（理论物理专业论文）单极子荷电黑洞时空背景中有质量标量场的衰减.pdf

致谢 y 6 6 3 4 2 8 本文是在指导老师余洪伟教授精心指导下完成的，首 先我要把衷心的感谢献给尊敬的导师。余洪伟教授有着深 厚的学术功底，严谨的治学态度，跳跃多变的思维方式， 勤奋务实结出累累硕果，导师的点点滴滴无一不是我学习 的榜样，并将受益终生。 我要深深感谢王永久教授，荆继良教授，唐智明教授。 三位教授不仅是学术上的师长，而且给予我无私的帮助指 导，令我感激万分。此外我还要感谢海文华教授、颜家仁 教授、王瑞旦老师，我、还有同年级同学，陈松柏、王成 志、崇桂书、韩定安一起聆听过老师的教诲，铭记于心， 终身难忘。 在论文的完成过程中，师弟吴普训及同年级同学给予 过大力帮助，在此一并致谢。同时，我还要感谢物理系各位 老师不吝教诲和大开方便之门查资料，使我在师大物理系 度过了三年幸福难忘的岁月。我同样感谢家人对我三年研 究生生涯的鼎力相助和大力帮衬。特别的爱给特别的你， 感谢所有在我遭遇困苦挫折时曾经、鼓励、支持、帮助过 我的人，愿所有人都幸福美满。 筮垂堕! 塑童竖堕盘堂亟主堡塞 4 o 1中文摘要 摘要：本文第一章前言由w h e e l e r 的“黑洞无毛”理 论引出标量场在黑洞外部的衰减。 第二章简单介绍一下“黑洞无毛”理论形成，即足够质 量的冷物质能够塌缩成黑洞，不同质量的恒星由于核燃烧 辐射最终会演化成为白矮星、中子星或黑洞，以及黑洞的 终态系统唯一地由质量、电荷和角动量确定，而无其它物 理参数，此即为“黑洞无毛”理论。 第三章主要研究无质量标量场在黑洞外部的衰减，即 无质量中性场在引力塌缩中随时间衰减的物理机制和无质 量荷电标量场衰减的物理机制。 第四章主要研究有质量标量场在黑洞外部的衰减，即 有质量中性标量场的真空量子极化，在黑洞时空背景中有 质量荷电标量场的衰减。 第五章主要研究整体单极子荷电黑洞时空背景中有质 量标量场的衰减。我们通过对在单极子荷电黑洞背景中有 质量标量场后期演化的研究，发现振荡反幂函数的衰减方 式支配了有质量标量场的后期衰减。有质量标量场在单 极子荷电黑洞时空背景中的后期衰减比在无整体单极子的 r e i s s n e r n o r d s t r 5m 时空度规下的后期衰减更快。 关键词：黑洞，整体单极子，有质量标量场，后期衰减 p a c s ：0 4 2 0 0 4 7 0 叁墨蝰! 塑堕垣塾盔堂亟迨塞 5 0 2 英文摘要 a b s t r a c t i nt h ef i r s tc h a p t e r w e g i v ea np v e r v i e w o ft h et h e s i ss t a r t i n gw i t h a ni n t r o d u c t i o no ft h en o - h a i rt h e r e t o ，i n t r o d u c e db yw h e e l e ri nt h e e a r l y1 9 7 0 s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h en o - h a i rt h e r e m t h a ti s t h ef o l l o w i n gi n8 s s e n c e as u f f i c i e n tm a s so fc o l dm a t t e rw i l l n e c e s s a r i l y c o l l a p s et oa b l a c kh o l e ，a n ds t a r sw i t hd i f f e r e n tm a s sw i l le v o l v ei n t ot h e w h i t e - d w a r f ：s t a r ，t h en e u t r o n - s t a ro rt h eb l a c k - h o l ee v e n t u a l t yb e c a u s e o ft h er a d i a t i o no ft h e b u r n i n g c o r e t h e c o l l a p s eo fs t a r sw i t hs u f f i c i e n t m a s sl e a d st oab l a c kh o l ee n d o w e dw i t hm a a n d c h a r g ea n da n g u l a r m o m e n t u m n oo t h e ra d j u s t a b l e p a r a m e t e