（运筹学与控制论专业论文）切换系统的稳定性分析与最优控制.pdf

摘要 本文利用非线性最优规划问题的k a r u s h - k u h n - t u c k e r ( k k t ) 条件，研究了 非线性切换系统的指数稳定性和非线性时滞切换系统的渐近稳定性对于线性 切换系统的研究主要基于不变集理论，研究其线性l ”p 皿o v 函数的存在性 最后基于粘性解理论，研究了一类线性系统的鲁棒最优闻题，给出了该最优问 题的最优策略本文由四部分组成； 1 非线性切换系统的指数稳定性 2 非线性时滞切换系统的渐近稳定性 3 一类线性离散切换系统的线性l y a p u n o v 函数 4 ，一类线性切换系统的鲁棒最优控制问题 关键词：粘性解；k k t 条件；指数稳定性；渐近稳定性；线性l y a p u n o v 函 数；最优控制；切换系统 a b s t r a c t w es t u d yt h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fac l a s so fn o n l i n e a rs w i t c h i n gs y s t e m sa n dt h e a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fac l a s so fn o n l i n e a rs w i t c h i n gs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a yu s i n g t h ek a r u s h - k u h n - t u c k e r ( k k t ) c o n d i t i o nf o rn o n l i n e a ro p t i m a lp r o g r a m m i n g p r o b l e m s n e x t ，b a s i n go nt h et h e o r yo fi n v a r i a n ts e t s ，d i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h el i n e a rl y a - p u n o vf u n c t i o n sf o rac l a s so fd i s c r e t e - t i m el i n e a rs w i t c h i n gs y s t e m s a tl a s t ，w ec o n s i d e r t h er o b u s to p t i m a ls w i t c h e dc o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so f l i n e a rs y s t e m s ，a n df i n dt h e o p t i m a ls t r a t e g yb yu s i n gt h et h e o r yo fv i s c o s i t ys o l u t i o n s t h i sp a p e ri so r g a n i z e da s f o l l o w s 1 e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fn o n h n e a rs w i t c h i n gs y s t e m s 2 a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fn o n l i n e a rs w i t c h i n gs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y 3 ，l i n e 缸l y a p u n o vf u n c t i o no fac l a s so fd i s c r e t e - t i m el i n e