a s i so fb e t h ea n s a t zs o l u t i o n a sf o rt h es y m m e t r yt h e o r yo f o n e - d i m e n s i o n a lh u b b a r dm o d e lw i t h o u to r b i t a ld e g e n e r a c y , i th a sb e e nw e l l i n v e s t i g a t e dy a n gi n t r o d u c e dt h ep a i r i n go p e r a t o r sa n ds oc o n s t r u c t e dt h e s y m m e t r ys u ( 2 1 s u ( 2 ) 1 5 b a s e do nt h es y m m e t r yf a b i a nhl g f l l e r e t o f 【1 6 id i s c u s s e dt h ec o m p l e t e n e s so ft h eb e t h ea n s a t zs o l u t i o n s ，m p e r n i c i 1 7 s h o w e dt h eo f f - d i a g o n a ll o n g r a n g e o r d e r ，d b u g l o va n dv e k o r e p i np r e s e n t e dt h e y a n g i a ns y m m e t r yy ( s l ( 2 ) ) oy ( s f ( 2 ) ) 1 8 ，a n df a b i a nh l e f l l e r a n dh o l g e rf r a h mc o n s i d e r e dt h ed e n s i t y c o r r e l a t i o n s 1 9 a n di t h a sb e e n a r g u e dt h a t t h et w o - d i m e n s i o n a ls i n g l e - b a n dh u b b a r dm o d e lh a s a p p r o x i m a t es o ( 5 ) s y m m e t r y 2 0 b u tt h er e s e a r c hw o r k so nt h eh u b b a r dm o d e l w i t ho r b i t a ld e g e n e r a c ya r es t i l li na c c u m u l a t i o ni nt h ep r e s e n tp a p e rw e s t n d yt h es y m m e t r i e so ft h eh u b b a r dm o d e lo fe l e c t r o n sw j 幽g e n e r a l l ym f o l do r b i t a ld e g e n e r a c y w es h o wa n dc l a r i f yt h a tt h es u d ( 2 n ) a n ds 阢( 2 n ) 2 s y m m e t r i e sh o l dr e s p e c t i v e l y , u n l i k ei nt h es i m p l eh u b b a r dm o d e lf o rw l l i c h b o t ho ft h et w os y m m e t r i e sa r ev a l i d ，f o rm o d e lw i t hu n i f i e do n s i t ei n t e r a c t i o na n dt h a tw i t hp a r t l ya t t r a c t i v ei n t e r a c t i o n s b u tt h es u b - s y m m e t r y s 嵋8 ( n ) os u 笋( 扎) i sf o u n db o t hv a l i df o r t h et w om o d e l sa n df o ra r b i t r a r yc h e m i c a lp o t e n t i a l “a ne x t e n d e dl i e b - m a t t i st r a n s f o r m a t i o na si n 1 3 i i s g i v e nt om a p t h e s et w os y m m e t r i e si n t oe a c ho t h e r b ya s s u m i n ga t m o s tt w oe l e c t r o n so ne a c hs i t e ，w ef i n dt h es u d ( 2 n ) pa n ds u c ( 2 n ) ps y m m e - t r i e sb o t he x i s ti ne a c hk i n do ft h et w om o d e l ss ow eh a v eal a r g e rs y m m e t r y s e ，d ( 2 n ) p s 巩( 2 n ) p u n d e rt h ee x c l u s i o na n o t h e ru n d e r l y i n gs y m m e t r y ( s 沈8 ( 2 ) p s 噬8 ( 2 ) p ) o ( s 班。) ( 2 ) p s u f 4 2 ) ) ，w h i c hi sn o t i n c l u d e di nt h es 砜( 2 n ) pxs 巩( 2 n ) p ，i sa l s or e v e a l e df o rt h eu n i f i e dum o d e l w i t hp =u s ot h a tt h em o d e lt o t a l l yp o s s e s s e st h es y m m e t r ys 觇( 2 n ) p s u c ( 2 n ) p ( s 砚8 ( 2 ) p s 矾8 ) ( 2 ) p ) ( s 砸。( 2 ) p s 呱。