r s ：ab l a c kh o l eh a sn o h a i r ” t h ed e c a yo ft h ee x t e r n a ls c a l a r - f i e l do fab l a c kh o l ei ss t u d i e di n t h et h i x dc h a p t e r ，i e ，t h ep h y s i c a lm e c h a n i s mo ft h e d e c a yo fn e u t r a l s c a l a r - f i e l di nt h eg r a v i t a t i o n a lc o l l a p s e ，a n dt h ep h y s i c a lm e c h a n i s mo f t h ed e c a yo fc h a r g e d m a s s i v es c a l a r - f i e l di nt h eg r a v i t a t i o n a lc o l l a p s e i nt h ef o r t hc h a p t e r ，t h ed e c a yo fm a s s i v es c a l a r - f i e l d si nt h eb a c k g r o u n do fac h a r g e db l a c kh o l ei se x a m i n e d f i n a l l yi nt h ef i f t hc h a p t e r ，w ep r e s e n tad e t a i l e da c c o u n to fo u 2 i n v e s t i g a t i o no n t h e d e 口y o f c h a r g e dm a s s i v es c a l a r f i e l do f i nt h e g l o b m m o n o p o l e - b l a c kh o l eb a c k g r o u n d b ys t u d y i n gt h el a t e - t i m ee v o l u t i o n o fm a s s i v es c a l a rf i e l d si nt h ec h a r g e db l a c kh o l e - g l o b a lm o n o p o l e h a c k g r o u n d ，w ef i n dt h a tt h ea s y m p t o t i cd e c a yo ft h e s ef i e l d si sd o m i n a t e db y a n o s c i l l a t o r yi n v e r s ep o w e r - l a wt a i l ，a n dt h ed e c a yi sf a s t e ri nt h ec a s e 叁蚕坚! 塑直逝整太堂壁堡塞 6 c o n s i d e r e dh e r et h a ni nt h a to ft h er e m s n e r - n o r d s t r s mm e t r i cw i t h o u t ag l o b a lm o n o p 0 1 e k e y w o r d s ：b l a c kh o l e ，g l o b a l - m o n o p o l e ，m a s s i v es c a l a rf i e l d ，t h el a t e t i m ee v o l u t i o n p a c s ：0 4 2 0 0 4 7 0 第一章前言 在2 0 世纪七十年代早期，w h a l e r 的”黑洞无毛”理论【1 ，2 】 阐明了经典黑滑都可出只有质量、电荷、角动量为物理参数的k e r r - n e w m a n 度规来描述，因此，研究黑洞外部物质场的衰减就显得很 重要。在这方面，p r i c e 研究了无质量中性场在引力塌缩中随时间 衰减的物理机制【3 】。黑洞视界面最重要的物理性质是，一旦星体 进入引力半径就必然塌缩天体塌缩进视界时会消除自身的所有扰 动，有无扰动对塌缩影响不大。若无过强的潮汐力，天体的非球状 扰动保持微量，对整个塌缩过程的几何扰动也保持微量。