a rs w i t c h i n gs y s t e m s 4 r o b u s to p t i m a ls w i t c h i n gc o n t r o lf o rac l a s so fl i n e a rs y s t e m s k e yw o r d s ：v i s c o s i t ys o l u t i o n ；k k tc o n d i t i o n ；e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；a s y m p - t o t i c a ls t a b i l i t y ；l i n e a rl y a p u n o vf u n c t i o n ；o p t i m a lc o n t r o l ；s w i t c h i n gs y s t e m s l l 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的 一切法律责任和法律后果，特此郑重声明 学位论文作者： 于修，魏 2 0 0 5 年4 月2 0 日 引言 在实际的控制问题中，由于物理的限制，使得系统不可能一直按照某一个 动力系统方程运行，而是在几个系统之间相互切换运行的而且，几个系统切 换运行往往比单个系统具有更好的性能，若干个不稳定的系统可以通过切换 得到稳定的切换系统 i i 典型的切换系统有自动传输系统 2 】，计算机磁盘驱 动 3 1 ，某些机器人控制系统等在理论上，切换系统也开辟出控制理论新的领 域，备受关注 近年来出现许多有关线性切换系统的文献【1 】- 嘲，其中很多是讨论切换系 统稳定性的对线性切换系统的研究主要应用矩阵不等式，一般总可以借助于 l m i 工具箱使得所研究的问题得到解决相比之下，对于非线性切换系统的研 究要复杂的多，涉及到非线性的问题，一般不易得到比较彻底的解决 本文对于切换系统稳定性的讨论主要针对第一章所提出的切换系统的稳 定性的定义，目的是证明存在一个使系统稳定的切换律j ( z ) ，使得系统在l ( x ) 的作用下是稳定的这里我们不但证明了稳定的切换律的存在性，同时给出了 稳定的切换律的表达式对于鲁棒最优问题的讨论，我们得到了最优的切换策 略全文由四部分组成，每部分的背景及主要内容简述如下t 文献 4 】讨论了一类非线性齐次切换系统的二次稳定性，给出了此类系统 二次稳定的充分必要条件，并得到一个相对易验证的等价条件，即把需验证的 状态空间从舒简化成r “的一个子空间当子空间足够简单时，系统二次稳定 性就极易得到验证在第一章中，我们讨论了一类非线性切换系统，最终得到 系统全局指数稳定的充分条件，并给出切换律的表达式。我们研究了下面一类 切换系统： 圣一五( z ) ，i q = l ，2 ， ( o 1 ) 其中五( 。) ：彤一r “是齐次的， ( o ) = 0 ，并满足下面推导中所需的一切光滑条 件 定理1 2 2 如果存在一组正的常数协，i q ) ，对称正定阵p ，及i q ： 1 ，2 ，n ) 使得下面非线性规划问题 m a x 。7 p ( z ) + e l s t z t p ，】( z ) + 勺2o ，j = 1 ，2 ，一，n ，j i ( o 2 ) z t 2 2 = 1 或无可行解或若有可行解最优目标值是小于等于零的，则系统( o 1 ) 是全局指 数稳定的 定理1 3 1 如果存在一组正的常数恼，i q ) ，正定对称阵p ，及i q ，使得 函数集合 z t p 五+ 龟蚓1 2i q 在q ( i ) = q l ( 砷un 。( i ) 上是完备的，则系统( 0 1 ) 是全局指数稳定的 指数稳定的切换律f ( 。) 