（应用数学专业论文）与年龄相关的随机时滞种群扩散系统解的存在性和唯一性.pdf

宁夏人学硕上学化论文中文摘要 摘要 随机微分方程被广泛的应用在经济，生物，金融，生态等领域近年来，随机种群系统的研究引起 了广大学者的热切关注，应用随机微分方程理论研究与年龄相关的随机种群系统解的存在性唯一 性和最优控制以及数值解的性质本论文是在前人研究的基础上，讨论了与年龄相关的随机时滞种 群扩散系统解的存在性和唯一性本论文的主要内容有以下几方面： 1 简要的介绍了随机微分方程理论和相关知识及种群系统的背景和研究现状 2 加入时滞项，在，g ，h 满足l i p s c h i t z 条件下，根据i t 5 公式，b u r k h o l d e r d a v i s g a n d y 定理 及g r o n w a l l b e l l m a n 等f i 等式，通过构造一个有界的c a u c h y 多i j ，给出t h i l b e r t 空间中随机种群 扩散系统解的存在性和唯一性的充分条件 3 把p o i s s i o n j u m p 项嵌入到种群系统中去，根据p o i s s i o n 过程的性质，在，g ，h ，g 满 足l i p s c h i t z 条件下，利用i t 5 公式，b u r k h o l d e r d a v i s g a n d y 定理及g r o n w a u b e l l m a n 等 不等式，通过构造一个有界的c a u c h y 列，得到了h i l b e r t 空间中带跳的随机种群系统解的存在唯一 的充分条件 4 利用半群理论和性质，根据b a n a c h 不动点定理，证明了带跳的与年龄相关的随机时滞种群扩 散系统解的存在性和唯一性 关键词：时滞；种群系统；p o i s s i o n j u m p ；存在性；唯一性 宁夏人学硕上学化论文英文摘要 a b s t r a c t t h es t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 御汜w i d e l ya p p l i e di ne c o n o m i ca n df i n a n c i a l e c o l o g y , e t c i n r e c e n ty e a r s ，t h es t u d yp o p u l a t i o ns y s t e mh a sb e e nc a u s e dm a n ys c h o l a r se a g e rc o n c e r n ，t h et h e o r yo f s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e na p p l i e dt os t u d yt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s ，o p t i m a lc o n t r o l a n dn u m e r i c a ls o l u t i o n so fa g ed e p e n d e n ts t o c h a s t i cp o p u l a t i o ne q u a t i o n s t h i sp a p e ri so nt h eb a s i s o fp r e v i o u ss t u d i e s ，d i s c u s s i n ge x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nf o rt h ea g e d e p e n d e n ts t o c h a s t i c d e l a yp o p u l a t i o ns y s t e mw i t hd i f f u s i o n t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e rh a v et h ef o l l o w i n gs e v e r a la s p e c t s ： 1 b r i e fi n t r o d u c t i o no ft h et h e o r yo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dt h eb a c k g r o u n da n dp o p u - l a t i o ns y s t e mr e s e a r c hs t a t u s 2 e m b e d d e dt i m e - d e l a yi t e m ，a th ，g ，fm e e tl i p s c h i