（机械电子工程专业论文）素流动压轴承转子系统非线性动力行为研究.pdf

摘要 1111 11 1m i i i l l lj l l l l l j l l li i i i 2 12 8 3 6 0 论文题目：紊流动压轴承一转子系统非线性动力行为研究 学科专业：机械电子工程 研究生：马晓勇签名：圣监 指导教师：吕延军教授 签名：监备盆搴 陈祖安副教授 签名：e 垒趣奎 摘要 轴承一转子系统是旋转机械的重要组成部分，对轴承一转子系统的非线性动力学行为研 究是转子动力学的主要内容。随着大型旋转机械( 如汽轮机等) 设计技术的提高，使得转 子轴颈尺寸变大、线速度提高，实际上大部分轴承已经在紊流工况下运转。本文针对紊流 工况，对流体动压轴承一转子系统的非线性动力学行为展开研究。主要研究内容如下： 1 简要介绍了非线性动力学系统的一些基本理论：分岔、混沌理论以及通向混沌的道 路。 2 针对紊流工况，采用混合长度理论的r e y r d o d s 方程描述了轴承油膜的压力分布规 律。基于此，运用半s o m m e r f e l d 边界条件分别求得了无限短和无限长轴承假设下的油膜 压力分布和油膜力的解析表达式。 3 建立了紊流轴承一刚性对称转子模型及其运动微分方程，运用变步长四阶 r u n g e k u t t a 法对其进行数值仿真，采用轨迹图、p o i n c a r 6 映射、时间历程、频谱图和分 岔图等分析了紊流无限短轴承和紊流无限长轴承支撑的刚性转子系统的不平衡响应随转 子转速的变化规律。数值结果揭示了紊流轴承一刚性转子系统存在周期解、倍周期解、周 期三、准周期和混沌等丰富复杂的非线性动力行为。 4 建立了紊流动压轴承一柔性j e f f c o t t 转子模型及其运动微分方程，运用变步长四阶 r u n g e k u t t a 法研究了紊流无限长轴承一柔性转子系统的不平衡响应随转速和偏心率的改 变而变化的规律。数值结果揭示了紊流轴承一柔性转子系统的周期解、倍周期解、周期三、 准周期解和混沌等丰富复杂的非线性动力行为。 本文采用的数值方法和得到的结果可为轴承一转子系统的动力行为分析和实际产品的 动力学设计提供理论参考。 本文的研究工作得到国家重点基础研究发展计划项目( n o 2 0 0 7 c b 7 0 7 7 0 6 ) ；国家自然科学基金项目州o 5 1 0 7 5 3 2 7 ) ；机械传动国家重点实验室开放课题( n o s k l m t - k f k t - 2 0 1 0 1 1 ) ；陕西省自然科学基金项目 ( n o s 2 0 0 9 j q 7 0 0 6 ，2 0 0 7 e 2 0 3 ) ；陕西省教育厅科学研究计划项目( n o s 0 9 j k 6 8 0 ，0 7 j k 3 4 0 ) 的资助。 西安理工大学硕士学位论文 关键词：轴承一转子系统紊流润滑非线性分岔混沌 i i t i t l e ：s t u d yo nn o n l i n e a rd y n a m i cb e h a v i o ro f t u r b u l e n tj o u r n a lb e a r l n g r o t o rs y s t e m m a j o r ：m e c h a t r o n i ce n g i n e e r i n g n a m e ：x i a o y o n gm a s u p e r v i s o r ：p r o f y a n j u nl u a s s o c i a t ep r o f z u a nc h e n a b s t r a c t s i g n a t u 怆：型幽兰坠 s i g n a t u r e ：凼竺丝 s i g n a t u r e ：圣竺幽 b e 撕n g r o t o rs y s t e mi sa ni m p o r t a n tp a r to f t h er o t a r ym a c h i n e r y s t u d yo nt h en o n l i n e a r d y n a m i cb e h a v i o ro ft h eb e a r i n g - r o t o rs y s t e mi st h em a i nc o n t e n to fn o n l i n e a rr o t o rd y n a m i c s 黝t h eu n c e a s i n ge n h a n c e m e n to fd e s i g nt e c h n o l o g yo ft h el a r g es c a l er o t a r ym a c h i n e r y , a n d t h e nt h er o t a t i o n a lv e l o c i t