（理论物理专业论文）量子霍尔效应与非对易物理.pdf

摘要 摘要 分数量子霍尔效应( f q h e ) 的发现，带来了全新的物理，开创了研究多体现 象的新时代。边缘激发是其很重要的一个分支。 理论上用流体力学和有效c h e m s i m o n s 场论方法得n1 维的手征t o m o n a g a l u t t i n g e r 流体，成功描述t f q h e 的边缘激发。其电子传播函数具有不等于1 的非 平凡普适指数q 。实验上成功观测到7 t o m o n a g a - l u t t i n g e r 流体的存在。但测算 的q 与理论预言有差别。 另一方面，从动力学导出的非对易c h e m s i m o n s ( n c c s ) 理论，被证明严格 地等价于描述f q h e 的洛夫林理论。 我们尝试弄清楚用n c c s 是不是能更好的描述f q h e 的边缘激发。在第4 章， 我们成功地从n c c s 导出对边缘激发的描述。 我们先从分数量子霍尔流体的不可压缩性等微观动力学性质出发得到一个 约束条件。电子的排斥性相互作用，隐含在此约束条件中。我们找到约束条件 的严格解的全微分形式，把2 + 1 维的n c c s 化简为1 + 1 维的、带有相互作用项的手 征t o m o n a g a l u t t i n g e r 流体理论。通过计算边缘玻色子传播子和电子传播子的单 圈修正，我们得到修正过的、更精确的指数q 。它与实验符合的较好。 我们还研究过加速器磁场中的康普顿背散射，探索了磁场导致的空间非对 易的可能效应。 关键词：量子霍尔效应，t o m o n a g a - l u t t i n g e r 液体，非对易场论，c h e m - s i m o n s 场 论 a b s t r a c t t h ed i s c o v e r yo ft h ef r a c t i o n a lq u a n t u mh a l le f f e c t ( q h e ) m a r k e dan e we p o c h i nm a n y b o d yt h e o r ya n dr e s u l t e di nm a n yn e wi d e a sa n dc o n c e p t s i t se d g ee x c i t a t i o n s i sa l s oa na c t i v es u b j e c t t od e s c r i b et h ef r a c t i o n a lq u a n t u mh a l le d g e ，ac h i r a lt o m o n a g a - l u t t i n g e rl i q u i d t h e o r yi sd e r i v e df r o me f f e c t i v ec h e m s i m o n sf i e l da n dh y d r o d y n a m i cf o r m u l a t i o n t h ee l e c t r o np r o p a g a t o re x h i b i t san o n t r i v i mp o w e r - l a wc o r r e l a t i o n ，w i t ha nu n i v e r s a l e x p o n e n ta an u m b e ro fe x p e r i m e n t se s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo ft o m o n a g a - l u t t i n g e r - l i q u i d - l i k eb e h a v i o r h o w e v e r , t h et u n n e u n ge x p o n e n tm e a s u r e di sd i f f e r e n tf r o mt h e p r e d i c t i o n o nt h eo t h e rh a n d ，n o n c o m m u t a t i v ec h e r n s i m o n st h e o r y ( n c c s ) ，d e r i v e df r o m m i c r o s c o p i cd y n a m i c s ，i se x a c t l ye q u i v a l e n tt ot h el a u g h l i nt h e o r y w et r yt op u r s u ew h e t h e rab e t t e rd e s c r i p t i o nc o u l db ed e r i v e df r o mn c c s t h e f o r m a l i