的设计： l ( x ) = a r g m i n i f z 7 p ( z ) + 日i l x l l 2 ) 时滞的存在一定程度上增加了系统分析与综合的难度，同时还可能使系统 不稳定和导致系统性能变差时滞系统的这些特殊性和实际的应用价值使得时 滞系统一直都是控制理论和控制工程领域中研究的一个热点问题，在第二章 中，我们主要研究了一类非线性时滞切换系统的渐近稳定性基于l y a p u n o v 稳 定性理论，并利用非线性最优问题的处理方法，最终得到此类非线性时滞切换 系统渐近稳定的一个充分条件在文章最后给出了稳定切换律的表达式这一 章研究了下面一类时滞切换系统： j ( f ) = 扛( t ) ) + 皿扛o d ) ) ie q = 1 ，2 ，馆( 0 3 ) 其中： z ( t ) r ”是系统的状态向量， ( z ( t ) ) ，吼( z 一d ) ) ：矸一r “，为已知的舒 上的齐次函数，且 ( o ) - 0 ，玑( o ) ，i = l “2 一，n ，d 0 是滞后时间，协( d c n 【一d ，o 】( n 维连续函数向量空间) 是系统的初始条件 给定函数 唯) = 尸z + 。椰一 其中舻，p 郇x ”是对称正定的，s 搿。“是非负定的 弓入记号：只( z ，茁d ) = 扛 ) ) + 玑( 。( 亡一d ) ) 岳= 。i d ， ，户= ： ， 只c 雾，= 。z d ，雪= ：! s 定理2 2 2 如果存在i 0 及对称正定阵p 和s ，使得非线性最优问题 m a xi t 户晟+ 牙t 妇( ) s t 矿户秀+ 护雪i o ，j = 1 ，2 ，一，n ，j i ( o 4 ) 或无可行解或若有可行解最优目标值是负的，则系统( 0 3 ) 是渐近稳定的，且 以v ( z ) 为l y a p u n o v 函数 定理2 3 1 如果存在i q ，及对称正定阵p 和s ，使得函数集合 i 7 j p 露+ 叠7 铀，i q 在n ( i ) = q l ( ) un 2 ( ) 上是严格完备的，则系统( 0 3 ) 是渐近稳定 的 渐近稳定的切换律j ( z ) 的设计； ，( z ) = a r g m i n i 矿p 或( i ) + i 7 雪2 ) 不变集作为系统分析与综合的另一个有力的工具，受到人们的关注自文 献1 8 出版以来，出现了很多关于不变集的文章卧1 1 1 】其中一类特殊的不变集 一多面体不变集是比较受关注的 8 已经证明了对于线性时不变系统，如果具 有一个关于原点中心对称的多面体不变集，系统就具有一个线性l y a p u n o v 函 数系统具有一个线性l y a p u n o v 函数是另一个研究的热点1 2 】_ 1 1 4 1 文献【5 】 研究了一类线性离散切换系统，假设每一个子系统是稳定的，并具有一个线性 的l y a p u n o v 函数，然后基于这些函数并利用l y a p u n o v 稳定性定理得到系统的 一个稳定的切换律事实上，切换系统的子系统一般不是稳定的，要求每一个 子系统稳定并具有线性的l y a p u n o v 函数更是很强的要求在第三章中，我们 研究了一类线性离散切换系统，其中每一个子系统不必是稳定的，利用不变集 理论推导出系统的一个稳定的切换律，并证明了，在这一切换律的作用下，系 统存在一个线性l y a p u n o v 的函数这部分研究了下面一类离散线性切换系统； ( t + 1 ) = a 拶( 巩i q = 1 ，2 ，q ) ( 0 5 ) x ( t ) r n ，a 舻。“为第i 个子系统的系统矩阵，t 4 u o 并假设a 1 ) 一a 4 ) 成立 设计切换律o ( x ) 如下： 当系统以。 + 1 ) = a _ f x ( t ) 运行时，如果在某一时刻t , t 0 处以下条件满足 1 ) x ( t ) r ( f ) w ) 2 ) 一 f a z ( t ) s w 不成立 3 ) 一 s f a i x ( t ) w 成立 则系统就在t + 1 时刻切换到第i 个子系统 定理3 3 2 在切换律一( z ) 的作用下，系统( 0 5 ) 是稳定的 定理3 3 3 在切换律o ( x ) 的作用下，当f 是行满秩时，系统( 0 5 ) 具有一个 线性l y a p u n o v 函数 吣旧一 掣 定理3 3 4 在一( 。) 