yo fr o t o rb e c o m e sh i g h e ra n dt h ej o u r n a lo ft h er o t o rs i z eb e c o m e s b i g g e r , m o s tb e a r i n gh a v ea l r e a d yw o r k e di nt u r b u l e n tf l o wo p e r a t i o na c t u a l l y b a s e do nt h i s p o i l 也n o n l i n e a rd y n a m i cb e h a v i o r so ft h eh y d r o d y n a m i cb e a r i n g - r o t o rs y s t e ma r ei n v e s t i g a t e d 1 1 硷m a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w ： 1 1 1 1 eb a s i ct h e o r i e so ft h en o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e ma r ei n t r o d u c e db r i e f l y , s u c ha s b i f u r c a t i o n ，t h ec h a o st h e o r ya n dt h ew a yt oc h a o s 2 r e y n l o d se q u a t i o nf o rd e s c r i b i n gp r e s s u r ed i s t r i b u t i o no ft u r b u l e n tf l o wi nt h eb e a r i n g l u b r i c a t i o ni se s t a b l i s h e db ym i x e dl e n g t ht h e o r y t h eo i lf i l mp r e s s u r ed i s t r i b u t i o na n dt h e a n a l y t i c a le x p r e s s i o n so fn o n l i n e a ro i lf i l mf o r c e sa r eo b t a i n e dw i t l lt h eh a l fs o m m e r f e l d b o u n d a r yc o n d i t i o nu n d e rt h ei n f i n i t el o n ga n dt h ei n f i n i t es h o r tb e a r i n ga s s u m p t i o n s 3 at u r b u l e n tb e a r i n g - r i g i ds y m m e t r i cr o t o rm o d e la n dt h em o t i o ne q u a t i o n sa r e e s t a b l i s h e d 1 1 l em o t i o ne q u a t i o n sa r es o l v e db yt h es e l f - a d a p t i v er u n g e - k u t t am e t h o d t a k i n g t h er o t o rs p e e d 嬲t h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r , t h ei m b a l a n c er e s p o n s e so ft h er o t o rs y s t e mw i t h i n f m i t es h o r t ( i n f i n i t el o n g ) b e a r i n gs u p p o r ta r ea n a l y z e db yt h eo r b i to ft h er o t o rc e n t e ra n dt h e j o u r n a lc e n t e r , p o i n c a r dm a p p i n g ，a n db i f u r c a t i o nd i a g r a m s n l en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wr i c h a n dc o m p l e xd y n a m i cb e h a v i o r so ft h es y s t e mi n c l u