s mi si ns e c t i o n4 c o n s i d e r i n gr e l a b e l i n gs y m m e t r yo ft h ee l e c t r o n sa n di n c o m p r e s s i b i l i t yo ft h e f l u i d ，w h i c hc o n c e a l se l e c t r o n - e l e c t r o ni n t e r a c t i o n ，w eo b t a i nac o n s t r a i n t i t ss o l u t i o n a sw e l la st h ea c t i o nh a sat o t a ld i f f e r e n t i a lf o r m s ow ec a l lr e d u c e2 + 1d i m e n s i o n a l n c c st oa n1 + 1d i m e n s i o n a lc h i r a lt o m o n a g a - l u t t i n g e rl i q u i dt h e o r y , w h i c hc o n t a i n s i n t e r a c t i o nt e r m s w ec a l c u l a t eo n e - l o o pc o r r e c t i o n st ob o s o na n de l e c t r o np r o p a g a t o r s a n d g e ta n e wt u n n e l i n ge x p o n e n t i ta g r e e sw i t he x p e r i m e n t s w ea l s os t u d i e db a c k w a r dc o m p t o ns c a t t e r i n gi nt h ea c c e l e r a t o rm a g n e t i cf i e l d ， a n d e x p l o r e dp o s s i b l ee f f e c to fs p a c en o n c o m m u t a t i v i t yc a u s e db yt h el o w e s tl a n d a u l e v e l k e y w o r d s ：q u a n t u mh a l le f f e c t s ，t o m o n a g a l u t t i n g e rl i q u i d ，n o n c o m m u t a t i v e h e l dt h e o r y , c h e r n s i m o n st h e o r i e s i i i 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本 研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：垃 7 啪，年2 月1 0 日 第1 章引言 第1 章引言 量子霍尔效应是凝聚态物理非常热门的领域。 整数量子霍尔效应( i q h e ) 的发现出乎人们的预料。而分数量子霍尔效 应( i q h e ) 的发现更是开创了一个研究多体现象的新时代，并将影响到物理学 的很多分支。克利青1 9 8 0 年发现i q h e ，1 9 8 5 年获诺贝尔物理学奖。崔琦和施特 默1 9 8 2 年发现f q h e ，1 9 9 8 年他们和对这一现象做出解释的洛夫林一起获诺贝尔 物理学奖。此领域在时隔1 3 年内两次获得如此殊荣说明了它对当代凝聚态物理 发展作出的重大贡献。 过去凝聚态理论有两大主题【4 5 】：能带和微扰理论( 基于朗道的费米液体理 论) ；朗道对称破缺和重整化群理论。极其成功似乎即将结束。 1 9 8 2 年f q h e 的发现，以及1 9 8 6 年高温超导的发现，让我们看到了全新的物 理。这两种现象都完全超出了过去的理论。2 7 年来，两方面都迅速而振奋人心地 发展，带来了很多新的思想和概念。 f q h e 理论主要有：描述分数量子霍尔态的洛夫林波函数；带分数电荷，服 从分数统计的准粒子准空穴激发；h a l d a n e 的叠代态构建法；j a i n 的组合费米子 理论；边缘激发等等。 量子霍尔流体的边缘激发是其中很重要、很热门的一个分支。 整数量子霍尔态含有无能隙的边缘激发，其动力学可由l 维手征费米液体 理论描述。而分数量子霍尔态是多体态，不能由费米液体描述。开创性的工 作来自文小刚，他用流体力学和有效c h e m s i m o n s 场论方法预言了1 维的手 征t o m o n a g a - l u t t i n g e r 流体。与费米液体的关键区别在于电子传播函数具有不等 于1 的非平凡普适指数q 。 