( 2 ) p ) 】 t h e u n d e r l y i n gs y m m e t r yi s a l s ov a l i df o rt h ep a r t i a l l ya t t r a c t i v em o d e lw i t h “= 一矿 c o n s i d e rt h en ，i o i do r b i t a ld e g e n e r a t ee l e c t r o n sw i t hs t a t e s 1 ) = f 1 ，f ) ，f 2 ) = f 1 ，) 2 n 1 ) = i n ，t ) ，1 2 n ) = n ，) ( 11 ) w h e r ei nas t a t e 忆盯) fd e n o t e st h et t ho r b i t a lc o m p o n e n ta n dd r = t ，il a b e l t h es p i nc o m p o n e n t s w es t a r tw i t hag e n e r a lh a m i l t o n i a nw i t hn f o l do r b i t a l d e g e n e r a c ye x p r e s s e db y 且= 一( 删四( 岔) g ( z 7 ) + ：。，甜( z 7 ) g ( 。) ) zz d + 。，n 。( z ) n 。，( z ) 一p n 。( z ) ( 1 2 ) z n d 7 o - 口 w h e r ec ( z ) c r e a t e saf e r m i o no fs t a t e o ) a ts i t e 。a n d 钆。( 。) i st h ec o r r e - s p o n d i n gp a r t i c l en u m b e ro p e r a t o r t h en o t a t i o no fs i t ei sn o tr e s t r i c t e dt o o n e d i m e n s i o n a lc a s e 。 1 2 s u d ( 2 几) a n ds 阢( 2 扎) s y m m e t r i e s b e s i d e st h e 矿( 1 ) s y m m e t r yt h e r ee x i s t t w ok i n d so fs u ( 2 n ) s y t n m e t r i e sf o r t h eo r b i t a ld e g e n e r a t eh u b b a r d m o d e l w ed e f t n e e 一= 甜( z ) g 心) d m = a r m m 1 t h e yf l l l f i l lt h ec o m m u t a t i o nr e l a t i o n s 仉= ( z ) c m ( 。) ，( 1 3 ) z 【甄n 岛t ， = 峨c e s t ，一，岛n f d m ，e s ，j = ( k ，。一如，。，眈十】，。+ 如+ 】。，) e t h e s eo p e r a t o r sc a nc o n s t r u c ta ns u ( 2 n 、l i e a l g e b r a s u d ( 2 n ) ：( d m ，b s ，im = 1 ，2 n 一1 ；1 5 s 7 2 钆) ( 1 4 ) ( 1 5 ) w i t hn ( 2 n 1 ) o fe s 。，a n dt h e r ea r et o t a l l y ( 2 n ) 2 1o fg e n e r a t o r s f d m f o r m st h e c o m m u t i n g c a r d a n s u b a l g e b r ao fr a n k2 n 一1 t h e 墨r s + n sa r et h e g e n e r a t o r sr e l a t e dt ot h es i m p l er o o t sf o ra n yo ft 。z ，a n d “，a l lg e n e r a t o r so f s ( 2 礼) c o n n a u t ew i t ht h eh a m i l t o n i a n ( 1 2 ) w i t hu n i f i e do n s i t ei n t e r a c t i o n u 。n ，= u ，s ow e h a v es u e ( 2 n ) s y m m e t r yo fs p i n - o r b i t a ld o u b l ei nt h j 8 c a s e l e tu sd e f i n ea n o t h e rs e to f o p e r a t o r s 只2 = 只。= q m = ，( z ) 曝一。( 。) 嗾 ，( z ) q k ( z ) q m ( z ) ， ：峨( 。) ( z ) + 璐+ ，( 。) + 。( z ) 1 1 ，( 1 6 ) ”h e r ek = 1 ，n ，m = l ，2 n 一1 ，( 。) 2 = 1 ，a n df ( x + 6 ) = 一，( z ) f o r a n y s i t e 。a n dn e a r e s t n e i g h b o rz + 占t h ea b o v eo p e r a t o r sc a nr e a l i z ea n o t h e r s u ( 2 n ) l i ea l g e b r aw h i c hw es h a l ld e n o t eb ys 阢f 2 n ) ： q 。，r ，凡。 4 ( 1 7 ) q m ) i st h ec a r d a ns u b a l g e b r a t h er 2 a n d 咒a r et h eg e n e r a t o r sr e l a t e d t ot h e s i m p l er o o t s j o t h e rg e n e r a t o r s r e l a t i n gt op o s i t i v er o o t s c a nb eo b t a i n e d b y 咒+ 。