d ep e r i o d i c ，p e r i o d - d o u b l i n g ，p e r i o d - 3 ， q u a s i p e r i o d i ca n dc h a o t i cm o t i o n se t c 4 as y m m e t r i cf l e x i b l er o t o rs y s t e ms u p p o r t e db yt w ot u r b u l e n tj o u r n a lb e a r i n g si s m o d e l e d ，n i em o t i o ne q u a t i o n sa r es o l v e db yt h es e l f - a d a p t i v er u n g e k u t t am e t h o d ，a n dt h e d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h er o t o r - b e a r i n gs y s t e mu n d e rt h et u r b u l e n ts t a t ea r ei n v e s t i g a t e d t 西安理工大学硕士学位论文 ，n l ec h a n g eo fn o n l i n e a rr e s p o n s e so ft h es y s t e mw i t ht h er o t a t i o n a ls p e e da n dt h em a s s e c c e n t r i c i t yi si n v e s t i g a t e d n u m e r i c a lr e s u l t sr e v e a lt h er i c ha n dc o m p l e xd y n a m i cb e h a v i o r so f t h es y s t e mi n c l u d ep e r i o d i c ，p e r i o d - d o u b l i n g ，p e r i o d 一3 ，q u a s i - p e r i o d i ca n dc h a o t i cm o t i o n se t e t ka b o v en u m e r i c a lm e t h o d sa n dn u m e r i c a lr e s u l t sc a np r o v i d er e f e r e n c e st ot h e n o n l i n e a rd y n a m i cd e s i g no f t h ep r a c t i c a lb e a r i n g - r o t o rs y s t e m k e yw o r d s ：b e a r i n g - r o t o rs y s t e m t u r b u l e n tl u b r i c a t i o nn o n l i n e a rb i f u r c a t i o nc h a o s t h ew o r ki ss u p p o r t e db yn a t i o n a lk e yb a s i cr e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n tp r o g r a mo fc h i n a ( g r a n tn o 2 0 0 7 c b 7 0 7 7 0 6 ) ，n a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( g r a n tn o 5 10 7 5 3 2 7 ) ，o p e np r o j e c to fs t a t e ” k e yl a b o r a t o r yo f m e c h a n i c a lt r a n s m i s s i o n ( g r a n tn o s k l m t - k f k t - 2 0 1011 ) ，n a t u r a ls c i e n c e f o u n d a t i o no fs h a a n x ip r o v i n c eo fc h i n a ( g r a n tn o s 2 0 0 9 j q 7 0 0 6 ，2 0 0 7 e 2 0 3 ) a n dn a t u r a ls c i e n c e f o u n d a t i o no fe d u c a t i o nd e p a r t m e n to fs h a a n x ip r o v i n c eo