作用下，系统( 0 5 ) 有一个线性的l y a p u n o v 函数而且， 如果记r ( f ) 第i 个面的法向量为a ；，其中i = 1 ，2 ，2 m ，则线性的l y a p u n o v 函数为 y ( x ) = m a x l _ i 0 ， 鲁棒最优问题： 给定增益因子7 0 ，及初始增广状态向量( z ，舻) ，寻找一个满足n ( o _ ) = a j 的容许控制n ( t ) = n i 使得不等式 c j 一( 。，a j , a , 6 ) 。2 o 1 6 ( ) 1 2 出+ 职( z )( o 8 ) 对于任意的局部工2 可积的扰动6 ( ) ，和任意正实数t 均成立，并使得偏差函数 职( 。) 尽可能的小 5 定义性能指标为 而一扛，m6 ) = 二l ( 如( t ) ，一，n ( t ) ，6 ( ) ) ，。( 0 一) = 一，j = 1 ，2 ( o - 9 ) 其中z ( 如( t ) ，o ( t ) ，6 ( ) ) = 值函数k = ( 曙，曙) 为 孵( t ，a ，b ) h ( a ( t ) ) y x ( t ，a ，b ) d t 一1 2 仃1 6 ( t ) 1 2 1 班+ k ( a ( r 一) ，n ( r ) ) 以 w ( 。) 一n f s u t p j t 一( z ，一，d ，6 ) ，j = 1 , 2 ( o - 1 0 ) 值函数满足的拟变分不等式为 m a x h j ( y ，d y e ) ，叼一1 磐 w + k ( 一，f ) ) ) = 0 其中h j ( y ，p ) = h i n 一p t ( a ( a j ) y + g b ) 一y t h ( a j ) y + , y 2 l 酬2 ) ，j = l ，2 定理4 3 2 ( 4 1 5 ) 一( 4 1 6 ) 式定义的v j ( x ) 是( o 1 1 ) 的粘性解 最优策略的设计： 控制策略定义为驴( $ ，a j ) 一( z ) 为： 一( z ) ： 一y j ( z ) y x ) + 卢 i 酽v j ( x ) = v ( 霉) + 卢；五i = 1 ，2 切换策略定义为： x x i y 2 扛) = v 1 ( ) + 卢) 。 x l v l ( 。) = v 2 ( 搿) + 卢) o t 从a 1 切换到n 2 o + 从a 2 切换到0 1 6 ( o 1 1 ) ( 0 1 2 ) 第一章非线性切换系统的指数稳定性 本章讨论一类非线性切换系统，利用非线性动态规划问题的k k t 条件， 我们得到此类系统指数稳定的充分条件本章由以下三节组成：1 1 预备知 识，1 2 指数稳定性分析，1 3 一个等价的条件 1 1 预备知识 在实际的控制问题中，由于物理的限制，使得系统不可能一直按照一个动 力系统方程运行，而是在几个系统之间相互切换运行的而且，几个系统切换 运行往往比单个系统具有更好的性能 1 】典型的切换系统有自动传输系统 2 】， 计算机磁盘驱动 3 l 某些机器人控制系统等在理论上，切换系统也开辟出控 制理论新的领域，备受关注 近年来，对于切换系统的研究主要是关于切换系统稳定性的讨论f 1 1 【4 】- 【6 对于切换系统稳定性的定义有不同的定义本文讨论的切换系统稳定性的定义 为t 定义1 1 。1 对于切换系统 圣= ( z ) ，i 1 ，2 ，托) ( o ) = 0 ，i = 1 ，2 ， ，定义切换时间序列s 为 。o 亡1 t a ，盥蛩“= o o 定义切换序列7 为拍 7 l 0 使得当i i x ( t o ) 1 1 d 时，以t o 为初始时刻，z ) 为初始状态的系统轨线f i x ( t ) l i o , f ( a x ) = 0 引理1 1 4 4 1 给定如下的一个非线性规划问题 m a xf ( x ) s t 岛0 ，i = 1 ，2 ，一，m ( 1 6 ) b ( z ) = 0 ，j = 1 ，2 ，一，l 其中z 舻，愚，b 都是光滑函数如果矿为该非线性规划问题的局部最优解 则存在m 个不全为零的常数a o , a l ，一，a 。和z 个常数札p 。