，= 咒。，r j ，t h eg e n e r a t o r s w i t h n e g a t i v e r o o t sw i l lb e 凡。= ( 兄) t i fw ea s s l i n et h a tt h eo n - s i t ec o u p l i n g 观d ，= uf o rt h es t a t e si a b e l e db y 。，8 ， w i t hd i f f e r e n ts p i nc o m p o n e n t sw h i l e ，= 一uf o rs t a t e sw i t ht h es a m e s p i n c o m p o n e n t s 。，= u f o ro d d - e v e np a i ra ，0 7 ， o ，= 一u f o ro d d - o d do re v e n - e v e np a i ra ，a 7 ， ( 1 8 ) a n dt h ea m p l i t u d e st ：，o fo d d - n e i g h b o rh o p p i n ga r er e a la n dt h o s eo fe v e n n e i g h b o rh o p p i n ga r ei m a g i n a r y t ：z ，= t d w h e no z i so d d n e i g h b o r ， t ：。，= t dw h e n 。一。7i se v e nn e i g h b o r ， ( 1 9 ) w ew i l lh a v et h ef o l l o w i n gr d a t i o n s 日，r 。 = 2 ( “一v ) 咒。， 日，r 。一。】= 一2 ( p u ) r o 。一。 ( 1 1 0 ) i ft h ec h e m i c a lp o t e n t i a lp = u ，t h eh a r n i l t o n i a nw i l lc o m m u t ew i t ha l lt h e g e n e r a t o r so fj 5 ，玩( 2 n ) s ot h em o d e lh a st h ec h a r g es 玩( 2 n ) s y m m e t r y i n t e r m so ft h ep a r t i a l l ya t t r a c t i v e ( 1 8 ) ，i tc a d _ b ee a s i l y p r o v e dt h a ts u c ha h a m i t t o n i a nw i t h “= uh a st h eh a l f - f i l l e df o r m h = 一k ，甜( z ) 殴( 。7 ) + ；。，嘭q ( z ) )( 1 1 1 ) zx ，o + g ，g o , h a ( 。) 一；) ( 附( z ) 一；) ( 1 1 2 ) 2 a ：a j 。 。 t h eu s u a lh u b b a r dm o d e lw i t ht h en e a r e s t n e i g h b o rh o p p i n gi si n c l u d e di n t h ec l a s so f ( 1 9 ) w h e t h e r ，( z ) c a nb ew e l ld e f i n e dd e p e n d so nt h el a t t i c e s t r u c t u r e s 。i fi nal a t t i c ea n ys l l n lo ft h en e a r e s t n e i g h b o rp a i r5 + 6 7i sn o t an e a r e s t n e i g h b o ra n dt h e r ea r ee v e ns i t e so ne v e r yp e r p e n d i c u l a rd i r e c t i o n s ，( 。= ) c a db ew e l ld e f i n e da s 厂扛) = e x p ( i 7 r x ) ，7 f = ( 7 r ，仃，) ：x = ( z l ，z 2 ，) ，( 11 3 ) 5 z 。i st h ei t hc o m p o n e n t so ft h es i t ec o o r d i n a t ei nt h el a t t i c eb a s i s s u c hl a t t i c e s ( b i p a r t i t el a t t i c e ) c a nb es i m p l es q u a r e d ，c e n t e r e ds q u a r e di n2 - d i m e n s i o n ； s i m p l ec u b i ca n db o d y - c e n t e r e dc u b i c i n3 - d i m e n s i o n f o r1 - dc a s ea n de v e n t o t a ls i t e s ，( z ) = e x p ( i 7 r x ) a c c o r d i n gt o ( 1 _ 1 0 ) f o rp u ，昂2 ka n d 兄2 a r e e n e r g y - s h i f t i n go p e r a t o r s 日( 咒：。妒e ) = e + 2 ( 肛一u ) 】( r 。妒e ) ， 日( r 。妒尽) = f e 一2 ( u u ) l ( f k 。一。