根据视界 性质，我们观察天体，表现如下： ( i ) 在t 较大时视界外部引力场是渐近静态的； ( i i ) 在t 较大时远距离观察者看天体就象是它刚好穿过视界 的那一瞬间 在随动坐标系中由定域的计算可知，当天体落进引力半径时， 场既不会趋于0 ，也不奇异，天体表面标量场随时问膨胀而按 a l + a 2e x p ( - t 2 m ) ， 变化这里0 1 是天体表面标量场的终值，0 2 是常数 在s c h w a r z s c h i l d 黑洞外部标量场演化时，衰减速率取决于波前 和扰动场的初始条件先于塌缩开始前，在天体外部静态f 极子场 将按t - ( 2 + 2 ) 衰减；若天体外无j 极子扰动，在时间t 较大时，场将 按t - ( 2 + 3 ) 衰减r e g g e 和w h e e l e r 得到了奇字称性射力扰动的弯 曲势能方程，z e r i l l i 得到了偶宇称性引力扰动的弯曲势能方程，用 这些方程知；在t 较大时，引力扰动场的解与标量场惊人地一致 7 朱云峰：湖南师范大学硕士论文8 s h o d 和t 。p i r a a a 研究了无质量荷电标量场衰减的物理机制 【4 , 5 】。带电物质塌缩成带电黑洞，荷电标量场的后期衰减取决于 平直时空效应。 先计算j s pj 1 ，发现荷电场在未来类时无穷远处、沿未来零 标架无穷远的反幂函数衰减，沿未来外视界的振荡反幂函数衰减。 再用谱分解方法来计算e q 为一般值的情况，无质量荷电标量 场在类对无穷远i + 处，沿未来零标架无穷远s c e i + 按反幂函数衰 减，沿未来外视界r + 按振荡反幂函数衰减 ： 虽然以前的工作大多是研究无质量标量场的演化，但是有质量 标量场曲演化也很重要在黑澜时空中，有质量标量场孝无质量标 量场有藉不同的性质，可以引起许多与无质量情形本质上不同的现 象，在这方面一个明显的例子是有质量标量场的真空量子极化【6 】， f d m a - z z i t e l l i 和c 0 l o u s t o 研究了在整体单极子时空下的真空极 化效应，以亏损立体角加上定于原点能级为v o 4 x 的微质量来描 述整体单极子的引力效应，当r 7 c o r 。时，真空极化的亏损立体 角为 q 口= 一矿, 4 + b 可i n i j ( 1 - - 雨w 2 ) 广t i o r 这里a = q 2 g - i - a + b ，文献【7 ，8 】研究了具有整体单极子黑洞的量 子性质和热力学性质，在早期宇宙演化中状态转换能引起稳定的拓 扑缺陷 s h o d 和t p i r a n 已经研究了在r e i s s n e r n o r d s t r 5m 度规下有 质量标量场衰减的物理机制( ，考察革极子黑洞背景下质量为肼 、电荷为q 的有质量标量场的演化。渐近远区的反射决定了无质 量标量场的后期衰减，g r e e n 函数的低频作用支配了无质量标量 场的后期衰减我们假设观察者和初始值位于黑洞远区r t 鬲1 时有 g c ( y ，州) = 据& 端m i + l ，2 ( 瑚m t 叫+ 3 ：) c o s h t 一( + i ) ” 这是有质量标量场在固定半径的振荡反幂函数 前面介绍了标量场在黑洞外部衰减的研究，最后介绍我们自 己的研究一在整体单极子黑洞背景下有质量标量场衰减的物理机 制，给出黑洞g r e e n 函数，并利用谱分解技术研究有质量标量场的 衰减。假定观察者和初始条件定在远离黑洞处，当m t 1 时，得 g 。( 掣，z ，t ) = t 2 p + l m p e 一却一l + i p 。 面鼯厂一 c o s m r 一骂竽 由此可见，有质标量场在固定半径处的中后期衰减是振荡反幂次型 的。由于 l ，i ( 2 + 1 ) p 2 1 五+ 半， 且b k t , 所以压强几乎只决定于电 子密度；当以光的形武辐射能量时，白矮星内部冷却雨力学平衡仍 然保持，半径也保持不变，只是逐渐黑暗 根据广义相对论的预言，质量m 满足条件1 2 m 一 m 0 区，骘粤是理想化势能将理想化势能等字从邵c p + ) 中减去，剩下部分是弯曲势能。 理想化势能 理想化势能的波方程为： 皿，t t m ，r + r + 蜀( r ) 皿= 0 ，( 3 1 5 ) 这里 晰) = i i + l l f 细a r r r * k1 1 , ( 3 1 6 ) 用四个任意函数表示解为： 霍= 瑟：篡) j 铷棼r 一* k l 。： ( 3 1 7 ) i 口( t ) + 卢( ) ， r 1 、 。 这里已令 u = t + r 一1 当r + = 1 时，“= ”在件= 1 附近，势能最大。相应的透射系数 和反射系数为 t = 毫， 肚乖熹巧 高频波忙- 0 0 ) 完全透射，而低频波( k _ o ) 完全反射。 。 