理论上，当填充因子为= 丽1 时，q = 印+ 1 ；当填充因子为z ，= 面知的 叠代态时，口= 2 p + 1 。 19 9 6 年，实验成功观测到了t 0 m o n a g a l u t t i n g e r 流体的存在。 但实验上，当= 1 3 时，o l 约为2 7 ；当= 2 5 和3 7 时，约为2 3 和2 1 。 不同于理论预言的q = 3 。 很多工作尝试解释理论和实验的差别。一些文章认为差别是由边缘的重塑 导致的；另一些文章指出没有重塑的情况下差别也存在。目前，此问题还没有公 论。 另一方面，非对易物理蓬勃发展。主要由于弦论和强磁场研究中发现确 实存在空间坐标非对易。其中的一个新分支是2 0 0 1 年s u s s k i n d 提出的非对易 1 第1 章引言 c h e m s i m o n s 理论( n c c s ) 。 不同于为解释f q h e 而唯象地选用的有效c h e m s i m o n s 场论，n c c s 是从动 力学导出的。非对易来i 刍f q h e 的不可压缩性，电子具有最小面积量子。后续的 工作表明n c c s 严格地等价于洛夫林理论。 那么，用n c c s 是不是能更好的描述f q h e 的边缘激发呢? 我们研究了此问题【8 5 1 。并得到更符合实验的指数q 。例如当= 1 3 时 o t 2 6 8 ，详见第4 章。目前n c c s 研究还较少，我们的结果是第一个不同于过去 理论的预言。 早在此之前，我们研究过另一强磁场导致空间非对易的现象。 同步辐射加速器中的电子束流是准2 维系统，当入射光子与它在偏转磁铁间 的磁场中发生背散射时，空间非对易是可能存在并影响微分散射截面的。 我们计算了这一问题【8 4 】，并建议实验。可惜未能成行。主流观点认为非对易 是普朗克尺度的，n c c s 等实验室磁场导致的非对易现象还未被广泛接受。 本文的结构如下： 第2 章，回顾霍尔效应、i q h e 、f o r t e ，简单介绍石墨烯及其量子霍尔效应； 第3 章，回顾有效c h e m s i m o n s 场论，边缘激发和非对易c h e m s i m o n s 理论： 第4 章，用非对易c h e m s i m o n s 理论解释边缘激发； 第5 章，简单回顾非对易物理； 第6 章，探讨空间非对易对磁场中的康普顿背散射的影响； 第7 章是结论。 2 第2 章量子霍尔效应 第2 章量子霍尔效应 2 1 霍尔效应 霍尔效应是磁电效应的一种由美国人霍尔( e d w i n h e r b e r t h a l l ，1 8 5 5 1 9 3 8 ) 于1 8 7 9 年在j o h n sh o p k i n s 大学做博士研究时发现。当固体导体或半导体有电流 通过，且放置在垂直于电流方向的磁场内，电荷载子受到洛伦兹力而偏向一边， 偏转方向垂直于电流方向和磁场方向，而且正负电荷偏转的方j 旬相反，这样就产 生了横向电场，对应的电压即霍尔电压( 图21 ) 。 勾 图2 1 霍尔效应：1 电子，2 导体，3 磁铁，4 磁场，5 电源；霍尔电压，n 纵向电 压。 1 8 7 9 年，2 4 岁的霍尔是马里兰的约翰霍普金斯大学的罗兰( h e n r ya u g u s t u s r o w l z n d ) 敦授的一名研究生。当时，还没有发现电子，也没有人知道金属中导电 的机理。霍尔注意到著名的英国物理学家麦克斯韦和瑞典物理学家埃德隆( e r i k e d l u n d ) 在一个问题上的分岐他做了实验来验证磁场到底对导线中的电流有投 有影响。在室温和一般磁场的条件下，他发现了霍尔效应：当电流通过一个放 在与电流方向垂直的磁场中的导体薄膜时，在与电流和磁场方向垂直的方向上 出现一个正比于磁场强度的电压( 图22 ) 。1 8 8 0 年，实验结果作为博士论文发表 于a m e f i c a nj o u r n a lo f s c i e n c e 和p h i l o s o p h i c a l m a g a z i n e 。 考虑如图2l 所示一平板导体，宽1 1 ) 厚d ，自由电荷密度为卢，在磁场和霍尔电 场中漂移速度为u = 葩佃，电流密度为j = p e r ，因此霍尔电阻( 率) 为 , o h ：兰：旦，鼢：半：竺：掣 ( 2 1 ) 2 2 整数量子霍尔效应 整数量子霍尔效应1 9 8 0 年由克利青( k l a u sv o 1k l i t z i n g ，1 9 4 3 一) 发现。1 9 8 5 年 让 第2 章 量子霍尔效应 图2 2 霍尔效应：霍尔电压正比于磁感应强度b 。 他因于1 9 8 0 年2 , 9 5 日在格勒诺布尔高强度磁场实验室发现量子霍尔效应而获诺 贝尔物理学奖。 直至l j 3 0 年前左右，大家仍相信在强磁场及极低温下，霍尔效应的简单结果 仍可适用。