，m ，使得下面的一 组条件成立 a o v f ( x 4 ) + 凡v 吼0 ) + i 眦v h i ( x + ) = 0 九5 t ( 矿) = 0 ，z = 1 ，2 ，m ( 1 t 7 ) 九0 ，i = 1 ，2 ，一，f 其中v 表示梯度算子 引理1 1 4 就是非线性动态规划问题的k k t 条件 1 2 指数稳定性分析 这一节将研究一类非线性切换系统的指数稳定性我们主要以非线性规划 的k k t 条件为工具，葺辱到系统指数稳定的一个充分条件，相应给出指数稳定 9 的切换律，并进一步给出一组容易验证的条件下面给出要研究的系统模型 定义如下的切换系统 士= ( z ) ，i q = ( 1 ，2 ，n ) ( 1 8 ) 其中 ( 。) ：帮一r n 是一般齐次的， ( o ) = 0 ，并满足下面推导中所需的一切光 滑条件 定理1 2 1 如果存在一组正的常数协，i q ) 及正定对称阵p ，满足函数集 合 ，p ( 。) + 训2 ，i q ) 在r “上完备的，则系统( 1 8 ) 是全局指数稳定的 证明：由p 为正定对称阵知 。i i x l l 252 2 t p xsa m d 。删1 2 ，其中a 。a 。分 别为p 的最小与最大特征值 定义切换律 i ( x ) = a r g m i n ，p a ( x ) + 矗i i x l l 2 ) ( 1 9 ) 易知，( 。) ：舻一q ，只与系统瞬时的状态有关在切换律i ( x ) 作用下的系统可描 述为 = ，( 。) ( z )( 1 1 0 ) 取e = m i n t ) ，易知v ( x ) = ，p x 沿系统( 1 1 0 ) 的轨线对t 的导数 矿( z ) 一e 蚓1 2 由引理1 1 2 知系统( 1 1 0 ) 是全局指数稳定的，从而在切换律( 1 9 ) 作用下，系 统( 1 8 ) 是全局指数稳定的 定理1 2 2 如果存在一组正的常数豫，i q ) ，对称正定阵p ，及i q = l ，2 ，n ) ，使得下面非线性规划问题 m a x 7 p f , ( z ) + 岛) s t x t p a ( x ) + 岛o ，j = l ，2 ，n ( 1 1 1 ) x t x ：1 或无可行解或若有可行解最优目标值是小于等于零的，则系统( 1 ，8 ) 是全局指 数稳定的 】0 证明：由定理1 2 1 知，我们只需证明函数集合( x t p f i ( x ) + , l l x l l 2 ，ieq 在 形上是完备的分两种情况证明： 1 ) 最优问题无可行解 此时集合 z 7 p f i ( x ) + 勺o ，j = 1 ，2 ，j ；x t x = 1 ) = o ，由此可得 对任意的z r n ，x 0 ，存在q 0 ，q i 使得 r” 赢p 矗( 赢) 怕 o ( 1 1 2 ) 由函数的齐次性条件可得： 对任意的ze 形，z 0 ，总存在q q ，使得x t p f q ( 2 ：) + 岛1 1 = 1 1 2 0 是滞后时间，妒( t ) 卜d ，o 】( n 维连续函数向量空间) 是系统的初始条件 1 引理2 1 1 1 7 1 对于系统( 2 2 ) ，如果存在对称正定矩阵p , s 使得 a r p + 碍p p a + s ：i 0 是滞后时间，并假设 协( t ) c n - d ，o l ( n 维连续函数向量空间) 是系统的初始条件 定义函数 忡) = ；，p z + 。棚础 ( 2 - 5 ) 其中引；r n ，当p 印n 是正定对称阵，s r n “是非负定对称阵时由定义 式( 2 5 ) 易知v ( x ) 是正定函数 如果存在一切换律x ( x ) ：舻一q ，使得矿( z ) 沿着系统( 2 ，4 ) 的轨道对t 的导 函数矿( z ) 是小于等于零的，由l y a p u n o v 稳定性理论可知系统在这一切换律下 是稳定的，并以v ( x ) 为其l y a p u n o v 函数 这一部分的我们主要目标是基于l y a p u n o v 稳定性定理得到系统( 2 4 ) 的一 个切换律l ( x ) ：印一q ，使得系统( 2 ，4 ) 在i ( x ) 的作用下是渐近稳定的 对于固定的i q ，y ( z ) 沿着第i 个子系统对时间t 的导数为 矿( 霉) = ；【茁t ( 幻p ( 五( 。