t zc o n d i t i o n s ，a c c o r d i n gt oi t 6f o r m u l a ， b u r k h o l d e r g a n d y d a v i st h e o r e ma n dg r o n w a l l b e l l m a ni n e q u a t i o n s ，e t c b yc o n s t r u c t i n gab o u n d e d c a u c h ys e q u e n c e ，s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h es t o c h a s t i cp o p u l a t i o ns y s - t e ma r eg i v e ni nh i l b e r ts p a c e 3 ap o i s s o nt e r mi si n c o r p o r a t e di n t ot h es t o c h a s t i cp o p u l a t i o ns y s t e m ，t h e nb yv i r t u eo fp o i s s o n p r o p e r t y 。a th ，g ，fm e e tl i p s c h i t zc o n d i t i o n s ，a c c o r d i n gt oi t 5f o r m u l a ，b u r k h o l d e r g a n d y d a v i s t h e o r e ma n dg r o n w a l l b e l l m a ni n e q u a t i o n s ，e t c b yc o n s t r u c t i n gab o u n d e dc a u c h ys e q u e n c e ，s u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rt h es t o c h a s t i cp o p u l a t i o ns y s t e mw i t hj u m pa l eg i v e ni n h i l b e r ts p a c e 3 u s i n gs e m i g r o u pt h e o r ya n dp r o p e r t y , a c c o r d i n gt ob a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r e m ，e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o na r ep r o v e di nh i l b e r tf o rt h ea g e d e p e n d e n ts t o c h a s t i cp o p u l a t i o ns y s t e m w i t h j u m p k e yw o r d s ：d e l a y ；p o p u l a t i o ns y s t e m ；p o i s s o nj u m p ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s u 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：时 间：哆年月三e l 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 时 间：力矽年厂月五日 时 间：勿吵年月z e l 宁夏大学硕上学位论文第一章引言 1 1 随机微分方程概述 第一章引言弟一早 ji 苗 随机微分方程的研究是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速发展起来的，随机 微分方程已被广泛应用在经济，生物，金融，生态等领域【卜3 i 1 8 2 7 年，英国生物学家布朗首先注意到 浸入液体中的胶体微粒或质点的永不停歇的不规则运动，这就是著名的b r a w n 运动b r o w n 运动 的起囚是粒子受到周围液体分子不平衡的碰撞，由于分子极微小，因此粒子每秒钟所受到的碰撞次 数很多，达至u 1 0 2 1 次，碰撞又极为不规则，故而微粒的精确路径不能详细得到，但能进行统计描述， 可以认为粒子凶受到很多微小的随机力的作用而做随机运动 1 9 0 5 年e i n s t e i n 首次对这一现象的物理规律给出了一种数学描述，使这一课题有了显著的 发展这方面的物理工作在s m o l u c h o w s k i ，f o k k e r ，p l a n c k ，b u r g e r ，f u r t h o r n s t e i n ，u b l e n b e c k 等人的努力下迅速发展起来了，但数学方面却由于精确描述太困难而进展缓慢例 如1 9 0 8 年，l a n g e v i n 1 在研究b r a w n 运动时得到形如 m 鲁= 一触+ ! ，( t ) 的微分方程，其中z 表示液体微粒在某一方向的运动速度，一口z 表示介质对微粒的影响，即为摩 擦力作用项，秒( ) 表示介质中分子运动对微粒的碰撞构成的随机作用力这种形式的方程称 为l a n g e v i n 方程在具体的物理问题研究中，虽然经常遇至l j l a n g e v i n 方程，然而对它缺乏确切而义 严格的数学描述 直到1 9 1 8 年才由美国数学家w e i n e r 对这一现象在理论上作出了精确的数学描述并进一步 研究了布朗运动轨道的性质，提出了在布朗运动空间上定义测度与积分这些工作使对布朗运动 及其泛函的研究得到迅速而深入的发展，并逐渐渗透到概率论及数学分析的各个领域中，使之成为 现代概率论的币要部分 1 9 4 2 年k j 幻引入随机微分方程，它的一般形式为 搋：2 ( x ( 州班+ g ( x ( 州扎( 。) ，。( o ，卅， ( 1 1 ) ix ( o ) = 。 其中，：j 矿r r 。_ j 沙为漂移系数，9 ：r + r n _ r 钆m 为扩散系数u ( t ) 是有独立增量的m 维标 准w i e n e r 过程，x o 是随机变量( 1 1 ) 仅是一种形式写法，应将其理解为等价的随机积分方程 ，t x ( t ) = + ，( x ( t ) ，s ) d s + 9 ( x ( s ) ，s ) 山( s ) 与常微分方程的本质在于随机积分启9 ( x ( s ) ，s ) 幽( s ) ，它不能理解为普通的l e b e s g u s s t i e l t j s e 积, 分，原因在于对几乎所有的u ，论n e r 过程的轨迹u ( t ，u ) ( t f 0 ，t 1 ) 是不可微的且在的任意小区问 内没有有界变差历史上对随机积分的定义有很多种，但在理论和应用上广为接受的只有i t 6 积分 宁复人学硕上学位论文第一章引言 和s 7 o 幻n 倒i c 移 分，分别记为菇9 ( x ( s ) ，s ) d u ( s ) 和后9 ( x ( s ) ，s ) 。础( s ) ，二者的关系是 z 。9 ( x ( s ) ，s ) 。山( s ) = tg ( x ( s ) ，s ) 山( s ) + 三z 2 瓦o g g d s 二十世纪四十年代i t 5 和i g i h m a n 分别独立研究了随机微分方程的基本理论，之后在电子工 程学的控制问题，生物学的人口动力问题等实际需要的推动下，随机微分方程的基本理论得到不断 完善和发展i t 5 方程是目前随机微分方程研究的一个重要的方面，因为它的解过程是m a r k o v 过 程，因此它对随机过程理论和控制理论的应用都具有重大的意义通常一般文献中的随机微分方程 是指i t 5 型方程 1 2 种群系统的发展背景和研究现状 由于地球人口数量的迅速膨胀，生存空问的限制，人口数量与生态系统之间的平衡等问题已成 为决定社会生活条件的最基本因素某一种群系统年龄密度成为人们在生活中更为关心的一个问 题，因为对它的研究能为人们怎样更好地繁殖，利用和控制这一种群，提高经济效益和保护生态平衡 提供重要信息随着全球牛态环境的恶化愈来愈严重，引起人们对种群生长对其生存空间情况依赖 性的重视，吸引了一些生态学者和数学工作者对其进行研究，建立了具有守间扩散和年龄结构的随 机种群系统的数学方程： i 筹+ 筹一k a p + p ( o ，t ，z ) p = y ( a ，p ) + 9 ( 口，t ，p ) 也， p ( o ，z ) = 厅p l ( ，t ，x ) p ( a ，t ，z ) d a ， ( 1 2 ) l p ( a ，0 ，z ) = g o ( r z ) 当夕( n ，t ，p ) 三0 时，上述方程为确定性种群系统对于确定性种群系统，文献f 8 】一f 11 】研究了其周 期解及解的存在唯一性，稳定性；文献1 2 1 一f 1 4 】讨论了该系统的最优控制问题，同时文献 1 5 1 一f 2 7 也 对确定性种群系统解的存在i 畦一性和最优控制率丌展了很多研究t 作，其中文献【2 6 是针对年龄 相关的时变种群系统，而文献2 5 1 ，f 1 5 1 一f 2 4 ，【1 2 ，f 2 7 是加入了考虑具有卒问扩散的年龄相关时变 种群系统义献【2 5 1 给出了带扩散的种群系统模型，并讨论了系统解的存在唯一性；文献【1 5 研究了 具有空间扩散且与年龄相关的时变种群系统的最优边界控制；文献【2 2 】，【1 7 讨论了该系统最优生 育率控制的j # 