fc h i n a ( g r a n tn o s 0 9 j k 6 8 0 0 7 j k 3 4 0 ) n 目录 目录 1 绪论1 1 1 课题研究的目的和意义1 1 2 非线性转子动力学的研究现状和发展趋势1 1 2 1 非线性转子动力学的研究现状1 1 2 2 非线性转子动力学的发展趋势3 1 3 论文研究的主要内容4 2 非线性动力学理论及其数值分析方法5 2 1 引言5 2 2 分岔与混沌概述5 2 2 1 分岔5 2 2 2 混沌5 2 2 3 通向混沌的道路5 2 3 非线性轴承转子系统动力行为的分析方法6 2 3 1 分岔图6 2 3 2 轨迹图6 2 3 - 3p o i n c a r 6 截面6 2 3 4 频谱分析7 2 3 5 时间历程图7 2 4 轴承转子系统非线性动力学行为的理论分析方法8 2 4 1 龙格库塔法( r u n g e k u t t a 法) 8 2 5 本章小结9 3 紊流动压滑动轴承的非线性油膜力1 1 3 1 引言11 3 2 紊流状态下的非线性油膜力解析模型1 1 3 3 紊流状态下的r e y n o l d s 方程1 2 3 4 局部雷诺数13 3 5 紊流因子1 3 3 6 紊流状态下的无限短轴承模型的油膜力的求解1 4 3 7 紊流状态下的无限长轴承模型的油膜力的求解1 5 3 8 本章小结18 4 紊流动压轴承刚性转子系统的非线性动力学行为1 9 4 1 紊流动压轴承- 冈0 性转子系统的动力学方程1 9 4 2 紊流无限短动压轴承- 冈4 性对称转子系统的数值算例及讨论2 0 4 3 紊流无限长动压轴承- 冈0 性对称转子系统的数值算例及讨论2 8 4 4 本章小结3 0 5 紊流动压轴承柔性转子系统的非线性动力学行为31 5 1 紊流动压轴承柔性对称转子系统的动力学方程一31 5 2 紊流无限短动压轴承柔性对称转子系统的数值算例及讨论。3 3 5 2 1 紊流无限短动压轴承柔性转子系统的不平衡响应随转速的变化规律3 3 5 2 2 紊流无限短动压轴承柔性转子系统的不平衡响应随偏心量的变化规律3 9 5 3 紊流无限长动压轴承柔性对称转子系统的数值算例及讨论一4 6 5 3 1 紊流无限长动压轴承柔性转子系统的不平衡响应随转速的变化规律4 6 5 3 2 紊流无限长动压轴承柔性转子系统的不平衡响应随偏心量的变化规律5 4 西安理工大学磋士学位论文 5 ，4 本章小结。6 5 6 结论与震望+ 6 7 6 。l 全文结论6 7 6 。2 研究展望6 7 致谢。6 9 参考文献。7 l 竣读磷学位期间发表的文章。7 5 1 绪论 一一一 1 绪论 1 1 课题研究的目的和意义 轴承一转子系统是航空发动机、汽轮机、发电机、离心机以及气体压缩机等旋转机械 的核心部件，确保这些设备安全可靠的运行具有非常重要的意义。随着当今生产技术和科 技研发能力的不断提高，使得旋转机械在实际生产中所起的作用越发的突出，并使旋转机 械向重载荷、超高速度和高度自动化的方向发展。但是，在旋转机械的实际运行过程中， 故障频发，这也引起了设计师们的高度重视。在通过对旋转机械故障分析的过程中发现， 故障频发的主要原因是旋转机械的核心部件转子会经常性的发生振动，而且旋转机械在工 程实际应用中普遍存在有低频振动分量和镰幅大大超过标准，通过对上述问题的研究和分 ， 析发现：转子系统的非线性因素对整个转苛系统的稳定性有很大的影响【。 一 在旋转机械的实际运行中，常常会出硎分岔和混沌等非线性动力学现象，严重威胁着 旋转机械的安全运行，甚至会引发重大的事故，给生产造成难以预计的损失。1 9 7 2 年日 一 本海南电厂的一台6 6 万千瓦汽轮发电机组l 在试车中因发生异常振动而全机损毁，长达 5 l 米的主轴断裂飞散，联轴节及汽轮机叶片竟穿透厂房飞落至百米以外。1 9 8 6 年4 月2 7 日，前苏联的乌克兰共和国切尔诺贝利核能发电厂，其发电机组因发生严重振动而导致发 生严重核泄漏及爆炸事故。据统计，到2 0 0 6 年该事故致使4 0 0 0 多人死亡，核辐射受害者 达9 0 0 多万人，直接经济损失达数十亿美司，并对周边环境造成了难以预计和不可恢复的、一 影响。上个世纪八十年代，随着我国大容量机组的投入运行，也相继发生了多起事故。1 。9 8 9 年5 月，一台国产2 0 0 m w 汽轮发电机组在一次大修中发现1 6 级叶片围带因与汽缸上阻 气带发生碰摩，将9 0 0 范围内围带两侧切断飞脱。 轴承一转子系统是一个非常复杂的非线性动力系统，干扰力、非线性油膜力、密封力 等都会影响系统运行的稳定性，用线性动力学理论来解释轴承一转子系统所表现出来韵复t 杂的非线性动力行为已经行不通了，线性动力学在解决非线性轴承一转子系统上表现出越 发明显的局限性，所以运用非线性动力学理论来研究轴承转子系统的非线性动力学行为 成为了必然趋势。 