但图2 3 和2 9 显示，二维电子系统的霍尔电阻与纵向电阻对电子密 度( 由门电压控制) 和磁场的关系，完全出乎意料。有两个令人惊奇的结论：虽 然我们可以预期纵向电阻会有剧烈振荡的情形嗍，但居然在某段磁场范围内， 该值可以完全降到零却是始料未及的；另一个结论更令人吃惊，霍尔电阻冗日出 现平台( p l a t e a u s ) 现象。冗日所呈现的平台现象及消失的纵向电阻，是二维电子 系统的独特表现，这就是量子霍尔效应( q u a n m mh a l le f f e c t ，简写为q h e ) 。 要测到这一全新的物理现象，需要三个条件：强磁场( 一l o t ) ，极低 温( 一o ca30jcpcm毫3d 第2 章量子毽尔效应 一v 豳2 3 整数量子霍尔般应：u w 霍尔电压，纵向电压，嵋门电压 保持电中性 慧戥苗_ 。j 。翮c m ) + i 画一 剧2 4g a a s j a i g a a s 异质结= 角形势阱中的2 维电子气 考虑强磁场b 下的2 维电子系统，先忽略电子问的库仑相互作用同时忽略 自旋。取 = 1 ，c = 1 。单电子哈密顿量为 盯2 一赤( v 一2 b a ) 2 ( 22 ) 取对称规范 ，= ( o 2 ) q z ，2 ，j = 1 ，2 。引入长度= 以f 。其中抽= 痂为 磁长度。改变坐标。= z ，+ z z 2 和i = 乱一他2 。标记a = 墨，石= 皂，引入两组对 易的谐振子 d = 而z + 晒 5 西z 第2 章量子霍尔效应 c = 麦+ 阳，c t = 壶一历， c , c t = 1 ， ( 2 3 ) 则哈密顿量和角动量可写为 日= u ( d t d + 互1 ) ， j = c t c d t d ( 2 4 ) 其中u 。= e b m 是回旋频率。均匀磁场f 电子的本征态为 皿。：e 一巧1 坪，( z ) ， 虬：e 一砑1 气扩) n ，( z ) ， ( 2 5 ) 朗道能级为e = m + ) 。最低朗道能级可用下面基态展开 讹乏) = 砺1 万1 ( 甜删2 n ， ( 2 6 ) 它携带的角动量是j 。此波函数呈环状，概率最大值位于h = 乃= 以。第j 个环 面积为7 r r ；= 2 r l 刍j ，包围的磁通量子为j 。每个磁通量子都有一个态，在第。朗道 能级的态数目等于磁通量子数。 由单位磁通量子= h c e = 2 7 r 冶b ，我们定义填充因子( f i l l i n g f a c t o r ) z ，三西p h c = 森p = n u m b e r ofparticlesnumbero ff l u xq u a n t a ， ( 2 7 ) 三西2 再2 ， ( 2 7 ) ，l c ，e 是单位面积的粒子数和磁通量子数之比。霍尔电阻率( 2 1 ) 可写为 船= 面b = ( ：h ) l ： ( 2 8 ) 船。面2 ： ： ( 2 龙 当= 1 时，在第0 朗道能级的每一个态都填一个电子。由此知道激发具有有 限能隙a = 眦，也就是说此时2 维电子系统是不可压缩的。此不可压缩性来自 泡利不相容原理。由费米统计( 反对称化) ，易求得= 1 态多体波函数的形式为 ，孙，柳) ：n ( 忍一乃) e - - t 苦i m ( 2 9 ) 皿( 名l ，勿，柳) = ( 忍一乃) e 4 弘陬r ( 2 9 ) i j 每一个电子占据相同的面积2 丌f b 2 ，上述波函数描述了一个密度均匀的圆滴。 当= 1 时，霍尔电阻率为九e 2 ，恰好是实验上测到的平台发生时的值。 此量子化电阻率只与两个基本常数相关，与样品的特性完全无关。目前测 量精度达到1 0 9 量级，因此具有特别重要的用途：一是提供国际绝对电阻标 准，万h = 2 5 8 1 2 8 0 6 欧姆；二是可独立地确定精细结构常数，验证量子电动力学的 正确性。 第2 章量子霍尔效应 我们也可以看看为什么纵向的电阻凡此时会消失。所谓零电阻即表示无能 量的损耗，我们已经知道，只有在电子能轻易散射到空能级时，才会有损耗发 生。但在目前的情况，想进入犀靠近的空能级也必须跨过能隙到更高的能级。在 低温时，是不可能到达那些状态的，因此不会有能量的损耗。 以上的结果自皖全解释整数量子霍尔效应吗? 仔细想一下，就知道这简单的 图像只对某些恰好的b 适用。那么为何会出现平台呢? 以上的讨论是对完美的样本而言。在真实样本中总是存在瑕疵( 或称无 序，d i s o r d e r ) ：杂质或缺陷。它们会引起电子能谱的改变，每个朗道能级都被展 宽为能带( 图25 ) 。还会绊住二维平面上的一些电子，使得这些电子无法参与电 荷的流动。如图2 6 ，处于能级上的电子与完美样本的准自由电子一样，可迁移， 被称为扩展态：而处于带尾态的电子波函数被局域在缺陷附近，称为局域态。 局域态就像蓄水池。若减小磁场，朗道能带能容纳的电子减小，多余的电子 应进入更高的朗道能带，但由于能隙的存在，多余的电子先占据带问的局域态， 不能导电，因此不会导致r 的改变，系统就像朗道能带剐好填满时一样，具有 量予化的电阻率。