线性问题，证明了最优生育率控制的存在性，并给出了控制为最优的必要条件及其由 偏微分方程组和变分不等式组成的最优性组，这些结果可为时变种群扩散系统最优控制问题的实 际研究提供理论基础；文献【2 3 】利用l i o n s ：z l 的偏微分控制理论和先验估计，讨论了一类非线性 时变种群扩散系统的最优分布控制问题，证明了最优分布控制的存在性；文献【1 2 】利用压缩不动点 原理讨论了一类非线性时变种群扩散系统的适定性和最优收获控制的存在性，获得了最优控制的 唯一性和所满足的必要条件；文献【2 6 l 运m a z u r 定理，证明了一类具有年龄结构种群线性动力系 统最优控制问题最优解的存在性，同时借助于法锥概念，得到了最优控制最优解存在的必要条件；文 献【2 7 1 讨论关于生物种群的一个非线性扩散系统和线性系统，得到了非线性扩散系统弱解的存在 性，系统最优生育率的存在性和关于边界扰动最优解的存在唯一性 由于考虑到自然灾害及环境等随机因素对人口密度的影响，即9 ( 口，t ，p ) 0 时，方程( 1 2 ) 为随 机种群系统模型对丁随机种群系统模型文献 2 8 1 首次在原来确定性种群系统七给出了带随机 项的随机种群系统，并讨论了在随机因素下系统解的存在性，唯一性和指数稳定性；文献【2 9 ，3 0 1 分 一2 一 宁夏人学硕上学化论文第一章引言 别对年龄相关的随机种群模型数值解的收敛性进行了研究；文献【3 l 】讨论了年龄相关的随机种群系 统数值解的收敛性；文献【3 2 】对具有时滞的年龄相关随机种群系统的指数稳定性进行了讨论；李容 华【3 3 】给了带跳的时滞随机微分方程的收敛性；文献【3 4 1 讨论了带跳的随机种群系统的数值解并 证明了数值解收敛到精确解 1 3 论文的主要内容与创新点 本文是对与年龄相关随机时滞种群扩散系统以及带跳的随机时滞种群扩散系统解的存在唯一 性进行讨论，有一定的实际意义论文主要由以下几部分组成： 1 简要的介绍了随机微分方程理论和相关知识及种群系统的背景和研究现状 2 加入时滞项，在工g ，h 满足l i p s c h i t z 条件下，根据i t 5 公式，b u r k h o l d e r d a v i s g a n d y 定理 及g r o n w a l l b e l l m a n 等不等式，通过构造一个有界的c a u c y 列，给出了h i l b e r t 空间中随机种群扩 散系统解的存在性和唯一性的充分条件 3 把p o i s s i o n j u m p 项嵌入到种群系统中去，根据p o i s s i o n 过程的性质，在，g ，h ，a m 足l i p s c h i t z 条件下，利用j 硒公式，b u r k h o l d e r d a v i s g a n d y 定理及g r o n w a l l b e l l m a n 等 不等式，通过构造一个有界的c a u c y 列，得到了h i l b e r t 空间中带跳的随机种群系统解的存在唯一的 充分条件 4 利用半群理论和性质，根据b a n a c h 不动点定理，证明了带跳的与年龄相关的随机时滞种群扩 散系统解的存在性和唯一性 本文的创新点有以下几个方面： 第一，在随机种群系统方程巾加入空间扩散系数和时滞项，通过构造一个有界的c a u c y 列，证明 了方程解的存在性和唯一性 第二，把p o s s i o n j u m p 考虑到随机扩敝种群系统中，使得该数学模型更加符合实际意义，更能 准确地描述种群密度的发展变化并在此摹础上研究了带跳的随机时滞种群扩散系统解的存在性 和唯一性另一方面，利用半群理论证明了系统解的存在唯一性 3 一 宁夏人学硕l 学化沦文第一：章预备知识 第二章预备知识 弟一早 耿信大u 。以 2 1 随机微分方程的预备知识 随机微分方程是概率论，随机过程与常微分方程相结合发展而成的一门边缘学科，涉及的知识 面很广，理论严谨，基础深厚因此，在研究随机种群扩散系统之前，我们将随机微分方程的基本概念 作一简单介绍 1 9 1 8 年，美国数学家维纳对b r o w n 运动给出了如下精确的数学描述以u ( t ) 表示它在t 时所 在位置的一个坐标，菪( 1 ，2 ) 与( t 3 ，t 1 ) 不相交，则位移w ( t 2 ) 一u ( t 1 ) 与u ( t 1 ) 一u ( t 3 ) 相互独立，由 于w ( t 2 ) 一w ( h ) 是许多的小位移之和，由中心极限定理知w ( t 2 ) 一u ( 亡1 ) 服从正态分布设液体是均 匀的，贝1 j e w ( t 2 ) 一u ( 1 ) ) = 0 ，d w ( t 2 ) 一u ( t 1 ) ) = 口2it 2 一t li ，其中仃 0 是仅依赖于液体性质的 常数由b r o w n 运动的数学模型产生以下定义： 定义2 1若个随机过程u ( ) ，t 0 