朱云峰：湖南师范大学硕士论文 2 0 真实势能 我们讨论多极子f 渐近演化的两个初始条件； ( i ) 塌缩开始前星外的静态扰动场； ( i i ) 星外没有初始的静态扰动场，但在塌缩中会形成。 通过计算可知，在t 较大时，初始静态多极子扰动会按照t - ( 副+ 2 ) 衰减，在塌缩中会形成的多极子扰动会按照t - ( 2 + 3 ) 衰减 标量场多极子的演化总结如下： ( 1 ) 在第一根射线附近( 小u ) ，波前支配着标量场多极子 的演化，天体表面的出射波穿过势垒。天体表面变量圣指数衰减， 初始波以u 的指数衰减 ( 2 ) 初始波前被势能反射回后波前区，形成入射辐射，邻近 波前，初始静态场的皿一v - ( i + ”，非初始静态场的皿 二v - ( 2 + 2 ) 。 ( 3 ) 邻近r + = 0 ，波前的入射渡几乎完全为势垒反射 ( 4 ) 在t 较大时，不同的初始条件决定了天体出射波按t 一( 2 l + 或t c 2 1 + 3 ) 衰减 引力扰动 初始静态的f 极子扰动场的演化，v i s h v e 8 h w a r a 3 2 、c a m p o ： l a t t a r o 和t h o r n e 3 3 】已经说明奇字称偶板子扰动是静态的，对应着 星体的少许角动量r e g g e 和w h e e l e r 2 9 发现奇宇称四极子和更 高的多极子扰动的波方程和( 3 1 3 ) 式相似： q ，“一q ，。+ 巾( r ) q = 0 ( 3 1 8 ) 奇宇称性引力扰动的弯曲势能是 酽( r ) = ( 1 2 m r ) z ( 1 + 1 ) r ? 一6 m r 3 朱云峰：湖南师范大学硕士论文 2 1 令 h i = r q ( 1 2 m r ) ， ，t = ( r q ) h l 、h o 是度规扰动在t 较大、r 为定值时，函数q 和k 按 h 1 一q t 一( 越+ 3 ) 衰减，h o 按h o r ( 2 2 + 2 ) 衰减。 z e r i l l i 得到了偶宇称性引力扰动的弯曲势能方程【3 4 】，在引力 方程和标量方程的差异仅仅在于势舷的细枝末节用这些方程知， 在t 较大时，引力扰动场的解与标量场惊人地一致，特别是当时 问t 比较大时，引力多极扰动( i 2 ) 按t 一( 2 + 2 ) 或t 一( 2 + 吼的衰 减依赖于初始条件。g u n d l a c h ，p r i c e ，p u l l i n 研究了沿着零标架无穷 远和未来视界的中性扰动1 3 5 ，发现沿着零标架无穷远的中性扰 动按照反幂函数u - ( 1 + 2 ) 衰减( 这里u 是出射e d d i n g t o n - f i n k e l s t e i n 零标架) ，沿着视界的中性扰动按照v - ( 2 + 3 ) 衰减( 这里v 是出射 e d d i n g t o n - f i n k e l s t e i n 零标架) 中性扰动场的后期衰减取决于时空 弯曲。 3 2 无质量荷电标量场在黑洞外部的衰减 r e i s s n e r - n o r d s t r s m 度规给出了质量为m ，电荷为q 的球对稿 塌缩星的外部引力场： 凼2 = 一1 一半+ 譬出+ 2 r 2 + d r l 2 一, 半+ 譬一1 d r 2 ；3 1 9 定义乌龟坐标y 为； d r 曲2 f 孵 苤蚕坚! 塑童竖整盔堂亟迨塞 2 2 用乌龟坐标y 表示r e i s s n e r - n o r d s t r 6 m 度规，有 d s 2 = ( 1 一半+ 警) ( 一d t 2 + 咖2 ) + r 2 d n 2 ，( 3 s o ) 我们考察在荷电黑洞外无质量荷电标量场的演化，复标量场的波方 程为f 3 6 】： ；a b g 曲一i e a 。g 曲( 2 咖徊一i e a b 咖) 一记a n ：6 9 曲币：0 ， ( 3 2 1 ) 这里e 是标量场的电量。 用球谐豳数 币= 如( t ，r ) x ”( 口，妒) r ， 1 m 来解析荷电标量场，得到多极动量波方程： 仉“一2 i e a t 叼，一叼，y ”+ 矿叼= 0 ，( 3 2 2 ) 这里 矿_ ( 1 2 了m + q 2 ) 【掣+ 2 m 一2 为一喇( 3 2 3 ) 电磁势满足关系 a t = 圣一q ，( 3 2 4 ) 取辅助场 1 沙= e 一8 垂叶， 方程( 3 。2 2 ) 变为 币，n + 2 i e 孚妒，t 一妒曲+ y 妒：0 ，( 3 ，2 5 ) 这里 y = ( 1 2 等+ q 2 ) 坐笋十2 了m 一2 q 2 】一e 2 q z ( 3 ，2 6 ) 叁蚕坚：塑童埂堇盔兰亟主迨塞 2 3 3 2 2b 塌缩成带电黑洞的荷电标量场的后期演化 ( 3 2 5 ) 武的一般解为 妒= 2 = 。