这就是平台的起源。 那么平台问的变化如何解释呢? 如图2 6 所示，增强磁场使费米能级e f 按l 一2 _ 3 的顺序扫过第i t 个朗道能带。处于1 时，被填满的第n 个能带上的扩展态 给出量子化的电阻率；处于2 时，处于第n 个能带的扩展态的电子逐渐减少，使霍 尔电流逐渐减小，霍尔电阻增大：处于3 时，被填满的第n 一1 个能带上的扩展态 给出量子化的电阻率。 v ( z )厂_ 。阿 广翮 _ 一燃 e f 钆te | t 阻2 5 无序对磁场中2 维屯子气能谱的影响 上述解释主要来自v r a n g e 等人的贡献1 5 ”。还剩一个问题：为何平台是平 的，岛能保持如此精确的取值? 解释此问题，最简单明了的方法是洛夫林假想 实验，由洛夫林( l a u g h l i n ) 1 9 8 1 年提出i s 6 。 设想二维电子系统形成如图27 所示圆筒。外磁场b 垂直于筒面向外，电 流环绕圆筒流动，霍尔电压为v 。取环绕方向为z ，边缘f j 的方向为，圆筒周长 为l 。假设筒心有磁通穿过t = a o l 。a o 只是电碰场的规范变换，但在此假想 的圆筒中具有了物理意义。 7 第2 章量子霍尔效应 罔2 6 整数量子霍尔效应平台阃的变化 电流，应该满足 h 嚣= c 等， b ”。丽。百， ( 2 l o j 其中砒= h e e 是单位磁通量子。 系统在外磁场和霍尔电场的共同作用下，但是电场币改变朗道能级的结构 特征。唯一可能的能量变化，是电子沿g 迁移获得电势能。假设二维电子系统共 有n 个朗道能级被填满。在最小的单位碰通的变换f ，每个朗遵能级总体上有一 个电子从一边迁移到另一边。整个系统的能量变化为变化为e = * z e v ，因此 口ih 2n 暑，鼢2 寿( 2 j r ) 厂似e 一 4 够攀i t l l l l l l l l l l l , 需 圈27l a u g h l i n 假想宴验 23 分数量子霍尔效应 崔璃( d a n i e lc h e e t 蜘1 ，1 9 3 9 ) 和施特默( h o r s tl u d w i gs 1 6 r r f 虹，1 9 4 9 一) 1 9 8 2 年发现了分数量子霍尔效应( f q h e ) m 1 。他们使用的是a r t h u r cg o s s a r d 审0 备 y j g a a s a i g a a s 片质结，磁场更强( 一2 0 t ) 温度更低( 一04 k ) 。如图28 ， 他们在填充因子”为分数j 处，观测到霍尔电导平台。这个发现让人感意外，因 为在一个朗道能缎被填满之前+ 加 或移走些电子并不需什么能量f 没有能 隙) ，设有理山特别稳定。但f 净的样品才看得到分数量子罐尔敛膻提供了线囊， 我nj 不应像栏数旱子稚尔效应那样忽略库仑相吒作用。1 9 8 3 年，洛丈林r r o b e r 【 8 第2 章量子霍尔效应 b e t t sl a u g h l i n ，1 9 5 0 ) 提出了使他的名字载入物理学史册的波函数【2 9 1 。洛夫林 波函数m 相当简洁，却极其近似于v = a m ( m 为奇数) 的分数量子霍尔态的基 态。他还发现皿m 是不可压缩态，和激发态之间具有能隙，特别稳定，因而平台产 生。1 9 9 8 年诺贝尔物理学奖授予洛夫林、施特默和崔琦，以表彰他们发现强磁场 中相互作用的电子能形成具有分数电荷的新型“粒子”。 图2 8 分数量子霍尔效应：m 掣霍尔电阻率，如。纵向电阻率。 不同于整数量子霍尔效应，分数量子霍尔效应是纯粹的多体问题。要描述多 粒子的集体行为，必须考虑其间的相互作用，就电子来说，就是电荷间的库仑排 斥力。经由排斥力，每个电子的运动都将受到其他所有电子的影响，特别是与其 邻近的那些电子。由于我们须处理电子在微观尺度的相互作用，经典的方法已不 再适用，须考虑量子力学的几率分布。为简化问题，做平均场近似。想像以拍张 快照般只保留某一个电子可动，其他所有的电子则都被固定住。被保留的那个电 子，我们就称为代表电子。如此就可以用一种起伏地形图，来表示在各个位置发 现这电子几率的高低。这种图像是量子与经典概念的混合体。我们必须注意，电 子都应该同等看待，代表电子之外的其余电子是不会被固定在某些位置上的。 如此一来，我们好像又回到只有单一电子的简单系统。处理单电子的情形 q 第2 章量子霍尔效应 时，量子化的圆周轨道，此时仍该适用。我们可假设这个电子是位于最低朗道能 级。因为我们不知道这电子在平面上的位置，也就不知道回旋轨道的中心在那 里，所以在二维平面上发现这电子的几率是均匀分布的，如同没有磁场时的情况 一样。 随磁场而来的是所谓的磁通量子( f l u xq u a n t a ) 。就某种意义来说，这些磁通 量子就是经典磁力线的量子对应。和电子一样，量子力学也要求磁通量子的位置 测不准。如同离散的电子集团产生均匀的电荷分布一般，不连续的磁通量子也会 造成均匀的磁场。这些磁通量子在我们代表电子的几率分布图中，造成了像涡 旋( v o r t e x ) 般的微小酒涡。