满足 ( i ) u ( 0 ) = o ； ( i i ) u ( ) 是独立增量过程，即对任意0 t o t l t n ，随机变量w ( t k ) 一w ( t k 1 ) ( 1 k n ) 相互独立； ( 泖) 若0 s o 为b r o w n 运动，也称 为w i e n e r 过程常数“称为偏移系数，0 2 称为过程的强度 若p = 0 ，仃2 = 1 ，则称u ( ) ，t 0 为标准b r o w n 运动今后我们只考虑标准b r o w n 运动，并把它 简称为b r o w n 运动 定义2 2 在【q ，p 】一i ：定义的随机过程，( t ) 称为阶梯函数，如果存在【乜，例的划分a = t o t l t n = p ，使得f ( t ) = ，( 如) ，如果t i t 0 是标准b 7 d 伽n 运动，( t ) 为在圮【q ，纠中的阶梯函数，则称随机变量 r b e ，( t ) c 幻( t ) = e 譬- - f ( t k ) w ( t k + 1 ) 一叫( ) 1 ，a 为，( ) 关：e b r o w n 运_ 动u ( t ) 的随机积分，又称为j t 6 积分 现在我们已经有了i t 5 积分的定义，那么它是怎么样计算的呢? 通常直接利用积分的定义来进 行计算是非常困难的因此，接下来我们将介绍，6 积分的个重要法则一公式它可以看作是 与通常微积分中的复合函数求微分相对应的法则。但i t 5 公式与通常的复合函数求导法则在形式上 有很大不同 定义2 4设随机过程z ( ) ，t 0 ，对所有0st o t t 的满足如下的i t 5 积分 ，t，t x ( t ) 一x ( t o ) = b ( s ) d s + 矿( s ) 山( s ) ， ，t o ，t o 则称z ( t ) 有随机微分 d z ( t ) = b ( t ) w ( t ) + a ( t ) d w ( t ) 一4 一 宁夏人学硕上学位沦文第，：章颅备知i 谚 定理2 5 设随机过程z ( t ) ，t2o 具有随机微分，又设二元函数s ( z ，t ) 具有关t - ( x ，t ) r 【0 ，。o ) 连续的偏导数甏，甏，貉，那么过程，( z ( t ) ，t ) 具有随机微分，并由卜式给出 形( 邢”) = 筹( ”) + 三盯2 ( 幻象( 坤”) 班+ ) 筹( 邢) 山( 班 这就是著名的j 坫公式它用附加项 口2 ( t ) 券( z ( t ) ，) 修正了经典的链式法则 d ，( z ( 帅) = 瓦o f ( z ( 帅) + 瓦o f ( z ( 帅) 班 = 瓦o f ( z ( ) ，t ) 眦) 出+ 盯( t ) 山( t ) 】如+ 瓦o f ( z ( t ) ，t ) 出 2 2 主要引理和不等式 在对随机种群扩散系统解的存在唯一性证明巾，我们要用到随机分析的一些知识，冈而我们就 对鞅和上尸鞅的概念，b u r k h o l d e r d a v i d s g u n d y 不等式以及我们定理证明中所用到的引理和 不等式作一简单的介绍 定义2 6 一个可积f 适应过程x = x t ，t r + 若当s ，t r + ，s t 时有 墨= e ( x 。i f 8 ) a s ， 则称x 为鞅：若在上式中分别以 或代替符号，则分别称x 为f 上鞅或下鞅( 当f 固定时，可略 去f ；当不提及f 时，一般指相对于由过程本身产生的仃代数流f x 而吉) ；菪对v 亡r + ，有x t 口( p 1 ) ，则称x 为妒鞅( 或下鞅，上鞅) 定义2 7 设p 【1 ，o 。) ，m = m t ，t r + 为f 适应过程，若存在f 停时序列t a 8 使得对于 每一个n n ，停时过程m h 兰。 ，t r + 为妒鞅，则称m 为局部口鞅，称为m 的一个局部化 停时序列。局部l 1 鞅简称为局部鞅 引理2 8 ( b u r k h o l d e r d a v i d s g u n d y 不等式) 对于一g o o ，使得每一个连续局部鞅m 和 任意的停时7 - ，有 唧e 【( m ，) 事】e ( is u pm si p ) sc p e i ( m ，) 拿】 u s s s r 特别的，有 c v = ( p 2 ) p ，o = ( 3 2 p ) p 2 , 若0 o ，实函数夕o 及 于【o ，刀l e 6 e s 9 t e 可积，若存在常数k o ，对于v t 【0 ，卅有9 ( ) ( t ) + 七后9 ( s ) d s 则对v t 【o ，卅有 ，t a ( t ) h ( t ) + 后e k ( 汹) h ( 引 ，0 5 一 宁夏人学硕上学位论文第一：章预备知i 识 引理2 1 0 ( 积分酐j s c h w a r z 不等式) 设，( z ) ，9 ( z ) 是a ，6 】上的可积函数，则 ( z b ，( z ) 9 ( z ) 如) 2 ( z 6 ，2 ( z ) d z ) ( z 6 9 2 ( z ) d z ) 当且仅当厂( z ) = 幻 ) 时等号成立 引理2 u ( 1 0 l d e r 不等式) 设p 1 ，q 1 ，i 1 - t - i 1 = 1 ，如果，( z ) 护( e ，p ) ，9 ( z ) z e ( e ，肛) ，那么，) 9 ( z ) 矿( e ，p ) ，并 且有 i l ，9 i | 圳训q 其中l l f l l p = ( 止i f ( t ) l p 舡) 吉，i l g l l 。