a k r 一 e - i e q l n r g 一( “) + ( 一1 ) k e 8 。“f - 。( ”) ( 3 2 7 ) + 器。【b k ( r ) g - k - 1 似) + c k f 一一1 0 ) 1 ， 、 第一项表示波前的初始波，第二项表示反射波这里g 、f 是任 意函数， a * = a t ( f ) = 躺， b k ( r 1 = b ( r ；e q ，l ， 彳) ， c k ( r ) = c k ( r ；e q ，f ，m ) 令“：t 一口为推迟时间坐标， = t + y 为提前时间坐标。由推导 可知： ( 1 ) 当i q i e 同1 t y m ，1 q l 时，在类时无穷远 + 处带 电标量场后期的反幂函数衰减为 妒! 一2 蛹+ l f o ( 2 1 + 1 ) ! t 一2 ( 1 + 1 ) g + 1 + 0 【( e q ) 2 】， ( 32 s ) 系数在文献【3 】中已给出 ( 2 ) 当t l q l e f 忐i 时，在未来零无穷远a c r i + 处带电标 量场后期的反幂函数衰减为 妒2 一f o2 l t 一( i + 1 ) ( 3 2 9 ) ( 3 ) 当”1 q l e 南t 时，在黑洞外视界r + 处带电标量场后期的 振荡反幂函数衰减为 妒沁- + o 。，口) = f o e e q 7 + y v 一2 ( h ， ( 3 3 0 ) r o 是常数 3 2 3c 带电标量场和中性标量场的比较 黑洞外中性标量场主要按t 一扭+ 3 ) 衰减，带电黑洞外带电标量 场主要按t 一( 2 1 + 2 ) 衰减，带电扰动场比中性扰动场衰减更慢，中性扰 动场的衰减由时空弯曲决定，带电扰动场的衰减由平直时空决定。 荷电标量场的后期衰减取决于平直时空效应。我们先计算l e q i 1 的情况，再用谱分解方法来计算e q 为一般值的情况，平直时空 的演化方程为： 币, a - i - 2 i e 譬妒, t - - 妒，+ 丛生学妒：o ， ( 3 3 1 ) 一般解为 妒= r 一【e 砘讪g 印( 一( u ) + e i e q i n r d k q ( 一( ) 】， ( 3 3 2 ) k = 0 这里 仉= 吼( z ，e q ) = i i l 雨n 。k = - 0 1 p u + 1 ) 一n ( n - i - 1 ) 一i e q ( 2 n + 1 ) 】， f 3 3 3 ) d = d k ( 1 f e q ) = ( 一1 ) 。q ， 其中k 1 ，c o = d o ；1 对于e q = 0 ，无穷级数在k = f + 1 处截止， 等= 等一姻揣 慨s 舶 即无波的反射。 对于i e q l 0 时，推迟g r e e n 函数g ( ，耳t ) 满足： 要撒孚甍一导州r ) 】g 刈川 6 ( y - - z ) 邻3 8 ) 当t 0 时，g ( y ，$ ，t ) = 0 为找到a ( y ，t ) ，我们使用f o u r i e r 变换 ，。，t ) ；，” t ) e d t g ( yg ( y d t ( 3 3 9 ) ，。，t ) ； ，z ，t ) e ”( 3 ) f o u r i e r 变换在u 的上半平面解析且满足方程 ( 嘉+ 一半卅魄a 小船刊 ( 3 - 卿 通过逆变换给出g ( ”，。，t ) g ( 弘$ ，t ) ：丧尸妇舀( g ，c ) ) e u 幽， ( 3 4 1 ) g ( 舭，) 一云_ 洲。g ( 舭，。) 8 2 幽， ( 3 蛐 这里c 是正常数 、 令而( 弘，u ) 和如( 弘w ) 为如下孑f _ 次方程的两个线性无关解 ( 岳+ 一竽一y ) 讯= o ， - l 2 ( 3 4 2 ) 两个基本的渐近解为： ie - i ( “一。口+ h ，yf 一c o ， 函1 ( v ，c ，) 一 a 。( ，) 矿( m e q ) e w 。 ( 3 4 3 ) i + a l n ) 可一i ( m 一8 0 ) e t ，挈o o ， 和 ib t ( u ) e ( “- - e o + 磊o ，) + b i 。栖) e i 舢一e q r + ，筝；一o o ， ( 3 4 4 ) i矿( 鼬m 一。o ) e 讥，矿_ + c o 这里 ( u ) = ( 妒1 ，忱) = 妒1 他，一也妒l ， 与y 无关使用石l ，如，黑洞g r e e n 函数可表示为 ，归一南 糍靠然嚣 扭t 剐 为了利用( 3 4 1 ) 式计算a ( y ，。