1 2 非线性转子动力学的研究现状和发展趋势 1 2 1 非线性转子动力学的研究现状 r a r 妇e 于十八世纪中期发表的“论旋转轴的离心力”一文，是最早的关于转子动力 学研究的文献，这篇文章忽略了柯氏力的影响，指出轴承转子系统稳定运转速度只能低 于一阶临界转速，当系统的转速高于一阶临界转速，系统将失稳。随着轴承一转子系统设 计技术的不断提高，使得系统设计转速不断提高，因此对轴承一转子系统动力学进行更为 深入的研究显得尤为必要。上世纪初，英国著名动力学家j e f f c o t th h 提出了沿用至今 的单盘对称转子模型( j e f f e o t t 转子模型) ，并对该模型做了研究发现，当轴承一转子系统 西安理工大学硕士学位论文 转速高于一阶临界转速时，系统仍然可以稳定的工作，而且发现，由于质心的自对中作用， 轴承动载荷会随着系统转速的增大而减小。这一结论的提出，使得人们发现，转子系统转 速在高于一阶临界转速时，系统仍然可以稳定的运行，并且系统在高于临界转速状态下运 一转也是有利的。这种思想逐渐被人们所接受，设计师们开始设计大量工作转速高于临界转 速的转子系统；，并广泛应用于汽轮机、涡轮机、压缩机等高速旋转机械，使生产效率大大 提高。但是；i 譬芷这些旋转机械的实际运行过程中，不断的产生严重的振动。众多学者对该 现象做了仔细的分析，开始认为是平衡精度的不够而引起振动的发生，但是经过大量的实 验研究发现，即使对转子系统经过非常高精度的平衡，在轴承一转子系统的运行仍然存在 很强烈的振动。经研究最终发现，轴承一转子系统产生振动的根本原因并非是平衡精度的 不够，而是由轴承非线性油膜力引起的，该现象的发现使的人们对转子动力学的认识有了 一个飞跃。 ， 1 9 6 5 年，文献【5 】中提出了一个轴承油膜力的线性化模型，该模型由8 个刚度，阻尼 。系数来描述。在文中，作者对该线性化模型的稳定性做了较为详细的研究。1 9 6 6 年， g l i e n i c k e 对文献 5 1 q 丁8 个刚度、阻尼系数进行了系统的理论和实验研究。上述研究为用 线性理论和方法分析轴承一转子系统稳定性奠定了基础，在转子动力学研究中具有非常重 要的作用。但是随着转子动力学的发展和对轴承一转子系统研究的进一步深入，人们发现 线性理论在研究轴承一转子系统时有很大的局限性。1 9 6 6 年，文献 6 】首次介绍了轴承一转 子系统的次谐波振动，并对这一现象进行了分析；文献【7 】中通过对轴承一转子系统进行全 面的实验发现转子系统在运行中存在二阶及三阶次谐振；文献【8 】对轴承一转子系统运行中 存在的二阶及三阶次谐振动做了理论研究；文献【9 】中详细的研究了轴承一转子系统的不平， 衡响应存在的非周期运动，并且对影响系统不平衡响应的因素进行了分析。这些以非协调 响应、准周期运动为内容的研究都是较为早期的非线性研究。 大型旋转机械中出现的故障多为非线性问题，所以，对转子系统的非线性动力学行为 的研究引起了人们极大的关注，用非线性理论来研究转子动力学成为一项迫切的任务。运 用非线性理论来研究转子动力学主要从非线性轴承一转子系统的建模及系统不平衡响应和” 用非线性理论对转子系统非线性特征及现象的描述入手。实际上大部分的非线性轴承一转 子系统为多自由度的非线性系统，在研究过程中，若采用数值方法，其稳定和计算速度会 有很大的制约。文献【1 0 】和【1 1 】研究了模态综合技术在对轴承一转子系统降维、模态分析、 瞬态响应计算等方面的应用。 文献 1 2 】中以无限短轴承一转子模型为研究对象，考虑了支撑座在竖直方向上的形变， 通过对油膜力的分析，建立了支撑一轴承一转子系统的非线性动力学模型。文献【1 3 】研究了 非线性转子在各临界转速时的稳定性，并应用奇异性理论研究了转轴的同步涡动和非同步 涡动周期响应的分岔。文献【1 4 】和【1 5 中非线性油膜力的求解采用了数据库的方法，并且 得到了系统的混沌行为会受到转子偏心率变化的影响等结论。文献【1 6 】中的非线性油膜力 模型由三个函数来确定，并对轴承一转子系统响应的混沌区域进行了研究。 2 1 绪论 近年来，国内外研究人员在研究非线性轴承一转子系统的不平衡响应的分岔及稳定性 中，引入了f l o q u e t 理论。文献【1 7 1 9 】用f l o q u e t 理论研究了无限短轴承支撑的具有不平 衡质量的单盘非线性转子系统的不平衡响应的分岔和稳定性，得到了控制系统稳定运行的 结构参数区域。文献【2 0 】运用p n f 法求得了滑动轴承支承的平衡转子系统h o p f 分岔极限 环及其涡动周期，运用f l o q u e t 理论判断了该解的稳定性。文献【2 l 】对转子系统的非协调运 动、突跳行为进行了理论分析；文献【2 2 】运用f l o q u e t 稳定性分岔理论分析了流体动压滑 动轴承一具有陀螺效应的刚性转子系统周期响应的稳定性和分岔形式；文献【2 3 】综合运用 n e w t o n 打靶法和伪弧长连续算法研究了非线性转子- s f d 支撑系统的周期解，基于多变 量f l o q u e t 理论分析了该系统的分岔和稳定性。