在涡旋中心，发现这电子的机率为零。 现在加电子到我们的系统中，这些额外的电子将被放在固定的位置。当加入 一个电子伙伴时，立刻面临泡利不相容原理( p a u l ie x c l u s i o np r i n c i p l e ) ：它不允 许两个电子处于同一位置。因此这个电子就必须放到代表电子所排拒的那些位 置上。最显然的位置就是放在附有磁通量子的涡旋上。接着，其他电子们也就陆 续地置于未被占的那些涡旋上，直到所有的涡旋都被占满了为止。 恰好占满时，对应= 1 的情形。若想再加入更多的电子，则必须填入更高的 朗道能级，这需消耗更多的能量。完全填充的朗道能级中，每个电子都附上一个 涡旋，这全然是泡利不相容原理所造成的结果。不过在f q h e i 拘情形，朗道能级 只有部分被填充，涡旋的数目比电子的数目多。泡利不相容原理，并不要求多余 的涡旋要有什么特别的分布情况。反倒是电子间的库仑排斥，产生了涡旋与电子 间全新的关联。 为了看清楚这些新的关联，我们开始减少电子到小于= 1 的情况下。有了 比较多的涡旋，又基于不相容原理，那些伙伴电子仍须位在涡旋的位置上。但是 若仍有未被占据的涡旋存在的话，未必能量最小。一个更好的分配方法，就是将 空的涡旋加到已有的那些电子上去。因为多个涡旋的强度大过单个涡旋，所以就 更为代表电子所排拒。电子处于多重涡旋的中心，与代表电子的排斥力得以降 低，系统的总能也就降低了。 磁通量子的数目若为电子总数的奇数倍时，可产生一个特别有利的态。= 1 3 态便是一例，每个电子上皆附有三磁通量子。电子这时位于一个三重的涡旋 里，总能量大大地降低。注意偶数个磁通量子附于一个电子的情况，却是量子力 学所不允许的。 对于= 1 m i 拘f q h e 态，洛夫林提出了一个极优美而简洁的基态波函数： 1 0 ( z ，孙，：n z n ) i - i ( 磊一勿) m e 一毒m 2 ， ( 2 1 2 )皿m ( z 1 ，勿， = 一勺) m e 一巧l 恢i ， ( 2 1 2 ) i j 第2 章量子霍尔效应 其中是电子数，m 为奇数。洛夫林波函数皿3 是如下哈密顿量的严格基态： 日5 芴1 莩( 文, - i e a ) 2 一若u y ( r ；一r 办y ( r ) = 允即) ( 2 1 3 ) 但数值计算表明，它极其近似于库仑力等排斥性相互作用的系统的基态。 考虑电子位置的概率分布 p = l 皿m 1 2 = e - 熹斥舢m a ， 其中的势可看作“电荷”为m 的2 维等离子体的势 ( 2 1 4 ) v p l a s m a - - - - m 2 川忍一乃i + 最i 筋1 2 ( 2 1 5 ) l j ， l 第一项是等离子体两个“电荷”问的势。第二项是外势，由“电荷”密度为助= 彘的均匀本底“电荷”产生，此密度正是磁通量的密度。等离子体有佗e 个粒 子，就是电子密度。由于等离子体完全的屏蔽特性，要求“电荷”中和，也就是 等离子体的“电荷”密度等于本底“电荷”密度m 钆e = 踟。因此，= 警= 去。 皿m 具有旋转不变性，描述的是密度均匀的圆滴。某一忍的最高阶项是m ( 一 1 ) 。角动一、n 一1 ) 的轨道半径为r 僦z = 孬双丙= 可f b ，是= 1 圆滴的半 径、2 ( 一1 ) l b 的而倍。从这也能看出= 1 m 。 皿m 是不可压缩态。它是总角动量最小的态，总角动量是m n ( n 一1 ) 2 。压 缩圆滴，减小角动量，需要克服一个能隙。 洛夫林波函数当然符合泡利不相容原理。若两个电子占住同一位置，波函数 为零，即发生此情况的概率为零。由于m 为奇数，任两电子交换彼此的位置，波 函数将改变其正负号。 洛夫林基态，其电子的分布是相互作用最佳的情况，库仑排斥力被减到了最 低，增加或减少一个电子或磁通量子，都将耗费能量而破坏了原有的秩序。因 此，= 1 仇的态，就被称作多粒子的凝聚基态。又因为电子的位置不似固体中 那样地固定，反而较像液体，且电子的行为完全是量子的而非经典的，所以称为 凝聚的量子液体。 下面讨论激发态。 基态只正确描述了绝对零度及正好= 1 , n 时的f q h 态。只要偏离这些条件 就会在液体中产生缺陷，称做准粒子( q u a s i p a r t i c l e ) 。理论上主张这些准粒子皆 带有分数的电荷。 我们知道电子的电量是电荷的基本量子，即为最小的单位。因此乍看之下， 若准粒子带分数电荷，很令人疑惑。( 关于带分数电荷的粒子的实验观测：夸克 无法单独看到；准粒子的分数电荷已测到【5 8 1 。) 这些准粒子到底是什么样子呢? 11 第2 章量子霍尔效应 可以肯定的是，我们的电子不会解体成三个或五个，乃至于更多个等等。带分数 电荷的准粒子是一种方便的理论概念，当我们取出或加入电荷于系统时，仍只是 基本电荷的倍数。 我们可用前面的图像，直观地看看这些准粒子。再以= 1 3 态为例。在填 充因子恰为1 3 时，所有粒子凝聚成强相关的多粒子基态。