，t ) ，我们可以选取积分围道在w 的 下半复平面闭合下面我们的目标将是计算尾迹作用g 。( v ，z ，t ) 。 在r 较大( 或“j 较小) 时，解方程( 3 4 0 ) 时先引进辅助场， = a 币，( 3 4 6 ) 方程( 3 4 0 ) 。变为 一冀餮裂鞣- - r ! - 0 q a t ， 一 2 ( 警+ 喾一簪) 鹏= 一” 按譬和譬的级数展开方程( 3 4 7 ) ，忽略掉o r 2 ) 项或更小项， 得到： 嘉+ _ 4 m w z - 2 e q w 一坠车型】f = 0 ( 3 4 8 ) 并引进辅助场； = r 口+ 1 e “石( z ) ， 这里 z 3 - 2 i w r 臼：二! 近旺墅翌 亭( z ) 满足合流超几何方程 k 互d 2 + ( 2 卢+ 2 - z ) d 一( 芦+ 1 二2 l j a ) 】孑( g ) ：。， ( 3 5 。) 这里 。= m 一罢 ( 3 5 1 ) 构成g r e e n 函数的两个基本解 访= a 一+ 1 e ”m ( 卢+ 1 2 i w e ，帮十2 ，一2 i u r ) ， f 3 5 2 ) 和 而= b r b + l e 山r 矿( 芦+ 1 2 i w a ，2 8 + 2 ，一2 i w r ) ( 3 5 3 ) 之里a 、b 是常数， m ( n ，6 ，z ) 和t r ( 毛b i z ) 是合流超几何方程 ( 3 5 0 ) 的两个标准解 使用方程( 3 4 1 ) ，得到作用在g r e e n 函数上的分割线 g 。( 蜊) 2 戮1 - i m o o 紫u ) 【慨崭( 3 一等甜】e - 似幽 7 利用m ( a ，b ，z ) 、u ( o ，b ，2 ) 的特性化筒，得 g 。( 舭，) = 婴坠编耀芦 s i 诎 2 f l + l 霸0 ，“，) 霸( 。，u ) e md w 在类时无穷远i + ( z ，v u 时， 伊国 ”x ，2 + l 篙v 鬻萨 c s s ， 一i e 0 “一( 口+ 1 一e q ) 、7 无质量荷电标量场沿未来零标架无穷远8 c r + 按反幂函数衰减 沿未来外祝界r + ，当r m ，i q i 时， 酽 尚乏2 誉拳馨瑟产一 s s ， $ 卢+ 1 e ( e q + h ”一( 2 卢+ 2 ) 、。7 这里r o 是恒量无质量荷电标量场沿未来外视界r + 按振荡反幂函 数衰减。 第四章有质量标量场在黑洞外部的衰减 4 1a 整体单极子 早期宇宙的壮态转换引起多种拓扑缺陷 3 7 ，3 8 】，这种缺陷依 赖于真空流形“的拓扑。当整体对称性被破坏，整体单极子会产 生。整体单极子有距离仅为r _ 2 能量密度就减少的g o l d s t o n e 场， 整体单极子附近g o l d s t o n e 场的大能量能产生强的引力场 3 9 1 g o l d s t o n e 场的l a g r a n g i a n 是： l = ；钆矿扩护一；( 矿护一铲) 2 ， ( 4 1 ) 这里 妒。= q ，( r ) 等，z 8 z 。= r 2 ，口= l ，2 ，3 ， ( 4 2 ) 最一般的球对称静态度规为： d s 2 = b ( r ) d t 2 一a ( r ) d r 2 一r 2 ( d 日2 + s i n 2 e d 妒2 ) ( 4 3 ) 关于矿的场方程推导出关于，( r ) 的场方程t 等+ 【石2 + 去( 扣一箬曲。，( ，2 - 1 ) - 0 ( 4 a ) 这里 b = a 一1 = 1 8 g 目2 2 g m r ， m ：4 研。f 。( 等+ 乏+ 五1 a 町z ( 2 = 1 ) ：) r z 0 ， 怒略掉质量项，重新规范变量r 、t ，单极子度规为： d s 2 = c 配2 一d r 2 一( 1 8 g ”2 ) r 2 ( d 酽+ s i n 2 0 d 咖2 ) ( 4 5 ) 日= 2 ”面有亏损立体角 = 8 7 r g 叶2 ( 4 6 ) b a r r i o l a 和v i l e n k i n 发现，可以亏损立体角加上定于原点能级为 朱云蜂：湖南师范大学硕士论文 3 0 q o x ( q o 是对称残缺的能量标度、 是对称残缺的耦合势能常数) 的徽质量来描述整体单极子的引力效应 4 2b 有质量标量场的真空量子极化 下列近似度规描述整体单极子的弯曲时空的真空极化效应： 舻一。嚣翥譬麓2 锄2 r ， d q 2 = 棚2 + 8 i n 2 日d 护 ”7 经典能动张量2 学”加上对应量子场的耳。) ，。满足幽，4 1 】 当；二鍪：溉三怨： 心s ， = 8 7 r g 口磐”+ ( 巧一( 啦乳，) ) ，。