文献 2 4 】运用f l o q u e t 理论研究了结构对称 的带定心弹支挤压油膜阻尼器一柔性转子系统双稳态现象的发生规律。 当前，全面的揭示轴承一转子系统的非线性动力学特性及其不平衡响应随系统参数变 化的规律成为了一个研究方向。文献 2 5 】综合运用伪弧长算法与打靶法对不平衡转子系统 随参数变化的分岔现象、系统响应的稳定性及系统不平衡响应中所出现的非线性现象的产 生进行了研究。文献 2 6 】中将延拓法和打靶法相结合，在此基础上对不同的轴承油膜力支 撑的非线性不平衡转子系统解的稳定性和随系统参数变化的分岔规律做了较为系统的研 究。 虽然国内外众多学者对轴承一转子系统做了大量的研究，在研究轴承一转子系统的非线 性动力学特性时，大都采用层流假设。但是，随着轴承一转子系统设计技术的不断提高， 使转子轴颈尺寸增大，线速度提高，所以目前大量轴承已在紊流情况下运转。国内外学者 对紊流状态下轴承一转子系统的动力学特性也做了一些研究，文献 2 7 3 2 基于紊流润滑理 论对紊流轴承的建模做了理论讨论。在相同的转速、载荷、直径和间隙等条件下，紊流情 况下工作的轴承的实际性能与根据层流理论计算出的结果相比，具有较大的功率损耗、较 小的流量、较高的温升和较小的偏心。 。 1 2 2 非线性转子动力学的发展趋势 虽然非线性转子动力学发展至今已较为成熟，众多学者也取得了丰硕的研究成果，但 是将这些研究成果应用于实际工程中还有很长的路要走，要做的工作也有很多。在进一步 研究非线性转子动力学工作中，应该重视理论联系实际，使现在的科研成果能解决工程实 际中非线性轴承一转子系统的动力学设计以及旋转机械实际运行中所遇到的问题。 综上所述，今后非线性转子动力学的发展趋势可概括为以下几点： 1 进一步研究复杂转子或非对称转子系统非线性动力学行为及其系统的不平衡响应 随系统参数的变化规律。 2 综合考虑温粘效应和紊流状态的非线性油膜特性及其支撑转子的稳定性问题。 3 旋转机械多自由度非线性动力学理论及非线性动力学数值分析方法的研究。 4 轴承一转子一密封系统的非线性动力学特性。 5 复杂轴承一转子系统的实验模型及其现场试验。 1 西安理工大学硕士学位论文 1 3 论文研究的主要内容 轴承一转子是旋转机械的核心部件，转子的稳定运行关系到整个旋转机械的安全，这 就迫切要求我们对轴承一转子系统的非线性动力学行为做全面的研究。论文针对紊流无限 长和无限短轴承支撑的转子系统的非线性动力学行为进行分析。具体内容如下： 第一章介绍了转子动力学的研究现状和发展趋势以及本文的主要内容。 第二章简要介绍了非线性动力学系统的一些基本理论：分岔理论和有关的混沌理论， 以及分析轴承一转子系统非线性动力学的一些典型方法。 第三章针对紊流工况，采用混合长度理论的r e y n l o d s 方程描述了轴承油膜的压力分 布规律。基于此，运用半s o m m e r f e l d 边界条件分别求得了无限短和无限长轴承假设下的 油膜压力分布和油膜力的解析表达式。 第四章建立了紊流轴承一刚性对称转子模型及其运动微分方程，运用变步长四阶 r u n g e k u t t a 法对其进行数值仿真，采用轨迹图、p o i n c a r 6 映射、时间历程、频谱图和分 岔图等分析了紊流无限短轴承和紊流无限长轴承支撑的刚性转子系统的不平衡响应随转 子转速的变化规律。数值结果揭示了紊流轴承一刚性转子系统存在周期解、倍周期解、准 周期和混沌等丰富复杂的非线性动力行为。 第五章建立了紊流动压轴承一柔性j e f f c o t t 转子模型及其运动微分方程，运用变步长 四阶r u n g e k u t t a 法进行数值仿真。采用轨迹图、p o i n c a r 6 映射、时间历程、频谱图和分 岔图等分析了紊流无限长轴承一柔性转子系统的不平衡响应随转速和偏心率的改变而变化 的规律。数值结果揭示了紊流轴承一柔性转子系统的周期解、倍周期解、周期三、准周期 解和混沌等丰富复杂的非线性动力行为。 第六章对全文进行了总结。 4 2 非线性动力学理论及其数值分析方法 2 非线性动力学理论及其数值分析方法 2 1 引言 对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值，系统的定性性态( 例如平衡状态 或周期运动的数目和稳定性等) 会发生突然的变化，这种变化称为分岔。分岔是一类常见 的重要的非线性问题，并与其他非线性现象( 如混沌) 密切相关。因此，分岔在非线性科 学研究中占有重要地位，也是研究轴承一转子系统非线性行为的重要组成部分，而且与混 沌运动密切相关，是研究混沌产生的机理和条件的重要途径【3 3 3 6 j 。 2 2 分岔与混沌概述 一 2 2 1 分岔 分岔理论主要用于研究非线性系统的响应随着系统控制参数的改变而变化的规律。