= ( 丘i g ( t ) l 。咖) 当p = 2 时，上式就是c a u c h y 不等式 ( 丘，( z ) 9 ( z ) ) 如) 2 ( 五，2 ( z ) 如) ( 上9 2 ( z ) 出) 一6 一 宁夏人学硕上学化论文第二章j 年龄辛l l 关的随机时滞种群扩散系统解的红在忭和唯一性 第三章与年龄相关的随机时滞种群扩散系统解的存在性和唯 3 1 引言 一- l 性i l 在现实世界中，客观事物的运动规律是复杂和多样的大量事实证明，在动力系统中总是不可 避免的存在滞后现象，亦即事物的发展趋势不仅仅依赖于当前的状态，而且还依赖于过去的历史状 态，特别在种群系统中，时滞的存在是十分普遍的时滞可以使得稳定系统不再稳定，有时甚至很小 的时滞就可以导致混沌，正足基于这种原因，时滞微分方程的研究引起了人们极大的兴趣本章讨 论如下形式的随机种群系统模型： 筹+ 蔷一k a p + p ( 口，t ，z ) p = f ( a ，t ，p ) + h ( t ，z ，b ) + g ( a ，t ，p ) o t ， q = ( o ，a ) q ， p ( o ，z ) = j p ( 。，t ，z ) p ( n ，t ，x ) d a ， q = ( o ，t ) xr ， p ( a ，0 ，z ) = p o ( ，z ) ，q a = ( 0 ，a ) f ， p ( a ，t ，z ) = 0 ，a = ( 0 ，a ) ( 0 ，t ) xo f ( 宰) 其中a 【0 ，a 】，t 【o ，卅，0 0 ，使得 z i m l l x l l 蚍是定义在完备的概率空问( q ，矿，p ) 取值于可分的h i l b e r t 窄问ki ：的w i e n e r 过程| 1 1 1 2 表 示h i l b e r t - s c h m i d t 范数设c = c ( 【o ，卅；日) 是从【o ，t 】到h 的连续函数组成的空间，其模定义 为：| 1 i i 。= s u pi 妒( s ) i l 移= l p ( 【0 ，卸；v ) ，瑶= l p ( 【o ，卅；日) 再令e ( 【_ 下，o 】；詹+ ) 表示定义 0 0 ， 使得问题( 奉) 成立其中p ( o ，t ；v ) 表示从【0 ，t l q 到v 可测的v - 值过程( p ( t ) ) t e o ，t i l i e 譬jj p ( t ) l l p d t o 。假设下列条件( 日) 是成立的： ( h i ) p ( n ，t ，z ) ，p ( n ，t ，z ) 非负可测，并且 io p o p ( o ，t ，z ) 。o在q 中， 【o 卢( n ，t ，z ) 口 0 ，使得 ( a 1 ) i f ( t ，z ，y 1 ) 一f ( t ，z ，耽) isk l0 y l 一可2 0 。， ( a 2 ) i i g ( t ，z ，y 1 ) 一g ( t ，z ，y 2 ) l l = 如i i 耖l y 2 1 1 。， ( a 3 ) l h ( t ，z ，y 1 ) 一h ( t ，z ，y 2 ) l b 0 3 ，1 一耽i i 。， a e t 根据p ( a ，t ，z ) 的实际意义，p ( a ，t ，z ) 0 ，v a a ，a 是种群的最大年龄 3 3 解的唯一性 下面我们运用i t 5 公式来证明方程( 幸) 解的唯一性 定理3 1 假设前面的假设都成立，且在空间j 2 ( o ，t ；y ) n l 2 ( q ；c ( o ，t ；日) ) 上方程( 车) 的解 存在，则解是唯一的 证明 令p l ( t ) ，岛( t ) 1 2 ( o ，t ；v ) n l 2 ( q ；c ( o ，t ；日) ) 是方程( ) 的两个解对ip l ( t ) 一 一8 一 宁夏人学硕上学何论文第二章j 年龄丰1 | 关的随机时滞种群扩敞系统解的存在忭和唯一性 恳( ) 1 2 运用j 6 公式，得 p 1 ( t ) 一岛( t ) 1 2 一詹z 1 1 只( s ) 一恳( s ) | 1 2 d s 一2 o 。 