( ) ) + 伍( z t t d ) ) ) + ( ( z ( t ) ) + m 扣o d ) ) 7 p x ( t ) 】+ x t ( t ) s x ( t ) 一x r ( t d ) s x ( t d ) ( 2 6 ) = 7 ( ) p ( 五( z ) ) + 肌( z 0 一d ) ) ) + z ( t ) s x ( t ) 一z t ( t a ) s x ( t 一回 1 7 为了推导的方便引入以下记号： r ( z ，x d ) 一五( 。( ) ) + 肌( z 0 一d ) ) ， 孟七x 卅卜 昧，= p 。卜 矿( z ) = i 7 ( t ) 户丘( 孟) 十i 7 雪孟( ) ( 2 7 ) 引理2 2 ，1 如果函数集合 护( t ) 户只( 2 ) + 护强( 如i = 1 ，2 ，) 在冗“上是完 备的，则系统( 2 4 ) 是稳定，进一步如果是严格完备的，则系统( 2 4 ) 是大范围 渐近稳定的这里完备性的定义同第一章 定理2 2 1 如果存在对称正定的p r n ，非负定的s r “”及一个i q 使得菲线性最优问题 m a x i 丁( t ) 户只忙) + j 7 函( t ) ) s t 蜃7 ( t ) 户扇( 孟) + 2 7 鼢( t ) 0 ，j = 1 ，2 ，n ，j i ( 2 8 ) 或无可行解或若有可行解最优目标值小于等于零，则系统( 2 4 ) 是稳定的，且 以v ( x ) 为l y a p u n o v 函数其中p 和雪的定义同上记号 证明：分两种情况证明： 1 ) 最优问题( 2 8 ) 无可行解 此时集合 牙7 ( t ) 户马( 孟) + 护舶( ) ，j = 1 ，2 ，n ，j i ；孟= 1 ) = 0 ，从而，对 任意的i 形“，牙0 ，存在q q ，g i 使得 赢嘲赢) + 厮1 赧曼。 ( 2 9 ) 由 ( a $ ) = d ( z ) ，g , ( a x ) = a g t ( x ) 可得 任意的q ，局是齐次函数，即马( a i ) = a 马( i ) ，从而式( 2 9 ) 的左端就等于 i 邴1 2 7 户扇( 孟) + 孟7 扇】，由赤 0 及式( 2 9 ) 可得 护声丘( 孟) + 牙t s 2 ( t ) 0 ， 从而，对任意的岳r 2 n ，z 0 ，总存在q q ，使得上式成立因此函数集合 牙叩戽( i ) + 矿船，i = 1 ，2 ，n ) 在r 2 ”上是完备的，由引理2 2 1 知系统是稳定 的 2 ) 最优问题( 2 8 ) 有可行解最优目标值是小于等于零的 对任意的孟r 2 n ，i 0 ，只要对任意的，q ，j t ，不等式赢卢马( 南) + 寿i 7 舶 0 成立，就有斋j p 兵( 1 f 耋) + 币酽1 护船茎0 ，即护户丘( 茁) + 矿船0 - 所以，对任意的i r 2 ，j 0 ，总存在g q ，使得上式成立因此函数集合 护户晟( 牙) + 矿如，i = 1 ，2 ，n ) 在r “上是完备的，由引理2 2 1 知系统是稳定 的 定理2 2 2 如果存在i 日及n n 阶对称正定阵p 和s ，使得非线性最优 问题 m a x i 7 户戽+ 岳7 雪i ( ) ) s t 孟7 p 最十护雪i o ，j = 1 ，2 ，n ，j i ( 2 1 0 ) 牙7 孟= 1 或无可行解或若有可行解最优目标值是负的，则系统( 2 4 ) 是渐近稳定的，且 以v ( x ) 为l y a p u n o v 函数 证明：由引理2 2 1 知只需证明函数集合 童7 户露( 孟) + i 7 赢，i = 1 ，2 ，n ) 在 印n 上是严格完备的可仿照定理2 2 1 分两种情况证明： 1 ) 最优问题无可行解 此时集合( 矿( t ) 户岛( 牙) + 牙7 屁( ) ，j = 1 ，2 ，n ，j t ；重强= i = 0 ，由此可得 对任意的i r “，2 0 ，存在口q ，g i 使得 