非 线性动力系统中一般都存在一个或者多个系统控制参数。当系统的控制参数进行连续变化 时，非线性系统的响应在系统参数取到某一特定值时，会发生突然的变化，这时非线性系 统的不平衡响应就发生了分岔现象。 分岔是非线性系统响应中存在的非常重要的现象，非线性轴承一转子系统是典型的非 线性系统，所以，分岔理论在研究非线性轴承一转子系统中有举足轻重的地位。在我们应 用分岔理论研究非线性轴承一转子系统时，主要是研究转子系统的不平衡响应随系统分岔 控制参数做连续改变时的变化规律。 2 2 2 混沌口翻 人们对混沌的研究起源于上个世纪中期，至今已经走过了很长的一段道路。但是，还 没对混沌做出较为科学的定义。混沌( c h a o s ) 可以r 粗略的认为是一种稳定的无规则的动 力学行为。它是指在具有确定性的非线性系统中，并不需要添加外在的随机因素，非线性 系统随着系统参数的改变会出现貌似随机的运动。混沌最大的特点在于对初始值非常敏 感，即使系统初值有微小的改变，都会使非线性系统的不平衡响应发生很大的变化，并使 系统的未来行为变的不可预测。 2 2 3 通向混沌的道路 ( 1 ) 倍周期分岔 在非线性转子系统中，分岔和混沌有着非常密切的关联。非线性转子系统的周期运动 在给定的初始条件下，随着系统分岔控制参数的连续变化，会出现倍周期分岔，而且倍周 期分岔会一直无限继续下去，使系统的不平衡响应由周期运动演化为混沌运动。 ( 2 ) 阵发性分岔 阵发性分岔是指在非线性系统的分岔图中，当系统的不平衡响应随着系统的分岔控制 参数逐渐变化到达某一特定的参数，系统的运动状态通过有时规则有时混乱的间歇( 阵发) 西安理工大学硕士学位论文 状态进入混沌。 ( 3 ) 由拟周期通向混沌的道路 l a n d a u - h o p f 认为系统经由拟周期进入混沌需要无限次的演化，但是r - t a k e n s 经过长 ：期的研究分析发现，非线性系统的不平衡响应不需要无限次准周期分岔，而是经过有限次 的准周期分岔而进入混沌现象。 2 3 非线性轴承转子系统动力行为的分析方法 2 - 3 1 分岔图 分岔图是以非线性系统的分岔控制参数为横坐标，系统的不平衡响应为纵坐标来得到 的，通过分岔图可以清晰地观察到非线性系统的不平衡响应随系统分岔控制参数变化的规 律。在研究轴承一转子系统的非线性动力学行为时，通常取转子系统中某一连续变化的参 数为横坐标，然后取该参数相对应的系统的不平衡响应的p o i n c a r 6 映射点为纵坐标，即可 得到轴承一转子系统的不平衡响应随分岔参数变化的分岔图。通过分岔图可以观察到菲线 性系统不平衡响应的各个运动状态所对应的分岔参数区间，在一定程度上可以判断通向混 沌的道路。但是，只通过分岔图，并不能区分出系统的不平衡响应是处于准周期运动还是 混沌运动状态。 2 - 3 2 轨迹图 在研究轴承一转子系统的非线性动力学行为中，轨迹图也是一个非常重要的研究手段。 以非线性轴承一转子系统中转子x 方向的位移为横坐标，】，方向的位移为纵坐标，可以得 到转子中心的运动轨迹图。如果其轨迹为封闭的曲线，说明系统的不平衡响应为周期运动； 如果经过无限个周期无法获得封闭的曲线，则系统的不平衡响应为非周期运动( 准周期或 者混沌运动) 。 2 3 3p o i n e a r 6 截面7 1 有时候，对一个复杂的多变量( 蜀，x 2 ，x n ) 连续动力学系统的轨道很难直接进行 分析和研究，法国数学家庞加莱为我们提供了一种有效的研究方法，即p o i n c a r 6 截面方法。 它可以将复杂问题进行简化处理。在多维相空间( 局，h ，弼，蚝，五，l ) 中适当( 要利 于观察系统的运动特征和变化，如截面不能与轨线相切，更不能包含轨线面) 选取一个截 面，这个截面可以是平面，也可以是曲面。然后考虑连续的动力学轨道与此截面相交的一 系列交点的变化规律。这样就可以抛开相空间的轨道，借助计算机画出庞加莱截面上的截 点，由此可得到关于运动特征的信息。不同的运动形式通过截面时，与截面的交点有不同 的分布特征。我们可以发现，周期运动在此截面上留下有限个离散的点；准周期运动在截 面上留下一条闭合曲线；对于混沌运动，其p o i n c a r 6 截面上是沿一条线段或一曲线弧分布 的点集，而且具有自相似的分形结构。 6 2 非线隆动力学理论及其数值分析方法 2 3 4 频谱分析 频谱分析是分析非线性系统不平衡响应的一个重要手段，频谱分析的对象是点映射产 生的一个离散点列，或者是系统运动微分方程的解构成的一系列离散的点。 设丁为周期运动x ( 0 的周期，则有： x ( o = x ( t n t ) n = l ，2 ， ( 2 1 ) 该周期运动可以通过f o u r i e r 级数表示为： x ( f ) ：鲁+ 妻( a nc o s n o ) i t + 玩s i n n c 0 1 f ) ( 2 2 ) 厶 n = l 式中： = 亍2f + ，x ( f ) 衍 = 玎2 r x m s ，z q 砌 吃= 歹2 厂x ( 岫聆q 砌 ( 2 3 ) 因此，周期运动通常在频谱图上表现为离散的线谱。 