1 、 。 静态球对称s c h w a r z s c h i l d 度规为： d 8 2 = 一声( r ) d t 24 - 口( r ) d r 24 - r 2 抛2 ( 4 9 ) 将( 4 9 ) 式代入( 4 8 ) 式，得 4 2 ，4 3 】 a ：l q 。一半+ 竿f ，虚( 斗) ，。d r ， ( 4 1 0 ) 芦( r ) = o 一1 ( r ) e z p s l r af ( ( 耳一t ；f ) ) 。r a ( 一) d r ， ( 4 1 1 ) 再插入单极子的质量f 4 2 1 帆( r ) = m + 鲁+ o ( r - 3 ) ， ( 4 1 2 ) 当”较小和= ；的特殊情况时， a 飞牡盼) l 吖一半一蒜l n 阢 ( 4 1 3 ) 定义亏损立体角为： q = 4 ”一s r 2 ， ( 4 1 4 ) 这里s 是单极予中心固有半径r 的球表面用固有半径坐标r ， ( 4 9 ) 式变为 d s 2 = 一声( r ) 出2 + d r 2 + 印( 1 + q ) d q 2 当r 协。时，真空极化的亏损立体角为 蛳一矿一丝警铲， 这里 五= 2 g + a + b 4 3c 荷电影同时空背景中有质量标量场的衰减 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 我们来研究塌缩星外部有质量标量场的衰减质量为m 、电 荷为q 的球对称塌缩星在r e i s s n e r - n o r d s t r s m 黑洞的外部引力场的 度规由下式给出： + 。芏裂箸慧艺。 + ( 1 一半+ 等) 一1 西2 + 一d q 2 、 引入乌龟坐标y ，令妇= 窘，这里 2 = 1 2 竿+ 等，则 d s 2 = a 2 ( 一斑2 + d y 2 ) + r 2 d f l 2 ( 4 1 8 ) 有质量标量场的波方程为 吨曲g ”一m 2 咖= 0 ，- ( 4 1 ) 这里1 2 1 代表标量场的质量。令 垂= 业娑霉譬 ( 4 - 2 0 ) 得 皿，n 一, z ，w + y 皿= 0 ，( 4 2 1 ) 这里 y = ( 1 - 2 m ，+ 可q 2 ) 【坐十2 等一2 譬+ m 2 ( 4 - 2 2 ) 筮亟坚! 塑直竖萱盔堂亟迨塞 3 2 由谱分解方法知，有质量标量场随时间的演化由( 3 3 7 ) 式给出 对于t 0 ，推迟g r e e n 函数g 妇，z ，亡) 满足方程 【嘉一象州r ) 】高t ) - m 州) ， ( 4 2 3 ) 对于t 0 ，a ( y ，t ) = 0 在u 的上半复平面，f o u r i e r 变换0 ( 玑z ，u ) ( 3 3 9 ) 解析且满足 ( 参+ u 2 v ) 0 ( y u ) = d ( g 一$ ) ( 4 辨 g z ，t ) 可通过逆交换【3 4 1 ) 给出 令而( g ，u ) 和巧( 仉u ) 为如下齐次方程的两个线性无关解 ( 鑫+ u 2 一y ) 厩( 州) - o ，扣1 ，2 ( 4 r 2 5 ) 则w r o n s k i a n 为 ( u ) = w ( 妒1 咖) = 砂1 如，f 一如妒1 ( 4 2 6 ) 这里( u ) 与y 无关使用蕾1 ，面2 ，黑洞g r e e n 函数可表示为 3 4 5 】。 为了利用( 3 4 1 ) 式计算g ( 玑。，t ) ，我们可以选取积分围道 在u 的下半复平面闭合。下面我们的目标将是计算g 。( v ，。，t ) 渐近远区的反射决定了无质量标量场的后期衰减【3 ，4 ，4 卅， g r e e n 函数的低频作用支配了无质量标量场的后期衰减我们假设 观察者和初始值位于黑洞远区r t 示1 时有 g 。( 舭，t ) = 诓茬等豢m 2 ( 。口) + 1 t _ ( f + 3 2 c o s r o t 一( 十 ) 】 这是有质量标量场在固定半径的振荡反幂函数 ( 4 ，2 9 ) ( 4 3 1 ) 第五章单极子荷电黑洞时空背景中有质量标量 场的衰减 5 1系统描述 我们考察单极子黑洞背景下有质量标量场的演化描述质量为 m 、电荷为q 的单极子黑洞度规由下式给出； d s 2 = 一( 1 8 7 r 埔一2 等+ 警) 舻， + ( 1 8 丌弼一2 等+ 等) 一1 d r ，2 + r ，2 d 0 2 ， 、讲叫 这里啪为产生整体单极子时的对称性自发破缺标度通常，? 0 为大统一标度一1 0 1 6 g e v 【3 9 】，此时8 ”埔一1 0 。