篙嘲南) + 赤矿船钏 ( 2 1 1 ) 类似于利用定理2 2 1 中的证明可得 对任意的i r 2 “，牙0 ，总存在g q ，使得量7 户或( 牙) + 护勘 0 成立，即 孟7 户元 ) + 孟7 s i 0 从而函数集合 童7 户丘( 牙) + 护舶，i = 1 ，2 ，n ，在r 2 n 上是严格完备的； 2 ) 最优问题有可行解最优目标值是小于零的 1 0 此时对任意的叠舻一，i 0 ，只要任意的j q ，j i ，成立高户岛( 1 | 量f f ) + 上1 1 ，：1 1 2 护妇0 ，就有斋卢丘( i 耋i ) 十上i i 1 1 2 矿船 0 ，即护户丘( 2 ) + 矿船 0 所以，对任意的z 驴，正0 ，总存在q q ，使得上式成立因此函数集 合 护户只( i ) + i 7 勘，i = 1 ，2 ，扎) 在r 2 “上是严格完备的 2 3 一个等价的条件 由非线性规划问题的k k t 条件知，若i 是最优问题的解，则存在不全为 零的常数九，i = 1 “2 一，n ，和常数弘满足 九( 卢局忙) + 堡字j p 量+ 2 。强) + 暑( 脚) + 譬南+ 2 蛳脚一 ( 2 1 2 ) ( 2 r 户马+ i 7 雪i ) = o ，j i 九o ，j q 对上式中第一个不等式两端分别左乘牙，并代入骨7 雪= l 和式( 2 1 2 ) 中第二个式 子可得 柑户晟2 1 7 挈5 牙+ 2 删( 2 1 3 1 + a j ( 牙t 挈锄+ 孟r 船) + p = o 卜 ，o 解得p 并代入式( 2 1 2 ) 中的第一式得 九( 户戽忙) + 鱼挚卢牙+ 2 妇 一i r 户丘( i ) 牙一牙r ! ! ；譬户i 孟一2 岳7 雪牙j ) + ( 鹧( i ) + 挈雨+ 2 赢 2 1 4 一孟7 掣砌j 一7 船牙) ：0 引入记号 啪i 黧十挈阱獗 ( 2 1 5 ) 一护掣庇孟一护雪i 至，g q ” 则式( 2 1 4 ) 可简写为 九( 见( i ) 一i r 卢最( 牙) 2 一i 7 船牙) + 屯巧( i ) = 0 ( 2 1 6 ) j 任意的i 国，牙r n “，牙码= 1 定义 坛( 2 ) = d ：i 7 卢马+ 孟7 雪i = 0 ，马( 2 ) o ，j 廿 ( 2 1 7 ) 假设h 是 h i ：j 屿( 牙) ) 极大线性无关组组成的矩阵 定义q ，( i ) 为下面方程组的解集 f ( j g ) ( 皿( z ) 一i 7 髓( i ) 孟一孟7 雪z i ) = o 1f i ：1 其中 g ：j 日( 矿即旧7 ，坛( 彬。 10 ，尬 ) = o ， n 。( ) 为下面方程组的解集 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 凡马一0 j e m i i 7 牙：1( 2 2 0 ) 墨，b = l ，0 j e 埘t 定理2 3l 如果存在i q ，及n n 阶对称正定阵p 和s ，使得函数集合 i 7 户最+ i 7 船，i q ) 在a ( i ) = n t ( i ) u 吼( i ) 上是严格完备的，则系统( 2 4 ) 是渐 近稳定的，且以y ( z ) 为l y a p t m o v 函数其中y ( 。) ，p 和雪的定义同上两节 证明如果非线性最优问题( 2 1 0 ) 没有可行解，则渐近稳定性可由定理2 2 2 得到 如果最优问题( 2 1 0 ) 问题有可行解，由于所有的解都在单位球上，即满足 矿2 = l ，则最优解一定存在下面只需验证最优目标值是负的，分两种情况证 明 1 ) k 0 记j ，= 磬，j ；口= 等则式( 2 1 6 ) 可重写为 凰( 牙) 一牙7 户丘( i ) 牙一i 7 雪i 孟+ j j 吩( i ) = 0 ( 2 2 1 ) j 却 如果i 7 户马+ i 7 船0 ，则b = 0 ，上式就变为 引入记号 甄( i ) 一雪7 户e ( 牙) i 一2 r 雪2 i + i j 马( 茁) = 0 ( 2 2 2 ) j m 。 h = ( 马，马。