对于非周期运动x ( o ，则应该用f o u r i e r 积分做频谱分析，其在频谱图上表现为连续 谱。在对非周期运动进行频谱分析时，我们只能取有限个点，这样非周期运动x ( 0 可以展 开为： ， 1 州归足i 羔巳p 等删l ( 2 二) l r n = 0_ j 热c 卅= 丙2 刍2 r d ( 墨( 等n - - i 半，丁趋近于碗 。 ： 2 3 5 时间历程图。 以轴承一转子系统中转子中心处某一方向的位移或者加速度为纵坐标，以时间，为横 坐标，可以做出系统不平衡响应的时间历程图。 非线性系统的不平衡响应是非常复杂的，单一的方法并不能准确的判断系统的运动状 态，需要综合运用上述方法，表2 1 给出了系统处于周期运动、准周期运动和混沌运动时 的特征对比。 。 7 西安理工大学硕士学位论文 表2 1 周期运动、准周期运动和混沌运动的特征对比 淡 周期运动准周期运动混沌运动 研究方法 环面上永不重复的有限区域内永不重复， 相平面图封闭的曲线 运动轨迹貌似随机的运动 无限点，密集的分布无限个分布在一定的区 p o i n c a r 6 截面有限个孤立的不动点 在一条封闭的曲线域内的永不重合的点 上 频谱图离散的线谱 离散的线谱连续谱 时间历程图规律，周期的重复有“拍”出现无规律，不重复 2 4 轴承啭子系统非线性动力学行为的理论分析方法 在轴承一转子系统的非线性动力学行为研究过程中，为了使研究更加精确，人们通常 使用以下理论分析方法【3 8 - 3 9 】： ( 1 ) 数值方法：它求解非线性微分方程解的过程是由数值积分得到的，这样可以求得 非线性系统在给定的系统参数下和初始值情况下的运动规律。 ( 2 ) 解析方法：解析法是一种定量分析非线性系统的研究方法。该方法可以得到非线 性微分方程的解析解，得到非线性系统的运动规律，可以进一步地研究给定的系统参数和 初始值之间的关系。 ( 3 ) 几何方法：几何方法是通过定性的方法来研究非线性系统的方法。传统的几何方 法是通过平面内的动态运动轨迹来对运动过程做直观的描述，在此基础上，根据动态轨迹 的几何性质判断非线性微分方程的解的特性。 2 4 1 龙格一库塔法( r u n g e k u t t a 法) 龙格一库塔法是求解常微分方程的最基本方法。众所周知，任何高阶的微分方程都可 以化为一阶微分方程组，龙格一库塔法的一般形式如下： e 2 ( x )( 2 5 ) iz ) - 【】，( k ) = y o 、7 假定三为步长，则x 可分别取值为：也，x o + 2 l ，+ 比，那么可以从( 场，y o ) 点 出发计算】，的数值。 龙格一库塔法的计算公式如下： ( 2 6 )k + 如 2+ 2 k2+ 墨 一6 + 匕 = 匕 中式 8 2 非线性动力学理论及其数值分析方法 k = 三厂( 以， k 2 = l ( 以+ 考，e + 等) ，玛= 三厂( 以+ 考，k + 了k 2 ) ， k = 三厂( j 0 + 三，+ 3 ) ，以2 0 ，1 ，2 ，3 上式为基本的定步长r u n g e k u t t a 公式，本文所用的为变步长r u n g e - k u t t a 法，计算 步骤为： 以三为步长，由置，来计算下一点碟：。( 卢1 ，2 ，挖) ，再以詈为步长，由x w 计算两 步得到碟z ( f _ 1 ，2 ，咒) ，若砖：。1 与。1 y ( + l 2 。满足条件： 一 、 m a x 峭z 1 x f f + ) ，l 6 ( 2 7 ) g e e 艿为计算精度。这样如果满足精度条件，再求碟j 2 ( 卢1 ，2 ，甩) ；若不满足条件，则将 步长折为一半进行计算，直到满足精度条件： m 砷蟛一磺i 6 ( 2 8 ) 为止，最后得到五+ 。的值为置省( 卢l ，2 ，玎) ，m 为步长折半计算的次数。 r u n g e k u t t a 法相应的几何意义为：对于任何一阶常微分方程y f ( x ，y ) ，当艄】! - ) 为连续函数时，给定任何一点，h ) 就可以知道函数】，在这一点的切线的斜率。这是因 。 为y f ( x ，”。这样，当给定系统某一时刻的位移和速度，从此刻起系统以后的状态便 可以用以上方法求得。 j 2 5 本章小结 ，一_0 一一 ，本章介绍了非线性动力学系统的一些基本理论：分岔、混沌理论以及通向混沌的道路。 。 一r _ ： 。 9 西安理工大学硕士学位论文 1 0 3 紊流动压滑动轴承非线性油膜力 3 紊流动压滑动轴承的非线性油膜力 3 1 引言 在研究流体动压滑动轴承一转子系统的非线性动力学行为时，滑动轴承的非线性油膜 压力分布和油膜力的求解是关键问题之