引入如下交换 t - ( 1 8 1 3 ) 一j l t ，r ，_ + ( 1 8 稍2 i i nm 7 _ ( 1 - 8 7 r 镌) m 0 一( 1 8 7 r 稿) q ，b _ ( 1 8 确) ， 度规( 5 1 ) 式变为 幽2 = - ( 1 - 9 警+ 黧：一半埔。1 ( 5 z ) + r 2 6 d q 2 p 一7 引入乌龟坐标y ，令d y = 袅，这里 2 = ( 1 2 等+ 害) ，贝i d s 2 = 2 ( - a t 2 + d y 2 ) + b r 2 d s 2 2 ( 5 3 ) 有质量标量场的波方程是 9 p ”圣；p p m 2 圣= 0 、 这里m 代表标量场的质量令 圣2 篆半， 得 皿，封皿，州+ y 皿= 0 ， ( 5 4 ) ( 5 5 ) ( 5 6 ) 筮量坚! ：塑亘塑堇太堂亟堡皇 3 5 这里 阽( i - 2 m - ，- + q 2 ) 掣+ 2 等一2 譬+ m 2 ( 5 7 ) 5 1 1 黑洞g r e e n 函数 由谱分解方法知，有质量标量场随时间的演化由( 3 3 7 ) 式铪 出 对于t 0 ，推迟g r e e n 函数g 。，t ) 满足方程 【器一番州r ) 】鼬 t ) 训舶一二) ， ( 5 8 1 对于t 0 ，g ，。j t ) = 0 在u 的上半复平面，f o u r i e r 变换0 池m ，u ) ( 3 3 9 ) 解析且满足 ( 杀+ j 。一y ) 瓯，刈) ：沌乩 ( 5 - 9 ) g ( 玑z ，t ) 可通过逆变换( 3 4 1 ) 给出 令面l ( ，u ) 和毒( 0 ，u ) 为如下齐次方程的两个线性无关解 ( 嘉+ w 2 - v ) 西山川- o 渊 2 ( 5 1 0 ) 则w r o n s k i a n 为 w 7 ( u ) ：( 皿1 ，m 2 ) = 皿l 皿2 ，v m 2 重l ，掣， ( 5 1 1 ) 这里( u ) 与y 无关使用面1 ，面2 ，黑洞g r e e n 函数可表示为( 3 4 5 ) 为了利用( 5 ：1 2 ) 式计算g ) ，我们可以选取积分围道在 u 的下半复平面闭合，这样有质量标量场的中后期衰减将由在一m 至m 之间的分支线上的积分( 用g 。表示) 所决定【4 5 】下面我们 的目标将是计算g 。( g ，马t ) 5 1 2 有质量标量场的衰减 假定观察者和初始条件定在远离黑洞处我们对有质标量场 塞亟坚! 塑童堑堇盔堂亟堡塞 3 6 - 1 在黑洞背景中的波方程( 5 _ 1 0 ) 按警和譬的级数展开，忽略掉 。【( 譬) 2 】项和更高项，得到 丽d 2 + u 。一m 。+ 4 m w 2 ：_ 2 m m 2 一雩兽 仁0 ( 5 1 2 1 其中f = 炳 如果进一步假定m r 高静，并考虑到标量场的中后 期行为，此时r t 而篇f ，则( 5 1 2 ) 式可近似为 【豢。一警肛o 1 3 ) 将此式与文献 9 】的( 1 5 ) 式比较，可以看出，对单纯的r e i s s n e r - n o r d s t r 5 m 黑洞，标量场的中后期衰减仅依赖于场参量，而与时空 参量无关，但对于我们这里考虑的单极子荷电黑洞，标量场的中后 期衰减不仅依赖场参量，而且依赖时空参量b ，因此，在此情况 下，标量场的中后期衰减会受到渐近远区反射的影响这一点明显 是与无单极子的r e i s s n e r n o r d s t r 5m 黑洞不同的引入辅助场面 = r p + i l e 一。7 毒( 2 w r ) ，( 5 1 4 ) 这里 p = ；+ 半，z = z 钟，g y = m 2 搿， ( 5 1 5 ) 则，毒( z ) 满足合流超几何方程 z 髫+ ( 2 i t + 1 - - z ) 裳- - 咄+ 扣= 。 ( 5 1 1 6 ) 该方程可以用来构成黑洞、g r e e n 函数的两个基本解为 面l = 小p + i 1 e 一4 7 彳( p + 喜，2 p + 1 ，2 w r ) ，( 5 1 7 ) 和 面2 = b r + e 一。u 似+ 去，2 弘+ l ，2 口r ) ，( 5 1 8 ) 这里a 、b 是常数，m ( a 扣、z ) 和u ( a 扣；g ) 是合流超几何方程 ( 3 4 1 ) 的两个标准解。 使用【4 6 1 中的1 3 。6 3 式，1 3 6 2 1 式可将解写为更简单的形式 蕾l = a r 一 r + 1 ) ( 罢) 一“厶( r ) ， ( 5 1 9 ) 和 奶= 7 r i 1 且r i l ( 2 ) 一”j 0 ( - ) ( 5 2 0 ) 这里和玩为修正b e s s e l 函数。 使用( 3 4 1 ) 武，我们找到分支线对g t e e 函数的