砂层) ， ( 1 1 4 ) w h e r e 砂窟i st h ee i g e n s t a t eo ft h ep a r t i a l l y a t t r a c t i v eh a m i l t o n i a n ：h c e = e 砂e i ts h o u l db en o t e dt h a tt h es 阮( 2 礼) d o e sn o tc o m m u t ew i t ht h ep a r t i a l l y a t t r a c t i v eh a m i l t o n i a nw h i c hh a so n l yt h es 巩( 2 礼) s y m m e t r y ，n e i t h e rd o e s s g ( 2 n ) w i t ht h eu n i f i e dum o d e lw h i c hp o s s e s s e st h es ( 2 n ) s y m m e t r y t h et w ok i n d so fs y m m e t r i e sc a nb em a p p e di n t oe a c ho t h e rb ya ne x t e n d e d i ，i e b m a t t i st r a p s f o r m a t i o n g ( 。) g ( z 1 he x p ( i _ 7 r x ) c ? ( z ) f o re v e na ， 一q ( 。) f o ro d d a ( 1 1 5 ) t h et r a n s f o r m a t i o nl e a v e st h eh o p p i n gt e r m ( 1 9 ) i n v a r i a n ta n dc h a n g e st h e s i g no f 。，w i t ho d d - e v e np a i r 。，a ti n ( 1i i ) 8 0m a p st h em o d e l ( 1 i 1 ) i n t o t h eu n i f i e d 。，= 一um o d e l t h e p a r t i c l en u m b e r o fe a c hs t a t e sa n dt h et o t a ls p i nc a $ 1b ee x p r e s s e db y 2 n - 1 2 。= ( 札一m d 。) 2 n ， m = 1 2 n - - i2 n - - 1 = 畴，+ ( 札一r n d m ) 2 n ，j 2 n ， ( 11 6 ) n s c m f ：d 2 m 一1 2 m = 1 w h e r en ei st h en u m b e ro ft o t a le l e c t r o n s 6 f l1 7 1 1 3 s 扔8 ( 佗) os 讲。( n ) s y m m e t r y u n l i k ei nt h et r a d i t i o n a lh u b b a r dm o d e lf o rw l l i c hb o t ho ft h et w os y m m e - t r i e sa r ev a l i df o ro n - s i t ea t t r a c t i v ea n dr e p u l s i v ei n t e r a c t i o n s ，a sw ec a ns e e i n p r e v i o u ss e c t i o n ，f o rt h eo r b i t a l d e g e n e r a t eh u b b a r dm o d e lt h es u d ( 2 n ) s y m m e r r yo fs p i n - o r b i t a ld o u b l eo n l yh o l d sf o rt h eu n i f i e du h u b b a r dm o d e lw i t h a r b i t r a r yc h e m i c a lp o t e n t i a l 肛w h e r e a st h ec h a r g es 巩( 2 n ) s y m m e t r ym e r e l y e x i s t si nt h eo t h e rp a r t l y a t t r a c t i v eh a l f - f i l l e dm o d e lo fw h i c ht h ec h e m i c a l p o - t e n t i a li s 肛= u b u t c o n s i d e r i n gt h a ts u e ( 2 n ) a n ds 仉( 2 n ) s h a r es o m ec o m - m o l lg e n e r a t o r se 2 “2 p ，a n d 马v 一1 、2 儿1 ，w ew i l lf i n dt h es h a r e ds u b - s y m m e t r y s 吩刮( n ) 固s 哦叫( n ) y i e l d sf o rt h et w om o d e l sw i t h s 哦。( n ) s 吸砷) w h e r e _ d m 。+ 2 = 麓一纛十2 e s p e c i a l l y ，w e s h a l li l l u s t r a t et h a tt h es y m m e t r y i sv a l i df o rt h ep a r t i a l l ya t t r a c t i v em o d e lw i t ha r b i t r a r yc h e m i c a lp o t e n t i a l 肛 a st h eh o p p i n gt e r mi nt h eh a m i l t o n i a na n dt h ec h e m i c a lp o t e n t i a lt e r m “mn 。( z ) a r es 砜( 2 n ) i n v a r i a n t ，w h e t h e rt h e h u b b a r dm o d e lp o s s e s s e s 9 ( 2 n ) s y m m e t r yd e p e n d so nt h ec o m m u t a t i o nr e l a t i o no ft h eo n - s i t ei n t e r a c t i n gt e r ma n d t h es ( 2 n ) g e n e r a t o r s j 磙，棚。( 咖时( z ) l 口d 嗾( 。) + k ( z ) ( h a l ( z ) 地一一h a , ( z ) ) ( 1 1 9 ) a 7 m + kd 7 m + ( n 。(