稍微偏离1 3 时，还不 至于破坏这凝聚相，量子流体经由产生一些缺陷，使之仍能维持凝聚状态。可 以想像，移走一个电子使得多出来的那个三重涡旋等于是带了+ e 的电量。电子 被拿掉后，那三个多出来的磁通量子也就不再被束缚在一起，而可各自跑开。 每个磁通量子带走一个涡旋，每个涡旋的带电量恰为+ e 3 ，这种缺陷称为准空 穴( q u a s i h o l e ) 。同样地，当少了一个磁通量子，就对应到一个带负1 3 电荷的缺 陷，称为准电子。 在量子液体里，若产生这些准粒子缺陷，将阻碍凝聚载流子的运动。每增加 一个准粒子也就使得系统的能量增高一些，而产生这些准粒子需要的能量，也正 代表了量子液体能谱中，的确有我们所期望的能隙存在。 可移动的带电粒子、能谱中有能隙及少量杂质的存在，这都是观察霍尔效应 量子化及纵向电阻消失现象的要素。 类似于整数时，最近的态必须跨过能隙，在低温无法达到，正好解释了为何 纵向电阻是零。唯一的不同点是：因为f q h e 的能隙比朗道能隙小得多，因此需 要更低的温度。能隙的大小是各分数量子霍尔液体的重要参数，实验上可通过改 变温度来测。 当填充因子稍稍偏离1 m 时，就会产生准粒子。同样，这些初始的激发态 也会被杂质所绊住，纵向电阻和霍尔电阻将分别在某磁场范围内持续为零 和斧h = 警。 洛夫林也给出了低能准空穴激发的波函数 nn 皿g ( 7 7 ；z 1 ，z n ) = i i ( ? 7 一旎) i i ( 乞一勺) 2 k + l e - 弘1 t k r ， i = 1 i 0 ，p ：= p - k 产生一个动量为k 、能 量为口忌的声子，m 湮灭一个声子。上述理论是1 维自由声子理论( 单一分支) 。 下面讨论带电激发。低能电荷激发对应于在边缘增加( 去除) 电子，携带整 数电荷，由电子算符( 定义为t ) 产生。我们需要用密度算符来表示电子算符。 用费米子产生湮灭算符展开 m 2 去莩c i i + g ，出) 2 瓦1 莩几e 一驴，吣) 2 瓦1 莩虹，( 3 2 0 ) 我们得到重要关系 沪( z ) ，里t ( ) 】= 6 ( z z 7 ) 皿( z ) ( 3 2 1 ) 由p 满足k a c - m o o d y 代数，可证明 必( z ) ，( z 7 ) 】= - i u 占( x z 7 ) ( 3 2 2 ) 其中包西= 2 r p 。综上，发现满足条件的算符是 皿。( ev 妒 ( 3 2 3 ) 利用e a e b = e a ，b c b e a 易证 皿( 。) 霍( z ) = ( 一1 ) 吉皿( z 7 ) 皿( z ) ( 3 2 4 ) 2 1 第3 章c h e r n s i m o n s 理论 对于奇数m ，当= 击时，皿是电子算符；当去时，不含有电子算符，需要考 虑多分支的边缘激发。 现在，计算电子传播函数。因为是一个自由声子场，传播函数易求： ( ( z ，t ) 西( o ) ) = - vl n ( x u 亡) + c o n s t ，( 3 2 5 ) 从而电子传播函数为 ( t 雪扛，芒) 皿( o ) ) = e 专静扛 南 ( 3 2 6 ) 这是很让人惊奇的结果，反常的指数m 表示在f q h 边缘的电子是强关联的。这种 形式的电子态称为手征t o m o n a g a - l u t t i n g e r 液体。 下面解释有效理论和边缘态之间的关系。考虑位于坐标系( 秒1 ，沈) 的下半平面 的分数量子霍尔流体，即边缘为玑轴，这样的态用u o ) c h e m s i m o n s 有效理论描 述。作用量为( 只保留纯c h e m s i m o n s 形式) s = 一石p 班扩。弘巩。a e 芦以 ( 3 2 7 ) 选择规范条件a o = 0 ，则8 0 的运动方程可看作一个约束。对于c h e m s i m o n s 理 论，约束为 j = 矗，a o ，= 0 1 a 2 一晓 = 0 (328a2 a l 0 2 8 )场2 t j 侥0 j2 一沈 = ( 3 ) 因此a i = 夙。将其代x ( 2 + 1 ) 作用量，可以得到在边缘的有效l 维理论，其作用 量为 & 咖一番d t d y l 侥舰毋 ( 3 2 9 ) 此式有一个问题，对应的哈密顿量为0 ，描述的边缘激发具有零速度。要描述真 实的物理的边缘激发，需要找到输入边缘速度信息的方法。 注意到可以选择更一般的规范固定条件 a r = a o + v a l = 0 。 为方便起见可以选择新的坐标系 ( 3 3 0 ) 雪1 = y l v t ，t = t ，玩= y 2 ( 3 3 1 ) 注意规范势a 口在坐标变换下像o a y p - 样变换，在新的坐标系中 五f = a t + v a l ，五i = a l ，a = a 2 ( 3 3 2 ) 规范固定条件变为面= 0 ，而在坐标变换下c h e m s i m o n s 作用量形式不变 s = 一暑t 厂班颊加以 第3 章c h e r n s i m o n s 理论 一p 4 7 r 础鲰蛳妒蔽 ( 3 3 3 ) 边缘作用量为 最句e = 一磊d 玩雪t 岛妒岛 = 一石p d t d y l ( 侥+ 口o x ) 0 1 ( 3 3 4 ) 上式是一个手征玻色理论。