d 8 + 2 i f ( p l ( s ) ) 一f ( p 2 ( s ) ) l l p l ( s ) 一岛( s ) i d s4 - 0 9 ( p 1 ( s ) ) 一g ( p 2 ( s ) ) l l ；d s t t - i - 2 l ( p 1 ( s4 - 7 - ) ) 一h ( p 2 ( s + r ) i ip 1 ( 8 ) 一p 2 ( s ) l d s i tr + 2 ( 尸1 ( s ) 一尼( s ) ) o ( 最s ) ) 一9 ( 最( s ) ) ) 如妣 ( 1 ) 另一方面 一z 。二掣( p 1 ( s m ( s ) 批幽 = i if o 。z ( p l ( a ，z ) 一尸2 ( a ，z ) ) 2 一( p 1 ( 。，z ) 一岛( 。，t ，z ) ) 。 如如 = 1 1 o z ( p ( 。，s ，z ) ( p 1 ( s ) 一b ( s ) ) 如) 2 如d s ， 根据h s l d e r 不等式， 一z 2 厶丛旦掣( p l ( s ) 一易( s ) d x d a d s 三a 厅2z i p l ( s ) 一b ( s ) | 2 如， 2 z 。i ( p 1 ( s + 丁) ) 一九( 马( s + 删i p 1 ( s ) 一p 2 ( s ) i d s z 2i(p1(s+7-)(尼(s+7-)12如十厂。ipl(s)一p2(0 j o 圳如 ， 忌3 f o o tl | p l ( s + 7 - ) 一尼( s + r ) 幢d s + z 。1 只( s ) 一恳( s ) l d s ， i i p l ( 8 + 7 ) 一p 2 ( s + 7 - ) i 层5s u pp l ( s + ，) 一p 2 ( s + r ) 1 2 s u pl p l ( r ) 一岛( r ) 1 2 rr o o r s 给( 1 ) 取上确界再求期望有 e 。s u 。p 。l p l ( s ) 一p 2 ( s ) 1 2 ( i a 口2 2 肋一磊ki + 2 ) f o 。e i p , ( s ) 一p 2 ( s ) 1 2 d 8 + ( 七 + 七；) f o te f l 只( s ) 一岛( s ) l l ：d s 十醒z 2 。s u ，p s 。1 只( r ) 一恳( r ) 1 2 如 - t - 2 e ( s u p ( p 1 ( ，) 一尼( r ) ) ( 9 ( p l ( r ) ) 一g ( p 2 ( r ) ) ) d s d w ，) ( 2 ) o s t j o ，r 一9 一 宁夏入学硕上学位论文 第二章j 年龄丰1 i 关的随机时滞种群扩散系统解的存在忭和唯一性 根据b u r k h o l d e r d a v i s g a n d y 不等式，有 e s u p ( p 1 ( r ) 一p 2 ( r ) ) ( 9 ( 量r ) ) 一9 ( 易( r ) ) ) d s d w r 0 一 s 一 t j o t ，r 螂乜唰s ) l ( 小( 删叫踯) ) l l ；d s ) 墨 砉es u pj 日( 占) 一岛( s ) 1 2 + k e i i g ( p l ( s ) ) 一g ( p 2 ( s ) ) l ；d s q0 s t j o s 妄es u pi p l ( s ) 一r ( s ) | 2 + k 砖e i i p i ( s ) 一p 2 ( s ) 1 1 2 d s ( 3 ) q 0 s j o 其巾，k 为常数由( 2 ) 式和( 3 ) 式可得 es u pi p l ( 8 ) 一岛( s ) 1 2 o s t 2 ( ( i a 口2 _ 2 # o - 去l + 2 ) ) z 。i p l ( 5 ) 一恳( s ) 1 2 d s ，c + 2 ( 七 + 墙+ 磙+ 2 k k ；k 2 ) e i i p i ( s ) 一岛( s ) 咤d s ，0 2 ( 1 a 口2 2 肛。一翕i + 2 + 后 + 磅+ 砖+ 2 k k l ) oe 。 s u ，p 。i p l ( r ) 一恳( 7 ) 1 2 d s ，【o ，邪 ，l 利用g r o n w a l lr j l 理，定理得证 3 4 解的存在性 为了证明方程( 术) 解的存在性，我们首先证明卜面两个引理 考虑下列疗程 fp 1 ( ) = p ( o ) + j f o l o t t 型a 。 + k a p ( s ) 一百1 j p l ( ) j 幽，t f o ，刁， l p 1 ( t ，o ) = p o ( x ) ， 1p + 1 ( t ) = p ( 。) + 后 掣+ 后p + 1 ( s ) 一竿p ，l “( s ) d s + 竿p ( s ) d s i- f o , ( n ，s ，z ) p ”( s ) d