，马。) & ) = d ，j - ，一，五) 。i ( 牙) ；尬( 雪) 、岛( 孟) 如果蝎( i ) = o ，式( 2 2 2 ) 可简化为 皿( 霉) 一叠7 户疋( 雾) 互一童7 勘骨= 0( 2 2 3 ) 式( 2 2 3 ) 说明i n 1 ( i ) 所以由函数集合 尹卢扁( 孟) + 牙7 船，i = 1 ，2 ，竹) 在n 。( ) 上严格完备性知i 7 户丘( 牙) + 互7 豇 0 ，由定理2 2 2 知系统是渐近稳定的 下面假设尬( 茁) o 由于 如，月岛，占k ) 是f 马：j 尬( 圣) ) 的最大线性无关组则对任意的 j q 存在与最优解i 有关的实数。( 牙) ，m 最( 牙) ，使得 马( 牙) = ( 五) ( 牙) ( 2 2 4 ) j s 因此式( 2 2 1 ) 就变为 = 酬一尹脚孟一矿屁，磊砖耻轰砖唰 蚴1 ，蕊j 墨f o 。， m = 皿( 亩) 一牙7 p 最( 雪) 牙一量7 鼬牙+ 点。日_ = 0 、 。 艏 毋哟 鲒 吩砖 i田 萋+ ， + 墨i 酗嘱 两 釉 护 一 净 哆啡概 矿 一 卜忙 忙 巩 日 1 1 其中如= k 十b 哟。( 牙) j t v l 把式( 2 2 6 ) 写成矩阵的形式就为 甄( 蜃) 一牙7 户只幢) 蜃一矿雪骨i + h ( 6 。，吩。) 7 = 0 ( 2 2 7 ) 上式的两端左乘日7 就得到 h 7 鼠忙) 一h 7 牙7 卢或忙) i h 7 牙7 如牙+ h 7 n ( 6 j ，- - ，以。) 7 = 0( 2 2 8 ) 从而就得到 ( 母，- ，如，) 7 = - ( h 7 日) 一1 ( 丑。7 凰( i ) 一h 7 牙7 户晟( 2 ) 雪一h 7 牙7 雪孟i ) 代入式( 2 2 7 ) 得 凰( 孟) 一2 叩确2 一矿胁一日( 日7 矿( 日7 皿 1 一h 7 2 7 户只( 孟) 牙一h 7 i 7 亏i 牙) = 0 、 这正好是式( 2 i s ) 由函数集合 i 7 p 雳( 牙) + ? 鼬，i = 1 ，2 ，n ) 在n 1 ( ) 上严格完备性知 i 7 户最( i ) + 牙7 而 0 是系统( 3 1 ) 的正不变集的充分必要条件是存在一个与函数v ( x ) 相关的比较系 统 o + 1 ) = h ( 。( t ) ) ( 3 3 ) 使得h ( r w ) r ，v r 0 ，r 】 注t 如果v ( x ) = l f 。i ，则引理3 1 1 中定义的r ( ”，r ”) 就有定义式 r ( v ，r ) = z r ”：一r 训f xsr 删) ，v r 【0 ，r + ，r 0 此时v r 0 ，r 】，r ( ”，r 伽) 就是一个平行多面体集， 1o 】给出了线性离散与连续的 系统具有这样的不变集的充要条件 引入记号1 ) f 驯表示矩阵h 每个元素取绝对值后组成的矩阵， 2 ) 一个m 维列向量w 0 表示”的任一个元素 ； 0 , i = 1 ，2 ，m ， 3 ) 两个m 维列向量。，卢，n p 表示对应的分量a 。b i , i = 1 ，2 ，m 3 2 系统描述 文献【l o 研究了下面一类线性离散的系统 。婶+ lj 2 a x ( t ) ( 3 4 ) 最终得到，系统( 3 4 ) 具有一个多面体不变集r ( f 1 ) = 扛：一”f x ”) 的充 分必要条件，其中wer ”是由正的实数组成的列向量，并提出了当f r m n 是行满秩时，系统( 34 ) 有一个线性的l y a p u n o v 函数 文献 5 】研究了一类线性离散切换系统z o + 1 ) = a z ( t ) ，ieq = 1 ，2 ，n ) ， 2 6 假设每一个子系统是稳定的，并具有一个线性的l y a p u n o v 函数，然后基于这些 函数利用l y a p u n o v 稳定性定理推导出系统的一个稳定的切换律但事实上， 切换系统的子系统一般不一定是稳定的，要求每一个子系统稳定并具有线性的 l y a p u n o v 函数更是很强的要求 这里我们将讨论一类更广泛的切换系统，即不要求每一个子系统具有一个