由运动方程( 侥+ 口a ) 砂= 0 ，可以看到它描述的边缘 激发具有非零速度口，并且只向一个方向运动。 注意不同v 的规范固定条件不能互相转换，在物理上是不等价的。事实上， 我们假设u 是真实的物理量，要与实际的边缘激发速度一致。 上述结果可以推广到叠代态， 1，- 由e2 赤d t d y l k o t 砂1 0 a o j y l j o l ( ) i o l 荜) j ， ( 3 3 5 ) 哈密顿量是 鼠a i g e2 云产d y l j o l 咖f o x c j ( 3 3 6 ) y 必须是正定矩阵。k 的正本征值对应向左运动的分支，负对应向右。 对于叠代态，简单介绍下多分支边缘理论。 例如，= 2 5f q h 态，可看作含有两个小滴：一滴是填充分数为2 1 = i 1 3 ，速 度u 1 ，半径7 1 的电子凝聚：另一滴是填充分数为耽= 1 1 5 ，速度 0 2 ，半径r 2 o 。 电子算符也可分别定义。为了使f q h 态稳定，要求哈密顿量正定，也就是 要v i v s 0 。对2 5 态，要求v ，都为正数。 对于= 2 3f q h 态，也可看作含有两个小滴：一滴是填充分数为魄= 1 的 电子凝聚；另一滴是填充分数为屹= 一1 3 的空穴凝聚。两支激发的速度相反。 如果r 1 一r 2 一b ，边缘激发两分支间的相互作用就不能再忽略。这种情况要 对角化哈密顿量来处理 日= 2 丌v i j p i ，一k # i ，七= 2 7 r s g n ( v 1 ) 诉h ，一知历扣 ( 3 3 8 ) i 。k oi 。k o 卢满足k a c m o o d y 代数。计算比较复杂，具体细节见文献f 2 3 1 。 最终求得的边缘电子传播函数的反常指数为( 设指数为a ，约定礼和p 为 正整数) ：对于填充分数为z ，= 菘知的叠代态，所有边缘激发向一个方向传 2 3 第3 章c h e r n - s i m o n s 理论 播，o t = 印+ 1 ，是普适的。对于= 南的叠代态，边缘激发向两个方向传播， 指数依赖于电子相互作用和边缘势，不是普适的。 1 9 9 6 年，a l b e r tm c h a n g 实验组在f q h 液体边缘的电子隧穿实验中成功观测 到手征t o m o n a g a - l u t t i n g e r 液体。但值得一提的是，该实验及后续实验测到的反 常指数，定量上与文小刚的理论预言不同。在下一章，我们将尝试解决此问题。 3 2 非对易c h e r n s i m o n s 理论 3 2 1理论的导出 2 0 0 1 年s u s s k i n d 从微观动力学的导出了非对易c h e m s i m o n s 理论【2 2 1 。 为描述无耗散的流体，考虑一个用离散的指标o l 来标记的2 维非相对论性电 子系统，拉氏量为 l = 百m z a 2 一u ( z ) ( 3 3 9 ) 其中u 是势能。假设系统表现为流体，可以用一对连续的坐标y 1 ，y 2 代替o l ，从而 获得连续的拉格朗日描述：这对坐标标记着质点，并随它运动，是共动坐标系。 电子系统变为用一对连续场玩( 剪，t ) ( t = 1 ，2 ) 来描述。不失一般性，我们可选 择y 坐标使y 空间具有均匀的电子密度p o 。真实空间密度为 p = 肋矧 ( 3 - 柏) 其中l 罄i 是z 和g 坐标的雅可比行列式。 假设势能u 由短程力引起。短程力导致系统能处于真实空间密度为肋的平衡 态( 雅可比行列式为1 ) 。拉氏量变为 l = 孑肋m 2 一yp 。i 塞i ) c 3 4 ， 其中势能只依赖于密度。 在y 平面的保面积变换下，拉氏量有严格的规范不变性。单位雅可比变换显 然不变。 考虑无穷小变换 彰= 玑+ 五( y )( 3 4 2 ) 满足如下条件时才是保面积变换( 规范人是任意函数) = e 巧百c o a ( y ) ( 3 4 3 ) z 的变化为 一a x a f i 沪e 玎鼍筹 ( 3 必) 第3 章c h e r n s i m o n s 理论 d 2 肌一d 2 蜘 e 弘。面o x , , 画o a ( 3 钙， 守恒量不随时间变化，分布积分有 。= 磊d 扩可亳p 口鼍 a 一爰 刍( 啦n 鼍) c 3 电动力学中v e 不为零对应静电荷。类似地，茜( 圣8 卺) o 是冻结在 流体中的涡旅干涡旅时右约市条件 去( 舻。鼍) _ o ( 3 钾) 与电磁理论可更好地类比。假设y 在p = p o 最小，因此运动方程有不含时的 平衡解 以= 鼽( 3 4 8 ) 考虑参数为矢量a 的小扰动 铲玑怕亮 ( 3 4 9 ) 由保面积变换下z 的变化知 讹= 2 7 r j